Bab 1 - Bentuk Pangkat, Akar, Dan Logaritma (Final)

  • Published on
    17-Dec-2015

  • View
    107

  • Download
    23

Embed Size (px)

DESCRIPTION

cccc

Transcript

A. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat

1. Bilangan dengan Pangkat Bilangan Bulat positif

Jika Anda mengalikan bilangan 3 dengan 3 sebanyak 4 kali, Anda dapat menuliskannya dengan cara atau dengan mengunakan bentuk pangkat, yaitu . Pada bentuk pangkat , 3 disebut bilangan pokok atau basis, sedangkan 4 disebut pangkat atau eksponen. Sedangkan 81 merupakan hasil perpangkatan tersebut.

Penulisan dalam pangkat tentu lebih praktis dan memudahkan dibandingkan dengan penulisan perkalian secara berulang. Misalnya Anda akan lebih mudah menuliskan daripada menuliskan . Demikian juga dalam perhitungan yang melibatkan operasi untuk bilangan berpangkat, penulisan bentuk pangkat jauh lebih praktis.

Secara umum, dapat Anda simpulkan:

Hitunglah hasil perpangkatan berikut:

1.

2.

3.

Penyelesaian:1.

3.

2.

2. Bilangan dengan Pangkat Nol

Anda telah mempelajari pangkat bilangan bulat positif. Nah, sekarang bagaimana jika sebuah bilangan dipangkatkan 0? Berapa hasilnya? Untuk memahaminya, perhatikan uraian berikut.

Jika diteruskan, maka akan Anda dapatkan bahwa . Dan ternyata, ini berlaku untuk semua bilangan selain 0. Dengan demikian, dapat Anda simpulkan:

Kesimpulan itu dapat Anda ingat sebagai berikut: Bilangan berapapun selain nol jika dipangkatkan nol hasilnya adalah 1.

Nah, dapatkah Anda menunjukkan mengapa pada kesimpulan di atas disyaratkan ?

Ya, bilangan 0 jika dipangkatkan n, dengan n bilangan bulat positif, hasilnya selalu 0. Ini disebabkan oleh adanya perkalian dengan 0. Misalnya , dan seterusnya. Sekarang tentu tidak mungkin Anda nyatakan bahwa , karena 0 dikalikan dengan berapapun hasilnya tidak mungkin 1. Oleh sebab itu, bentuk merupakan bentuk tak tentu.

Uraian tersebut menyimpulkan hal-hal berikut:

3. Bilangan dengan Pangkat Bilangan Bulat Negatif

Untuk mengetahui pangkat bilangan bulat negatif, perhatikan kembali uraian berikut.

Jika pangkat dari 2 terus berkurang satu-satu, maka akan didapat bahwa

dan seterusnya, sehingga dapat Anda simpulkan:

Hitunglah perpangkatan berikut. 1.

2.

Penyelesaian:1.

2.

4. Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Pada bagian ini, Anda akan mempelajari sifat-sifat operasi dari bilangan berpangkat. Sifat-sifat ini diturunkan berdasarkan sifat-sifat operasi yang telah Anda pelajari sebelumnya di bangku SMP, yaitu:

Sifat komutatif perkalian:

Sifat asosiatif perkalian

:

Sifat pembagian

:

Ketiga sifat di atas akan membantu dalam menurunkan sifat-sifat berikut.

a. Sifat 1.1

Berdasarkan definisi perpangkatan, maka

,

sehingga

Dengan demikian, dapat Anda simpulkan sifat berikut

b. Sifat 1.2

Dengan demikian, dapat pula Anda simpulkan sifat berikut

Selain dua sifat di atas, masih ada sifat-sifat yang lain, yaitu :

c. Sifat 1.3

d. Sifat 1.4

, dane. Sifat 1.5

Hitunglah bentuk-bentuk berikut dengan menyederhanakannya terlebih dahulu.

1.

2.

Penyelesaian:1.

2.

5. Notasi Ilmiah

Setiap bilangan p dapat dinyatakan ke dalam bentuk notasi ilmiah. Adapun bentuk notasi ilmiah adalah sebagai berikut,

Untuk menentukan bilangan , seringkali digunakan aturan pembulatan, yaitu sebagai berikut.

Jika Aturan suatu pembulatan adalah sebagai berikut:

Jika angka yang mengalami pembulatan lebih dari 5, maka angka di depannya bertambah satu.

Jika angka yang mengalami pembulatan kurang dari 5, maka angka di depannya tetap.

Jika angka yang mengalami pembulatan adalah 5, maka aturanya sebagai berikut:

Jika angka di depannya merupakan bilangan ganjil, maka angka itu bertambah satu, dan

Jika angka di depannya merupakan bilangan genap, maka angka itu tetap.

Ubah bilangan-bilangan berikut ke dalam notasi ilmiah dengan pembulatan dua angka di belakang koma.

1. 25.670.000

2. 0,063453

Penyelesaian:1.

2.

B. Bentuk Akar

1. Bilangan Rasional dan Bentuk Akar

a. Pengertian Bilangan Rasional

Sebelum membahas bentuk akar, di sini akan dibahas terlebih dahulu pengertian dari bilangan rasional. Untuk itu perhatikan bilangan-bilangan berikut.

1. 7

4.

7.

2.

5.

3.

6.

Bilangan-bilangan di atas dapat dinyatakan ke dalam bentuk , dengan a dan b bilangan bulat yang saling prima, yaitu sebagai berikut:

1.

4.

7.

2.

5.

3.

6.

Karena bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b bilangan bulat yang saling prima, maka bilangan-bilangan tersebut termasuk ke dalam bilangan rasional.

Sekarang perhatikan bilangan dengan desimal berulang berikut.1. 0,333333....

2. 2,125125125...

Untuk memudahkan penulisan, desimal berulang dari dua bilangan itu dapat dinyatakan dengan menuliskan tanda di atas angka desimal yang berulang itu. Dengan cara ini, kedua bilangan tersebut dapat ditulis sebagai .

Kedua bilangan di atas termasuk ke dalam bilangan rasional, karena kedua bilangan itu dapat dinyatakan ke dalam bentuk , yaitu dan . Dengan demikian, dan juga termasuk bilangan rasional. Secara umum, bilangan yang memiliki jumlah desimal berhingga atau berulang merupakan bilangan rasional.

Sekarang perhatikan bilangan-bilangan berikut.

1.

2. 2,356783987683...

Kedua bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk , karena memiliki desimal yang tak hingga dan tidak berulang. Demikian pula dengan 2,356783987683... Bilangan-bilangan yang bukan merupakan bilangan rasional disebut bilangan irasional. Termasuk ke dalam bilangan irasional di antaranya adalah , , , dan .

Dari uraian di atas, pengertian bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai berikut:

Ubahlah menjadi bentuk .Penyelesaian:

Misalkan

Jadi,

Buktikan bahwa merupakan bilangan irasional.

Penyelesaian:Andaikan maka terdapat sehingga Pilih pasangan p dan q sehingga merupakan pecahan yang paling sederhana, yaitu jika p dan q saling prima.

Karena p dan q bilangan genap, maka 3 merupakan faktor p dan q. Kontradiksi dengan pemilihan p dan q yang saling prima.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

(Terbukti)

b. Bilangan Bentuk Akar sebagai Bilangan Rasional

Setelah mempelajari pengertian bilangan irasional, sekarang Anda akan mempelajari pengertian dari bilangan bentuk akar.

Bila Anda menarik akar dari suatu bilangan, maka ada tiga kemungkinan dari hasil yang Anda peroleh, yaitu:

Hasilnya berupa bilangan rasional, misalnya dan .

Hasilnya berupa bilangan irasional, misalnya dan , atau

Hasilnya bukan berupa bilangan real, misalnya , dan . Jika Anda menghitung penarikan akar dari kedua bilangan itu dengan menggunakan kalkulator, akan tampil tulisan error pada layar.

Nah, yang dimaksud dengan bilangan bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang menghasilkan bilangan irasional. Dengan demikian, adalah beberapa contoh dari bilangan bentuk akar. Sementara itu, bukan merupakan bilangan bentuk akar.

Dengan demikian, pengertian dari bilangan bentuk akar dapat dinyatakan sebagai berikut:

Manakah di antara bilangan berikut yang merupakan bilangan bentuk akar.

a.

b.

c.

d.

Penyelesaian:a. . Karena , maka bukan merupakan bilangan bentuk akar.

b. . Karena , maka 0 juga bukan merupakan bilangan bentuk akar.

c. . Karena , maka . Oleh sebab itu, merupakan bilangan bentuk akar.

d. . Karena , maka bukan merupakan bilangan bentuk akar.

2. Menyederhanakan Bentuk Akar

Berapakah ? Hasilnya dapat Anda hitung dengan mudah, yaitu . Namun, selain dengan cara tersebut, ada cara lain yang tampak serupa tapi tak sama. Cara itu adalah sebagai berikut:

.

Sepintas, cara kedua tampak tidak praktis. Namun coba bandingkan kedua cara tersebut jika Anda harus menghitung nilai dari . Dengan cara pertama, akan Anda dapatkan bahwa masing-masing akar menghasilkan bilangan irasional, dan tentunya lebih merepotkan. Namun dengan cara kedua, Anda akan mendapatkan bahwa . Perhatikan bahwa dengan cara kedua hasilnya merupakan bilangan rasional.

Uraian di atas sebenarnya bermaksud untuk menunjukkan sifat bahwa . Lebih dari itu, sifat ini dapat diperluas menjadi sifat berikut.

Selain itu, bantuan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan akan membantu dalam menunjukkan sifat berikut:

Kedua sifat tersebut akan banyak kita gunakan dalam menyederhanakan suatu bentuk akar.

Sederhanakan bentuk akar berikut.

a.

c.

b.

Penyelesaian:a.

b.

c.

3. Menyederhanakan bentuk akar di dalam akar

Bagaimana bila Anda diminta untuk menyederhanakan bentuk ? Ternyata, bentuk tersebut dapat Anda sederhanakan menjadi bentuk , dengan . Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut.

dapat dipandang juga dalam bentuk . Dari sini dapat diperoleh bahwa

Jika , maka.

Ubahlah bentuk-bentuk akar berikut menjadi bentuk atau .

1.

2.

Penyelesaian:1. . Karena bentuk sudah menjadi bentuk , maka Anda hanya perlu mencari bilangan a dan b yang memenuhi dan . Dan nilai a dan b yang memenuhi adalah . Sehingga

2. Karena bentuk sudah menjadi bentuk , maka Anda hanya perlu mencari bilangan a dan b yang memenuhi dan . Dan nilai a dan b yang memenuhi adalah dan . Sehingga .

4. Perkalian Bilangan Bentuk Akar

Sifat 1.6 dan sifat 1.7 juga dapat membantu Anda dalam melakukan perkalian bentuk bilangan bentuk akar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Sederhanakanlah perkalian bilangan-bilangan berikut.

a.

c.

b.

d.

Penyelesaian:a.

b. c.

d.

5. Bentuk Akar Sekawan

Perhatikan contoh berikut.

Kalikanlah bentuk-bentuk berikut. a.

b.

Penyelesaian:a.

b.

Bila Anda perhatikan contoh di atas, hasil perkalian tersebut semuanya dapat menghilangkan bentuk akar. Nah, suatu bentuk akar yang apabila dikalikan dengan bentuk akar yang lain dapat menghilangkan tanda akar disebut bentuk akar sekawan dari bentuk akar tersebut.

Dari Contoh 1.11, bentuk akar sekawan dari . Sementara itu, bentuk akar sekawan dari . Demikian pula sebaliknya, bentuk akar sekawan dari . Dengan demikian, dapat Anda simpulkan sifat berikut:

Bentuk akar sekawan seperti ini seharusnya tidak terlalu mengejutkan Anda. Ini karena Anda telah mempelajari dan mengetahui dengan baik bahwa .

6. Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan

Dapatkah Anda memaknai bentuk satuan? Ini artinya 1 satuan dibagi . Dan ini cukup sulit dipahami dan dimaknai, baik secara geometris maupun secara numerik.

Sekarang bandingkan dengan bentuk satuan. Ini artinya setengah dari satuan. Bentuk ini dapat diilustrasikan seperti pada gambar di samping. (Gambar 1.1).Sebenarnya bentuk sama dengan bentuk . Namun secara makna, bentuk yang kedua lebih mudah dipahami dan digambarkan, baik secara geometris maupun secara numerik, daripada bentuk pertama. Adapun bentuk yang kedua merupakan hasil dari merasionalkan penyebut dari bentuk pertama.

Dari uraian di atas, bila ada suatu bilangan yang penyebutnya mengandung bilangan irasional, maka sebaiknya bilangan tersebut diubah sedemikian sehingga penyebutnya adalah bilangan rasional, tanpa mengubah nilai dari bilangan tersebut. Proses untuk mengubah penyebut suatu bilangan sehingga penyebutnya menjadi bilangan rasional disebut proses merasionalkan penyebut suatu pecahan.

Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan adalah dengan mengalikan penyebut tersebut dengan bentuk akar sekawannya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut

Rasionalkan penyebut dari bentuk-bentuk pecahan berikut:

a.

b.

c.

Penyelesaian:a.

b.

Catatan : . Ingat bentuk

c.

7. Bilangan dengan Pangkat Bilangan Rasional

a. Pangkat Bilangan Rasional

Anda telah mengetahui bentuk bentuk berikut..

karena .

, karena .

Selain dengan menggunakan notasi akar (), penarikan akar suatu bilangan juga dapat dinyatakan dengan menggunakan pangkat.

dapat dinyatakan pula sebagai , dan dapat dinyatakan dengan . Dengan demikian, dan .

Secara umum, dapat Anda tuliskan bahwa .

1. Tunjukkan bahwa

2. Hitunglah nilai dari dan .

Penyelesaian:1.

2. . Karena

Catatan :

C. Perpangkatan Bentuk Aljabar

1. Sifat-sifat Perpangkatan Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar adalah bentuk yang memuat variabel. Yang dimaksud dengan variabel adalah suatu bentuk yang tidak ditentukan secara pasti nilainya. Kebalikan dari istilah variabel adalah konstanta, yaitu suatu nilai yang telah diketahui secara pasti. Variabel dalam aljabar biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya dan sebagainya.

Meskipun suatu variabel dapat mewakili nilai berapapun, namun perlu diingat dan diperhatikan dua hal berikut ini, yaitu:

1. penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol, dan

2. nilai di dalam tanda akar pangkat genap (akar pangkat 2, akar pangkat 4, dan seterusnya) selalu bernilai lebih dari atau sama dengan nol .

Kedua rambu tersebut selalu menjadi patokan operasi-operasi dalam bentuk aljabar.

Berbicara mengenai sifat-sifat perpangkatan bentuk aljabar pada dasarnya sama dengan sifat-sifat perpangkatan pada bilangan yang telah kita bahas sebelumnya. Sifat-sifat tersebut adalah:

Selain dari itu, apabila dalam penyederhanaan diharuskan melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan antar bentuk aljabar, maka hanya suku yang sejenis yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Sederhanakan bentuk-bentuk ajabar berikut.

1.

2.

Penyelesaian:1.

2.

2. Persamaan Pangkat Bentuk Aljabar

Selain penyerderhanaan, seringkali masalah suatu bentuk aljabar disajikan dalam bentuk persamaan. Menyelesaikan suatu persamaan artinya Anda diminta untuk menentukan nilai-nilai dari variabel yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai itu bisa hanya satu, bisa juga lebih dari satu. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan-persamaan berikut.

1.

3.

2.

Penyelesaian:1. . Karena , maka

2.

3.

Ingat :

Karena , maka , sehingga didapat

D. Logaritma

1. Logaritma Sebagai Invers Perpangkatan

Jika Anda memakai kemeja dengan suatu proses tertentu (misalnya dengan dimulai dari memasukkan tangan ke lengan baju, mengancingkan kancing baju, dan sebagainya), maka dengan proses sebaliknya, Anda dapat juga melepas kemeja itu. Demikian pula dengan sebuah fungsi. Jika menyatakan fungsi f dengan domain x yang menghasilkan y, maka Anda juga dapat menentukan nilai x jika nilai y dari fungsi itu diketahui.

Misalnya suatu fungsi memetakan setiap himpunan X ke himpunan Y, dengan aturan fungsi . Jika diketahui maka Anda dapat menentukan nilai x yang berpasangan dengan 32. Nilai tersebut adalah , karena .

Menentukan nilai x dari nilai y yang diketahui disebut operasi invers dari suatu fungsi. Singkat kata, jika memakai kemeja merupakan suatu fungsi, maka melepas kemeja merupakan invers dari fungsi tersebut.

...