Upload
trya-wulanabi
View
426
Download
29
Embed Size (px)
Citation preview
Standar Kompetensi:
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, danlogaritma
Kompetensi Dasar:
Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma.
Melakukan manipulasi aljabar dalam hitungan yang melibatkan
pangkat, akar, dan logaritma.
BAB 1
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
1-1 BENTUK PANGKAT NEGATIF
Perkalian bilangan-bilangan yang sama
disebut sebagai perkalian berulang.
Contoh:
2 × 2 × 2 = 23
5 x 5 x 5 = 53
9 x 9 x 9 = 93
A.Pangkat Bulat PositifDefinisi
Jika a adalah bilangan real (a2 R) dan n adalahbilangan bulat positif lebih dari 1, maka a pangkat n(ditulis an) adalah perkalian n buah bilangan a.
an = a × a × a × . . . × a × a × a
perkalian n buah bilangan
Bentuk an adalah bentuk bilangan berpangkat denganbulat positif.
a disebut bilangan pokok atau basis
n (bilangan asli 1) disebut pangkat atau eksponen
Catatan:• Jika n = 1 maka an = a1 = a.
• Jika n = 0 maka:
• untuk a 0, maka a0 = 1,
• untuk a = 0, maka 00 tidak terdefinisi.
Contoh
a4 = a × a × a × a = aa3 a × a × a
Jadi, a4 = a a3
ap : aq = ap-q
dengan a R, p dan q adalah bilangan-bilangan bulat positif.
B. Pangkat Bulat Negatif
Misalkan a R dan a 0, maka a-n adalah kebalikan darian atau sebaliknya.
Definisi
1 1
an a-na-n= an=atau
Contoh:
Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentukpangkat bulat positif!
3 × 5-2 3 × 1
52
3
52= = 3
b-6= 4b6a) b)
1-2 BENTUK AKAR DAN PANGKAT PECAHAN
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasionalyang hasilnya merupakan bilangan irasional.
1-2-1 Bentuk Akar
Contoh:
bukan bentuk akar, sebab = 3 (bilanganrasional)
a)
bukan bentuk akar sebab = 0,5 (bilanganrasional)
b)
Menyederhanakan Bentuk Akar
Untuk setiap a dan b bilangan positif, maka berlaku:
Dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentukkuadrat murni.
baba (
Contoh:
abaabaababa 2444 223
36336)336(108 a.
b.
1-2-2 Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, maka berlaku hubungan
dan
cbacbca )(
cbacbca )(
Contoh:
363)253(323533
A. Perkalian Bentuk Akar
a dan b masing-masing bilangan positif
)( baba
Contoh:
34488686
B. Menarik Akar Kuadrat
)(2)( baabba
)(2)( baabba
Menarik akar kuadrat dapat dilakukan dengan bentuk:
atau
Contoh:
232.32)23(625 a.
b. 232.32)23(625
1-2-3 Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan
A. Pecahan Berbentukb
a
b
ba
b
b
b
a
b
a
Contoh:
323
36
3
3
3
63
6
b
B. Pecahan Berbentukba
c
atau
ba
c
ba
bac
ba
ba
ba
c
ba
c
2
)(
ba
c
Pecahan diubah menjadi
ba
bac
ba
ba
ba
c
ba
c
2
)(
ba
c
Pecahan diubah menjadi
Contoh:
)12(212
)12(2
12
12
12
2
12
2
)323(43
)23(3
23
23
23
3
23
3
C. Pecahan Berbentukba
c
atau
ba
c
Penyebut pecahan yang berbentuk dapat dirasionalkandengan cara: ba
c
ba
bac
ba
ba
ba
c
ba
c
)(
Pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan
menjadi
ba
c
)( ba a.
Contoh:
)23(323
)23(3
23
23
23
3
23
3
ba
bac
ba
ba
ba
c
ba
c
)(
Pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan
menjadi
ba
c
)( ba b.
Contoh:
)155(2
1
35
)35(5
35
35
35
5
35
5
1-2-4 Pangkat Pecahan
Pangkat Pecahan
Misalkan n bilangan bulat positif, a dan bbilangan-bilangan real sehingga berlakuhubungan bn = a, maka b disebut akar pangkatn dari a.
nn abab
1. Jika a 0 maka 0.
2. - Jika a 0 dan n ganjil, maka 0.
- Jika a 0 dan n genap, maka bukan
bilangan real.
n an a
n a
Definisi Pangkat Pecahan
Misalkan a bilangan bilangan real tidak nol dan n bilanganpositif, maka pangkat pecahan sama akar pangkat n dari bilangan a.
merupakan bilangan real.
na
1
nn aa 1
n a
na
1
Contoh:
44161616 222
1
Definisi Pangkat PecahanMisalkan a bilangan bilangan real tidak nol dan n bilangan
asli ≥ 2, maka pangkat pecahan sama akar pangkat n
dari bilangan a.
merupakan bilangan real.
n
m
a
n mn
m
aa
n ma
n
m
a
Contoh:
2)2(6416 6 666
1
1-3 Sifat-sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Jika a dan b bilangan real serta n, p, dan q bilanganbulat positif, maka berlaku:
a)qpqp aaa
dengan p qb)qpqp aaa :
c)qpqp aa )(
d)nnn baba )(
dengan b 0e)n
nn
b
a
b
a
f) 00 n
1-3-2 Sifat-sifat Pangkat Rasional
Jika a dan b R (a ≠ 0), p dan q bilangan rasional, maka berlaku:
a)qpqp aaa
b)qpqp aaa :
d)qpqp aa )(
c)ppp baba )(
e)p
pp
b
a
b
a
Logaritma merupakan invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
Misalkan a bilangan positif (a > 0) dan g bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < g < 1)
glog a = x jika dan hanya jika gx = a
dengan:
• g disebut bilangan pokok atau basis logaritma
• a disebut numerus
• x disebut hasil logaritma
Pengertian Logaritma
1. gLog gn = n
2. glog g = 1
3. glog 1 = 0
Sifat-sifat Logaritma
Contoh:
225log255 52 a)
236
1log
36
16 62 b)
glog (a b) = glog a + glog b
Contoh:
1. 2 log 4 + 2 log 8 = 2 log (4 8)
= 2 log 32
= 5
2. 5 log + 5 log 8 = 5 log ( 50)
= 5 log 25
= 2
12
12
Sifat 1
glog ( ) = glog a glog ba b
Contoh:
1. 7log 217 + 7log 31 = 7log ( )
= 7log 7
= 1
217
31
2. log 0,04 log 4 = log ( )
= log 0,01
= -2
0,04
4
Sifat 2
glog an = n glog a
Contoh:
2log 25 3log 5 + log 20 = log 252 log 53 + log 20
= ( ) + log 20
= log ( 20)
= log 100
= 2
252
52
52
252
Sifat 3
Mengubah bilangan pokok logaritma:
Jika p = a, sifat logaritma di atas menjadi:
g log a = p log a
p log g
g log a = a log g
1
Sifat 4
Contoh:
a3
13log
3
1
2log
3log
3
1
2log
3log
8log
3log3log 2
3
8 a.
b.a
1
3log
12log
2
3
Sifat 5i)
ii)
bba gag logloglog
an
ma gmg n
loglog
iii) aa gngn
loglog
Contoh:
62log64log64log5log 62252 a.
b. i) a23log2
43log81log 2424 2
ii) a 3log3log27log 2328 3
Sifat 6
ag ag
log
Contoh:
a) 52 5log2
b) 105 10log5
c) 257 25log7