27
Standar Kompetensi: Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Kompetensi Dasar: Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma. Melakukan manipulasi aljabar dalam hitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma. BAB 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

  • Upload
    mfebri26

  • View
    14.385

  • Download
    14

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

Standar Kompetensi:

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma

Kompetensi Dasar:

Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma.

Melakukan manipulasi aljabar dalam hitungan yang melibatkan

pangkat, akar, dan logaritma.

BAB 1

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

Page 2: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

1-1 BENTUK PANGKAT NEGATIF

Perkalian bilangan-bilangan yang

sama disebut sebagai perkalian

berulang. Contoh:

2 × 2 × 2 = 23

5 x 5 x 5 = 53

9 x 9 x 9 = 93

Page 3: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

A.Pangkat Bulat PositifDefinisiJika a adalah bilangan real (a2 R) dan n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka a pangkat n (ditulis an) adalah perkalian n buah bilangan a.

an = a × a × a × . . . × a × a × a

perkalian n buah bilangan

Bentuk an adalah bentuk bilangan berpangkat dengan bulat positif.

a disebut bilangan pokok atau basis

n (bilangan asli 1) disebut pangkat atau eksponen

Page 4: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

Catatan:• Jika n = 1 maka an = a1 = a.• Jika n = 0 maka:

• untuk a 0, maka a0 = 1,• untuk a = 0, maka 00 tidak terdefinisi.

Contoh

a4 = a × a × a × a = aa3 a × a × aJadi, a4 = a

a3

ap : aq = ap-q

dengan a R, p dan q adalah bilangan-bilangan bulat positif.

Page 5: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

B. Pangkat Bulat Negatif

Misalkan a R dan a 0, maka a-n adalah kebalikan dari an atau sebaliknya.

Definisi

1 1an a-n

a-n= an=atau

Contoh:

Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk pangkat bulat positif!

3 × 5-2 3 × 1

52

3

52

= = 3b-6

= 4b6a) b)

Page 6: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

1-2 BENTUK AKAR DAN PANGKAT PECAHAN

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.

1-2-1 Bentuk Akar

Contoh:

bukan bentuk akar, sebab = 3 (bilangan rasional)

a)

bukan bentuk akar sebab = 0,5

(bilangan rasional)

b)

Page 7: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

Menyederhanakan Bentuk Akar

Untuk setiap a dan b bilangan positif, maka berlaku:

Dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

baba (

Contoh:

abaabaababa 2444 223

36336)336(108 a.

b.

Page 8: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

1-2-2 Operasi Aljabar pada Bentuk AkarUntuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, maka berlaku hubungan

dan

cbacbca )(

cbacbca )(

Contoh:

363)253(323533

Page 9: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

A. Perkalian Bentuk Akar

a dan b masing-masing bilangan positif

)( baba

Contoh:

34488686

Page 10: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

B. Menarik Akar Kuadrat

)(2)( baabba

)(2)( baabba

Menarik akar kuadrat dapat dilakukan dengan bentuk:

atau

Contoh:

232.32)23(625 a.

b. 232.32)23(625

Page 11: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

1-2-3 Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan

A. Pecahan Berbentuk b

a

b

ba

b

b

b

a

b

a

Contoh:

323

36

3

3

3

63

6

b

Page 12: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

B. Pecahan Berbentuk ba

c

atau

ba

c

ba

bac

ba

ba

ba

c

ba

c

2

)(

ba

c

Pecahan diubah menjadi

ba

bac

ba

ba

ba

c

ba

c

2

)(

ba

c

Pecahan diubah menjadi

Contoh:

)12(212

)12(2

12

12

12

2

12

2

)323(43

)23(3

23

23

23

3

23

3

Page 13: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

C. Pecahan Berbentuk ba

c

atau

ba

c

Penyebut pecahan yang berbentuk dapat dirasionalkan dengan cara: ba

c

ba

bac

ba

ba

ba

c

ba

c

)(

Pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan

menjadi

ba

c

)( ba a.

Contoh:

)23(323

)23(3

23

23

23

3

23

3

Page 14: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

ba

bac

ba

ba

ba

c

ba

c

)(

Pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan

menjadi

ba

c

)( ba b.

Contoh:

)155(2

1

35

)35(5

35

35

35

5

35

5

Page 15: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

1-2-4 Pangkat PecahanPangkat Pecahan

Misalkan n bilangan bulat positif, a dan b bilangan-bilangan real sehingga berlaku hubungan bn = a, maka b disebut akar pangkat n dari a.

nn abab

1. Jika a 0 maka 0.

2. - Jika a 0 dan n ganjil, maka 0.

- Jika a 0 dan n genap, maka bukan

bilangan real.

n an an a

Page 16: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

Definisi Pangkat Pecahan

Misalkan a bilangan bilangan real tidak nol dan n bilangan positif, maka pangkat pecahan sama akar pangkat n dari bilangan a.

merupakan bilangan real.

na1

nn aa 1

n a

na1

Contoh:

44161616 222

1

Page 17: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

Definisi Pangkat Pecahan Misalkan a bilangan bilangan real tidak nol dan n bilangan

asli ≥ 2, maka pangkat pecahan sama akar pangkat n

dari bilangan a.

merupakan bilangan real.

n

m

a

n mn

m

aa n ma

n

m

a

Contoh:

2)2(6416 6 666

1

Page 18: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

1-3 Sifat-sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Jika a dan b bilangan real serta n, p, dan q bilangan bulat positif, maka berlaku:

a)qpqp aaa

dengan p qb)qpqp aaa :

c)qpqp aa )(

d)nnn baba )(

dengan b 0e)n

nn

b

a

b

a

f) 00 n

Page 19: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

1-3-2 Sifat-sifat Pangkat Rasional

Jika a dan b R (a ≠ 0), p dan q bilangan rasional, maka berlaku:

a)qpqp aaa

b)qpqp aaa :

d)qpqp aa )(

c)ppp baba )(

e)p

pp

b

a

b

a

Page 20: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

Logaritma merupakan invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Misalkan a bilangan positif (a > 0) dan g bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < g < 1)

glog a = x jika dan hanya jika gx = a

dengan:• g disebut bilangan pokok atau basis logaritma• a disebut numerus• x disebut hasil logaritma

Pengertian Logaritma

Page 21: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

1. gLog gn = n

2. glog g = 1

3. glog 1 = 0

Sifat-sifat Logaritma

Contoh:

225log255 52 a)

236

1log

36

16 62 b)

Page 22: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

glog (a b) = glog a + glog b

Contoh:

1. 2 log 4 + 2 log 8 = 2 log (4 8) = 2 log 32 = 5

2. 5 log + 5 log 8 = 5 log ( 50)

= 5 log 25 = 2

12

12

Sifat 1

Page 23: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

glog ( ) = glog a glog ba b

Contoh:

1. 7log 217 + 7log 31 = 7log ( )

= 7log 7 = 1

21731

2. log 0,04 log 4 = log ( )

= log 0,01

= -2

0,044

Sifat 2

Page 24: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

glog an = n glog a

Contoh:

2log 25 3log 5 + log 20 = log 252 log 53 + log 20

= ( ) + log 20

= log ( 20)

= log 100

= 2

252

52

52

252

Sifat 3

Page 25: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

Mengubah bilangan pokok logaritma:

Jika p = a, sifat logaritma di atas menjadi:

g log a = p log a p log g

g log a = a log g

1

Sifat 4

Contoh:

a3

13log

3

1

2log

3log

3

1

2log

3log

8log

3log3log 2

38 a.

b.a

1

3log

12log

23

Page 26: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

Sifat 5i)

ii)

bba gag logloglog

an

ma gmg n loglog

iii) aa gng n loglog

Contoh:

62log64log64log5log 62252 a.

b. i) a23log2

43log81log 2424 2

ii) a 3log3log27log 2328 3

Page 27: Bab 1 bentuk pangkat, akar & logaritma

Sifat 6

ag ag

log

Contoh:

a) 52 5log2

b) 105 10log5

c) 257 25log7