BAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi

A. Elastisitas

Elastisitas merupakan persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.

Elastisitas Permintaan ElastisitasPermintaanadalah besarnyaperubahanjumlah

permintaanbarang,akibat adanya perubahan harga.

· Rumuselastisitaspermintaan

(d)dQP

(Q)d =dP.d ,

Ket : Qd fungsi permintaan , P Harga

Permintaan suatu barang dikatakan bersifat:

Elastis jika d > 0 jika harga barang tersebut berubah sebesar presentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah dengan persentase yang lebih besar daripada perubahan harganya

Inelastis jika d < 0 jika harga barang tersebut berubah sebesar presentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah dengan persentase yang lebih kecil daripada perubahan harganya

Uniter jika d = 0 jika harga barang tersebut berubah sebesar presentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah dengan persentase yang sama dengan perubahan harganya

Contoh:Fungsipermintaanakansuatu barang Q = 25 – 3 P 2

Tentukanelastisitaspermintaannyapada tingkat harga P = 5.

Jawab :

dQd P

(d)d =dP.Q

= ( - 6 P )

P

25 3P 2

= - 6 (5)

(5)

25 3(5)2= 3

d = 3 ( elastis ) artinya pada kedudukan harga P = 5, jika harga barang naik sebesar 1 %, maka permintaannya akan

turun sebanyak 3% .

Elastisitas Penawaran

adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan, jika ada perubahan harga

· Rumus Elastisitas Penawaran

(.) () (s)dQs P

s =dPQ

Ket : Qs fungsi penawaran , PHarga

Penawaran suatu barang dikatakan bersifat:

Contoh:Fungsipenawaransuatubarang diperlihatkan Q = - 200 + 7 P 2

Tentukanelastisitaspenawarannya, pada tingkat harga P = 10

Jawab :

dQs

(=)sdP

P

.Qs

= ( 14 P )

P

200 7P 2

PadaP=10 s

2,8 ( elastis )

=(14)(10)

(10)

(=) 200 (7)(10)2

s = 2,8 artinya pada kedudukan harga P

= 10, jika harga barang naik 1 % , maka jumlah barang yang ditawarkan juga akan naik sebanyak 2,8 %.

Elastisitas Produksi

Elastisitas Produksi adalah besarnya perubahan jumlah output yang dihasilkan, karena adanya perubahan jumlah input.

· Rumus Elastisitas Produksi

p =

dP x

dx.P

Ket : Pjumlah produk yang dihasilkan (output)

xjumlahfaktorproduksiyang digunakan (input)

Contoh : Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan P = 6 X2 – X3 Hitung elastisitas produksinya, pada tingkat penggunaan faktor produksi (input) sebesar X = 3

· Jawab : p

dP x

= dx.P =

X

2

( 12 X – 3 X

)6 X 2 X 3

· (p)Pada X = 3 =

· ( 12 . 3 – 3 . 3 2 ) 6(3)2

3

(3)3 = 1

· p = 1 (uniter) artinya pada tingkat penggunaan input X = 3 , jika input ditambah 1 %, maka jumlah produksi

(output) juga akan bertambah 1 %.

B. Biaya Marjinal dan Penerimaan Marjinal

1. Biaya Marjinal

Biaya Marjinal ( MC ) adalah besarnya biaya yang harus ditambahkan , jika jumlah produksi ditambah 1 unit.

dC

· Rumus biaya marjinalMC = TCI =dQ

MC minimum jika MCI = 0

dan

Contoh :

Biaya total (TC) = f (Q) = Q 3 – 3 Q 2 + 4 Q + 4 Biaya Marjinal (MC) = TC ‘ = 3 Q 2 – 6 Q + 4 Pada tingkat produksi/ penjualan berapakah biaya marjinal minimum ? Berapa besarnya biaya marjinal minimum tersebut ?

· Jawab = MC minimumpada MC ‘ = 0

MC ‘ = 6 Q – 6 = 0 6 Q = 6 Q = 1 MC

minimum

MC minimum = 3 Q 2 – 6 Q + 4 = 3 ( 1 ) 2 –

6 ( 1 ) + 4 = 6

· Jadibesarnyabiayamarjinalminimum sebesar RP. 6 pada tingkat produksi 1 unit.

2. Penerimaan Marjinal

Penerimaan Marjinal adalah besarnya tambahan penerimaan, jika jumlah produksi atau barang yang terjual bertambah 1 unit

· RumuspenerimaanmarjinalMR=TRI=

dR

dQdan TR maks. Jika MR = 0

· Contoh:fungsipermintaansuatubarang

P = 16 – 2 Q

Berapakah besarnya penerimaan maksimum ?

Jawab :

Fungsi Penerimaan Total (TR) = P.Q = (16 – 2 Q) (Q) = 16 Q – 2 Q 2

Penerimaan Marjinal (MR) = TR ‘ = 16 – 4 Q

TR akan maksimum jika MR = 0 16 – 4 Q = 0

4 Q = 16 Q = 4

TR Maks. = 16 Q – 2 Q 2 = 16 (4) – 2 (4) 2 = 32

· Jadibesarnyapenerimaantotalmaksimum sebesar Rp. 32,00

C. Utilitas Marjinal

· Utilitas marginal (MU)utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap unit barang yang dikonsumsi.

· Fungsi utilitas total dinyatakan dengan U= f(Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marginal :

MU = U’ = dU / dQ

· Kurva utilitas marginal (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya.

Contoh :

U = f(Q) = 90Q – 5Q2 MU = U’ = 90 – 10Q

U maksimum pada MU = 0 MU = 0

Sehingga nilai Q = 9

Maka, Umaksimum = 90(9) – 5(9)2

=810 – 405= 405

D. Produk Marjinal

· Produk marginal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan.

· Secara matematik fungsi produk marjinal merupakan derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan P = f(x) dimana P melambangkan jumlah produk total dan x adalah jumlah masukan,

· Maka produk marginal : MP = P’ = dp/ dx

· Contoh:

Produksi totalP = f(x) = 9x2 – x3 produk marjinalnya adalah

MP = P’ = 18x – 3x2

Sehingga Pmaksimumpada P’ = 0 yaitu pada x = 6 dengan Pmaksimum = 108

P berada dititik belokdan MP maksimum pada P’’ = (MP)’ = 0 yaitu pada x = 3

E. Analisis Keuntungan Maksimum

Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum atau memberikan kerugian maksimum dapat diselidiki dengan pendekatan diferensial.

(Fungsi keuntungan( ) = TR – TC akan optimum jika I = 0’’<0maksimum=keuntunganmaksimum ’’> 0 minimum = kerugian maksimum)

Contoh :

jika fungsi penerimaan TR = - 2 Q 2 + 1000 Q Dan fungsi biaya total TC = Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000

Berapakahtingkatkeuntungan maksimum ?

Jawab :

= TR – TC =(- 2 Q 2 + 1000 Q) – (Q 3 – 59 Q 2

+ 1315 Q + 2.000)

= - Q 3 + 57 Q 2 - 315 Q – 2.000

Agar keuntungan maks. ’ = 0

’ = - 3 Q 2 + 114 Q – 315 = 0

- Q 2 + 38 Q – 105 = 0

( - Q + 3 ) ( Q – 35 ) = 0 Q 1 = 3 dan Q 2 = 35

’’ = - 6 Q + 114

pada Q = 3 ’’ = - 6 Q + 114 = - 6 ( 3 ) + 114

=96 > 0

berartipadaQ=3,makakerugianakan maksimum.

pada Q = 35 ’’ = - 6 Q + 114 = - 6 ( 35 ) + 114 = - 96 < 0

berartipadaQ=35,makakeuntungan akan maksimum

= - Q 3 + 57 Q 2 - 315 Q – 2.000 = (- 35) 3 +

57 (35) 2 – 315 (35) – 2.000

= 13.925

jadi keuntungan maksimum sebesar Rp. 13.925,00 pada jumlah penjualan sebanyak 35 unit.

Bab 4. Diferensial Fungsi Majemuk

Diferensiasi fungsi majemuk diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas.

A. Diferensial Parsial

DiferensialParsialdiferensiasi

secara bagian demi bagian

· Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas, maka turunannya akan lebih dari satu macam pula. Misal, fungsi memiliki n macam variabel bebas, maka ia akan memiliki n macam turunan.

Contoh :

y f

(x, z)

()a)

y'...?

y fx (x, z) x

y

b)

fx (x, z) z

Diferensiasi Total:

dy

y dx

x

y dz

z

Contoh:

B. Derivatif dari Derivatif Parsial Masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi

C. Nilai Ekstrim

D. Optimasi Bersyarat

Apabilafungsiingindioptimumkan

tetapi terhambat oleh fungsi lain yang harus dipenuhi, maka dapat diselsaikan dengan metode :

Pengganda Lagrange

Contoh:

Kondisi Kuhn-Tucker

Referensi :

http://rosihan.web.id