Bab IVFaktorisasi QR4.1 PendahuluanFaktorisasi QR dari matrik A
berukuran m x n adalah penguraian matrik A menjadiA = Q Rdimana Q
Rm x m adalah orthogonal dan R Rm x n segitiga atas. Faktorisasi
ini sering juga disebutfaktorisasi orthogonal(orthogonal
factorization). Ada beberapa cara yang digunakan untuk menghitung
faktorisasi QR ini, antara lain:
HouseholderReflection,GivensRotation,Gram-SchmidtdanModifiedGram-Schmidt.4.2
Faktorisasi QR Sebagai Suatu Masalah TransformasiFaktorisasi A = QR
dapat ditulis sebagai QTA = R, karena Q adalah matrik orthogonal.
Bentuk QTA = R ini dapat dilihat sebagai suatu transformasi dengan
matriktransformasi QT. Sehingga, persoalanfaktorisasi QRdapat
jugadilihat sebagai suatupersoalantransformasi, yaitumencari
matriktransformasi yang orthogonal (Q) sedemikian sehingga QTA = R,
dimana R adalah matrik segitiga atas. Contoh 1:1111]1
1111]1
0 0 00 00xx xx x xx x xx x xx x xx x xQTHM, Rev. November,
2011Bab IV - 1Ada beberapa cara untuk mencari matrik transformasi
QT, antara lain: (1) menggunakan prinsip pencerminan (reflection),
disebut Householder reflection, dan (2) Menggunakan prinsip rotasi
(rotation), disebut Given rotation. Pencerminan dan Rotasi Pada
R2Matrik standar untuk suatu pencerminan pada garis yang memiliki
sudut berlawanan jarum jam terhadap sumbu x adalah (lihat lat. 4.2
no 23 buku aljabar linear elementer, Howard Anton):1]1
2 cos 2 sin2 sin 2 cosTQdan matrik standar untuk rotasi sebesar
0 berlawanan arah jarum jam adalah1]1
cos sinsin cosTQKedua matrik diatas adalah orthogonal dan dapat
digunakan untuk membuat nol nilai-nilai
padasuatuvektordenganmemilihgarispencerminan dan sudut rotasi yang
sesuai.Contoh 2:Misal x = T) 3 , 1 ( . 1) Jika kita pilih garis
dengan sudut 15oterhadap sumbu x sebagai garis pencerminan, maka
matrik transformasi dari pencerminan ini adalah:1]1
1]1
2 / 3 2 / 12 / 1 2 / 330 cos 30 sin30 sin 30 cos0 00 0TQMaka
QTx=(2, 0)T, atauQTakanmentransformasikanxmenjadi vektor dengan
komponen nol pada nilai keduanya. HM, Rev. November, 2011Bab IV -
22) Jika kita pilih sudut rotasinya adalah 60o, maka matrik
transformasi dari rotasi ini adalah:1]1
1]1
2 / 1 2 / 32 / 3 2 / 1) 60 ( cos ) 60 sin() 60 ( sin ) 60 ( cos0
00 0TQMakaQTx=(2, 0)T, atauQTakanmentransformasikanxmenjadi vektor
dengan komponen nol pada nilai keduanya.Dua fenomena diatas menjadi
dasar ide pengembangan metode Householder reflectiondanGiven
rotationdalammencari matrik Qdari faktorisasi QR.
YaitumatrikQdimanaQTdapatmentransformasikanmasing-masing vektor
kolomAmenjadi vektor kolommatrikRyangbernilai nol dibawah diagonal
utamanya. 4.3 Householder ReflectionDefinisi. Misal v Rnadalah
vektor tidak nol.Matrik P berukuran n x n dalam bentuk P = I - 2vvT
/ vTvdisebutmatrik Householderdan vektor v disebutvektor
Householder. Theorema. Matrik Householder P adalah matrik yang
simetri dan orthogonal. Sehingga invers dari matrik tersebut adalah
dirinya sendiri.HM, Rev. November, 2011Bab IV - 3Bukti. Misal
w=v/||v|| yaitusuatuvektorsatuan. MakaPbisaditulis sebagai P = I -
2wwT. Dari sini terlihat bahwa P simetri. Kemudian karena w adalah
vektor satuan (||w|| = 1) maka P orthogonal, karena PTP= (I - 2wwT)
(I - 2wwT) = I - 4wwT + 4wwTwwT = ITheorema. Misale1adalah vektor
yang bernilai nol semua kecuali komponen pertama yang bernilai 1.
Maka matrik Householder P = I - 2vvT/vTv dimana vektor v = x
t||x||e1, akan mentransformasikan x menjadi suatu vektor yang
bernilai nol semua kecuali komponen pertamanya. Bukti. Misal
diberikan x Rn maka kita inginkan bahwa Px = e1. Untuk sembarang x
Rn kita dapatkanvv vx vx xv vvvI PxTTTT2 2
,_
sehingga Px span{e1} (= direntang e1) dan berimplikasi v span{x,
e1}. Dari kondisi itu jika kiat buat v = x + e1 makavTx = xTx +
x1dan vTv = xTx + 2x1 + 2sehingga,1211222 1 ev vx vxx x xx x
xPxTTTT
,_
+ ++ Agar supaya koefisien x bernilai nol, ini tujuannya supaya
hanya nilai ke-1 saja yang tidak bernilai nol, maka kita buat =
t||x||, sehingga v = x t ||x|| e1HM, Rev. November, 2011Bab IV -
4Contoh 3:Misal x = (3, 4)T, selanjutnya untuk membentuk matrik
Householder yang akan mentransformasikan x menjadi suatu vektor
dengan semua komponen bernilai nol kecuali komponen pertamanya
adalah sbb:(1) Menggunakan tanda positip, yaitu
,_
,_
+
,_
+ 48015431e x x v, dan1]1
1]1
1]1
1]1
1]1
6 . 0 8 . 08 . 0 6 . 04 . 0 8 . 08 . 0 6 . 11 00 116 3232 648021
00 12v vvvI PTTsehingga Px = (-5, 0)T(2) Menggunakantandanegatip,
yaitu
,_
,_
,_
42015431e x x v, dan1]1
1]1
1]1
1]1
1]1
4 . 0 8 . 08 . 0 6 . 04 . 1 8 . 08 . 0 4 . 01 00 116 88 42021 00
12v vvvI PTTsehingga Px = (5, 0)TContoh 4:1. Jika x = (21, 5, 4)T
maka
,_
,_
+
,_
+ 459545 . 420019545 . 2145211e x x vdan 111]1
0.98300.0212 -0.1822 -0.0212 -0.97350.2277 -0.1822 -0.2277
-0.9565 -v vvvI PTT21sehingga P1x = (-21.9545, 0, 0)THM, Rev.
November, 2011Bab IV - 52. Jika x = (21, 5, 4)T merupakan kolom
pertama dari suatu matrik, misal:A = 111]1
4 47 57 21Maka perkalian P1dan A akan membuat nol nilai-nilai
dibawah diagonal utama pada kolom pertama, yaitu:P1A = 111]1
3560 . 5 0000 . 03051 . 5 0000 . 05611 . 7 9545 . 21Algoritma
Faktorisasi QR Dengan Householder ReflectionAlgoritma. Jika
diberikanmatrik ARm x nmaka prosedur berikut akan membentuk
faktorisasi QR dari A, yaitu A = QR. Tahap 1:Tentukan t buah matrik
Householder (Pi) yang akan mentransformasikanmatrikAmenjadi
matriksegitiga atas (R), yaitu:Pt P2 P1 A = RIlustrasi untuk matrik
A berukuran 5 x 3:111111]1
111111]1
111111]1
111111]1
0 0 00 0 00 000 00 00 0000003 2 1xx xx x xxxxx xx x xx xx xx xx
xx x xx x xx x xx x xx x xx x xAP P PHM, Rev. November, 2011Bab IV
- 6Tahap 2: Karena Piadalah matrik simetri danorthogonal maka
A=P1P2PtR. Selanjutnya, kitadapat membentuk faktorisasi A = QR,
dimana Q = P1 P2 Pt Rm x m adalah matrik orthogonal dan R
Rmxnadalah matrik segitiga atas yang berukuran sama dengan matrik
A.Contoh 5:Tentukan faktorisasi QR dari matrik:A = 111]1
4 47 57 21Jawab:Tahap 1: Menentukan 2 buah matrik Householder(1)
Dari contoh 4 diperoleh P1 =111]1
0.98300.0212 -0.1822 -0.0212 -0.97350.2277 -0.1822 -0.2277
-0.9565 -Sehingga P1A = 111]1
3560 . 5 0000 . 03051 . 5 0000 . 05611 . 7 9545 . 21(3) Untuk
membuat P1A menjadi segitiga atas maka kita harus membuat nol
elemen (3,2). Karena matrik Householder akan mentransformasikan
suatuvektor menjadi vektor yangbernilai nol kecuali komponen
pertamanya, maka untuk membuat nol elemen (3,2) dari matrik
P1Adiatas, kita pilihvektor x=(5.3051, -5.3560)T. HM, Rev.
November, 2011Bab IV - 7Selanjutnya lakukan prosedur seperti Contoh
3, no 1, untuk menentukan vektor dan matrik Householder, yaitu:
,_
,_
+
,_
+ 3560 . 58437 . 12015386 . 73560 . 53051 . 51e x x
vSupayamatrikHouseholder yangdibentukakanmembuat nol nilai dibawah
diagonal utama dari kolom dua, maka kita buat v = (0.0000, 12.8437,
-5.3560)TSelanjutnya kita peroleh 111]1
0.7037 0.71050.00000.7105 0.7037 -0.00000.0000 0.00001.000022v
vvvI PTTSehingga P2P1A = 111]1
0000 . 0 0000 . 05386 . 7 0000 . 05611 . 7 9545 . 21Tahap 2:
Menentukan matrik Q dan R- Q = P1P2 = 111]1
0.67670.71330.1822 -0.67670.7001 -0.2277 -0.2900 -0.03080.9565
-- R = 111]1
0000 . 0 0000 . 05386 . 7 0000 . 05611 . 7 9545 . 21Teknik
Implementasi Vektor HouseholderAlgoritma. Dalam implementasi ke
program komputer, untuk menghidari saling meniadakan maka
tandatpada formula vektor Householder v dipilih sama dengan tanda
dari komponen ke-1 dari x, sehingga v menjadi berbentukHM, Rev.
November, 2011Bab IV - 8v = x + sign(x1) ||x|| e1selanjutnya, untuk
efisiensi space memori maka v dinormalkan sehingga komponen pertama
v bernilai 1 atau v(1) = 1.Algoritma berikut ini akan menghitung
vektor v :Langkah 1: n = panjang(x), = ||x|| = 2 2221 nx x x + + +
Langkah 2: Jika 0 maka = x(1) + sign(x(1)) ,v(2:n) = x(2:n)/Langkah
3: v(1) = 1Contoh 6:Jika x = (21, 5, 4)T makaLangkah 1:n = 3, =
||x|| = 21.9545Langkah 2: = x(1) + sign(x(1)) = 21 + 21.9545 =
42.9545v(2) = x(2)/ = 5/42.9545 = 0.1164v(3) = x(3)/ = 4/42.9545 =
0.0931Langkah 3:v(1) = 1Sehingga v = (1.0000, 0.1164, 0.0931)THM,
Rev. November, 2011Bab IV - 94.4 Givens RotationMatrikGiven,
disebut jugaGivenrotationatauGiventransformation, adalah matrik
yang berbentuk:G(i, k, ) = k ikic ss c111111111]1
1 0 0 00 00 00 0 0 1 dimana c = cos dan s = sin . Matrik Given
jelas orthogonal karena GTG = I.Perkalian suatu vektor x dengan
G(i, k, )T, yaitu G(i, k, )Tx, adalah suatu rotasi dengan sudut
berlawanan arah jarum jam pada bidang koordinat (i,k).Contoh
7:Matrik Given berukuran 2 x 2 akan berbentuk:G(1, 2, ) = 1]1
1]1
cos sinsin cosc ss c dan G(1, 2, )T = 1]1
cos sinsin cos.Sehingga G(1, 2, )Tx =1]1
1]1
21cos sinsin cosxx merupakan suatu rotasi dengan sudut
berlawanan arah jarum jam pada bidang koordinat (x1, x2).HM, Rev.
November, 2011Bab IV - 10Misal x Rn, maka perkalian x dengan matrik
Given G(i, k, )T adalah: 111111111]1
+111111111]1
111111111]1
111111111]1
nk ik inkinkixcx sxsx cxxxxxxc ss cyyyy 1 1 11 0 0 00 00 00 0 0
1 atau' + k i j jika xk j jika cx sxi j jika sx cxyjk ik ij,Dari
formula diatas, kita dapat membuat nilai yk menjadi nol yaitu
dengan cara membuat nilai2 2 2 2k ikk iix xxs danx x xc++Contoh
8:Jika x = (1, 2, 3, 4)T dan kita ingin membuat nol elemen
terakhir. Jika kita pilih i = 3 dan k = 4, maka5416 945316
932423424233++ ++x xxs danx x xcsehinggaG(3, 4)T = 1111]1
5 / 3 5 / 4 0 05 / 4 5 / 3 0 00 0 1 00 0 0 1, dan G(3, 4)Tx =
1111]1
1111]1
1111]1
052143215 / 3 5 / 4 0 05 / 4 5 / 3 0 00 0 1 00 0 0 1HM, Rev.
November, 2011Bab IV - 11Algoritma Faktorisasi QR Dengan Given
RotationAlgoritma. Jika diberikanmatrik ARm x nmaka prosedur
berikut akan membentuk faktorisasi QR dari A, yaitu A = QR. Tahap
1:Tentukan t buah matrik Given (Gi) yang akan membuat matrik A
menjadi segitiga atas (R), yaitu:R A G G GT T Tt1 2Ilustrasi untuk
matrik A berukuran 4 x 3:Rxx xx x xxxx xx x xxx xx xx x xx xx xx xx
x xx xx xx x xx x xx xx x xx x xx x xx x xx x xx x xx x xATT T TT
TGG G GG G1111]1
1111]1
1111]1
1111]1
1111]1
1111]1
1111]1
0 0 00 000 00 000 000000000) 4 , 3 () 3 , 2 ( ) 4 , 3 ( ) 2 , 1
() 3 , 2 ( ) 4 , 3 (Tahap 2: Karena Giadalah matrik orthogonal maka
A = R G G Gt t 1 1 . Selanjutnya, kita dapat membentuk faktorisasi
A=QR, dimanaQ=t tG G G1 1 Rmx m adalah matrik orthogonal dan R
Rmxnadalah matrik segitiga atas yang berukuran sama dengan matrik
A.HM, Rev. November, 2011Bab IV - 12Contoh 9:Tentukan faktorisasi
QR dari matrik:A = 111]1
4 47 57 21Jawab:Tahap 1: Menentukan 3 buah matrik Given(1)Misal
x = (21, 5, 4)T, untuk membuat nol komponen ketiga ambil i = 2 dan
j = 3, sehingga:6247 . 016 2547809 . 016 2552322323222 ++ ++x xxs
danx x xc- Matrik Given G1(2,3)T = 111]1
111]1
7809 . 0 6247 . 0 06247 . 0 7809 . 0 00 0 1000 0 1c ss c-
Kemudian G1TA = 111]1
4963 . 7 09673 . 2 4031 . 67 21(2)Misal x = (21, 6.4031, 0)T,
untuk membuat nol komponen kedua ambil i = 1 dan j = 2,
sehingga:2917 . 09545 . 214031 . 69565 . 09545 . 21212221222211 +
+x xxs danx x xc- Matrik Given G2(1,2)T = 111]1
111]1
1 0 00 9565 . 0 2917 . 00 2917 . 0 9565 . 01 0 000c ss cHM, Rev.
November, 2011Bab IV - 13- Kemudian G2TG1TA = 111]1
4963 . 7 07967 . 0 05611 . 7 9545 . 21(3)Misal x = (7.5611,
0.7967, -7.4963)T, untuk membuat nol komponen ketiga ambil i = 2
dan j = 3, sehingga:9944 . 05385 . 74963 . 71057 . 05385 . 77967 .
02322323222 + +x xxs danx x xc- Matrik Given G3(2,3)T = 111]1
111]1
1057 . 0 9944 . 0 09944 . 0 1057 . 0 00 0 1000 0 1c ss c-
Kemudian G3TG2TG1TA = 111]1
0 05386 . 7 05611 . 7 9545 . 21Tahap 2: Menentukan matrik Q dan
R- Q = G1G2G3 = 111]1
0.6767 0.7134 -0.18220.6767 0.7002 0.22780.2901 -0.0308 -0.9565-
R = 111]1
0 05386 . 7 05611 . 7 9545 . 21Catatan:Given rotation memerlukan
waktu komputasi kurang lebih dua kali lebih banyak dariHouseholder
reflection. Akantetapi, untukkasus dimana hanyasedikit elemen
matrik yang akan dinolkan,Given rotationadalah metode yang dipilih.
Karena Given rotation dapat menentukan posisi yang akan di
nolkan.HM, Rev. November, 2011Bab IV - 14Teknik Implementasi Nilai
c dan sAlgoritma. Dalamimplementasi ke programkomputer, untuk
menghidari overflowmakaprosesperhitungannilai cdansdapat dilakukan
dengan cara berikut:Diberikan skalar a dan b, algoritma berikut
akan menghitung nilai c dan s sehingga 1]1
1]1
1]1
0tbac ss cT:if b = 0 then c = 1; s = 0;elseif |b| > |a| then
k = -a/b; s = 1/(1+k2)0.5; c = sk;else k = -b/a; c = 1/(1+k2)0.5; s
= ckendContoh 10:Jika x = (1, 2, 3, 4)T dan kita ingin membuat nol
elemen terakhir. Jika kita pilih i = 3 dan k = 4, maka a = 3, b = 4
dan( )53435454431111;432 2 ,_
++ sk c danksbakSehingga G(3, 4)T = 1111]1
5 / 3 5 / 4 0 05 / 4 5 / 3 0 00 0 1 00 0 0 1, dan G(3, 4)Tx =
1111]1
1111]1
1111]1
052143215 / 3 5 / 4 0 05 / 4 5 / 3 0 00 0 1 00 0 0 1HM, Rev.
November, 2011Bab IV - 154.5 Metode Gram-SchmidtMetode lain yang
dapat digunakan untuk mencari faktorisasi QR adalah metode
Gram-Schmidt. Pada metode ini, matrik Q yang dihasilkan bukan
matrik bujursangkar sehingga bukanmerupakan matrikorthogonal.
MatrikQyang dihasilkan adalah matrik dengan vektor kolom yang
orthonormal.Definisi. Misal A Rm x n, maka faktorisasi QR "skinny''
dari A adalahA = Q1 R1dimana Q1 Rm x n memiliki kolom-kolom yang
orthonormal dan R1 Rn x nadalah matrik segitiga atas dengan entri
pada diagonalnya positip. Untuk membedakan dengan faktorisasi
sebelumnya, faktorisasi QR skinny ditulis dengan menggunakan indeks
1, yaitu A = Q1R14.5.1 Classical Gram-SchmidtMetode Gram-Schmidt
pertama yang digunakan untuk menghitung faktorisasi QR "skinny"
dikenal dengan namaClassical Gram-Schmidt(CGS). Metode ini
didasarkan ide bahwa setiap matrik dapat dibuat menjadi matrik yang
memiliki vektor kolomyangorthonormal dandisebut matrikQ1.
Selanjutnya matrik R1didapat dari matode langsung berdasarkan
hubungan A=Q1R1. Berikut ini adalah metode faktorisasi QR dengan
menggunakan CGS:Misal A = [a1 | a2 | .. | an], dimana ai Rm adalah
vektor kolom ke-i dari AQ = [q1 | q2 | . | qn], dimana qi Rm adalah
vektor kolom ke-i dari QHM, Rev. November, 2011Bab IV - 16Penentuan
Matrik Q:Langkah 1: 1 1 1 1 1/ ; v v q a v Langkah 2: 2 2 2 1 1 2 2
2/ ; , v v q q q a a v Langkah 3: 3 3 3 2 2 3 1 1 3 3 3/ ; , , v v
q q q a q q a a v .Langkah n:n n n inii n n nv v q q q a a v / ;
,11 Penentuan Matrik R:Karena q1, q2, , qn adalah vektor yang
orthonormal, maka:n n n n n nn nn nq q a q q a q q a aq q a q q a q
q a aq q a q q a q q a a, , ,, , ,, , ,2 2 1 12 2 2 2 1 1 2 21 2 2
1 1 1 1 1+ + + + + + + + + atau[ ] [ ]11111]1
n n n nnnn nq a q a q aq a q a q aq a q a q aq q q a a a, , ,, ,
,, , ,2 12 2 2 2 11 1 2 1 12 1 2 1 Karenauntukj2,
vektorqjorthogonalterhadapa1, a2, ., aj-1, maka semuaentri
dibawahdiagonal adalahnol danmatriktersebut menjadi matrik segitiga
atas dan disebut matrik R1, yaitu:R1 = 11111]1
n nnnq aq a q aq a q a q a, 0 0, , 0, , ,2 2 21 1 2 1 1 HM, Rev.
November, 2011Bab IV - 17Algoritma Faktorisasi QR Dengan Classical
Gram-Schmidt Algoritma. Jika diberikan matrik A Rmxndengan vektor
kolom yang bebas linear maka prosedur berikut akan membentuk
faktorisasi QR dari A, yaitu A = QR. Tahap 1:Lakukan n kali proses
Gram-Schmidt terhadap masing-masing vektor kolom A = [a1, a2, ..,
an] untuk membentuk vektor-vektor kolomyangorthonormal dari Q=[q1,
q2, .., qn] Tahap 2:Tentukan nilai-nilai diatas diagonal utama dari
matrik R Contoh 11:Tentukan faktorisasi QR dari matrik:A =
111]1
4 47 57 21Jawab:Tahap 1: Penentuan matrik Q- 111]1
45211 1a v 111]1
1822 . 02277 . 09565 . 0111vvq - 111]1
111]1
111]1
3776 . 52780 . 52324 . 03776 . 17220 . 12324 . 7477,1 1 2 2 2q q
a a v 111]1
7133 . 07001 . 00308 . 0221vvq Sehingga111]1
7133 . 0 1822 . 07001 . 0 2277 . 00308 . 0 9565 . 0QHM, Rev.
November, 2011Bab IV - 18Tahap 2: Penentuan matrik R1]1
1]1
5386 . 7 05611 . 7 9545 . 21, 0, ,2 21 2 1 1q aq a q aRTeknik
Implementasi Algoritma Classical Gram-SchmidtAlgoritma. Dalam
implementasi ke program komputer, kolom ke-k dari matrik Rn x n dan
Qm x n dapat dibangun serentak pada langkah ke-k, sbb:k = 1v =
A(1:m, k)R(k,k) = ||v||Q(1:m,k) = v/R(k,k)for k = 2 to nR(1:k-1, k)
= Q(1:m, 1:k-1)T A(1:m, k)v = A(1:m, k) - Q(1:m, 1:k-1) R(1:k-1,
k)R(k, k) = ||v||Q(1:m, k) = v / R(k, k)endContoh 12:Untuk Contoh
11, proses yang dilakukan oleh algoritma CGS sbb:Langkah 1 (k = 1):
111]1
1]1
1822 . 02277 . 09565 . 009545 . 21Q RLangkah 2 (k = 2):
111]1
1]1
7133 . 0 1822 . 07001 . 0 2277 . 00308 . 0 9565 . 05386 . 7
05611 . 7 9545 . 21Q RHM, Rev. November, 2011Bab IV - 194.5.2
Modified Gram-SchmidtDalamperhitungannya, ternyata metode CGS
sering kehilangan sifat orthogonalitas dari vektor-vektor kolomQ.
Untuk mengatasi ini, dilakukan perbaikan urutan/prosedur pengerjaan
dalammembangun matrik Qdan R. Algoritma ini disebut modified
Gram-Schmidt (MGS). Teknik Implementasi Algoritma Modified
Gram-SchmidtAlgoritma. Algoritma MGS membangun secara serentak
baris ke-k dari R dan kolom ke-k dari Q pada langkah ke-k, sbb:for
k = 1 to nR(k, k) = ||A(1:m, k)||Q(1:m, k) = A(1:m, k) / R(k, k)for
j = k+1 to nR(k, j) = Q(1:m, k)T A(1:m, j)A(1:m, j) = A(1:m, j) -
Q(1:m, k) R(k, j)endendContoh 13:Untuk Contoh 11, proses yang
dilakukan oleh algoritma MGS sbb:Langkah 1 (k = 1): 111]1
1]1
1822 . 02277 . 09565 . 005611 . 7 9545 . 21Q RLangkah 2 (k = 2):
111]1
1]1
7133 . 0 1822 . 07001 . 0 2277 . 00308 . 0 9565 . 05386 . 7
05611 . 7 9545 . 21Q RHM, Rev. November, 2011Bab IV - 204.6
Aplikasi Faktorisasi QRAda beberapa aplikasi dari faktorisasi QR
yang sering digunakan, antara lain: 1. Bersama dengan metode
kuadrat terkecil (least square), disebut juga orthogonal least
squares (OLS), umum digunakan untuk memecahkan sistem persamaan
linear (Amxn x = b) yang overdetermined (m n).Misal A Rm x n dengan
m n, dan b Rm diberikana dan misal bahwa suatu matrik ortogonal Q
Rm x m telah dihitung sedemikian sehinggaQTA =R = [R10]nmnadalah
suatu matrik segitiga atas. JikaQTb = [cd]nmnmakaAxb22= QTAx QTb22=
R1x c22d22untuk sembarang x Rn. Jelaslah bahwa jika rank(A) =
rank(R1) = n, maka solusi
kuadraterkecilxLSdidefiniskanolehsistemsegitigaatasR1xLS=c. Catat
bahwa nilai minimum residual adalahrLS = AxLS b2 = d2HM, Rev.
November, 2011Bab IV - 212. Digunakan untuk mengaproksimasi nilai
eigen3. Digunakan untuk mencari himpunan basis orthonormal dari
suatu himpunan vektor. Misal: jika A adalah matrik berukuran m x n
dengan vektor kolom yang bebas linear, maka n buah vektor
kolompertama dari Qadalah merupakanhimpunanbasisyangorthonormal
yangakanmerentangruang yang sama dengan ruang yang direntang oleh
vektor kolom A. HM, Rev. November, 2011Bab IV - 22
