Embed Size (px)
Citation preview
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Faktorisasi matriks merupakan cara untuk menyatakan hubungan sebuah
matriks sebagai perkalian dari matriks-matriks lain. Sedangkan matriks itu sendiri
adalah suatu susunan berbentuk persegi panjang dari entri-entrinya. Selanjutnya,
terdapat berbagai macam tipe matriks berdasarkan pengamatan ukuran maupun
karakteristik dari entri matriks tersebut.
Dengan adanya berbagai macam tipe matriks menimbulkan pula berbagai
macam cara untuk memfaktorkan suatu matriks, diantaranya dikenal sebagai:
faktorisasi Cholesky, faktorisasi LU, faktorisasi SVD, faktorisasi QR dan
faktorisasi Loewner-Neville. Penggunaan masing-masing faktorisasi ini
tergantung pada tipe matriks yang difaktorkan ataupun tipe matriks sebagai faktor
pada perkalian.
Disamping cara memfaktorkan matriks tersebut, terdapat suatu cara lain yang
dinamakan faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total yakni cara
memfaktorkan suatu matriks persegi dalam bentuk perkalian matriks-matriks
ekuivalen bertanda positif total. Matriks ekuivalen bertanda positif total itu
sendiri adalah suatu matriks yang dapat dinyatakan sebagai 21
QDD , dimana Q
adalah matriks positif total, 1D dan
2D masing-masing merupakan matriks
diagonal dengan entri diagonal utama 1 .
Sebuah fakta pada faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks riil
persegi merupakan perkalian dari matriks-matriks bidiagonal. Fakta ini sebagai
gagasan pokok yang digunakan oleh Daniel Hershkowitz dan Allan Pinkus (2006)
dalam artikel On Nonnegative Sign Equivalent and Sign Similar Factorizations of
Matrtices pada suatu teorema bahwa setiap matriks riil persegi adalah perkalian
dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Akhirnya penelitian ini dimaksudkan sebagai penegasan tentang matriks
ekuivalen bertanda positif total dan bukti dari teorema tersebut dengan
menunjukkan bahwa setiap matriks riil berukuran nn , 2n dapat difaktorkan
menjadi perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
1.2. Perumusan Masalah
Diberikan matriks riil A berukuran n x n dengan ,2n bagaimana
memfaktorkan matriks A sedemikian sehingga matriks A merupakan perkalian
dari matriks – matriks ekuivalen bertanda positif total.
1.3. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah menunjukkan bahwa faktorisasi matriks persegi
riil merupakan perkalian dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total
dengan membuktian suatu teorema yang berkaitan dengan hal tersebut.
1.4. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
- Menambah pengetahuan penulis mengenai faktorisasi pada matriks persegi
riil khususnya pada matriks ekuivalen bertanda positif total.
- Sebagai bahan masukan untuk peneliti selanjutnya dalam mengembangkan
dan memperluas cakupan penelitian ini.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dikemukakan pengertian dan konsep dasar yang dapat
digunakan dalam menunjukkan serta untuk memperoleh fakta dan bukti dari
teorema bahwa setiap matriks riil merupakan faktorisasi dari matriks-matriks
ekuivalen bertanda positif total. Teori dasar matriks serta faktorisasi pada
matriks merupakan landasan teori yang sangat penting digunakan dalam
memahami pembahasan tentang masalah faktorisasi pada matriks ekuivalen
bertanda positif total.
Berikut ini disajikan definisi yang mendukung untuk pembahasan masalah
pada penelitian ini.
2.1. Teori Dasar Matriks
Definisi 2.1.1 (Anton, 1988)
Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.
Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.
Suatu matriks mempunyai ukuran yang diperoleh berdasarkan banyaknya baris
dan kolom dalam matriks tersebut. Suatu matriks A yang berukuran m x n
disimbolkan dengan Amxn dan dapat ditulis sebagai:
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
dimana aij menyatakan entri yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j dari
matriks A, dengan i = 1,2,…,m dan j = 1,2,…,n.
Definisi 2.1.2. (Leon, 2001)
Suatu matriks persegi D merupakan matriks diagonal jika entri – entri 0ij
d
untuk ji .
Matriks berikut merupakan matriks diagonal:
nnd
d
d
d
D
000
000
000
000
33
22
11
Definisi 2.1.3. (Leon, 2001)
Matriks identitas adalah matriks I = ji
a berorde n x n, dimana
jijika
jijikaaij
0
1
ija adalah entri-entri dari matriks yang terletak dibaris ke i dan kolom ke j.
Misalnya
100
010
001
I
Definisi 2.1.4. (Zwillinger, 2003)
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang entri dibawah atau diatas garis
diagonal utama adalah nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang
entri diatas diagonal utama adalah nol. Matriks segitiga atas adalah matriks
persegi yang entri dibawah diagonal utama adalah nol
Misalkan matriks ijaA berukuran nn maka A disebut matriks segitiga
bawah jika 0ija untuk ji disajikan sebagai:
nnnnaaa
aa
a
A
21
2221
11
0
00
dan A disebut matriks segitiga atas jika 0ija untuk ji disajikan sebagai:
nn
n
n
a
aa
aaa
A
00
0222
11211
Definisi 2.1.5. (Golub & Loan , 1996)
Suatu matriks persegi ij
dD merupakan matriks bidiagonal jika entri-entri
yang mungkin tak nol adalah ii
d dengan ni ...,,1 , dan 1, jj
d (atau jj
d,1
),
dengan j= 1,2,........n – 1. Khususnya jika entri 1iid , untuk ni ,,1
dinamakan matriks bidiagonal elementer (elementary bidiagonal Matrices).
Berdasarkan definisi tersebut, maka matriks bidiagonal berukuran n x n dapat
disajikan sebagai berikut:
1). Kemungkinan entri 0ii
d dan 0)1( jj
d dengan ni ,...,1 dan 1,...,1 nj
nn
nnnn
d
dd
dd
dd
D
000
000
00
00
)1()1)(1(
2322
1211
2). Kemungkinan entri 0ii
d dan 0)1( jj
d dengan ni ,...,1 dan 1,...,1 nj
nnnn
nnnn
dd
dd
dd
d
D
)1(
)1)(1()2)(1(
2221
11
000
000
00
000
Definisi 2.1.6. ( Leon, 2001).
Suatu matriks A berukuran n x n disebut simetris jika AT = A
Misalnya untuk matriks simetris berukuran n x n dapat ditulis sebagai:
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
12111
Definisi 2.1.7. ( Zwilinger, 2003).
Transpos suatu matriks A berukuran m x n dilambangkan dengan TA adalah suatu
matriks berukuran n x m dengan baris dan kolom saling berganti sedemikian
sehingga komponen baris ke-i kolom ke-j dari matriks A adalah komponen baris
ke-j kolom ke-i dari matriks TA dan .)()(
ijijji
TaAA
Sebagai contoh, perhatikan matriks berikut:
232221
131211
aaa
aaaA
maka
2313
2212
2111
aa
aa
aa
AT
Definisi 2.1.8. ( Zwilinger, 2003).
Misalkan ijaA merupakan matriks berukuran m x n dan
jkbB matriks
berukuran n x p; ( bahwa banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris
matriks B ), maka AB adalah matriks berukuran m x p yakni matriks ijcC
dengan elemen pada baris ke-i kolom ke-j ditentukan oleh rumus:
njinjiji
n
k
kjikijbabababac
2211
1
dengan mi ,...,1 dan pj ,...,1 .
Definisi 2.1.9. ( Zwillinger, 2003).
Suatu matriks A berukuran n x n dikatakan nonsingular atau invertibel jika
terdapat suatu matriks B sedemikian sehingga:
BAIABn
Setiap matriks B yang memenuhi sifat tersebut dinamakan invers A ditulis 1A .
Jika A tidak memiliki invers maka A dinamakan matriks singular.
Contoh 1: Matriks non singular atau invertibel.
Untuk matriks 21
32A terdapat
21
32B sedemikian sehingga :
IBAAB10
01
21
32
21
32
21
32
21
32
Contoh 2: Matriks singular.
42
63A dan
111
135
124
B
Karena 0)det( A dan 0)det( B maka 1A dan 1
B tidak ada. Sehingga kedua
matriks adalah matriks singular.
Invers suatu matriks A dirumuskan sebagai:
)det(
)(1
A
AAdjA
dengan )(AAdj adalah adjoin dari matriks A sedangkan )det( A merupakan
determinan matriks A.
Definisi 2.1.10. (Zwillinger, 2003)
Adjoin suatu matriks ijaA berukuran nn ditulis )(AAdj adalah matriks
berukuran nn yang disajikan sebagai:
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AAdj
21
22212
12111
)(
dimana ij
A merupakan kofaktor ij
a .
Definisi 2.1.11. . (Hager, 1988)
Suatu matriks A disebut matriks ortogonal jika hasilkali A dan transposnya yaitu
TA adalah matriks identitas atau IAAAA
TT dengan I matriks identitas.
Sebagai contoh untuk 5/35/4
5/45/3A maka
5/35/4
5/45/3TA
IAAT
10
01
4/35/4
5/45/3
5/35/4
5/45/3
Jelas bahwa A merupakan matriks ortogonal.
Definisi 2.1.12 (Jacob, 1990)
Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah penerapan diantara hal berikut
pada matriks:
(i). Mengalikan salah satu baris dengan suatu bilangan skalar tak nol.
(ii). Menjumlahkan suatu hasilkali dari salah satu baris pada baris lainnya.
(iii). Mempertukarkan dua baris.
Definisi 2.1.13 (Jacob, 1990)
Matriks elementer nn adalah suatu matriks yang diperoleh dari matriks
identitas nn dengan menggunakan operasi baris elementer tunggal.
Misalnya pada matriks identitas 33 , yakni:
100
010
001
I
(1). Dengan operasi tipe pertama yakni salah satu baris dikali bilangan skalar a ,
diperoleh:
100
010
00a
,
100
00
001
a , atau
a00
010
001
(2). Dengan operasi tipe kedua yakni salah satu baris dikali bilangan skalar a tak
nol dijumlahkan dengan baris lainnya, diperoleh:
100
010
01 a
,
100
010
01 a
,
100
10
001
a ,
10
010
001
a
,
10
010
001
a
,
10
010
001
a
(3). Dengan operasi tipe ketiga yakni salah satu baris dipertukarkan dengan baris
lainnya diperoleh:
100
001
010
,
001
010
100
, atau
010
100
001
2.2. Minor dan Determinan Matriks
Definisi 2.2.1. ( Leon, 2001).
Minor baris ke-i kolom ke-j (ditulis ij
M ) adalah determinan matriks berukuran
)1()1( nn dari suatu matriks berukuran n x n tanpa entri baris ke-i dan entri
kolom ke-j.
Sebagai contoh pada matriks berukuran 33 , yaitu:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Minor-minor yang terdapat pada matriks A masing-masing adalah:
32233322
3332
2322
11aaaa
aa
aaM
31233321
3331
2321
12aaaa
aa
aaM
31223221
3231
2221
13aaaa
aa
aaM
32133312
3332
1312
21aaaa
aa
aaM
31133311
3331
1311
22aaaa
aa
aaM
31123211
3231
1211
23aaaa
aa
aaM
22132312
2322
1312
31aaaa
aa
aaM
21132311
2321
1311
32aaaa
aa
aaM
21122211
2221
1211
33aaaa
aa
aaM
Definisi 2.2.2. (Zwillinger, 2003)
Kofaktor baris ke-i kolom ke-j dari matriks persegi ijaA berukuran nn
ditulisij
A adalah hasil kali ij
jiM1 dimana
ijM merupakan determinan dar
matriks A dengan menghapus elemen baris ke-i dan elemen kolom ke-j (ij
M
biasa disebut minor dari ij
a ) .
Misalnya pada matriks berukuran 33 :
332331
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Kofaktor-kofaktor pada matriks A tersebut adalah :
32233322
3332
2322
11
11
11)1( aaaa
aa
aaMA
)()1(31233321
3331
2321
12
21
12aaaa
aa
aaMA
31223221
3231
2221
13
31
13)1( aaaa
aa
aaMA
)()1(32133312
3332
1312
21
12
21aaaa
aa
aaMA
31133311
3331
1311
22
22
22)1( aaaa
aa
aaMA
)(131123211
3231
1211
23
32
23aaaa
aa
aaMA
22132312
2322
1312
31
13
31)1( aaaa
aa
aaMA
)()1(21132311
2321
1311
32
23
32aaaa
aa
aaMA
21122211
2221
1211
33
33
33)1( aaaa
aa
aaMA
Definisi 2.2.3. (Strang, 1988).
Determinan dari matriks persegi ij
aA berukuran n x n biasa ditulis A atau
det(A) dapat dibedakan oleh formula berikut:
a. Matriks persegi berukuran 2 x 2: 2221
1211
aa
aaA , maka deteminan dari A
adalah:
det(A) = 21122211
aaaa ..... (1.1)
b. Matriks persegi ukuran n (dengan n > 2)
Misalkan A merupakan matriks persegi ukuran n x n, dengan n > 2 ditulis
ijaA dimana
ija adalah entri pada baris ke i dan kolom ke j untuk
ni ,,1 dan nj ,,1 maka determinannya dapat dihitung dengan ekspansi
kofaktor dari salah satu baris atau salah satu kolom.
Dengan ekspansi kofaktor baris ke-i , maka determinan matriks A adalah:
ininiiii
n
j
ijijAaAaAaAaA
2211
1
)det( ..... (1.2)
Dengan ekspansi kofaktor kolom ke-j, maka determinan matriks A adalah:
njnjjjjj
n
i
ijijAaAaAaAaA
2211
1
)det( ..... (1.3)
Sebagai contoh matriks berukuran 3 x 3 ,
332331
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Dengan persamaan (1.2) pada baris pertama diperoleh determinan A , yaitu:
det(A) = 3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
2.3. Faktorisasi dalam matriks
Definisi 2.3.1. (Hager, 1988) .
Faktorisasi Cholesky adalah faktorisasi suatu matriks persegi H yang dinyatakan
sebagai bentuk perkalian matriks TKKH dengan K adalah matriks segitiga
bawah yang disebut segitiga Cholesky (Cholesky triangle).
Sebagai ilustrasi, misalkan matriks H sebagai berikut:
nnnn
n
n
hhh
hhh
hhh
H
21
22221
11211
dengan jiij
hh (i = 1,...,n dan j = 1,...,n).
Ambil
nnnn
ii
kkk
kk
k
K
21
22210
00
maka
nn
n
nii
T
k
kk
kkk
K
00
0222
121
Bentuk faktorisasi Cholesky dari matriks H berukuran nn adalah:
nnnn
n
n
hhh
hhh
hhh
21
22221
11211
nnnn
ii
kkk
kk
k
21
22210
00
nn
n
nii
k
kk
kkk
00
0222
121
..... (2.1)
Dengan menyelesaikan (2.1) diperoleh:
i
1p
2
ipiikh ..... (2.2)
ji
p
jpipijkkh
,min
1
, dengan ji ..... (2.3)
Misalnya untuk matriks berukuran 33 yaitu:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Misalkan
333231
2221
11
0
00
kkk
kk
k
K .
Berdasarkan persamaan (2.2) dan (2.3) diperoleh:
2
1111ka ; 2
22
2
2122kka ; 2
33
2
32
2
3133kkka ;
21112112kkaa ;
31113113
kkaa ; 322231213223kkkkaa .
Definisi 2.3.2. (Hager, 1988).
Faktorisasi LU adalah suatu bentuk perkalian dari suatu matriks A yang
dinyatakan sebagai hubungan A = LU dimana L adalah matriks segitiga bawah
dan U merupakan matriks segitiga atas.
Khususnya, jika matriks A berukuran 3 x 3, yakni:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
maka hubungan pada faktorisasi LU menjadi:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
2221
11
0
00
lll
ll
l
33
2322
131211
00
0
u
uu
uuu
..... ( 2.4)
dimana
333231
2221
11
0
00
lll
ll
l
L , dan
33
2322
131211
00
0
u
uu
uuu
U
Persamaan (2.4) berakibat:
111111ula ,
121112ula dan
131113ula atau
13
13
12
12
11
11
11u
a
u
a
u
al
112121ula ,
2222122122ulula dan
2322132123ulula
113131ula ,
2232123132ulula dan
33332332133133ululula
Sebagai contoh pehatikan matriks
22186
774
222
A
Dengan Operasi Baris elementer:
22186
774
222
13
12
3
2
RR
RR
16120
330
222
23
4 RR
400
330
222
Dalam hal ini diperoleh:
400
330
222
U .
Selanjutnya dimisalkan L =
333231
2221
11
0
00
lll
ll
l
, maka diperoleh persamaan:
400
330
222
0
00
22186
774
222
333231
2221
11
lll
ll
l
..... (2.5)
Dengan menyeleaikan persamaan matriks (2.5) diperoleh:
111l , 2
21l , 1
22l , 3
31l , 4
32l dan 1
33l
Sehingga faktorisasi ditulis sebagai:
400
330
222
123
012
001
22186
774
222
Definisi 2.3.3. (Hager, 1988).
Suatu faktorisasi QR dari suatu matriks persegi A yang riil adalah suatu bentuk
perkalian matriks yang dinyatakan sebagai A = QR dimana Q merupakan matriks
ortogonal dan R matriks segitiga atas.
Sebagai contoh, perhatikan matriks berikut:
330
440
7012
2609
A
maka dengan menggunakan MATLAB diperoleh:
05/30
05/40
5/305/4
5/405/3
Q ,
2500
550
10015
R
Jadi, faktorisasi dinyatakan sebagai:
330
440
7012
2609
A
05/30
05/40
5/305/4
5/405/3
QR
2500
550
10015
Definisi 2.3.4. (Fiedler & Markham, 1997)
Suatu faktorisasi dari matriks persegi A berukuran n x n disebut faktorisasi
Loewner-Neville jika A dapat dinyatakan sebagai:
A = BDC ..... (2.6)
dimana D adalah matriks diagonal, B dan C masing-masing adalah hasilkali dari
matriks-matriks bidiagonal yaitu:
121 n
BBBB ..... (2.7)
dan
121CCCC
nn ..... (2.8)
dengan iB dan
iC untuk 11 ni ,, disajikan sebagai:
1
1
10
10
1
11
ni
in
i
b
b
B
,
..... (2.9)
dan
1
1
1
0
1
01
11
in
ini
c
cC
, ..... (2.10)
Sebagai contoh perhatikan matriks berukuran 33 berikut:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Sesuai definisi (2.3.4), ambil matriks diagonal:
3
2
1
00
00
00
d
d
d
D ,
Sesuai hubungan (2.9) dan (2.10) matriks bidiagonal:
10
010
001
31
1
b
B ,
10
01
001
32
212
b
bB ,
dan
100
10
001
131cC ,
100
10
01
23
12
2c
c
C
Dengan menyelesaikan persamaan (2.7) dan (2.8) diperoleh:
1
01
001
32313121
21
bbbb
bB dan
100
10
1
2313
131212
cc
ccc
C
Sehingga faktorisasi Loewner-Neville dari matriks A dinyatakan dengan:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
1
01
001
32313121
21
bbbb
b
3
2
1
00
00
00
d
d
d
100
10
01
23
12
c
c
333231
232221
131211
..... (2.11)
dimana:
111d ,
12112cd ,
1312113ccd ,
21121bd ,
12211222cbdd ,
)(23132131221123ccdccbd ,
3121131bbd , )(
32312123121132bbdcbbd ,
323133231213123121133))(( dccbbdccbbd ..... (2.12)
BAB III
METODOLOGI PENILITIAN
3.1. Tempat dan Waktu
Penelitian ini dilakukan pada perpustakaan jurusan Matematika Universitas
Andalas, dan Pustaka Digital (Digital Library) dari berbagai situs matematika
sesuai dengan permasalahan yang dihadapi dan berlangsung sejak Desember
2007 sampai April 2008.
3.2. Metode
Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif dan analitik yang
menggunakan analisa teori yang relevan dengan masalah yang dibahas dan
berlandaskan pada studi kepustakaan. Dalam melakukan penelitian ini penulis
memulai dengan meninjau permasalahan, mengumpulkan teori-teori yang didapat
sebagai penunjang untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dan terakhir
menarik kesimpulan dari permasalahan yang telah dibahas.
Langkah - langkah kerja yang dilakukan pada penelitian adalah:
1. Meninjau konsep-konsep dasar matriks
2. Meninjau konsep-konsep faktorisasi pada matriks.
3. Meninjau tentang matriks positif total dan matriks ekuivalen bertanda positif
total .
4. Menyelesaikan masalah faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total
dengan teori-teori dan algoritma yang berhubungan dengan pemecahan
masalah tersebut.
5. Menyimpulkan hasil yang diperoleh.
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebelum memfaktorkan suatu matriks dalam bentuk perkalian antara
matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total, maka terlebih dahulu akan
diperkenalkan beberapa pengertian tentang matriks ekuivalen bertanda positif
total.
4.1. Matriks Positif Total
Definisi 4.1.1. (Hershkowitz & Pinkus, 2007)
Suatu matriks A dinamakan matriks positif total jika setiap minor dari matriks A
adalah nonnegatif.
Secara khusus, jika A matriks berukuran 2 x 2, yakni:
2221
1211
aa
aaA
maka A merupakan matriks positif total jika:
0)det(21122211aaaaA ..... (3.1)
dan jika A matriks berukuran 3 x 3, yakni:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
maka A adalah matriks positif total jika setiap nilai minornya adalah nonnegatif
yakni:
032233322
3332
2322
11aaaa
aa
aaM , 0
31233321
3331
2321
12aaaa
aa
aaM ,
031223221
3231
2221
13aaaa
aa
aaM , 0
32133312
3332
1312
21aaaa
aa
aaM ,
031133311
3331
1311
22aaaa
aa
aaM , 0
31123211
3231
1211
23aaaa
aa
aaM ,
022132312
2322
132`1
31aaaa
aa
aaM , 0
21132311
2321
1311
32aaaa
aa
aaM , dan
021122211
2221
1211
33aaaa
aa
aaM ..... (3.2)
Sebagai contoh diberikan 41
52A , akan diselidiki apakah A adalah matriks
positif total.
Karena 03)det( A maka sesuai (3.1) A adalah matriks positif total.
Contoh lainnya misalkan
421
232
011
A , akan diselidiki apakah A adalah
matriks positif total.
Dengan memeriksa minor-minor dari A yaitu:
842
23
11M , 6
41
22
12M , 1
21
32
13M , 4
42
01
21M ,
441
01
22M , 1
21
11
23M , 2
23
01
31M , 2
22
01
32M ,
132
11
33M .
Karena 0ij
M untuk 3,2,1i dan 3,2,1j , maka sesuai (3.2) jelas A adalah
matriks positif total.
Beberapa tipe matriks khusus yang termasuk kelompok matriks positif total
berdasarkan definisi (4.1.1), diantaranya adalah:
1). Matriks Identitas
a. Ukuran 22 : 10
01I
karena 01)det( I berarti matriks ini adalah matriks positif total.
b. Ukuran nn dengan 2n
Sesuai definisi minor pada baris ke-i kolom ke-j )(ij
M dari suatu matriks,
maka minor matriks identitas berukuran nn tersebut adalah:
0
1
ijM
untuk
untuk
ji
ji
Dengan hasil ini diperoleh bahwa setiap minor dari matriks identitas
berukuran nn adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), jelas bahwa matriks
identitas termasuk matriks positif total.
2). Matriks diagonal
Sesuai definisi (2.1.2), maka matriks diagonal D dapat disajikan sebagai:
nd
d
d
D
00
00
00
2
1
dengan mengambil entri diagonal 0di
dimana ni ,...,1 maka semua minor
matriks D adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), D dengan kondisi tersebut
merupakan matriks positif total.
3). Matriks Bidiagonal
Berdasarkan definisi (2.1.5), maka matriks bidiagonal )(ijdD berukuran
n x n adalah:
a). Untuk entri-entri yang bukan iid , ni ,...,1 dan
)1( jjd , 1,...,1 nj adalah
nol dapat disajikan sebagai:
nn
nnnn
d
dd
dd
dd
D
000
000
00
00
)1()1)(1(
2322
1211
Dengan mengambil kondisi entri 0iid , ni ,...,1 dan 0
)1( jjd ,
1,...,1 nj , jelas bahwa semua nilai minornya adalah nonnegatif. Menurut
definisi (4.1.1), maka matriks bidiagonal dengan kondisi tersebut merupakan
matriks positif total.
b). Untuk entri-entri yang bukan iid , ni ,...,1 dan
jjd
)1(, 1,...,1 nj adalah
nol dapat disajikan sebagai:
nnnn
nnnn
dd
dd
dd
d
D
)1(
)1)(1()2)(1(
2221
11
000
000
00
000
Dengan mengambil kondisi entri 0iid , ni ,...,1 dan 0
)1( jjd ,
1,...,1 nj jelas bahwa semua nilai minornya adalah nonnegatif. Menurut
definisi (4.1.1), maka matriks bidiagonal dengan kondisi tersebut merupakan
matriks positif total.
4). Matriks segitiga
a). Matriks segitiga bawah
Sesuai definisi (2.1.4), matriks segitiga bawah berukuran nn dapat
disajikan sebagai:
nnnnlll
ll
l
L
21
2221
11
0
00
Dengan mengambil kondisi entri 0ijl , ji jelas bahwa semua nilai
minor ijl adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), matriks segitiga bawah
dengan kondisi tersebut adalah matriks positif total.
b). Matriks segitiga atas
Sesuai definisi (2.1.4), matriks segitiga atas berukuran nn dapat disajikan
sebagai:
nn
n
n
u
uu
uuu
U
00
0222
11211
Dengan mengambil konidisi 0iju untuk ji jelas semua nilai minor
iju
adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), maka matriks segitiga atas dengan
kondisi tersebut merupakan matriks positif total.
4.2. Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total
Definisi 4.2.1. (Hershkowitz & Pinkus, 2007)
Suatu matriks persegi A disebut matriks ekuivalen bertanda positif total jika A
dapat dinyatakan sebagai:
21
QDDA ….. (4.1)
dimana Q adalah matriks positif total, 1
D dan 2
D merupakan matriks-matriks
diagonal dengan entri diagonal utama adalah 1 .
Karena 1D dan
2D merupakan matriks diagonal dengan entri pada diagonal 1
maka 1
D dan 2
D merupakan matriks nonsingular yakni 1
1D dan 1
2D ada.
Apabila persamaan (4.1) dikali dari kiri dengan 1
1D dan dari kanan dengan 1
2D
diperoleh:
1
2
1
1ADDQ ..... (4.2)
Kasus 1: Matriks riil A berukuran 22 , yaitu:
2221
1211
aa
aaA
Untuk menyelidiki apakah A merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total
dapat dipilih 2
1
10
0
d
dD , dan
2
1
20
0D dengan 1,1,,,
2121dd .
Berdasarkan definisi (4.2.1), pilih 2221
1211
qqQ matriks positif total maka A
merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total jika memenuhi hubungan
persamaan (4.1), yaitu:
2221
1211
aa
aa
2
1
0
0
d
d
2221
1211
2
1
0
0
Perhatikan 2
1
10
0
d
dD dan
2
1
20
0D adalah matriks-matriks
nonsingular maka :
2
1
1
2
21
1
1/10
0/1
0
01
d
d
d
d
ddD
dan
2
1
1
2
21
1
2/10
0/1
0
01D
Karena 1,1,,,2121
dd jelas 1
1
1d
d,
2
2
1d
d ,
1
1
1, dan
2
2
1
akibatnya ,
1
2
1
2
11
10
0
/10
0/1D
d
d
d
dD
dan
2
2
1
2
11
20
0
/10
0/1DD
Sehingga dengan hubungan persamaan (4.2) diperoleh:
21
ADDQ ..... (4.3)
atau
2221
1211
2
1
0
0
d
d
2221
1211
aa
aa
2
1
0
0
22222122
12211111
adad
adad ..... (4.4)
Dari hubungan (4.4) ,diperoleh:
111111adq ,
122112adq ,
211221adq dan
222222adq
Karena 1,1,,,2121
dd , maka 11
d 1, 21
d 1, 12
d 1 dan
22d 1.
Karena 21
ADDQ maka )det()det(21
ADDQ ,
atau
)(21122211212121122211aaaaddqqqq ..... (4.5)
Perhatikan bahwa 2221
1211
qqQ merupakan matriks positif total berarti:
0)(21122211212121122211aaaaddqqqq
Karena ,,21dd 1,1,
21, maka
2121dd 1.
Untuk menentukan apakah 2221
1211
aa
aaA merupakan matriks ekuivalen bertanda
positif total dilakukan dengan memilih Q , 1
D dan 2
D sebagai berikut:
(1). Jika 0)det(21122211aaaaA , maka ,,
21dd
21, memenuhi
2121dd 1.
(2). Jika 0)det(21122211aaaaA , maka
2121,,, dd memenuhi
2121dd 1.
Untuk kedua hal tersebut ditentukan Q yang memenuhi definisi (4.1.1) dengan
menggunakan hubungan (4.3).
Dengan demikian jika A adalah matriks riil berukuran 22 maka ada 3 matriks
disamping matriks identitas yang dapat dipilih sebagai 1
D dan 2
D untuk
memeriksa apakah A adalah matriks ekuivalen bertanda positif total , yaitu:
10
01 ,
10
01 , dan
10
01 .
Contoh: Akan diperiksa apakah matriks 23
65A adalah matriks ekuivalen
bertanda positif total.
Karena 083.62.5)det( A maka 12121
dd dengan 1,1,21dd dan
1,1,21
, dapat dipilih : 10
01
1D dan
10
01
2D .
Dalam hal ini : 11d , 1
2d , 1
1 dan 1
2.
Akibatnya , 511q , 6
12q , 3
21q dan 2
22q .
Dengan hubungan (4.3) diperoleh:
23
65Q
yaitu matriks yang memenuhi definisi (4.1.1).
Jadi,
23
65A
10
01
23
65
2110
01QDD
Dari hasil ini menurut definisi (4.2.1), maka 23
65A merupakan matriks
ekuivalen bertanda positif total.
Kasus 2 : Matriks riil A berukuran 33 , yaitu:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Dalam hal ini, untuk menyelidiki apakah A merupakan matriks ekuivalen
bertanda positif total dipilih
3
2
1
1
00
00
00
d
d
d
D , dan
3
2
1
2
00
00
00
D , dimana
,,,321ddd 1,1,,
321.
Berdasarkan definisi (4.2.1), pilih
333231
232221
131211
qqq
qqq
qqq
Q yang memenuhi definisi
(4.1.1) sebagai matriks positif total sedemikian sehingga A matriks ekuivalen
bertanda positif total jika memenuhi hubungan persamaan (4.1) yaitu:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3
2
1
00
00
00
d
d
d
333231
232221
131211
qqq
qqq
qqq
3
2
1
00
00
00
Perhatikan bahwa
3
2
1
1
00
00
00
d
d
d
D dan
3
2
1
2
00
00
00
D adalah matriks-
matriks nonsingular yaitu 1
11D dan 1
2D ada.
Sesuai definisi (2.1.9) yang dirumuskan maka invers 1
D dan 2
D masing-masing
adalah:
)()det(
11
1
1
1Dadj
DD dan )(
)det(
12
2
1
2Dadj
DD
Dengan menggunakan hubungan (1.2) pada baris pertama diperoleh determinan
1D dan
2D yaitu:
321
2
33
2
1100
0)0(
0
00)0(
0
0)det( ddd
d
dd
ddD
dan
321
2
33
2
1200
0)0(
0
00)0(
0
0)det( D .
sementara berdasarkan definisi (2.2.1), (2.2.2) dan (2.1.10) diperoleh:
21
31
32
2
112
1
3
1
3
233
2
1
00
00
00
0
0
00
0
00
0
00
0
0
0
0
00
0
00
0
00
0
0
)(
dd
dd
dd
d
ddd
d
d
d
d
ddd
d
DAdj
dan
21
31
32
2
112
1
3
1
3
233
2
2
00
00
00
0
0
00
0
00
0
00
0
0
0
0
00
0
00
0
00
0
0
)(DAdj .
Akibatnya ,
3
2
1
1
1
/100
0/10
00/1
d
d
d
D dan
3
2
1
1
2
/100
0/10
00/1
D
Karena ,,,321ddd 1,1,,
321 maka
1
1
1d
d,
2
2
1d
d,
3
3
1d
d,
1
1
1,
2
2
1dan
3
3
1.
Akibatnya , 1
1
1DD dan
2
1
2DD
Sehingga dengan hubungan persamaan (4.2) diperoleh:
333231
232221
131211
qqq
qqq
qqq
3
2
1
00
00
00
d
d
d
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3
2
1
00
00
00
333332233113
233222222112
133112211111
adadad
adadad
adadad
..... (4.6)
Dari hubungan (4.6) diperoleh:
ijjiij
adq , dengan }1,1{,ji
d ..... (4.7)
dimana 3,2,1i dan 3,2,1j .
Perhatikan bahwa
333231
232221
131211
qqq
qqq
qqq
Q merupakan matriks positif total berarti
(i). 0
33333223
23322222
3332
2322
11adad
adad
qqM
0)(32233322323232233322aaaaddqqqq
(ii). 0
33333113
23322112
3331
2321
12adad
adad
qqM
0)(32233321313231233321aaaaddqqqq
(iii). 0
32233113
22222112
3231
2221
13adad
adad
qqM
0)(31223221213232223221aaaaddqqqq
(iv). 0
33333223
13311221
3332
1312
21adad
adad
qqM
0)(32133312323132133312aaaaddqqqq
(v). 0
33333113
13311111
3331
1311
22adad
adad
qqM
0)(31133311313131133311aaaaddqqqq
(vi). 0
32233113
12211111
3231
1211
23adad
adad
qqM
0)(31123211213132123211aaaaddqqqq
(vii). 0
23322222
13311221
2322
1312
31adad
adad
qqM
0)(22132312322122132312aaaaddqqqq
(viii). 0
23322112
13311111
2321
1311
32adad
adad
qqM
0)(21132311312121132311aaaaddqqqq
(ix). 0
22222112
12211111
2221
1211
33adad
adad
qqM
0)(21122211212121122211aaaaddqqqq
Karena ,,,321ddd 1,1,,
321 maka hasilkali diantara ,d,d,d
321 321,,
adalah 1 .
Dengan demikian jika A matriks riil berukuran 33 , maka terdapat 7
matriks yang dapat dipilih disamping matriks identitas sebagai 1
D dan 2
D yang
digunakan untuk memeriksa apakah A merupakan matriks ekuivalen bertanda
positif total atau bukan. Matriks-matriks tersebut adalah:
100
010
001
,
100
010
001
,
100
010
001
,
100
010
001
,
100
010
001
,
100
010
001
, dan
100
010
001
.
Secara umum, untuk memeriksa apakah matriks riil ijaA berukuran
nn adalah matriks ekuivalen bertanda positif total atau bukan, cukup dengan
memeriksa setiap kemungkinan matriks ijqQ berdasarkan (4.3) yaitu matriks
yang memenuhi definisi (4.1.1). Dalam hal ini, matriks 1
D dan 2
D yang
digunakan dipilih dari kemungkinan penyajian matriks diagonal:
100
010
001
.
Banyaknya 1D dan
2D yang mungkin dalam penyelidikan apakah suatu matriks
berukuran nn merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total sebanyak
12n matriks diagonal disamping matriks identitas.
Sebagai contoh untuk matriks berukuran 3 x 3:
513
130
232
A
Berdasarkan hubungan (4.3), diperoleh bahwa:
513
130
232
100
010
001
513
130
232
100
010
001
Q
Dengan minor-minor dari Q adalah:
1611
M , 312
M , 913
M , 1321
M , 422
M ,
723
M , 931
M , 232
M , 633
M .
Karena semua minor Q adalah nonnegatif maka menurut definisi (4.1.1) jelas Q
adalah matriks positif total.
Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa:
21
100
010
001
513
130
232
100
010
001
QDDA
Menurut definisi (4.2.1), maka A adalah matriks ekuivalen bertanda positif total.
Selanjutnya dari hasil penyelidikan yang dilakukan atas sebuah matriks
persegi disimpulkan bahwa tidak setiap matriks persegi merupakan matriks
ekuivalen bertanda positif total.
Kesimpulan yang diperoleh berdasarkan penyelidikan yang dilakukan adalah
atas salah satu matriks ukuran 3 x 3, yakni:
1098
765
432
A
Dengan mengoperasikan Microsoft Excel yaitu memeriksa Q berdasarkan
hubungan (4.3) untuk setiap kemungkinan dari 1
D dan 2
D diperoleh bahwa tidak
satupun matriks Q yang dihasilkan akan memenuhi definisi (4.1.1).
Jadi,
1098
765
432
A
bukan merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total.
4.3. Faktorisasi Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total
Suatu faktorisasi matriks A merupakan hubungan dari matriks A yang
sebagai:
kFFFA ......
21 ..... (5.1)
dengan matriks iF , ki ,,1 memenuhi kondisi-kondisi tertentu.
Sesuai dengan definisi faktorisasi Cholesky, faktorisasi LU, faktorisasi QR
dan faktorisasi Loewner-Neville maupun faktorisasi-faktorisasi lainnya maka
secara umum dapat dikatakan bahwa faktorisasi matriks merupakan hubungan
suatu matriks sebagai perkalian dari matriks-matriks lain sesuai dengan
karakteristik matriks yang diberikan maupun karakteristik matriks yang dilibatkan
pada perkalian.
Berdasarkan pengertian umum tersebut, maka hubungan matriks persegi
riil A sebagai perkalian dari 1
D dan 2
D yakni matriks diagonal dengan entri
diagonal utama 1 , serta matriks Q yaitu matriks persegi dengan semua nilai
minornya adalah nonnegatif memenuhi 21
QDDA dapat disebut sebagai
faktorisasi matriks A. Hubungan ini, oleh Daniel Hershkowitz dan Allan Pinkus
(2007) dalam artikelnya disebut sebagai definisi matriks ekuivalen bertanda
positif total. Hal ini telah diuraikan pada bagian pembahasan sebelumnya.
Selanjutnya, berdasarkan rumusan masalah pada penelitian yang dilakukan
ini yaitu jika diberikan matriks riil A berukuran n x n dengan 2n , maka A
dapat difaktorkan masing-masing menjadi perkalian dari matriks – matriks
ekuivalen bertanda positif total akan ditunjukkan dengan membuktikan suatu
teorema.
Teorema 4.3.1.
Setiap matriks persegi riil dapat dinyatakan sebagai perkalian dari matriks-matriks
ekuivalen bertanda positif total.
Bukti :
Misalkan )(ijaA matriks berukuran nn akan ditunjukan bahwa A dapat
dinyatakan sebagai:
kAAAA ......
21 ..... (5.2)
dimana iA , ki ,,2,1 adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Karena iA , ki ,,2,1 adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total
berarti:
21DQDAii
dimana:i
Q , ki ,,2,1 masing-masing adalah matriks positif total,
1D ,
2D masing-masing merupakan matriks diagonal dengan entri
diagonal utama 1 .
Berdasarkan suatu fakta dari faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap
matriks persegi merupakan hasilkali matriks-matriks bidiagonal, yaitu untuk
)(ijaA berukuran nn yang memenuhi yang hubungan (2.6) yakni:
BDCA
dengan D matriks diagonal , B dan C memenuhi persamaan (2.7), (2.8), (2.9)
dan (2.10).
Berdasarkan hubungan (2.7) dan (2.8) maka hubungan (2.6) dapat ditulis sebagai
hubungan:
A ........121DBBB
n 121...... CCC
nn ..... (5.3)
Dari hubungan (5.3) dapat dianalisis matriks-matriks pada sisi kanan sebagai
berikut:
Karena D matriks diagonal maka menurut definisi (2.1.2) dapat ditulis sebagai:
nd
d
d
D
00
00
00
2
1
Kasus 1: Jika 0id , ni ,,2,1 maka D merupakan matriks positif total
karena semua minornya adalah nonnegatif. Maka, jelas bahwa D merupakan
matriks ekuivalen bertanda positif total.
Kasus 2: Jika terdapat 0id maka D dinyatakan sebagai:
2
2
1
1
2
1
00
0
00
00
00
00
00
D
d
d
d
D
d
d
d
D
nn
..... (5.4)
Dalam hal ini 1D dan
2D adalah matriks diagonal dengan entri pada diagonal
utama 1 dan 01d , yang berarti bahwa:
nd
d
d
00
0
00
00
2
1
adalah matriks positif total. Akibatnya, menurut definisi (4.2.1) D adalah matriks
ekuivalen bertanda positif total.
Karena iB dan
iC matriks-matriks bidiagonal, berarti dapat dinyatakan sebagai:
i) ijibB , dengan 1
iib , ni ,...,1 ; 0
,1 jjb , 1,...,1 nj ; dan entri
ijb lainnya adalah nol.
ii). ijicC , dengan 1
iic , ni ,,2,1 ; 0
1, jjc , 1,,2,1 nj ; dan entri
ijc lainnya adalah nol.
Kasus 1: 0,1 jj
b , 1,,2,1 nj dan 01, jj
c , 1,,2,1 nj .
Dalam hal ini minor-minor dari matriks ijibB dan
ijicC adalah nonnegatif.
Sehingga menurut definisi (4.1.1) ijibB dan
ijicC adalah matriks positif
total dan tentu saja merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total.
Kasus 2: Ada 0,1 jj
b , 1,,2,1 nj atau 01, jj
c , 1,,2,1 nj .
Dalam hal ini, matriks-matriks ijibB dan
ijicC masing-masing dapat
dinyatakan sebagai:
21DBDbB
iiji, dengan
ijibB dan 0
,1 jjb untuk 1,,2,1 nj
21DCDcC
iiji, dengan
ijicC dan 0
1, jjc untuk 1,,2,1 nj .
Dalam hal ini1D dan
2D merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama
adalah 1 .
Dari kasus 1) dan 2) tentang ijibB dan
ijicC maka B dan C masing-
masing merupakan perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Perhatikan pada sisi kanan hubungan (5.2) merupakan perkalian sebanyak 12n
dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Selanjutnya pada sisi kanan hubungan (5.4) merupakan perkalian sebanyak k
matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Dengan mengambil 12nk akan diperoleh bahwa hubungan persamaan (5.2)
dan persamaan (5.3) adalah analog, yaitu:
faktork
k
faktorn
nnnAAACCDCBBBA
21
12
121121 .....(5.5)
Dengan demikian suatu matriks riil A berukuran nn , 2n merupakan
hasilkali dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Berdasarkan hubungan persamaan (5.5) terdapat k yang menyatakan banyaknya
matriks sebagai faktor dalam faktorisasi.
Sebagaimana pada faktorisasi matriks bidiagonal bahwa banyaknya faktor
minimal pada faktorisasi masih merupakan pertanyaan terbuka demikian pula
halnya pada faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total.
Sebagai contoh akan ditunjukkan bahwa matriks:
01
10A
adalah hasilkali tepat dari tiga matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total dan
tidak kurang dari itu.
Untuk menunjukkan bahwa cukup tiga yang memenuhi pada matriks A tersebut
dapat diambil faktorisasi:
10
11
11
01
10
11
01
10 ..... (5.6)
Pada hubungan kesamaan (5.6) dapat diverifikasi bahwa setiap faktor pada sisi
sebelah kanan dari faktorisasi tersebut merupakan matriks-matriks ekuivalen
bertanda positif total yaitu:
a. Untuk Matriks 10
11, pilih
1D
10
01 dan
10
01
2D yang
masing-masing merupakan matriks diagonal , maka terdapat
10
11Q
yang merupakan matriks positif total sedemikian sehingga:
10
01
10
11
10
01
10
11
21QDD ..... (5.6a)
b. Untuk Matriks 11
01, pilih
1D
10
01 dan
10
01
2D yang masing-
masing merupakan matriks diagonal, maka terdapat:
10
11Q
yang merupakan matriks positif total sedemikian sehingga
10
01
10
11
10
01
10
11
21QDD ..... (5.6b)
c. Untuk matriks 10
11, pilih
1D
10
01 dan
10
01
2D masing-
masing merupakan matriks diagonal, maka terdapat:
10
11Q
yang merupakan matriks positif total sedemikian sehingga:
10
01
10
11
10
01
10
11
21QDD ..... (5.6c)
Dari (5.7a), (5.7b) dan (5.7c) menurut definisi (4.2.1) maka matriks-matriks:
10
11,
11
01 dan
10
11
adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Sekarang akan ditunjukkan bahwa A tidak dapat difaktorkan sebagai hasilkali
dari dua matriks ekuivalen bertanda positif total.
Andaikan A dapat difaktorkan sebagai hasilkali dari dua matriks ekuivalen
bertanda positif total, yakni:
321
CDBDDA ….. (5.7)
dimana 21
, DD dan 3
D matriks – matriks diagonal dengan entri diagonal utama
adalah + 1, sementara B dan C merupakan matriks-matriks positif total.
Selanjutnya dengan perkalian dari kiri oleh 1
D dan perkalian dari kanan oleh 3
D
pada persamaan (5.7) diperoleh:
3321131
)( DCDBDDDADD33211
)( DDCBDDD ..... (5.8)
Karena 21
, DD dan 3
D merupakan matriks –matriks diagonal dengan elemen-
elemen diagonal sama dengan + 1 berarti invers masing masing adalah dirinya
sendiri atau 1
1
1DD ,
2
1
2DD dan
3
1
3DD akibatnya:
IDD11
, IDD22
dan IDD33
.
Sehingga persamaan (5.8) menjadi:
ICBDIADD )(231
CBD2
..... (5.9)
akhirnya dapat diperiksa bahwa:
0
0
2
1
31EADD ,dimana 1,1,
21 .
Karena E, B dan C adalah non singular maka ada 1E , 1
B dan 1C sehingga
(5.9) menjadi:
1
2
11
2
1)( BDCCBDE ,
atau
1
2
1
2
11)( BDBDCCCE ,
atau
1
2
1
22)( CEDBDD
yang berakibat bahwa :
1
2
1CEDB
Misalkan :
2221
12111
gg
ggB
Karena B adalah matriks positif total maka 0)det( B akibatnya 0)det(1
B ,
0,2211
gg dan 0,2112
gg .
Ambil 2
1
20
0
d
dD ,
2221
1211
cc
ccC
Karena 0
0
2
1E berarti
01
10
0
01
1
2
2
1
21
1E
dan
karena 1,1,21
berarti 1
1
1 dan
2
2
1
akibatnya
0
0
1
21E
Sehingga diperoleh
0
0
0
0
1
2
2221
1211
2
11
2cc
cc
d
dCED
21222212
11211211
cdcd
cdcd
Karena C adalah matriks positif total dan nonsingular maka diperoleh :
0,2211
cc , 0,2112
cc dan 0)det(21122211ccccC ..... (5.10)
Selanjutnya, dari bentuk 1
2
1CEDB diperoleh 1
2211dd sementara
11221
dd .
Akibatnya :
0)det()det(2211211221122211
1
2
1ccccggggCEDB ….. (5.11)
Dengan demikian hubungan (5.10) dan (5.11) merupakan suatu kontradiksi.
Dalam bagian sebelumnya telah dikenal berbagai faktorisasi pada matriks.
Faktorisasi tersebut dapat dihubungkan dengan faktorisasi pada matriks ekuivalen
bertanda positif total dengan mengambil contoh kasus pada matriks berukuran
22 sebagai berikut:
1). Untuk Faktorisasi Cholesky
Untuk kasus matriks berukuran 22 Faktorisasi Cholesky dinyatakan dengan :
22
2111
2221
11
2221
1211
0
0
k
kk
kk
k
hh
hh
Sesuai definisi faktorisasi Cholesky matriks segitiga bawah yang disebut segitiga
Cholesky jelas setiap elemen segitiga adalah positif, berarti 0kii
, 0ki2
dan
0k22
.
Akibatnya ,
00
0
2211
22
2111
2221
11kk
k
kk
kk
k.
Ambil 2
1
10
0
d
dD dan
2
1
20
0D dengan ,,
21dd 1,1,
21
Perhatikan matriks sisi kanan sesuai hubungan pada faktorisasi Cholesky dengan
menggunakan hubungan (4.4) yakni :
2221
1211
2
1
0
0
d
d
2221
110
kk
k
2
1
0
0
22222212
11110
kdkd
kd
diperoleh:
111111kdq ; 0q
12 ;
211221kdq ;
222222kdq .
Sesuai definisi (4.2.1), bahwa 2221
1211
qq merupakan matriks positif total, maka
02211212121122211kkddqqqq yang berarti 1
2121dd .
Sehingga dapat diambil 2 diantara entri diagonal utama 1
D dan 2
D adalah 1 dan
entri diagonal utama lainnya adalah 1.
Salah satu pasangan 1
D dan 2
D yang dapat dipilih adalah:
10
01 dan
10
01 .
Dengan mengambil Q = 2221
110
kk
k merupakan matriks positif total maka
21
2221
11
2221
11
10
010
10
010QDD
kk
k
kk
k
Menurut definisi (4.2.1), maka 2221
110
kk
k adalah matriks ekuivalen bertanda
positif total.
Tanpa mengurangi keumuman dapat disimpulkan bahwa 22
2111
0 k
kk juga
merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total.
Jadi, pada matriks yang dapat difaktorkan dengan cara faktorisasi Cholesky
berlaku juga faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total.
2). Untuk Faktorisasi LU
Untuk kasus matriks A berukuran 22 dengan faktorisasi LU dinyatakan
sebagai:
22
2111
2221
11
2221
1211
0
0
u
uu
ll
l
aa
aa ….. (5.12)
Ambil 2
1
10
0
d
dD dan
2
1
20
0D dengan 1,1,
21dd dan
1,1,21
Perhatikan matriks-matriks sisi kanan faktorisasi (5.12), yakni:
2
1
2221
1211
2
1
2221
11
0
0
0
00
d
d
ll
l ..... (5.12a)
dengan ,,21dd 1,1,
21.
Dengan menggunakan hubungan (4.4) diperoleh:
22222112
1111
2
1
2221
11
2
1
2221
12110
0
00
0
0
ldld
ld
ll
l
d
d
qq .....(5.12b)
dimana 02211212121122211llddqqqq .
a. Untuk 02211ll berarti untuk matriks
1D dan
2D dapat diambil 2 diantara
entri diagonal utama adalah – 1 dan entri diagonal utama yang lain adalah 1.
Satu pasangan matriks 1
D dan 2
D yang dapat dipilih adalah
10
01 dan
10
01.
Dengan mengambil matriks Q = 2221
110
ll
l yang merupakan matriks positif
total, maka
21
2221
11
2221
11
10
010
10
010QDD
ll
l
ll
l …..(5.12c)
b. Untuk 02211ll berarti untuk matriks
1D dan
2D dapat diambil 3 diantara
elemen bernilai –1 dan elemen diagonal lain 1.
Diantara kemungkinan dari 1
D dan 2
D yang dapat dipilih adalah:
10
01 dan
10
01
dengan mengambil Q = 2221
110
ll
l yang merupakan matriks positif total maka:
21
2221
11
2221
11
10
010
10
010QDD
ll
l
ll
l ….. (5.12d)
Dari (5.12c) dan (5.12d) menurut definisi (4.2.1) maka 2221
110
ll
l adalah matriks
ekuivalen bertanda positif total.
Dengan cara yang sama untuk matriks segitiga atas 22
2111
0 u
uu dapat
dikonstruksi sedemikian sehingga 21
22
2111
0QDD
u
uu dengan Q matriks positif
total, 1
D dan 2
D matriks diagonal dengan elemen diagonal 1.
Sesuai definisi maka 22
2111
0 u
uu adalah matriks ekuivalen bertanda positif total.
3). Untuk Faktorisasi QR
Sebagaimana pada faktorisasi Cholesky dan faktorisasi LU maka pada
faktorisasi QR dapat pula bahwa pada matriks persegi riil yang merupakan
hasilkali matriks ortogonal Q dan matriks segitiga atas R yang juga berbentuk
matriks persegi dapat dikonstruksi sebagai hasil kali dari matriks-matriks
ekuivalen bertanda positif total.
Dalam kasus matriks berukuran 22 pada faktorisasi QR dengan
memeriksa determinan matriks ortogonal Q dan matriks segitiga atas R,
sedemikian sehingga hubungan QRA sebagai faktorisasi QR juga merupakan
faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total.
Berikut ini beberapa contoh sederhana menunjukkan berlakunya teorema
(4.3.1) sebagai berikut:
Contoh 1: 42
53A
Dengan langkah operasi baris elementer (OBE):
1). 211bbb
Diperoleh 42
11 dengan matriks elementer
10
11
1E
Nyatakan 10
111
11EB adalah matriks ekuivalen bertanda positif total.
2). 122
2 bbb
Diperoleh 73
11
3B yang merupakan matriks ekuivalen bertanda positif
total dengan matriks elementer 21
01
2E
Nyatakan 2/12/1
011
22EB merupakan matriks ekuivalen bertanda
positif total.
Dari 1) dan 2) maka: 42
53
10
11
2/12/1
01
73
11
Ketiga matriks disisi kanan adalah matriks ekuivalen bertanda positif total.
Contoh 2: 42
32B
Dengan langkah operasi baris elementer (OBE):
1). 122
3 bbb
Diperoleh 98
32 dengan matriks elementer
31
01
1E
Nyatakan 3/13/1
011
1
EC merupakan matriks ekuivalen bertanda
positif total.
2). 211
2 bbb
Diperoleh 98
154 yang merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total
dengan matriks elementer 10
12
2E
Nyatakan 10
2/12/11
2ED merupakan matriks ekuivalen bertanda
positif total.
Dari 1) dan 2) maka: 42
32
3/13/1
01
10
2/12/1
98
154
Contoh 3: 12
43A
Dengan menggunakan faktorisasi Loewner-Neville yakni:
BDCA
Ambil 2
1
0
0
d
dD
B dan C menurut hubungan (2.9) dan (2.10) adalah sebagai:
1
01
21b
B , 10
112c
C
sehingga diperoleh hubungan:
10
1
0
0
1
01
12
4312
2
1
21
c
d
d
b212211211
1211
dcbdbd
cdd ….. (6.1)
Dengan menyelesaikan hubungan persamaan (6.1) diperoleh:
31d , 3/5
2d , 3/2
21b , 3/4
12c
berarti, 13/2
01B dan
10
3/41C jelas adalah matriks positif total
Karena B dan C matriks positif total tentu pula merupakan matriks ekuivalen
bertanda positif total.
Selanjutnya, 3/50
03D dapat dinyatakan sebagai:
2110
01
3/50
03
10
01
3/50
03QDDD
Dalam hal ini 10
01
1D ,
10
01
1D merupakan matriks diagonal sesuai
definisi (4.2.1) dan 3/50
03Q merupakan matriks positif total.
Sesuai definisi(4.2.1) maka:
3/50
03D
adalah matriks ekuivalen bertanda positif total.
Jadi A dapat difaktorkan menjadi perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda
positif total, yaitu:
10
3/41
3/50
03
13/2
01
12
43
Contoh 4 :
113
204
131
A
Misalkan 54321AAAAAA , dengan 5,...,1, kA
k merupakan matriks-matriks
ekuivalen bertanda positif total.
Dengan faktorisasi Loewnner- Neville hubungan (5.3), yakni:
1221CDCBBA
maka menurut (2.9) dan (2.10) diperoleh:
14/30
010
001
11BA ,
1120
014
001
4
3
22BA ,
2600
0120
001
3DA ,
100
6/110
031
24CA , dan
100
3/110
001
15CA .
Untuk tiap-tiap matriks yang diperoleh tersebut dapat dinyatakan sebagai:
i).
14/30
010
001
1A
100
010
001
14/30
010
001
21
100
010
001
QDD ,
dimana
14/30
010
001
Q adalah matriks positif total.
ii).
1120
014
001
4
3
2A
100
010
001
1120
014
001
4
3
21
100
010
001
QDD ,
dimana
1120
014
001
4
3
Q merupakan matriks positif total.
iii).
2600
0120
001
3A
100
010
001
2600
0120
001
21
100
010
001
QDD
dimana
2600
0120
001
Q merupakan matriks positif total.
iv).
100
6/110
031
4A
100
010
001
100
6/110
031
21
100
010
001
QDD ,
dimana
100
6/110
031
Q adalah matriks positif total.
v).
100
3/110
001
5A
100
010
001
100
3/110
001
21
100
010
001
QDD ,
dimana
100
3/110
001
Q adalah matriks positif total.
Karena 1D ,
2D untuk i), ii), iii), iv) dan v) adalah matriks diagonal dengan entri
diagonal utama adalah 1 , maka sesuai definisi (4.2.1) jelas 1A ,
2A ,
3A ,
4A , dan
5A adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Akibatnya, A dapat difaktorkan menjadi perkalian dari matriks-matriks ekuivalen
bertanda positif total yaitu:
113
204
131
14/30
010
001
1120
014
001
4
32600
0120
001
100
6/110
031
100
3/110
001
Berdasarkan uraian dan contoh serta bukti teorema tersebut diatas maka
untuk setiap matriks riil ijaA berukuran nn , 2n difaktorkan menjadi:
kAAAA ...
21
dengan iA , ki ,,1 merupakan matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Untuk memeriksa apakah matriks - matriks iA , ki ,,1 merupakan matriks -
matriks yang memenuhi definisi (4.2.1) cukup dengan memeriksa matriks-matriks
iQ , ki ,...,1 sebagai matriks-matriks yang memenuhi definisi (4.1.1) ber -
dasarkan persamaan yang memenuhi hubungan (4.3), yakni:
21
DADQii
, ki ,...,2,1 ...... (6.2)
dimana 1D dan
2D adalah matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1 .
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang dilakukan tentang matriks positif total, matriks
ekuivalen bertanda positif total dan faktorisasi pada matriks bertanda positif total
dengan pembuktian teorema yang berhubungan dengan faktorisasi matriks
ekuivalen bertanda positif total, maka dapat disimpulkan:
1). Suatu matriks riil )(ijaA berukuran nn , dengan 2n merupakan matriks
positif total apabila setiap minornya adalah nonnegatif.
a). Untuk 2n , matriks riil A merupakan matriks positif total jika
0)det( A .
b). Untuk 2n , matriks riil A merupakan matriks positif total jika setiap
minor ij
a ditulis ij
M dengan ni ,...,1 dan n,...,1j adalah nonnegatif.
2). Suatu matriks riil )a(Aij
berukuran nn , dengan 2n merupakan matriks
ekuivalen bertanda positif total jika dapat dinyatakan sebagai 21
QDDA ,
dengan Q adalah matriks positif total, 1
D dan 2
D merupakan matriks
diagonal dengan entri diagonal utama ± 1. Hubungan ini disajikan sebagai:
nnnnn
n
n
nnnnn
n
n
qqq
qqq
qqq
d
d
d
aaa
aaa
aaa
00
00
00
00
00
00
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
dengan 1,1,kk
d untuk nk ,...,1 .
atau:
nnnnn
n
n
nnnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
d
d
d
qqq
qqq
qqq
00
00
00
00
00
00
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
dengan ijjiijadq , ni ,...,1 ; nj ,...,1 dan }1,1{,
jid .
3). Matriks-matriks 1
D dan 2
D yang dapat dipilih untuk memeriksa suatu
matriks berukuran nn sebagai matriks ekuivalen bertanda positive total
sebanyak: 12n kemungkinan matriks disamping matriks identitas yakni
matriks-matriks diambil dari kemungkinan penyajian matriks diagonal:
100
010
001
4). Faktorisasi dari matriks A merupakan hubungan kesamaan matriks A dengan
perkalian matriks-matriks lain yakni:
kFFFA .....
21,
dengan matriks iF , ki ,...,1 memenuhi kondisi-kondisi tertentu.
5). Setiap matriks riil A berukuran nn , dengan 2n dapat difaktorkan menjadi
hasilkali matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total ditulis sebagai:
kAAAA ......
21 ,
dengan iA , ki ,...,1 matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Hal ini ditunjukkan berdasarkan sebuah fakta pada faktorisasi Loewner-
Neville bahwa setiap matriks persegi adalah hasilkali dari matriks-matriks
bidiagonal.
B. Saran
Pada penelitian ini, pembahasan faktorisasi pada matriks ekuivalen bertanda
positif total hanya pada matriks riil persegi dan dasar utama untuk membuktikan
bahwa setiap matriks berukuran nn , 2n merupakan perkalian dari matriks-
matriks ekuivalen bertanda positif total digunakan fakta pada faktorisasi Loewner-
Neville yaitu setiap matriks persegi merupakan hasilkali matriks-matriks
bidiagonal. Diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat dilakukan pada matriks
yang lebih umum dan cara pembuktian yang lain.
Penerapan atas berlakunya teorema faktorisasi matriks ekuivalen bertanda
positif total pada penelitian ini hanya dihubungkan dengan faktorisasi: Cholesky,
LU dan QR, maka diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat dilakukan pada
faktorisasi matriks lainnya.
Selanjutnya, permasalahan tentang banyaknya matriks minimum yang
dilibatkan sebagai faktor pada faktorisasi matriks ekuivelen bertanda positif total
masih merupakan pertanyaan terbuka. Diharapkan pada penelitian berikutnya
akan memperoleh jawaban terhadap masalah ini.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1988. Aljabar Linier Elementer Edisi Kelima. Erlangga. Jakarta
Fiedler, M & Markham, T.L.1997. Consecutive Column and Row properties of
Matrices and the Loewner-Neville factorization. Linear Algebra and its
Applications, 266: 243 – 259. Elsevier Science Inc. New York.
Gasca, M & Peña, J.M. 1996. On Factorizations of Totally Positive Matrices,
Total Positivity and Its Applications, pp. 1-3 Kluwer Academic Publisher.
Dordrecht.
Golub, G. H dan Loan, C. F. 1996. Matrix Computations (Third edition). The
John Hopkins University Press. Baltimore London.
Hager, W. W. 1988. Applied Linear Algebra.Prentice Hall.Inc. Englewood Cliff,
New Jersey.
Harville, D. A. 1997. Matrix Algebra From A Statiscian Perspektive. Springer-
Verleg. Inc. New York.
Hershkowitz, D. & Pinkus, A. 2007. On Nonnegative Sign Equivalent and Sign
Similar Factorizations of Matrices. Electronics Journal of Linear Algebra
(ELA). ISSN 1081-3810. Volume 16. pp. 162-170.
Horn, R.A & Johnson , C.R. 1985. Matrix Analysis. Cambridge University Press.
Jacob, B. 1990. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company. New York.
Johnson, C.R, Olesky, D.D & Driessche, P.v. 1999. Elementary Bidiagonal
Factorizations, Linear Algebra and Its Applications, 292:233-234.
Elsevier Science Inc. New York.
Leon,S.J.2001. Aljabar Linier dan Aplikasinya(Terjemahan). Erlangga. Jakarta.
Polyanin, A.D. & Manzhirov, A.V. 2007. Mathematics for Engineers and
Scientists. Chapman & Hall. New York.
Riley, K.F, Hobson, M.P & Bence,S.J. 2006. Mathematical Methods for Physics
and Engineering. Cambridge University Press.
Strang, G. 1988. Linear Algebra and Its Applications. Harcourt Brace Jovanovich.
Sandiego.
Zwilinger, D. 2003. Standard Mathematical Tables and Formulae. Chapman &
Hall /CRC Press Company. New York.
