BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDER 1 · PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDER 1 ... bebas y dan satu atau lebih koefisien diferensial y terhadap x, ... Contoh aplikasi dalam bidang

Teknik Kimia UNWAHAS

Matematika Teknik Kimia II 1

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDER 1

Persamaan diferensial adalah hubungan antara variabel bebas x, variabel tak

bebas y dan satu atau lebih koefisien diferensial y terhadap x, misalnya:

𝑥2 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 sin 𝑥 = 0

𝑥𝑦𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑒3𝑥 = 0

Orde suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang

terdapat dalam persamaan tersebut.

𝑥2 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 sin 𝑥 = 0 adalah persamaan diferensial orde satu

𝑥𝑦𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑒3𝑥 = 0 adalah persamaan diferensial orde dua

Pembentukan persamaan diferensial

Contoh: 𝑦 = 𝐴 sin 𝑥 + 𝐵 cos 𝑥 dimana A dan B = konstanta sembarang

Maka bentuk diferensialnya adalah

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝐴 cos 𝑥 − 𝐵 sin 𝑥

𝑑2𝑦

𝑑2𝑥= −𝐴 sin 𝑥 − 𝐵 cos𝑥

Contoh 2. Bentuk persamaan diferensial dari fungsi 𝑦 = 𝑥 +𝐴

𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 1 − 𝐴𝑥−2

Catatan:

bentuk 𝑑𝑦

𝑑𝑥 dapat ditulis sebagai 𝑦 ′

dan

bentuk 𝑑2𝑦

𝑑2𝑥 dapat ditulis sebagai 𝑦 ′′

Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Order 1

1. Dengan Integrasi langsung

Jika persamaannya dapat disusun dalam bentuk 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥), maka persamaan

tersebut dapat dipecahkan dengan integrasi sederhana.



Contoh 1. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2 − 6𝑥 + 5

𝑦 = ∫ (3𝑥2 − 6𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥+C

𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥+C

Contoh 2 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 5𝑥3 + 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 5𝑥2 +

4

𝑥

𝑦 =5𝑥3

3+ 4𝑙𝑛𝑥 + 𝐶

Harga C tidak dapat ditentukan kecuali bila diberi tambahan keternagan

tentang fungsi tersebut. Dalam bentuknya yang masih menampilkan konstanta

C, fungsi disebut sebagai jawab umum/persamaan umum. Jika diberikan

sebuah harga y untuk sebuah harga x tertentu, maka harga C dapat dihitung

dan hasilnya disebut sebagai harga khusus.

Contoh 3. Tentukan jawab khusus bagi persamaan 𝑒𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4 jika diberikan

bahwa y=3 untuk x=0

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

4

𝑒𝑥= 4𝑒−𝑥

𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑦 = 4𝑒−𝑥 = −4𝑒−𝑥 + 𝐶

Dengan mengetahui bahwa y=3 untuk x=0, kita dapat menghitung C.

𝑦 = ∫4𝑒−𝑥 = −4𝑒−𝑥 + 𝐶

3 = −4𝑒−0 + 𝐶

C=7

Sehingga

𝑦 = −4𝑒−𝑥 + 7

2. Dengan pemisahan variabel

Jika persamaan yang diberikan berbentuk 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦), maka variabel y yang

muncul di ruas kanan mencegah kita memecahkannya dengan integrasi

langsung. Karena itu kita harus mencari pemecahan yang lain.



Misalkan kita tinjau persamaan dalam bentuk 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 .𝐹(𝑦) dan dalam

bentuk 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑓(𝑥)

𝐹(𝑦), yaitu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan

sebagai perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y. Untuk lebih jelas, bisa

dilihat dari beberapa contoh berikut:

Contoh 1. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2𝑥

𝑦+1

Kita dapat menuliskannya sebagai:(𝑦 + 1)𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

Dengan mengintegrasikan kedua ruas terhadap x maka akan kita peroleh hasil:

(𝑦 + 1)𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥

(𝑦 + 1)𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝑦2

2+ 𝑦 = 𝑥2 + 𝐶

Contoh 2. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 1 + 𝑥 (1 + 𝑦)

Maka pemecahannya adalah sebagai berikut:

1

(1+𝑦)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 1 + 𝑥

Integrasikan kedua ruasnya terhadap x

∫1

(1+𝑦)

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑥 = ∫ 1 + 𝑥 𝑑𝑥

∫1

(1+𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 1 + 𝑥 𝑑𝑥

ln 1 + 𝑦 = 𝑥 +𝑥2

2+ 𝐶

Cara ini bergantung pada kejelian kita untuk dapat menyatakan persamaan

dalam bentuk 𝐹 𝑦 .𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥). Jika hal tersebut berhasil kita lakukan maka

proses selanjutnya akan mudah, karena kita akan mendapatkan:

∫𝐹 𝑦 .𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

∫𝐹 𝑦 .𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥



Contoh 3. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1+𝑦

2+𝑥

1

1+𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2+𝑥

Integrasikan kedua ruasnya dengan x

∫1

1+𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑥 = ∫

1

2+𝑥𝑑𝑥

∫1

1+𝑦𝑑𝑦 = ∫

1

2+𝑥𝑑𝑥

ln(1 + y) = ln (2 + x) + C

Jika konstanta C kita tuliskan sebagai logaritma konstanta lain yakni A maka:

ln(1 + y) = ln (2 + x) + ln A

1 + y = A. (2 + x)

Latihan. Selesaikan persamaan berikut:

1. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦2 + 𝑥𝑦2

𝑥2𝑦 − 𝑥2

5. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦

𝑥

2. 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦2 − 1

𝑥

6. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 + 2 (𝑥 + 1)

3.

𝑥𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥2 + 1

𝑦 + 1

7. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥𝑦 − 𝑦

4.

𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 + 𝑥𝑦

3. Persamaan Homogen-dengan subtitusi y=vx

Tinjaulah persamaan 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥+3𝑦

2𝑥, nampaknya cukup sederhana, tetapi ternyata

kita tidak dapat menyatakannya dalam bentuk faktor x dan faktor y. Sehingga

kita tidak dapat menyelesaikannya menggunakan metode pemisahan variabel.

Oleh karenanya kita lakukan substitusi y=vx, dengan v adalah fungsi x.

Jadi 𝑦 = 𝑣𝑥

Diferensiasikan terhadap x menggunakan kaidah perkalian.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑣

𝑑𝑥

𝑑𝑥+ 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑣. 1 + 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 𝑣 + 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥



Dan dari soal kita akan mendapatkan:

𝑥 + 3𝑦

2𝑥=

𝑥 + 3𝑣𝑥

2𝑥=

1 + 3𝑣

2

Persamaannya sekarang menjadi:

𝑣 + 𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥=

1 + 3𝑣

2

𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥=

1 + 3𝑣

2− 𝑣 =

1 + 3𝑣 − 2𝑣

2=

1 + 𝑣

2

𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥=

1 + 𝑣

2

Persamaan diatas selanjutnya bisa diselesaikan menggunakan metode

pemisahan variabel:

2

1 + 𝑣𝑑𝑣 =

1

𝑥𝑑𝑥

2

1 + 𝑣𝑑𝑣 =

1

𝑥𝑑𝑥

2 ln 1 + 𝑣 = ln 𝑥 + 𝐶 = ln 𝑥 + ln 𝐴

1 + 𝑣 2 = 𝐴𝑥

Contoh 1. Pecahkanlah: 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥2+𝑦2

𝑥𝑦

Penyelesaian:

𝑑𝑦


𝑑𝑣

𝑑𝑥

Dan 𝑥2+𝑦2

𝑥𝑦=

𝑥2+𝑣2𝑥2

𝑣𝑥 2 =1+𝑣2

𝑣

Persamaannya sekarang menjadi

𝑣 + 𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥=

1 + 𝑣2

𝑣

𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥=

1 + 𝑣2

𝑣− 𝑣 =

1 + 𝑣2 − 𝑣2

𝑣=

1

𝑣

𝑣 𝑑𝑣 =𝑑𝑥

𝑥

𝑣 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

𝑥

𝑣2

2 = ln 𝑥 + 𝐶



Contoh 2. Pecahkanlah persamaan 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2𝑥𝑦 +3𝑦2

2𝑥𝑦+𝑥2

Penyelesaian

Subtitusikan y=vx

𝑑𝑦


𝑑𝑣

𝑑𝑥 dan

2𝑣𝑥2 + 3𝑣2𝑥2

𝑥2 + 2𝑣𝑥2=

2𝑣 + 3𝑣2

1 + 2𝑣

𝑣 + 𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥=

2𝑣 + 3𝑣2

1 + 2𝑣

𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥=

2𝑣 + 3𝑣2

1 + 2𝑣− 𝑣 =

2𝑣 + 3𝑣2 − 𝑣 − 2𝑣2

1 + 2𝑣=

𝑣 + 𝑣2

1 + 2𝑣

1 + 2𝑣

𝑣 + 𝑣2𝑑𝑣 =

𝑑𝑥

𝑥

1 + 2𝑣

𝑣 + 𝑣2𝑑𝑣 =

𝑑𝑥

𝑥

ln(𝑣 + 𝑣2) = ln 𝑥 + 𝐶 = ln 𝑥 + ln𝐴

(𝑣 + 𝑣2) = 𝐴𝑥

Ingat bahwa y=vx, maka v=y/x sehingga

(𝑦

𝑥+

𝑦2

𝑥2) = 𝐴𝑥

xy + 𝑦2 = 𝐴𝑥3

Latihan soal. Selesaikan persamaan berikut:

1.

𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥𝑦

2.

2𝑥2𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥2 + 𝑦2

3.

𝑥𝑦 + 𝑥2𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥𝑦 − 𝑦2

4. Persamaan linier-penggunaan faktor integral

Persamaan diferensial biasa orde 1 dapat diselesaikan menggunakan faktor

integral apabila bentuk persamaan diferensial adalah linier. Bentuk persamaan

tersebut adalah sebagai berikut:

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃𝑦 = 𝑄



Dengan P,Q adalah fungsi x, P,Q=f(x), maka persamaan diselesaikan dengan

mengalikan kedua ruasnya dengan faktor integral (FI). Dimana FI= 𝑒∫𝑃𝑑𝑥

sehingga akan diperoleh:

𝑑𝑦

𝑑𝑥. 𝑒∫𝑃𝑑𝑥 + 𝑃𝑦. 𝑒∫ 𝑃𝑑𝑥 = 𝑄. 𝑒∫𝑃𝑑𝑥

Ruas kiri merupakan koefisien diferensial dari 𝑦. 𝑒∫ 𝑃𝑑𝑥, sehingga

𝑑

𝑑𝑥(𝑦. 𝑒∫𝑃𝑑𝑥 ) = 𝑄. 𝑒∫𝑃𝑑𝑥

Selanjutnya kedua ruas diintegrasikan terhadap x, sehingga diperoleh:

𝑦. 𝑒∫𝑃𝑑𝑥 = 𝑄. 𝑒∫𝑃𝑑𝑥 𝑑𝑥

Jika faktor integrasinya kita nyatakan dengan FI maka hasil diatas dapat kita

tuliskan sebagai:

𝑦.𝐹𝐼 = 𝑄.𝐹𝐼 𝑑𝑥

Catatan: beberapa bentuk penyederhanaan yang berguna dalam mencari

faktor integrasi: 𝑒𝑙𝑛𝑥 = 𝑥

Contoh 1. Pecahkanlah 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥3

Penyelesaian:

Bentuk umum persamaan yang dapat diselesaikan menggunakan metode

faktor integrasi adalah 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃𝑦 = 𝑄, maka

𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥3

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑦

𝑥= 𝑥2

dengan 𝑃 =1

𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑄 = 𝑥2

Maka IF = 𝑒∫𝑃𝑑𝑥 = 𝑒∫1

𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑙𝑛𝑥 = 𝑥

Sehingga pemecahan untuk persamaan diferensial diatas adalah:


𝑦. 𝑥 = 𝑥2. 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3 𝑑𝑥

𝑦. 𝑥 =𝑥4

4+ 𝐶



Contoh 2. Pecahkanlah persamaan 𝑥 − 2 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦 = (𝑥 − 2)3

jika diberikan

bahwa y=10 bila x=4.

Penyelesaian

Bentuk umum persamaan yang dapat diselesaikan menggunakan metode

faktor integrasi adalah 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃𝑦 = 𝑄, maka

𝑑𝑦

𝑑𝑥−

𝑦

𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)2

𝑃 = −1

𝑥 − 2 𝑑𝑎𝑛 𝑄 = (𝑥 − 2)2

Maka IF = 𝑒∫𝑃𝑑𝑥 = 𝑒∫−

1

𝑥−2 𝑑𝑥

= 𝑒−ln(𝑥−2) =1

(𝑥−2)

Sehingga pemecahan untuk persamaan diferensial diatas adalah:


𝑦.1

(𝑥 − 2)= (𝑥 − 2)2.

1

(𝑥 − 2)𝑑𝑥 = (𝑥 − 2).𝑑𝑥

𝑦.1

(𝑥 − 2)=

1

2𝑥2 − 2𝑥 + 𝐶

Untuk x=4, y=10, maka:

10.1

(4 − 2)=

1

242 − 2.4 + 𝐶

5 = 8 − 8 + 𝐶

𝐶 = 5

Sehingga:

𝑦.1

(𝑥 − 2)=

1

2𝑥2 − 2𝑥 + 5

𝑦 = (1

2𝑥2 − 2𝑥 + 5). (𝑥 − 2)

Latihan soal. Selesaikan persamaan berikut:

1.

𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥

2. (1 + 𝑥2)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 3𝑥𝑦 = 5𝑥 jika y=2 saat x=1



Contoh aplikasi dalam bidang teknik kimia

1. Three tanks of 10000 galon capacity are each arranged so that when water

is fed into the first an equal quantity of solution overflows from the first to

the second tank, likewise from the second to the third, and from the third

to some point out of the system. Agitators keep the contents of each tank

uniform in concentration. To start, let each of the tanks be full of a

solution of concentration C0 lb/gal. Run water into the first tank at 50

gpm, and let the overflows function as described above. Calculate the time

required to reduce the concentration in the first tank to C0/10. Calculate

the concentration in the other two tanks at this time.

2. Two similar vertical cylindrical tanks 6 ft in diameter and 10 ft high are

placed side by side with their bottoms at the same level. They are

connected at the bottom by a tube 2 ft long and 0,4 in ID. Tank A is full

of oil, and tank B is empty. Tank A has an outlet at the bottom, consisting

of a short tube 1 ft long and 0,4 in. in diameter. Both this outlet tube and

the connecting tube between the tanks are horizontal. Both tubes are

opened simultaneously. What is the maximum oil level reached in tank B?



5. Persamaan eksak atau penyelesaian eksak

Dari bentuk umum persamaan diferensial biasa orde 1, 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥,𝑦) , PDB

dapat diselesaikan dengan penyelesaian eksak jika bentuk dapat diubah

menjadi:

𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 = 0

Selain itu harus memenuhi persayaratan berikut:

𝑑𝑀

𝑑𝑦=

𝑑𝑁

𝑑𝑥

Untuk menyelesaikan mengikuti langkah-langkah berikut.

a. Misalkan penyelesaiannya adalah 𝜙 = 𝑓 𝑥,𝑦 , berdasarkan teori

diferensiasi, maka:

𝑑𝜙 =𝑑𝜙

𝑑𝑥𝑑𝑥 +

𝑑𝜙

𝑑𝑦𝑑𝑦

b. Ambil persamaan analog:

𝑑𝜙 =𝑑𝜙

𝑑𝑥𝑑𝑥 +

𝑑𝜙

𝑑𝑦𝑑𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

maka akan diperoleh hubungan

𝑑𝜙

𝑑𝑥= 𝑀,

𝑑𝜙

𝑑𝑦= 𝑁

c. Jika penyelesaian dimulai dari M, maka integrasikan M terhadap x:

𝑑𝜙

𝑑𝑥𝑑𝑥 = 𝑀𝑑𝑥 = 𝜙 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

d. Diferensiasikan hasil yang diperoleh pada point c terhadap y untuk

mendapatkan f’(y)

e. Analogikan f’(y) dengan N untuk mendapatkan konstanta

f. Jawaban akan berupa 𝜙 = 𝑓 𝑥,𝑦 + 𝑓(𝑦)

Contoh 1. 𝑥3 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝑥 + (cos𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

Penyelesaian:

(𝑥3 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑑𝑥 + (cos𝑥 + 2𝑦) 𝑑𝑦 = 0

Maka

(𝑥3 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝑥) = 𝑀 𝑑𝑎𝑛 (cos𝑥 + 2𝑦) = 𝑁

Uji M



𝑑𝑀

𝑑𝑦=

𝑑

𝑑𝑦(𝑥3 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝑥) = 0 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = − sin 𝑥

Uji N

𝑑𝑁

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(cos𝑥 + 2𝑦) = − sin 𝑥 + 0 = − sin 𝑥

𝑑𝑀

𝑑𝑦=

𝑑𝑁

𝑑𝑥= − sin 𝑥 ↝ 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘

Asumsikan penyelesaiannya adalah: 𝜙 = 𝑓 𝑥,𝑦

Cara 1. Mulai dari M.

Integrasikan M terhadap x

𝑑𝜙

𝑑𝑥𝑑𝑥 = 𝑀𝑑𝑥 = (𝑥3 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑑𝑥 = 𝜙 =

1

4𝑥4 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑓(𝑦)

Hasilnya, yakni: 𝜙 =1

4𝑥4 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑓(𝑦) didiferensiasikan terhadap y,

sehingga didapatkan

𝑑𝜙

𝑑𝑦= 0 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑓′(𝑦)

Analogikan dengan N, untuk mendapatkan konstanta:

𝑑𝜙

𝑑𝑦= 0 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑓′ 𝑦 = cos𝑥 + 2𝑦

𝑓′ 𝑦 = 2𝑦

𝑓 𝑦 = 2𝑦 𝑑𝑦 = 𝑦2 + 𝐶

Maka jawaban lengkapnya adalah:

𝜙 =1

4𝑥4 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑓(𝑦)

𝜙 =1

4𝑥4 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑦2 + 𝐶

Cara 2. Mulai dari N

Integrasikan N terhadap y

𝑑𝜙

𝑑𝑦𝑑𝑦 = 𝑁𝑑𝑦 = (cos 𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 𝜙 = cos 𝑥.𝑦 + 𝑦2 + 𝑓(𝑥)

Hasilnya, yakni: 𝜙 = cos𝑥. 𝑦 + 𝑦2 + 𝑓(𝑥)didiferensiasikan terhadap x, sehingga

didapatkan

𝑑𝜙

𝑑𝑥= −𝑦. sin 𝑥 + 𝑓′(𝑥)

Analogikan dengan M, untuk mendapatkan konstanta:



𝑑𝜙

𝑑𝑥= −𝑦. sin 𝑥 + 𝑓′(𝑥) = 𝑥3 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑓′ 𝑥 = 𝑥3

𝑓 𝑥 = 𝑥3 𝑑𝑥 =1

4𝑥4 + 𝐶


𝜙 = 𝑦 cos 𝑥 + 𝑦2 + 𝑓(𝑥)

𝜙 = 𝑦 cos𝑥 + 𝑦2 +1

4𝑥4 + 𝐶

Contoh 2. 6𝑦2𝑥 + 2𝑦3 𝑑𝑥 + 6𝑥2𝑦 + 6𝑦2𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0

Penyelesaian.

𝑀 = 6𝑦2𝑥 + 2𝑦3 𝑑𝑎𝑛 𝑁 = 6𝑥2𝑦 + 6𝑦2𝑥 + 2𝑦

Uji M

𝑑𝑀

𝑑𝑦=

𝑑

𝑑𝑦 6𝑦2𝑥 + 2𝑦3 = 12𝑥𝑦 + 6𝑦2

Uji N

𝑑𝑁

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥 6𝑥2𝑦 + 6𝑦2𝑥 + 2𝑦 = 12𝑥𝑦 + 6𝑦2

𝑑𝑀

𝑑𝑦=

𝑑𝑁

𝑑𝑥= 12𝑥𝑦 + 6𝑦2 ↝ 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘

Cara 1. Mulai dari M.

Integrasikan M terhadap x

𝑑𝜙

𝑑𝑥𝑑𝑥 = 𝑀𝑑𝑥 = (6𝑦2𝑥 + 2𝑦3)𝑑𝑥 =𝜙 = 3𝑥2𝑦2 + 2𝑦3𝑥 + 𝑓(𝑦)

Hasilnya, yakni: 𝜙 = 3𝑥2𝑦2 + 2𝑦3𝑥 + 𝑓(𝑦) didiferensiasikan terhadap y,

sehingga didapatkan

𝑑𝜙

𝑑𝑦= 6𝑥2𝑦 + 6𝑦2𝑥 + 𝑓′(𝑦)

Analogikan dengan N, untuk mendapatkan konstanta:

𝑑𝜙

𝑑𝑦= 6𝑥2𝑦 + 6𝑦2𝑥 + 𝑓′(𝑦) = 6𝑥2𝑦 + 6𝑦2𝑥 + 2𝑦

𝑓′ 𝑦 = 2𝑦

𝑓 𝑦 = 2𝑦 𝑑𝑦 = 𝑦2 + 𝐶




𝜙 = 3𝑥2𝑦2 + 2𝑦3𝑥 + 𝑓(𝑦)

𝜙 = 3𝑥2𝑦2 + 2𝑦3𝑥 + 𝑦2 + 𝐶

Cara 2. Mulai dari N

Integrasikan N terhadap y

𝑑𝜙

𝑑𝑦𝑑𝑦 = 𝑁𝑑𝑦 = (6𝑥2𝑦 + 6𝑦2𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 𝜙 = 3𝑥2𝑦2 + 2𝑦3𝑥 + 𝑦2 + 𝑓(𝑥)

Hasilnya, yakni: 𝜙 = 3𝑥2𝑦2 + 2𝑦3𝑥 + 𝑦2 + 𝑓(𝑥) didiferensiasikan terhadap x,

sehingga didapatkan

𝑑𝜙

𝑑𝑥= 6𝑥𝑦2 + 2𝑦3 + 𝑓′(𝑥)

Analogikan dengan M, untuk mendapatkan konstanta:

𝑑𝜙

𝑑𝑥= 6𝑥𝑦2 + 2𝑦3 + 𝑓′(𝑥) = 6𝑦2𝑥 + 2𝑦3

𝑓′ 𝑥 = 0

𝑓 𝑥 = 0 𝑑𝑥 = 0 + 𝐶


𝜙 = 3𝑥2𝑦2 + 2𝑦3𝑥 + 𝑦2 + 𝑓(𝑥)

𝜙 = 3𝑥2𝑦2 + 2𝑦3𝑥 + 𝑦2 + 𝐶

Latihan.

1.

2.

Persamaan Bernouli

Kelompok ini memiliki bentuk umum

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃𝑦 = 𝑄𝑦𝑛

Dengan P dan Q, adalah fungsi x (atau konstanta)

Langkah penyelesaiannya adalah:

Bagi kedua ruas dengan 𝑦𝑛 . Langkah ini akan memberikan

𝑦−𝑛𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃𝑦1−𝑛 = 𝑄



Kemudian misalkan 𝑧 = 𝑦1−𝑛, sehingga dengan mendiferensiasikan

𝑑𝑧

𝑑𝑥 kita

akan mendapatkan:

𝑑𝑧

𝑑𝑥= (1 − 𝑛)𝑦−𝑛

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Jika kita kalikan 𝑦−𝑛 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃𝑦1−𝑛 = 𝑄 dengan (1-n) maka kita akan

mendapatkan:

(1 − 𝑛)𝑦−𝑛𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 1 − 𝑛 𝑃𝑦1−𝑛 = (1 − 𝑛)𝑄

Dengan mengingat bahwa 𝑧 = 𝑦1−𝑛 dan

𝑑𝑧

𝑑𝑥= (1 − 𝑛)𝑦−𝑛 𝑑𝑦

𝑑𝑥 maka persamaan

diatas dapat kita tuliskan sebagai:

𝑑𝑧

𝑑𝑥+ 𝑃1𝑧 = 𝑄1

Dengan P1 dan Q1 adalah fungsi x. Selanjutnya kita dapat menyelesaian

persamaan tersebut diatas dengan faktor integrasi.

Contoh 1. 𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

𝑥𝑦 = 𝑥𝑦2

Penyelesaian:

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

𝑥𝑦 = 𝑥𝑦2

𝑦−2𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

𝑥𝑦−1 = 𝑥

Dalam hal ini 𝑧 = 𝑦1−𝑛 = 𝑦1−2 = 𝑦−1 sehingga

𝑑𝑧

𝑑𝑥= (−1)𝑦−2 𝑑𝑦

𝑑𝑥

Kalikan persamaan tersebut dengan (1-n) yakni (-1) agar suku pertamanya

menjadi 𝑑𝑧

𝑑𝑥:

𝑦−2𝑑𝑦

𝑑𝑥+

1

𝑥𝑦−1 = 𝑥

−𝑦−2𝑑𝑦

𝑑𝑥−

1

𝑥𝑦−1 = −𝑥

Sehingga diperoleh:

𝑑𝑧

𝑑𝑥−

1

𝑥𝑧 = −𝑥

Bentuk ini kemudian diselesaikan dengan faktor integrasi: dimana P=−1

𝑥 dan

Q=-x



FI= 𝑒∫ 𝑃𝑑𝑥 = 𝑒∫−1

𝑥𝑑𝑥 = 𝑒−𝑙𝑛𝑥 = 𝑒𝑙𝑛

1

𝑥 =1

𝑥

𝑧. 𝐹𝐼 = 𝑄.𝐹𝐼 𝑑𝑥

𝑧.1

𝑥= −𝑥.

1

𝑥𝑑𝑥

𝑧

𝑥= −𝑑𝑥 = −𝑥 + 𝐶

𝑧 = −𝑥2 + 𝐶𝑥

Karena 𝑧 = 𝑦−1 maka

𝑦−1 = −𝑥2 + 𝐶𝑥

𝑦 = (−𝑥2 + 𝐶𝑥)−1

Contoh 2. 2𝑦 − 3𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦4𝑒3𝑥

Penyelesaian

2𝑦 − 3𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦4𝑒3𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥−

2

3𝑦 =

−𝑦4𝑒3𝑥

3

𝑦−4𝑑𝑦

𝑑𝑥−

2

3𝑦−3 =

−𝑒3𝑥

3

Misalkan 𝑧 = 𝑦1−𝑛 = 𝑦1−4 = 𝑦−3 sehingga

𝑑𝑧

𝑑𝑥= (−3)𝑦−4 𝑑𝑦

𝑑𝑥

Dengan mengalikan kedua ruasnya dengan (1-n) yakni -3 maka persamaannya

menjadi:

−3𝑦−4𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦−3 = 𝑒3𝑥

Persamaan tersebut sama dengan:

𝑑𝑧

𝑑𝑥+ 2𝑧 = 𝑒3𝑥

Bentuk ini kemudian diselesaikan dengan faktor integrasi: dimana P=2 dan

Q=𝑒3𝑥

FI= 𝑒∫ 𝑃𝑑𝑥 = 𝑒∫2𝑑𝑥 = 𝑒2𝑥

𝑧. 𝐹𝐼 = 𝑄.𝐹𝐼 𝑑𝑥

𝑧. 𝑒2𝑥 = 𝑒3𝑥 . 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 =𝑒5𝑥

5+ 𝐶



Karena 𝑧 = 𝑦−3 maka

𝑧. 𝑒2𝑥 =𝑒5𝑥

5+ 𝐶

𝑦−3. 𝑒2𝑥 =𝑒5𝑥

5+ 𝐶

𝑦−3 =𝑒5𝑥 + 5𝐶

5. 𝑒2𝑥

𝑦3 =5. 𝑒2𝑥

𝑒5𝑥 + 5𝐶

Latihan

1. 𝑦 − 2𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥(𝑥 + 1)𝑦3

2. 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥𝑦3

3. 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑦4𝑒𝑥

4. 2𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑦3(𝑥 − 1)

Documents

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDER 1 · PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDER 1 ... bebas y dan satu atau lebih koefisien diferensial y terhadap x, ... Contoh aplikasi dalam bidang