31
BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 Pendahuluan Komputer, kalkulator, dan peralatan digital lainnya kadang-kadang dianggap oleh orang awam sebagai sesuatu yang ajaib. Sebenarnya peralatan elektronika digital sangat logis dalam operasinya. Bentuk dasar blok dari setiap rangkaian digital adalah suatu gerbang logika. Gerbang logika adalah rangkaian digital yang dapat dinyatakan dengan dua keadaan (tegangan/logika tinggi atau tegangan/logika rendah). Gerbang logika merupakan rangkaian dengan satu atau lebih sinyal masukan, tetapi hanya menghasilkan satu sinyal keluaran. Keluaran akan berlogika tinggi (1) atau berlogika rendah (0) tergantung pada sinyal masukan digital yang diberikan. Rangkaian digital di dalam computer digital dan system digital lainnya dirancang dengan menggunakan disiplin matematika, yaitu Aljabar Boole. Nama tersebut diambil dari nama penemunya yaitu George Boole. 3.2 Gerbang Logika Dasar Gerbang logika dasar ada tiga, yaitu : gerbang NOT (Inverter), gerbang AND, dan gerbang OR. 3.2.1 Gerbang NOT (Inverter) Gerbang NOT adalah gerbang logika dasar yang mempunyai satu sinyal masukan dan satu sinyal keluaran, dimana keluarannya selalu berlawanan dengan masukannya. Apabila sinyal masukan berlogika 1, maka keluarannya akan berlogika 0, begitu sebaliknya. Jadi, gerbang NOT berfungsi sebagai inverter (pembalik) inputnya. Simbol gerbang NOT diperlihatkan pada Gambar 3.1. Gambar 3.1. Simbol Inverter

BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

  • Upload
    haanh

  • View
    281

  • Download
    8

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

BAB III

GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN

3.1 Pendahuluan

Komputer, kalkulator, dan peralatan digital lainnya kadang-kadang

dianggap oleh orang awam sebagai sesuatu yang ajaib. Sebenarnya peralatan

elektronika digital sangat logis dalam operasinya. Bentuk dasar blok dari setiap

rangkaian digital adalah suatu gerbang logika.

Gerbang logika adalah rangkaian digital yang dapat dinyatakan dengan

dua keadaan (tegangan/logika tinggi atau tegangan/logika rendah). Gerbang logika

merupakan rangkaian dengan satu atau lebih sinyal masukan, tetapi hanya

menghasilkan satu sinyal keluaran. Keluaran akan berlogika tinggi (1) atau

berlogika rendah (0) tergantung pada sinyal masukan digital yang diberikan.

Rangkaian digital di dalam computer digital dan system digital lainnya

dirancang dengan menggunakan disiplin matematika, yaitu Aljabar Boole. Nama

tersebut diambil dari nama penemunya yaitu George Boole.

3.2 Gerbang Logika Dasar

Gerbang logika dasar ada tiga, yaitu : gerbang NOT (Inverter), gerbang

AND, dan gerbang OR.

3.2.1 Gerbang NOT (Inverter)

Gerbang NOT adalah gerbang logika dasar yang mempunyai satu sinyal

masukan dan satu sinyal keluaran, dimana keluarannya selalu berlawanan dengan

masukannya. Apabila sinyal masukan berlogika 1, maka keluarannya akan

berlogika 0, begitu sebaliknya. Jadi, gerbang NOT berfungsi sebagai inverter

(pembalik) inputnya. Simbol gerbang NOT diperlihatkan pada Gambar 3.1.

Gambar 3.1. Simbol Inverter

Page 2: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

29

Untuk menggambarkan level output dari masing-masing kombinasi input

dapat dibuat dengan menggunakan tabel kebenaran. Tabel 3.1 menunjukkan tabel

kebenaran inverter.

Tabel 3.1. Tabel Kebenaran Inverter

A Y

0 1

1 0

Persamaan logika atau fungsi aljabar boole untuk gerbang NOT adalah :

AY =

Operasi Inverter secara simbolis direpresentasikan dengan menggunakan garis di

atas.

Timing Diagram acap kali dibutuhkan untuk memudahkan dalam

menganalisa kinerja suatu system. Gambar 3.2 berikut menggambarkan timing

digram gerbang NOT.

Gambar 3.2. Timing Diagram Gerbang NOT

Dalam prakteknya, gerbang NOT disediakan dalam bentuk IC digital, dan

salah satu jenisnya adalah IC TTL (Transistor-transistor Logic). Seri IC TTL

untuk gerbang OR 2 input adalah 7404. IC 7404 menyediakan 6 buah gerbang

NOT. Gambar IC dan susunan pin IC 7404 ditunjukkan pada gambar berikut.

(a) Gambar IC 7404 (b) Susunan Pin IC 7404

Gambar 3.3. Gambar IC dan Susunan Pin IC 7404

Page 3: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

30

3.2.2 Gerbang AND

Gerbang AND mempunyai dua atau lebih sinyal masukan tetapi hanya

satu sinyal keluaran. Semua masukan harus dalam keadaan tinggi untuk

mendapatkan keluaran yang tinggi. Gambar 3.3 memperlihatkan simbol gerbang

AND 2 input.

Gambar 3.4. Simbol Gerbang AND 2 input

Tabel kebenaran gerbang AND untuk kombinasi 2 masukan A dan B

diperlihatkan pada Tabel 3.2.

Tabel 3.2. Tabel Kebenaran Gerbang AND 2 input

A B Y

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Persamaan logika atau fungsi aljabar untuk gerbang AND 2 input adalah :

BAY ⋅=

Operasi AND secara simbolis direpresentasikan dengan menggunakan operator

titik (dot), dan boleh juga disederhanakan tanpa menggunakan titik (dot). Gambar

3.5 berikut menggambarkan timing digram gerbang AND 2 input.

Gambar 3.5. Timing Diagram Gerbang AND 2 input

Dalam praktek, gerbang AND jenis TTL mempunyai nomor seri 7408. Gambar

susunan pin IC 7408 seperti ditunjukkan pada gambar 3.6 berikut :

Page 4: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

31

Gambar 3.6. Susunan Pin IC 7408 (AND 2 input)

3.2.3 Gerbang OR

Gerbang OR mempunyai dua atau lebih sinyal masukan tetapi hanya satu

sinyal keluaran. Jika salah satu atau semua sinyal masukannya tinggi, maka sinyal

keluarannya akan menjadi tinggi. Simbol gerbang OR 2 input diperlihatkan pada

Gambar 3.7.

Gambar 3.7. Simbol Gerbang OR 2 input

Tabel kebenaran gerbang OR untuk kombinasi 2 masukan A dan B

diperlihatkan pada Tabel 3.3.

Tabel 3.3. Tabel Kebenaran Gerbang OR 2 input

A B Y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Persamaan logika atau fungsi aljabar untuk gerbang OR 2 input adalah :

BAY +=

Operasi OR secara simbolis direpresentasikan dengan menggunakan operator

tambah (“+“). Gambar 3.8 berikut menggambarkan timing digram gerbang OR 2

input.

Page 5: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

32

Gambar 3.8. Timing Diagram Gerbang OR 2 input

Dalam praktek, IC TTL untuk gerbang OR 2 input adalah 7432. Gambar

susunan pin IC 7432 ditunjukkan pada gambar 3.9 berikut :

Gambar 3.9. Susunan Pin IC 7432 (OR 2 input)

3.3 Gerbang Logika Lain

3.3.1 Gerbang NAND

Gerbang NAND mempunyai dua atau lebih sinyal masukan tetapi hanya

satu sinyal keluaran. Struktur logika gerbang NAND yang terdiri dari sebuah

gerbang AND dan sebuah inverter yang dirangkai secara seri. Gerbang NAND

merupakan kebalikan dari gerbang AND, dimana keluarannya akan rendah

apabila semua masukannya berlogika tinggi. Simbol gerbang NAND 2 input

diperlihatkan pada Gambar 3.10.

(a). Struktur Logika (b). Simbol Standar NAND 2 input

Gambar 3.10. Simbol Gerbang NAND 2 input

Page 6: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

33

Tabel kebenaran gerbang NAND untuk kombinasi 2 masukan A dan B

diperlihatkan pada Tabel 3.4.

Tabel 3.4. Tabel Kebenaran Gerbang NAND 2 input

A B Y

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Persamaan logika atau fungsi aljabar untuk gerbang NAND 2 input adalah :

BAY ⋅=

Timing diagram gerbang NAND 2 input dapat dilihat pada Gambar 3.11 berikut :

Gambar 3.11. Timing Diagram Gerbang NAND 2 input

Dalam praktek, gerbang NAND disediakan dalam bentuk IC. Untuk jenis TTL,

gerbang NAND serinya antara lain 7400 (NAND 2 input) dan 7410 (NAND 3

input). Berikut adalah susunan pin IC 7400.

7400

VCC

GND

1

10 9 8

765432

11121314

Gambar 3.12. Susunan Pin IC 7400 (NAND 2 input)

Page 7: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

34

3.3.2 Gerbang NOR

Gerbang NOR mempunyai dua atau lebih sinyal masukan tetapi hanya satu

sinyal keluaran. Struktur logika gerbang NAND yang terdiri dari sebuah gerbang

OR dan sebuah inverter yang dirangkai secara seri. Gerbang NOR merupakan

kebalikan dari gerbang OR. Untuk memperoleh keluaran yang tinggi dari gerbang

NOR, semua masukan harus berada dalam keadaan rendah. Dengan kata lain,

gerbang NOR hanya mengenal kata masukan yang semua bitnya sama dengan nol.

Simbol gerbang NOR 2 input diperlihatkan pada Gambar 3.13.

(a). Struktur Logika (b). Simbol Standar NOR 2 input

Gambar 3.13. Simbol Gerbang NOR 2 input

Tabel kebenaran gerbang NOR untuk kombinasi 2 masukan A dan B

diperlihatkan pada Tabel 3.5.

Tabel 3.5. Tabel Kebenaran Gerbang NOR 2 input

A B Y

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Persamaan logika atau fungsi aljabar untuk gerbang NOR 2 input adalah :

BAY +=

Timing diagram gerbang NOR 2 input dapat dilihat pada Gambar 3.14 berikut :

Gambar 3.14. Timing Diagram Gerbang NOR 2 input

Page 8: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

35

Dalam praktek, gerbang NOR disediakan dalam bentuk IC. IC TTL untuk

gerbang NOR 2 input mempunyai nomor seri 7402.

Gambar 3.15. Susunan Pin IC 7402 (NOR 2 input)

3.3.3 Gerbang EX-OR

Gerbang EX-OR mempunyai dua atau lebih sinyal masukan tetapi hanya

satu sinyal keluaran. Keluaran gerbang EX-OR akan menjadi tinggi bila salah satu

masukannya berlogika tinggi (1). Dengan kata lain, keluaran 1 hanya terjadi bila

masukannya berbeda. Hal ini dapat dilihat pada tabel 3.6 berikut :

Tabel 3.6. Tabel Kebenaran Gerbang EX-OR 2 input

A B Y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Berdasarkan tabel kebenaran di atas dapat dituliskan persamaan

aljabarnya yaitu :

BABAY += atau : BAY ⊕=

Simbol logika untuk gerbang EX-OR 2 input adalah :

Gambar 3.16. Simbol Gerbang EX-OR 2 input

Timing diagram gerbang EX-OR 2 input dapat dilihat pada Gambar 3.17 berikut :

Page 9: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

36

Gambar 3.17. Timing Diagram Gerbang EX-OR 2 input

Dalam praktek, IC TTL untuk gerbang EX-OR mempunyai nomor seri

7486. Gambar berikut menggambarkan sususan pin IC 7486 :

Gambar 3.18. Susunan Pin IC 7486 (EX-OR 2 input)

3.3.4 Gerbang EX-NOR

Gerbang EX-NOR ekivalen dengan EX-OR yang diikuti oleh sebuah

inverter, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut :

A

BY

Gambar 3.19. Simbol Gerbang EX-NOR 2 input

Persamaan fungsi aljabarnya adalah :

ABBAY +=

Keluaran gerbang EX-NOR akan tinggi bila semua masukannya sama,

sehingga gerbang EX-NOR ini merupakan gerbang yang ideal untuk digunakan

Page 10: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

37

sebagai pembanding bit atau kata, dimana masukan dikenali oleh gerbang bila

kedua bit masukannya identik. Contoh rangkaian pembanding kata :

Register B

B3 B2 B1 B0

Register A

A3 A2 A1 A0

EQUAL

Y3 Y2 Y1 Y0

Gambar 3.20. Rangkaian Pembanding Kata

Rangkaian di atas adalah rangkaian pembanding kata (word comparator),

yang mengenali 2 kata identik. Gerbang EX-NOR yang paling kiri

membandingkan A3 dan B3, jika keduanya sama maka Y3 = 1, begitu juga untuk

ketiga gerbang lainnya. Bila kata A dan B identik, maka seluruh gerbang EX-

NOR mempunyai keluaran tinggi dan keluaran akhir dari gerbang AND berupa

sinyal EQUAL akan berlogika tinggi. Bila kata A dan B berbeda, maka sinyal

EQUAL berlogika rendah.

Gambar 3.21 memperlihatkan timing diagram gerbang EX-NOR 2 input.

Gambar 3.21. Timing Diagram Gerbang EX-NOR 2 input

3.4 Deskripsi Rangkaian Logika ke Persamaan Logika

Rangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika

atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam mendeskripsikan atau

Page 11: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

38

membuat persamaan logika, tulislah terlebih dahulu persamaan logika pada setiap

output gerbang penyusun rangkaian tersebut. Selanjutnya, penulisan persamaan

logika terhadap gerbang terakhir, akan menghasilkan persamaan logika dari

rangkaian tersebut.

Contoh 3.1 Buatlah persamaan logika untuk rangkaian logika berikut ini :

Jawab :

Jadi, persamaan logika dari rangkaian tersebut :

BAY +=

Contoh 3.2 Buatlah persamaan logika untuk rangkaian logika berikut ini :

Jawab :

A

B

C B+C

Y = A (B+C)

Sehingga :

)( CBAY +=

3.5 Membuat Tabel Kebenaran Suatu Rangkaian Logika

Untuk membuat tabel kebenaran dari suatu rangkaian logika dapat

dilakukan dengan 2 cara, yaitu :

Page 12: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

39

• Cara 1 : Menulis keluaran dari semua gerbang yang merupakan komponen

penyusun rangkaian logika untuk seluruh kombinasi input

• Cara 2 : Mengevaluasi keluaran dari persamaan logika

Membuat tabel kebenaran dengan cara 2 relatif lebih mudah dan cepat

dilakukan dibandingkan dengan cara 1. Contoh 3.3 dan 3.4 diselesaikan dengan

menggunakan cara 1, sedangkan contoh 3.5 diselesaikan dengan menggunakan

cara 2.

Contoh 3.3 Buatlah tabel kebenaran untuk gambar rangkaian yang ada pada

contoh 3.1 !

Jawab :

Persamaan logika untuk gambar rangkaian pada contoh 3.1 : BAY +=

Tabel kebenaran untuk persamaan di atas :

A B A BAY +=

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 1 0 1

Contoh 3.4 Buatlah tabel kebenaran untuk gambar rangkaian yang ada pada

contoh 3.2 !

Jawab :

Persamaan logika untuk gambar rangkaian pada contoh 3.2 : Y = A(B+C)

Tabel kebenaran untuk persamaan di atas :

A B C B+C Y = A(B+C)

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

Page 13: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

40

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 1 1 1

1 1 0 1 1

1 1 1 1 1

Contoh 3.5 Buatlah tabel kebenaran untuk gambar rangkaian berikut :

Jawab :

Persamaan logika dari rangkaian tersebut : CDABY +=

Arti persamaan di atas :

Y akan berlogika 1, jika AB = 1 atau CD = 1

� AB = 1, jika A = 1 dan B = 1

� CD = 1, jika C = 1 dan D = 1

Maka Y = 1 jika : A = 1 dan B = 1 atau C = 1 dan D = 1

Selain itu Y = 0

Sehingga bisa dibuat tabel kebenaran sebagai berikut :

A B C D Y

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

Page 14: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

41

1 0 1 0 0

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

Dari contoh di atas, bisa dibayangkan repotnya jika kita membuat tabel

kebenaran dengan cara mencari keluaran dari semua gerbang untuk seluruh

kombinasi input. Jika input ada 3, maka kita akan mencari keluaran untuk 8

kombinasi input. Jika input ada 4, maka akan ada 16 kombinasi input. Jadi, untuk

n input akan menghasilkan 2n kombinasi input.

3.6 Implementasi Rangkaian Logika

Kemampuan mengimplementasikan rangkaian berdasarkan persamaan

logika adalah sangat penting, karena setiap rancangan rangkaian logika akan

menghasilkan persamaan logika, dan agar dapat dimanfaatkan dalam bentuk nyata

maka persamaan tersebut perlu diimplementasikan atau direalisasikan.

Contoh 3.6 Implementasikan persamaan logika BABCACBAY ++= ke dalam

bentuk rangkaian logika.

Jawab :

• Berdasarkan persamaan tersebut terlihat bahwa terdapat 3 suku

persamaan yaitu BAdanBCACBA ,, . Ketiga suku tersebut

dioperasikan dengan operator “tambah”, sehingga diperlukan gerbang

1 buah gerbang OR 3 input.

• Selanjutnya, terlihat bahwa suku-suku persamaan merupakan operasi

AND dari variable-variabel input, untuk suku-1 dan suku-2

memerlukan 2 buah gerbang AND 3 input, dan suku-3 memerlukan

1 buah gerbang AND 2 input.

• Terdapat pula 4 buah operasi NOT, sehingga diperlukan 4 buah

gerbang NOT.

Page 15: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

42

• Jadi rangkaian logikanya adalah :

3.7 Hukum dan Aturan Aljabar Boole

Berikut ini merupakan hukum-hukum Aljabar Boole :

1. Hukum Komutatif : A + B = B + A

A . B = B . A

2. Hukum Asosiatif : A+(B+C) = (A+B)+C

A ( B C ) = ( A B ) C

3. Hukum Distributif : A(B+C) = AB + AC

A+(BC) = (A+B).(A+C)

Di samping hukum dasar aljabar boole, juga terdapat aturan-aturan

mengenai Aljabar Boole. Aturan-aturan aljabar boole terdiri dari satu variable

sehingga bentuk rangkaian ekivalennya menjadi lebih sederhana. Berikut ini

aturan-aturan pada aljabar boole :

• Aturan 1 : Setiap bilangan yang dikalikan atau di-AND-kan dengan 0 akan

menghasilkan keluaran 0.

00 =⋅A

• Aturan 2 : Setiap bilangan yang dikalikan atau di-AND-kan dengan 1 akan

menghasilkan bilangan itu sendiri.

AA =⋅1

• Aturan 3 : Perkalian dua buah bilangan maka hasilnya adalah bilangan itu

sendiri.

AAA =⋅

• Aturan 4 : Setiap bilangan yang dikalikan atau di-AND-kan dengan

komplemennya akan menghasilkan 0.

Page 16: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

43

0=⋅ AA

• Aturan 5 : Setiap bilangan yang ditambahkan atau di-OR-kan dengan 0

akan menghasilkan bilangan itu sendiri.

AA =+ 0

• Aturan 6 : Setiap bilangan yang ditambahkan atau di-OR-kan dengan 1

akan menghasilkan 1.

11 =+A

• Aturan 7 : Penjumlahan dua buah bilangan akan menghasilkan bilangan itu

sendiri.

AAA =+

• Aturan 8 : Setiap bilangan yang dijumlahkan atau di-OR-kan dengan

komplemennya akan menghasilkan 1.

1=+ AA

• Aturan 9 : Suatu bilangan yang dikomplemenkan dua kali, maka akan

dihasilkan bilangan itu sendiri.

AA =

• Aturan 10 : BABAA +=+

Penjabaran :

BABABAA ++=+ )1(

BAABA ++=

1,)( =+++= AAAABA

BABAA +=+

• Aturan 11 : BAABA +=+

Penjabaran :

ABBAABA ++=+ )1(

ABBAA ++=

1,)( =+++= AAAABA

BAABA +=+

Page 17: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

44

Aturan 10 dan aturan 11 berbeda dengan aturan yang sebelumnya karena

terdiri dari dua variabel. Aturan ini berguna untuk menyederhanakan

persamaan dimana satu atau lebih variabel dapat dihilangkan.

Pembuktian berdasarkan tabel kebenaran dari dua persamaan tersebut

dapat dilihat pada tabel berikut :

Tabel 3.7. Pembuktian Aturan 10 dan 11

A B BAA + A+B ABA + BA +

0 0 0 0 1 1

0 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Aturan-aturan aljabar boole di atas dapat dirangkumkan sebagai berikut :

1. 00 =⋅A

2. AA =⋅1 Operasi

3. AAA =⋅ AND

4. 0=⋅ AA

5. AA =+ 0

6. 11 =+A Operasi

7. AAA =+ OR

8. 1=+ AA

9. AA =

10. BABAA +=+

11. BAABA +=+

Teorema de Morgan

Teorema de Morgan ini sangat berguna untuk menyederhanakan

persamaan rangkaian yang menggunakan gerbang NAND dan NOR. Teorema de

Morgan ada 2, yaitu :

1. BABA +=⋅ (untuk dua variabel)

Page 18: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

45

CBACBA ++=⋅⋅ (untuk tiga variabel)

Gerbang NAND ekivalen dengan rangkaian yang meng-OR-kan seluruh

komplemen input. Hal ini dapat dilihat pada gambar berikut :

Gambar 3.22. Bentuk Grafis Teorema de Morgan pertama

2. BABA ⋅=+ (untuk dua variabel)

CBACBA ⋅⋅=++ (untuk tiga variabel)

Gerbang NOR ekivalen dengan rangkaian yang meng-AND-kan seluruh

komplemen input. Hal ini dapat dilihat pada gambar berikut :

Gambar 3.23. Bentuk Grafis Teorema de Morgan kedua

3.8 Teknik Bubble Pushing

Teknik bubble pushing adalah : suatu metode untuk membentuk rangkaian

logika ekivalen berdasarkan Teorema De Morgan.

Cara untuk merubah rangkaian logika ekivalen ini ada 2 (dua) langkah,

yaitu:

a. Merubah gerbang logika (gerbang AND menjadi OR dan gerbang OR menjadi

AND)

b. Tambahkan bubble jika pada gerbang logika asli tidak terdapat bubble (baik

pada input maupun output). Sebaliknya jika pada gerbang logika yang asli

terdapat bubble maka pada rangkaian logika ekivalennya bubble dihilangkan.

Untuk lebih jelasnya tentang cara membuat rangkaian logika ekivalen,

dapat dilihat pada gambar 3.24 berikut :

Page 19: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

46

Gambar 3.24. Rangkaian Logika Asli dan Rangkaian Ekivalen

dengan menggunakan Teknik Bubble Pushing

Pembuktian metode ini dapat dilakukan dengan cara membandingkan tabel

kebenarannya antara rangkaian logika yang asli dengan rangkaian logika

ekivalennya.

3.9 Gerbang NAND dan NOR sebagai Gerbang Universal

Gerbang yang paling sering digunakan untuk membentuk rangkaian

kombinasi adalah gerbang NAND dan NOR dibandingkan gerbang AND dan OR.

Dari sisi aplikasi perangkat luar gerbang NAND dan NOR lebih umum sehingga

gerbang NAND dan NOR dikenal sebagai gerbang yang “universal”.

Alasannya adalah banyak sistem digital dapat dengan mudah

diimplementasikan dengan gerbang universal tersebut, baik rangkaian kombinasi

maupun rangkaian sekuensial. Selain itu gerbang NAND dan gerbang NOR lebih

banyak tersedia di pasaran dibandingkan dengan gerbang AND dan OR.

Berdasarkan alasan itu, maka terkadang kita perlu melakukan modifikasi

rangkaian dengan menggunakan gerbang NAND dan NOR.

Modifikasi dari gerbang logika dasar ke gerbang logika NAND atau NOR

ada 2 metode, yaitu :

Page 20: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

47

1. Modifikasi dari persamaan logika

� Modifikasi ke gerbang NAND

1. AY = → AAY ⋅= atau 1⋅= AY

2. BAY ⋅= → BAY ⋅=

3. BAY += → BAY += → BAY ⋅=

� Modifikasi ke gerbang NOR

1. AY = → AAY += atau 0+= AY

2. BAY ⋅= → BAY ⋅= → BAY +=

3. BAY += → BAY +=

2. Modifikasi dari diagram gerbang logika

Pemodifikasian dari gerbang logika dasar ke dalam gerbang NAND

berdasarkan diagram gerbang logika dapat dilihat pada gambar berikut :

Gambar 3.25. Konversi Gerbang Universal ke Gerbang NAND

Modifikasi gerbang logika dasar ke dalam gerbang NOR berdasarkan diagram

gerbang logika dapat dilihat pada gambar berikut :

Gerbang Dasar Gerbang yang dimanipulasi ke NAND

Page 21: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

48

Gambar 3.26. Konversi Gerbang Universal ke Gerbang NOR

Contoh 3.7 Modifikasi rangkaian berikut dengan menggunakan gerbang NAND

saja dan NOR saja dengan menggunakan metode persamaan logika dan metode

diagram gerbang logika !

Jawab :

� Metode persamaan logika

� Modifikasi ke dalam bentuk NAND saja

CBACBACBAY ⋅⋅=+⋅=+⋅= )()()(

Rangkaian Logika :

� Modifikasi ke dalam bentuk NOR saja

CBACBACBAY ++=+⋅=+⋅= )()()(

Gerbang Dasar Gerbang yang dimanipulasi ke NOR

Page 22: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

49

Rangkaian Logika :

� Metode Diagram Gerbang Logika

� Modifikasi ke dalam bentuk NAND saja

Rangkaian tsb dapat disederhanakan menjadi :

� Modifikasi ke dalam bentuk NOR saja

3.10 Bentuk Kanonik

Sebuah variabel biner X mempunyai dua keadaan, yaitu X dan X , dan

variable Y mempunyai dua keadaan Y dan Y . Jika dua variable X dan Y

digabungkan dengan operasi AND maka akan ada empat kemungkinan kombinasi

input yaitu : YXdanYXYXXY ,,, . Masing-masing dari empat kemungkinan itu

Page 23: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

50

dinamakan dengan Minterm. Jadi, minterm adalah n variabel yang membentuk

operasi AND yang menghasilkan suatu persamaan.

Jika dua variable X dan Y digabung dengan operasi OR, maka empat

kemungkinan kombinasi yang muncul adalah : YXdanYXYXYX ++++ ,,, .

Masing-masing dari empat kemungkinan itu dinamakan dengan Maxterm. Jadi,

maxterm adalah n variabel yang membentuk operasi OR yang menghasilkan suatu

persamaan.

Tabel 3.8 Tabel Minterm dan Maxterm 3 Variabel

X Y Z Minterm Maxterm

Term Lambang Term Lambang

0 0 0 ZYX m0 ZYX ++ M0

0 0 1 ZYX m1 ZYX ++ M1

0 1 0 ZYX m2 ZYX ++ M2

0 1 1 YZX m3 ZYX ++ M3

1 0 0 ZYX m4 ZYX ++ M4

1 0 1 ZYX m5 ZYX ++ M5

1 1 0 ZXY m6 ZYX ++ M6

1 1 1 XYZ m7 ZYX ++ M7

Dari table di atas, nampak bahwa setiap maxterm merupakan komplemen

dari minterm yang bersesuaian dan begitu juga sebaliknya.

Tabel 3.9. Fungsi dengan 3 Variabel

X Y Z F1 F2

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

Page 24: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

51

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

Suatu fungsi atau persamaan boole dapat dibuat dari suatu table kebenaran

yang dibentuk dari minterm setiap kombinasi input yang menghasilkan output 1

dan kemudian meng-OR-kan semua minterm tersebut. Misalnya, fungsi F1 pada

table 3.9 di atas dihasilkan dari kombinasi 001, 100, dan 111, sehingga bentuk

persamaan fungsinya menjadi :

XYZZYXZYXF ++=1

= m1 + m4 + m7

Dengan cara yang sama diperoleh fungsi F2, yaitu :

XYZZXYZYXYZXF +++=2

= m3 + m5 + m6 + m7

Dari contoh di atas, dapat dilihat bahwa setiap fungsi boole dapat dinyatakan

sebagai suatu sum of minterm.

Komplemen fungsi boole dapat dibaca dari table kebenaran di atas (table

3.9) dengan membentuk minterm dari setiap kombinasi input yang menghasilkan

0 dalam fungsi tersebut. Komplemen F1 adalah :

ZXYZYXYZXZYXZYXF ++++=1

Jika fungsi 1F dikomplemenkan lagi, maka akan diperoleh :

ZXYZYXYZXZYXZYXF ++++=1

)()()()()(1 ZYXZYXZYXZYXZYXF ++++++++++=

= M0 + M2 + M3 + M5 + M6

Dengan cara yang sama diperoleh fungsi F2, yaitu :

)()()()(2 ZYXZYXZYXZYXF ++++++++=

= M0 + M1 + M2 + M4

Dari contoh di atas, dapat dilihat bahwa setiap fungsi boole dapat dinyatakan

sebagai suatu sum of maxterm

Jadi, fungsi boole dapat dinyatakan dalam bentuk sum of minterm atau sum

of maxterm, yang biasa disebut bentuk kanonik.

Page 25: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

52

3.10.1 Sum of Minterm atau Sum of Product

Telah diuraikan sebelumnya, bahwa n variable input akan menghasilkan 2n

minterm yang berbeda, dan setiap fungsi boole dapat dinyatakan dalam bentuk

sum of minterm dan sum of maxterm. Kadang-kadang lebih mudah untuk

menyatakan fungsi Boole tersebut dalam sum of minterm. Jika tidak tersedia

dalam bentuk itu, dapat dibentuk dengan menguraikannya menjadi suatu bentuk

penjumlahan dari operasi AND. Nama lain dari sum of minterm adalah sum of

product.

Contoh 3.8 Nyatakan fungsi Boole CBAF += dalam bentuk sum of minterm.

Jawab :

Fungsi tersebut mempunyai 3 variabel , yaitu A, B, dan C.

Term pertama hanya mengandung variable A, sehingga kurang 2

variabel, maka :

BAABBBAA +=+= )(

CBACBACABABCCCBACCABA +++=+++= )()(

Term kedua masih kurang 1 varibel, maka :

CBACBAAACBCB +=+= )(

Dengan menggabungkan term pertama dan kedua, maka didapat :

CBACBACBACBACABABCCBAF +++++=+=

CBA muncul dua kali, dan sesuai dengan aturan 7, X + X = X, maka salah

satunya bisa dihilangkan, sehingga persamaannya menjadi :

CBACBACBACABABCCBAF ++++=+=

= m1 + m4 + m5 + m6 + m7

Untuk memudahkan penulisan, persamaan di atas dapat dinyakan dengan

notasi :

∑= )7,6,5,4,1(),,( CBAF

Keterangan notasi di atas :

• Lambang penjumlahan Σ menyatakan penjumlahan atau peng-OR-an

minterm

Page 26: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

53

• Angka 1,4,5,6,7 merupakan nomor minterm

• Huruf A,B,C merupakan variabel yang dipakai oleh minterm

Dari sebuah tabel kebenaran dapat diperoleh persamaan logikanya. Cara

membuat persamaan sum of minterm dari sebuah tabel kebenaran dapat dilakukan

dengan melakukan operasi OR untuk setiap minterm yang mempunyai nilai

keluaran tinggi.

Contoh 3.9 Nyatakan F dalam persamaan sum of minterm untuk tabel kebenaran

berikut :

X Y Z F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Jawab :

XYZZYXZYXF ++=

= m1 + m4 + m7

Persamaan di atas dapat ditulis dengan menggunakan notasi singkat :

F(X,Y,Z) = Σ(1,4,7)

3.10.2 Sum of Maxterm atau Product of Sum

Nama lain dari Sum of Maxterm adalah Product of Sum. Untuk

menyatakan fungsi Boole dalam sum of maxterm, fungsi tersebut harus dalam

bentuk fungsi OR. Hal ini dilakukan dengan menggunakan hukum distributif X +

YZ = (X + Y) (X + Z). Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada contoh berikut :

Page 27: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

54

Contoh 3.10 Nyatakan fungsi Boole ZXXYF += dalam bentuk sum of

maxterm.

Jawab :

Pertama, fungsi tersebut diubah menjadi bentuk OR dengan menggunakan

hukum distributif.

))()((

))()()((

))((

ZYZXYX

ZYZXXYXX

ZXYXXYZXXYF

+++=

++++=

++=+=

Fungsi tersebut mempunyai 3 variabel X,Y, dan Z. Masing-masing bentuk

OR mempunyai variabel yang tersebunyi, oleh karena itu :

))((

))((

))((

ZYXZYX

ZYXXZY

ZYXZYX

ZYYXZX

ZYXZYX

ZZYXYX

++++=

++=+

++++=

++=+

++++=

++=+

Dengan menggabungkan semua term tersebut dan menghilangkan term

yang muncul lebih dari satu kali, maka didapat :

5420

))()()((

MMMM

ZYXZYXZYXZYXF

=

++++++++=

Bentuk persamaan notasi :

)5,4,2,0(),,( Π=ZYXF

Keterangan notasi di atas :

• Lambang penjumlahan Π menyatakan peng-AND-an maxterm

• Angka 0,2,4,5 merupakan nomor maxterm

• Huruf X,Y,Z merupakan variabel yang dipakai oleh maxterm

Cara membuat persamaan sum of maxterm dari sebuah tabel kebenaran

dapat dilakukan dengan operasi AND untuk setiap maxterm yang mempunyai

nilai keluaran rendah.

Page 28: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

55

Contoh 3.11 Nyatakan F dalam persamaan sum of maxterm untuk tabel

kebenaran berikut :

X Y Z F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Jawab :

65320

)())()()((

MMMMM

ZYXZYXZYXZYXZYXF

=

+++++++++++=

Persamaan di atas dapat ditulis dengan menggunakan notasi singkat :

F(X,Y,Z) = Π(0,2,3,5,6)

3.10.3 Perubahan Bentuk Kanonik

Jika suatu fungsi sum of minterm adalah :

F(A,B,C) = Σ (1,4,5,6,7)

maka fungsi komplemennya adalah :

320)3,2,0(),,( mmmCBAF ++=Σ=

Jika F dikomplemenkan kembali akan diperoleh F kembali, dan digunakan

teorema de morgan pada minterm, maka :

)3,2,0(

)(),,(

320

320

320

Π=⋅⋅=

⋅⋅=

++=

MMM

mmm

mmmCBAF

Perubahan terakhir merupakan definisi dari minterm dan maxterm seperti yang

terdapat pada tabel 3.8. Dari tabel terlihat hubungan :

Page 29: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

56

jj Mm =

Jadi secara umum, untuk mengubah salah satu bentuk kanonik ke bentuk

kanonik lain cukup dilakukan dengan menukar lambang Σ dengan Π, dan ditulis

semua bilangan yang tidak ada dalam bentuk aslinya, begitu juga sebaliknya.

Contoh 3.10 Nyatakan fungsi Boole )5,4,2,0(),,( Π=ZYXF ke dalam bentuk

sum of minterm.

Jawab :

)7,6,3,1(),,( Σ=ZYXF

Catatan : Perlu diingat di sini, jumlah minterm dan maxterm untuk n variabel

adalah 2n.

3.11 Soal-soal Latihan

1. Buktikan kedua Teorema de Morman dengan cara menurunkan tabel

kebenaran.

2. Modifikasilah persamaan atau rangkaian logika di bawah ini dengan

menggunakan gerbang NAND saja dan NOR saja !

a. CBAABF +=

b.

c.

Page 30: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

57

3. Konversikan persamaan berikut menjadi bentuk NOR saja dan gambarkanlah

rangkaiannya :

( )( )CABAF ++=

4. Implementasikan fungsi berikut yang menggunakan keadaan tak-acuh (don’t

care), dengan tidak lebih dari 2 buah gerbang NOR. Andaikan masukan

normal dan komplemennya tersedia.

DCBADBACBAF ++= F

DBAABCd +=

5. Buktikan bahwa gambar (a) dan (b) adalah ekivalen !

6. Buatlah rangkaian padanan dari rangkaian logika di bawah ini menjadi

rangkaian logika yang terdiri dari gerbang AND, OR, dan NOT. Buktikan

kebenarannya menggunakan tabel kebenaran.

7. Turunkan tabel kebenaran keluaran F1 dan F2 untuk rangkaian di bawah ini :

8. Diketahui tabel kebenaran sebagai berikut :

Page 31: BAB III GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN 3.1 · PDF fileRangkaian logika dapat dideskripsikan ke dalam bentuk persamaan logika atau ekspresi aljabar boole. Untuk memudahkan dalam

58

x y z F1 F2

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

Nyatakan F1 dan F2 dalam persamaan sum of product / sum of minterm dan

product of sum / sum of maxterm, kemudian buat rangkaian logika untuk

persamaan-persamaan tersebut.

9. Nyatakan fungsi berikut menjadi sum of minterm dan product of maxterm :

F(A,B,C,D) = D(A’+B) + B’D

F(W,X,Y,Z) = Y’Z + WXY’ + WXZ’ + W’X’Z

F(A,B,C) =A’B+B’C

10. Ubahlah fungsi berikut menjadi bentuk kanonik yang lain :

a. F(X,Y,Z) = Σ(1,3,7)

b. F(A,B,C,D) = Π(0,2,6,11,13,14)

c. F(X,Y,Z) = Σ(0,3,6,7)

d. F(A,B,C,D) = Π(0,1,2,3,4,6,12)