Embed Size (px)
Citation preview
28
LOGIKA PROPOSISI
3.1 Proposisi
Proposisi adalah suatu pernyataan yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak dapat
sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai
kebenarannya. Logika yang menangani atau memproses atau memanipulasi penarikan
kesimpulan secara logis dari proposisi-proposisi disebut logika proposisional.
Contoh 3.1-1 :
1. Bali memiliki sebutan pulau dewata (Benar).
2. 2 + 2 = 4 (Benar).
3. Semua mahasiswa Manajemen Informatika berparas cantik (Salah).
4. 4 adalah bilangan prima (Salah).
5. 5 x 12 = 90 (Salah).
Ada proposisi-proposisi yang disebut tautologi yaitu proposisi-proposisi yang
nilainya selalu benar. Untuk mengenali suatu proposisi, dapat dibantu dengan
jawaban jika ada pertanyaan “Apakah nilainya benar atau salah?”
Pernyataan yang tidak tergolong proposisi adalah, jika
pernyataan berupa kalimat perintah dan kalimat pertanyaan
pernyataan yang tidak memiliki nilai benar atau salah
pernyataan berbentuk kalimat terbuka.
Contoh 3.1-2 :
Komang, bersihkan lantai ini ! (kalimat perintah)
Anda mahasiswa jurusan apa ? (kalimat tanya)
x + 5 = 7. (kalimat terbuka)
Angka 13 adalah angka keramat (kalimat yang tidak memiliki nilai benar atau
salah)
29
Selain pernyataan yang menimbulkan banyak pendapat, serta kalimat perintah dan
kalimat tanya, suatu proposisi tidak boleh digantikan dengan proposisi lain yang
artinya sama. Lihat contoh berikut ini :
Contoh 3.1-3 :
Ayu pintar Ayu tidak bodoh
Pada pernyataan pertama dengan pernyataan kedua artinya sama, tetapi pada
proposisi, pemberian variabel proposisional harus berlainan karena proposisi tidak
diijinkan menafsir arti kalimat.
Contoh 3.1-4 :
A = Ayu pintar, maka “Tidak A” = Ayu tidak pintar.
B = Ayu bodoh, maka “Tidak B” = Ayu tidak bodoh.
Jadi tidak diperbolehkan mengganti “Tidak A” dengan B, walaupun arti kalimatnya
sama.
Proposisi-proposisi dapat digabung dan dimanipulasi sedemikian rupa dengan
berbagai cara sehingga membentuk proposisi yang rumit. Penggabungan tersebut
dilakukan dengan perangkai-perangkai sehingga disebut proposisi majemuk
(compound propositions). Proposisi majemuk sebenarnya terdiri dari banyak
proposisi atomik. Sedangkan proposisi atomik adalah proposisi yang tak dapat
dipecah-pecah menjadi beberapa proposisi lagi.
Contoh 3.1-5 :
Wayan sedang memasak dan Kadek sedang mencuci piring
Kalimat di atas merupakan proposisi majemuk yang terdiri dari 2 proposisi atomik
yang dirangkai dengan perangkai “dan”. Jika kalimat tersebut dipisah, akan menjadi
dua kalimat berikut :
Wayan sedang memasak
Kadek sedang mencuci piring
3.2 Pemberian Nilai pada Proposisi
Huruf A, B, C, dan seterusnya digunakan untuk menggantikan proposisi dan
disebut variabel-variabel proposisional (variabel logika), dan hanya memiliki nilai
benar (True = T) atau salah (False = F). Jadi, pemberian nilai pada variabel-variabel
proposisional, hanya ada T dan atau F. Simbul berupa huruf T dan F disebut
30
konstanta-konstanta proposisional. Tentunya di sini tidak memakai B (benar) dan S
(salah) karena akan mengacaukan antara variabel proposisional dengan konstanta
proposisional. Variabel proposisional dan konstanta proposisional adalah proposisi
atomik, atau proposisi yang tak bisa dipecah-pecah lagi.
Contoh 3.2-1 :
A atau B
A dan B
Tidak A
Setiap proposisi majemuk akan mempunyai nilai tertentu dengan aturan tertentu
pula berdasarkan nilai pada setiap variabel proposisional dan atau konstanta
proposisional. Pemberian nilai tersebut diberikan dari perangkai logika yang
digunakan.
Contoh 3.2-2 :
Berdasarkan contoh 3.2-1 di atas, jika nilai A = T dan B = F, maka “A atau B”
menghasilkan nilai T. Nilai-nilai A atau B, dapat ditentukan dengan tabel
kebenaran.
3.3 Perangkai Logika
Setiap perangkai pada logika memiliki nilai kebenarannya masing-masing sesuai
dengan jenis perangkai logika yang digunakan. Untuk mengetahui nilai kebenarannya,
digunakan aturan dengan memakai tabel kebenaran. Tabel kebenaran adalah suatu
tabel yang menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai
hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana.
Perangkai-perangkai logika yang digunakan adalah
Tabel 3.3-1 Perangkai dan Simbolnya
Perangkai Simbol Bentuk
Tidak / Bukan (not)/Negasi ¬ Tidak …….
Dan (and) / konjungsi ……. dan ……
Atau (or) / disjungsi …… atau ……
Implikasi (if … then / implies) Jika … maka …
Ekuivalensi (if and only if) …. Jika dan hanya jika ….
31
3.3.1 Negasi (Ingkaran, atau Penyangkalan)
Negasi (negation) digunakan untuk menggantikan perangkai “tidak (not)”.
Perhatikan pernyataan : “Sekarang hari hujan”. Ingkaran dari pernyataan tersebut :
"Sekarang hari tidak hujan”. Jika pernyataan semula bernilai benar maka ingkaran
pernyataan itu bernilai salah. Negasi dinotasikan dengan ¬.
Contoh 3.3-1 :
1. Jika p : Jakarta ibu kota RI (T)
maka ¬p : Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota RI (F)
atau ¬p : Jakarta bukan ibu kota RI (F)
2. Jika q : Karisma mempunyai rambut keriting
maka ¬q : Tidak benar bahwa Karisma mempunyai rambut keriting
atau ¬q : Karisma tidak mempunyai rambut keriting
3. Jika r : 2 + 7 < 6 (F)
maka ¬r : Tidak benar bahwa 2 + 7 < 6 (T)
atau ¬r : 2 + 7 6 (T)
Membentuk ingkaran suatu pernyataan dapat dengan menambahkan kata-kata tidak
benar bahwa di depan pernyataan aslinya, atau jika mungkin dengan menambah bukan
atau tidak di dalam pernyataan itu. Berdasarkan definisi di atas, dapat dibuat Tabel
Kebenaran untuk ingkaran seperti berikut :
Tabel 3.3-2 Tabel kebenaran ¬
A ¬A ¬¬A
F T F
T F T
Negasi berarti hanya kebalikan dari nilai variabel proposisional yang dinegasikan.
Jika F menjadi T dan sebaliknya, atau negasi F adalah T. Perangkai ¬ disebut
perangkai unary atau monadic karena hanya dapat merangkai satu variabel
proposisional.
32
Saat mengubah suatu pernyataan menjadi variabel proposisional, setiap pernyataan
harus memiliki subyek dan predikat masing-masing, dan arti dari kalimat tersebut tidak
dipermasalahkan.
Contoh 3.3-2 :
Dayu sabar atau Dayu pemarah
Contoh tersebut diubah menjadi variabel proposisional sehingga akan menjadi
A = Dayu sabar
B = Dayu pemarah
Bentuk ekspresi logikanya adalah (A B), tidak boleh ditafsirkan dan diganti
menjadi variabel proposisional seperti berikut :
A = Dayu sabar ¬A = Dayu pemarah
Atau disamakan menjadi (A ¬A). Hal ini tentu saja tidak benar karena hal ini
tidak boleh dilakukan dalam logika proposisional.
3.3.2 Konjungsi [ ]
Konjungsi (conjunction) adalah kata lain dari perangkai “dan (and)”. Perhatikan
kalimat :
Aku suka chatting dan membaca
Maka kalimat itu berarti :
1. Aku suka chatting
2. Aku suka membaca
Jika pernyataan semula bernilai benar maka sub pernyataan 1 dan 2 adalah benar. Jika
sub pernyataan 1 atau 2 adalah salah maka pernyataan semula bernilai salah, demikian
pula jika kedua sub pernyataan itu salah.
Contoh 3.3-3 :
1. Jika r : Kadek anak pandai, dan
s : Kadek anak cekatan.
maka r s : Kadek anak pandai dan cekatan
Pernyataan r s bernilai benar jika Kadek benar-benar anak pandai dan benar-
benar anak cekatan.
2. Jika p : 2 + 3 < 6 (T), dan
33
q : Sang Saka bendera RI (T)
maka p q : 2 + 3 < 6 dan Sang Saka bendera RI (T)
Berdasarkan definisi di atas, dapat disusun tabel kebenaran untuk konjungsi seperti
berikut :
Tabel 3.3-3 Tabel kebenaran
A B A B
F F F
F T F
T F F
T T T
Perangkai atau operator disebut perangkai binary (binary logical connective )
karena ia merangkai dua variabel proposisional.
Contoh berikut menunjukkan tabel kebenaran dari perangkai untuk nilai konjungsi
yang lebih rumit.
Tabel 3.3-4 Tabel kebenaran yang rumit
A B C A B (A B) C B C A (B C)
F F F F F F F
F F T F F F F
F T F F F F F
F T T F F T F
T F F F F F F
T F T F F F F
T T F T F F F
T T T T F T T
Persoalan yang terjadi di sini, perangkai tidak masalah jika diubah tanda
kurungnya karena mempunyai sifat asosiatif (associativity), yang mengubah nilai
kebenaran yang dihasilkannya.
34
3.3.3 Disjungsi [ ]
Tanda digunakan sama dengan perangkai “atau (or)”. Disjungsi (disjunction)
juga berfungsi sebagai perangkai binary.
Contoh 3.3-4 :
1. Jika p : Karisma tinggal di Singaraja
q : Karisma duduk di sekolah dasar
maka p q : Karisma tinggal di Singaraja atau duduk di sekolah dasar
2. Jika r : Dana lahir di Semarapura,
s : Dana lahir di Singaraja,
maka r s : Dana lahir di Semarapura atau di Singaraja.
Berikut ini adalah tabel kebenaran untuk disjungsi :
Tabel 3.3-5 Tabel kebenaran
A B A B
F F F
F T T
T F T
T T T
Perangkai , dan ¬ disebut perangkai alamiah atau perangkai dasar karena
semua perangkai dapat dijelaskan hanya dengan tiga perangkai tersebut.
3.3.4 Implikasi (Kondisional atau Pernyataan Bersyarat)
Implikasi (implication) menggantikan perangkai “jika … maka (if…then…)”.
Imlikasi yang memakai tanda disebut implikasi material (material implication).
Perhatikan pernyataan berikut ini: “Jika matahari bersinar maka udara terasa hangat”,
jadi, bila kita tahu bahwa matahari bersinar, kita juga tahu bahwa udara terasa hangat.
Karena itu akan sama artinya jika kalimat di atas ditulis sebagai:
“Bila matahari bersinar, udara terasa hangat”.
”Sepanjang waktu matahari bersinar, udara terasa hangat”.
“Matahari bersinar berimplikasi udara terasa hangat”.
“Matahari bersinar hanya jika udara terasa hangat”.
35
Berdasarkan pernyataan di atas, maka untuk menunjukkan bahwa udara tersebut
hangat adalah cukup dengan menunjukkan bahwa matahari bersinar atau matahari
bersinar merupakan syarat cukup untuk udara terasa hangat.
Perhatikan pula contoh berikut ini:
“Jika ABCD belah ketupat maka diagonalnya saling berpotongan di tengah-
tengah”. Untuk menunjukkan bahwa diagonal segi empat ABCD saling berpotongan di
tengah-tengah adalah cukup dengan menunjukkan bahwa ABCD belah ketupat, atau
ABCD belah ketupat merupakan syarat cukup bagi diagonalnya untuk saling
berpotongan ditengah-tengah. Dan untuk menunjukkan bahwa ABCD belah ketupan
perlu ditunjukkan bahwa diagonalnya saling berpotongan ditengah-tengah, atau
diagonal-diagonal segi empat ABCD saling berpotongan ditengah-tengah merupakan
syarat perlu (tetapi belum cukup) untuk menunjukkan belah ketupat ABCD. Mengapa
? Karena diagonal-diagonal suatu jajaran genjang juga saling berpotongan di tengah-
tengah, dan jajaran genjang belum tentu merupakan belah ketupat. Demikian pula
syarat cukup tidak harus menjadi syarat perlu karena jika diagonal segi empat ABCD
saling berpotongan di tengah belum tentu segi empat ABCD belah ketupat.
Banyak pernyataan, terutama dalam matematika, yang berbentuk “jika p maka
q”, pernyataan demikian disebut implikasi atau pernyataan bersyarat (kondisional) dan
ditulis sebagai pq. Pernyataan pq juga disebut sebagai pernyataan implikatif atau
pernyataan kondisional. Pernyataan pq dapat dibaca :
a. Jika p maka q
b. p berimplikasi q
c. p hanya jika q
d. q jika p
Dalam implikasi pq, p disebut hipotesa (anteseden) dan q disebut konklusi
(konsekuen).
Bila kita menganggap pernyataan q sebagai suatu peristiwa, maka kita melihat
bahwa “Jika p maka q” dapat diartikan sebagai “Bilamana p terjadi maka q juga
terjadi” atau dapat juga, diartikan sebagai “Tidak mungkin peristiwa p terjadi, tetapi
peristiwa q tidak terjadi”.
Berikut ini tabel kebenaran untuk implikasi :
36
Tabel 3.3-6 Tabel kebenaran
A B A B
F F T
F T T
T F F
T T T
Hanya ada satu nilai F dari (AB) jika A bernilai T dan B bernilai F, bukan
sebaliknya. Pasangan yang terletak di sisi kiri yakni A disebut antecedent, sedangkan
di sisi kanan yakni B disebut consequent. Oleh karena itu, implikasi juga disebut
conditional, atau mengondisikan satu kemungkinan saja dari sebab dan akibat.
Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru
yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi, yaitu
Definisi : Konvers dari implikasi p q adalah q p
Invers dari implikasi p q adalah ¬ p ¬ q
Kontraposisi dari implikasi p q adalah ¬ q ¬ p
Contoh 3.3-5:
Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas
Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas
Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring
Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring
Berikut ini adalah tabel dari kondisional (implikasi), konvers, Invers dan Kontraposisi.
Kondisional Konvers Invers Kontraposisi
p q ¬p ¬q pq qp ¬p¬q ¬q¬p
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
F
T
T
Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran sama dengan
kontraposisi, dan invers dengan konvers. Sehingga dapat kita katakan bahwa implikasi
setara dengan kontraposisi dan invers setara dengan konvers. Bisa kita tulis:
pq ¬q¬p
37
qp ¬p¬q
Contoh 3.3-6:
Tentukan ingkaran atau negasi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.
“Jika suatu negara adalah negara RI maka lagu kebangsaannya adalah Indonesia Raya”
Penyelesaian
Misal p : Suatu negara adalah negara RI
q : Lagu kebangsaannya adalah Indonesia Raya
maka kalimatnya menjadi pq atau jika menggunakan operator, maka pq akan
ekuivalen (sebanding/ ) dengan p q. Sehingga
1. Negasi dari implikasi
Implikasi : (pq) p q
Negasinya : (p q) p q
Kalimatnya : “Suatu negara adalah negara RI dan lagu kebangsaannya adalah
bukan Indonesia Raya”.
Pembuktian dengan Tabel Kebenaran :
Implikasi Ekuivalensi dari Implikasi
Negasi dari Implikasi
p q p q pq p q p q
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
T
T
F
T
T
F
T
F
F
2. Negasi dari konvers
Konvers : qp q p
Negasinya : (q p) q p
Kalimatnya : “Ada lagu kebangsaan yaitu Indonesia Raya dan negaranya adalah
bukan negara RI”.
38
Pembuktian dengan Tabel Kebenaran :
Konvers Ekuivalensi dari Konvers
Negasi dari Konvers
p q p q qp q p q p
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
T
F
F
T
F
3. Negasi dari invers
Invers : (pq) (p) q p q
Negasinya : ( p q) p q
Kalimatnya : “Suatu negara adalah bukan negara RI dan lagu kebangsaannya
adalah Indonesia Raya”.
Pembuktian dengan Tabel Kebenaran :
Invers Ekuivalensi dari Invers
Negasi dari Invers
p q p q pq p q p q
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
T
F
F
T
F
4. Negasi dari kontraposisi
Kontraposisi : (qp) (q) p qp
Negasinya : (qp) q p
Kalimatnya : “Ada lagu kebangsaan yaitu bukan Indonesia Raya dan negaranya
adalah negara RI”.
39
Pembuktian dengan Tabel Kebenaran :
Invers Ekuivalensi dari Invers
Negasi dari Invers
p q p q q p q p q p
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
T
T
F
T
T
F
T
F
F
3.3.5 Ekuivalensi (Biimplikasi / Bikondisional / Pernyataan Bersyarat Ganda)
Ekuivalensi (equivalence) dengan simbol mengantikan perangkai “…jika dan
hanya jika…(…if and only if…)”.
Perhatikan kalimat: ”Jika segi tiga ABC sama kaki maka kedua sudut alasnya sama
besar”. Jelas implikasi ini bernilai benar. Kemudian perhatikan: “Jika kedua sudut alas
segi tiga ABC sama besar maka segi tiga itu sama kaki”. Jelas bahwa implikasi ini juga
bernilai benar. Sehingga segi tiga ABC sama kaki merupakan syarat perlu dan cukup
bagi kedua alasnya sama besar, juga kedua sudut alas sama besar merupakan syarat
perlu dan cukup untuk segi tiga ABC sama kaki. Sehingga dapat dikatakan “Segi tiga
ABC sama kaki merupakan syarat perlu dan cukup untuk kedua sudut alasnya sama
besar”. Jadi pernyataan tersebut dapat ditulis dengan “Segi tiga ABC sama kaki jika
dan hanya jika kedua sudut alasnya sama besar”.
Dalam matematika juga banyak didapati pernyataan yang berbentuk “p bila dan
hanya bila q” atau “p jika dan hanya jika q”. Pertanyaan demikian disebut
bikondisional atau biimplikasi atau pernyataan bersyarat ganda dan ditulis sebagai
pq, serta dibaca p jika dan hanya jika q (disingkat dengan p jhj q atau p bhb q).
Pernyataan pq juga disebut sebagai pernyataan biimplikatif. Pernyataan “p jika dan
hanya jika q” berarti “jika p maka q dan jika q maka p”, sehingga juga berarti “p
adalah syarat perlu dan cukup bagi q” dan sebaliknya.
Contoh 3.3-7:
1. Jika p : 2 bilangan genap (T)
q : 3 bilangan ganjil (T)
maka pq : 2 bilangan genap jhj 3 bilangan ganjil (T)
40
2. Jika r : 2 + 2 5 (T)
s : 4 + 4 < 8 (F)
maka r s : 2 + 2 5 jhj 4 + 4 < 8 (F)
3. Jika a : Surabaya ada di jawa barat (F)
b : 23 = 6 (F)
maka ab : Surabaya ada di jawa barat jhj 23 = 6 (T)
Berikut ini tabel kebenaran untuk bimplikasi :
Tabel 3.3-7 Tabel kebenaran
A B A B
F F T
F T F
T F F
T T T
Apakah pernyataan berikut ini merupakan pernyataan bikondisional atau bukan?
a. Setiap segi tiga sama sisi merupakan segi tiga sama kaki.
b. Sudut-sudut segi tiga sama sisi sama besarnya.
c. Sepasang sisi yang berhadapan pada sebuah jajaran genjang sama panjangnya.
d. Sebuah segi tiga sama kaki mempunyai dua sisi yang sama panjang.
(Keempat kalimat di atas berkenaan dengan bangun-bangun geometri)
Perangkai logika digunakan untuk mengkombinasikan proposisi-proposisi
atomik menjadi proposisi majemuk dalam bentuk ekspresi logika. Untuk menghindari
kesalahan tafsir akibat adanya ambiguitas satu orang dengan lainnya, proposisi
majemuk (ekspresi logika) yang akan dikerjakan lebih dahulu akan diberi tanda kurung
sehingga proposisi-proposisi dengan perangkai-perangkai yang berada dalam tanda
kurung disebut fully parenthesized expression (fpe).
41
Contoh 3.3-7 :
o A (B (¬A ¬B))
Perhatikan posisi tanda kurung biasa yang benar dan lengkap pada contoh di atas.
Sekarang perhatikan contoh yang mirip :
Contoh 3.3-8 :
o A (B¬A ¬B))
o A (B (¬A ¬B)
Jelas contoh di atas tidak menunjukkan suatu fpe yang baik karena tanda kurung biasa
tidak lengkap
Proposisi majemuk yang sangat rumit dapat dipecah-pecah menjadi subekspresi-
subekspresi, dan seterusnya tergantung tingkat kesulitannya. Teknik ini disebut
Parsing. Akan tetapi, mungkin saja proposisi majemuk tidak memiliki tanda kurung,
oleh karena itu urutan proses pengerjaannya harus ditentukan terlebih dahulu dan harus
ada ketentuan yang mengatur pengurutan tersebut. Hal tersebut akan dibahas pada
bagian aturan pengurutan.
3.4 Ekspresi Logika
Ekspresi logika sebenarnya merupakan proposisi-proposisi yang dibangun dengan
variabel-variabel proporsional yang berasal dari pernyataan atau argumen. Variabel
proporsional dapat berupa huruf-huruf tertentu yang dirangkai dengan perangkai
logika, dapat dinamakan ekspresi logika atau formula. Setiap ekspresi logika dapat
bersifat atomik atau majemuk tergantung dari variabel proposisional yang
membentuknya bersama perangkai yang relevan.
Contoh 3.4-1 :
Jika Ayu hemat dan rajin menabung, maka ia akan mempunyai banyak
uang.
Pernyataan di atas dapat diubah menjadi variabel proposisional :
A = Ayu hemat
B = Ayu rajin menabung
C = Ayu mempunyai banyak uang
Selanjutnya dapat dibentuk ekspresi logika sebagai berikut :
42
((A B) C)
3.5 Aturan Pengurutan
Ekspresi-ekspresi logika yang bersifat mejemuk yang memiliki banyak subekspresi
akan mempunyai banyak tanda kurung biasa karena berbentuk fpe, sehingga
memungkinkan fpe tersebut sulit dibaca dengan mudah. Lihat dua buah fpe berikut :
Contoh 3.5-1 :
((A B) (A B))
((A (B A)) B)
Kedua fpe tersebut berbeda dalam proses pengerjaannya. Oleh karena itu, harus ada
aturan untuk memprioritaskan penafsiran hasilnya yang disebut aturan pengurutan.
Aturan pengurutan (precedence rules) digunakan untuk memastikan proses
pengerjaan subekspresi.
Pada masalah perangkai, urutan atau hierarkinya berdasarkan pada hierarki tertinggi :
Tabel 3.5-1 Simbol Perangkai
Di sini ada aturan tambahan yaitu : “jika menjumpai lebih dari satu perangkai pada
hierarki yang sama, maka akan dikerjakan mulai dari yang kiri”. Berikutnya akan
diberikan contoh suatu pernyataan yang cukup panjang, selanjutnya akan dibentuk
proposisi majemuknya dengan aturan pengurutan yang sesuai.
Contoh 3.5-2 :
Jika nilai rapor Karisma bagus, maka orang tuanya akan senang dan Karisma
akan mendapat hadiah, tetapi jika nilai rapornya tidak bagus, maka dia akan
dihukum atau tidak mendapat hadiah..
Pernyataan di atas dapat diubah menjadi variabel proposisional berikut :
Hierarki ke Simbol Perangkai
Nama Perangkai
1 ¬ Negasi
2 Konjungsi
3 Disjungsi
4 Implikasi
5 Ekuivalensi
43
A = Nilai rapor Karisma bagus
B = Orang tua Karisma akan senang
C = Karisma mendapat hadiah
D = Karisma dihukum
Selanjutnya, pernyataan pada contoh di atas yang berupa proposisi majemuk dapat
dibuat ekspresi logika yang fpe berdasarkan variabel proposisionalnya, yaitu
sebagai berikut :
(A (BC)) ((¬A) (D (¬C)))
Pernyataan di atas dapat lebih disederhanakan dengan mengurangi tanda kurung biasa
menjadi :
Contoh 3.5-3 :
(A (BC)) (¬A (D ¬C))
Kegunaan pemberian tanda kurung biasa adalah untuk memastikan agar tidak
terjadi ambiguitas sehingga proses pengerjaan dapat dilaksanakan berurutan, mulai
dari proposisi majemuk yang berada pada kurung terdalam sampai yang paling luar.
3.6 Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi
Pembuktian validitas ekspresi-ekspresi logika dari suatu argumen dapat dilakukan
dengan tabel kebenaran, yaitu terlebih dahulu memberi variabel proposisional pada
setiap proposisi dari argumen tersebut dan kemudian membentuk proposisi majemuk
untuk setiap pernyataan, dan kemudian mengevaluasi dengan tabel kebenaran.
3.6.1 Tautologi
Argumen yang dibuktikan validitasnya dengan tabel kebenaran harus menunjukkan
nilai benar. Jika hasil benar, maka argumen valid, jika tidak maka sebaliknya. Jika
pada tabel kebenaran untuk semua pasangan nilai variabel-variabel proposisional yang
ada bernilai benar atau T (true), maka disebut tautologi.
Contoh 3.6-1 :
(AB) (C (¬B¬C))
44
Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut :
A B C ¬B ¬C A B ¬B¬C
F F F T T F T T T
F F T T F F F T T
F T F F T F T T T
F T T F F F T T T
T F F T T F T T T
T F T T F F F T T
T T F F T T T T T
T T T F F T T T T
Jadi, ekspresi logika di atas adalah tautologi karena pada tabel kebenaran semua
pasangan menghasilkan nilai T.
Contoh 3.6-2 :
Buktikan apakah (A ¬A) adalah tautologi ?
Bukti : buatlah tabel kebenarannya :
A ¬A (A ¬A)
F T T
T F T
Contoh 3.6-3 :
Buktikan apakah (¬(A B) B) adalah tautologi ?
Bukti : buatlah tabel kebenarannya :
A B A B ¬(A B) ¬(A B) B
F F F T T
F T F T T
T F F T T
T T T F T
Jadi, ekspresi di atas juga tautologi.
Tautologi juga dapat ditulis dengan simbol (suatu metasymbol, bukan perangkai
logika) sehingga pada ekspresi logika di atas akan ditulis :
¬(A B) B
C (¬B¬C)
(AB) (C (¬B¬C))
45
Contoh 3.6-4 :
Diketahui : Jika ¬(A B) B adalah tautologi
Buktikan : ¬((A B) C) C juga tautologi
Bukti :
Misalkan memakai skema P dan Q.
I. Masukkan ke ekspresi logika pertama menjadi ¬(P Q) Q
II. Misalkan : P = ¬(A B), sedangkan Q = C, lalu masukkan ke ekspresi
logika yang dibuktikan. Maka :
¬((A B) C) C akan menjadi ¬(P Q) Q
III. Lihat (I) dan (II) akan terlihat sama, jadi disebut tautologi.
Jika tautologi dipakai pada suatu argumen, berarti argumen harus mempunyai nilai
T pada seluruh pasangan pada tabel kebenaran yang ada untuk membuktikan argumen
tadi valid atau kadang-kadang disebut argumen yang kuat.
Seperti telah dibahas pada bab-bab sebelumnya, argumen berarti memiliki premis-
premis dan mempunyai kesimpulan. Jika premis-premis benar, maka kesimpulan juga
harus benar.
Contoh 3.6-5 :
1. Jika Dewi pergi kuliah, maka Komang juga pergi kuliah. (Premis 1)
2. Jika Made belajar, maka Komang pergi kuliah. (Premis 2)
3. Dengan demikian, jika Dewi pergi kuliah atau Made belajar, maka Komang pergi
kuliah. (Kesimpulan/Konklusi)
Diubah ke variabel proposisional :
A = Dewi pergi kuliah
B = Komang pergi kuliah
C = Made belajar
Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan,
yaitu :
(1). AB (premis1)(2). CB (premis 2)(A C)B (kesimpulan/konklusi)
46
Selanjutnya, dapat dituliskan sebagai berikut :
((AB) (CB)) ((A C)B)
Tabel kebenaran dari ekspresi logika di atas adalah sebagai berikut :
A B C AB CB (AB) (CB) AC (AC)B
F F F T T F T T T
F F T T F F F T T
F T F F T F T T T
F T T F F F T T T
T F F T T F T T T
T F T T F F F T T
T T F F T T T T T
T T T F F T T T T
Jadi, jika tabel kebenaran menunjukkan hasil tautologi, maka argumen tersebut valid.
Dalam logika, tautologi dapat ditulis T atau 1 saja. Jadi jika A adalah tautologi, maka
A = T atau A = 1.
3.6.2 Kontradiksi
Kebalikan dari tautologi adalah kontradiksi (contradiction), yakni jika pada
semua pasangan dari tabel kebenaran menghasilkan nilai F. Lihat contoh berikut :
Contoh 3.6-6 :
A ¬A
Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut :
A ¬A (A ¬A)
F T F
T F F
Jadi, pada tabel kebenaran, semua bernilai F sehingga disebut kontradiksi.
Pada argumen, suatu kontradiksi dapat dijumpai jika antara premis-premis bernilai
T, sedangkan kesimpulan bernilai F. Hal ini tentunya tidak mungkin terjadi, karena
premis-premis yang benar harus menghasilkan kesimpulan yang benar. Dalam bahasa
logika, konjungsi dari semua premis-premis dengan negasi dari kesimpulan selalu
((AB) (CB)) ((AC)B)
47
bernilai F, dan terjadi kontradiksi. Negasi kesimpulan berarti bernilai F pada negasi
kesimpulan. Lihat contoh ekspresi logika berikut :
Contoh 3.6-7 :
((A B) ¬A) ¬B)
Tabel kebenarannya sebagai berikut :
A B ¬A ¬B A B (A B) ¬A ((A B) ¬A) ¬B
F F T T F F F
F T T F T T F
T F F T T F F
T T F F T F F
Jadi ekspresi logika di atas terjadi kontradiksi. Dalam logika, kontradiksi dapat ditulis
F saja. Oleh karena itu, jika A adalah kontradiksi, maka A = F atau A = 0.
3.6.3 Kontingensi
Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, disebut kontingensi
atau formula campuran.
Lihat contoh berikut ini :
Contoh 3.6-8 :
((A B) C) A
Tabel kebenarannya sebagai berikut :
A B C A B (A B) C ((A B)C) A
F F F F T F
F F T F T F
F T F F T F
F T T F T F
T F F F T T
T F T F T T
T T F T F T
T T T T T T
48
3.7 Ekuivalen Logis dan Operasi Penyederhanaan
Jika suatu ekspresi logika termasuk tautologi, maka ada implikasi logis yang
diakibatkannya, yakni jika dua buah ekspresi logika ekuivalen, contohnya : AB
adalah ekuivalen secara logis jika terbukti tautologi.
3.7.1 Ekuivalensi Logis
Pada tautologi dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi
logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara
logis, demikian juga jika keduanya kontradiksi. Persoalannya ada pada kontingensi,
karena memiliki semua nilai T dan F. Tetapi urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel
kebenaran tetap pada urutan yang sama, maka tetap disebut ekuivalensi secara logis.
Perhatikan pernyataan berikut :
Lihat ekspresi logika dari suatu pernyataan berikut ini :
Contoh 3.7-1 :
Dewi sangat ramah dan lembut
Dewi lembut dan sangat ramah
Kedua pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang akan dikatakan ekuivalen atau sama
saja. Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut ini :
A = Dewi sangat ramah
B = Dewi lembut
Maka ekspresi logika tersebut adalah :
1. A B
2. B A
49
Jika dikatakan kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, maka dapat
ditulis : (A B) (B A)
Ekuivalensi logis dari kedua ekspresi logika dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran
berikut ini :
Tabel 3.7-1 Tabel kebenaran dari (A B) (B A)
A B A B B A
F F F F
F T F F
T F F F
T T T T
Pembuktian dengan tabel kebenaran di atas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki
nilai T dan F, tetapi karena memiliki urutan yang sama, maka secara logis tetap dikatakan
ekuivalen. Tetapi jika urutan T dan tidak sama, maka tidak dapat dikatakan ekuivalens
secara logis.
Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalensi logis.
Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut. Lihat pernyataan
berikut ini :
Contoh 3.7-2 :
1. Komang tidak jujur, atau dia tidak setia
2. Adalah tidak benar jika Komang jujur dan setia
Secara intuitif dapat ditebak kalau kedua pernyataan di atas sebenarnya sama saja, tetapi
bagaimana jika dibuktikan dengan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika.
Ubah dahulu pernyataan pada contoh 4-2 menjadi ekspresi logika dengan memberi
variabel proposisional :
A = Komang jujur
B = Komang setia
Selanjutnya berdasarkan variabel proposisional di atas, pernyataan pada contoh 4-2 akan
menjadi :
1. ¬A ¬B
2. ¬ (A B)
Dengan tabel kebenaran dapat dibuktikan bahwa kedua ekspresi logika di atas adalah
ekuivalen :
50
Tabel 3.7-2 Tabel kebenaran dari (¬A ¬B) dan ¬ (A B)
A B A B ¬A ¬B ¬ (A B)
F F F T T
F T F T T
T F F T T
T T T F F
Perhatikan ekspresi di atas! Meskipun kedua ekspresi logika di atas memiliki nilai
kebenaran yang sama, ada nilai T dan F, keduanya baru dikatakan ekuivalensi secara
logis jika dihubungkan dengan perangkai ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan
tautologi.
Perhatikan lanjutan tabel kebenarannya sebagai berikut :
Tabel 3.7-3 Tabel kebenaran dari (¬A ¬B) ¬ (A B)
(¬A ¬B) ( ¬ (A B))
T
T
T
T
Kedua ekspresi di atas dapat dikatakan ekuivalensi secara logis karena semua nilai
kebenarannya bernilai T atau tautologi.
Berikut ini adalah daftar ekuivalensi logis dilengkapi dengan hukum-hukum logika
propossional.
Tabel 3.7-4 Daftar ekuivalensi logis (plus hukum-hukum logika proposisional)
Ekuivalensi Logis Nama
A 1 A
A 0 A
Identity of
Zero of
A 1 1
A 0 0
Identity of
Zero of
A ¬A 1
A ¬A 0
Tautologi
Kontradiksi
A A A Idem
51
A A A
¬¬A A Negasi ganda
A B B A
A B B A
Komutatif
(A B) C A (B C)
(A B) C A (B C)
Asosiatif
A (B C) ( A B) (A C)
A (B C) (A B) (A C)
Distributif
A (A B) A
A (A B) A
Absorsi
A (¬A B) A B
A (¬A B) A B
Absorsi
Ekuivalensi Logis Nama
¬ (A B) ¬A ¬B
¬ (A B) ¬A ¬B
De Morgan
AB ¬A¬B Transposisi
AB ¬A B Implikasi
AB (A B) (¬A ¬B)
AB (AB) (BA)
Biimplikasi / Ekuivalensi
(A B) (A ¬B) A
(A B) (A ¬B) A
Absorsi
(A B) (¬A B) B
(A B) (¬A B) B
Absorsi
[ (p q)→r ] ≡ [ p→(q→r) ] Eksportasi (Exp)
3.7.2 Operasi Penyederhanaan
Operasi penyederhanaan akan menggunakan Tabel daftar ekuivalensi logis di atas.
Selanjutnya, perhatikan operasi penyederhaan berikut dengan hukum yang digunakan
ditulis pada sisi kanan. Penyederhanaan hukum-hukum logika atau bentuk-bentuk logika
ini dibuat sesederhana mungkin dan sudah tidak dimungkinkan untuk dimanipulasi lagi.
Contoh 3.7-3 :
(A 0) Λ (A ¬A)
52
A (A ¬A) Zero of
A 1 Tautologi
A Identity of
Contoh 3.7-4 :
(A ¬B) (A B C)
(A ¬B) (A (B C)) Tambahkan kurung
(A (¬B (B C)) Distributif
(A ((¬B B) (¬B C)) Distributif
(A (1 (¬B C)) Tautologi
(A (¬B C) Identity of
Contoh 3.7-5 :
¬A¬(A ¬B)
¬¬A ¬ (A¬B) AB ¬A B
¬¬A ¬(¬A v ¬B) AB ¬A B
¬¬A (¬¬A ¬¬B) De Morgan
A (A B) Double negasi
A Absorsi
Perhatikan contoh-contoh berikut untuk membuktikan hukum absorsi yang ada pada tabel
3.7-4 di atas :
Contoh 3.7-6 :
A (A B)
(A 1) (A B) Identity of
A (1 B) Distributif
A 1 Identity of
A Identity of
Contoh 3.7-7 :
A (A B)
(A 0) (A B) Identity of
53
A (0 B) Distributif
A 0 Zero of
A Zero of
Absorsi telah terbukti dengan teknik penyederhanaan.
Penyederhanaan juga dapat digunakan untuk membuktikan ekuivalen atau kesamaan
secara logis. Lihat contoh berikut ini :
Contoh 3.7-8 :
Buktikan : (A B) ( BA) (A B) (¬A ¬B)
(A B) ( BA)
(¬A B) (¬B A) (A B) (¬A B)
((¬A B) ¬B) ((¬A B) A) Distributif
((¬A ¬B) ( B ¬B)) ((¬A A) (BA)) Distributif
((¬A ¬B) 0 ) (0 (B A)) Kontradiksi
(¬A ¬B) (B A) Zero of
(B A) (¬A ¬B) Komutatif
(A B) (¬A ¬B) Komutatif
Jadi terbukti memang sama.
Catatan :
Untuk membuat penyederhanaan, pertama kali yang harus dihilangkan adalah
perangkai implikasi ( ) dan perangkai ekuivalen ( ), dan dijadikan kombinasi dari
perangkai konjungsi ( ), disjungsi ( ), dan negasi (¬).
Operasi penyederhanaan dengan menggunakan hukum-hukum logika operasional
dapat digunakan untuk membuktikan suatu ekspresi logika tautologi jika hasil akhir
yang diperoleh adalah 1.
Lihat contohnya pada ekspresi logika berikut :
Contoh 3.7-9 :
Buktikan : ACBACBA
ACBACBA BABA
54
ACBACBA De Morgan
ACBACBA De Morgan
ACBACBA De Morgan
ACBACBA Dobel Negasi
ACBACBA Hapus Kurung
CBAACBA Komutatif
CBAACBA Tambah Kurung
ACBA Absorsi
CBAA Komutatif
CBAA Tambah Kurung
AA Absorsi
1 Tautologi
Hasilnya ternyata 1, dan ini berarti ekspresi logika tersebut tautologi. Jika hasil yang
diperoleh ternyata 0, berarti ekspresi logika tersebut adalah kontradiksi.
Lihat contoh pada ekspresi logika berikut :
Contoh 3.7-10 :
(A B) ¬A ¬B
((A B) ¬A) ¬B Beri tanda kurung
(¬A (A B)) ¬B Komutatif
(¬A B) ¬B Absorsi
¬A (B ¬B) Asosiatif
¬A 0 Kontradiksi
0 Zero of
Jadi, ekspresi logika tersebut terbukti kontradiksi.
Jika hasil penyederhanaan sebuah ekspresi logika tidak 1 atau 0, maka disebut contingent.
Lihat contoh berikut :
Contoh 3.7-11 :
55
((A B) ¬A)¬B
¬ ((A B) ¬A) ¬B (AB) (¬A B)
¬ ( ¬A (A B)) ¬B Komutatif
¬ (¬A B) ¬B Absorsi
(¬¬A ¬B) ¬B De Morgan
(A ¬B) ¬B Double Negasi
A (¬B ¬B) Asosiatif
A ¬B Idempoten
Pada proses penyederhanaan yang menghasilkan contingent, penyederhanaan akan
berhenti pada bentuk ekspresi logika yang paling sederhana, dan sudah tidak mungkin
disederhanakan lagi.
