BabIX DistribusiDenganDuaVariabelAcak

KATA KUNCI

korelasi menunjukkantingkat hubunganantaradua variabel (kuantita);biasanyamempunyainilai antara -1 dan 1.

kovarian menunjukkan tingkat hubungan dua variabel. Mempunyai hubungan dengankorelasi, tetapi nilainya tidak dibatasi antara -1 dan 1.variabel acak bebas (independen) adalah variabel yang tidak saling mempengaruhi. Bilasatu nilai variabel acak diketahui tidak akan menyajikan infromasi apapun tentang variabelyang lain.

FUNGSIKEPEKATANGABUNGAN

Anggaplah kita mempunyai dua variabel acak diskrit X dan Y dan kita tertarik untukmengetahui probabilitas bahwa variabel itu akan tejadi pada nilai tertentu. Hanya dalamkasus satu variabel acak kita dapat mendefinisikan fungsi kepekatan probabilitas dan fungsidistribusi kumulatif.

Misalnya X mempunyai 6 nilai kemungkinan, yaitu Xl' dan X2,X3,X4,Xs dan X6.Yjuga mempunyai 6 nilai kemungkinan, yaitu Yl, Y2, Y3, Y4, Ys dan Y6. Sekarang kitamelakukan percobaan acak untuk mengamati nilai X dan Y. Hasil dari percobaan terdiridari 2 angka: nilai observasi X dan nilai observasi Y. Di sini ada 36 hasil yang mungkin.(Secara umum, jika ada m nilai kemungkinan untuk X, dan n kemungkinan untuk Y, makaakan ada mn hasil yang mungkin). Untuk menggolongkan percobaan lebih lengkap, kitaperlu menghitung probabilitas masing-masing hasil kemungkinan (ada 36). Kita dapatmengatur hasil kita dalam tabel.

Sebagai contoh, misalnya x adalah mata dadu di bagian permukaan (bagian palingatas) yang muncul pada waktu kita menggulirkan dadu dan Y adalah mata dadu di bagiandasar (paling bawah) dadu. Kemudian tabel probabilitas dapat ditunjukkan sebagaiberikut:

124

(tabel nampak seperti ini karena bilangan dari penjumlahan mata dadu yang berlawanan sisiadalah 7).

Contob lain, anggaplah X dan Z adalah angka yang muncul dari dua dadu yang berbeda,maka tabel probabilitas nampak seperti ini:

Apabila nilai kemungkinan baik X maupun Y banyak, sangat tidak praktis bila kitamembuat tabel. Secara umum, kita dapat mendefinisikan fungsi kepekatan probabilitasgabungan f(x,y) seperti ini:

f(x,y) = Pr(X=x) dan (Y=y)

= Pr(X=x)(I (Y=y)

Dalam kasus ini f adalah fungsi dari dua variabel (catatan, bentuk asHfungsi kepekatanprobabilitas adalah fungsi banya clari 1 variabel). f(x,y) =0 jika (x,y) bukan kemungkinanbasil untuk X dan Y. Penjumlahan semua nilai kemungkinan dari fungsi f(x,Y) barns 1.

Kita juga dapat mendefinisikan fungsi distribusi kumulatif:

F(x,y) =Pr[(X ~ x) dan (Y ~ y)]=Pr[(X ~ x) (I (Y ~ y)]

125

Y X=1 X=2 X=3 X=4 X=5 X=6

1 0 0 0 0 0 1/6

2 0 0 0 0 1/6 0

3 0 0 0 1/6 0 0

4 0 0 1/6 0 0 0

5 0 1/6 0 0 0 0

6 1/6 0 0 0 0 0

Z X=1 X=2 X=3 X=4 X=5 X

1 1/36 . 1/36 1/36 1/36 1/36 1/362 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/363 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/364 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/366 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

--

Fungsi distribusi kumulatif gabungan untuk dua variabel acak yang kontinu dapatdidefinisikan dengan cara yang sarna. Fungsi kepekatan gabungan dari dua variabel acakyang kontinu (continuous random variable) dapat digambarkan sebagai berikut. Bayangkanbukit kecil dilintasi pesawat dengan ditandai sumbu x dan sumb y. Total volume di bawahbukit harns sat. Kemudian probabilitas bahwa nilai X dan Y akan ada dalam bujursangkarkhusus dari pesawat sarna dengan volume dari pesawat di atas bujursangkar.

FUNGSIKEPEKATANMARGINALVARIABELACAK INDIVIDUAL

Anggaplah kita tertarik pada nilai X tetapi tidak memperhatikan nilai dari y (sebagaicontoh banyak orang tidak memperhatikanjumlah mata dadu di dasar dadu dari peoemparandadu). Dalam kasus ini fungsi kepekatan probabilitas gabungan menyajikan informasi lebihdari yang kita inginkan. Yang jl}ginkita lakukan adalah memikirkan beberapa jalan untukmenurunkan fungsi densitas yang biasa untuk X itu sendiri. (Kita akan menulis f/x) untukmenyatakan fungsi kepekatan dari x.) Perhatikanlah fungsi kepekatan gabungan untuk X danY yang telah ditunjukkan di atas. Kita akan mampu menggunakan informasi ini untukmendapatkan probabilitas bahwa X sarnadengan I. Seperti yang anda lihat dari tabel, ada 6kemungkinan hasil dari percobaan yang mempunyai X sarna dengan I :

(x=1 , y=I); (x=1 , y=2); (x=1 , y=3);

(x=1 , y=4); (x=1 , y=5); (x=1 , y=6)

Untuk mendapatkan probabilitas bahwa X sarna dengan 1, kita harns menjumlahkanseluruh probabilitas. Kita mendapatkan

o + 0 + 0 + 0 + 0 + 1/6 = 1/6.

Sekarang perhatikan tabel yang menyajikan fungsi kepekatan gabungan untuk X dan Z.Sekali lagi kita dapat memperoleh probabilitas bahwa X akan sarna dengan satu denganinenjumlahkan seluruh angka dalam kolom pertarna:

Demikian juga dengan penjumlahan masing-masing kolom dalarn tabel, kita dapatmenemukan Pr(X=2) , Pr(X=3) dan seterusnya.

Secara umum jika ada n nilai kemungkinan untuk Y, maka:

Pr(X =x) = Pr[(X=x) dan (Y=y\)] + [(X=x) dan (Y=y)]+ ... + Pr[(X=x) dan (Y=yn)]

Kita dapat menulis hubungan ini dalarn fungsi kepekatan gabungan:

f(x,y\) + (f(x,y) + ...+ f(x,y)

126

n

L. f(x,y)i=l

Sebuah fungsi kepekatan individual (tunggal) yang diturunkan dari fungsi kepekatangabungan, kadang-kadang disebut fungsi kepekatan marginal.

Kita juga dapat menemukan fungsi kepekatan marginal untuk:

fy(Y) = f(x)'Y) +f(x2,y) + ... + f(xm,y)

FUNGSI KEPEKATAN KONDISIONAL

Seringkali kita mengetahui satu nilai variabel dari dua variabel aeak dan kita inginmengetahui nilai yang lain. Kadang-kadang dengan mengetahui satu nilai variabel aeak akanmembantu kita untuk menerka nilai yanglain. Sebagai eontoh, jika kita mengetahui bahwavariabel Y yang didiskusikan di atas mempunyai nilai 4, maka kita dapat mengetahui bahwa Xmempunyai nilai 3. Tetapi, bila kita mengetahui Z adalah 4 kita akan mendapatkan informasitentang nilai X.

Fungsikepekatan kondisional untukX menjelaskan padakita bagaimana fungsi kepekatanuntuk X, apabila Y kita ketahui mempunyai nilai tertentu. Konsep ini sarna denganprobabilitas kondisional (bersyarat) yang telah kita diskusikan pada bab V. Kita akan menulisprobabilitas kondisional dari X dimana Y kita ketahui mempunyai nilai y* seperti berikut:

f[x I (Y =y*)] atau f(x I y*)

(Ingatlah garis vertikall, berarti "dengan syarat" atau "diketahui"). Kemudian kita dapatmenggunakan definisi dari probabilitas kondisional untuk menemukan bah\\-a:

Pr[{X = x) dan (Y = y*)]f(x I(Y = y*) =

Pr(Y= y*)f(x,y*)=fy (Y*)

Dengan kata lain, fungsi kepekatan kondisional sarnadengan fungsi Jcepekatan gabunganf (x,y*) dibagi den~an fungsi kepekatan marginal dari y. Sebagai eontoh, misalnya Y - 3,maka f (3) = 1/6 sehingga:y

127

- - --

0

1/6bila x =1

0

1/6bila x =2

-- - -- - -- - -

YANG HARDS DIINGA T

1. Fungsi kepekatan gabungan untuk dua variabel acak mencatat probabilitas masing-masing pasangan nilai kemungkinan untuk dua variabel.

2. Fungsi kepekatan marginal adalah fungsi kepekatan untuk variabel acak (random).3. Fungsi kepekatan kondisional adalah fungsi kepekatan untuk satu variabel acak dimana

diketahui variabel acak yang lain mempunyai nilai tertentu.4. fungsi kepekatan marginal dan fungsi kepekatan kondisional, keduanya dapat dihitung

dari fungsi kepekatan gabungan.

VARIABELACAK BEBAS(INDEPENDEN)Kita dapat mengatakan bahwa dua variabel acak X dan Y adalahvariabel acak bebas jika

°nilaiY yang telah diketahui tidak menjelaskan apapun tentang nilai X, dan sebaliknya. Iniberarti bahwa kepekatan kondisional untukX dimana Y diketahui sarna dengan kepekatanmarginal biasa untuk X (karena diketahuinya Y tidak merubah probabilitas X). Dengandemikian jika X dan Y adalah variabel bebas,

f(x Iy) =f/x)

Kita ketahui dari definisi probabilitas kondisional, bahwa

f(x,y)f(x Iy) =

f (Y)y

Dengan demikian, bila X dan Y adalah variabel bebas,

f(x,y)fx(x)=

f (Y)y

f(x,y) = fx(x)f/y)

Bila dua variabel adalah variabel bebas, fungsi kepekatan gabungan dapat diari dengansederhana yaitu dengan mengalikan dua fungsi kepeaktan marginal. Ini berarti bahwa

128

0f (x Iy =3) - bila x =3

1/60

bila x =41/60

bila x =51/60

bila x =61/6

-variabel aeak bebas lebih mudah dihadapi. Seeara umum, sangatlah sulit untuk membuatfungsi kepekatan gabungan untuk dua variabel aeak individual (tunggal)jika kita mengetahuifungsi kepekatan marginalnya. (Dalam kenyataan, keeil kemungkinan kita mempunyaibeberapa informasi tarnbahan tentang bagaimana hubungan dua variabel).

Dalarneontohdi atas,X, Ydan Z semuanyamempunyai fungsikepekatan marginal yangidentik. Tetapi, fungsi kepekatan gabungan untuk X dan Y sangat berbeda dengan fungsikepekatan gabungan untuk X dan Z, karena X dan Z adalah variabel bebas, sedang X dan Ymempunyai hubungan (saling mempengaruhi).

Berikut ini adalah eontoh dari fungsi kepekatan gabungan untuk dua variabel aeak bebasU dan V:

Fungsi kepekatan marginal untuk U dapat ditemukan dengan menjumlahkan masing-masing kolom, dan fungsi kepekatan marginal untuk V dapat ditemukan denganmenjumlahkan masing-masing baris. Anda dapat meolihat bahwa untuk tiap-tiap masukandalam tabel f(u,v) sarnadengan f(u) f(v). jadi dua variabel aeak tidak saling mempengaruhi(independen).

Berikut ini adalah hasil yang berguna yang bekrjajika dua variabel aeak adalah variabelbebas. Jika U dan V adalah variabel bebas, maka:

E(UV) =E(U) E(V)

Dengan kata lain, harapan dari perkaliannya sarna dengan perkalian masing-masingharapan. Ini adalah alasan lain mengapa hidup lebih mudah bila kita mempunyai variabelaeak yang bebas.

YANG HARUS DIINGA T

1. Dua variabel aeak adalah variabel bebas, jika diketahui satu nilai variabel, variabel initidak menyajikan informasi apapun tentang nilai variabel yang lain.

2. Seeara matematis, dua variabel aeak adalah variabel bebas jika fungsi kepekatangabungannyadapatditemukan denganmengalikankedua fungsikepekatanmarginalnya.

129

V. U=l U=2 U=3 U=4 f(v)

1 0.02 0.04 0.06 0.08 0.2

2 0.02 0.04 0.06 0.08 0.2

3 0.06 0.12 0.18 0.24 0.6

f(u) 0.1 0.2 0.3 0.4 1

--

KOVAR/AN DAN KORELAS/

KOVARIAN

Anggaplah X dan Y adalah dua variabel aeak yang tidak bebas. Kita akan mengukurseberapa dekat, nilai X akan menjelaskan banyak tentang nilai Y. Jika hubungan mereka tidakerat, bila anda mengetahui nilai X hanya akan sedikit membantu bila kita meneoba menerkanilai Y.

Kuantitas yang mengukur tingkat ketergantungan dua variabel disebut kovarian.Kovarian dari X dan Y dapat ditulis sebagai, Cov(X,Y) yang didefinisikan sebagai berikut:

Cov(X, Y) = E[(X - E(X)] [Y - E(Y)]]

bahwa Y juga lebih besar dari E(Y). Dalam kasus itu,

E[[(X - E(X)] [Y - E(Y)] akan positip.

Seeara umum, bila kovariannya positip. Jika dua variabel aeak eenderung bergerakdengan arah berlawanan (sebagai eontoh, jika X eenderung besar, pada waktu yang sarna Yakan eenderung keeil, dan sebaliknya), kovariannya negatip.

Berikut ini formula ringkas untuk menghitung kovarian yang lebih mudah untukdigunakan:

E[[X - E(X)] [Y - E(Y)]]=[EY - Y E(X) - X E(Y) + E(X) E(y)]

=E(XY) -E[y E(X)] - E[X E(Y)] + E(X) E(Y)

=E(XY) - E(X) E(Y) - E(X) E(Y) + E(X) E(Y)

Cov(XY( =E(XY) - E(X) E(Y)

Sebagai eontoh bila X dan Y adalah mata dadu pada bagian tas dan bagian dasar dadu,kita dapat menemukan bahwa:

E(XY) = 1/6 x 6 + 1/6 x 10 + 1/6 x 12 + 1/6 x 12 + 1/6 x 10 + 1/6 x 6=9.333

Dengan demikian:

Cov(X,Y) = 9.333 - 3.5 x 3.5 = -2.917

Kovarian bemilai negatip karena nilai X yang lebih besar berasosiasi dengan nilai Yyang lebih keeil.

Berikut ini eontoh lain. Anggaplah bahwa fungsi kepekatan gabungan unsuk s dan Tsebagai berikut:

130

Kemudian kita dapat menemukan bahwa E(TS) =0.6, E(S) = 2 dan E(T) =0.6. Nilaikovariannya adalah:

E(ST) - E(S) = 0.6 - 2 x 0.6 = -0.6

Dari formula singkat, anda dapat melihat bahwa Cov(X<Y) sarna dengan 0 jika X danY adalah variabel bebas. (gunakan hasil E(XY) =E(X) E(Y) jika X dan Y adalah variabelbebas). Dengan demikian Cov(X,Z) =0 jika X dan Z adalah jumlah dari dua dadu yangberbeda. (Tetapi sayang ini bekerja hanya menunjukkan Covb(X,Y) = 0, ini tidak cukupuntuk'meyakinkan bahwa X dan Y adalah variabel bebas).

KORELA8I

Jika Cov(X,Y) tidak nol, maka kita mengetahui bahwa X dan Y bukan variabel bebas.Tetapi ukuran dari cov(X,Y) tidak menjelaskan banyak kepada kita, karena ini lebihtergantung padaukuran dari X dan Y,Kita mendefmisikankuantitas barn yaitukorelasi, yangdapat kita gunakan secara langsung untuk menjelaskan seberapakuat hubungan antara X danY. Kita akan menulis korelasi antara X dan Y sebagai r(X,Y). (hurufYunani rho juga seringdigunakan untuk menyatakan korelasi). Definisi dari koefisien korelasi adalah:

Cov(X<Y) Cov(X<Y)r(X<Y) = =

..J Var(X) Var(Y) O'x O'y

Hal penting dari koefisien korelasi adalah bahwa nilainya selalu antara -1 dan 1.Jika Xdan Y adalah variabel bebas, makajelas korelasinya nol. Jika koefisien korelasi positip, kitatahu bahwa jika X besar, maka Y juga besar dan keduanya dikatakan mempunyai korelasipositip. X dan Y mempunyai hubungan erat, koefisien kolerasinya positip. X dan Ymempunyai hubungan erat, koefisien korelasinya mendekati 1. Disisi lain, bila korelasinegatip maka jika Y kecil, X besar. Bila hubungan negatip ini kuat maka koefisienkorelasinya mendekati -1.

Pada contoh terdahulu, kita menemukan bahwa Cov(S,T) = -0.6. Kita juga dapatmenemukan bahwa O's= 1.34dan O'T= 0.49. Dengan demikiankorelasi antara S dan T adalah:

-6f(S,T) = =-0.913

(1.34) (0.49)

131

-------

T 8=1 8=2 8=4

0 0 0.1 0.31 0.6 0 0

CONTOH MENENTUKAN KORELASI

SOAL

Anggaplah kita melemparkan 3 mata uang penny dan 3 nikel. U adalah jumlah sisi Hyang muncul dan V adalah jumlah sisi H yang muncul dari pelemparan mata uang penny.Hitung probabilitas gabungan dan korelasi.

PENYELESAIAN

Tabel probabilitas gabungan narnpak seperti ini: (lihat tabel). Kita dapat menghitungbahwa E(UV) =2.52. Kita telah tahu bahwa E(U) = 3 dan E(V) =3/2. Dengan demikianCov(U<V) =5.25- 3 x 3/2=0.75. Kitajuga telah menemukan bahwa aU =1.225 dan aV =0.8660. Itu berarti bahwa:

r(UV) =0.75/(1.225 x 0.8660) =0.7070

Korelasinya positip karena nilai dari U yang lebih besar berasosiasi dengan nilai V yanglebih besar. .

Dua variabel acak mempunyai hubungan yang sempuma jika ada hubungan antaramereka dari bentuk:

Y=aX+b

dimana a dan b adalah dua konstanta, dan a lebih besar dari O.Sebagai contoh, anggaplahfungsi kepekatan untuk X dan Y narnpak seperti dalarn tabel.

Dalarn kasus ini jelas bahwa Y selalu sarna dengan 4X. Kita .dapat menghitung bahwaE(X) = 3, sx= 2, E(Y) =12, Sy =8 dan E(XY) =52. Dengan demikian Cov(X,Y) = 52- 3 x12 = 16dan

132

v U=O U=l U=2 U=3 U=4 U=5 U=6 f(v)

0 1164 3/64 3/64 1164 0 0 0 1/81 0 3/64 9/64 9/64 3/64 0 0 3/82 0 0 3/64 9164 9164 3/64 0 3/83 0 0 0 1/64 3/64 3/64 1164 118

f(u) 1164 6/64 15/64 20/64 15/64 6/64 1164 1

VARIAN DARI PENJUMLAHAN

Sekarang kita dapat menurunkan formula umum untuk Var(X + Y):

Var(X + Y) =E[X Y)2] _ [E(X =y)2]

=E(X2 + 2XY + y2] - [E(X) + E(Y) F=E(X2) + 2 E(XY) + E(y2) - (E(X»2 - 2 E(X) E(Y) - (E (

=E(X2) -(E(X»2 + E(Y2) -(E(Y»2 + 2[E(XY) - E(X) E(

=Var(X) + Var(Y) + 2 COy(XY)

Sebagai eontoh, anggaplah anda mempunyai saham di Perusahaan Batik Bumi Persada.Keuntungan anda dari saham adalah variabel aeak (W) dengan mean 1000 dan varian 400.Anda ingin saham lebih banyak lagi dan anda meneoba memutuskan apakah anda akanmembeli saham dari perusahaan Batik Tulis atau dari perusahaan Tenun Permai. Keduasaham juga mempunyai keuntungan yang merupakan variabel aeak dengan mean 1000 danvarian 400. Mana yang harns anda pilih? Anggaplah H mewakili keuntungan anda jika andamemilih Perusahaan Batik Tulis DJewakili keuntungan anda jika anda memilih PerusahaanTenun Permai.

Nilai harapan dari keuntungan anda akan sarna tanpa memperhatikan mana yang andapilih. Tetapi anda tentu menginginkan varian keuntungan anda yang sekeeil mungkin, karenavarian yang keeil berarti saham yang anda pegang mengandung risiko yang keeil. Untukmenghitung varian total dari portofilio anda, anda harns memperhatikan kovarian antara

Perusahaan Batik Bumi Persada dan dua perusahaan lainnya. Anggaplah Cov(W,H) = 380.Kovarian bernilai positip, berarti bahwa kedua perusahaan dapat menguntungkan bila pasarkain batik kuat tetapi kedua perusahaan akan merugikan bila pasar kain batik lemah.Anggaplah Cov(W,F) =-200. Kovarian yang negatip berarti bahwa pasar tenun mengalamiboom bila pasar batik merosot dan sebaliknya.

Bila anda membeli saham Perusahaan Batik Tulis, maka total varian keuntungan andaakan:

133

y X+O X=l X=2 X=3 X=4 X=5 X=6

0 In 0 0 0 0 0 04 0 in 0 0 0 0 08 0 0 In 0 0 0 012 0 0 0 In 0 0 016 0 0 0 0 In 0 020 0 0 0 0 0 In 024 0 0 0 0 0 0 In

In In In In . In In In

Var(W + H) =Var(W) + Var(H) + 2 Cov(W,H)= 400 + 400 + 2 x 380= 1560

Jika anda rnernbeli saharn tenun, varian akan:

Var(W + F)= Var(W) + Var(F) + 2 Cov(W,F)

=400 + 400 + 2 x (-200)=400

Jelaslah bila anda rnernbeli saharn tenun risikonya lebih keeil. Seeara urnurn anda dapatrnernperkeeil risiko rnernegang saharn dengan deversiftkasi dan rnernbeli saharn yangrnernpunyai kovarian negatif satu sarna lain. Dengan kata lain, jangan rneletakkan sernuatelur anda dalarn satu keranjang.

YANG HARUS DIINGA T

1. Kovarian dari dua variabel aeak adalah ukuran dari hubungan kedua variabel itu. Jikakovarian positip,rnaka bila satu variabel aeak bemilai besar rnaka variabel lain jugarnernpunyainilai besar. Jika kovarian negatif, jika variabel aeak yang satu bemilai besarrnaka variabellain akan bemilai keei. Jika dua variabel aeak rnerupakan variabel bebas(independen) rnaka kovarian dari kedua variabel tersebut sarna dengan no1.Kovariandapat dihitung dengan formula berikut:

Cov(X, Y) = E(XY) - E(X) E(Y)

2. Korelasi adalah nilai yang harnpir sarna dengan kovarian keeuali pada skalanya yangselalu berada diantara -1 dan 1. Jika dua variabel aeak adalah variabel bebas, nilaikorelasinya adalah no1.Jika ada hubungan linear yang sernpuma diantara dua variabelaeak, rnaka korelasinya adalah -1 dan 1, tergantung pada apakah kovarian positip ataunegatip.

3. Jika X dan Y adalah dua variabel aeak, rnaka varian dari penjurnlahannya dapat dicaridengan formula ini:

Var(X + Y) =Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, YO

ISTILAH-ISTILAH YANG HARUS DIPELAJARI

fungsi densitas kondisionalfungsi densitas probabilitas gabunganfungsi densitas probabilitas gabunganfungsi distribusi kurnulatif gabunganfungsi densitas marginalvariabel aeak bebas (independen)

kovariankorelasikorelasi

korelasi negatipkorelasi positipkorelasi sernpuma.

134