BAB VITRANSFORMASI KANONIK DAN TEORI HAMILTON-JACOBIV1.1 Transformasi KanonikPilihan koordinat umum q sebenarnya tidak ada pembatasan; dan mereka dapat berupa s besaran yang secara tunggal menentukan kedudukan systemdalamruang..Dalamhal ini persamaan Lagrange sama sekali tak bergantung pada pilihan koordinat, atau dengan kata lain persamaan Lagrange bersifatinvariant(tak berubah) terhadap transformasi kumpulan q1,q2,q3,kekoordinat lainyangbebasQ1,Q2,Q3,.Kumpulankoordinat Qyangbaruini adalah merupakan fungsi q yang secara eksplisit bergantung pula pada waktu t sehingga:Qi=Qi (q,t) yang dikenal sebagai transformasi titikKarenapersamaanLagrangetakberubahdibawahtransformasi titk, makapersamaan Hamilton juga demikian. Akan tetapi untuk persamaan Hamilton sesungguhnya dimungkinkan rangkumanyanglebih luas. Ini disebabkan karena dalampersamaanHamilton, perlakuan terhadap momentum p juga merupakan perubah yang sama kedudukannya dengan koordinat q. Oleh karena itu transformasi titik buat persamaan Hamilton, dapat diperluas hingga meliputi 2s perubah bebas p dan q. Jadi kedua-duanya harus ditransformasikan menurut:) , , () , , (t p q P P pt p q Q Q qi i i i ii i i i i (V1.1.1)Mulai sekarangpdanPadalahmomentumumumdanvariabel QdanPdisebut variabel kanonik. Perluasanini adalahmerupakankeuntunganmenggunakansajianHamilton. Akan tetapitidaksemuatransformasi (V1.1.1) dapatmempertahankanbentukkanonikpersamaan Hamilton. Untukkeperluanini,syarat yang harus dipenuhi sehingga persamaan gerak Hamilton dalam perubah baru Q, P, yakni bila ada fungsi Hamilton yang baru ) , , ( t P Q K K sehingga:dtdPPKdtdQQKdtdK+(V1.1.2a)1QKPPKQ ;(V1.1.2b)Jika ini dipenuhi maka transformasi (V1.1.1) disebut kanonik dan persamaan (V1.1.2b) bisa diperoleh dari prinsip aksi..Untuk merumuskan transformasi kanonik kita meninjau kembali prinsip variasi, yakni:021 ,_

dt H q pttii i (V1.1.3)yangpada uraian lalu telah digunakan menurunkan persamaan gerak Hamilton. Menurut keterangan di atas, variasi ini berlaku untuk sembarang system koordinat dan momentum. Oleh karenaitu, buat perubahbaruPdanQjugaharusmemenuhi asasvariasi padapersamaan (V1.1.3)agar persamaan Hamilton (V1.1.2b) dapat diturunkan dari:021 ,_

dt K Q Pttii(V1.1.4) Kedua variasi (V1.1.3)dan (V1.1.4) hanya akan setara bila integrannya sama terlepas dari pada perbedaan dengan diferensial total suatu fungsi F terhadap koordinat, momentum dan waktu.Dengan demikian menurut uraian di atas, dari kedua persamaan (V1.1.3)dan (V1.1.4) haruslah dipenuhi syarat:( ) ( )tFK Q P H q pi i i i+ (V1.1.5) dimana : F adalah fungsi sembarang yang punya turunan kedua yang kontinu adalahkonstantaskalayangselaludapat dibuat samadengansatu denganmelakukan transformasi yang tepat.Bila hubungan antara P,Q dengan p,q sebagai P=p, Q=q dan K=H, maka:2P pqHQKQ qpHPK Transformasi skala bersifat kanonik jika:( ) H q p H q pi i i (V1.1.6a) Karena itu selalu dipilih =1, maka:dtdFK Q P H q pi i i i+ (V1.1.6b) Jadi setiap transformasi kanonik ditandai dengan suatu fungsi tertentu F yang disebutfungsigenerator transformasi. Berdasarkan persamaan (V1.1.6b) di atas dapat pula dituliskan sebagai:dt H K dQ P dq p dFi i i i) ( + (V1.1.7) Sehingga segera kita melihat bahwa:tFH KQFPqFpiiii+ ; ;(V1.1.8) Berdasarkanpersamaanini, makakitadapatmelihatbahwaF adalahmerupakanfungsidari perubahkoordinat lamadanbarusertawaktu; yakni) , , ( t Q q F F . Fungsi pembangkit ini dikenal sebagaifungsi pembangkit jenis pertama. Dengan demikian transformasi ini bersifat 3kanonik karena hubungan persamaan (V1.1.8)dan fungsi pembangkit ini memenuhi persamaan transformasi dari Lagrangian, yakni:) , , ( ) , , ( ) , , ( t Q q Fdtdt Q Q L t q q L + (V1.1.9)Contoh 1: Dengan menggunakan fungsi pembangkit tipe pertama, carilah syarat agarpersamaan suatu osilator harmonic 1-dimensi bersifat kanonik Jawab:Hamiltonian osilator harmonic 1-dimensi adalah:) (212122 2 2 2 22q m pmkqmpH + + (1)Bentuk jumlah kuadrat memberi ide:QmP fqQ p f psin) (cos ) ((2)Dengan mesubstitusi ini ke dalam Hamiltonian di atas, maka diperoleh:KmP fH 2) (2(3)f(P) harus dipilih supaya transformasinya bersifat kanonik. Dengan membagi p dengan q, maka:qFQ q m p Q mqp 1cot cot (4)sehinggaQ q m F cot2121 (5)4Selanjutnya untuk:QmPqQq mQFP2 222sin2sin 21 (6)atauQmPq sin2(7)Jadi transformasi akan bersifat kanonik bila:P m P f 2 ) ( (8)Hasil transformasinya adalah:EP sehingga2) (2 E PmP fK0Q t QPKQ + Jadi) sin(2) sin(2020Q tmEQ tmPq + + (9)Dapat pula lebih menguntungkan bila fungsi generator itu bukannya dinyatakan dalam perubah(q,Q,t) melainkan dalamperubah(q,P,t). Kadang-kadangfungsi generator tipe I, penyelesaian transformasinya tidak dapat diperoleh sehingga perlu dicobakan fungsi generator F2= F2(q,P,t) dengan menuliskan dalam bentuk sebagai berikut: ii iP Q t P q F F ) , , (2(V1.1.10) Bila ini disubstitusikan ke dalam syarat transformasi kanonik, maka:5iiiiiiiiiiiii iiiiii iiiQ PtFPPFqqFKQ P Q PdtdFK Q PdtdFK Q P H q p +

,_

++ + + 2 2 22(V1.1.11a) atau02 2 2 ,_

+

,_

+

,_

tFH K PPFQ qqFpii ii ii ii(V1.1.11b) karena q,P dianggap bebas, maka:tFH KPFQqFpiiii+ 2 2 2; ;(V1.1.12) Untuk generator tipe III:F3=F3(p,Q,t)+ ii ip q t Q p F F ) , , (3(V1.1.13a) Dengan cara yang sama, akan diperoleh:tFH KpFqqFPiiii+ 3 3 3; ;(V1.1.13b)Selanjutnya untuk generatortipe IV, yakni:F4=F4(p,P,t)Transformasi generatornya diberikan oleh:6 + ii iii iP Q p q t P p F F ) , , (4(V1.1.14a) dan diperoleh:tFH KPFQpFqiiii+ 4 4 4; ;(V1.1.14b) Daftar fungsi pembangkit persamaan kanonik) , , (1t Q q F ) , , (2t P q F ) , , (3t Q p F ) , , (4t P p FqFp1qFp2pFp 3pFp 4QFP 1PFQ2QFP 3PFQ4tFH K+ 1tFH K+ 2tFH K+ 3tFH K+ 4VI.2 Beberapa Gambaran Tentang Transformasi KanonikPerludikemukakanbahwatransformasi kanonikdalamsajianHamiltonianmemiliki banyak sekali kemungkinan yang tidak mengubah arti perubah lama dan keperubah baru. Dalam hal ini karena transformasi pada persamaan (V1.1.1) menghubungkan besaran P,Q terhadap q danp, makaperubahQkiranyatidaklagi mesti sebagaiperubahyangberhubungandengan ruang.Sebagai contoh, akan diberikanbeberapa transformasi khusus dan generatornya yakni:1. TransformasiQi=pi,Pi=-qidengan fungsi generatoriiiQ q Fsama sekali tak mengubah persamaan kanonik Hamilton. Hal ini dapat dilihat, karena F tak bergantung pada waktu secara eksplisit maka:7iiiiiiqQFPQqFp 11 Dalam hal ini,tidak penting yang mana koordinat dan yang mana momentum karena bersifat kanonik.2. Fungsi generatoriiiP q F2H KqPPqPFQP PqqqFpiiiiiiii ii iiii22Ini adalah transformasi identitas3. Fungsi generator i n iiiP t q q f F ) , ,...... (2 ) , ,... , (2 122t q q q fPFQPqfqFpn jjjiijijj Transformasi ini adalah transformasi koordinat.VI.3 Kurung PoissonMisalkan f(q,p,t) suatufungsi terhadap koordinat, momentumdan waktu. Turunan totalnya terhadap waktu adalah:

,_

++kkkkkppfqqftfdtdf (VI.3.1)Dengan memasukkan harga k kp q dandari persamaan Hamilton pada persamaan (V.5.7), kita dapat menyatakan :8[ ] f Htfdtdf, + (VI.3.2a)dengan [ ]

,_

k k k k kpfqHqfpHf H,(VI.3.2b)Pernyataan (VI.3.2b) dikenal sebagai kurung Poisson (Poisson bracket) besaran H dan f.Kita melihat dari persamaan (VI.3.2a), bila suatu besaran; katakanlah f disini merupakan integral gerak, maka df/dt=0. Ini berarti [ ] 0 , +f Htf. Kalau integral gerak itutak bergantung secara eksplisit terhadap waktu, maka:[ ] 0 , f H (VI.3.3)yang menunjukkan bahwa kurung Poisson H dan f haruslah lenyap.Sesuai dengaanalogi persamaan(VI.3.2b), makakurungPoissonbagi besargdanf didefinisikan berdasarkan sangkutan:[ ]

,_

k k k k kpfqgqfpgf g,(VI.3.4)Dapat pula ditunjukkan bahwa kurung Poisson memenuhi sifat-sifatsebagai berikut:[ ] [ ] g f f g , , (VI.3.5)[ ] tetapan suatu C C f , 0 , (VI.3.6)[ ] [ ] [ ] g f g f g f f , , ,2 1 2 1+ + (VI.3.7)[ ] [ ] [ ] g f f g f f g f f , , ,1 2 2 1 2 1+ (VI.3.8)9Kalau persamaan (VI.3.4) diambil turunan parsialnya terhadap waktu, maka akan:[ ]1]1

+1]1

tgf gtfg ft, , ,(VI.3.9)Jika salah satu dari f atau g adalah koordinat atau momentum, maka dipenuhi sangkutan:[ ]kkpfq f ,(VI.3.10)[ ]kkqfp f ,(VI.3.11)Dengan menggunakan persamaan (VI.3.10) dan (VI.3.11), maka dapat pula ditunjukkan bahwa:[ ] [ ] [ ]ik k i k i k iq p p p q q , , 0 , ,(VI.3.12)Contoh 2: Tentukan kurung Poisson terhadap komponen Cartesian momentum linear p dengan momentum sudut L=r x pJawab.Dengan menggunakan persamaan (VI.3.11), dan menyatakan momentum sudut sebagai p x L maka:[ ] ( )z y z y xp zp ypyp L ,[ ] ( )y y z z xp zp ypzp L ,[ ] ( )z z x x yp xp zpxp L ,[ ] ( )zx z x z yp xp zpzp L ,[ ] [ ] [ ] 0 , , , z z y y x xp L p L p L10Selanjutnya perubahan p dan q dalam sajian Hamiltonian sering disebut perubah yang berpasangan secara konjugat kanonis. Syarat yang menghubungkan perubah yang berkonjugasi secarakanonisadalahkurungPoisson. Dalamhubunganini jika[f,g]pqmerupakankurung Poisson bagi besaran f dan gterhadap p dan q. Sementara [f,g]P,Q sebagai kurung Poisson bagi besaran yang sama terhadap sebagai kurung Poisson bagi besaran yang sama terhadap peubah P,Q, maka akan dipenuhi hubungan, yakni:[ ] [ ]Q P q pg f g f, ,, , (V1.3.13)Hal ini dapat ditunjukkan secara langsung dengan menggunakan transformasi (V1.1.12). Dalam hal ini:[ ]

,_

,_

,_

,_

iiiiii i i ii iii iii iii iiiii i i iQ PPpQqpgqfqgpfPppgQqqfQqqgPppfPgQfQgPfg f,,(V1.3.14)Bahwapersamaan(V1.3.13) dipenuhi, tinggal menunjukkanbahwa

,_

iiiiPpQq=1.Ini dapat diperlihatkan karena menurut persamaan (V1.1.12), i i iii i iiq P qQdanq P Pp 2 2sehingga nyata

,_

iiiiPpQq=1. Karena dipenuhinya rumus (VI.3.12)dan (V1.3.13) , maka juga berlaku:[ ] [ ][ ]ik q p k iq p k i q p k iP QP P Q Q ,, ,,0 , ,(V1.3.15)Inilah syarat yang harus dipenuhi suatu transformasi Q P q p , , bila dinyatakan dalam kurung Poisson bersifat kanonik 11Contoh 3: Perlihatkan bahwa transformasi berikut ini kanonik:p t q P p t q Q sin ) exp( 2 , cos ) exp( 2 Jawab: Dengan menggunakan kurung Poisson sebagai syarat kanonik,[ ] 1 , P Q , maka:[ ]1sin cossin ) exp( 2 . ) 2 (21. sin ) exp( 2cos ) exp( 2 cos ) exp( 2 . ) 2 (21,2 22121+ + p pp t q p t qp t q p t qqPpQpPqQP Q Contoh 4: Perlihatkan secara langsung bahwa transformasi berikut:p q P pqQ cot , ) sin1log( adalah kanonik.Jawab: Dengan menggunakan metode simplektif sebagai syarat kanonik, yakni:

,_

,_

,_

,_

PqpQiipPQqi))Tinjaup Qppp Q p q Pp Q q pqQcos ) exp(sincossin ) exp( cotsin ) exp( sin1log

,_

12q p QpPq p QQq sin ) exp(sin ) exp(Dengan demikian transformasi di atas adalah kanonik, karena:qpPQq

,_

,_

Contoh 5: Persamaan transformasi antara dua koordinat adalah:p q Q p q p q Pp q Q p q Qcos 1 ) exp( sin ) cos 1 ( 2cos 1 ) exp( ) cos 1 log(2121212121 + + + Jawab: Dengan menggunakan metode simplektif sebagai syarat kanonik, yakni

,_

,_

,_

,_

PqpQiipPQqi))pq Qp qpQpQpeQqpeqQQcos) exp( 2coscos) exp( 2cos) exp(cos12cos1212122

,_

,_

( ) p Q QppQppQp q p q Ptan 1 ) exp( ) exp( 2sin .cos1 ) exp(cos .cos1 ) exp(1 2sin cos 1 22121

,_

+

,_

+ 13( )pq QpQp qpQQ QpPcos) exp( 2cos) exp(. cos 2cos) exp(1 ) exp( ) exp( 2212212 Jadi transformasi di atas adalah kanonik, karena:pq QpPQqcos) exp( 221Sedangkan fungsi pembangkitnya (diberikan ) , (3 3Q p F F) adalah:( )( )( )( )p p fp pfpfpe epepfpe epFqp f p e epdQ e e Fp Q QQFPQ QQQ QQ QQ Qtan ) ( ;cos1cos12cos1cos12) ( tan212tan 2tan 1 ) exp( ) exp( 2222222 32233 +

,_

+ +;' Dengan demikian fungsi pembangkitnya adalah:( )( ) p Qp Q Q Ftan 1 ) exp(tan 1 ) exp( 2 ) 2 exp(23 + V.4 Persamaan Hamilton-Jacobi14Padauraianyanglalubesaranaksitelahdiketahui sebagai fungsidarikoordinatdan waktu. Dalam hal ini, menurut persamaan integral aksi, perubahan aksi dari suatu lintasan ke lintasan lain, adalah:dt ttLqqLqqLItt

,_

++21 (VI.4.1a)Dan jika Lagrangian tidak bergantung waktu secara eksplisit, maka0 tLsehingga:dt qqLqqLItt

,_

+21 (VI.4.1b)Karena prinsip Hamilton menyatakan bahwa perubahan system dari keadaan t1 ke keadaan t2 yang membuat integral aksi stasioner/ekstremum, sehingga:21210ttiitti i iqqLdt qqLdtdqLI +;'

,_

(VI.4.2)Jikapadasukuke2(dua) padaruas kanan, denganmengambil 0 ) (1 t q danmenandai q t q ) (2danmenggantipqL, makadiperolehq p I . Jadi terlihat bahwaturunan parsial aksi terhadap koordinat adalah merupakan momentum, yaitu:pqI(VI.4.3)Dengan demikian aksi dapat dipandang secara eksplisit merupakan fungsi waktu dan koordiant dengan meninjau lintasan yang bermula pada saat t1 pada kedudukan q1. 15Jadiq ptIqqItIdtdI ++(VI.4.4)Selanjutnya dari aksi diperolehLdtdI , maka:q p LtIq ptIL + atau , (VI.4.5)Disisilain) ; , ( ) ; , (it q q L p q t p q Hi i iii i ,makaakan diperolehpersamaanbuat aksi I(q,t) yang ditentukan oleh:0 ) ; , ( +t p q HtI(VI.4.6)Sementara pqI, maka dengan mengganti dari dalam Hamiltonian diperoleh:0 ; , . . . , , , , , ,2 12 1

,_

+tqIqIqIq q q HtInn(VI.4.7)yang menentukan besaran aksi I(q,t). Persamaan diferensial parsial orde satu terhadap waktu ini dikenal sebagai persaman Hamilton-Jacobi. Seperti halnya persamaan Lagrange dan persamaan kanonik Hamilton, maka juga persamaan Hamilton-Jacobi adalah merupakan adalah basis dalam menentukan metode umum mengintegralkan persamaan gerak.Sebelummengupas metode di atas, perlu dikemukakan kenyataan bahwa setiap persamaan diferensial parsial orde satu memiliki penyelesaian yang hanya bergantungpada satu fungsi sembarang. Dalampenerapanmekanismeintegral umumpersamaanHamilton-Jacobi 16kurang penting dibanding dengan integral lengkap, yang mengandung tetapan bebas sebanyak perubah bebas.Untuk perubah bebas dalam persamaan Hamilton-Jacobi terdiri atas perubah waktu dan koordinat. Untuksystemdengannbuah derajat kebebasan, integral lengkapnya hruslah mengandung n+1 buah tetapan integrasi. Karena fungsi aksi I terpaut dalam persamaan melalui turunan, maka satu diantara tetapan itu haruslah bersifat menjumlah, sehingga integral lengkap persamaanHamilton-Jacobi akan dapat disajikan sebagai:( ) t q q q f In n; ,..., , ; ,..., ,2 1 ; 2 1 (VI.4.8)Untuk menentukan hubungan integral lengkap persamaan Hamilton-Jacobi dengan penyelesaian persamaan gerak yang dicari, maka dalam transformasi kanonik dari perubah p,q keperubahyangbaru, kitapilihf(t,q,) sebagai fungsi generator dengan1, ,nsebagai perubah momentum baru. Misalkan koordinat baru itu adalah 1,, n , dan mengingat fungsi generator adalah merupakan fungsi koordinat lama dengan momentum baru, maka:1). iiqfp2) iif3)tfH H+ Akantetapi karena f juga mengikuti persamaanHamilton-Jacobi, makaHamiltonianbaru 0 + + tIHtfH H . Ini berarti 0 H , akibatnya0 , 0 iiiiH H, sehingga i=tetap, i=tetap. Selanjutnya persamaan Hamilton-Jacobi akan mengambil bentuk yang lebih sederhana bila Htidak bergantung pada waktu secara eksplisit; yaitu bila systemkonservatif. Ketergantungan aksi terhadap waktu ditentukan oleh sukuEt, sehingga aksi akan dapat dinyatakan sebagai:Et q I t q I ) ( ) , (0(VI.4.9)17yang dikenal sebagai solusi umum persamaan Hamilton-JacobiContoh 6: Tinjaulah osilator harmonic dimana Hamiltoniannya adalah:( )2 2 2 2 2 2221212q m pmq mmpH + + (1a)dengan mk (1b)Persamaan Hamilton-Jacobi0 ) ; , ( +t p q HtI0 ) (212 2 2 2

,_

++q mqIm tI(2)dimana telah digunakan pqI.Kalau I diketahui,maka p=p(t) dan q=q(t) dapat dicari. Andaikan solusinya:Et q I t q I ) ( ) , (0Jika diderensialkan terhadap q maka akan diperoleh: qIqI0(3)sehingga:0212 2 220+11]1

+

,_

tIq mqIm(4)18karena HtI , dimana Htiada lain adalah energi total osilator (H=T+V) karena dibangkitkan oleh gaya konservatif. Dengan menandai H=E , maka:mE q mqI22 2 22011]1

+

,_

(5)atau ( ) dq q m mE I212 2 202 (6a)ataudq qmEm I212202

,_

(6b)sehinga: Et dq qmEm t q I ,_

21222) , ((7)Transformasi kanonik dari perubah q,p ke perubah baru, yakni: EIPIQEIpmaka:t dq qmEEmEI ,_

21222 (8)atau ,_

+22212221 2qmEdqdq qmEEm t (9)Selanjutnya dengan menggunakan sifat integral:axarcx adxsin2 2 maka 19 ( ) +

,_

+dengan tmEqataumEqarc tsin2,2sin122(10)Akhirnya diperoleh solusi osilator harmonic, yakni:( ) + tmEt q sin2) (2(11)Soal latihan:1. Transformasi berikut: cos sinsin cosp q Pp q Q+ a. Tunjukkan bahwa transformasi ini adalah kanonik untuk semua harga .b. Dapatkan generatornya (gunakan tipe II)2. Carilah syarat agar transformasi berikut:2, x PxpQ dimana dan adalah konstan, merepresentasikan sebuah transformasi kanonik untuk system satu derajat kebebasan.3. Persamaan transformasi:1 2 2 2 2 22 12 2 1121 12 sin , seccos 22 cos,q p P p q Qp qq p pP q Q adalah kanonik. Tentukan fungsi generatornya.4. Jika Lagrangian ) , , ( t q q L diganti oleh:dtt q dFt q q L t q q L) , () , , ( ) , , ( + 20dimanaF(q,t) adalahsebuahfungsi tetapan, persamaangerakLagrangeakaninvariant. Buktikan bahwa transformasi ini kanonikdan carilah fungsi generator yangberkaitan dengan transformasi ini.21