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Bemerkungen zum Formelwerk der Richttafeln 1998
Edgar Neuburger (Miinchen)
1. V o r b e m e r k u n g e n
Die Bewertung von laufenden Renten mit unterj/ihriger Zahlmagsweise der Rentenzah- lungen ist yon der Theorie hergesehen bez. des Formelwerks nur insofem interessant, als die Zeitpunkte der Zinsgutschriften mad der F~illigkeitszeitpunkte der Rentenzahlmagen nicht identisch sind. Sind sie identisch, d.h. auch innerhalb des Jahres, z.B. derart, dab die Zahlungen zum Ende des Monats/Beginn des Folgemonats erfolgen, mad zu diesen Zeitpunkten auch die Zinsgutschriften, dann k6nnen zur Berechnmag der Barwerte zu diesen Zeitpmakten die Formeln fiir j/ihrliche F~illigkeit mad j~ihrliche Zinsgutschrift herangezogen werden, wobei dann der Monat technisch als Jahr fungiert. In diesem Fall sind also ,,lediglich" in geeigneter Weise die Ausscheidewahrscheinlichkeiten fiir die einzelnen Monate zu bestimmen, mad mit diesen unter Ansatz der Formeln fiir j/ihrliche Rentenzahlungen mad j~ihrliche Zinsgutschriften die Barwerte. Natiirlich ist das H6chst- alter dann nicht to, sondern 12 co, mad damit sind f'tir den Barwert einer monatlich zahlbaren Rente 12-mal soviel Rechenschritte notwendig wie bei der Berechnung des Barwerts einer j~ihrlich zahlbaren Rente, was jedoch lediglich em rechnerisches Problem darstellt. Aufgrund dieser Vorbemerkung ist also vonder Theorie her gesehen beziiglich der unterj~ihrlichen F/illigkeit von Renten nur der Fall interessant, bei dem die F~illigkeits- zeitpunkte der Rentenzahlungen mad die Zeitpunkte der Zinsgutschriften auseinander- fallen. Hier wollen wit von dem realiter h~iufig auftretenden Fall ausgehen, dab die Zinsgutschriften jeweils zum Jahresende erfolgen, die Rentenzahlungen innerhalb des
1 2 t - 1 (t = 1, 2, 3,...), wie es auch in [7] vor- Jahres jedoch zu den Zeitpunkten ~-, t ' " " t
ausgesetzt ist (determinierte F~illigkeit der Rentenzahlmagen). Natiirlich ist auch bier ,,Jahr" technisch zu verstehen, auch Zeitabsclmitte anderer L~inge sind zul~issig, solange die Zahlungen innerhalb des Zeitabschnittes zu ~iquidistanten Zeitpunkten mad die Zins- gutschriften am Ende des Zeitabschnitts erfolgen. Der Vollst~ndigkeit wegen sei auf den selbstverst/indlichen Sachverhalt hingewiesen, dab damit auch der Fall, dab die F~illig- keitszeitpmakte der Renten mad die Zeitpunkte der Zinsgutschriften zusammenfallen, als Grenzfall mit erfaBt wird. In diesem technischen Sinne ist also im folgenden der Begriff , ,Jahr" zu verstehen, mad in diesem Sinne sprechen wir im folgenden von einer Rente, die
1 ;, t - 1 ,,~--tel vorschiissig zahlbar ist, also zu den Zeitpunkten 0, ~, . . - - eines Jahres, wenn " ' t
zu diesen Zeitpunkten eine Zahlmagverpflichtmag besteht. Wir iibernehmen auch die 2. in [7] angesetzte Voraussetzmag, n~imlich, dab die Oberg/inge innerhalb eines Jahres gleichverteilt sind, woraus dann, wie in [7] gezeigt, der Invarianz- satz fiir Anwartschaftsbarwerte folgt. Einen bestechend kurzen mad eleganten Beweis des Invarianzsatzes gab vor kurzem Jensen (vgl. [4], Abschnitt 1). Damit gehen wir in diesen Bemerkungen in Obereinstimmung mit den RT98 [3] von den folgenden Ans/itzen aus:
�9 qx = zqx, 0 <v_< 1, x ~ N o (1)
1 v ' = ~ 0 < z < 1, (2)
l + z i ' - -
111
wobei die Abzinsung auf den Jahresbeginn verstanden ist. In Ubereinstimmung mit der Gepflogenheit der RT98 sollen jedoch auch hier Abzinsungen auf unterj~ihrliche Zeit- punkte mit v' bezeichnet werden, da letztlich alle Formeln auf dem Jahresgitter beruhen, d.h., in allen Formeln nur v vorkommt (vgl. Anhang). Damit schreiben wir also z.B.
1 1+ i
v2 v2 = v statt genauer 1 1 + i v, 1 + ~ i
im Gegensatz zu ~-Pz und Ip . 1, wo dieser Unterschied genau beachtet wird.
Heubeck hat es mit seinem ModeU der RT98 unternommen, ein in sich konsistentes Formelwerk rw eine zusammengesetzte Ordnung mit zwei (vorzeitigen) Ausscheideur- sachen und daraus resultierenden weiteren Ordnungen zu bieten, und das ist ibm bis auf eine rechnerisch sich kaum auswirkende Inkonsistenz bei (%,tw die jedoch einfach zu beheben ist (vgl. im folgenden Abschnitt 7), auch yoU gelungen. Man darf dieses Ergebnis nicht zu gering einsch/itzen. Zum ersten real haben wit damit zur Bewertung yon Pen- sionsverpflichtungen ein ModeU, bei denen das Rechenergebnis nicht yore gew/ihlten Rechenweg abh/ingt, bei dem also, gleichgiiltig, welches theoretisch zul/issige Rechenver- fahren man w~ihlt, ein und dasselbe Ergebnis erhalten wird. Man kann damit jeweils problemad/iquate Rechenverfahren einsetzen, was bisher nicht oder nur unter grogen Verrenkungen m6glich war (vgl. [1]). Zudem ist es jetzt zum ersten Mal m6glich, theore- tisch nachgewiesene Zusammenh/inge zur Oberprtifung yon Rechenergebnissen zu be- nutzen, was bisher eben wegen der immanenten Inkonsistenzen ebenfaUs nicht m6glich war. Insofem stellt das Formelwerk der RT98 im Vergleich zum Formelwerk der RT83 [2] einen groBen Fortschritt dar. Heubeck hat mir vor der Ver6ffentlichung das Formelwerk der RT98 (mit Ausnahme des Formelwerks ffir Rentenbarwerte mit Rentendynamik) zur Verfiigung gestellt. Ich be- daure, dab mir bei Studium des Formelwerkes die Inkonsistenz im Ansatz yon (t)a~iW nicht aufgefaUen ist. Ich hoffe, dab ich dutch diesen Beitrag dieses Vers/iumnis nachholen kann. Im folgenden seien an wesentlichen Beispielen die ftir die Pra• wichtigen Barwerte behandelt und systematisch aus dem Zusammenspiel zwischen Aktiven-, Invaliden- und Gesamtbestand abgeleitet. Dabei gehen wir wie folgt vor (a~) bezeichne im folgenden
einen Barwert einer bis zum Ende der Ausscheideordnung laufenden 1--tel vorschfissig t
zahlbaren Rente vom Jahresbetrag 1 auf der Basis einer einfachen Ordnung, stellvertre- tend also z.B. flit (o,s_,, (t)~,_,, ~ ~ des weiteren bezeichne (t)~b,,_, bzw. (~ den An- wartschaftsbarwert eines Berechtigten der Ausscheideordnung b auf eine lebensl/inglich 1 --tel vorschiissig zahlbare Ehegattenrente yore Jahresbetrag 1 auf der Basis einer ein- t fachen Ordnung w, steUvertretend also z.B. f~r (~ (~ (~ (~ zudem sei zur Vereinfachung der Darstellung mit z = SchluBalter rtir Aktive/Invalide (vgl. RT98, S. 18) vereinbart: i _ , q, - q~ fiir x > z, q~ = q~ fiir x > z): Zun/ichst zeigen wir, dab auf Grund der Gln. (1) und (2) fiir beliebige t gilt (vgl. Absehnitt 4):
a~ ) = a, - k ('), (3)
mit k(')e R+ , unabh/ingig von x. Dies wurde zwar bereits in [7] mit wahrscheinlichkeits- theoretischen Methoden bewiesen, hier wird jedoch f'tir diesen Zusammenhang ein sehr elementarer Beweis gegeben.
112
Genauso elementar wird anschlieBend aus G1. (3) die Formel fiir ")a~, ~ hergeleitet, also 1
fiir den Barwert der Anwartschaft eines Aktiven auf eine lebensl/inglich --vorschiissig t
zahlbare Invalidenrente vom Jahresbetrag 1 (vgl. Abschnitt 5). Wohlbemerkt, die Formel "a ergeben sich zwingend aus den Rentenbarwerten fiir ~ sowie die Beziehung ")a~ i = a~
~ ~ x und t')a~ sowie deren Beziehung zu den Rentenbarwerten ax g, axi und a~ gem~i6 G1. (3), ein Sachverhalt, auf den meines Wissens bisher nicht hingewiesen wurde, obwohl G1. (3) auch in friiheren Formelwerken wie z.B. den RT83 [2] unterstellt wurde. Ein Teilergebnis dieser Ableitung fiihrt, wie erwfihnt, fiir beliebige t zu ~')a ai-_~ - a~ ai, eine Beziehung, die auch unmittelbar aus dem Invarianzsatz (vgl. [7]) folgt, bier aber zu- n~ichst, ohne den Invarianzsatz heranzuziehen, begriindet wird. Der entscheidende Vor- teil dieser Beziehung liegt darin, dab dadurch t')a~ i im Jahresgitter dargestellt werden kann. In gleicher Weise k6nnen nun aUe Anwartschaftsbarwerte 1. Stufe, die also ledig- lich einen einfachen Ubergang zwischen Ausscheideordnungen vorsehen, infolge des Invarianzsatzes in Obereinstimmung mit den RT98 im Jahresgitter dargestellt werden, wie z.B. (t)zai (t)l~iw -x, _~ , ")a~, Ct)axaaw.
Der einzige Anwartschaftsbarwert 2. Stufe, der auf einem doppelten Ubergang basiert, steUt im Modell der RT98 ~')al iw dar, der Barwert der Anwartschaft eines Aktiven auf Ehegattenrente nach Invalidentod. In Abschnitt 7 wird nun die Formel f'tir diesen An- wartschaftsbarwert zwingend aus den fiir die Anwartschaftsbarwerte 1. Stufe gefunde- hen Formeln abgeleitet, die ja, wie angemerkt, mit den in den RT98 angegebenen For- meln iibereinstimmen. Hierbei ergibt sich fiir (t)aaiw eine rechnerisch allerdings geringe Abweichung zu der in den RT98 angegebenen Formel. Beziiglich der Ct)a~" ist also das Formelwerk der RT98 inkonsistent. Diese Inkonsistenz kann jedoch, wie in Absclmitt 7 gezeigt, leicht behoben werden. In den letzten Abschnitten dieses Beitrags wird das Formelwerk der Richttafeln auf Rentenbarwerte und Anwartschaftsbarwerte mit Rentendynamik erweitert. Ich babe reich dabei bemiiht, diese Erweiterungen ohne zus~itzliche N/iherungsannahmen durch- zufiihren. SchlieBlich werden im Internet fiir die praktische Anwendung aUe wichtigen Barwerte ge- schlossen, auf der Basis von Kommutationszahlen sowie auf Jahresgitterbasis geboten [9]. Herrn Dr. R. von Chossy, Universit/it der Bundeswehr Miinchen, und Herrn Dr. G. Jensen, Miinchen danke ich fiir ihre griindliche Durchsicht meines Beitrags sowie fiir die vielen kritischen Hinweise und Diskussionsbeitr/ige, die sie mir zu meinen Untersu- chungen gaben, Frau cand. math. J. Gaffke, Fachhochschule Regensburg, fiir die ausge- zeichnete und sachverst/indig-kritische Niederschrift der Formeln dieses Beitrags sowie den Damen im Schreibbiiro meines Instituts fiir die textliche Ausarbeitung dieses fiir Laien nicht leicht verst/indlichen Textes.
2. B a r w e r t un t e r j~ ih r l i che r R e n t e n zum J a h r e s b e g i n n
Wir wollen nun ftir einen beliebigen Verlauf unterj/ihrlicher Renten
R-= RoR1 --- Rt-1
den Barwert b zum Jahresbeginn unter den in Absehnitt 1 genannten Voraussetzungen (vgl. Gin. (1) und (2)) berechnen. Hierbei bedeutet wie/iblich t die Anzahl der Raten der Rentenzahlungen des Jahres, zahlbar abschnittsvorschiissig, und Ra die zum Beginn des
2 (2+ 1)-ten Abschnitts zahlbare Rentenrate, also f~illig zu den Zeitpunkten - , 2 = 0, 1, . . . , 1, so dab Z R~ die Jahresrente darstellt, t
113
Es gilt:
also
mit
t - 1 2
b= ~ R~vTap, 2 = 0 t
= t Y. Rx 1 - ~- q gem~iB Gin. (1) und (2) 2 = 0
t-1 Rx '=.] R,12 , -1 Ra2
= t ~ o t + )d ~ o t - - ~ l + P~ ~ o t + 2i
, - 1 R x ( t - 2 ) , -1 Ra2 E + p , X
~=o t + 2 i x = o t + 2 i
' - ~ R z ( t + 2 i ) - R z 2 ( l + i ) t - t Rz;t =E x=o t+2i ~=ot+2i
,~i R,-(l+i)'~ I R,;~ +vp.(l+i)'~ I R~2 z = o ;:'o t + 2i ~=--o t-~ ~-i
t-1
E ,I,=0
Rx - k ~ (R.) + vp. k ") (R.),
t-I
b = E Rx - k ~ (R.) (1 - vp~) (4) 2 - 0
k~ (PO = (I + i) ~'o t~Ti" (5 )
In GI. (4) haben wir eine Art Intcrpolationsformel fiir b gefunden, in dcr b sich ausdriickt als Summe zwischen
t - 1
Gewicht des Jahresbeginns mit Wertstellung Jahresbeginn = ~ R~ - k ~~ (~.)
und
Gewicht des Jahrcsendcs mit Wertstellung Jahresbeginn = vp~ k ~'~ (P,).
Das k6nnen wir auch so ausdriicken: Die Berechnung des Barwerts unterj~hrigcr Renten eines Jahres wird altersm~q3ig zuriick- gcfiihrt auf die Stiitzstellen ,,Jahresanfang" und ,,Jahresende", d.h. also auf das Jahres- gitter. Als Speziahqille halten wir fest:
1. ~ ,=1 1 1 1 fiir 2 = 0 , 1 , . . . , t - 1 . . . . . . t ' also =
Wir erhaltcn:
k, ~(~.)=:ko ~=I+i'-' 2 t ~o t + 2i (6)
114
und l t - 1 ,~ - Z vZ_~p~ = 1 - k (') (1 - v p 0 , t 2 = 0 t
in Ubereinstimmung mit L(~ ') in [8], Abschnitt 2 . 4 .
2. ~ , = 0 1 t - 1 2 t2,t2 . . . . , tz , also R-a=~2 ffir 2 = 0 , 1 . . . . , t - 1 .
Wir erhalten:
und
(7)
k(,) (~.) = : r(,) = 1 + i ' - 1 2: t 2 ~ o t +'2i (8)
1 t - I x_ t - - 1 ~2 ~Z= o vt ~Px = ~ 2 t - x(t) (1 - vp,). (9)
Wir werden sp/iter noch auf diese Spezialffille stoBen (vgl. Abschnitte 4 und 7).
3. E i n e I n t e r p r e t a t i o n v o n k (t)
Nach dem Invarianzsatz und den dort getroffenen Annahmen (vgl. [7], auch Absehnitt 5) gilt im Modell der RT98 (hier am Beispiel yon (t)a~i):
n - 1 1 . ( t ) a a i = ~ VkkP~ix+kV2(Oa ' I
- x x+k+~ k=O
mit I 1 - i i (')a i . ~ = v2 !p~+_~ a~+ ~ = v~ ~ pi +, (k ") + (')a'~ + O-
x * ~ 2 2 ~ x
Andererseits gilt nach den allgemeinen Regeln der Versieherungsmathematik 1
(t)ai i = ( t ) a i _ l 1-1 = V 2 l p i + l ( t ) a i x + l ,
woraus folgt: 1 (t)ai +1 1-7 = v 2 l p i . 1 k (t) . ( 1 0 )
Dieser Ausdruck 1/iBt sich im Modell tier RT98 wie folgt interpretieren: (~ ~ stellt den Barwert fiir die Rentenzahlungen des Jahres des F/illigwerdens der Rent~-n~dar, mad zwar mlt Suehtag ,,Mltte des Jahres". Infolge der Voraussetzungen der Gleichvertcilun.g fiber den Beginn und der determinierten F~illigkeit ist mit der Wahr-
scheinliehkeit 1~ - des Jahres eine Rentenrate der - zum ersten F~illigkeitszeitpunkt 1 t t
H6he 1_ fiillig, die ab da (t - 1)-real im Jahr zu zahlen ist, wenn man unterstellt, dab sic, t
einmal begonnen, bis zum letzten F/illigkeitszeitpunkt innerhalb des Jahres l~iuft. Ent-
sprechend ist mit der Wahrscheinlichkeit 2ix zum 2-ten F~illigkeitszeitpunkt des Jahres t
eine Rentenrate in H6he -1 fiillig, die ab da ( t - 2)-real im Jahr zu zahlen ist t
115
(2 = 1, 2 , . . . , t - 1). Der finanzmathematische Wert der zum 2-ten F/illigkeitszeitpunkt 1
des Jahres I'~illig werdenden Rente in H6he v o n - betr/igt zum Beginn des Jahres t
1
2. t + 2 i 1 + - 1
t
2 = 1 , . . . , t - 1
und er ist mit der Wahrscheinlichkeit ~i~ zu stellen. Damit ist der Erwartungswert des t
finanzmathematischen Werts zum Beginn des Jahres
t~x )" = v i x k (~ t-xfot+Ai
mit 1 + i t&~ 2
k(t) 2, t ~ = o t + g i
gem/iB GI. (6). k (') stellt also unter den genannten Voraussetzungen den Erwarmngswert des finanzmathematischen Wertes zum Ende des Jahres der Rentenzahlungen dar, die im Jahr des Obergangs f':illig werden und yon denen unterstellt ist, dab sie jeweils bis zum Ende des Jahres laufen. Nun findet nach dem Modell RT98 der Obergang innerhalb des Jahres gleichverteilt, gem/iB Ersatzmodell in der Mitre des Jahres start. Wiirden alle im Jahr begonnenen Renten bis zum Ende des Jahres laufen, was wit unterstellt haben, so w/ire in der Mitre des Jahres der Betrag
1
v~k o)
zu stellen. Tats/ichlich wird jedoch yon begiinstigten Berechtigten lediglich mit der Wahr- scheinlichkeit t_pix+t das Ende des Jahres erreicht, so dab zur Mitte des Jahres der Betrag
2 2 1
V21 pi . 1 k (') x,,~
ausreicht. Wir erhalten damit 1 .
(Oai . 1 ~ ---- v~ x p ' . x k (t)
entsprechend GI. (10). Diesc Interpretation yon k (~ mag seine Bedeutung verst~ndlicher machen, spielt aber ffir die folgenden Ableitungen keine Rolle. Zu einem vertieften Verst/indnis vgl. Abschnitt 5.
4. U n a b h / i n g i g k e i t de r D i f f e r e n z z wi s c h e n a x und a~ ) yon x
Die Hauptschwierigkeit des Beweises des Invariantsatzes nach [7] lag im Naehweis, dab der Barwert einer sofort beginnenden Rente vom Jahresbetrag 1, deren Ende innerhalb eines zukfinftigen Jahres gleichverteilt ist, sich darstellt als
a ( O = a , - c , (11) x
116
mit c e P., unabh/ingig von x. Durch das Ergebnis von Abschnitt 2 haben wit fiir diesen Sachverhalt einen einfachen elementaren Beweis gefunden, wodurch auch c explizit angegeben wird, wie im folgenden gezeigt sei:
4 Der Barwert a~ ') einer lebensliinglich laufenden vorschiissig a--tel zahlbaren Rente (t e N)
t eines Berechtigten des Alters x (x e No) in einer einfachen Ausscheideordnung stellt sich wie folgt dar:
1 J a~t) = t Z v~p,
j>O t
1 t - 1 ~. = - Z v~kP~ Z VZ-~P~+k.
t k>O 2=0 t
Nach G1. (7) gilt zudem:
1 t - 1 2 -- ~ vT~px+k = 1 -- k")(1 - vpx+k) t ).=0 t
mit k (~ gem/iB G1. (6), so dab wir weiter erhalten:
also
a~ ) = ~ Vkkpx[1--k(t)(1--Vpx+k)] k>O
= ~ v k k P x - - k ( t ) [ - y ' Vkkpx - ~ v k + l k + l P x ] , k>O Lk>O k>O
i
a~ ) = ax - k "). (12)
Mithin gilt c = k (~ unabh~ingig von x. Damit bleiben die bisher gewohnten Formeln fiir die Rentenbarwerte der RT98 - bis auf die Bezeichnungsweise - unver/indert bestehen (vgl. [8], Abschnitt 2.4).
5. A n w a r t s c h a f t e ines A k t i v e n a u f I n v a l i d e n r e n t e
Nachdem nun die Rentenbarwerte der Aktiven, Invaliden und des Gesamtbestandes fesfliegen, 1/iBt sieh allein hieraus, also ohne Riickgriff auf den Invarianzsatz, die Formel fiir (')al i, den Barwert der Anwartschaft eines Aktiven auf Invalidenrente, ableiten. Fiir diese Ableitung seien folgende Vereinbarungen getroffen (es sei stets x < z mit z: SchluBalter fiir Aktive/Invalide (vgl. RT98, S. 18) und n = z - x):
ql Wahrseheinlichkeit eines Aktiven des Alters x, innerhalb eines Jahres zu sterben. p~i Wahrscheinlichkeit eines Aktiven des Alters x, innerhalb eines Jahres Invalide zu
werden und als Invalider das Alter x + 1 zu erreichen.
Die RT98 setzen fiir pli n/iherungsweise i~ 1 pi a, entspreehend der Modellvorstellung,
dab bei Gleiehverteilung des Ubergangs innerhalb des Jahres tier Obergang modellm~iBig in der Mitre des Jahres angesetzt werden kann.
117
Bem.: q~ da f t nicht mit q~, der Wahrscheinlichkeit eines Aktiven des Alters x, innerhalb eines Jahres als Aktiver zu sterben, verwechselt werden.
Wir definieren noch:
1~ = 1, s - 1: . ( 1 3 )
In der Sprechweise der RT98 bedeuten die l: die Anzahl der Invaliden, die sich aus dem Anfangsbestand der 20-j~ihrigen Aktiven entwickeln. Die l~ diirfen nicht mit den 1~ verwechselt werden. Offenbar gilt fiir die Sterblichkeit des Gesamtbestandes q~ als Mischbestand von Aktiven und Invaliden, die sich aus dem Bestand der 20-jfihrigen Aktiven entwickeln (vgl. [8], Abschnitt 1.3):
P I l q~= , It x i (14)
~ q x + l l q x
und entsprechend
It i I Ix ((')a~ + (,)~ai . 2 ( % t i ( 1 5 )
(')a~ = ~ -x + v~ ,P.~ (')aD + 1[ -x
G1. (15) ergibt sich aus GI. (14) unter Beriicksichtigung des Sachverhalts, dab der Erwar- tungswert eine lineare Abbildung darsteHt. Zudem gewinnen wir eine Fortschreibungsformel fiir die l~x gem/iB: Mit p~ = 1 - ix - q~ gilt zun/ichst
1 - q~ = p~ + p~.
D a m i t f o l g t a u s GI . ( 1 4 )
1~(1 - q~) = 1~,(1 - q ~ ) + I~(1 - q~) $ g a a i ! i l ,p, = l~p~ + 1,p, + Ixp ,
a i a i I 1~+1 = l~+x § Px Ix + pxl, ,
woraus wir unter Beachtung von G1. (13) erhalten:
l~+ Iti a i t ( 1 6 ) I = Px Ix + Px Ix
(vgl. [5], Aufgabe 4.5). Aus diesen Gleichungen l~Bt sich nun die Formel fiir (')a~ i ableiten. Hierzu bdngen wir in GI. (15) zunfichst (~ auf die linke Seite und erhalten:
la(Oaai = ]g(Oag ]ittt) a. _ lay n nit(oar _ 1 (0 i (17) x - - x - x - - x - - - x - - x " x - - n r i t - - z l x a x
und hieraus unter Beachtung yon G1. (12) a n It - s s It It . . . . l i a i k ( ' ) f l ' l i tr v " . p ~ ) lxv .Px 19 ( 1 8 ) - lx ax - lx ax - Ix v n P x a z - - - x - x - - - - t - x - - - x ~ - - - - - - -
= 0 gem B G1. (13) = l~a~ i gem~iB G1. (17).
Damit haben wit also zun~ichst gezeigt, dab r yon der unterjfihrlichen Zahlungsweise unabhfingig ist, was auch aus dem Invarianzsatz folgt. Es sei angemerkt, dab diese Folgerung auch nach dem Formelwerk der RT83 gezogen h~itte werden k6nnen, da wir ja zum Nachweis nut G1. (12) herangezogen haben, die auch dort gilt, d.h. schon innerhalb des Formelwerks der RT83 l~iBt rich GI. (18) ableiten.
118
Nun gelten in Obereinst immung mit den RT98 die folgenden Rekursionsformeln"
und
a~ g = l + ~ g g - ~ (19) vpxax+l , az - az,
a x - ~ - 1 + v p ~ a l + l , a ~, = 0 (20)
i i i__ , (21) axi = 1 + v P x a x + l , a z - - a a
Dami t erhalten wir fiir a a~ lxax aus G1. (18) unter Beachtung der Gin. (13) und (16) die Rekursionsformel
a ai g g g a a a a a n - 1 r 1 1 i i lxa x = 1[ + lxvpxax+ i - 1~ - Ix vpx ax+ x - lxvpxv , - lPl+x az - lx - lxvpx ax+1
__ a ai i a n - l P x + 1 1 ) - lx vPx ax+l + v( l [+l a~+ 1 - lx+l a~+ 1 - l i + l v " - I az' - lxl + 1 axi +
1~+ ~i 1 a x + 1
sowie nach G1. (17)
a a i _ _ g r a r 1 r I~ a~ - 1~ a~ - 1~ a ~ - lz a~ = 0,
woraus folgt:
also insgesamt
ai a i i a ai a i __ 0 a x = vpx ax+l q- vpxax+l , az ,
n - 1 ( t ) 3 a i ai - - V k + 1 a ai i -x = a x - ~ (22) kPx Px+k ax+k+ 1
k = O
in Lrbereinstimmung mit den RT98, wenn man die dortige Schreibweise i ibernimmt:
n - I 1 .
(t)a~i= ~ vkkp~i,+kV~(t)a ' . . I (23) k = O x ~ - ~ - ~
mit (t)a~i+ i_. _ ~ i 1 i 2 - v �89 ax+l . (24)
Man sollte sich klar sein, dab es sich bei dieser Darstellung zwar um eine wohlbekannte Schreibweise handelt, die jedoch lediglich eine Abkiirzung fiir eine Formel darstellt, die sich ausschlieBlich auf das Jahresgitter bezieht. Es wird also nicht unterstellt, dab der Versorgungsfall (hier: Invalidit~it) ,,in der Mitte des Jahres" stattfindet: die Invalidit~it findet irgendwann im Jahr des Ubergangs statt und i x t p i . 1 stellt eine N~iherungsformel
fiir p,~i dar, die Wahrscheinlichkeit eines Aktiven, ein Jahr sp/iter Invalide zu sein. Will man die bisherige Schreibweise weitgehend unver~indert iibernehmen, was aus Kompat i - bilit~itsgriinden mit friiheren Formelwerken verniinftig erscheint, dann empfiehlt es sich, die (')a~x+ 1 beizubehalten, natiirlich in der neuen Darstellung gem~iB G1. (24).
In &esem Stun werden wlr ~m folgenden, schon um dem Praktlker den Zugang mcht zu 1
erschweren, ausschlieBlich die gewohnte Darstellungsweise mit ,,x + ~" und die entspre-
chenden N~iherungen der RT98 beibehalten. Es sei jedoch nochmals ausdriicklich da rauf hingewiesen, dab in allen F~illen, wie leicht zu sehen, eine Darstellung m6glich w~ire, die auch explizit sich ausschliel31ich auf das Jahresgitter stiJtzt (vgl. [9]). Aus G1. (22) gewinnen wir noch ein vertieftes Verst~indnis von k (') nach G1. (6):
(tu = v k (t) ~ v k k t " x P ' x + k ~ r ~ a r ~ ai ..1_ ~ V k + l r ~ a ~ ai (t)~ai --x k l " x l - ' x + k ~ x + k + l "
k > O k > O
119
Der erste Term stellt den Barwert der Rentenzahlungen innerhalb des Jahres des Eintritts der Invalidit~t dar, der 2. Term den Barwert der ab Ende des Jahres des Eintritts der Invalidit~t zu zahlenden Renten. Damit stellt
n ai t - I
vplik") = t ~_-Zot + 2i
den Anwartschaftsbarwert der im Jahr des Eintritts der Invaliditiit zu zahlenden Renten- raten des Jahres zum Beginn des Jahres dar. Entsprechendes gilt fiir andere Oberg/inge, die zu einem Leistungsbeginn fiihren. ")a~ "i gemiiB (31. (22) stellt f'tir t = 1 eine wohlbekannte Formel der Pensionsversicherungs- mathematik dar, die unmittelbar unter Beachtung des Sachverhalts, dab die Jahresrente zum Beginn des Jahres F~iUig wird, falls die Voraussetzungen vorliegen - hier also der Berechtigte als Invalider lebt - , einleuchtet. Insofem folgt GI. (22) unmittelbar aus G1. (18) oder direkt aus dem Invarianzsatz (vgl. [7], Abschnitt 1, Formel f'tir a~i). In dieser Weise sind auch die Anwartschaftsbarwerte 1. Stufe der RT98 gebildet, wie im folgenden Abschnitt diskutiert werden soll.
6. Die A n w a r t s c h a f t s b a r w e r t e 1. S tu fe de r RT98
Wiihrend rich im Formelwerk nach dem Modell der RT98 fiir Barwerte von laufenden Renten im Vergleich zum bisherigen Formelwerk keine .~nderungen ergeben, treten Anderungen beziiglich der Anwartschaftsbarwerte ein, und zwar in zweierlei Hinsicht:
- neben dem Bestand der Berechtigten und Rentner wird noch ein eigener Bestand der Witwen/Witwer gefiihrt, die damit eine eigene einfache Ausscheideordung darstellen, bezeichnet durch den Index ,w".
- dutch Obernahme tier Voraussetzungen yon [7] (vgl. hier Abschnitt 1, Gln. (1) und (2)) gilt der Invarianzsatz, d.h., Anwartschaftsbarwerte auf Renten mit gleichbleibender Rentenh6he und determinierter Fiilligkeit h~ingen nicht yon der Zahlungsweise ab, wenn sowohl der Zeitpunkt des die Rente ausl6senden Ereignisses als auch der Zeit- punkt des die Rente beendigenden Ereignisses innerhalb eines Jahres gleichverteilt ist (vgl. [7]).
Bern.: Auf Probleme, die darauf beruhen, dab eine Person gleiehzeitig z.B. zum Bestand der Rentner und zum Bestand der Witwer geh6rt, sei hier nieht eingegangen. Damit stellt sieh in Obereinstimmung mit dem RT98 der Anwartschaftsbarwert eines Berechtigten auf eine lebensl~inglich laufende Rente ab Ausscheiden aus einem Best, and (Anwartschaftsbarwert 1. Stufe, bier dargestellt am Beispiel der Anwartschaft eines Be- rechtigten - dureh ,,b" gekennzeiehnet - auf Witwenrente - durch ,,w" gekennzeichnet -) nach der Kollektivmethode wie folgt dar:
1 ,Lrk ~ b m b h ,,~" (t)~w ,
(t)abw----x - - ~ * k l " x ~ l x + k ~ x + k * ~ 2 k > O
- - axbw naeh dem Invariarmsatz
~ v k + l b b w w kPx q x + k h x + k X P . ~ + k) +_t ay~x + k) + 1 , k>O 2 ~ 2
(25)
also mit 1
")a w. , = v~, D w_ 1 a.'Y~, = aW+ 1. (26) Y*i i ' Y " i ~ " Y i
120
Zum praktischen Rechnen und auch wegen der Verallgemeinerung auf Rentenanwart- schaftsbarwerte mit Rentendynamik sowie auf Barwerte von Renten mit abgekiirzter Dauer kann sich die folgende Schreibweise empfehlen, bei der allerdings der expliTite Ausweis der Unabh/ingigkeit vonde r Zahlungsweise verloren geht:
1 (t)aW+ 1 = v~ i pW+ 1 (k (t) + (~ 1). (27)
Y ~" 2 Y 2
Nach der individuellen Methode gilt 1
(t)llbw - - bw - - x y - Z v k k P b b b b --(t) w k P y q x + k - - l P y + k V2 a + k + 1 _ _ = a x y k > 0 2 Y 2
mit - unver~indert - (t)aW 1 nach G1. (26) bzw. GI. (27). Hier liegt die von den RT98 y + ] -
eingeffihrte Vorstellung zugrunde, dab die Anwartschaftsberechtigte bei Tod des Berech- tigten vom Bestand der Berechtigten in den Bestand der Witwen wechselt. Damit sind alle Anwartschaftsbarwerte 1. Stufe des RT98-Modells besprochen, n~imlich (o..i (~)a~", (~)a~', (oziw (~)a~.W sowie (')a*" (t)a~' (t)aiw und (')z~'"
--x ~ --x ~ --xy ~ --xy~ --xy --xy "
7. A n w a r t s c h a f t e ines A k t i v e n a u f E h e g a t t e n r e n t e n a c h I n v a l i d e n t o d ( R e n t e n a n w a r t s c h a f t s b a r w e r t 2. S t u f e )
Nachdem nun die Witwenrentenanwartschaftsbarwerte der Aktiven und des Gesamtbe- standes fiir einfache Oberg~inge festliegen, also in Ubereinstimmung mit den RT98 gem~iB (bier nach der Kollektivmethode)
n -1 1
v * . g ( ' ) ~ " - ~g" (28) (')aT = 2 VkkPlql+khx+kV2-a~x+k)+�89 + - nrx -z ---x k = O
n - 1 1 (t)axaW ~ k a aa -- w _vn nrxna(t):~rw----z - - --xi~laaw = V kPx qx+ k hx+ k V2 ay(x +k)+�89 -t- (29)
k = O
n - 1 1 (t)aixw ~.. k i i -- w V n n i (t)flrw - - z i w
---- V kPxqx+khx+kV2aylx+k)+�89 -{'- n,-x -z - - x (30) k = O
mit
und
1 ")aT' = Y'. k . . . . v tpzqz+ihz+kv~a w . 1= (31)
k>'O y~z-e k) + ~ a z
1 aW+ 1 - - w w - v2 !p ,+iay+ i , (32)
Y~ 2 ~ 2
PiBt sich hieraus die Formel fiir (t)a~tW, die Anwartschaft eines Aktiven auf Witwenrente nach Invalidentod ableiten, dem einzigen Anwartschaftsbarwert, in dem ein Doppeliiber- gang innerhalb eines Jahres vorkommt, n~imlich der 0bergang ,,Invalidit~it und - im gleichen Jahr - Tod als Invalider". Fiir diese Ableitung sei zus~itzlich zu q~ und p~t gemfiB Abschnitt 5 noch die folgende Vereinbarung getroffen (es sei wieder stets x < z): q]i Wahrscheinlichkeit eines Aktiven des Alters x, innerhalb eines Jahres Invalide zu
werden und noch im gleichen Jahr - als Invalider - zu sterben.
Damit haben wir die Beziehung:
q~ = q~, + q~i. (33)
121
Die RT98 setzen f'tir qlt n~iherungsweise i. ~qix+~, entsprechend der Modellvorstellung, 2 2
dab bei Gleichverteilung des Obergangs innerhalb des Jahres der ~lbergang modellm~iBig in der Mitte des Jahres angesetzt werden kann. Offenbar gilt analog zu G1. (15)
mit (vgl. [3])
1 a l ~ a~ w = -~ a** + 2 a iw (34)
a w a a w a i w (35) a x =- a x + a x .
G1. (34) ergibt sich aus GI. (14) unter Beriicksichtigung des Sachverhalts, dab der Erwar- tungswert eine lineare Abbildung darstellt. Aus diesen Gleichungen l~iBt sich die Formel fiir a~ i" ableiten, indem wir zun~ichst eine Formel f'dr al" aus G1. (34) gewinnen, und hieraus aus G1. (35) die Formel fiir a] iw. Gem~il3 G1. (34) gilt
"w g g~ 11a iw (36) lxax =Ixax -- -x-x �9
Nun gelten nach den Gleichungen (28) und (30) in Obereinstimmung mit den RT98 die folgenden Rekursionsformeln:
1
und a ~ = v~q~ h x a~x )+2 + vp~ a ~ 1, aP = a 7 (37)
1 i w _ _ - - i w 2 i i w i . . . . ( 3 8 ) a x - v2 qx hx ay(x)+ + vp~ a x + l , az - az �9
Damit erhalten wir fiir lla~ w die Rekursionsformel, wenn wir for pl~ die N~iherung i~ l p ~ . 1 der RT98 iibernehmen:
a a w l x a x = l g a g w _ l l a i w - x - x - x - x
1 g g I i - w 8 8 : (Ix qx - lx q~) v2 hx ay(x ) +21_ "1- V 1 x Px a[~ 1 -- v l~ i iw pxax+l
gemiB Gin. (14) tmd 06) 1
a a ] w V 11 o i w = -- 1x-I Px+-1 ax+ 1 lxq~ v h~ay(x)+�89 "x+l 'x+a + v i i " 2 i 2 i .
1 a a ~ w �9 " " I i w ax+l - 1~+1 ax+l) (39) = l~(q~v h~am)+�89 + vlx l_p'~+1_a~x) + v(l[+ 1 zw
2 2
1~,+ ~ ax+ ~'w gem. G1. (36)
so dab wir als Rekursionsformel fiir al" erhalten:
1 a w �9 i i w - a w
a, = Vlx~Px+�89 1 + v2q~hxa~x)+�89 vp,~a~+l (40)
_ �9 i iw + v q ; h . ~ * �89 . .w - Vlx 1--Px+&ax+l Py(x)+ (x)+~ + vp=ax+, 2 2
mit
1~a~ = l ~ a ~ - = 1~a~ , also a P = a~" . ( 4 1 )
Nun lautet die Rekursionsformel f'tir a~" gem/iS G1. (29) in Obereinstimmung mit den RT98
. . . . . . " . . . . ( 4 2 ) a~, ~* = vq~hx~p~,)+~a~,)+l + vp, ax+l az - az , Z g
122
mithin die Rekursionsformel fiir al iw gem/ig G1. (35) unter Beachtung von GI. (33)
a i w __ �9 i i w a i w w a a i w a i w a~ - vl~Ap~+La~+ 1 + vq~ h~ ~p~(~)+~_a~(~)+ ~ + vpz a~+l, a~ = 0 (43) 2 2 2 " 2
im Gegensatz zu den RT98 (S. 26), wonach sie wie folgt lautet:
a i w _ _ " i i w a i . . . . i w a i w 0 . ( 4 4 ) ax -vl~x_px+_xa~+x +vqx hx_xP, x +2ay(x)+l + v p x a x + ~ , az = 2 2 g A)
Der Unterschied liegt also im Ansatz yon 2 ~p''y~)'2' ~ bzw. ~ o~PY~)+~'
Zun/iehst sei nochmals festgehalten, dab G1. (43) zwingend aus GI. (34) und den in RT98 verwandten Formeln fiir -x agw, -xnaW, a~" und a~"w folgt. Der Ansatz fiir a~ ~" nach den RT98 stellt also eine Inkonsistenz zwischen den Formeln der RT98 dar. Diese ist allerdings
"~" mit 6 % Zins macht sie sich etwa ab der rechnerisch vemachl/issigbar klein: bei a~ 5. Stelle naeh dem Kornma bemerkbar. Der Grund •r diese Inkonsistenz lfiBt sich leicht aufzeigen: Der Invarianzsatz setzt die Gleichverteilung der Uberg/inge voraus. Nach den RT98 wird nun die Gleichverteilung der ql, " i q~, q~ und i~ vorausgesetzt, d.h. also z.B.
,q~ = vq~ fiir 0<z___l. (45)
Andererseits gilt aber auch G1. (14), mithin also auch
woraus gem/iB G1. (33) auch
,q~ = rq ] , (46)
,qx ai= zq] ~ (47)
folgt. Damit ist also nach diesen Voraussetzungen auch der Doppeliibergang ,,Aktiver --, Invalider --, Tod" im Jahr gleichverteilt. Nach einem bekannten Modell, das jedoch voraussetzt, dab die q~ auch im Jahre des Eintritts der Invalidit/it den qi z der Folgejahre entsprechen, folgt aber, wenn man voraussetzt, dab die beiden einfachen Oberg/inge ,,Aktiver ~ Invalider" und ,,Invalider --, Tod" im Jahr gleichverteilt sind, dab der Doppeliibergang im Jahr nicht gleichverteilt ist, sondern gegen die 2. H/ilfte des Jahres verschoben ist. Daraus wiirde aber weiter folgen, dab auch q~ nicht gleichverteilt ist, wonach der Inva- rianzsatz fiir (t)axaiw , (Oaaw und (t)a~W nicht giiltig w/ire (bzw. nur n/iherungsweise), und
ai,, a,, und 8,~ nicht aber fiir damit die in der RT98 angegebenen Ausdriicke nur fiir a~ , az a~ , (t)axiW , (t)aaW_~ und (t)a~'*_x m i t t 4:1 g/ilten, ganz davon zu schweigen, dab die Beziehung (t)a~ = a~ - k (') unbewiesen wS, re bzw. lediglich n/iherungsweise g/iRe. Fiir die Barwerte miil3ten neue, mit den iibrigen konsistente Formeln entwickelt werden, was in der Tat im Rahmen des ModeUs m6glich w/ire, jedoch kompliziertere Formen nach sich z6ge. Damit zeichnen sich m.E. fiir die RT98 zwei M6glichkeiten eines in sich konsistenten Formelwerkes ab:
1. Man untersteUt die Gleichverteilung auch ffir den Doppeliibergang qli. Dann ist das Formelwerk der RT98 mit Ausnahme von (t)a'iw in sich konsistent. Beziiglich (t)zaiw w x w x
wird ~p~)+~ durch l p" + ~ ersetzt, womit dann auch das gesamte Formelwerk der
RT98 in sich konsistent w/ire, so dab dann auch G1. (34) zur rechnerischen KontroUe herangezogen werden kann. Wegen der geringen Auswirkung k6nnte man auch not- falls a, "iw = (')a~ ~*' unverfindert in der Fassung der RT98 als N/iherung stehen lassen, so dab dann auch G1. (34) lediglich n/iherungsweise erfiillt w/ire.
123
2. Man untersteUt eine Ungleichverteilung der q:i, was die Ungiiltigkeit yon G1. (1) nach sich z6ge, und bel~iBt damit die Abh~ngigkeit der (t)a~W, ~ aw und (~ aiw v o n d e r --It --X
Zahlungsweise t, f'tir die neue Formeln zu entwickeln sind. Fiir <')a[ w~ire ebenfalls eine neue Formel angegeben. Die Formeln r ~ axSW, axaW und a,'iv' f'tir j/ihrliche Rentenzah- lungen der RT98 kSnnten beibehalten werden.
Bei einer Beurteilung beider Vorgehensweisen meine ich, dab 1. vorzuziehen w~ire. Insbe- sondere k6nnte das Formelwerk der RT98 mit Ausnahme der (t)a:i" beibehalten werden, wobei notfaUs wegen der geringen rechnerischen Auswirkung auch akzeptiert werden k6nnte, dab man die ")a~ iw in der Fassung der RT98 benutzt. Allein der Ansatz der RT98 von
1 q; (48) qx ai = i x 1 qi + 1 = ~ i, ~ 1 I -~q~.
diirfte mit gr613erer Unsicherheit behaftet sein als die Frage, ob in der Formel fiir (t) aiw 1 w ax !P - , . ~ wle in GI. (43) oder ~ P~x- + 2 wie in GI. (44) zu stehen habe. Der Vortei] der
G1. (43) liegt aUein in der Konsistenz und Einfachheit des gesamten Formelwerks, was jedoch yon erheblichem rechnerischem und damit praktischem Nutzen ist.
8. B a r w e r t e ine r R e n t e n a n w a r t s c h a f t mi t m- j / i h r ige r R e n t e n d y n a m i k
Zun/ichst sei angemerkt, dab die Formeln von Barwerten laufender Renten mit Renten- dynamik durch die RT98 keine ~,nderung erfahren haben, so dab die in [8], Abschnitt 2.8.1 his 2.8.3 aufgefiihrten Formeln unver~indert gelten. Auf die dort eingefiihrte Be- zeichnungsweise wird hier zuriickgegriffen. Um den Barwert einer Anwartschaft auf eine lebensl/inglich 1-tel vorschiissig zahlbare
t Ehegattenrente mit Steigerung des anfiinglichen Jahresbetrags 1 in mehrjtihrigen Rhythmus yon m Jahren (m e N) mit dem Faktor s darzustellen (die Steigemngen finden also bereits w~ihrend der Anwartschaftszeit start), k6nnen wir wie in [8], Abschnitt 2.8.4
v~ Dabei sei wieder Vk' me N / k ) der ganzzahlige Rest der Divisi~ k ' s~ dab m
gilt:
k = [--km] m + / k ) Vk, mElq. (49,
Wir bezeichnen diesen Barwert bei Anwendung der kollektiven Methode mit
(h, t)~bw
wobei mit b ein Berechtigtentgestand und mit w ein Witwen/Witwer-Bestand bezeichnet sei. Zudem bezeichne t die Anzahl der Rentenraten pro Jahr, und h die Anzahl der Jahre, die die letzte Anpassung zuriickliegt (h = 0, 1 . . . . . m - 1 ;wir wollen auch h = m zulas- sen). GenereU wollen wir Barwerte, bei denen die Steigerungen im Jahresgitter stattfin- den, dutch ,, ̂ ' ' kennzeichnen. Gem~iB [8], Abschnitt 2.8.4, G1. (2) k6nnen wit zun~ichst von dem folgenden Ansatz ausgehen:
r h + k l 1 / / h + k \ t~ (h't)I~bw= ~ S[-'~"]V k-nbnb., h �9 v~VX--g-/" )fiw 1 (50)
--x Jtr'x "~x-ett x~t t y ( x + k ) 4 - ~ ' k g 0
124
wobei noch ~h,t~y+ ~_ geeignet festzulegen ist. Weiterhin k6nnen wir die Argumentation in 2
[8], Abschnitt 2.8.4, G1. (3) iibemehmen, so dab wir fiir das weitere vonder folgenden Gleichung ausgehen k6nnen:
. m - h - � 8 9 . . . . ,o~o, ,~w ,~ow ~ (51) (h" t)~'y+12 ~--" (t)aW 'Y'r~I + v re_h_ l..,.y+, t , ~ . l ~ ~ + m - h - - ~ y + m - h ]
h=O, 1 , . . . , m - 1.
Nun ist nach G1. (26) und (27)
1 1 ~')a"+ 1 = v21 p'~+ 1 a.'Y+ 1 = V2 1 pW. 1 (k ~ + ")ay+ a) y ~- ~- y ~- , ,~- y-t-.~
so dab wir aus G1. (51) schlieBlich erhalten:
1 . m _ h _ l ~u.,):~w x = v2 xpW,, [k.)+ <,)a,y+,.m_h_! I + Sv : m_u_lpW+_x ~~
y*.~ .~ y "r .~ 21 Z
also 1
~u'~ x = v~xp w, x [k ~' + ~u+ x'~gty+ 1]. Y "2" i Y*]
(52)
Zu (h.t)~yw vergleiche [8], Abschnitt 2.8.3. Dieser Ansatz stimmt ftir m = 1 mit dem der RT98 iiberein, sowie fiir s = 1 mit Glei- chung (27). Insofern stellt fiir den beschriebenen Sachverhalt der Ausdruck (52) die allgemeine DarsteUung einer Anwartschaft auf Witwen/Witwerrente dar, bei der die Steigerungen bereits in der Anwartschaftszeit stattfinden. Es sei auch hier nochmals darauf hingewiesen, dab es sich auch bei ~h.t)~bw gem~iB GI. (50) altersm/iBig um eine Darstellung dieses Barwerts im Jahresgitter handelt, was lediglich durch die konventionelle Schreibweise verdeckt ist: Definiert man pbW Wahrscheinlichkeit eines x-j/ihrlichen Berechtigten, innerhalb eines Jahres unter
Hinterlassung eines Ehegatten zu sterben, der zum Jahresende noeh lebt, dann ergibt sich ~h")~ibw gem~iB
rh + kl (h.t)~bw= Z St-'g"Jvk+l b bw ( ( ' ~ - ' ~ ) + l ' t ) ^ w 1 ) ' -x kPx qx+k (k(t) + ay(x+k)+
k>O
ein Ausdruck der sich voll im Jahresgitter bewegt. G1. (50) mit G1. (52) erh/ilt man, wenn man, wie in den RT98 geschehen, n/iherungsweise setzt:
b w pbW = qx hx �89 �89
Nach der individuellen Methode erhalten wir
rh+kl 1 (r t) (h,t)~bW_xy ~ l . - - J k b b b b
= S m V kPx kPY q x + k l p Y + k V 2 \ \ 2 m / ' aw.l.k+l. ~- k>0 z
mit ~h.t)~w X nach GI. (52). Auch hier wird also, wie in den RT98 eingefiihrt, zum y-r~
Zeitpunkt des Todes des Berechtigten ein Ubergang vom Berechtigtenbestand zum Witwenbestand unterstellt.
125
9. Vorbemerkungen zu R e n t e n a n w a r t s c h a f t s b a r w e r t e n von Akt iven mit R e n t e n d y n a m i k
In der Praxis der betrieblichen Altersversorgung, n~imlich bei Zusagen auf Renten mit garantierter Steigerung kommen auch Anwartschaftsbarwerte vor, bei denen bis zum Ausscheiden des Berechtigten die Anwartschaft konstant bleibt und die Steigerung der Renten erst ab Obertritt in die Rentenphase beginnt. Dieser Fall liegt in der Praxis typischerweise vor bei Anwartschaften von Aktiven auf Invaliden- und Witwen/Witwer- renten. Er wird m.E. in Zukunft noch grfl3ere Bedeutung nach der Neufassung von w 16 BetrAVG durch das Rentenreformgesetz 1999 erhalten, wonach die Oberpriifung und evtl. Anpassung laufender Renten nach - i m Normalfall - der Entwicklung des Lebenshaltungskosten-Indexes entf~illt, ,,wenn der Arbeitgeber sich verpflichtet, die lau- fenden Leistungen jiihrlich um eins von hundert anzupassen" (w Abs. 3 Satz 1 BetrAVG). W~ihrend bisher zum Alter (~No!) im Zeitpunkt der Bewertung bekannt war, wieviele Jahre (~ N O !) die letzte Anpassung zuriicklag, und damit die Anpassung modellmiiBig im Jahresgitter stattfand, kommt jetzt neu hinzu, dab die laufenden Leistungen z.B. ,,j~ihrlich" anzupassen sind, worunter i.a. verstanden wird, ,,j~ihrlich ab Rentenbeginn", also z. B. bei monatlicher Zahlungsweise derart, dab eine Rente, die im Januar zum ersten Mal zu zahlen ist, ab Januar des Folgejahres anzupassen ist, und eine Rente, die im Dezember zum ersten Mal zu zahlen ist, erst im Dezember des Folgejahres. Dieser Sachverhalt soil nun im Rahmen des ModeUs der RT98 untersucht und beschrie- ben werden, und zwar mit der Absicht, dieses Problem voll im Rahmen dieses Modells zu 16sen, also ohne zus~tzliche Niiherungen. Zu diesem Zweck soil im folgenden Abschnitt zun~ichst dieser Barwert unter der Voraus- setzung dargestellt werden, dab die erste Anpassung, unabhiingig von der F~illigkeit der ersten Rente, immer zum Ende des Jahres erfolgt, und zwar zum ersten Mal zum Ende des Jahres, das dem Jahr folgt, in dem die Rente ausgelSst wird, in dem also der Versorgungsfall eintritt. Im darauffolgenden Abschnitt wird dann ein Ansatz far den Fall vorgestellt, der beriick- sichtigt, dab die Rentenanpassungen irmerhalb des Jahres stattfinden, also z.B. bei jiihrlicher Anpassung, zum ersten Mal genau ein Jahr nach Rentenbeginn. Barwerte dieser Art seien durch ,, ~ " gekennzeichnet. Absclalie~nd sei noch kurz erwiihnt, wie bisher dieses Problem i.a. behandelt wurde: Man setzte als in der Mitte des Jahres des Eintritts des Versorgungsfalles zu stellenden Rentenbarwert z.B. beim Obergang ,,Aktiver ---, Invalider"
( t )~ i __ I [(O,t)~i ax+ 1 - 2" " + ~o.t~+ 1)
an, evtl. zusiitzlich mit einem Abzugsglied zur Beriicksichtigung der determinierten F~lligkeit der Renten. Der Ansatz ging also yon der Vorstellung aus, dab die Steigerun- gender Renten im Mittel in der Jahresmitte beginnen, dadurch beriicksichtigend, dab die Rentensteigerungen gleichm~iBig iiber das Jahr verteilt beginnen.
10. A n w a r t s c h a f t s b a r w e r t e 1. Stufe von Akt iven mit R e n t e n d y n a m i k im J a h r e s g i t t e r
Es gibt im Rahmen des Modells der RT98 zwei Anwartschaften erster Stufe von Aktiven auf laufende Renten, niimlieh die Anwartschaft eines Aktiven auf Invalidenrenten t~ und die Anwartschaft eines Aktiven aufWitwenrente nach Aktiventod (t)aaaW bz~,v. (t)ax~W.
126
Der dritte in praxi wichtige Anwartschaftsbarwert stellt einen Anwartschaftsbarwert zweiter Stufe dar, n~imlich die Anwartschaft eines Aktiven auf Witwenrente nach Invali- dentod ")a "i" bzw. ")a ai' ' auf diesen wird besonders einzugehen sein. Hier soil nun am --X --xy Beispiel des Anwartschaftsbarwerts (t)aaxi ausgefiihrt werden, wie er sich darstellt, wenn wir davon ausgehen, dab die Rentenanpassungen jiilirlich erfolgen, und dab die Renten- anpassungen jeweils am Ende des Jahres erfolgen, und zwar derart, dab die erste Anpas- sung nach dem Rentenbeginn zum Ende des Jahres stattfindet, das dem Jahr des Renten- beginns folgt. Im Schnitt hat man also, wenn die Rentenanpassungen tatsiichlich immer ein Jahr nach Rentenbeginn erfolgen, eine mittlere Verschiebung der Anpassung um ein halbes Jahr. Wir wollen diesen Anwartschaftsbarwert mit (t)~l~ bezeichnen. Fiir diesen Anwartschaftsbarwert erhalten wir:
n - 1 1 (t)~'xai = Z vk kP a i~ + k v7 (,)~i + k +!
k=O 2 mit
1 1 ( , ) ~ i . ~ = ( ,)a ~ . ~ _ v ~ ~ p i + t , ) a i + x + v ~ :_p i + i (t)a~ +
x ' t ' ~ x t ~ ~ x ~ 2 2
1 1 1 1 = v7 l_pi + x (t)ai~+ 1 + v2!pix +1 k ( ' ) - vT!pi + ! (t)ai+, + vT!pi , x (t)~i+ x
2 2 2 2 2 2 2 xn-~- 1
= v2 l pix +x_ [k")+ (')fi~ + 1] (53) 2 2
Dabei bedeutet (,)fii den Barwert einer Invalidenrente yore Jahresbetrag 1, der jeweils j/ihrlich um die Rate a = s - 1 erh6ht wird (vgl. [8], Abschnitt 2.8.3), und (~ wie iiblich den Barwert einer gleichbleibenden Invalidenrente yore Jahresbetrag 1. Dieser Bewertungsansatz diiffte jedoch i.a., wenn er nicht ausdriicklich dutch die Zusage gedeckt ist, zu klein sein, n//mlich derart, wie schon erw~ihnt, dab in ibm die Anpassungen als im Mittel ein halbes Jahr zu sp/it angesetzt sind. Man k6nnte natfirlich auch diesen Ansatz so variieren, dab die Anpassungen zwar wieder j~ihrlich am Ende des Jahres stattfinden, doeh zum ersten Mal zum Ende des Jahres des Rentenbeginns, so dab im Mittel die Rentenanpassungen um ein halbes Jahr zu friih angesetzt werden, ein Ansatz, tier kaum alas Gefallen der deutschen Finanzverwaltung finden diirfte. Schlieglieh k6nnte man noeh die beiden oben erw/ihnten Ans~itze mitteln, so im Mittel einen Weft ann/ihernd, tier im Sehnitt die Anpassung in der Mitte des Jahres abbildet. Dieser Ansatz wtirde jedoch fiir t = 1 zu falschen Werten fiihren und zudem aus dem Modell tier RT98 dutch eine weitere N~iherung herausfiihren, weswegen er hier nicht weiter verfolgt sei. Es soll vielmehr im Rahmen des Modells ein Ansatz vorgestellt werden, der den Saehverhalt der j/ihrlichen Anpassung im Rhythmus des Einsetzens der Renten abbildet. Bern.: Die RT98 verwenden fiir den beschriebenen Sachverhalt statt GI. (53) den Ansatz
(t)gi , 1 = V7 1D t , I r ( t ) a t- ~ , -I-
d.h., mit (t)~i . 1 < (t)gi , 1 fiir S > 1, also o" > O,
x+ 7 z* 7
ein Ansatz, tier zu einem noch kleineren Weft dieses Anwartschaftsbarwerts fiihrt, d.h. also, zu einer Bewertung, die, wenn die Rentenanpassungen tats~ichlich im Rhythmus des Rentenbeginns erfolgen, eine mittlere Verschiebung tier Anpassungen um mehr als ein halbes Jahr unterstellt.
127
11. A n w a r t s c h a f t s b a r w e r t e 1. S t u f e y o n A k t i v e n m i t im J a h r g l e i c h v e r t e i l t e m B e g i n n de r P, e n t e n d y n a m i k
Wir wollen zun~ichst ganz allgemein die Anwartschaft eines Aktiven auf eine Invaliden- rente betrachten, die ab Beginn der P, ente alle m Jahre mit dem Faktor s = 1 + cr erh6ht wird; wiihrend der Anwartsehaftszeit bleibt der Rentenanspruch unver/indert. Wir be- zeichnen diesen Anwartschaftsbarwerten mit
(t)l~ai
wobei wieder t die Anzahl der Zahlungsabschnitte des Jahres bedeutet, der Art, dab die Zahlungen zu den determinierten Zeitpunkten
1 2 t - 1 O ' t ' t . . . . ' t '
des Jahres erfolgen, erstmalig zum Ende des Zahlungsabschnitts, in dem der Versiche- rungsfaU (Invalidit/it) eintritt. Betrachten wir hierfiir als Beispiel das folgende Bild, in dem m = 3 mad t = 4 gesetzt ist:
k: 0 m - 1 m 2 m - - 1 2 m
J I1 z z-I-I
[m-l,nq
---I" z - Inn z + m - I - 1
is+m, z4"m4.l~
[ 2 m - 1 , 2 m ]
~ ' l -2m z-F2m-4-1
s /
[.+2,., s
Zuniichst gilt wieder in gewohnter Schreibweise:
mit
n - I 1
~,)~i ~ ,,k ,,. ; ,,~,)~i . (54) = * k l a x ~x + / v ~ 'x + k + L
kffiO 2
~t)~i ! = ~ , 1-1 + vztp'+aO)a;+l x+ 2 x+~.2] ~ x ~ (55)
Fiir den ersten Term gilt nach G1. (10):
1 . ( t ) a i . 1 I-I = v ~ 1 p ' . 1 k (t) . (56)
Fiir den zweiten Term erhalten wir, indem wir uns an dem Bild orientieren mad beachten, dab x das Alter zum Beginn des Jahres des Versorgungsfalls darstellt, x + 1 damit das Alter zum Ende des Jahres des Versorgungsfalls, mad dab damit die ersten Rentensteige- rungen in dem Altersabschnitt [x + m, x + m + 1] erfolgen, also, bezogen auf das Alter
128
x + 1, in dem Zeitabschnitt [m - 1, m], der m - 1 Jahre nach dem Alter x + 1 beginnt mad m Jahre nach dem Alter x + 1 endet:
J ~~ = Z v~J-Pi+1 R~
j ~ O t t
t - I ~. ~ . V k i - i kPx+l Z (57) = Rk+,t V' Apx+ I + k k>O A=O t t
mit
Hier bedeutet
1 k Rk+~ = ~ S[~] fiir k~NokJ,
= ~s[~]( t t 2 + ~ s ) fiir k e J. (58)
J = { m - l , 2 m - 1 , . . . } = f k ~ N o : ( - ~ ) = 0 ) . (59)
Es wird also wieder davon ausgegangen, dab die Zeitpunkte des Rentenbeginns eines 1
Jahres gleichverteilt sind, und damit im Schnitt in jedem Zahlungsabschnitt - der Renten t
beginnen. Beriicksichtigt man nun noch, dab dann nach genau m Jahren des Endes des Zahlmagsabschnitts, in dem die Rente beginnt, die erste Anpassung der Rente erfolgt, kommt man zu dem dargestellten Ansatz fiir o)~i Sei a~ + 1"
' A --S , Rk+ = t
Hiermit bilden wir
k e n o, 2 = 0 , 1 . . . . . t - 1 .
ARk+ ~ = Rk+ ~ - R~+~ t t t
fiir k~J ,
fiJr k ~ N o \ J , = 0
sodaB wir Ftir (t)~i erhalten: a x + 1
t - 1 2 1 -1 2
~ E vk i , - " . (60) kpx+IR k ~ V t _ X p ~ + l + k + '~. k i �9 = V kPx+l ~ ARk+-XV~'-~Pix+l+k k > O 2 = 0 t k > O 2 = 0 t t
Fiir den ersten Term dieser Gleichung erhalten wir weiter
�9 t - I ~. . k 1 t - -1 A .
E VkkP'x+lRk ~ VZ-~P~+I+k---- ~ S[~]Vkkpi+l~- =~oVZAp~+I+k k > O 2 = 0 t k > 0 = t
k = E s [ ~ ] Vk k P ~ + l [1 - - k (t) (1 - - v p x + l + r , ) ] i
k > O
nach G1. (7)
= r176 + 1 (61)
gem~iB [8], Abschnitt 2.8.3.
129
Hinsichtlich des 2. Terms der G1. (60) betrachten wir zun~ichst den Teilterm
t - I ). ARk+~_wa_p,+l+k--O f'tir k e N o \ J ,
2=0 t t
2 t - 1 2 ~ - i = s[~] = ; tvx~p.+l+ k
=as[~] t -1 x(,)(1 ~ } ( ' - ~ - - -- VPx+l+k ) fiir k e J
gem~iB G1. (9), mit x (t) nach G1. (8). Hieraus folgt fiir den 2. Term der G1. (60):
mit
t - 1 ). Z Vkkpix+l Z ARk+_~VT_~P~+z+k=al0Aai+x
k~O ~ .=0 t t
(t)aaix = k,J'Z $ [~ lV kPx L - ' ~ ' - - - K(t)( 1 - - vpi-+ -
Damit erhalten wir aus GI. (60) gemfil3 den Gin. (61) und (62) (,)~i +~ = (o.,)~.i+ x + a ( ' )Aa i+
(62)
(63)
(64)
und hieraus gem~B den Gin. (55) und (56) 1
(t)~i ~. 1 ---_ V~ I pi 1 (k (t) + (o.t)fii+ 1 + a(~ Aa~+ 1). (65)
Interessant ist ein Vergleieh mit G1. (53) ffir m = 1, wodurch gilt:
, o , t ) ~ = ( , )~ .
Im Vergleich zur G1. (53) f'~illt der Term a (~ weg, der gerade die unterj~hrig beginnen- den Rentensteigerungen bewertet. Analog erhalten wit fiir , )~.w den Anwartsehaftsbarwert eines Aktiven auf Witwen- w x rente nach Aktiventod, bei dem die Rente ab Rentenbeginn alle m Jahre mit dem Faktor s = 1 + a erh6ht wird:
n - 1 1 (t)~aaw ____ Z vk kPx a ql~- k h, + k v~ (t)~(~ + g) + 1_ (66)
k=O 2
mit
(67)
(68)
(69)
und
i (t)~w. : = v~ 1 pW. : (k (') + (o.,)~+, + a (')AayW+ i)
Y*~ 7 Y"7 " "
(t)Aay w = E $ vk kP -- K(t) (1 -- vp~+ . keJ
Nach der individuellen Methode gilt
n - I 1 (t):~aaW_xy ~ vk ~a ,.~br~aa ~ b ~r'~(t)~w ,
-- k~'x klJy '-Ix + k ~l-'y + k ~ ~y+k+ i k=O
mit t,)~,,, x gem~iB G1. (67).
130
12. A n w a r t s c h a f t e ines A k t i v e n a u f E h e g a t t e n r e n t e n a c h I n v a l i d e n t o d mi t R e n t e n d y n a m i k
Wir wollen nun den Anwartschaftsbarwert eines Aktiven aufeine lebensl/inglich laufende Witwenrente nach Invalidentod betrachten, die nach Beginn beim Invaliden, also ab Eintritt der Invalidit/it alle m Jab.re mit dem Faktor s = 1 + a gesteigert wird. Bei diesem Barwert handelt es sich offenbar um eine Anwartschaft 2. Stufe, die erst durch einen doppelten r ausgel6st wird, n/imlich von den Oberg~ingen ,,Aktiver ~ In- valider" und ,,Invalider ~ Tod". Zudem gehen wir bier wieder davon aus, dab w~ihrend der Aktivenzeit keine Steigerungen stattfinden, sondern erst ab Eintritt der Invalidit/it, die ab da dann auch f'tir die Anwartschaft auf Witwenrente gelten. Zudem gehen wir davon aus, dab diese Steigerungen immer genau nach Vielfachen von m Jahren stattfin- den, der Art also, daB, hat die Rente zum Ende des ).-ten Zahlungsabschnitts begonnen, sie dann m Jahre sp~iter zum Ende des ).-ten Zahlungsabschnitts angepaBt wird, dann wieder nach rn Jahren, usw. 1 Nach der kollektiven Methode k6nnen wir diesen Barwert bei --tel vorschfissiger Zah- lungsweise wie folgt ansetzen (vgl. G1. (43)) t
n - I 1 It)~ai,,, = Z ,,k ,.,,, ; , ,~ ~,)~i,,, ( 7 0 )
--x " k l "x Ax + k " - ~ x + k + I k = O 2
mit 1
~o~+~_=v~t~i ' x~')~i~, + ~qi.~lh.<O,~ " i (71)
Nach G1. (67) erhalten wir zun~ichst 1
~t)~w. 1 = v~ 1 pW+, (k~,) + ~o.,)Svw + , + tr ~t)Aa~,§ 1) (72)
mit ~t)day gem~il3 G1. (68).
Hinsichtlich ~'),~ 1 mfissen wir beachten, daB, wie in Abschnitt 11 erl~iutert, im Altersab- schnitt [x + m, x + rn + 1] fiber das Jahr gleichverteilt Steigerungen auftreten, die auch fiir die Anwartschaft auf Witwenrente gelten. Entsprechend G1. (50) (hier mit h = 0, da die Steigerungen friihestens mit dem Alter x + 1 beginnen), gehen wir yon dem Ansatz
k i (,/kX, t'~ w ( t ) ~ i w S [ - ~ ] v k i i ~x+1 ~ kPx + 1 q ~ + I +k hx+ I v2 "\m/" :~ = +~ y~+l+k)+�89 (73)
k > O
aus, der den Verlauf der Verpflichtungen bis zum Einsetzen der Witwenrente abbildet, wobei noch th, t)iw : h = 0, 1, m - 1, geeignet festzulegen ist. y + _ ~ �9 . .
2
Dabei ist zu beachten, dab der Rhythmus der Anpassungen sich durch den ~bergang auf Witwenrente nicht ver~indert, die zukfinftigen Anpassungen also gleichverteilt in den Altersabschnitten
[x + m , x + m + 1],[x + 2m, x + 2m + 1] . . . .
also, wenn k e N O die Anzahl der Jahre nach dem Alter x + 1 bedeutet, in den Abschnit- ten
[ m - 1, m], [2 m - 1, 2 m], . . . ,
d.h., (vgl. G1. (59)) in G1. (73) fiir
k e J
131
stattfinden, und das ist, wie aus G1. (49) ersichtlich, genau dann der Fall, wenn
d.h. also, wenn
(k)--m-1. Diese 0berlegungen fiihren zu dem folgenden Ansatz yon (h.t)gw+ ~: y
1 (ht )~w, 1 = ( h 0 ~ w ' a 1 l- V ~ l n w 1 (h+ l ' t )Taw y+~ y+~,~ + ~Vy+~ "y+l
mit
(74)
und
1 (h , t )~w+ 1 1--] = V 2 _ l p W + l _ ~ (h 'O ,
Y ~ ' ~ i 2 " 2
~(h,,) = k(,) fi ir h = 0, 1 , . . . , m - 2 ,
= k ( ' ) + a t it) f'tir h = m - 1 ,
t - 1 2 (h,,)~.~,= 5". vk~o~ ' E VT-~Py+kRh+k+~_
k > O , ; .=0 t t (75)
R~+_~ = ls[~] f/ir k~ ~lo\J, t
= 1--s[-~] ( t - 2 + 2s'~ ffir k~J (76) t \ t t /
entsprechend G1. (58). Der Unterschied von G1. (75) zu Gl. (57) besteht demnach nut darin, dab in GI. (57) Rk+a nicht yon h abh/ingt, doch zeigt ein Vergleich mit G1. (75),
t dab diese Gleichung f'~ h = 0 mit G1. (57) iibereinstimmt. Somit k6nnen wir auch die in Abschnitt 11 durchgeffihrten Ableitungen iibernehmen und kommen damit zu
bzw.
mit
(h.t)~ = (h.0~) + a(h,,)da~, (vgl. G1. (64))
1 (h.l)~W.y,2.1 = V~ID w .~_y+2.~ (k(,) + (h + 1.,)~w+ ~ + a (h + 1.,)Aay+ 0
(77)
(78)
[,+k] k . I - t - I )I (h")day = k,,E s --if- v kPy L" ~ - -- r(')(I -- vpT+k (vgl. GI. (68)). (79)
Damit erhalten wir (t)~iw nach GI. (70) mit (t)~i~+1 nach GI. (71), (oaw. i nach GI. (72) 2 Y'~'~
sowie ~ 1 nach G1. (73) mit (h't)aw. x nach G1. (78) (vgl. auch [9]). y ~ ' ]
Es sei angemerkt, dab alle aufgeffihrten Gleichungen auch ffir s = 1 d.h. a = 0 korrekt sind (vgl. G1. (43)), sodaB sie als aUgemeingfltige Formeln angesehen werden k6nnen.
132
Nach der individuellen Methode erhalten wir im Modell der RT98 (,,b" bezeichne wieder einen geeigneten Berechtigtenbestand fiir den Ehegatten des Alters y):
n - I I (t)~aiw ~ k a b �9 b --( t)~iw _,y - ~ (vgl. G1. (70)) V k P x k P y l x + k l P y + k V 2 a x + k + 1 _ , + k + l
k = 0 ~ 2 y 2 mit 1
(t)~iw 1 +i ---- v~lpix+l lpb+l (t)aixW+l.y+ 1 q- lq i +1 (t)l~w+ 1
mit ~')ay§ gemiil3 G1. (72) und 2
k I (r x, t) (t)~iW__xy = ~ " S[m~--']V k i b i b ~ kP~kPyq~+k�89 vi~\~/" a~'+k+�89
k>O
mit ~u.t)~w. 1 gem~iB G1. (78) und (79).
AbschlieBend sei erw/ihnt, ohne es hier ausf/ihren zu wollen, dab auch die Formeln dieses Abschnitts auf Jahresgitterbasis dargestellt werden k6nnen (vgl. [9]). Bem.: Jensen, dem ein Preprint meiner Arbeit vorlag, hat mit einem Kalkiil von Uber- gangsmatrizen die hier aufgerollten Probleme bearbeitet und kam aufdie gleichen Ergeb- nissse wie diese Arbeit.
LITERATUR
[1] Engelhardt, Klaus. ,,Die Bewertung von Witwenrentenanwartschaften bei garantierten Renten- steigerungen im mehrjiihrigen Rhythmus", Bl~itter der Deutschen Gesellschaft ffir Versiche- rungsmathematik, Band XXIII, Heft 3, S. 385-393, April 1998
[2] Heubeck, Klaus: ,,Richttafeln", K61n 1983 [3] Heubeck, Klaus: ,,Richttafeln", K61n 1998 [4] Jensen, Gerd: ,,Bilanzierung von Rentenversicherungen mit determinierter F~lligkeit", Bl~itter
der Deutschen Geseilschaft fiir Versicherungsmathematik, Band XXIII, Heft 4, S. 501-518, Oktober 1998
[5] Neuburger, Edgar: ,,Bericht zur Prfifung 1996 fiber Pensionsversicherungsmathematik", Blitter der Deutschen GeseUschaft fiir Versicherungsmathematik, Band XXIII, Heft 1, S. 85-90, April 1997
[6] Neuburger, Edgar: ,,Bericht zur Priifung im September 1997 fiber Pensionsversicherungsmathe- matik (Spezialwissen)", Bl~itter der Deutschen Gesellschaft f'fir Versicherungsmathematik, Band XXIII, Heft 3, S. 421-427, April 1998
[7] Neuburger, Edgar: ,,Unabh~ingigkeit von Rentenanwartschaftsbarwerten vonder Zahlungs- weise", Bl~itter der Deutschen Gesellschaft fiir Versicherungsmathematik, Band XIX, Heft 3, S. 257-267, April 1990
[8] Neuburger, Edgar (Hrsg): ,,Mathematik und Technik betrieblicher Pensionszusagen", Schrif- tenreihe angewandte Versicherungsmathematik, Heft 25, 2. Auflage, Karlsruhe 1997, dort Kapi- tel 2: Neuburger, Edgar: ,,Pensionsversicherungsmathematik"
[9] Neuburger, Edgar." ,,Formeln der Pensionsversicherungsmathematik", Internet http://www. neuburger.com/formeln/formeln.html
Zusammenfassung
Bemerkungen zum Formelwerk der Richttafeln 1998
In dieser Arbeit werden die Rentenbarwerte der Pensionsversicherungsmathematik systematisch aus dem Zusammenspiel yon Aktiven-, Invaliden- und Gesamtbestand abgeleitet, mit den Formeln der Richttafeln 1998 verglichen und auf die Fallgestaltungen mit Rentendynamik erweitert.
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Summary
Remarks to the formulae of gichttafeln 1998
In this paper, the present values of pension annuities are derived systematically from the relationship between active lives, disabled lives, and total lives. These present values are then compared to the formulae of Richttafeln 1998, and are extended to dynamic pension annuities.
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