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Periodica Mathematica Hungarica Vol. 2 (1--4), (1972), pp. 33--39. BEMERKUNGEN ZUM GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN voI1 K. TANDOI~s (Szeged) Dem Andenlcen von Pro]. A. R~NYI gewidmet 1. Von D. MENCHOFF [1] und H. RADE~CHER [2] stammt im wesent- lichen der folgende Satz. SATZ A. Es sei { }n} eine Folge yon orthogonaleu zufalligen GrS[3en (d. h. es bestehen f~r die M ittelwerte die Beziehungen M ( },~}rn) -~ O, n # m, mit M(~) ---- 1 (n = 1, 2 .... )). GiltfRr die reelle Zahlenfolge {an} (1) Z a~ log2 n ~ ~ , dann konvergiert die Reihe X an ~ mit Wahrscheinlichkeit 1. (2) dann ist (Im folgenden bezeichnet log a den Logarithmus mit der Basis 2.) Aus dieser Behauptung folgt leicht das folgende Gesetz der grol]en Zahlen (s. z. B. P. R~v~sz [3], S. 87). SATz B. Es sei {~n} eine Folge yon orthogonalen zufdlligen Gr6[3en. Gilt M(~D, 2 n~ log n<~, ~1+.-.+~ § n mit Wahrscheinlichkeit 1. Es wurde gezeigt, dab die Bedingung (1) im Satz A in verschiedenem Sinne unverbesserbar ist. (Siehe z.B.D. ME~C~O~'F [1], K. TANDORI [4].) A. SI~o~ovlTs hut die Frage aufgeworfen, ob die Bedingung (2) im Satz B auch genau ist. P. R~v~sz ([3], S. 88) erwi~hnt, dab auf diese Frage eine bejahende Antwort angegeben werden kann, diskutiert aber das Problem nicht. Im Folgenden besch~ftigen wir uns mit dieser Frage ausfiihrlicher. 3 Periodica l~Iat. 2 (1-4)

Bemerkungen zum Gesetz der grossen Zahlen

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Page 1: Bemerkungen zum Gesetz der grossen Zahlen

Periodica Mathematica Hungarica Vol. 2 (1--4), (1972), pp. 33--39.

BEMERKUNGEN ZUM GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN

voI1

K. TANDOI~s (Szeged)

Dem Andenlcen von Pro]. A. R~NYI gewidmet

1. Von D. MENCHOFF [1] und H. RADE~CHER [2] s tammt im wesent- lichen der folgende Satz.

SATZ A. Es sei { }n} eine Folge yon orthogonaleu zufalligen GrS[3en (d. h. es bestehen f~r die M ittelwerte die Beziehungen M ( },~}rn) -~ O, n # m, mit M ( ~ ) ---- 1 (n = 1, 2 . . . . )). GiltfRr die reelle Zahlenfolge {an}

(1) Z a~ log 2 n ~ ~ ,

dann konvergiert die Reihe

X an ~ mit Wahrscheinlichkeit 1.

(2)

dann ist

(Im folgenden bezeichnet log a den Logarithmus mit der Basis 2.)

Aus dieser Behauptung folgt leicht das folgende Gesetz der grol]en Zahlen (s. z. B. P. R~v~sz [3], S. 87).

SATz B. Es sei {~n} eine Folge yon orthogonalen zufdlligen Gr6[3en. Gilt

M(~D, 2 n~ log n < ~ ,

~ 1 + . - . + ~ § n

mit Wahrscheinlichkeit 1.

Es wurde gezeigt, dab die Bedingung (1) im Satz A in verschiedenem Sinne unverbesserbar ist. (Siehe z . B . D . ME~C~O~'F [1], K. TANDORI [4].)

A. SI~o~ovlTs hut die Frage aufgeworfen, ob die Bedingung (2) im Satz B auch genau ist. P. R~v~sz ([3], S. 88) erwi~hnt, dab auf diese Frage eine bejahende Antwort angegeben werden kann, diskutiert aber das Problem nicht. Im Folgenden besch~ftigen wir uns mit dieser Frage ausfiihrlicher.

3 Periodica l~Iat. 2 ( 1 - 4 )

Page 2: Bemerkungen zum Gesetz der grossen Zahlen

34 T_4xN'D01=tI: BEMEI~KUN@EN ZU2~I GESETZ DER GROSSEN ZAI~LEN

2. Erstens wird die folgende Behauptung bewiesen.

Sa~z 1. Es sei {M~} eine Folge yon positiven Zahlen mit

(3) ~% > 1-~'+~ (~ = ~, 2 , . . . ) , n n + l

(4) - ~ log 2 n = oo.

Dann cfibt es eine Folge {~} yon orthogonalen zuf~lligen Gr6[3en derart, daft M(~,~) = M~ (n = 1, 2 . . . . ) ist, und

l iml ~l + ' ' ' 4 - ~ n =

mit Wahrscheinlichkeit 1 besteht.

Also ist die Bedingung (2) im Falle (3) nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig, dami~ die Behauptung des Satzes B fiir jede entsprechende Folge {~} giiltig ist.

B~wEIs des Satzes 1. Wit werden eine Fotge {/n} yon positiven Zahlen definieren, flit die die folgenden Bedingungen erftillt werden:

(5) l~ ~ l~+~ (n = 1, 2 . . . . ) ,

( 6 ) n = o(ln),

(7) Mn __ > Mn+x

I n - 1,~+1 (n = 1, 2 . . . . ),

(s) .~.~'~f221og2 n = 0% t,~

(9) . ~ M-~Zn log 3/2 n < ~ .

Ohne Beschrgnkung der Allgemeinhoi~ kOnnen wir

(lo) M~ ~ 2

annehmen. Wir setzen

= log ( ~ , M~ log 2k ( n . - 2, 3 , . . . ) , 11 = 1. [\k=~ k 2 ) ~--~ k 2

Page 3: Bemerkungen zum Gesetz der grossen Zahlen

TA-NDOI~I: B E ~ E R K U N C x E N Z U ~ G-ESETZ DEB~ G-I1OSSEN ZA]~LEN 3 5

(5) ist offensichtlich erfiillt. Weiterhin ergeben sich (6) und (7) aus (3) und (4). Auf Grund yon (3), erhalten wir durch einfache Rechnung

M 2 ~ =i~e log s n = r t = 3 I"1

~* M~2n log 2 n 1 ~" {-n-k~s Me log2/c} log ( ~ l~ /

k = 2 - ~ -

(11)

:r ~Wl~ 1 (" dx > O ( 1 ) . ~ - ~ 7 1 ~ t > 0 ( 1 '

tk=s-~- log2 k log / ~ ~'~k logSk b,=2 k 2 M~

Weiterhin gilt

loga/2n = ~ n~- log s n n=s I;~ n=2 ~=k log2 k~ log ~ M~ ]~2 ] k=2 - ~ log2 ]~ 17gl/2 /b

(1~,) < o ( 1 ) :,~ i~" log~ n~,r 2 Tb 2 .

1 "t5 " M 2

k=2 ~ ..../c 2k logZ k~ log3JZ (k=.~2 M ~ ] ~ - log: k}

= O(1) ; dx < - - - o o

x loga/2 x M 1

wegen der auf Grund yon (3) gtiltigen Abschgtzung

{~ J ) : loe =< Oil/ o (n = 2, 3 , . . . ) .

Aus (11) und (12) erhalten wir (8) und (9). Die Folge {/~} befriedigt also alle erforderten Eigensehaften.

Auf Grund eines bekannten Resultates (siehe K. TA~DOm [4], Satz 1) gibt es wegen (7) und (8) eine Folge {~n} yon orthogonMen zufglligen GrSgen mit M(~) = 1 (n = 1, 2 . . . . ) derart, dab die Reihe

mit Wahrscheinlichkeit 1 divergier~. Es sei Cn ---- M ~ (n = 1, 2 . . . . ). Die Folge {~,~} ist orthogonM und M(~) = M~ (n = 1, 2 . . . . ). Wir setzen

/7

~n = ~Y Ck (n = 1, 2 , . . . ) . k = l

3*

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36 T A ~ D O R I : B ]~ IERKU~GE~- ZUM GESETZ D~t~ GROSSEh ~ ZAKLEbZ

Durch Abelscher Umformung erhalten wir

also ist

(13)

k = l lk 1 l n

1 ~ k ~ / / k 1 } - - O ' n ~ - - O' k .

In k = l ~ k k = l l~l Erstens betrachten wir die Abschgtzung

(141 2 1 k = l

1 M ( l a k ] ) ~ 2 1 , 1 - ) V ~ = 1 , = ~ lk+ ~)

Ffir jedes n gilt-aber

(15/ ~-" 1 k = l ,

: . . . .

Aus (5) und (9) ergibt sich dutch Anwendung des wohlbekannten Kronecker- schen Lemmas

~ ~M~ § § M~_~ < VM~ § " " + M ~ - ~ O �9 . �9 = 1 2 _ _ 1

n ~ C O ) .

Daraus und aus (15) folgt

(16)

. ~ 1 1 V M ~ + " .. § = k = l

= MI__~+ ~=~'~1 ( V ~ + . . . + ~ - VM~ + . . . + M~_I)

Durch Anwendung des Lagrangeschen Mittelwertsatzes erhalten wir auf Grund von (3)

1 -;-(VM~ + . . . + M~ -- V M~ + . . . + M~_I) <~ (17) ~=2 ~

= M~ 1 < 0(1) . ~ - . - ~=~ l~ V M ~ + . §

Page 5: Bemerkungen zum Gesetz der grossen Zahlen

T_~NDOI~I: BEMEl~KUNGEN ZUM GES]~TZ DEI~ GROSSEN ZAIILEN 37

(20)

besteht, aber

Da wegen (7) ftir jedes n

M 2 + (12 + + l~) M~ > (l~ + + . , n- �9 . . _ _ ~ . . . l ~ n

12. I. gi l l folgt

oo M~ 1 ~= 1 ~ 1

k:2 4 ] / M i § .q -M~ ~ = - . ~ ~ Mk --<

k~=~M k 1 = M k 1 < < 0 ( 1 ) = 17 ~--k--O(1)'~-~kl~

<O(1 ) ~ M~loga/2k ~ 1 = l~-k = k l o g a l 2 k < o o

auf Grund yon (9) und yon der aus der Definition yon lk und (7) folgenden Absehgtzung

l~k/~l _>_ 0(1) Ik (~ = 2; a . . . . ) .

Aus (14), (16), (17) und (18) erhalten wir

1 1 M ( i ~ I ) < oo" k=l 4-+1

Durch Anwendung des B. Levischen SaSzes ergibt sich mithin, dab die Reihe

O" k k = l /k 1

mit Wahrseheinliehkeit 1 konvergiert. Aus (13) folgt, dab die l~'olge [/n a~}

mit Wahrseheinliehkeit 1 divergiert, woraus wir auf Grund yon (6) die Behaup- ~ung erhalten.

3. Aus Satz 1 folgt

S~TZ 2. Es sei {w(n)} eine Folge von positiven Zahlen mit

(19) w(n) = o(log n) .

Dann gibt es eine Folge {In} yon orthogonalen zuf~lligen GrSfien derart, daft

~t 2

,iml x+ rl--~ r162 Tb

mit Wahrscheinlichkeit 1 erf~llt ist.

Page 6: Bemerkungen zum Gesetz der grossen Zahlen

~8 TA~TDOP.I: BE~[E/~KUIqGEN ZU~I OESETZ DER GI~0SSEN ZAIILEN

BEWEIS des Satzes 2. Auf Grund yon (19) kann man eine Indexfolge (1 = ) n o < , . . ~ nk ~ �9 . . mi t folgenden Eigensehaf ten angeben:

(21) w(n) ~ 1 (n ~ nk), nk+ 2 - - nk+ 1 ~ nk+ I - - nk, (k = 1, 2 . . . . ). logn ~ k

Dann setzen wir

1 1 a ~ - - - - (n k ~ n ~ n k + 1; /~ :=1 ,2 . . . . ), a 1 . . . . . a ~ = l .

log n ]/'nk+ 1 - - n k

Weiterhin sei M,~ = na~, (n = 1, 2 . . . . ) .

Auf Grund yon (21) ist es ofiensichtlich, dab die folgenden Bedingungen erfiillt werden:

(22) M,~ ~ M,~+~ (n = 1, 2 . . . . ), n n q - 1

M~

2

(24) .~ M~ w2(n) < ~o. ~ ' ~ 7~2

Wegen (22) und (23) kann man den Satz 1 anwenden, und so ergibt sich eine Folge { G} von zuf/illigen ar6Ben mit M ( ~ ) = M~ (n = 1, 2 . . . . ) derart , dal~ die Behaup tung des Satzes 2 erfiillt wird. Aus (24) folgt auch (20).

4. Wir m0ehten noch eine Bemerkung erw/thnen. In einer vorherigen Arbeit (K. TA~DOaI [5]) habe ich im wesentlichen die folgende Behaup tung bewiesen:

SATZ C. E s sei {~n} eine Folge von orthogonalen zuf i i l l igen Gr6fien. Gilt

1 _Y M(~D log+ M(~D l o g n < ,

d a n n konvergiert die Re ihe X G

rail Wahrsche in l i chke i t 1.

Hier ist die Funk t ion log + x folgenderweise definiert:

{11 g x ' x ~ 2 , log+ x = sonst.

Aus der Satz C folgt mi t bekunnter Methode leicht

Page 7: Bemerkungen zum Gesetz der grossen Zahlen

TANDORI: BEME~KUNG]~I~ ZUhl GESETZ DER GROSSEI~ ZAJELE~ 3~

(25)

dann besteht

S•TZ 3. Es sei {~n} eine Folge von orthogonalen zufi~lligen GrS[3en. Gilt

n ~ log+ ~ / ( ~ ) �9 log n ~ ~ ,

mit Wahrscheinlich]~eit 1.

Es ist leicht einzusehen, dab der Satz 3 sch~rfer ist als Satz B. Im Falle

M2($n) ~ M2(~n+l) (n ---- 1, 2, . .) sind die Bedingungen (2) und (25) gleich- n 2 - - ( n § 1) 2

wertig.

LITERATURVERZE ICI-INIS

[I] D. MEIqCIIOFF, Sur les s4ries de fonetions orthogonales (Premiere partie), Fund Math. 4 (1923), 82--105.

[2] ~I. ]=~ADEMACHEI~, Einige S~tze fiber Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen, Math. Ann. 87 (1922), 112--138.

[3] P . !R]~v]~sz, The laws o] large numbers, Budapest, 1967. [4] K. TANDOI~I, Uber die orthogonalen Funk~ionen I, Acta Sei. Math, (Szeged) 18

(1957), 57--130. [ 5 ] - - , t~emerkung zur I~ionvergenz der Orthogonalreihen, Acta Sci. Math. (Szeged) 26

(1965), 249--251.

(Eingegangen am 29. September 1970.)

~IOzsEF ATTILA TUDOM~NYEGY]~TEI~I BOLYAI INT]~ZETE SZEGED, ARADI Vt~RTANI~K TERE 1. HUNGAI~Y