Kleine Mitteilunaen -

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ZAMM 64, 67 (1974)

K. R. SCHNEIDER/M. STEFEE

Bemerkungen zum Verfahren der zweidimensionalen Sturmschen Hette

Das Problem, die Anzahl der reellen Kurveniiste einer alge- braischen Kurve 9 = {(z, y): F(z, y) = 0) in einem vorge- gcbcnen beschrankten Gebiet Q zu beatimmen, wird man im allgemeinen durch numerische Ermittlung der Kurveniiste zu losen versuchen. Dabei kann es leicht vorkommen, daU gcwissc Kurvenaste nicht erfaUt werden. In [l] wurde ein Verfahren angegeben - es kann ale Verfahren der zwei- dimensionalcn SToRMschen Kette bezeichnet werden -, rnit dem nachgepruft wcrden kann, ob bei der numerischen Er- mittlung der Kurveniiste such alle Kurveniiste erfaBt wur- den. Im wesentlichen wird bei diesem Verfahren der Verlauf einer stuckwcise konstanten Funktion N(y) mit endlich vielen Sprungstellen in einem Interval1 I, exakt bestimmt.

Betrachten wir in dcr Funktion P(z, y) y als einen Para- meter, so konnen wir zu P(z, y) als Funktion von z eine 8TmtMsche Kette K = {8,(z, y), #&, y):, . . . , &(z, y)! an- geben, falls y gewisscn Intervallen angehort. Die Arbcit [I] enthalt nun dcn SchluB, daS das letzte (nicht identisch ver- schwindende) Glied der Kette K eine Funktion von y allein darstellt, d. h. &(z, y) = &(y). Wie man sich leicht uber- legen kann, gilt diescr SchluB aber nur dann, wenn die Kurve L keinen mehrfach durchlaufencn Kurvenast beaitzt. Im folgenden sol1 dargelegt werden, wie das in [l] angegebene Verfahren modifiziert werden muS bzw. welche zusiitzlichen Uberlegungen notig sind, um die Anwendung des in [l] angegebenen Verfahrens zu sichern, falls P mehrfach durch- laufene Zweige besitzt, d. h., falls &(z, y) von beiden Va- riablen abhangt.

Wir bezeichnen mit U die Menge derjenigen y-Werte, fur die die Kurve 9 in Q singuliire Punkte oder Horizontal- tangenten besitzt. Eincs der wesentlichsten Ziele des in [l] dargelegten Verfahrens beateht darin, die Menge U bzw. eine Obermenge fur U zu ermitteln.

Unter der Voraussetzung, daB 8&, y) von z und y ab- hangt, schreiben wir diese Funktion in der Gestalt 8&, y) = P(y) 8f(z, y), wobei sich von B?(z, y) kein weiterer nur von y abhangiger Faktor abspalten lasse. A$@, y) ist folglich Teiler von F(z , y), d. h., es gilt P(z, y) = S?(z, y) U(z, y). Die Glcichung G(z, y) = 0 stellt also ebenfalls die Kurve R dsr, jedoch mit einfach durchlaufenen Kurveniisten.

Die Glieder &(z, y) ( r = l(1)l) der Snntarechen Kette K konnen wir 0. B. d. A. als ganze rationale Funktionen von z und y voraussetzen. Wir bezeichnen den Koeffizienten vor der hochsten 2-Potenz in &(z, y) mit A&). Dann sei Y die Menge der in I, gelegenen Nullstellen der Polynome A,(y) fur r = 2( 1) 1. Mit Y * bezeichnen wir die Menge derjenigen

y-Werte, fur die das Gleichungesystem G(z, y) = 0, G,(z, y) = 0 Losungcn in Q besitzt. Offcnsichtlich gilt U c Y*. Daraus erh8k.a wir unmittelber die folgcnde Variante des in [l] dargelegten Verfahrens.

Var ian te 1: Wir berechnenQ(s, y) = F(x , y)/8f(z, y) und wenden das in [l] beschriebene Verfahren auf G(s, y) an. Die Ermittlung der neuen STnRMschen Kette erfordert zu- niichst zusiitzlichen Aufwand, der sich jedoch infolgc dcr Verringerung der Grade der beteiligten Polynome lohnt, falls die Kette hinreichend oft zur Berechnung der Anzahl von Nullstellen benutzt wird. Es liiBt sich leicht zeigen, daB Y* c Y gilt. Darauf be-

ruhen die folgenden beiden Varianten. Var i an te 2: Wir ermitteln Y und dividieren jcdes Glied

der Kette K durch 8:(z, y) und erhalten so eine neue, zu K aquivalente (vgl. [2], s. f@/91) STmMsche Kette

&(z, y) = P(y) 1 , rnit dor analog zur Kette K weiter verfahren werden kann. Die zugehorige Folge (6) in [l] besteht dann BUS der Xenge Y und den Nullstellen von Q(z, y) euf den Riindern z = z&y) und z = zl(y) dea Gebietes G. Hinaichtlich des Aufwandes gilt dsseelbe wie bei Variante 1.

Var ian te 3: Wir ermitteln Y und arbeiten mit der ur- spriinglichen Kette K. Fur die Folge (6) in [l] gilt dasselbe wie bei Variante 2. Falls Y hinreichend viele Werte enthiilt, wird der hchenaufwand bei dieser Variante groBer sein ale bei den ersten beiden.

Ergiinzend sol1 noch bemerkt werden, daB im Fall I = 2 die Menge U leer ist. K bricht niimlich genau dann mit 8&, y) ab, wenn F(z, y). = [a(y) z +.b(y)]'t ist, d. h., 9 wird durch die gebrochen rationale Funktion z = - b(y)/a(y) be- schrieben.

L i t e r a t u r 1 SCENEIDRE, K. R., Zweidimenslonole Sturmache Ketten, Z A M N 50.

2 OBBESOBPOFh I?., Vertellung und Berechnung der Nullstellen reeller 8. 762-673 (1870).

Polynome, Berlin 1883.

Eingereicht am 13. 3. 1973

Anschriften: Dr. K. R. SCHNEIDER, Zentralinstitut fur Mathematik und Mechanik der AdW der DDR, 108 Berlin, Mohrenstr. 39 M. STEFEK, Hochmhule fur Verkehrswesen , ,Friedrich List", Sektion Mathematik, Rechentechnik und Na- turwissenschaften, 801 Dresden, Friedrich-List-Platz 1, DDR