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Bemessung und Konstruktion von Bauteilen im Stahlbeton Formelsammlung Jan Höffgen 3. März 2014 Diese Zusammenfassung wurde auf der Basis des Master-Moduls Bemessung und Konstruktion von Bauteilen im Stahlbeton im WS 2013/14 erstellt. Verweise in Schneider Bautabellen für Ingenieure beziehen sich auf die 19. Auflage. Kein Anspruch auf Vollständigkeit oder Fehlerfreiheit. Wer einen Fehler findet, melde ihn mir bitte.

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  • Bemessung und Konstruktionvon Bauteilen im Stahlbeton

    Formelsammlung

    Jan Höffgen

    3. März 2014

    Diese Zusammenfassung wurde auf der Basis des Master-ModulsBemessung und Konstruktion von Bauteilen im Stahlbeton

    im WS 2013/14 erstellt.

    Verweise in Schneider Bautabellen für Ingenieure beziehen sich auf die 19. Auflage.

    Kein Anspruch auf Vollständigkeit oder Fehlerfreiheit.Wer einen Fehler findet, melde ihn mir bitte.

  • INHALTSVERZEICHNIS

    Inhaltsverzeichnis1 Fundamente 3

    1.1 Unbewehrte Streifenfundamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Bewehrte Einzelfundamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2 Zweiachsig gespannte Platten 52.1 Schnittgrößenermittlung zweiachsig gespannter Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2.1.1 Verfahren nach Pieper/Martens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Belastungsumordnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3 Mindestbiegemomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.4 Querkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.2 Durchstanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Ausführliche Ermittlung des Lasterhöhungsfaktors β . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    3 Nachweise im GZG 103.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Begrenzung der Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Begrenzung der Rissbreiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3.3.1 Rissbreitennachweise für äußere Einwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.2 Mindestbewehrung für Zwang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3.4 Begrenzung der Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4.1 Indirekte Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4.2 Direkte Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    4 Bemessung von Diskontinuitätsbereichen 164.1 Rahmenecke mit negativem Moment (Zug außen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Rahmenecke mit positivem Moment (Zug innen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Rahmenendknoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 Rahmeninnenknoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5 Konsolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.6 Ausklinkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    5 Torsion 19

    J.H. Seite 2

  • 1 FUNDAMENTE

    1 Fundamente• Erhöhung der Betondeckung

    – um k1 = 20 mm bei Betonieren gegen eine unebene Sauberkeitsschicht (d = 5÷ 10 mm)– um k2 = 50 mm bei Betonieren gegen Erdreich

    1.1 Unbewehrte Streifenfundamente1. Sohlspannung: σgd = pdAso2. Schnittgrößen

    • MEd = σgd · a2

    2

    • VEd = σgd · a– a = b− c: Abstand Fundamentkante − Rand des abzustützenden Bauteils

    3. Biegenachweis: σc ≤ fctd

    • σc = MEdW =3·σgd·a2

    b·(0,85·hf )2

    • fctd = αct · fctk;0,05γc4. Querkraftnachweis: τcp ≤ fcvd

    (a) Betonfestigkeiten

    • fcd,pl = αcc,pl · fckγc• fctd,pl = αct,pl · fctk;0,05γc

    – αct,pl = αcc,pl = 0,70

    (b) Betondruckspannung bei Längsdruckkraft: σcp = NEdAcc(c) Grenzspannung σc,lim = fcd,pl − 2 ·

    √fctd,pl(fctd,pl + fcd,pl)

    (d) fcvd ={ √

    (fctd,pl)2 + σcd · fctd,pl für σcp ≤ σc,lim√(fctd,pl)2 + σcd · fctd,pl − 14 (σcd − σc,lim) für σcp > σc,lim

    (e) τcp = k · VEdAcc• k = S·Accb·I (= 1,5 für Rechteckquerschnitte)

    5. Wenn die Nachweise erfüllt sind, kann das Fundament unbewehrt ausgeführt werden.

    J.H. Seite 3

  • 1 FUNDAMENTE

    1.2 Bewehrte Einzelfundamente1. Schnittgrößen

    • Allgemein– Bestimmung der Sohldruckverteilung und Berechnung der Momente am Stützenrand durch

    Flächenlast

    • Zentrische Belastung

    – MEd,x/y = NEd · b8 ·(1− cb

    )2∗ bx/y: Fundamentbreite∗ cx/y: Austandsfläche des abzustützenden Bauteils

    • Exzentrische Belastung

    – Randpannungen bei Rechteckfundamenten in Abhängigkeit der Ausmitte ex/y =MEd,x/yNEd

    0 < e ≤ b6 : σ1,2 =NEdbx·by (1±

    6eb )

    b6 < e ≤

    b3 : σ =

    2·NEd3·( b2−e)·b

    , Klaffende Fuge bis 3e− a2– σm = σ1+σ22 , ∆σ = σ2 − σm ≥ 0

    – MEd,x/y = by/x

    (σm ·

    b2x/y8 + ∆σ ·

    b2x/y12

    )2. Geometrie

    (a) d1,y = cnom + 12 · Φsl,y(b) d1,x = d1,y + Φsl,x (Richtungen vertauschbar)

    (c) d1,m = 12 · (d1,y + d1,x)(d) dm = hf − d1,m

    3. Ermittlung von Baustoffkenngrößen

    • Betonfestigkeit: fcd = αcc · fckγc (Dauerstandsfestigkeitsbeiwert αcc = 0.85)

    • Stahlfestigkeit: fyd = fykγS[i.d.R.

    = 5001.15 = 435N

    mm2

    ]4. Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsfläche (Spannungsblockverfahren)

    (a) Ermittlung des auf den Schwerpunkt der Zugbewehrung bezogene Bemessungsmoment:MEds = MEd[−NEd · (h2 − d1)]

    (b) Bestimmung des bezogenen Moments µEds = MEdsb·d2·fcd• b: Breite der Druckzone

    (c) Berechnung von ζ = zd =12

    (1 +√

    1− 2 · µEds)

    (d) Berechnung der Bewehrungsfläche As1 = 1fyd(MEdsζ·d +NEd

    )5. Aufteilung der Bewehrung im Einzelfundament

    • Aufteilung der Fundamentbreite in 8 Streifen

    •Streifen c/b ≤ 0,3 c/b > 0,31 + 2 16,7 % 25 %3 + 4 33,3 % 25 %

    der berechneten Bewehrung

    J.H. Seite 4

  • 2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN

    2 Zweiachsig gespannte Platten

    2.1 Schnittgrößenermittlung zweiachsig gespannter Platten2.1.1 Verfahren nach Pieper/Martens

    • Voraussetzungen

    – Verkehrslast qd ≤ 2 · gd– Gleichlast

    – Plattendicke konstant

    – w ≈ 0 an den Rändern, Plattenfelder untereinander biegesteif

    • Bestimmung der Feldmomente

    1. Bestimmung der Lagerungsbedingungen und Identifikation des Plattentyps

    2. Bestimmung des jeweiligen Stützweitenverhältnisses des Feldes(lylx≥ 1)

    3. Ablesen der Beiwerte fx und fy für drillsteife (oder f0x und f0y für drillweiche) Platten ausTafeln

    4. Berechnung der Feldmomente mf,ix/y = pd ·l2xfx/y

    mit pd = gd + qd

    • Bestimmung der Stützmomente

    1. Ablesen der Beiwerte sx und sy für beide Platten, die am Unterzug gelagert sind

    – Für Stützmoment an der langen Seite (my,erm) sx ablesen

    2. Berechnung der Stützmomente

    ms,ij = ms,ji = −

    max{

    12 · pd · lx/y ·

    (1

    sx/y,ij+ 1sx/y,ji

    )0,75 ·maxms,ij

    }für lxilxj < 5

    max{msi,msj} für lxilxj > 5

    2.1.2 Belastungsumordnungsverfahren

    • Voraussetzungen

    – min lx/ymax lx/y ≥ 0,75

    – Gleichlast

    – Plattendicke konstant

    – w ≈ 0 an den Rändern, drillsteife Plattenecken, Plattenfelder untereinander biegesteif

    • Bestimmung der maximalen Feldmomente

    1. Berechnung der Feldmomente maf für die realen Lagerungsbedingungen für die Belastungp′ = gd +

    qd2

    (a) Bestimmung der Lagerungsbedingungen und Identifikation des Plattentyps

    (b) Bestimmung des jeweiligen Stützweitenverhältnisses des Feldes(lylx≥ 1)

    (c) mf,ix/y = p′ ·l2x/yTW

    2. Berechnung der Feldmomente mbf für allseitig gelenkige Lagerung für p′′ = ± qd2

    – Für maximales Feldmoment Feld mit + qd2 , für minimales Feldmoment Feld mit −qd2 be-

    lasten

    3. mf,ges = maf +mbf

    • Bestimmung der Stützmomente

    1. Berechnung der Stützmomente mas,ij und mas,ji für die realen Lagerungsbedingungen für dieBelastung p′ = gd + qd2

    J.H. Seite 5

  • 2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN

    2. Berechnung der Stützmomente mbs,ij und mbs,ji mit Einspannungsrandbedingung an der un-tersuchten Stützung für p′′ = ± qd2

    3. ms,ij,ges = mas,ij +mbs,ij4. ms,ges = 12 · (ms,ij,ges +ms,ji,ges)– Stützmomente nicht abmindern

    • Berücksichtigung der Querdehnung: mf,x(ν 6= 0) = mf,x(ν = 0) + ν ·mf,y(ν = 0)

    – GZT: ν = 0

    – GZG: ν = 0,2

    2.1.3 Mindestbiegemomente

    • mEd,z ≥ ηz · VEd, mEd,y ≥ ηy · VEd

    2.1.4 Querkraft

    • Ermittlung der Querkraft mit Lasteinzugsflächen

    – 45◦-Winkel zwischen gleicher Lagerung, 60◦-Winkel zwischen ungleicher Lagerung

    – Bestimmung der Ordinatenwerte der resultierenden Streckenlasten: VEd = TW · pd · l (S5.54)

    • Ermittlung der Querkraft nach Platten-DG in Abhängigkeit der Lagerungsbedingung

    – q = pd · lxTW

    J.H. Seite 6

  • 2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN

    2.2 Durchstanzen• Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Verfahrens nach EC

    – Kreisförmige Stützen mit Umfang u0 ≤ 12 · d– Rechteckige Stützen mit einem Umfang u0 ≤ 12 · d und einem Verhältnis Länge zu Breite

    hb ≤ 2

    – andere Formen

    • Ermittlung des kritischen Rundschnitts u1 im Abstand a1 = 2 · d mit d = 12 (dx + dy)

    – Anwendbar bei schlanken Fundamenten (aλd > 2 mit aλ =b−c2 )

    • Einwirkende Schubspannung: νEd = β · VEdu1·d– VEd: Einwirkende Normalkraft auf Stützung

    ∗ Begrenzungslinie der Normalkraft bei Wänden/Wandecken im Abstand ∆ = 1,5 · d vonden Enden des kritischen Rundschnitts

    ∗ Fundamente: V ∗Ed = VEd −Acrit · σbg(Acrit)[= VEd(1−AcritAF

    ) für σbg = const.]

    – β berücksichtigt Exzentrizität

    ∗ Innenstütze: β = 1,1 für Stützweitenverhältnis 0,8 < leff,1leff,2 < 1,25∗ Randstütze: β = 1,4∗ Eckstütze: β = 1,5∗ Wandecke: β = 1,2∗ Wandende: β = 1,35

    J.H. Seite 7

  • 2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN

    • Durchstanzwiderstand ohne BewehrungνRd,c(u1) = CRd,c · k · (100 · ρl · fck)1/3 + 0,10 · σcp ≥ νmin + 0,10 · σcp

    – CRd,c =

    0,18γc

    für Flachdecken und Bodenplatten0,18γc·(0,1 · u0d + 0,6

    )für Innenstützen bei Flachdecken mit u0d < 4

    0,15γc

    für Fundamente

    – ρl =√ρl,x · ρl,y ≤

    0,020,50 · fcdfyd (ab ≤C30/37 relevant)∗ ρl,x/y =

    As1,vorh,x/ybeff,x/y·dx/y

    (Druckbewehrung nicht ansetzen)

    ∗ beff =

    b+ 2 · 3 · d falls Zugbewehrung nicht gleichmäßig über beff liegt1 m sonst– k = 1 +

    √200d ≤ 2

    – σcp = 12 (σcp,x + σcp,y) ≤ 2 MPa

    – νmin =

    0,0525γc · k3/2 · f 1/2ck für d ≤ 600 mm

    0,0375γc· k3/2 · f 1/2ck für d > 800 mm

    – Wenn νEd ≤ νRd,c, keine Durchstanzbewehrung erforderlich

    • Überprüfung der Druckstrebe: νEd ≤ νRd,max = 1,4 · νRd,c(u1) (günstige Plattennormalkraft darfnicht angesetzt werden)

    • Berechnung der erforderlichen Durchstanzbewehrung

    – Grundbewehrung je Reihe: Asw,i =(νEd(u1)−0,75·νRd,c)·sr·u1

    1,5·fywd,ef ·sinα

    ∗ fywd,ef = 250 + 0,25d ≤ fyd (d in [mm])– Durchstanzbewehrung je Reihe

    ∗ Asw,1 = 2,5 ·Asw,i∗ Asw,2 = 1,4 ·Asw,i∗ Asw,≥3 = 1,0 ·Asw,i

    • Konstruktive Durchbildung

    – Bügelabstände

    ∗ Rad. Abstand der ersten Bewehrungsreihe von der Lasteinleitungsfläche: s0 = 0,3÷ 0,5 · d∗ Rad. Abstand jeder weiteren Bewehrungsreihe untereinander: sr ≤ 0,75 · d∗ Tan. Abstand der Bügelschenkel innerhalb u1: st ≤ 1,5 · d∗ Tan. Abstand der Bügelschenkel außerhalb u1: st ≤ 2,0 · d

    – uout = β · VEdνRd,c·d : minimaler äußerer Rundschnitt im Abstand aout =uout−u0

    2·π

    ∗ νRd,c zu berechnen wie oben mit CRd,c = 0,15γc∗ av ≥ aout − 1,5 · d: Verlegebereich· Bestimmung, wie viele Reihen angeordnet werden müssen (mindestens 2)

    – Asw,min = 0,08γc ·√fckfyk· sr · st: Mindestquerschnitt eines Bügelschenkels (→ φsw,min)

    – φsw,max = 0,05 · d– Konstruktiv erforderliche Durchstanzbewehrung: nerf,i =

    us,ist

    ∗ us,i: Umfang der Bewehrungsreihe

    – Statisch erforderliche Durchstanzbewehrung: nerf,i =4·Asw,iπ·φ2sw,gew

    J.H. Seite 8

  • 2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN

    2.2.1 Ausführliche Ermittlung des Lasterhöhungsfaktors β

    • Exzentrische Lasten bei Randstützen oder Innenstützen mit ungleichen Stützweiten

    • Vorgeschrieben, wenn ec ≥ 1,2

    Sektormodell

    • Ermittlung des Einzugsbereichs der Stütze über Querkraftnullpunkte

    – Erstellung des Querkraftverlaufs (S****) und Berechnung der Nullpunkte mit Strahlensatz →Rechteck

    • Quadrant in vier Sektoren (22,5◦) einteilen

    • Berechnung der Sektorflächen Ai als Dreiecke

    • VEd,i = Ai · pd: Maßgebende Querkraft

    • Berechnung der Teilumfangflächen Ui je Sektor

    – Im Bereich der Ecken einer Rechteckstütze ist u1 ein Kreisbogen; deshalb Winkel ϕ zwischenFundamentecke und Sektorgrenzen graphisch bestimmen → Ui = π · a1 · ϕ180◦

    • max νi = max νEd,iUi• β = max νiνEd,m

    Plastische Schubspannungsverteilung

    • β = 1 + k · MEdVEd ·u1W1

    für einachsiale Biegung

    – Kreisquerschnitt: β = 1 + MEdVEd ·0,6·πD+4d

    • β = 1 +√(

    ky · MEd,yVEd ·u1W1,y

    )2+(kz · MEd,zVEd ·

    u1W1,z

    )2für zweiachsiale Biegung

    – Rechteckquerschnitt (vereinfacht): β = 1 +√(

    MEd,yVEd·by

    )2+(MEd,zVEd·bz

    )2– k: Momentenfaktor in Abhängigkeit des Verhältnisses der Stützenabmessungen mit c1: Ab-

    messung parallel zur Lastausmittec1/c2 ≤ 0,5 1,0 2,0 ≥ 3,0k 0,45 0,60 0,70 0,80

    – W1: Statisches Moment des kritischen Rundschnitts (aus DAfStB Heft 600)

    ∗ Rechteckstützen: W1 = 12 · c21 + c1 · c2 + 4 · c2 · d+ 16 · d2 + 2 · π · d · c1

    J.H. Seite 9

  • 3 NACHWEISE IM GZG

    3 Nachweise im GZG

    3.1 Grundlagen• Bemessung im Zustand II ⇒ MEd ≥Mcr = W · fctm

    • Einwirkungskombinationen

    – Seltene Kombination: pd,rare =∑j≥1 gk,j + qk,1 +

    ∑i>1 ψ0,i · qk,i

    – Häufige Kombination: pd,frequ =∑j≥1 gk,j + ψ1,1 · qk,1 +

    ∑i>1 ψ2,i · qk,i

    – Quasi-ständige Kombination: pd,perm =∑j≥1 gk,j +

    ∑i≥1 ψ2,i · qk,i

    • Äquivalenzfaktor αe = EsEcm– Es = 200000 MPa: E-Modul des Stahls

    • Druckzonenhöhe xq mit Tafeln von Dutulescu (Biegung mit/ohne Normalkraft; Balken/Plattenbalken)

    – Rechteckbalken unter reiner Biegung ohne Druckbewehrung: xq = αe·As1b ·(−1 +

    √1 + 2·b·dαe·As1

    )– Plattenbalken mit Platte unter Zug: b = bw, Berechnung als Rechteckquerschnitt

    – Für Biegung und Normalkraft evtl. Polynom 3. Grades zu approximieren: xq,i+1 = xq,i− f(xi)f ′(xi)

    • Innerer Hebelarm: zq = d− 13xq

    • Effektive Betonzugfläche: Ac,eff = b · hc,ef

    – Biegung: hc,ef = d1 ·

    2,5 für hd1 ≤ 10(2, 5 + 0,05 · ( hd1 − 10)) für 10 <

    hd1< 60

    5 für hd1 ≥ 60

    ≤ 13 (h− xq)

    – Gesamter QS unter Zug: hc,ef,ges = 2 · d1 ·

    2,5 für hd1 ≤ 5(2, 5 + 0,1 · ( hd1 − 5)) für 5 <

    hd1< 30

    5 für hd1 ≥ 30

    ≤ hJ.H. Seite 10

  • 3 NACHWEISE IM GZG

    – hc,ef = 2,5 · d1 immer für dünne Bauteile– In Plattenbalken mit Platte unter Zug: b = 2 · (beff,i + 1,5 · d1) + bw

    • Spannungsberechnung im Zustand II

    – Reine Biegung

    ∗ Betonrandspannung: σc = −MEdIi · xq[= − 2·MEdbeff ·xq·zq

    ]∗ Stahlspannung: σs1 = MEdzq·As1

    – Biegung und Normalkraft

    ∗ σc = −Ec · χ · xq· Krümmung χ = − NEdEc·Si,NL [m

    −1]

    mit Si,NL: Statisches Moment bez. auf Nulllinie (nach Dutulescu)∗ σs1 = Es · χ · (d− xq)∗ σs2 = −Es · χ · (xq − d2)

    • Spannungsberechnung für Plattenbalken im Zustand I (für Mindestbewehrung)

    1. Bestimmung des Schwerpunkts

    2. Zerlegen des Plattenbalken in Teilquerschnitte (Steg + Gurte)

    3. Am Zugrand Betonzugfestigkeit fct,eff4. Berechnung der Druckspannung am Druckrand über Strahlensatz (lineare Spannungsvertei-

    lung)

    5. Analog Berechnung der Spannungen in den Schwerpunkten der Teilquerschnitte

    3.2 Begrenzung der Spannungen• σc,rare ≤ 0,6 · fck ⇒ keine Längsrisse in der Druckzone

    • σc,perm ≤ 0,45 · fck ⇒ kein nichtlineares Kriechen

    • σs,rare ≤ 0,8 · fyk ⇒ keine plastischen Verformungen

    3.3 Begrenzung der Rissbreiten3.3.1 Rissbreitennachweise für äußere Einwirkungen

    Direkte Berechnung der Rissbreite

    • Berechnung für die quasi-ständige Einwirkungskombination

    • Differenz der mittleren Dehnungen: εsm − εcm = max

    1Es·[σs − 0,4 · fct,effeff ρ · (1 + αe · eff ρ)

    ]0,6 · σsEs

    – Effektive Zugfestigkeit fct,eff = fctm i. d. R. für äußere Lasten

    – Effektiver Bewehrungsgrad eff ρ = AsAc,eff

    • Rissabstand sr,max = min

    φs

    3,6·eff ρ (abgeschlossene Rissbildung)σs·φs

    3,6·fct,eff (Einzelrissbildung)

    • Rissbreite wk = sr,max · (εsm − εcm) [mm]

    • Nachweis: wk ≤

    0,4 mm für X0, XC10,3 mm sonst

    J.H. Seite 11

  • 3 NACHWEISE IM GZG

    Rissbreite über Grenzdurchmesser der Bewehrung

    • φ∗s in Abhängigkeit von σs,perm und werl

    – φ∗s = wk ·3,48·106σ2s

    • φs = φ∗s ·max

    σs·As14·(h−d)·b·2,9fct,eff2,9

    , verpflichtend bei fct,eff < 2,9 MPa, optional bei fct,eff > 2,9 MPa

    • Nachweis: φsl,vorh ≤ φs

    Rissbreite über Stababstände

    • Nachweis: sl,vorh ≤ sl,max

    3.3.2 Mindestbewehrung für Zwang

    • erfAs = kc · k · fct,eff · Actσs

    – fct,eff ={

    0,5 · fctm für Zwang im frühen Betonalter (Hydratation)fctm ≥ 3,0 MPa für Zwang nicht mit Sicherheit innerhalb 28 Tagen

    – kc =

    0,4 ·[1− σck1·fct,eff

    ]≤ 1,0 für rechteckige QS und Stege von Plattenbalken

    0,9 · Fcr,GurtAct·fct,eff ≥ 0,5 für Zuggurte von Plattenbalken

    ∗ σc: Betonspannung in Schwerelinie des (Teil-)Querschnitts (Druck positiv)

    ∗ k1 =

    1,5 · hh∗ für Drucknormalkraft23 für Zugnormalkraft

    ∗ h∗ ={h für h < 1 m1 m für h ≥ 1 m

    J.H. Seite 12

  • 3 NACHWEISE IM GZG

    ∗ kc ={

    0,4 für reine Biegung1,0 für zentrischen Zug

    ∗ Fcr,Gurt = σc,Gurt · hGurt · (beff − bw) (wenn Gurt komplett unter Zug)

    – k =

    0,8 für inneren Zwang und h ≤ 300 mm0,52 für inneren Zwang und h ≥ 800 mm1,0 für äußeren Zwang

    ∗ h ist der kleinere Wert von Höhe und Breite des (Teil-)Querschnitts– Act: Betonzugquerschnittsfläche des (Teil-)Querschnitts

    – σs =√wk · 3,48·10

    6

    φ∗s≤ fyk

    ∗ φ∗s = φs ·2,9

    fct,eff

    • Mindestbewehrung infolge Hydratation erforderlich, wenn εt = ∆T · αT ≥ εc = fct,effEc

    – αT ≈ 1 · 10−5 K−1

    • Mindestbewehrung in Plattenbalken außerhalb des Wirkungsbereichs der Bewehrung aus GZT(2,5 · d1) verlegen und über die Höhe der Zugzone verteilen

    3.4 Begrenzung der Verformungen3.4.1 Indirekte Berechnung

    • zul ld =

    K ·

    [11 + 1,5 ·

    √fck · ρ0ρ + 3,2 ·

    √fck ·

    (ρ0ρ − 1

    )1,5]für ρ ≤ ρ0

    K ·[11 + 1,5 ·

    √fck · ρ0ρ−ρ′ +

    112 ·√fck ·

    √ρ′

    ρ0

    ]für ρ > ρ0

    – l: Maßgebende Stützweite

    ∗ bei zweiachsig gespannten Platten der kleinere Wert für lK∗ bei dreiseitig gelagerten Platten die Stützweite parallel zum freien Rand∗ bei Flachdecken der größere Wert für lK

    – ρ = As1Ac : erforderlicher Zugbewehrungsgrad in Feldmitte/an der Einspannung für das Bemes-sungsmoment

    – ρ0 = 10−3 ·√fck: Referenzbewehrungsgrad

    – ρ′ = As2Ac : erforderlicher Druckbewehrungsgrad

    – K: Beiwert für verschiedene statische Systeme (rechts: Werte für ld )

    ∗ Verwendung der Tabellenwerte für Stützweitenverhältnisse 0,8 < leff,1leff,2 < 1,25

    ∗ Für andere Verhältnisse Berechnung mit lK : Abstand der Momentennullpunkte

    J.H. Seite 13

  • 3 NACHWEISE IM GZG

    • Erhöhung von zul ld um Faktor310

    σs,perm≥ 1

    – σs,perm ≈ MEd,permMEd ·As,erfAs,vorh

    · fyd

    • Abminderung von zul ld um

    – 0,8 für gegliederte Querschnitte mit bbw > 3

    – 7leff [m] für Balken und Platten mit leff > 7 m, die leichte Trennwände tragen, die durchübermäßige Durchbiegung beschädigt werden können

    – 8,5leff [m] für Flachdecken mit leff > 8,5 m, die leichte Trennwände tragen, die durch übermäßigeDurchbiegung beschädigt werden können

    • NW: zul ld ≥ vorhld

    • Zusätzlich nach NA: ld ≤

    K · 35 allgemeinK2 · 150l wenn verformungsempfindliche Bauteile beeinträchtigt werden• Wenn NW nicht eingehalten, As1 erhöhen oder direkte Berechnung durchführen.

    3.4.2 Direkte Berechnung

    • Berücksichtigung des Kriechens durch Modifikation des Beton-E-Moduls: Ec,eff = Ecm1+ϕ(∞,t0)

    – Berechnung von h0 = 2 · Acu mit u: Umfangslänge des QS, die dem Trocknen ausgesetzt ist– Ablesen der Kriechzahl ϕ in Abhängigkeit der relativen Luftfeuchte, des Belastungsalters t0,

    der Zementart, der Betonfestigkeitsklasse und h0 aus Anhang

    – Nichtlineares Kriechen, wenn σc,perm > 0,45 · fck (siehe Abschnitt 3.2):ϕnl(∞, t0) = ϕ(∞, t0) · exp(1,5 · (kσ − 0,45)) mit kσ = σcfck(t0)

    • Berücksichtigung des Schwindens über Endschwinddehnung εcs = εcd + εca

    – εcd(t) = βds(t, ts) · kh · εcd0: Trocknungsschwinden∗ εcd0

    ∗ khh0 [mm] 100 200 300 ≥500kh 1,0 0,85 0,75 0,70

    ∗ βds(t, ts) = t−ts(t−ts)+0,04·h1,50→ 1,0 für t→∞ (ts: Endzeitpunkt der Nachbehandlung)

    – εca = βas(t) · εca(∞)∗ εca(∞) = 2,5 · (fck − 10) · 10−6

    ∗ βas(t) = 1− exp(−0,2 ·√t)→ 1,0 für t→∞

    • Mcr = fctm ·W

    • αe =Es[,mod]Ec,eff

    – Es,mod = Es1−0,4·

    Ac,eff ·fctmAs1·Es·εs

    (darf vernachlässigt werden)

    J.H. Seite 14

  • 3 NACHWEISE IM GZG

    • κp = κp,L+K + κp,S : Verkrümmung im Zustand I

    – κp,L+K =MEd,permEc,eff ·Ii Verkrümmung infolge Last und Kriechen

    ∗ Ii = I +As1 · e2s1 = bh3

    12 +As1 · (h2 − d1)

    2: ideelles FTM

    – κp,S = εcs · αe · SIi : Verkrümmung infolge Schwinden

    ∗ S = As1 · zs1 = As1 · (d− h2 )

    • κq = κq,L+K + κq,S : Verkrümmung im Zustand II

    – Bestimmung von xq, zq und Iq nach Dutulescu

    – κq,L+K = εsd−xq =MEd,perm

    As1·zq·Es·(d−xq)

    – κq,S = εcs · αe · SIq = εcs · αe ·As1 ·d−xqIq

    • ζ = 1− β ·(

    McrMEd,perm

    )2: Gerissener Querschnittsanteil

    – β ={

    0,5 für Langzeiteinwirkungen1,0 für Kurzzeiteinwirkungen

    • κ = ζ · κq + (1− ζ) · κp

    • vorh w = K · κ · l2eff : Vorhandene Durchbiegung

    – K in Abhängigeit des Momentenverlaufs (siehe Anhang)

    • Grenzwerte

    – Zulässiger Durchhang (algemein) w ≤ l250– Zulässige Durchbiegung bei vorformungsempfindlichen angrenzenden Bauteilen: w ≤ l500– Bei Kragträgern Bestimmung der Grenzwerte mit der 2,5-fachen Kraglänge

    • Maximale bauliche Überhöhung: w ≤ l250

    J.H. Seite 15

  • 4 BEMESSUNG VON DISKONTINUITÄTSBEREICHEN

    4 Bemessung von Diskontinuitätsbereichen

    4.1 Rahmenecke mit negativem Moment (Zug außen)• Biegebewehrung der Stütze (außen) umbiegen, in den Riegel führen und dort mit der Riegelbeweh-

    rung stoßen

    – Biegerollendurchmesser so groß wählen, wie die Platzverhältnisse zulassen, um inneren Hebel-arm zu gewährleisten

    – Mindestbiegerollendurchmesser Dmin

    ∗ Mindestwert der Betondeckung: c′ = cnom + φsw– Übergreifungslänge l0 ab Ende der Abbiegung

    ∗ Querbewehrung im Stoßbereich: Unter Zug 2× 3 Stäbe auf jeweils l03 mit Abstandssw = 150 mm und Gesamtfläche Ast ab Stoßbeginn anordnen; bei Druckstäben je einweiterer Stab im Abstand 4 · φ vor dem Stoß

    4.2 Rahmenecke mit positivem Moment (Zug innen)• Biegebewehrung der Stütze und des Riegels als Schlaufe um 180◦ umbiegen und ab Stützenmitte

    mit lbd verankern (Biegerollendurchmesser beachten)

    • Schrägbewehrung erforderlich, wenn ρ = As1,maxb·d ≥ 0,4 %

    – AsS = 12 ·As1,max– Schrägstab ab Diagonale jeweils mit lbd verankern

    – Alternativ jeweils Zulage zur Biegebewehrung von 50 %, mit lb,rqd ab Innenkante verankern

    • Im Riegel und in der Stütze Steckbügel mit Abstand s ≤ 10 cm anbringen

    – Steckbügel ab Auflagerinnenkante mit lbd verankern

    – Berechnung des Bügelquerschnitts über Umlenkkräfte (erforderlich ab h = 100 cm)

    ∗ Fcd,R = MEdzR : Riegeldruckkraft∗ Fcd,S = MEdzS : Stützenzugkraft

    ∗ Ucd =√F 2cd,R + F

    2cd,S : Umlenkkraft

    ∗ As,bü = Ucdfyd : erforderlicher Bügelquerschnitt

    • Im Riegel bis zum Abstand dR und in der Stütze bis zum Abstand dS Bügel mit Abstand s ≤ 10 cmanordnen

    4.3 Rahmenendknoten• Stützenbewehrung muss im Knoten verankert werden

    – Wenn hbeam < lbd,erf : Zulagebewehrung anordnen und am Knotenrand in beide Richtungenmit lbd verankern

    J.H. Seite 16

  • 4 BEMESSUNG VON DISKONTINUITÄTSBEREICHEN

    • Riegelbewehrung mit Mindestbiegerollendurchmesser zwei mal umbiegen und in der Riegeldruckzo-ne mit lbd verankern

    • Querkraftnachweis im Knoten

    – Vjh = Fsd,beam − |VEd,col,o|: Einwirkende Knotenquerkraft

    ∗ Fsd,beam = |MEd,beam|zbeam = fyd ·As1,erf : Stahlkraft im Riegel∗ VEd,col,o: Querkraft in der Stütze an der Oberseite des Knotens

    – Vj,cd = 1,4 ·(

    1,2− 0,3 · hbeamhcol)· beff · hcol · f

    1/4cd

    ∗ fcd = fckγc∗ 1,0 ≤ hbeamhcol ≤ 2,0: Schubschlankheit∗ beff = 12 · (bbeam + bcol) ≤ bcol: effektive Knotenbreite

    – Wenn Vjh ≤ Vj,cd nur konstruktive Steckbügel φsw = 8 mm im Abstand s ≤ 10 cm anordnenund mit lbd im Riegel verankern

    – Vj,Rd = Vj,cd + 0,4 ·Asj,erf · fyd ≤{

    2 · Vj,cdγN · 0,25 · fcd · beff · hcol

    ∗ Asj,erf : erforderliche Steckbügelbewehrung∗ γN = γN1 · γN2· γN1 = 1,5 ·

    (1− 0,8 · |NEd,col,u|Ac,col·fck

    )≤ 1,0: Einfluss der Stützendruckkraft NEd,col,u (q. s.)

    · γN2 = 1,9− 0,6 · hbeamhcol ≤ 1,0: Einfluss der Schubschlankheit

    4.4 Rahmeninnenknoten• Bewehrung darf durchlaufen

    • Nachweis der Verankerung der Riegelbewehrung im Knoten: lbd,beam ≤ hcol (auch bei durchlaufenderBewehrung)

    – Wenn lbd ≥ hcol, Zulagebewehrung anordnen, sodass NW eingehalten

    • Nachweis der Verankerung der Stützenbewehrung im Knoten: lbd,col ≤ hbeam

    • Querkraftnachweis analog Abschnitt 4.3

    – Wenn Zugseiten der Riegel entgegengesetzt: Fsd,beam =|MEd1|+|MEd2|

    zbeam

    4.5 Konsolen• Nachweis der Druckstrebe: VEd = FEd ≤ VRd,max = 0,5 · ν · b · z · fcd

    – ν = 0,7− fck200 ≥ 0,5 (fck in [MPA])

    – fcd = fckγC– z = 0,9 · d– Bestimmung der erforderlichen Mindestabmessungen: erfd = FEd · γC0,45·ν·b·fck

    • Nachweis der Zugstrebe

    – ZEd = FEd · acz0 +HEd ·aH+z0z0

    : Zuggurtkraft∗ ac: Abstand Auflagermitte – Innenkante∗ z0 = d · (1− 0,4 · VEdVRd,max ): Lage der Druckstreben∗ HEd ≥ 0,2 · FEd: Berücksichtigung behinderter Verformungen∗ aH = dL + d1 mit dL: Dicke der Lagerplatte

    – As,erf = ZEdfyd : erforderliche Zugbewehrung (oben einlegen)

    – Bewehrungsführung∗ Schlaufen mit D ≥ 4 · φ

    J.H. Seite 17

  • 4 BEMESSUNG VON DISKONTINUITÄTSBEREICHEN

    ∗ Verankerung der Zugbewehrung mit lbd ab Innenkante der Auflagerplatte· α1 = 0,7 für innen liegende Schlaufen, α1 = 0,5 für D ≥ 15 · φs; α5 = 23

    ∗ Umbiegen der Bügel mit D = 10÷ 20 · φ∗ Verankerung der Zugbewehrung mit lb,rqd in der Stütze

    • Bei abgehängten Lasten: zusätzliche Schlaufen mit As2 = 0,6·FEdfyd ·√

    ak0,85·d + 1

    – ak: Randabstand Konsolenrand – Lasteinfläche

    • erforderliche Bügelbewehrung

    – ac ≤ 0,5 · hc und VEd > 0,3 · VRd,max: geschlossene horizontale Bügel mit Asw,ges ≥ 0,5 ·As– ac ≤ 0,5 · hc und VEd < 0,3 · VRd,max: geschlossene horizontale Bügel nach konstruktiven

    Gesichtspunkten

    – ac > 0,5 · hc und VEd ≥ ·VRd,c: geschlossene vertikale Bügel mit Asw,ges ≥ 0,7 · FEdfyd– ac > 0,5·hc und VEd < VRd,c: geschlossene vertikale Bügel nach konstruktiven Gesichtspunkten

    4.6 Ausklinkungen

    • Annahme: HEd ≥ 0,2FEd

    • Abschätzung der ni Bügel der Zugstreben

    • Berechnung der Abmessungen und Winkel

    – e′ = e+ cnom + n2 · φsw +n−12 · a mit a ≥ max{φsw; dg + x; 20 mm}

    – dk = hk − cnom − φsw − 12 · φsl– zk = dk − cnom − φsw − 12 · φsl,1 (Bewehrung für Fsd,1 in einer Lage)– da = d1,u − d1,m– l′1 = da · cot θ (θ aus Querkraftbemessung)– θ1 = arctan

    (zke′

    )– θ2 = arctan

    (zkl′1

    )• Berechnung der Strebenkräfte

    – Fsd,1 = FEd · cot θ1 +HEd– Fsd,2 = FEd +HEd · 1cot θ1+cot θ2

    • As,i = Fsd,ifyd : Gesamtbewerungsfläche je Strebe

    • Überprüfung, ob Annahme der Bügelschenkel korrekt war

    • Untere Biegebewehrung mit Schlaufen stoßen und Schlaufen verankern

    J.H. Seite 18

  • 5 TORSION

    5 Torsion• Ermittlung der Torsionsmomente: S4.10 f

    • Rechteckquerschnitt vereinfacht als Hohlkasten mit tef,i = 2 · d1 berechnen

    – Ak = bk · hk = (b− tef )(h− tef ) (bezogen auf Mittellinie)– uk = 2 · (bk + hk)– Hohlkasten als Hohlkasten, wenn tw ≤ 16 max{b, h} → tef = tw

    • Schubfluss aus Querkraft und Torsion: VEd,T+V = VEd,V + VEd,T

    – VEd,V = VEd · tefb– VEd,T = TEd · zi2·Ak

    ∗ zi = max{h− tef,ib− tef,i

    }: Abstand zwischen den Mittellinien zweier gegenüberliegenden

    Hohlkastenseiten; Schubfluss an der langen Seite mit großem zi maximal

    – Betrachtung der langen Rechteckseiten, da dort Torsionsschub maximal und Querkraftschubvorhanden

    • Druckstrebenwinkel θ analog für Querkraftbemessung

    – 1,0 [≡ θ = 45◦] ≤ cot θ =1,2+1,4

    σcdfcd

    1−VRd,cc

    VEd,T+V

    ≤ 3,0 [≡ θ = 18,43◦] (für senkrechte Querbewehrung)

    ∗ für geneigte Querbewehrung: unterer Grenzwert 0,58∗ σcd = NEdAc : Druckspannung (positiv)∗ fcd = αcc · fckγc : Bemessungswert der Betondruckfestigkeit∗ VRd,cc = c · 0,48 · 3

    √fck · (1− 1,2 · σcdfcd ) · bw · z

    · c = 0.5· bw = tef,i (kleinste Breite in der Zugzone)· z = zi

    – vereinfacht: cot θ = 1.0→ θ = 45◦

    • Nachweis der Druckstreben

    – Berechnung der maximalen Querkrafttragfähigkeit

    ∗ vertikale Querbewehrung: VRd,max = 12 · αcw · bw · z · ν1 · fcd · sin 2θ∗ Um α geneigte Querbewehrung: VRd,max = αcw · bw · z · ν1 · fcd · cot θ+cotα1+cot2 θ· αcw = 1.0· ν1 = 0.75 · ν2· ν2 = 1.1− fck500 ≤ 1.0 (nur für Festigkeitsklassen größer C50/60 relevant)

    · z = min{

    0.9 · dd− 2 · cnom ≥ d− cnom − 30 mm

    }: Innerer Hebelarm

    – Berechnung der maximalen Torsionstragfähigkeit: TRd,max = ν · αcw · fcd ·Ak · tef,i · sin 2θ

    ∗ ν ={

    0,75 bei Kastenquerschnitten mit Bew. an den Außenseiten0,525 sonst

    J.H. Seite 19

  • 5 TORSION

    – Interaktionsnachweis

    ∗ Kompakt- und Vollquerschnitte:(

    TEdTRd,max

    )2+(

    VEdVRd,max

    )2≤ 1

    ∗ Kastenquerschnitte: TEdTRd,max +VEd

    VRd,max≤ 1

    • Bei rechteckigen Vollquerschnitten nur Mindestbewehrung erforderlich, wenn

    – TEd ≤ VEd·bw4,5– VEd ·

    (1 + 4,5·TEdVEd·bw

    )≤ VRd,c

    – TEdTRd,c +VEdVRd,c

    ≤ 1,0

    • Nachweis der Zugstreben: Berechnung der erforderlichen Querbewehrungsfläche

    – Querkraft: asw,V =V ∗Ed

    fyd·z·cot θ

    – Torsion: asw,T = TEd2·Ak·fyd·cot θ– asw,V+T = asw,V + 2 · asw,T (Querkraft für Gesamtquerschnitt (zweischnittig), Torsion bzgl.

    einer Wand (einschnittig)) ⇒ Gesamte Bügelbewehrung

    • Torsionslängsbewehrung: Asl,T = TEd·uk·cot θ2·Ak·fyd– Darf durch zu viel eingelegte Biegelängsbewehrung (zum Teil) abgedeckt werden– In Druckgurten entsprechend der Druckkräfte abzumindern

    • Konstruktive Durchbildung

    – Abstände aller Bügel nach Stahlbeton II∗ Berechnung des Querkraftausnutzungsgrads: VEdVRd,max∗ Bestimmung des maximalen Bügelabstands sl,max

    ∗ Bestimmung des maximalen Bügelschenkelabstands im Querschnitt st,max

    – Zusätzlich Maximalabstand der Torsionsbügel: sl ≤{uk8 ; b;h

    }– Torsionsbügel entweder als Übergreifungsstoß mit l0 schließen oder in den Ecken um 135◦

    umbiegen und mit 10φ verankern; Schlösser hintereinander versetzt anordnen– Torsionslängsbew: s ≤ 35 cm, über die Höhe zi zu verteilen, ein Stab je Ecke

    • Torsion bei zusammengesetzten Querschnitten:Aufteilung des Torsionsmoments auf Teilquerschnitte und getrennte Bemessung

    – Teilmoment: TEd,i = TEd · IT,i∑i IT,i

    – Torsionsflächenmomente: S4.29

    J.H. Seite 20

  • EN 1992-1-1:2004 + AC:2010 (D)

    a) trockene Innenräume, relative Luftfeuchte = 50%

    ANMERKUNG — der Schnittpunkt der Linien 4 und 5 kann auch über dem Punkt 1 liegen — für t0 > 100 darf t0 = 100 angenommen werden (Tangentenlinie ist zu verwenden)

    b) Außenluft, relative Luftfeuchte = 80%

    Bild 3.1 — Methode zur Bestimmung der Kriechzahl ( , t0) für Beton bei normalen Umgebungsbedingungen

    32

    DIN EN 1992-1-1:2011-01

    B55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCCB7EF86D9

    Nor

    mC

    D -

    Stan

    d 20

    12-0

    8

  • FundamenteUnbewehrte StreifenfundamenteBewehrte Einzelfundamente

    Zweiachsig gespannte PlattenSchnittgrößenermittlung zweiachsig gespannter PlattenVerfahren nach Pieper/MartensBelastungsumordnungsverfahrenMindestbiegemomenteQuerkraft

    DurchstanzenAusführliche Ermittlung des Lasterhöhungsfaktors

    Nachweise im GZGGrundlagenBegrenzung der SpannungenBegrenzung der RissbreitenRissbreitennachweise für äußere EinwirkungenMindestbewehrung für Zwang

    Begrenzung der VerformungenIndirekte BerechnungDirekte Berechnung

    Bemessung von DiskontinuitätsbereichenRahmenecke mit negativem Moment (Zug außen)Rahmenecke mit positivem Moment (Zug innen)RahmenendknotenRahmeninnenknotenKonsolenAusklinkungen

    Torsion