BENTUK KANONIK DAN BENTUK BAKU - … · Bentuk Kanonik yaitu “Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS dengan minterm atau maxterm mempunyai literal yang lengkap”

TEKNIK DIGITAL

TEKNIK ELEKTRO UAD | RELiF Corp. 1

=== BENTUK KANONIK DAN BENTUK BAKU ===

Bentuk Kanonik yaitu “Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS

dengan minterm atau maxterm mempunyai literal yang lengkap”.

Bentuk Baku yaitu “Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS

dengan minterm atau maxterm mempunyai literal yang tidak

lengkap”.

SOP (Sum of Product) atau yang diistilahkan dengan jumlah dari hasil perkalian.

POS (Product of Sum) atau yang diistilahkan dengan perkalian dari hasil penjumlahan.

Untuk mendapatkan ekspresi Boolean, yang diperhatikan hanyalah “keluaran yang bernilai

1”. Suku-suku bentuk SOP disebut minterm.

Untuk mendapatkan ekspresi Boolean, yang diperhatikan hanyalah “keluaran yang bernilai

0”. Suku-suku bentuk POS disebut maxterm.

Menggunakan Tabel Kebenaran

Tabel kebenaran adalah tabel yang memuat semua kemungkinan atau kombinasi

masukan serta keluaran dari kombinasi tersebut.

Secara umum tabel kebenaran yang memiliki “n” buah masukan mempunyai “2n”

kombinasi masukan yang mungkin, jika kondisi keluaran yang diharapkan dari

rangkaian logika diberikan untuk semua kemungkinan kondisi masukan, maka hasilnya

dapat diperlihatkan dalam tabel kebenaran.

Contoh:

1. 1) Buatlah ekspresi Boolean dalam bentuk SOP dan POS dari tabel kebenaran ini.

A B C Y

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Penyelesaian:

a) Dalam bentuk SOP, maka yang dilihat adalah Y = 1.

A B C Y

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Y = ( CBA .. ) + ( CBA .. ) + ( CBA .. ) + ( CBA .. )

CBA ..

CBA ..

CBA ..

CBA ..

TEKNIK DIGITAL


Y = y1 + y3 + y5 + y7

Y = y (1,3,5,7)

b) Dalam bentuk POS, maka yang dilihat adalah Y = 0.

A B C Y

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Y = ( CBA ) . ( CBA ) . ( CBA ) . ( CBA )

Y = y0 . y2 . y4 . y6

Y = y (0,2,4,6)

Jadi Y = y (1,3,5,7) = y (0,2,4,6)

2. Buatlah suatu rangkaian gerbang logika sederhana sebagai alat pengamanan lemari

untuk menyimpan dokumen penting pada suatu BANK yang mempunyai 3 buah

kunci pembuka, lemari tersebut dapat dibuka bila minimal oleh 2 orang direktur

yang memiliki kunci pembuka.

Pernyelesaian:

Dari soal menunjukkan bahwa lemari akan terbuka jika minimal 2 orang dari 3

orang yang ada (dapat menggunakan SOP).

a) Masukan (nilai “0” berarti tidak ada orang sedang nilai “1” berarti ada orang).

b) Keluaran (nilai “0” berarti pintu tertutup sedang nilai “1” berarti pintu terbuka).

Tabel kebenarannya:

A B C Y

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

Y = ( CBA .. ) + ( CBA .. ) + ( CBA .. ) + ( CBA .. )

Y = y3 + y5 + y6 + y7

Y = y (3,5, 6,7)

CBA

CBA

CBA

CBA

CBA ..

CBA ..

CBA ..

CBA ..

TEKNIK DIGITAL


Gambar rangkaian logikanya:

Bentuk Kanonik

Beberapa bentuk kanonik fungsi Boolean 3 masukan variabel:

a). Y = ( CBA .. ) + ( CBA .. ) + ( CBA .. ) + ( CBA .. ) SOP (outputnya “1”)

b). Y = ( CBA ) . ( CBA ) . ( CBA ) . ( CBA ) POS (“0”)

Contoh:

1). Nyatakan fungsi Boolean Y (x, y, z) = ( x + y ) . ( y + z ) dalam bentuk kanonik

SOP dan POS.

Penyelesaian:

a) Diambil suku ( x + y ) yang artinya jika nilai masukan 0 1 -, maka Y = 0 (POS)

x y z Y

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

b) Diambil suku ( y + z ) yang artinya jika nilai masukan - 1 0, maka Y = 0 (POS)

A B C

CBA ..

CBA ..

CBA ..

CBA ..

Y = ( CBA .. )+( CBA .. )+( CBA .. )+( CBA .. )

TEKNIK DIGITAL


Semua suku telah dimasukan ke tabel kebenaran, nilai Y

(keluaran) yang belum terisi akan berharga 1, sehingga

tabel kebenarannya menjadi:

Berdasarkan tabel kebenaran, maka:

Bentuk SOP-nya (minterm) adalah

Y (A, B, C) = y (0, 1, 4, 5, 7)

Bentuk POS-nya (maxterm) adalah

Y (A, B, C) = y (2, 3, 6)

2). Buatlah tabel kebenaran dari fungsi berikut ini: Y = ( A + A B + AB C )

Penyelesaian:

a) Diambil suku AB C yang artinya jika nilai masukan 1 1 0, maka Y = 1 (SOP)

A B C Y

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

b) Diambil suku A B yang artinya jika nilai masukan 1 0 -, maka Y = 1

A B C Y

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

c) Diambil suku A yang artinya jika nilai masukan 0 - -, maka Y = 1

x y z Y

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

A B C Y

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

TEKNIK DIGITAL


Semua suku telah dimasukan ke tabel kebenaran, nilai Y

(keluaran) yang belum terisi akan berharga 1, sehingga tabel

kebenarannya menjadi:

Berdasarkan tabel kebenaran, maka:

Bentuk SOP-nya (minterm) adalah

Y (A, B, C) = y (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)

Bentuk POS-nya (maxterm) adalah

Y (A, B, C) = y ( 7 )

Konversi Antar Bentuk Kanonik

Apabila f ( x, y, z ) = ( 1, 2, 5, 7 ) dan f ‟ adalah fungsi komplemen dari f, maka

f „ ( x, y, z ) = ( 0, 3, 4, 6 ) = y0 + y3 + y4 + y6.

Dengan menggunakan hukum De Morgan, maka diperoleh fungsi f dalam bentuk POS

sebagai berikut:

f ( x, y, z ) = (f „( x, y, z ))‟ = (y0 + y3 + y4 + y6 )‟ = y0‟ y3‟ y4‟ y6‟

= (x‟y‟z‟)‟ (x‟y z)‟ (x y‟z‟)‟ (x y z‟)‟

= ( x + y + z ) ( x + y‟ + z‟ ) ( x‟ + y + z‟ ) ( x‟ + y‟ + z )

= y0 y3 y4 y6

= y ( 0, 3, 4, 6 )

Jadi f ( x, y, z ) = y ( 1, 2, 5, 7 ) = y ( 0, 3, 4, 6 )

Contoh: Nyatakan fungsi dibawah ini.

a) f ( x, y, z ) = y ( 0, 2, 4, 5 ) dalam bentuk SOP.

b) g ( w, x, y, z ) = y ( 1, 2, 5, 6, 10, 15 ) dalam bentuk POS.

Penyelesaian:

a) f ( x, y, z ) = y ( 1, 3, 6, 7 ).

b) g ( w, x, y, z ) = y ( 0, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14 )

Bentuk Baku

Beberapa bentuk baku fungsi Boolean 3 variabel:

a). Y = ( CBA .. ) + ( BA. ) + ( CA. ) (Bentuk baku dalam bentuk SOP)

b). Y = ( BA ) . ( CBA ) . ( CB ) (Bentuk baku dalam bentuk POS)

A B C Y

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

A B C Y

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

TEKNIK DIGITAL


=== PETA KARNAUGH (K-MAP) ===

Peta Karnaugh adalah metode untuk menyederhanakan rangkaian logika.

Peta Karnaugh (K-map) mirip dengan tabel kebenaran yang menampilkan keluaran

persamaan Boolean untuk tiap kemungkinan kombinasi variabel masukkan, menentukan

jumlah sel identik dengan mencari jumlah kombinasi sebuah tabel kebenaran.

1. Variabel yang mempunyai 2n kotak (n adalah banyaknya masukkan), dimana dalam

kotak-kotak atau sel-sel tersebut merupakan kombinasi masukkan yang terjadi.

Misal: a). 2 variabel masukkan membutuhkan 22 atau 4 sel (kombinasi yang terjadi).

b). 3 variabel masukkan membutuhkan 23 atau 8 sel (kombinasi yang terjadi).

c). dan seterusnya.

Contoh berbagai variabel pada Peta Karnaugh:

2. Peta Karnaugh dapat digunakan untuk:

a). Menyederhanakan rangkaian (miniaturisasi).

b). Merancang rangkaian.

Langkah-Langkah Penyederhanaan Peta Karnaugh

1). Masukan keluaran sesuai dengan nomor minterm atau maxterm.

2). Untuk penyederhanaan, kelompokkan yang minterm bernilai 1 untuk SOP atau

maxterm yang bernilai 0 untuk POS.

3). Setiap kelompok harus berkelipatan 2n yaitu: 2, 4, 8, 16, dan seterusnya.

4). Usahakan mencari kelompok terbesar terlebih dahulu, lalu mencari kelompok yang

lebih kecil.

a b

c

d

4-Input

Function

3-Input

Function

a

b

c

y y

ab

00 01 11 10

0

1

c ab

00 01 11 10 cd

00

01

11

10

Karnaugh Map

ab

00 01 11 10

1 y a

b & a b y

0 0 0

0 1 0 1 0 0

1 1 1

Truth table

TEKNIK DIGITAL


Peta Karnaugh Dengan 2 Variabel Masukan (22 = 4)

Aturannya yaitu:

a. Dalam masing-masing kotak kombinasi yang terjadi adalah AND GATE.

b. Antar kotak mempunyai hubungan OR GATE.

Contoh:

a). Dari gerbang OR.

Persamaan keluaran dapat ditulis sebagai berikut:

X = A + B = 1

= A ( B + B ) + B ( A + A )

= AB + A B + AB + A B

= AB + A B + A B

b). Dari gerbang EX-OR.

Untuk X = A B + AB Untuk X = A B + A B + AB

1). Aturan miniaturisasi untuk 2 variabel masukan.

Bila 4 kotak dari K-Map terisi bernilai “1” semua, maka persamaan tersebut adalah 1

(X = 1).

X = A B + A B + A B + AB = A ( B + B ) + A ( B + B ) = A + A = 1

0 1

0

00

AB “0”

10

BA “2”

0 1 00 01 11 10 0 1

0 0 2 AB BA AB BA 0 00 10

1 1 3 “0” “1” “3” “2” 1 01 11

1

01

BA “1”

11

AB “3”

A

B A

B

A

B

A

B

B A

X = A+B

= AB

0

1

A B 1 0

1

1 1

0

1

A

B 1 0

AB BA 1

AB 1

BA

1

B A X = A B + A B 0

1

A B 1 0

1

1

0

1

A B 1 0

1 1

1 0

1

A B 1 0

1

1

TEKNIK DIGITAL


2). Pernyataan persamaan Bokan dari 2 kotak yang berdekatan (bukan bersilangan), dapat

disederhanakan dari 2 komponen menjadi satu kombinasi persamaan Bokan.

X = A B + A B

= A ( B + B )

= A

X = A B + A B = B ( A + A ) = B

X = A B+ AB = B ( A + A ) = B

Contoh:

Perhatikan peta disamping berikut ini, fungsi yang diplot

ialah: Z = f (A,B) = A B +AB

Penyelesaian:

Dari lingkaran di atas, terlihat bahwa semua nilai 1 berada bagian A, Karenanya keluaran

berupa A dan nilai B hilang. Dengan simplifikasi aljabar, dapat juga ditemukan

penyederhanaan persamaan di atas sebagai berikut: Z = A B +AB = A( B +B) = A.

Contoh:

Perhatikan ekspresi Z = f (A,B) = A B +A B + A B

yang diplot di Peta Karnaugh ini.

Penyelesaian:

Pasangan 1 dikelompokkan seperti gambar di atas, dan jawaban diperoleh dengan melihat

nilai 1 yang masuk ke kelompok lingkaran yang menyebabkan nilai A dan B hilang.

Hasil dari penyederhanaan persamaan di atas ialah: Z = A + B .

0

1

A

B 1 0

AB 1

BA

1

B

B

A

A

0

1

A

B 1 0

AB BA

1

AB

1 BA

1

B

B

A A

0

1

A

B 1 0

1

1

0

1

A

B 1 0

1

1

1

TEKNIK DIGITAL


AB

C


Aturannya yaitu:

a. Seluruh kotak (8 kotak) dapat disederhanakan dengan F = 1.

b. 4 kotak dapat disederhanakan dari 3 variabel menjadi 1 variabel.

c. 2 kotak dapat disederhanakan dari 3 variabel menjadi 2 variabel.

Dari 2 buah peta Karnaugh di atas dapat disederhanakan menjadi sebagai berikut:

Contoh:

Sederhanakan persamaan menggunakan Peta Karnaugh dari soal berikut:

1. Z = f (A,B,C) = A B C + A B + AB C + AC

2. Z = f (A,B,C) = A B + B C + BC + A B C

Penyelesaian:

1. Z = f (A,B,C) = A B C + A B + AB C + AC

Menggunakan aturan simplifikasi, hasil persamaan yang telah disederhanakan ialah: B.

2. Z = f (A,B,C) = A B + B C + BC + A B C

00 01 11 10

0

000

ABC

“0”

010

CBA

“2”

110

CAB

“6”

100

CBA

“4”

1

001

BCA

“1”

011

BCA

“3”

111

ABC

“7”

101

CBA

“5”

C

0

1

1

1

1

1

1

AB

00 01 11 10

F = A + BC

= A(B+ B ) + BC (A+ A )

= AB + A B + ABC + A BC

= AB (C+ C ) + A B (C+C ) + ABC + A BC

= ABC + AB C + A B C + A B C + ABC + A BC

Jadi F = ABC + AB C + A B C + A B C + A BC

C

0

1

AB

00 01 11 10

C

C

A A

B B B AC

BC

BA

C

0

1

AB

00 01 11 10

1

1

1

1

F = A B C + A B C + ABC + A BC

= A B + AC + BC C

0

1

AB 00 01 11 10

1

1

1

1

C

C

A A

B B

B

AC

BC

BA

TEKNIK DIGITAL


Menggunakan aturan simplifikasi, hasil persamaan yang disederhanakan ialah: B+A C .


Aturannya yaitu:

a. Seluruh kotak (16 kotak) dapat disederhanakan dengan F = 1.

b. 8 kotak dapat disederhanakan dari 4 variabel menjadi 1 variabel.

c. 4 kotak dapat disederhanakan dari 4 variabel menjadi 2 variabel.

d. 2 kotak dapat disederhanakan dari 4 variabel menjadi 3 variabel.

Pengelompokan Minterm

1). Pengelompokan dua-an (n = 1), yang perlu diperhatikan adalah variabel yang tidak

berubah.

2). Pengelompokan empat-an (n = 2), yang perlu diperhatikan adalah variabel yang tidak

berubah.

DCBA DCBA DCAB DCBA

DCBA DCBA DCAB DCBA

CDBA BCDA ABCD CDBA

DCBA DBCA DABC DCBA

CD

00

01

11

10

AB 00 01 11 10

0000

“0”

0010

“2”

0011

“3”

0001

“1”

0100

“4”

0110

“6”

0111

“7”

0101

“5”

1100

“12”

1110

“14”

1111

“15”

1101

“13”

1000

“8”

1010

“10”

1011

“11”

1001

“9”

CD

AB A A

D

D

D

B B

B

C

C

1 1

1 1

1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

DCA

DCA

CBA

1

1 1 1

1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC BA

DA

1 1

TEKNIK DIGITAL


3). Pengelompokan delapan-an (n = 3), yang perlu diperhatikan adalah variabel yang tidak

berubah.

4). Pengelompokan enam belas-an (n = 4), yang perlu diperhatikan adalah variabel yang

tidak berubah.

Peristiwa Tumpang Tindih (Overleaping)

a). Tanpa tumpang tindih

b). Dengan tumpang tindih

Dari gambar-gambar di atas nampak bahwa dengan menggunakan peristiwa tumpang

tindih persamaan menjadi lebih sederhana.

1

1

1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

A

1

1

1

1

1

1

1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

C

1

1

1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

1),,,( DCBAf

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

BA 1

1 1

1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

1

DBA DBA DBA

1

1 1

1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

1

1

1 1

1

1

1

B

BA

1

1 1

1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

1

DA D

1

1 1

1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

1

1

1 1

1

1

1

B

TEKNIK DIGITAL


Peristiwa Penggulungan (Rolling)

a). Penggulungan dua-an (n = 1) b). Penggulungan delapan-an (n = 3)

c). Penggulungan empat-an (n = 2)

Peristiwa Kelebihan Pengelompokan (Redundant)

Peristiwa redundant adalah pengelompokan kembali semua suku baik minterm ataupun

maxterm yang sudah dikelompokkan.

a). Tidak terjadi kelebihan pengelompokan

DBA

1

1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC 1

DCB

D

1 1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC 1

1 1

1 1

DB

1

1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC 1

DB

1

1

1 1

DB

1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

1

1

DBA

CBA

1 1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

1

CA 1 1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

1

1

1

1

1 CB

TEKNIK DIGITAL


b). Terjadi kelebihan pengelompokan

Suku ini redundant : DCA Suku ini redundant : BA

Contoh:

1). Sederhanakan dengan K-Map tabel berikut ini:

A B C Y

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Penyelesaian:

2). Y (A,B,C,D) = y (0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) sederhanakan dengan K-Map:

Penyelesaian:

CBA

DBA

1 1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

1

CA

1 1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

1

1

1

1

1 CB

AB

1 1

BA BA AB BA

C

C

CB

1

1

Y(A, B, C) = CB + AB

Y(A,B,C,D) = C + DA + DB

DA

C 1

1

1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

1

1

1

1

1 1 1

DB

TEKNIK DIGITAL


3). Y(A,B,C) = A B C + A B C + A B C + ABC sederhanakan dengan K-Map:

Penyelesaian:

Kondisi Tidak Peduli (Don’t Care)

Suatu kondisi dimana keluaran suatu rangkaian logika sembarang (“1” atau “0”) yang

tidak mempengaruhi kerja dari sistem rangkaian tersebut, kondisi ini dapat

menyebabkan can’t happen (keadaan tak pernah terjadi) dan juga dapat menyebabkan

keadaan redundant (kelebihan suku).

Langkah-langkah penyederhanaan:

a). Suku-suku pada K-map berisi kondisi don’t care diberi tanda “d”.

b). “d” boleh bernilai “0” atau “1”.

c). “d” dipakai hanya bila menyumbang penyederhanaan.

Contoh:

1). Cara kerja suatu rangkaian logika dapat dijelaskan pada tabel kebenaran berikut ini.

A B C Y

0 0 0 d

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 d

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 d

Penyelesaian:

a). Tanpa memanfaatkan kondisi don’t care: Y(A,B,C) = CB + CBA

b). Dengan memanfaatkan kondisi don’t care: Y(A,B,C) = C + BA

Y(A,B,C) = CB + AC

AC

1

1

BA BA AB BA

C

C

CB

1

1

Tentukan fungsi Boolean yang telah

disederhanakan dengan:

a). Tanpa memanfaatkan kondisi don’t care.

b). Dengan memanfaatkan kondisi don’t care.

1

BA BA AB BA

C

C CB 1

1 CBA

C

BA

1

BA BA AB BA

C

C 1 d d

d 1

TEKNIK DIGITAL


2). F(A,B,C,D) = y ( 1, 3, 7, 11, 15 ) + d ( 0, 2, 5 ), tentukan persamaan Booleannya.

3). F(A,B,C,D) = y (0,3,4,7,13) . d(1,2,5,6,9), tentukan persamaan Booleannya.

F(A,B,C,D) = BA + DC

1

1 1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

d

1 1

d

d

F(A,B,C,D) = CA + DA 1

1

BA BA AB BA

DC

DC

CD

DC

d

1

1

d d

1 1 d d

Documents

BENTUK KANONIK DAN BENTUK BAKU - … · Bentuk Kanonik yaitu “Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS dengan minterm atau maxterm mempunyai literal yang lengkap”