Mechanics of Fluid T 139

Weitergehende Rechnungen fur den inneren Bereich ergeben schliefilich effektive Schwankungsgeschwin- digkeiten in Stromungsrichtung - jeweils bezogen auf das zeitlich gemittelte, linear mit dem Wandabstand zunehmende Geschwindigkeitsfeld - die ein Verhalten

aufweisen, in Ubereinstimmung rnit unserer Interpretation der Ergebnisse aus [l] und [2]. Die GroBen A und B in dieser Darstellung sind Konstanten.

Bezuglich einer ausfuhrlichen Diskussion der Untersuchungen wird auf den Bericht [3] des Autors verwiesen.

Literatur 1 ECKELYANN, H., Experimentelle Untersuchungen in einer turbulenten Kanalstromung mit starken viskosen Wandschichten.

2 KREFLIN, H.-P., ECRELDTANN, H., Das Verhalten der Liingsschwankungen der Geschwindigkeit einer turbulenten Wand-

3 OBERMEIER, F., Einige theoretische Bemerkungen zum Verhalten der viskosen Wandstromung turbulenter Grenxschichten.

Mitteilungen aus dem MPI fur Stromungsforschung und der AVA, Gottingen, Nr. 48 (1970).

stromung in Wandniihe. Dieses Sonderheft, s. T 129.

MPI fur Stromungsforschung, Bericht 8 (1973).

Anschrijt: Dr. FRANK OBERMEIER, Max-Planck-Institut fur Stromungsforschung, 34 Gottingen, BottingerstraSe 6/8, BRD

ZAMM 64, T 139 -T 141 (1974)

0. OHTMER

Berechnung von zwei- und dreidimensionalen Stromungsproblemen nach der Substructure-Theorie rnit isoparametrischen finiten Elementen

Nach [ 11 konnen die Verfahren von RITZ, TREFFTZ, GALEREIN, sowie die Methode der kleinsten Quadrate in das Prinzip der gewichteten Residuen eingeordnet werden.

Bei linearen Potentialstromungen kann das zugehorige skalare Randwertproblem wie in (1) beschrieben werden, (vgl. (11) in [l]).

. ae rnit - = (V& auf r, an

US = Gewichtsfunktion an der Stutzstelle p, 0 = Niiherungswerte der Potentialfunktion, q = Quellfunktion, n = au5ere Normalenrichtung.

Die Idealisierung des Kontinuums erfolgt nun nach der Finite-Element- Methoda, indem man das Gebiet % aus finiten Elementen, z. B. aus krummli- nig berandeten isoparametrischen Elementen mit 20 Knotenpunkten wie in Rild 1 aufbaut. Nach [3] gilt im j-ten Element

20

a = l e , = ~ N a ~ . (2)

Setzt man nun (2) in (1) ein und erfullt damit (1) in jedem Element, SO erhalt man wie in [l] das lineare Gleichungssystem in (3). Bei kompressiblen Stromungen steht fur (1) ein nichtlinearer Ausdruck und man erhiilt ein nichtlineares Gleichungssystem nild 1

cm1 = {f7 * (3)

Der Vektor (8) enthiilt die unbekannten Ordinaten @. Im Gegensatz zu allen Singularitatenverfahren (vgl. z. B. [5]) hat die Energiematrix [K] in (3) stets Bandstruktur und ist symmetrisch, wenn man US wie in (4) dofiniert,

Nicht wirbelfreie Stromungen sind als vektorielles Randwertproblem zu definieren. Das zu losende Gleichungs- system, das dann als Unbekannte die Geschwindigkeiten enthiilt, hat auch stets Bandstruktur. Definiert man die Gewichtsfunktionen V{ und Vf wie in ( 5 ) und behandelt sie nicht als Konstanten wie in [I], so ist das Glei-

UP = NP = Interpolationspolynome. (4)

T 140 Fluidmechanik -- -

chungssystem im Gegensatz zu [ 11 und [2] beziiglich der Untermatrizen pro Knotenpunkt schiefsymmetrisch, avs avs

( 5 ) -2 =a = NS, k = 1, 2, 3 . ax, ax# Zur Losung linearer Gleichungssysteme in der Stromungsmechanik empfiehlt es sich aus Kostengriinden,

wie in der Strukturmechanik die Substructure-Theorie anzuwenden. Wird das Eliminationsverfahren von GAUSS zur Losung angewendet, unterscheidet sich die Substructure-Theorie von der durch einen Parameter ge- steuerten konstanten Blockung in Untermatrizen zunachst nur dadurch, daS die Gesamtzahl der Knoten in frei wahlbare Blocke (Substructures) aufgeteilt werden kann und nicht nlle Rlocke die gleiche Anzahl von Kno- ten enthalten miissen. Die Knoten auf den Oberflachen der Substructures bezeichnen wir mit dem Index b (boundary), die inneren Knoten in den Substructures, die wir eliminieren wollen, mit dem Index i. Dann ergibt sich aus (3) folgendes partitionierte System fur eine Substructure :

Fuhrt man in (6) den Gauss-EliminationsprozeB durch, so ergibt sich folgende kondensierte Matrix [K::;] und kondensierte rechte Seite { PE’g} :

[KEbnl = [&*I - [Kbtl [&*I Y [P%3 = {Pd - [&I [Kt61-1 {PC> * (7) In den Freiheitsgraden aller Oberflachenknoten (boundary nodes) ist dann noch folgendes lineare Glei-

chungssystem fiir M substructures zu losen:

Das in Bild 2 skizzierte ebene Umstromungsproblem .eines JoUKOWSKI-profils 1aSt sich nun wie folgt losen :

Zunachst wird ein Basiskorper (hier Ellipse) gewahlt, indem der zu untersuchende Korper (hier JOU- KOWSKI-PrOfil) ganz enthalten ist. Das Gebiet aulerhalb des Basiskorpers wird als Substructure definiert. Mit entsprechenden Randbedingungen und rechten Seiten werden die zugehorige kondensierte Energiematrix und die kondensierte rechte Seite in den boundary-Freiheitsgraden fur die Substructure AuBengebiet nach (7) ermittelt und gespeichert. Bei der Berechnung von Umstromungsproblemen f i b verschiedene Profile ist dann lediglich der Raum zwischen Basiskorper und Profil einschlieBlich deren Oberfilichen rnit Elementen neu zu idealisieren und nur ein symmetrisches Gleichungssystem von Bandstruktur in den zugehorigen Freiheitsgraden nach (8) neu zu berechnen. Da die Kontur des Basiskorpers frei wahlbar ist, kann man auch einen Kreis bzw. eine Kugel wahlen und dann besonders einfach das AuBengebiet in ein Innengebiet transformieren, ein modifiziertes Rand- wertproblem aufstellen und auf da,s zugehorige Gleichungssystsm fur das Innengebiet (7) anwenden. Auf Grund bekannter Anslogien zur Strukturmechanik ist es mit dem ICES-Subsystem STRUDL [4], das fur struktur- mechanische Probleme entwickelt wurde, moglich, auch Stromungsprobleme zu losen. Zur automatisierten Eingabe dient ICES-TOPOLOGY [7].

I n Bild 2 wurden ebene isoparametrische Elemente mit 12 Punkten verwendet. Gibt man als Spamungs- Dehnungsmatrix nur fur B(1, 1) = D(2, 2 ) = 1 Werte + null ein, belastet die Scheibe, in der das Profil ein Loch darstellt, wie skizziert, mit einer konstanten Zugkraft und verlangt, darj die Knotenpunkte sich nur in

/Y

Spannungs -0ehnungs-Ma fi-tx 0;

Bild 2

Mechanics of Fluid T 141

Zugkraftrichtung bewegen diirfen (Verschiebung: u, = uy = u = @; @ = Potentialfunktion), dann entspricht die Zugdehnung in x und y-Richtung der Geschwindigkeitsverteilung beim Umstromungsproblem.

In Bild 3 werden die Niiherungswerte am Innenrand mit den exakten verglichen (Knoten 1-8 in Bild 2). Die Abweichungen an der Hinterkante treten bei ahnlich groben Idealisierungen auch bei den Singularitiiten- verfahren auf, wie die Ergebnisse in Tabelle 1 zeigen, die nach [5] berechnet wurden. Erst wenn man, wie in [6] beschrieben, vorher die Ecke aufbiegt, gelangt man schon bei ganz grober Idealisierung auch unmittelbar an der Hinterkante zu den sehr guten Naherungswerten in Tabelle 1.

Tabellc 1

Errechnete Geschwindigkei t nach [5]

0,06568 0,498 95 0,98086 1,18309 1,339 74 1,43047 1,32479 0,656 56

-- __ ___

Errechnete Geschwindigkeit nach [GI

exakte Werte

0,811 43 0,883 91 1,01491 1,174 81 1,33533 1,427 70 1,32277 0,655 67

0,80936 0,881 73 1,01321 1,177 92 1,33689 1,429 19 1,32403 0,65626

Stiitzstelle

Literatur

1 SCHMID, G., Die Methode der finiten Elemente els Sonderfall dcr Methode der gewichteten Residuen, ZAMM 62, 461-469

2 DOCTORS, L. J., An Application of the Finite Element Techniqne to Boundary Value Problems of Potential Flow, Int. Journal

3 AHMAD, S., IRONS, B. M. and ZIENKIEWICZ, 0. C., Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements,

4 ICES-STRUDL I1 users manual Vol. 1 , 2 MIT, Cambridge USA. 5 MARTENSEN, E., Die Berechnung der Druckverteilung an dicken Gitterprofilen mit Hilfe von Fredholmschen Integral-

6 OHTMER, O., Zur angenaherten konformen Abbildung von Gebieten mit Ecken und starken Kriimmungen der Randkurvcn

7 OHTMER, O., Zur automatisierten Generierung und Kondensierung groDer Massen- und Steifigkeitsmatrizen, Zeitschr. Ange-

(1972).

for Numerical Methods in Engineering 2, 243-252 (1970).

Inter. Journal Num. Methods in Engineering 2 (1970).

gleichungen 2. Art, Max-Planck-Inst. fur Stromungsforschung Nr. 23, Gottingen 1959.

auf den Einheitskreis, ZAMM 48, GAMM-Tagung 1968.

wandte Informatik 12 (1972).

Anschrift: Dr. ORTWIN OHTMER, D 8 Munchen 83, Isegrimstr. 10, BlW

Mathematische Losung der Differentialgleichung der Warmeleitung in einem vollen kreisformigen Zylinder unter der Voraussetzung konstanter Abkuhlung des Zylindermantels

Uas vorgelegte Referat behandelt das lnathematische Problem, das bei Abkuhlung von Stahlblocken in der Kokille oder an der Luft entsteht. Bei derartigen Prozessen, wo die Stahlblockoberflache schneller als die inne- ren Teilchen abgekiihlt wird, treten infolge ungleichmiifiiger Kiihlung Innenrestspannungen ein, die zu einer RiBbildung im Stahlblock fiihren konnen. Daher stellt die Kenntnis der Temperaturvertehng und der inneren Spannungen beim StahlblockkiiNen einen wesentlichen Beitrag zur Huttenpraxis dar. Die mathematisohe Be- schreibung der genannten Erscheinungen ist sehr kompliziert, und darum war es notwendig, naoh wesentlichen Vereinfachungen zu greifen, daniit eine Losung uberhaupt moglich war.

Hier befassen wir uns lediglich mit dem ersten Teil des Problems, und zwar die Temperaturverteilung in einem vollen kreisformigen Zylinder endlicher oder unendlicher Lange zu bestimmen, wobei die Zylinderober- fliiche rnit konstanter Geschwindigkeit in stationarein oder nichtstationiirem Zustand abgekuhlt wird. Die Werkstoff- und Temperaturparameter betrachtet man als konstant. Das Tcinperaturfeld ist rotationssymc- trisch, der Werkstoff ist homogen und isotrop.

a) Temperaturverteilung im unendlich langen Vollzylinder im niohtstationaren Zustand ; Der Vorgang hri tler Liisung ist in fiinf Tcilc unterteilt :