Bernardo Luigi III A geometraBernardo Luigi III A geometrad’Anza Salvatore III A geometrad’Anza Salvatore III A geometraFatigati Vincenzo III A geometraFatigati Vincenzo III A geometraManna Francesco III A geometraManna Francesco III A geometraPacilio Gaetano III A geometraPacilio Gaetano III A geometraPascarella Nello III A geometraPascarella Nello III A geometraEsposito Michele IV A geometraEsposito Michele IV A geometraFerrara Marco IV A geometraFerrara Marco IV A geometra Radice Marco IV A geometraRadice Marco IV A geometra Tramontano Vincenzo IVA geometraTramontano Vincenzo IVA geometra

Coordinatore Coordinatore prof.ssa Pellegrino Angelaprof.ssa Pellegrino Angela

Uno dei problemi classici Uno dei problemi classici della geometria euclidea della geometria euclidea

non risolubile con riga e compassonon risolubile con riga e compasso

LA TRISEZIONE DI UN ANGOLOLA TRISEZIONE DI UN ANGOLO

Si può trisezionare un angolo?Si può trisezionare un angolo?

Se un angolo si può dividere in due partiSe un angolo si può dividere in due parti uguali grazie alla costruzione della uguali grazie alla costruzione della

bisettrice, allora si può dividere in quattro bisettrice, allora si può dividere in quattro parti uguali tracciando la bisettrice parti uguali tracciando la bisettrice dell’angolo diviso a metà. Ma si può dell’angolo diviso a metà. Ma si può dividere un angolo qualunque in tre parti dividere un angolo qualunque in tre parti uguali utilizzando uguali utilizzando esclusivamenteesclusivamente riga e riga e compasso?compasso?

Per bisecare con riga e compasso un Per bisecare con riga e compasso un angolo angolo CÂBCÂB si individuano due lunghezze si individuano due lunghezze uguali AB e AC sui suoi lati. Si costruisce uguali AB e AC sui suoi lati. Si costruisce quindi il parallelogramma CABD e quindi il parallelogramma CABD e disegniamo la diagonale AD che biseca disegniamo la diagonale AD che biseca l'angolo l'angolo CÂBCÂB..

BISEZIONE DI UN ANGOLO

Il metodo per bisecare l'angolo è dunque molto Il metodo per bisecare l'angolo è dunque molto semplice. Gli antichi greci pensarono che fosse semplice. Gli antichi greci pensarono che fosse altrettanto semplice poter dividere gli angoli in altrettanto semplice poter dividere gli angoli in ogni modo, cercarono quindi un metodo con riga ogni modo, cercarono quindi un metodo con riga e compasso che permettesse di dividere un e compasso che permettesse di dividere un angolo in tre parti uguali. Ben presto si angolo in tre parti uguali. Ben presto si accorsero che il problema era più difficoltoso: in accorsero che il problema era più difficoltoso: in effetti, il problema è risolvibile con riga e effetti, il problema è risolvibile con riga e compasso solo per alcuni tipi di angoli, ma nel compasso solo per alcuni tipi di angoli, ma nel caso generale ciò non è possibile. caso generale ciò non è possibile.

Il problema richiede, dato un qualsiasi angolo φ, di Il problema richiede, dato un qualsiasi angolo φ, di suddividerlo in tre angoli uguali.suddividerlo in tre angoli uguali.Sappiamo dalla trigonometria che è la tangente di un Sappiamo dalla trigonometria che è la tangente di un angolo si può esprimere in funzione della terza parte angolo si può esprimere in funzione della terza parte dell’angolodell’angolo

Ponendo dunque Ponendo dunque mm = tan(φ) e = tan(φ) e xx = tan(φ / 3) si ottiene = tan(φ / 3) si ottiene l'equazione cubica:l'equazione cubica:

xx33 − 3 − 3mxmx22 − 3 − 3xx + + mm = 0 = 0che è irriducibile nel campo euclideo quindi il problema che è irriducibile nel campo euclideo quindi il problema

della trisezione dell'angolo non è,salvo casi particolari, della trisezione dell'angolo non è,salvo casi particolari, risolubile con riga e compasso.risolubile con riga e compasso.

Dato un angolo retto si traccia una circonferenza Γ1 con centro in A e raggio r Dato un angolo retto si traccia una circonferenza Γ1 con centro in A e raggio r qualsiasi; essa taglia la semiretta per A in B. Si traccia la circonferenza Γ2 qualsiasi; essa taglia la semiretta per A in B. Si traccia la circonferenza Γ2 con centro in B e raggio r ; essa intersecherà la circonfrenza Γ1 in D .con centro in B e raggio r ; essa intersecherà la circonfrenza Γ1 in D .

ll triangolo ll triangolo ABDABD è equilatero è equilatero

Infatti AB = AD = BD = r . Quindi DAC è l’angolo che divide in tre l’angolo retto Infatti AB = AD = BD = r . Quindi DAC è l’angolo che divide in tre l’angolo retto essendo uguale a = π/6 e, essendo complementare di π/3 . essendo uguale a = π/6 e, essendo complementare di π/3 .

Si può trisezionare un angolo retto ?

Ma si può trisecare Ma si può trisecare anche un angolo di π/4?anche un angolo di π/4?

Dal disegno si vede che è sufficiente, dopo Dal disegno si vede che è sufficiente, dopo aver trisecato un angolo retto, bisecare aver trisecato un angolo retto, bisecare l‘angolo di π/6 ottenuto.l‘angolo di π/6 ottenuto.

Tentativi di trisezionare un angoloTentativi di trisezionare un angolocon l’uso di una riga graduatacon l’uso di una riga graduata

Il metodo di NicomedeIl metodo di Nicomede Quello di Nicomede non è propriamente un metodo di costruzione, Quello di Nicomede non è propriamente un metodo di costruzione,

perché egli usò la riga per riportare una lunghezza, cioè una riga perché egli usò la riga per riportare una lunghezza, cioè una riga graduata costruendo rette parallele e perpendicolari ed utilizzando graduata costruendo rette parallele e perpendicolari ed utilizzando le proprietà degli angoli formati da rette parallele tagliate da una le proprietà degli angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale. Dato un angolo qualsiasi trasversale. Dato un angolo qualsiasi CÂBCÂB della figura tracciamo i della figura tracciamo i segmenti :segmenti :

CD CD ┴┴AB FE // AD FA // CD HE = 2AC AB FE // AD FA // CD HE = 2AC

Detto G punto medio di HE per le proprietà dell’angolo esterno si ha da Detto G punto medio di HE per le proprietà dell’angolo esterno si ha da CÂBCÂB = CÂG + GÂB 2 CÊG + GÂB 2 GÂB + GÂB = 3 GÂB= CÂG + GÂB 2 CÊG + GÂB 2 GÂB + GÂB = 3 GÂB

per cui GÂB = 1/3CÂDper cui GÂB = 1/3CÂD

..

Il metodo di ArchimedeIl metodo di ArchimedeNella soluzione proposta da Archimede la riga viene usata per riportare una Nella soluzione proposta da Archimede la riga viene usata per riportare una

lunghezza e, quindi, è pensata come riga graduata. Supponiamo di voler lunghezza e, quindi, è pensata come riga graduata. Supponiamo di voler trisecare un angolo trisecare un angolo CÂBCÂB . .

Si disegna una circonferenza Г, con centro in A e raggio r, che interseca la Si disegna una circonferenza Г, con centro in A e raggio r, che interseca la semiretta c in C e la semiretta b in B ; per C tracciamo una retta d che semiretta c in C e la semiretta b in B ; per C tracciamo una retta d che taglia la retta b nel punto E e la circonferenza nel punto F in modo tale che taglia la retta b nel punto E e la circonferenza nel punto F in modo tale che EF sia congruente al raggio della circonferenza. Per A tracciamo la retta e EF sia congruente al raggio della circonferenza. Per A tracciamo la retta e parallela a d, la quale interseca la circonferenza in X. L'angolo parallela a d, la quale interseca la circonferenza in X. L'angolo XÂBXÂB è la è la terza parte dell'angolo dato. I due triangoli EFA e CAF sono isosceli terza parte dell'angolo dato. I due triangoli EFA e CAF sono isosceli perchè il lato EF è congruente al lato AF per costruzione mentre il lato AF perchè il lato EF è congruente al lato AF per costruzione mentre il lato AF è congruente al lato AC perché entrambi raggi della stessa circonferenza.è congruente al lato AC perché entrambi raggi della stessa circonferenza.

Per la proprietà degli angoli alla base di un triangolo isoscele , dell’angolo Per la proprietà degli angoli alla base di un triangolo isoscele , dell’angolo esterno di un triangolo e degli angoli corrispondenti si ricava che esterno di un triangolo e degli angoli corrispondenti si ricava che

XÂB= 1/3XÂB= 1/3 CÂBCÂB

d

e

Nuove idee Nuove idee

per risolvere il problema: per risolvere il problema:

utilizzo delle conicheutilizzo delle coniche

Pappo di Alessandria (290–350 d.C) è stato uno Pappo di Alessandria (290–350 d.C) è stato uno scienziato animato dallo spirito che aveva scienziato animato dallo spirito che aveva posseduto Euclide.) Nel III Libro degli otto della posseduto Euclide.) Nel III Libro degli otto della sua opera Pappo fa una netta distinzione tra sua opera Pappo fa una netta distinzione tra problemi "piani", "solidi" e "lineari": i primi sono problemi "piani", "solidi" e "lineari": i primi sono risolubili solo con cerchi e rette, i secondi sono risolubili solo con cerchi e rette, i secondi sono risolubili mediante l'uso di sezioni coniche e risolubili mediante l'uso di sezioni coniche e l'ultimo genere di problemi richiede grafici diversi l'ultimo genere di problemi richiede grafici diversi da rette, cerchi e coniche. Il problema della da rette, cerchi e coniche. Il problema della trisezione dell'angolo viene presentato come un trisezione dell'angolo viene presentato come un problema del secondo tipo, suggerendo alcuni problema del secondo tipo, suggerendo alcuni metodi di risoluzione facendo uso di sezioni metodi di risoluzione facendo uso di sezioni coniche. coniche.

IL METODO DI PAPPOIL METODO DI PAPPO

Pappo partì dall’idea che, fissata una linea AB, si Pappo partì dall’idea che, fissata una linea AB, si potesse determinare il luogo dei punti P per i potesse determinare il luogo dei punti P per i

quali valesse la relazione tra gli angoli formati quali valesse la relazione tra gli angoli formati

2 x 2 x PÂBPÂB = = P B AP B A

Questo luogo geometrico è un'iperbole avente Questo luogo geometrico è un'iperbole avente eccentricità 2, un fuoco in B e come eccentricità 2, un fuoco in B e come direttrice l'asse del segmento AB direttrice l'asse del segmento AB

Disegniamo un cerchio che passi per A e per B e centro in un punto O; Disegniamo un cerchio che passi per A e per B e centro in un punto O; costruiamo un'iperbole con eccentricità 2, fuoco in B e direttrice costruiamo un'iperbole con eccentricità 2, fuoco in B e direttrice l'asse di AB che intersechi il cerchio in P. Il segmento PO ottenuto l'asse di AB che intersechi il cerchio in P. Il segmento PO ottenuto triseca l'angolo triseca l'angolo AÔBAÔB. .

Per dimostrarlo notiamo che, dalle proprietà dell'iperbole descritta, il Per dimostrarlo notiamo che, dalle proprietà dell'iperbole descritta, il triangolo PXB è isoscele essendo XC = CB = a e quindi gli angoli triangolo PXB è isoscele essendo XC = CB = a e quindi gli angoli alla base sono congruenti. Per la proprietà dell’angolo esterno di un alla base sono congruenti. Per la proprietà dell’angolo esterno di un triangolo 2 x PÂB = PBA. Ma un angolo al centro è il doppio triangolo 2 x PÂB = PBA. Ma un angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco quindi:dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco quindi:

2 x 2 x PÂBPÂB = = PÔBPÔB (entrambi insistono sull'arco PB) (entrambi insistono sull'arco PB)e 2 x e 2 x PBAPBA = = PÔAPÔA (entrambi insistono sull'arco PA) (entrambi insistono sull'arco PA)Unendo le due relazioni si ottiene 2 x Unendo le due relazioni si ottiene 2 x PÔBPÔB = = PÔAPÔA cioè l'angolo cioè l'angolo PÔBPÔB è è

la terza parte dell'angolo la terza parte dell'angolo PÔAPÔA..

C

Soluzione con l'utilizzo Soluzione con l'utilizzo

della concoide di Nicomededella concoide di Nicomede Nicomede visse circa nello stesso periodo di Archimede (nel II secolo a.C.) e produsse la Nicomede visse circa nello stesso periodo di Archimede (nel II secolo a.C.) e produsse la

famosa curva concoide (conchiglia in greco)famosa curva concoide (conchiglia in greco)

Fissiamo un punto O (detto polo) ed una retta m distante d da O. Consideriamo una seconda retta passante per O, che interseca la retta m in A. Su tale retta, da entrambe le parti rispetto ad A stacchiamo due segmenti AP = AP' ciascuno di lunghezza k. Il luogo dei punti P e P' ottenuti ruotando la retta per O si chiama appunto Concoide di Nicomede. La parte descritta dal punto più lontano ad O (cioè P) si dice ramo esterno della concoide; l'altra parte ramo interno. Ponendo il punto O nell'origine di un sistema di assi cartesiano xOy e prendendo la retta m parallela all'asse y, avente quindi equazione x = a, l'equazione cartesiana della curva è:

Soluzione con l'utilizzo Soluzione con l'utilizzo della lumaca di Pascaldella lumaca di Pascal

Pascal era un prodigio matematico. Anche suo Pascal era un prodigio matematico. Anche suo padre aveva una notevole inclinazione per la padre aveva una notevole inclinazione per la matematica; la lumaca o chiocciola di Pascal matematica; la lumaca o chiocciola di Pascal prende appunto il nome dal padre Etienne, che prende appunto il nome dal padre Etienne, che la studiò. Questa curva era nota agli antichi la studiò. Questa curva era nota agli antichi come la concoide del cerchio, ma Etienne come la concoide del cerchio, ma Etienne Pascal ne fece uno studio così approfondito che Pascal ne fece uno studio così approfondito che da allora prende il suo nome da allora prende il suo nome

La lumaca di Pascal è il luogo dei piedi delle perpendicolari La lumaca di Pascal è il luogo dei piedi delle perpendicolari condotte da un punto dato A alle tangenti a una condotte da un punto dato A alle tangenti a una circonferenza data.circonferenza data.

  Data la circonferenza di centro O e il punto A fuori di essa, Data la circonferenza di centro O e il punto A fuori di essa, si traccia la tangente in un punto B alla circonferenza.si traccia la tangente in un punto B alla circonferenza.

Il punto di intersezione tra la perpendicolare a detta Il punto di intersezione tra la perpendicolare a detta tangente passante per A e la tangente stessa determina tangente passante per A e la tangente stessa determina il punto che genera il luogo al variare di B sulla il punto che genera il luogo al variare di B sulla circonferenza.circonferenza.

Soluzione con l'utilizzo della Soluzione con l'utilizzo della trisettrice di Mac Laurintrisettrice di Mac Laurin

La trisettrice è una famiglia di curve algebriche di ordine 3, cioè cubiche Studiata da Colin Maclaurin nel 1742 fornisce una soluzione al problema della trisezione di un angolo, come il nome stesso suggerisce.

La sua equazione cartesiana è:

y2 (a + x) = x2 (3-x)

in particolare sono cubiche con un nodo; le tangenti in questo punto sono inclinate di ± 60° rispetto all'asse della curva. L'area del cappio vale la distanza dell'origine dal punto in cui la curva taglia l'asse x è 3a.

In figura è rappresentata la trisettrice di MacLaurin con In figura è rappresentata la trisettrice di MacLaurin con nodo nell'origine).nodo nell'origine).

Supponiamo di avere una trisettrice con Supponiamo di avere una trisettrice con nodo nell'origine che taglia l'asse x nel nodo nell'origine che taglia l'asse x nel punto (-3,0), e sia P un punto qualsiasi sul punto (-3,0), e sia P un punto qualsiasi sul cappio della curva. L'angolo formato dai cappio della curva. L'angolo formato dai punti[(-3,0),(-2,0),P] = 3 volte l'angolo punti[(-3,0),(-2,0),P] = 3 volte l'angolo formato dai punti[(-2,0),(0,0),P].formato dai punti[(-2,0),(0,0),P].

Un metodo meccanico per costruire Un metodo meccanico per costruire la trisezione di un angolola trisezione di un angolo

Il trisettore di PascalIl trisettore di Pascal

Il trisettore è una macchina matematica con un Il trisettore è una macchina matematica con un asta imperniata in P al piano. Il sistema asta imperniata in P al piano. Il sistema articolato formato dalle due aste OA e OB di articolato formato dalle due aste OA e OB di ugual lunghezza l ha il vertice O scorrevole ugual lunghezza l ha il vertice O scorrevole lungo la scanalatura PK, l'estremo A incernierato lungo la scanalatura PK, l'estremo A incernierato sull'asta a in un punto a distanza l da P e sull'asta a in un punto a distanza l da P e l'estremo B scorrevole lungo l'asta a. In ogni l'estremo B scorrevole lungo l'asta a. In ogni posizione l'angolo KPB è la terza parte posizione l'angolo KPB è la terza parte dell'angolo KOB. Per trisecare un angolo dato si dell'angolo KOB. Per trisecare un angolo dato si fa coincidere i suoi lati con OK e OB.fa coincidere i suoi lati con OK e OB.

Trisettore a doppia squadra Trisettore a doppia squadra

Su una lastra di plexiglas sono disegnati due segmenti perpendicolari AC e BH, ove B è il punto medio di AC, e la semicirconferenza di centro C e raggio CB. Per trisecare un angolo dato si dispone la squadra in modo tale che BH passi per il vertice dell'angolo, il punto A appartenga ad un lato e la semicirconferenza sia tangente all'altro lato dell'angolo. I triangoli AVB, BVC e CVT sono congruenti quindi l'angolo AVB è la terza parte dell'angolo AVT.

Il Trisettore di KempeIl Trisettore di Kempe

I parallelogrammi articolati ABCD, ADEF, AFGH, i cui lati sono proporzionali, hanno, a due a due, un lato e un angolo in comune, quindi sono simili. In ogni posizione le aste AD e AF trisecano l'angolo BAH. Per trisecare un angolo è sufficiente farne coincidere il vertice e un lato rispettivamente con A e con l'asta AB, quindi deformare il sistema articolato portando l'asta AH a coincidere con il secondo lato dell'angolo

CONCLUSIONICONCLUSIONI

La scienza delle costruzioni con riga e compasso è La scienza delle costruzioni con riga e compasso è rigorosamente teorica e non pratica.rigorosamente teorica e non pratica.

I matematici greci si erano posti complessi I matematici greci si erano posti complessi problemi di costruzione con riga e compasso problemi di costruzione con riga e compasso che si sono potuti risolvere con l’uso dei luoghi che si sono potuti risolvere con l’uso dei luoghi geometrici e, quindi, delle coniche. geometrici e, quindi, delle coniche.

Solo nel XIX secolo, grazie alle teorie sviluppate Solo nel XIX secolo, grazie alle teorie sviluppate da Galois, Abel ed altri, questi problemi si sono da Galois, Abel ed altri, questi problemi si sono rivelati irrisolvibili con l’esclusivo uso di riga e rivelati irrisolvibili con l’esclusivo uso di riga e compasso.compasso.