Bernoulli Denklemleri

dy

dx+ P (x)y = Q(x)yn

seklindeki birinci mertebeden diferansiyel denklemelere Bernoullidenklemleri denir.

n = 0 veya n = 1 ise denklem lineer dir. Aksitakdirde

v = y1−n

donusumu denklemi

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

lineer denklemine donusturur.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 1/ 8

Bernoulli Denklemleri

dy

dx+ P (x)y = Q(x)yn

seklindeki birinci mertebeden diferansiyel denklemelere Bernoullidenklemleri denir. n = 0 veya n = 1 ise denklem lineer dir.

Aksitakdirde

v = y1−n

donusumu denklemi

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

lineer denklemine donusturur.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 1/ 8

Bernoulli Denklemleri

dy

dx+ P (x)y = Q(x)yn

seklindeki birinci mertebeden diferansiyel denklemelere Bernoullidenklemleri denir. n = 0 veya n = 1 ise denklem lineer dir. Aksitakdirde

v = y1−n

donusumu denklemi

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

lineer denklemine donusturur.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 1/ 8

Bernoulli Denklemleri

dy

dx+ P (x)y = Q(x)yn

seklindeki birinci mertebeden diferansiyel denklemelere Bernoullidenklemleri denir. n = 0 veya n = 1 ise denklem lineer dir. Aksitakdirde

v = y1−n

donusumu denklemi

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

lineer denklemine donusturur.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 1/ 8

Bernoulli Denklemleri

v = y1−n

⇒ dv

dx= (1− n)y−n dy

dx

dy

dx= yn

dv

dx

1

n− 1

denklemimizde yerine yazarsak

yndv

dx

1

n− 1+ P (x)vyn = Q(x)yn

Duzenledikten sonra

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

halini alır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 2/ 8

Bernoulli Denklemleri

v = y1−n ⇒ dv

dx

= (1− n)y−n dydx

dy

dx= yn

dv

dx

1

n− 1

denklemimizde yerine yazarsak

yndv

dx

1

n− 1+ P (x)vyn = Q(x)yn

Duzenledikten sonra

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

halini alır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 2/ 8

Bernoulli Denklemleri

v = y1−n ⇒ dv

dx= (1− n)

y−ndy

dx

dy

dx= yn

dv

dx

1

n− 1

denklemimizde yerine yazarsak

yndv

dx

1

n− 1+ P (x)vyn = Q(x)yn

Duzenledikten sonra

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

halini alır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 2/ 8

Bernoulli Denklemleri

v = y1−n ⇒ dv

dx= (1− n)y−n

dy

dx

dy

dx= yn

dv

dx

1

n− 1

denklemimizde yerine yazarsak

yndv

dx

1

n− 1+ P (x)vyn = Q(x)yn

Duzenledikten sonra

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

halini alır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 2/ 8

Bernoulli Denklemleri

v = y1−n ⇒ dv

dx= (1− n)y−n dy

dx

dy

dx= yn

dv

dx

1

n− 1

denklemimizde yerine yazarsak

yndv

dx

1

n− 1+ P (x)vyn = Q(x)yn

Duzenledikten sonra

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

halini alır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 2/ 8

Bernoulli Denklemleri

v = y1−n ⇒ dv

dx= (1− n)y−n dy

dx

dy

dx= yn

dv

dx

1

n− 1

denklemimizde yerine yazarsak

yndv

dx

1

n− 1+ P (x)vyn = Q(x)yn

Duzenledikten sonra

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

halini alır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 2/ 8

Bernoulli Denklemleri

v = y1−n ⇒ dv

dx= (1− n)y−n dy

dx

dy

dx= yn

dv

dx

1

n− 1

denklemimizde yerine yazarsak

yndv

dx

1

n− 1

+ P (x)vyn = Q(x)yn

Duzenledikten sonra

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

halini alır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 2/ 8

Bernoulli Denklemleri

v = y1−n ⇒ dv

dx= (1− n)y−n dy

dx

dy

dx= yn

dv

dx

1

n− 1

denklemimizde yerine yazarsak

yndv

dx

1

n− 1+ P (x)

vyn = Q(x)yn

Duzenledikten sonra

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

halini alır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 2/ 8

Bernoulli Denklemleri

v = y1−n ⇒ dv

dx= (1− n)y−n dy

dx

dy

dx= yn

dv

dx

1

n− 1

denklemimizde yerine yazarsak

yndv

dx

1

n− 1+ P (x)vyn

= Q(x)yn

Duzenledikten sonra

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

halini alır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 2/ 8

Bernoulli Denklemleri

v = y1−n ⇒ dv

dx= (1− n)y−n dy

dx

dy

dx= yn

dv

dx

1

n− 1

denklemimizde yerine yazarsak

yndv

dx

1

n− 1+ P (x)vyn = Q(x)yn

Duzenledikten sonra

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

halini alır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 2/ 8

Bernoulli Denklemleri

v = y1−n ⇒ dv

dx= (1− n)y−n dy

dx

dy

dx= yn

dv

dx

1

n− 1

denklemimizde yerine yazarsak

yndv

dx

1

n− 1+ P (x)vyn = Q(x)yn

Duzenledikten sonra

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

halini alır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 2/ 8

Bernoulli Denklemleri

ORNEK

2xyy′ = 4x2 + 3y2 diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.

COZUM

Denklemimizidy

dx− 3

2xy =

2x

y

seklinde yazarsak P (x) = − 32x ,Q(x) = 2x ve n = −1 oldugu bir

Bernoulli denklemi oldugunu goruruz.n = −1 oldugu icin 1− n = 2 olacak ve

v = y2

donusumu yapacagız.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 3/ 8

Bernoulli Denklemleri

ORNEK

2xyy′ = 4x2 + 3y2 diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.

COZUM

Denklemimizidy

dx− 3

2xy =

2x

y

seklinde yazarsak

P (x) = − 32x ,Q(x) = 2x ve n = −1 oldugu bir

Bernoulli denklemi oldugunu goruruz.n = −1 oldugu icin 1− n = 2 olacak ve

v = y2

donusumu yapacagız.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 3/ 8

Bernoulli Denklemleri

ORNEK

2xyy′ = 4x2 + 3y2 diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.

COZUM

Denklemimizidy

dx− 3

2xy =

2x

y

seklinde yazarsak P (x) = − 32x ,

Q(x) = 2x ve n = −1 oldugu birBernoulli denklemi oldugunu goruruz.n = −1 oldugu icin 1− n = 2 olacak ve

v = y2

donusumu yapacagız.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 3/ 8

Bernoulli Denklemleri

ORNEK

2xyy′ = 4x2 + 3y2 diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.

COZUM

Denklemimizidy

dx− 3

2xy =

2x

y

seklinde yazarsak P (x) = − 32x ,Q(x) = 2x

ve n = −1 oldugu birBernoulli denklemi oldugunu goruruz.n = −1 oldugu icin 1− n = 2 olacak ve

v = y2

donusumu yapacagız.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 3/ 8

Bernoulli Denklemleri

ORNEK

2xyy′ = 4x2 + 3y2 diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.

COZUM

Denklemimizidy

dx− 3

2xy =

2x

y

seklinde yazarsak P (x) = − 32x ,Q(x) = 2x ve n = −1 oldugu bir

Bernoulli denklemi oldugunu goruruz.

n = −1 oldugu icin 1− n = 2 olacak ve

v = y2

donusumu yapacagız.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 3/ 8

Bernoulli Denklemleri

ORNEK

2xyy′ = 4x2 + 3y2 diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.

COZUM

Denklemimizidy

dx− 3

2xy =

2x

y

seklinde yazarsak P (x) = − 32x ,Q(x) = 2x ve n = −1 oldugu bir

Bernoulli denklemi oldugunu goruruz.n = −1 oldugu icin 1− n = 2 olacak ve

v = y2

donusumu yapacagız.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 3/ 8

Bernoulli Denklemleri

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

denkleminde yerine koyalım

dv

dx+ 2(− 3

2x)v = 2.2x

dv

dx− 3

xv = 4x

Lineer denklemi elde ettik. Integral carpanımız

µ(x) = e∫P (x)dx = e

∫− 3

xdx =

1

x3

dır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 4/ 8

Bernoulli Denklemleri

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

denkleminde yerine koyalım

dv

dx+ 2(− 3

2x)v = 2.2x

dv

dx− 3

xv = 4x

Lineer denklemi elde ettik.

Integral carpanımız

µ(x) = e∫P (x)dx = e

∫− 3

xdx =

1

x3

dır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 4/ 8

Bernoulli Denklemleri

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

denkleminde yerine koyalım

dv

dx+ 2(− 3

2x)v = 2.2x

dv

dx− 3

xv = 4x

Lineer denklemi elde ettik. Integral carpanımız

µ(x) = e∫P (x)dx

= e∫− 3

xdx =

1

x3

dır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 4/ 8

Bernoulli Denklemleri

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

denkleminde yerine koyalım

dv

dx+ 2(− 3

2x)v = 2.2x

dv

dx− 3

xv = 4x

Lineer denklemi elde ettik. Integral carpanımız

µ(x) = e∫P (x)dx = e

∫− 3

xdx

=1

x3

dır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 4/ 8

Bernoulli Denklemleri

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

denkleminde yerine koyalım

dv

dx+ 2(− 3

2x)v = 2.2x

dv

dx− 3

xv = 4x

Lineer denklemi elde ettik. Integral carpanımız

µ(x) = e∫P (x)dx = e

∫− 3

xdx =

1

x3

dır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 4/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x3v(x)] =

1

x34x

Her iki tarafın integralini alalım

1

x3v(x) =

∫4

x2dx+ C = −4

x+ C

v(x) = −4x2 + Cx3

v = y2 idi,y2 = 4x2 + Cx3

olarak cozumumuzu buluruz.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 5/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x3v(x)] =

1

x34x

Her iki tarafın integralini alalım

1

x3v(x)

=

∫4

x2dx+ C = −4

x+ C

v(x) = −4x2 + Cx3

v = y2 idi,y2 = 4x2 + Cx3

olarak cozumumuzu buluruz.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 5/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x3v(x)] =

1

x34x

Her iki tarafın integralini alalım

1

x3v(x) =

∫4

x2dx+ C

= −4

x+ C

v(x) = −4x2 + Cx3

v = y2 idi,y2 = 4x2 + Cx3

olarak cozumumuzu buluruz.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 5/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x3v(x)] =

1

x34x

Her iki tarafın integralini alalım

1

x3v(x) =

∫4

x2dx+ C = −4

x+ C

v(x) = −4x2 + Cx3

v = y2 idi,y2 = 4x2 + Cx3

olarak cozumumuzu buluruz.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 5/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x3v(x)] =

1

x34x

Her iki tarafın integralini alalım

1

x3v(x) =

∫4

x2dx+ C = −4

x+ C

v(x) = −4x2 + Cx3

v = y2 idi,y2 = 4x2 + Cx3

olarak cozumumuzu buluruz.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 5/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x3v(x)] =

1

x34x

Her iki tarafın integralini alalım

1

x3v(x) =

∫4

x2dx+ C = −4

x+ C

v(x) = −4x2 + Cx3

v = y2 idi,

y2 = 4x2 + Cx3

olarak cozumumuzu buluruz.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 5/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x3v(x)] =

1

x34x

Her iki tarafın integralini alalım

1

x3v(x) =

∫4

x2dx+ C = −4

x+ C

v(x) = −4x2 + Cx3

v = y2 idi,y2 = 4x2 + Cx3

olarak cozumumuzu buluruz.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 5/ 8

Bernoulli Denklemleri

ORNEK

x dydx + 6y = 3xy4/3 diferansiyel denkleminin genel cozumunu

bulunuz.

COZUM

Denklemimizidy

dx+

6

xy = 3y4/3

seklinde yazarsak P (x) = 6x ,Q(x) = 3 ve n = 4/3 oldugu bir

Bernoulli denklemi oldugunu goruruz.n = 4/3 oldugu icin 1− n = −1/3 olacak ve

v = y−1/3

donusumu yapacagız.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 6/ 8

Bernoulli Denklemleri

ORNEK

x dydx + 6y = 3xy4/3 diferansiyel denkleminin genel cozumunu

bulunuz.

COZUM

Denklemimizidy

dx+

6

xy = 3y4/3

seklinde yazarsak

P (x) = 6x ,Q(x) = 3 ve n = 4/3 oldugu bir

Bernoulli denklemi oldugunu goruruz.n = 4/3 oldugu icin 1− n = −1/3 olacak ve

v = y−1/3

donusumu yapacagız.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 6/ 8

Bernoulli Denklemleri

ORNEK

x dydx + 6y = 3xy4/3 diferansiyel denkleminin genel cozumunu

bulunuz.

COZUM

Denklemimizidy

dx+

6

xy = 3y4/3

seklinde yazarsak P (x) = 6x ,

Q(x) = 3 ve n = 4/3 oldugu birBernoulli denklemi oldugunu goruruz.n = 4/3 oldugu icin 1− n = −1/3 olacak ve

v = y−1/3

donusumu yapacagız.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 6/ 8

Bernoulli Denklemleri

ORNEK

x dydx + 6y = 3xy4/3 diferansiyel denkleminin genel cozumunu

bulunuz.

COZUM

Denklemimizidy

dx+

6

xy = 3y4/3

seklinde yazarsak P (x) = 6x ,Q(x) = 3

ve n = 4/3 oldugu birBernoulli denklemi oldugunu goruruz.n = 4/3 oldugu icin 1− n = −1/3 olacak ve

v = y−1/3

donusumu yapacagız.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 6/ 8

Bernoulli Denklemleri

ORNEK

x dydx + 6y = 3xy4/3 diferansiyel denkleminin genel cozumunu

bulunuz.

COZUM

Denklemimizidy

dx+

6

xy = 3y4/3

seklinde yazarsak P (x) = 6x ,Q(x) = 3 ve n = 4/3 oldugu bir

Bernoulli denklemi oldugunu goruruz.

n = 4/3 oldugu icin 1− n = −1/3 olacak ve

v = y−1/3

donusumu yapacagız.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 6/ 8

Bernoulli Denklemleri

ORNEK

x dydx + 6y = 3xy4/3 diferansiyel denkleminin genel cozumunu

bulunuz.

COZUM

Denklemimizidy

dx+

6

xy = 3y4/3

seklinde yazarsak P (x) = 6x ,Q(x) = 3 ve n = 4/3 oldugu bir

Bernoulli denklemi oldugunu goruruz.n = 4/3 oldugu icin 1− n = −1/3 olacak ve

v = y−1/3

donusumu yapacagız.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 6/ 8

Bernoulli Denklemleri

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

denkleminde yerine koyalım

dv

dx− 1

3(6

x)v = −1

33

dv

dx− 2

xv = −1

Lineer denklemi elde ettik. Integral carpanımız

µ(x) = e∫P (x)dx = e

∫− 2

xdx =

1

x2

dır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 7/ 8

Bernoulli Denklemleri

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

denkleminde yerine koyalım

dv

dx− 1

3(6

x)v = −1

33

dv

dx− 2

xv = −1

Lineer denklemi elde ettik.

Integral carpanımız

µ(x) = e∫P (x)dx = e

∫− 2

xdx =

1

x2

dır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 7/ 8

Bernoulli Denklemleri

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

denkleminde yerine koyalım

dv

dx− 1

3(6

x)v = −1

33

dv

dx− 2

xv = −1

Lineer denklemi elde ettik. Integral carpanımız

µ(x) = e∫P (x)dx

= e∫− 2

xdx =

1

x2

dır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 7/ 8

Bernoulli Denklemleri

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

denkleminde yerine koyalım

dv

dx− 1

3(6

x)v = −1

33

dv

dx− 2

xv = −1

Lineer denklemi elde ettik. Integral carpanımız

µ(x) = e∫P (x)dx = e

∫− 2

xdx

=1

x2

dır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 7/ 8

Bernoulli Denklemleri

dv

dx+ (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

denkleminde yerine koyalım

dv

dx− 1

3(6

x)v = −1

33

dv

dx− 2

xv = −1

Lineer denklemi elde ettik. Integral carpanımız

µ(x) = e∫P (x)dx = e

∫− 2

xdx =

1

x2

dır.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 7/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x2v(x)] =

1

x2(−1)

Her iki tarafın integralini alalım

1

x2v(x) =

∫−1x2dx+ C =

1

x+ C

v(x) = x+ Cx2

v = y−1/3 idi,y−1/3 = x+ Cx2

veya

y =1

(x+ Cx2)3

olarak cozumumuzu buluruz.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 8/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x2v(x)] =

1

x2(−1)

Her iki tarafın integralini alalım

1

x2v(x)

=

∫−1x2dx+ C =

1

x+ C

v(x) = x+ Cx2

v = y−1/3 idi,y−1/3 = x+ Cx2

veya

y =1

(x+ Cx2)3

olarak cozumumuzu buluruz.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 8/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x2v(x)] =

1

x2(−1)

Her iki tarafın integralini alalım

1

x2v(x) =

∫−1x2dx+ C

=1

x+ C

v(x) = x+ Cx2

v = y−1/3 idi,y−1/3 = x+ Cx2

veya

y =1

(x+ Cx2)3

olarak cozumumuzu buluruz.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 8/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x2v(x)] =

1

x2(−1)

Her iki tarafın integralini alalım

1

x2v(x) =

∫−1x2dx+ C =

1

x+ C

v(x) = x+ Cx2

v = y−1/3 idi,y−1/3 = x+ Cx2

veya

y =1

(x+ Cx2)3

olarak cozumumuzu buluruz.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 8/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x2v(x)] =

1

x2(−1)

Her iki tarafın integralini alalım

1

x2v(x) =

∫−1x2dx+ C =

1

x+ C

v(x) = x+ Cx2

v = y−1/3 idi,y−1/3 = x+ Cx2

veya

y =1

(x+ Cx2)3

olarak cozumumuzu buluruz.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 8/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x2v(x)] =

1

x2(−1)

Her iki tarafın integralini alalım

1

x2v(x) =

∫−1x2dx+ C =

1

x+ C

v(x) = x+ Cx2

v = y−1/3 idi,

y−1/3 = x+ Cx2

veya

y =1

(x+ Cx2)3

olarak cozumumuzu buluruz.

Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 8/ 8

Bernoulli Denklemleri

Denklemimizin her iki tarafınıda integral carpanımızla carparsak

d

dx[1

x2v(x)] =

1

x2(−1)

Her iki tarafın integralini alalım

1

x2v(x) =

∫−1x2dx+ C =

1

x+ C

v(x) = x+ Cx2

v = y−1/3 idi,y−1/3 = x+ Cx2

veya

y =1

(x+ Cx2)3

olarak cozumumuzu buluruz.Ogr.Gor. Dr. Ali Sevimlican 8/ 8