Beulanalyse wellenförmiger Schalen veränderlicher Dicke

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© Ernst & Sohn Verlag für Architektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG, Berlin · Stahlbau 73 (2004), Heft 2

In der vorliegenden Arbeit wird die Stabilität für zwei Arten wellenförmi-ger Schalen mit dünnwandigen Querschnitten veränderlicher Dicke unter-sucht. Dabei besitzen die Krümmungen der kontinuierlichen Schalen un-gleiche Richtungen. Bei der Herleitung der Übertragungsmatrix werdender negative Krümmungsradius und der Übertragungswinkel für wellen-förmige Schalen eingeführt. Die Ergebnisse werden als Beulwerte undBeulformen mitgeteilt.

Buckling analysis of wave-type shells with variable thickness. Inthis paper, buckling analysis for two wave-type shells with variable thick-ness is treated, where the curvatures of the consecutive shell panelsare different directions each other. In the derivation of the transfer ma-trix the minus radiuses of curvature and transfer angles are introduced.The results are given as buckling coefficients and buckling modes.

1 Einleitung

Heutzutage sind Stabschalen mit dünnwandigen Stäbenhäufig im Leichtbau anzutreffen. Daher haben die Stabi-litätsuntersuchungen von Druckstäben mit dem Schalen-querschnitt mehr und mehr an Bedeutung gewonnen.

Im vorliegenden Aufsatz wird das Übertragungsver-fahren für die Beulanalyse von wellenförmigen Schalen mitveränderlicher Dicke angewandt. Die Übertragungsmatrixwird aus der nichtlinearen Differentialgleichung für dieSchalenplatte veränderlicher Dicke unter Anwendung derFourier-Reiche-Expansion in Längsrichtung und numeri-scher Integration in lateraler Richtung abgeleitet. Fernerwird die Punktmatrix zur Beschreibung der Verbindung derZustandsvektoren zwischen den Schalenplatten berech-net.

Das entwickelte Verfahren wird sodann zur Berech-nung der Beulwerte und Beulformen von wellenförmigenSchalen des A-Typus (Bild 1a) und des B-Typus (Bild 1b)herangezogen.

2 Bezeichnungen

a Schalenplattenlängem Halbwelle in Schalenplattenlängs-

richtungMx, M�, Mx�, M�x MomenteNx, N�, Nx�, N�x MembrankräfteQx, Q� QuerkräfteR Radius der Schalenplattet(�) Schalendickew Durchbiegungx, �, z Richtungεx, ε� Dehnung�x, ��, �x�, ��x Krümmung der Verformungsfigur�x�, ��z, �xz Schubverformung�x Normalspannung

3 Analytische Prozedur3.1 Die Gleichgewichtsgleichungen für Schalenplatten

mit veränderlicher Dicke unter axialer LastAus den Gleichgewichtsbedingungen gewinnt man diefolgenden Beziehungen (Bild 2a, [1]):

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

3.2 Zusammenhang zwischen Dehnungen undVerschiebungen

Der Zusammenhang zwischen den Dehnungen und denVerschiebungen der Querschnitte der Schalenplatte nimmtfolgende Form an (Bild 2b):

(7)

(8)ε� �= ∂

∂+1

Rv w

R

εx

ux

= ∂∂

N N

MRx x

x� �

�− − = 0

∂∂

+∂∂

− =M

x RM

Qx� ��

1 0

∂∂

+∂

∂− =M

x RM

Qx xx

1 0�

�

−

∂∂

+ ∂∂

+∂∂

− ∂∂

=1 1 1 02

2

2RNx

Qx R

Qt

Rwx

x� �

��

�( )

∂∂

+∂∂

+ =N

x RN Q

Rx� � �

�1 0

∂∂

+∂

∂=N

x RNx x1 0�

�

Beulanalyse wellenförmiger Schalenveränderlicher Dicke

Tsunemi ShigematsuMitao OhgaTakashi Hara

�–�

��

a) A-Typus b) B-Typus

Bild 1. Wellenförmige SchalenFig. 1. Wave-type shells

81

T. Shigematsu/M. Ohga/T. Hara · Beulanalyse wellenförmiger Schalen veränderlicher Dicke

Stahlbau 73 (2004), Heft 2

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

3.3 Übertragungsmatrix der Schalenplatteveränderlicher Dicke

Die Ansätze

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

erfüllen die Bedingungen der gelenkigen Lagerung an denRändern x = 0 und x = a mit

N x N xx x� �� ( , ) ( )cos=

N x N x� �� ( , ) ( ) sin=

V x V x� �� ( , ) ( ) sin=

M x M x� �� ( , ) ( ) sin=

� � � � �( , ) ( ) sinx x=

v x v x( , ) ( ) sin� � �=

u x u x( , ) ( )cos� � �=

w x w x( , ) ( ) sin� � �=

�

�

� ��=

∂∂

+ ∂∂

+1 1 1R R R

v wR

( )

�

��

�x x

=∂∂

�

�

��xx

R Rvx

= ∂∂

+ ∂∂

1 1

�

�x

x

x= ∂

∂

�

�� x R

w vR

= ∂∂

+ − =1 0

� �xz xwx

= ∂∂

+ = 0

�

��xvx R

u= ∂∂

+ ∂∂

1

Führt man die Gln. (1) bis (6) in Gln. (7) bis (15) undGln. (16) bis (23) ein, so ergibt sich das übliche Differential-gleichungssystem in bezug auf die Variable � in der Form:

(24)

oder

(25)Hierin bedeuten:

IEt

33 2 1=

+( )

( )�

�

I I

Et21 12 21

= =−

� �

�

( ),

I I

Et11 22 21

= =−( )

,�

�

1R

∂∂

= ⋅Z A Z�

�( )

1

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0

04

0 0 0 0 0

0 0 0 01

21

22

0

22

21

22

20

22

33

0

41 43 46 47

R

w

M

V

v

u

N

N

RK

KK

KI

RIK

RIK

KA A A A

x

∂∂

=

−

− − −

−

�

�

�

� � �

��

�

�

�

�

�

*

*

*

*

*

*

*

*

RRI

IK

IK

RIK

I

R

AI

I

w

M

V

v

u

0 0 0 0 0

02

0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

21

22

30

222

33

33

30

33

8612

22

� �

��

�

�

�

��

�

�

−

−

−

*

*

*

*

*

*

NN

N x

�

�

*

*

�= m

a.

a) b)

Bild 2. SchalenplattenelementFig. 2. Shell element

T0 = Standarddicke

Die Gln. (24) oder (25) sind nichtlineare Differentialglei-chungen und werden daher numerisch integriert. Für nume-rische Integration der acht nichtlinearen Differentialglei-chungen 1. Ordnung läßt sich das Romberg-Integrations-Verfahren anwenden. Nach diesem Integrationsverfahrenwird die Schalenplatte gemäß Bild 3 in m Abschnitte (m =2M, M ist der Parameter der Unterteilung) dividiert. DieÜbertragungsmatrix für den Parameter der Unterteilungfolgt dann zu

(26) Z C C A C Z F Z= + + ⋅ ⋅[ ] = ⋅−

12 m 1 m m 0 0b m( )�

KET

003

212 1=

−( ),

�

N Nx x� �

�* = 1

3 N N� �

�* ,= 1

3u K u* ,= 0v K v* ,= 0

V V�

�* = 1

3 M M� �

�* ,= 1

2 �

��

* ,= K0 w K w* ,= 0

AK

II II86

011

12 21

22

1= −

�

At

RI Rx

4722

2 1= +

� �( ),

A

I t

RK I4621

20 22

2=

� �

�� ( )

A

KK

tK43

12

22 22= −� � �

�� ( )

,

AK

KK K

KtK

KK R

x41

011

12 21

223

0

221

222

1= −

− −

� � �

�

�( )

K

Et33

3

24 1=

+( )

( )�

�

K K

Et21 12

3

212 1= =

−� �

�

( )( )

, K K

Et11 22

3

212 1= =

−( )

( ),

�

�

82



Hierin bedeuten

mit I als Einheitsmatrix.Für die Schalenplatte mit konstanter Dicke nimmt die

Übertragungsmatrix folgende Form an:

(27)

3.4 Die PunktmatrixWerden die Zustandsvektoren für jede Schalenplatte aufdas lokale Koordinatensystem bezogen, dann lassen sichdie Verhältnisse zwischen den Zustandsvektoren der kon-tinuierlichen beiden Schalenplatten für die Übertragungs-prozedur ableiten; dabei werden die Zustandsvektoren derrechten und der linken Seite der Schalenplatte durch diePunktmatrix P verbunden (Bild 4):

(28)

Die Kopfzeiger R und L bezeichnen die rechte und dielinke Seite des Schnitts.

3.5 Übertragungsgleichungen, Beullasten undBeulformen

Für die wellenförmigen Schalen mit veränderlicher Dickelautet die Übertragungsgleichung (Bild 5):

(29)

Der negative Krümmungsradius (–R) und der Übertragungs-winkel (–�) werden in der Herleitung der Übertragungs-

Z F P F P F Z U Z3 3 2 2 1 1 0 0= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

Z P ZiL

i iR= ⋅

Z A Z F Z= ⋅ = ⋅exp( ) 0 0R�

C C A Ci i 2 i 1= + ⋅ ⋅ ≥ ≥− − −2 21b m ii( ) ( )�

C I C I A0 1, ( )= = + ⋅b �0

Bild 3. Romberg-IntegrationFig. 3. Romberg integration

Bild 4. PunktmatrixFig. 4. Pointmatrix

Bild 5. Übertragung der ZustandsvariablenFig. 5. Transfer of state variables

83



matrix F2 (Bild 5) eingeführt. Durch Einsetzen der Rand-bedingungen in die Zustandsvektoren erhält man die Beul-bedingung:

(30)

Aus der Beulbedingung kann nach Vorgabe verschiedenerHalbwellenanzahlen für die Beulfläche die jeweilige Beul-last unmittelbar berechnet werden. Maßgebend ist die klein-ste Beullast. Durch Einsetzen der unbekannten Variable(w0 ≡ 1) des anfänglichen Zustandsvektors können danndie Beulformen gewonnen werden.

4 Numerische Untersuchungen

Für wellenförmige Schalen (A- und B-Typen) mit veränder-licher Dicke oder konstanter Dicke werden bei systemati-scher Veränderung der Druckstablänge und der Mittel-winkel (�) der Schalenplatten Beulwerte und Beulformenberechnet. Schalenstrukturen mit wellenförmigen Quer-schnitten lassen sich aus drei Schalenplatten zu zwei Ty-pen zusammensetzen (Bild 6). Das Schalenplattendicken-verhältnisse (te/tm) der Kante und der Mitte sind 0,5 (V1-Typus) und 2,0 (V2-Typus). Jeder Typ erfüllt die Randbe-dingungen w = u = M� = N� = 0.

In Bild 7 sind Beulwerte für die wellenförmigen Scha-len (A- und B-Typen in Bild 6) in Abhängigkeit von Scha-lenplattendickenverhältnisse te/tm über dem Seitenverhält-nis a/b für das Schalenplattendicken-Breitenverhältnisb/T0 und die Mittelwinkel � = 1 der Schalenplatte darge-stellt.

In Bild 7 sind die Beulwerte

′ ⋅ ′ =U Z 00

und die Beulformen in x-Richtung mit b als Schalenbreiteangegeben (s. a. Bild 1).

Die Beulwerte der B-Typen wachsen für Seitenver-hältnisse a/b ≥ 4 gegenüber den A-Typen etwa auf das

kb T

Kx=

20

20

�

Bild 6. Wellenförmige Schalen mit veränderlicher Dicke oder konstanter DickeFig. 6. Wave-type shells with variable thickness or constant thickness

Bild 7. Beulwerte für wellenförmige Schalen (A- und B-Typen)in Abhängigkeit von te/tm, a/b für b/T0 = 500 und � = 1Fig. 7. Local buckling coefficients of wave-type shells (A- and B-types) for various te/tm- and a/b-values and b/T0 = 500 and � = 1

84



a)

f)

e)

d)

c)

b)

a/b = 2 a/b = 5 a/b = 10t e

/tm

=1,

0t e

/tm

=0,

5t e

/tm

=2,

0t e

/tm

=1,

0t e

/tm

=0,

5t e

/tm

=2,

0

k = 157,30 (m = 1) k = 48,93 (m = 2)k = 48,93 (m = 1)

k = 104,52 (m = 1) k = 26,00 (m = 2)k = 26,00 (m = 1)

k = 119,06 (m = 1) k = 28,07 (m = 2)k = 28,07 (m = 1)

k = 307,33 (m = 2) k = 208,83 (m = 2)k = 208,83 (m = 1)

k = 190,52 (m = 2) k = 97,07 (m = 1)k = 101,59 (m = 1)

k = 158,03 (m = 2) k = 120,48 (m = 1)k = 139,98 (m = 1)

Bild 8. Beulformen für Parameterfälle von wellenförmigen Schalen nach Bild 7; a)–c) A-Typus, d)–f) B-TypusFig. 8. Local buckling modes of wave-type-shells for various a/b-values according to fig. 7; a)–c) A-type, d)–f) B-type

85



Vierfache an. Ursache ist das wesentlich größere Trägheits-moment des B-Typus im Vergleich zu dem des A-Typus.

Die Beulwerte der A-Typen mit veränderlicher Dicke(A1V1 und A1V2) sind etwa gleich, da die Trägheitsmo-mente der A-Typen mit veränderlicher Dicke ungefähr die-selbe Größe besitzen. Dagegen sind die Beulwerte des A-Typus mit konstanter Dicke (A1C) im Vergleich zu denender A-Typen mit veränderlicher Dicke etwa auf das Zwei-fache angewachsen. Im Vergleich mit den Beulwerten desB1V1- und des B1V2-Typus ist Beulwert des B1V2-Typusfür Seitenverhältnisse a/b ≤ 4 klein und für a/b ≥ 4 groß.

In Bild 8a sind Beulformen des A-Typus mit konstan-ter Dicke (te/tm = 1,0) für die Seitenverhältnisse (a/b = 2,0,5,0 und 10,0) dargestellt.

In Bild 8b sind wieder Beulformen des A-Typus mitveränderlicher Dicke (te/tm = 2,0) für a/b = 2,0, 5,0 und10,0 gezeigt.

Bild 8c zeigt Beulformen des A-Typus mit veränder-licher Dicke (te/tm = 0,5) für a/b = 2,0, 5,0 und 10,0.

Bei den A-Typen (te/tm = 0,5, 1,0 und 2,0) ist lokalesBeulen mit der Halbwelle m = 1 für die Fälle (a/b = 2,0

und 5,0) zu erkennen, für den Fall (a/b = 10,0) gilt Beul-form mit m = 2.

In Bild 8d sind Beulformen des B-Typus mit konstan-ter Dicke (te/tm = 1,0) für a/b = 2,0, 5,0 und 10,0 gezeigt.

Die Bilder 8e und 8f zeigen Beulformen der B-Typenmit veränderlichen Dicken (te/tm = 2,0 und 0,5) für a/b =2,0, 5,0 und 10,0.

Für die Fälle a/b = 2,0 und 5,0 lassen sich Beulformenmit der Halbwelle m = 1 bei B-Typen (te/tm = 0,5, 1,0 und2,0) erkennen. Für den Fall a/b = 10,0 ist Beulform mit m =1 bei B-Typen mit veränderlichen Dicken (te/tm = 2,0 und0,5) gezeigt und bei B-Typus mit konstanter Dicke (te/tm =1,0) ist Beulform mit m = 2 dargestellt.

In Bild 9 sind die Beulwerte für die wellenförmigen Scha-len in Abhängigkeit von Schalenplattendickenverhältnis(te/tm) über Seitenverhältnis (a/b) für Schalenplattendik-ken-Breitenverhältnis (b/t = 500) und Mittelwinkel (� = 2)der Schalenplatten gezeigt.

Ein Vergleich von Bild 7 mit Bild 9 zeigt ähnliche Ten-denzen wie oben angeführt; ferner lassen sich ähnlicheTendenzen für Beulformen der A- und B-Typen über � = 2gewinnen.

Literatur

[1] Ohga, M., Takaue, A., Shigematsu, T.: Buckling Analysis of Thin-Walled Members with Wave-Type Cross Sections, Computa-tional Civil and Structural Engineering, CIVIL-COMP PRESS.(2000) pp. 65–70.

[2] Ohga, M., Shigematsu, T., Kawaguchi, K.: Buckling Analysisof Thinwalled Members with Variable Thickness. Journal ofStructural Eng. 121 (1995) pp. 919–924.

[3] Ohga, M., Miyake, Y., Shigematsu, T.: Buckling Analysis ofShell Type Structures under Lateral Loads. Light-Weight Steeland Aluminium Structures, Elsevier. (1999) pp. 265–272.

[4] Uhrig, R.: Elastostatik und Elastokinetik in Matrizenschreib-weise. Berlin: Springer Verlag, 1973.

[5] Tesar, A., Fillo, L.: Transfer Matrix Method. Dordrecht: Klu-wer Academic, 1988.

Autoren dieses Beitrages:Prof. Dr. Eng. Tsunemi Shigematsu, Tokuyama College of Technology,Civil Eng. and Architecture, Kume-Takajo, Shuunan 745-8585, Japan,Prof. Dr. Eng. Mitao Ohga, Ehime University, Faculty of Structural Eng.,Bunkyocho-3, Matuyama 790-8577, Japan, Prof. Dr. Eng. Takashi Hara,Tokuyama College of Technology, Civil Eng. and Architecture, Kume-Takajo, Shuunan 745-8585, Japan

Bild 9. Beulwerte für wellenförmige Schalen (A- und B-Typen)in Abhängigkeit von te/tm, a/b für b/T0 = 500 und � = 2Fig. 9. Local buckling coefficients of wave-type shells (A- and B-types) for various te/tm- and a/b-values and b/T0 = 500 and � = 2

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