Budapesti M űszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Példatár a Bevezet„Amit tudni kell a BSC képzés el

Összeállította: Kádasné dr. V. Nagy Éva egyetemi docens Szerkesztette: István Péter

űszaki és Gazdaságtudományi EgyetemMatematika Intézet

Példatár a Bevezet ő matematika tárgyhoz„Amit tudni kell a BSC képzés előtt”

Összeállította: Kádasné dr. V. Nagy Éva egyetemi docensSzerkesztette: István Péter

BME BUDAPEST 2009

szaki és Gazdaságtudományi Egyetem

matematika tárgyhoz

Összeállította: Kádasné dr. V. Nagy Éva egyetemi docens

ELŐSZÓ

A BME MI oktatói sok éves tapasztalatai szerint a felsőfokú tanulmányok elkezdése-

kor azok a hallgatók küzdenek nagyobb nehézségekkel a matematikát igénylő tár-

gyakban, akik a középiskolai matematika lényegi részeiben nem eléggé járatosak.

Ebben segít a Bevezető Matematika tárgy.

A tárgyi tartalom azon részeket emeli ki a középiskolai anyagból, amelyeket feltétle-

nül és nagy biztonsággal tudni és használni kell. Erre épülnek a további tanulmányok

matematikából.

A tárgy oktatóit igyekezett a MI úgy megválasztani, hogy minél eredményesebb és

hatékonyabb legyen a közös munka.

A foglalkozásokon való részvétel kötelező, azt ellenőrizni is fogjuk. Betegség esetén

orvosi igazolás szükséges. A rendszeres jelenléten kívül természetesen rendszeres

tanulás és példamegoldás is szükséges.

Ajánlott irodalomként a középiskolai tankönyvek mellet ajánljuk a

Thomas féle Kalkulus 1.

egyetemi tankönyvet

Bármilyen további probléma, kérdés, javaslat esetén forduljanak bizalommal a tárgy-

felelőshöz: Kádasné Dr. V. Nagy Éva docens

Elérhetőségek:

személyesen: H épület 413. szoba

e-mail cím: drvnagye@freemail.hu

mobil: +36-30-960-6020

TARTALOM

I. ELŐADÁS ................................................................................................................ 1

• Elemi algebrai műveletek és azonosságok .................................................................................. 1

• Százalékszámítás ......................................................................................................................... 5

II. ELŐADÁS ............................................................................................................... 6

• Elemi függvények tulajdonságai és ábrázolásuk. ........................................................................ 6

III. ELŐADÁS .............................................................................................................. 8

• Egyenletek, egyenlőtlenségek ..................................................................................................... 8

IV. ELŐADÁS ........................................................................................................... 11

• Trigonometria ............................................................................................................................ 11

V. ELŐADÁS ............................................................................................................ 12

• Két és három ismeretlenes egyenletrendszerek megoldása ..................................................... 12

• Síkvektorok ................................................................................................................................ 14

VI. ELŐADÁS ........................................................................................................... 15

• Koordináta geometria ............................................................................................................... 15

VII. ELŐADÁS .......................................................................................................... 16

• Sorozatok ................................................................................................................................... 16

• Síkgeometria (háromszögek) ..................................................................................................... 18

VIII ELŐADÁS .......................................................................................................... 19

• Síkgeometria (négyszögek, sokszögek, kör) .............................................................................. 19

• Térgeometria ............................................................................................................................. 20

IX ELŐADÁS ............................................................................................................ 21

• Kombinatorika, valószínűség. .................................................................................................... 21

Saját jegyzetek ......................................................................................................... 23

1

I. ELŐADÁS

•••• Elemi algebrai m űveletek és azonosságok

1. Hány olyan 1000-nél kisebb pozitív egész szám van, amely sem 5-tel sem 13-mal nem osztható?

2. Számítsa ki!

a) Mennyi a 42-nek a �� része?

b) Minek a ��-ed része a 28?

c) Hányad része az 56 a 98-nak?

3. A térképen a lépték: 1: 20 000. a) Mekkora a valóságban, ami a térképen

i. 2 cm? ii. 7 mm?

b) Mekkora a térképen, ami a valóságban i. 3 km? ii. 200 m?

4. 3 disznó 5 nap alatt 250 kg takarmányt eszik meg. Mennyi takarmányt eszik meg 4 disznó 8 nap alatt?

5. A 160 000 Ft havi bruttó fizetésből 10% TB-t és 30% adót vonnak le. a) Mennyi pénzt kapunk kézhez? b) A nettó fizetés hány %-a a járulék és az adó?

6. Rakja nagyság szerint sorba a −3, � ,

�, √2 és −√3 számokat!

7. Hány jegyű szám a a) 2��? b) 2���? c) 2����?

8. Milyen értékek közé esik |� − �| ha |5 − �| < 1 és |10 − �| < 2?

9. 1 és 200 között hány olyan szám van, ami osztható 2-vel, 3-mal, 5-tel és 7-tel?

2

10. Döntse el, hogy az alábbi számok közül melyik racionális-, irracionális szám és melyik a legkisebb illetve a legnagyobb.

a) −10�, ln 5, lg 100, − ��.

b) 2��, 4���, 25��, ���, √8 , √27� .

c) sin 60°, tg 45°, cos 45°, ctg'−45°(.

11. Hozza a legegyszerűbb alakra! a)

)12* ⋅ 5 3* : 2� ⋅ 55,'−11(, -��

b)

.16/��� : . 36125/���

c)

0. 11024/� 1���

d)

).1,257,32/,-� ���

e) 24�, ⋅ 25�*60��

f) 6�� ⋅ '−2( ⋅ 12�� ⋅ '−3(*

12. Írja fel prímhatványok szorzataként: a) 24� ⋅ 42� ⋅ 12� ⋅ 28 ⋅ 18�

b) 3 ⋅ 8 ⋅ 20* ⋅ 4916* ⋅ 6* ⋅ 70�

13. Számolja ki! a) 2�� + 2�� − 2��2� + 2�� =?

b) 1,6 ⋅ 10�� ⋅ 2,5 ⋅ 10 2 ⋅ 10�� =?

c) 360000 ⋅ 0,00000250,009 =?

d)

72 − √22 + √2 + 72 + √22 − √2 =?

e)

)816 + 2√55 − 816 − √220-� =?

3

14. Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket! '9 ≠ ;( a) 9 − ;'9 + ;(� ⋅ 7'9� − ;�(,'9 − ;(�� =?

b) 9 − ;√9� − √;� =?

15. Oldja meg! a) <��= = √�

b) <�*> = √�

c) 8� √�� = √�

16. Rakja sorrendbe az alábbi kifejezéseket! a) 89 ⋅ <9�? ; <9 ⋅ <9�? ; √9>√9�

b) 87 + 4√3 ; 811 − 6√2 ; 89 − 4√5 ; 84 − 2√3 − 84 + 2√3

c) lg √1000� ; log� 0,25 ; log� 1√3� ; ln 1A*

d)

.19/BCD√� ; 0,25BCD� � ; 3BCD�� �

e) 3��BCD� �� ; E√2F��BCD� ; 8BCD� ,��

17. Számítsa ki az � értékét! a) lg � = lg 1,2 + lg 1,5 − lg 0,9 b) ln � = 2 ln 5 − 2

c) ln � = 3 log� 8 − �� log�� 16

4

18. Végezze el a műveleteket és rendezze � fogyó hatványai szerint! a) '1 − 2�(� − '2� − 1(�

b) G'2� + 1('2� − 1(H� + �* − 1� − 1

19. Alakítsa szorzattá! (Az d) és e) résznél a nevezőt és a számlálót is) a) 9* − ;* + '9 − ;(� − '9 + ;(� + 49;

b) �� − �� − � + �

c) �� + 6�� + 11� + 6

d) �� + 4� − 32�� − 11� + 28

e) −I� + 2I + 11,25−I� + 7I − 11,25

20. Egyszerűsítse a kifejezéseket! a) �� − 25�� − 3� : �� + 5�� − 9 =?

b) 1 − ���� − 12 + 3� − 11 − � =?

c) . 2JJ + 2 − 2J3J − 6 + 8JJ� − 4/ ⋅ J − 2J� − 4J ; J =?

d) . 2�� − � − 2�1 − ��/ ⋅ 2�� + 2��� − 1 + 4� − 1 =?

21. Oldja meg! a) �� − 1�� − 1 = 3

b) � − 4� + 4 − � + 4� − 4 + 16��� − 16 = 0

22. Mennyivel egyenlő a) .� + 1�/ , ha �� + 1�� = 79?

b) .�� + 1��/ , ha .� − 1�/ = 3?

23. Határozza meg az � értékét! a) 2M�� = 64 b) 2��M = 64 c) 2M�, = 64 d) sin � ≥ ��

e) 5�M = �,�

5

24. Rakja sorrendbe az alábbi három kifejezést! O = <'−3(� ; P = sin 7Q3 ; R = log� 19 . 25. Vegyes feladatok!

a) Határozza meg T-et, a 2U = lg'2V( kifejezésben!

b) Mennyi a '2 + ��( reciproka?

c) √W� ⋅ √W= =?, ha √XY�√X�� = −9?

d) Írja át a 11-et 2-es alapú számrendszerbe!

e) �,!�*! =?, 73 ⋅ 72! − �*!�* =?

f) ['�( = sin \� + ]�^ ; [ \− ]*^ =? ; [ \− ]�^ =?

26. Melyik szám abszolútértéke nagyobb? � = 20022001 ; � = − 20012000

27. A 200202x4 számban x helyére írjon olyan számjegyet, hogy a kapott 8 jegyű szám osztható legyen 12-vel!

•••• Százalékszámítás

1. A 10%-os éves lekötésű kamatos kamatra betettünk a bankba 8000 Ft-ot. Mennyi lesz a pénzünk 4 év múlva?

2. Egy osztály 40 tanulójának 30%-a kékszemű és 40%-a szőke. Tudjuk, hogy a kékszemű tanulók ¾ -e szőke. Hány olyan tanuló van, aki se nem szőke, se nem kékszemű?

6

II. ELŐADÁS

•••• Elemi függvények tulajdonságai és ábrázolásuk.

1. Ábrázolja az alábbi függvényeket, majd jellemezze a következő szempontok alapján: Értelmezési Tartomány, Érték Készlet, paritás (páros, vagy páratlan), Zérus Hely és monotonitás (hol nő, illetve hol csökken). a) 4� b) − �� � c)

�M

d) � − 2 e) MM�� f) 2M

g) 2�� − 4 h) �� + 4� − 3 i) √� + 2

j) �M�� + 2 k)

�M� M�� l) M|M|

m) |� − 2| + 1 n) '� − 1(� + 1 o) sin 2�

p) cos �� � q) tg � r) ctg �

s) √�3 t) �M�

u) ln �

2. Határozza meg az alábbi függvények ÉT-át és zérushelyét! a)

['�( = √�� + 31 − √�

b) _'�( = � + 2sin �

c) ℎ'�( = � − 1ln �

3. Egy másodfokú függvényről tudjuk, hogy egyik zérushelye a 3, és hogy az 5 he-lyen felvett 4 értékig monoton növő, utána monoton fogyó. Határozza meg en-nek a függvénynek a hozzárendelési szabályát, majd ábrázolja!

4. Jellemezze az alábbi függvényeket paritás és periodicitás szempontjából! a) sin� � b) sin \� − ��]^ c) cos �� �

d) sgn � e) |�| f) �� g) ��

5. Határozza meg az alábbi függvények inverzét és ábrázolja azokat! a) � = 2� − 3

b) � = 1 + 11 + �

c) � = 4 − 2� + 3

6. Adja meg az alábbi függvények zérushelyeit! a) |2� − 4| b) √2� − 3 c) ln'2� + 1(

d) '2� − 4(� e) sin'2� − 3(

f) 12� − 4

7

g) � = 2�M − 3 h) � = 4 − �� i) � = 3� − 5�� j) � = cos � − sin �

7. Adja meg az alábbi függvények szélsőértékeit és növekedési viszonyait! a) |2� − 4|

b) '2� − 1(�

c) 1� − 1

d) ln � e) '� − 3(� + 2 f) 2|� − 1| − 3

8. Ábrázolja és jellemezze az alábbi függvényeket! Számítsa ki az ['2( és az ['−1( helyettesítési értékeket! a) ['�( = a'� + 5(� − 6 ha � < −12'4 − �( ha � ≥ 1 b

b) ['�( = a−|� + 5| + 3 ha � < 0√� − 2 ha � ≥ 0b

c)

['�( = c−'� + 1(� − 2 ha − 2 ≤ � < 0−3 ha 0 ≤ � ≤ 31� − 2 − 4 ha 3 ≤ � ≤ 6b

d) ['�( = a �� − 2� ha � ≤ 2'� − 2('4 − �( ha � > 2b

9. Adja meg [E_'�(F és _E['�(F függvényeket, ha a) ['�( = <�� + 13 ; _'�( = sin � b) ['�( = tg'�� + 1( ; _'�( = 1�

c) ['�( = AMY� ; _'�( = �� + 2�

10. Adja meg [ \_Eℎ'�(F^ függvényt, ha ['�( = �� + 1 ; _'�( = √�3 ; ℎ'�( = cos �

8

III. ELŐADÁS

•••• Egyenletek, egyenl őtlenségek

1. Oldja meg az alábbi egyenleteket algebrai- és grafikus úton! a) �� − � = � + 1

b) � = 1�

c) |�| = 2 − ��

d) 1� = �� − 2� + 2

e) 2√� = ��

f) √� = |� − 3| g) �2 = sin �

h) 2� + 1 = 2M

i) ln � = � − 1

2. Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket algebrai- és grafikus úton! a) �� + 1 ≤ 1�

b) �� < 3 − |� − 1| c) |� − 2| + 1 ≥ 2�

d) '� − 1(� > √�

e) <�� − 4� + 4 = � − 2

f) 10M ≥ � − 1

g) 0,5 ⋅ log� �� = 1

h) |sin �| ≤ 12

i) |� + 3| ≥ 4 − |� − 1|

j) 3� + 2 ≤ 21�

3. Ábrázolja az alábbi tartományokat a síkon! a) � < 2� + 5 b) � − � < 0 c) 3� + 5� < 15 d) �� < �

e) � < √� f) �� ≤ � ≤ 5

g) �� ≤ � ≤ 2 − � h) −2 < � ≤ 2 − ��

9

4. Oldja meg az egyenleteket! a) 2|M��|YM = 2

b) 1 + 4M��4M = 172MY�

c) logfY�'�� + � − 6(� = 4 d) lg <�� − 3� − lg √3 − � = lg 5

e) |�� + 3�| + �� − 2 = 0

f) 3M3√M�� − 3�Y√M��3M = 6

g) � + 3<��3 − 18√�3 = 0

h) 4M − 4√MY� = 3 ⋅ 2MY√M i) .1 + 4�� + � − 6/ ⋅ . 1� + 1 + 1/ = 0

j) 10 lg √2 + 7 lg'cos �( + 3 lg'sin �( = 13 lg'tg �(

5. Oldja meg az egyenlőtlenségeket! a) logM 3 − log�� � < 52

b) '�� − 18� + 77( ⋅ √10 − � ≥ 0

c) logM'2�( ≤ <logM'2��(

d) <9M + 8 − 3MY� > 3M − 5 e) |� + 3| + �� + 2 > 1

f) 1 ≤ 2�� − 7� − 29�� − 2� − 15

g) '� + 2( ⋅ <�� − 2� + 3 ≥ 0

h) 2 log √� ≥ 2 + logM 15

6. Milyen I ∈ ℝ esetén ∃! megoldása az alábbi egyenletnek? '2 + log� I(�� + '6 log� I(� + 4 log� I + 1 = 0

7. Határozza meg I-t, ha ∀�-re a) �� + 8� + 20I�� + 2'I + 1(� + 9I + 4 < 0

b) 2�� + 2� + 3�� + � + 1 ≤ I

10

8. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a)

.12/�MY��M�� = .14/ MY��MY�

b)

723 − 5� − 73� + 12 = 0

c) 3�M�Y�M��� = 9M��MY�

d) 3M�� + 3M + 3MY� = 39

e) lg'�� + � − 6( = lg x − 2� + 3

f) √� + 1 + 2√� + 1 − 1 = � + 1� − 2

g) √9 − 5� = √3 − � + 6√3 − �

h) �* + 5�� − 6�� = 0

9. Határozza meg T-et, ha a 9M + 2'T + 3( ⋅ 3M + T� = 22 egyenletnek két darab különböző valós gyöke van. Adja meg a gyököket is!

10. Oldja meg az egyenleteket! a) 2'lg 2 − 1( + lg'�� + 1( = lg . 5�� + 3/

b) 8� + 6 − 4√� + 2 + 8� + 11 − 6√� + 2 = 1

c) 1�� − 9 − 13 − � = 48'� − 3('� + 38(

d) � + 3� − 4 + 22�� − 16 = 7� + 6� + 4 − 3� − 4

11. Az � = 9�� + ;� + J parabola csúcspontja l'1, −1(, a parabola és az � tengely egyik közös pontjának � koordinátája 2. Határozza meg az 9, ; és J értékét!

12. Határozza meg az T értékeit úgy, hogy a 2�� + 2'T + 2(� + T� + 4T + 3 = 0 gyökei valósak legyenek. Ezekre az T értékekre adja meg az '�� + �� + 3����( maximum és minimum értékét. (�� és �� a gyökök).

11

IV. ELŐADÁS

•••• Trigonometria

1. Oldja meg az '1 + tg �( ⋅ cos� � > 1 egyenlőtlenséget!

2. Igazolja, hogy ha 0 < � < ]� ⇒ 1 + ctg � < ctg M�.

3. Igazolja, hogy n√�⋅opq M�YrCo Mn ≤ 1 mindig igaz!

4. Oldja meg az alábbi egyenleteket a megadott intervallumon! a) 8 cos 2� + 7 cos� � = 5 sin � + 274 ahol, � ∈ G0, QH b) tg � + tg� � + ctg � + ctg� � = 4 ahol, � ∈ s0, Q4t c) <1 − cos� � − cos 2� = 0 ahol, � ∈ G0,2QH

5. Oldja meg a sin 2� + 6I ⋅ cos � − sin � = 3I paraméteres egyenletet, ha I > 1 valós paraméter.

6. Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin � + cos� � = cos � + sin� �

b) cos 2�ctg� � − tg� � = 14 sin� 2�

c) 3 cos 2� = −2 sin � + 3 d) 4 cos� � + 8 sin � + 1 = 0

e) cos � + sin� �cos � + sin � + sin 2� = 1cos �

f) sin 2� ⋅ 'cos � + 1( + sin � ⋅ 'cos 2� − 5( = 0 g) sin* � + sin* \� + Q4^ + sin* \� − Q4^ = 54

12

7. Számítsa ki az alábbi kifejezéseket! a) tg u = 2 és 0° < u < 180°

i. 1 + sin 2usin� u − cos� u =?

ii. 1 − sin* u − cos* ucos* u =?

b) <lg tg 36° + lg tg 54° =? c) tg 21Q4 + <sin'−7Q(? =?

d)

log] v.cos 2Q3 + sin 2Q3 /� − sin 4Q3 w =?

8. Egy háromszög oldalai 9� + 9 + 1, 29 + 1 és 9� − 1 ahol '9 > 1(. Igazolja, hogy ∃ a háromszögben 120°-os szög!

V. ELŐADÁS

•••• Két és három ismeretlenes egyenletrendszerek megol dása

1.

b� + 34 � = 9�2 − 2�3 = 13xyz

y{

2.

b� + 23 − � − 34 = 3

3� + 2 − 1� − 3 = 0xyzy{

3. b9M| − 4 ⋅ 3M| = 5285253MY| = 243 }

4. b3M + 4| = 733M ⋅ 4| = 576}

5.

b2� − 4√� + � − 4 = 05√� − � − 17 = 0 ~

6.

b 3BCD� M − 2BCD> | = 773BCD� √M − 2BCD�= | = 7}

13

7.

blog� �� = 5log��

�� = 1 �

8.

b'2� + �(� = 16� − 1� = 12 xz

{

9.

b329 + 25; = 132059 − 13; = 536 xyz

y{

10.

blogM'��( + log| . 1����/ = 0�BCD� | = 181 xyz

y{

11.

b�� − 6�� + 9�� = 25� + 1� = 9 xz

{

12.

b √�2 + � = 4�� − √� = 27xz

{

13.

b �� + � + � = 29�� − 2� − 2� = 2}

14. b 3 ⋅ 2MY| − 5 ⋅ 2M�| = 1825 ⋅ 2M ⋅ 2| − 4 ⋅ 2M ⋅ 2�| = 312}

15.

b1� − 2� − 22� − � = 3

− 2� − 2� + 52� − � = −5xyzy{

16.

b10� − 5 + 1� − 2 = 125� − 5 + 3� + 2 = 2xyz

y{

17. ��5� + 4� = 6, ��3� + 5� = 6, ��2� + 3� = 8

18. Határozza meg a '4� − 3� + 8�( kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét, ha 4� + � + 4� = 33� + 6� − 4� = 4.

19. Melyek azok a R'2,1( középpontú 2 sugarú kör belsejében lévő pontok, ame-lyek koordinátái kielégítik a következő egyenleteket 3M + 3|��� = 4 és '2� − �(� = 94.

14

20. �, � és � pozitív egészek. Határozza meg értéküket, ha

b � + � + � = 12�� + �� + �� = 41}.

21.

b 9�� ⋅ 9M| − 27 ⋅ 27|M = 0lg'� − 2( − lg'2 − �( = 0~

22.

b�� + �� = 210�� + �� = 231~

23.

b 1� − 3 + 2� = 1'� − 3( ⋅ ��� − 4'� − �( = 9 xz

{

24.

b� − � = 44

7 6�� + � + 7� + �6� = 52xyzy{

25.

b 8�MY� = 32 ⋅ 2*|��5 ⋅ 5M�| = <25�|Y�~

26.

b�BCD� | + �BCD� M = 4log* � − log* � = 1~

27. b 3| ⋅ 9M = 81lg'� + �(� − lg � = 2 lg 3}

•••• Síkvektorok

1. Legyenek 9�'2, 3(, ;��'−3, 2( és J�'5, −1(. Adja meg a következő vektorokat:

a) 9� + ;�� + J� =? b) 3E29� − ;��F =?

c) E9� + ;��FJ� =? d) E9� − ;��F ⋅ E;�� + J�F =?

e) �E9� − ;��F� =? f) '9� − J�( ⋅ E;�� + J�F =?

2. Legyenek 9� = '2, 5(, ;�� = '−10, 2( és J� = '−6, 12(.

a) Bontsa fel a J�-t 9�-ral és ;��-ral ∥ összetevőkre!

b) Bontsa fel ;��-t J�-ral ∥ és J�-ra ⊥ összetevőkre!

c) Adjon meg E9� + ;��F-ra ⊥ egységnyi hosszú vektort!

3. Legyen 9� = '4, 3( és ;�� = '−1, 2(.

a) Mennyi 9� ⋅ ;�� skaláris szorzat?

b) Mekkora az 9� és ;�� által bezárt szöge?

15

4. Egy háromszög csúcsainak koordinátái O'2, 0(, P'−5, 4( és R'−1, 3(. Mekko-rák a háromszög szögei?

5. Egy egységnyi élhosszúságú szabályos tetraéder egy csúcsából induló élének

vektorai: 9�, ;��, J�. Adja meg ezek segítségével a tetraéder másik 3 élvektorát!

6. Egy téglalap hosszabbik oldala négyszerese a rövidebb oldalnak. Az egyik rövi-debb oldal végpontjainak koordinátái: '1, 2( és '3, 5(. Adja meg a téglalap hi-ányzó csúcspontjainak koordinátáit!

7. Egy rombusz hosszabbik átlója háromszorosa a rövidebb átlónak. A hosszabbik átló végpontjának koordinátái '−1, −3( és '9, 5(. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit!

VI. ELŐADÁS

•••• Koordináta geometria

1. O'2, 6(, P'−3, 2(. Adja meg, a) az O és P távolságát! b) az OP���� szakasz felezőpontjának koordinátáit! c) az OP���� pontokon átmenő egyenes egyenletét! d) az OP���� szakasz felezőmerőlegesének egyenletét! e) azt a pontot, amely O-tól és P-től is 5 egység távolságra van! f) annak a körnek az egyenletét, amelynek az OP���� szakasz egy átmérője!

2. Adott két egyenes: _: 5� − 4� = 14, ℎ: 2� − 3� = 3 és a �'5, 2( pont. Adja meg a) a két egyenes metszéspontjának a �-től való távolságát. b) azon egyenes egyenletét, amely átmegy a �-n

i. és a két egyenes metszéspontján. ii. és ∥ _-vel. iii. és ⊥ ℎ-ra.

c) a � pont és a ℎ egyenes távolságát!

3. A paraméterek mely értékeire lesz köregyenlet: a) �� + �� + 4� + 10� + 9 = 0? b) 4�� + O�� − 32� + 24� + P�� + R = 0?

4. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a �'6, 1( ponton és érinti a) az �-tengelyt! b) az �-tengelyt! c) az �- és az �-tengelyt is!

16

5. A R'−1, 2( középpontú kör átmegy a �'3, −2( ponton. a) Mekkora a kör sugara? b) Adja meg a kör egyenletét!

6. Írja fel az �� + �� − 4� + 2� = 20 egyenletű körhöz a �'9, −2( pontból húzható érintő egyenletét!

7. Milyen messze van a 4�� + 4�� + 16� − 32� − 44 = 0 egyenletű kör középpont-ja az � = � + 3 egynestől?

8. Egy egyenes áthalad a '0, 5( és az '1, 3( ponton. E két pont egy olyan másod-fokú függvény grafikonjára is illeszkedik, amely tengelypontja éppen a '0, 5( pont. a) Írja fel az egyenes egyenletét! b) Adja meg a másodfokú függvényt és zérus helyeit!

VII. ELŐADÁS

•••• Sorozatok

1. Legyen az '9�( számtani sorozat. 9 = 17, 9� = 10. a) 9� =? b) � =? c)

� 9� =?����

2. Egy derékszögű háromszög oldalai egy számtani sorozat egymást követő tag-jai. A háromszög területe 150 JT�. Mekkorák az oldalak?

3. Legyen az '9�( számtani sorozat. � = 0,5, ∑ 9����� = 38 és ∑ 9��Y*��� = 69. Mennyi

a) 9� =? b) � =?

4. Legyen az '9�( számtani sorozat. 9� + 9� + 9� = −129� ⋅ 9� ⋅ 9� = 80 . Határozza meg a soro-

zat első három tagját!

5. Legyen az '9�( mértani sorozat. 9� + 9� + 9� = 399� ⋅ 9� ⋅ 9� = 729 . Határozza meg a sorozat

első három tagját!

17

6. Legyen az '9�( mértani sorozat. a) 9� = 3, 9, = 12. ��� =? b) 9� = 3, 9� = 24. ��� =? c) 9* − 9� = 9� + 9� + 9* = −6. 9� =?, � =?

7. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 25. Az első, második és ötödik egy mértani sorozat szomszédos tagjai. Határozza meg, hogy mennyi az 9�, a � és a �!

8. Egy számtan sorozat első három tagjának összege 21. Ha az elsőhöz 6-ot, a másodikhoz 13-at és a harmadikhoz 30-at adunk, akkor egy mértani sorozat egymás utáni tagjait kapjuk. Mi a számtani sorozat?

9. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 63. Ha az első taghoz 3-at adunk, harmadikból 30-at kivonunk, akkor egy számtani sorozat egymást köve-tő tagjait kapjuk. Mi a mértani sorozat?

10. Egy számtani sorozat 12. tagja valamint az első � tagjának összege is 0. A so-rozat első '2� − 1( darab tagjának az összege 495. Adja meg a sorozat első 3� tagjának összegét!

11. Egy '9�( számtani sorozatban 9� = √2. Az 9�, 9�, 9* ebben a sorrendben egy mértani sorozat első három tagja. Adja meg a mértani sorozat első 10 tagjának összegét!

12. Egy számtani sorozat első négy tagja 9�, 9�, 9�, 9*. Az 9�, 9�, 9� + 5, 9* + 20 számok egy mértani sorozat első négy tagjának reciprokjaival egyenlők. Hatá-rozza meg a mértani sorozat első tagját és a hányadosát!

13. Egy különböző számokból álló számtani sorozat első három tagjából az első és a második tag sorrendjének felcserélésével egy mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. a) Mennyi ennek a mértani sorozatnak a hányadosa? b) Adja meg egy ilyen sorozat első három tagját!

14. Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy az első � tagja közül az első négy össze-ge 26, az utolsó négy összege 110. Az első � tag összege 187. Írja fel a szám-tani sorozat első három tagját!

15. Egy pozitív egész számokból álló mértani sorozat második tagja 6, első és harmadik tagjának összege 20. Határozza meg, hogy mely pozitív egész �-ekre lesz az első � tag összege osztható 10-zel!

18

•••• Síkgeometria (háromszögek)

1. Mekkora a � szög az OPR háromszögben, ha az O-beli belső és a P-beli külső szögfelező 60°-ban metszi egymást?

2. Egy háromszög egyik szögfelezője a szemközti oldallal 85°-os, egy másik szög-felezője 54°-os szöget zár be. Mekkorák a háromszög szöge i?

3. Egy derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög szögfelezőjének a hossza 10 cm. Ez a szögfelező a szemközti befogóval 60°-os szöget zár be. Adja m eg a háromszög oldalait és szögeit!

4. Egy derékszögű háromszög befogói 6 cm és 8 cm. a) Mekkora a beírt kör sugara? b) Mekkora a köré írt kör sugara? c) Mekkora a két kör középpontjának a távolsága?

5. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 6 cm, a beírt kör sugara 2 cm. Mek-kora a másik befogó?

6. Adja meg annak a szabályos háromszögnek az oldalhosszúságait amelyet egy 10 cm sugarú a) körbe rajzolunk! b) kör köré rajzolunk!

7. Egy derékszögű háromszög befogói hosszának aránya 3:4, összegük 35. Mek-kora a háromszög területe, átfogója és az ehhez tartozó magassága?

8. Az ABC egyenlőszárú háromszög egyik szöge Q 2� , az AB szakasz 100 cm. A k

kör átmegy a C-n és érinti az AB szakaszt. A k kör területének hány %-a van az ABC háromszögön kívül?

19

VIII ELŐADÁS

•••• Síkgeometria (négyszögek, sokszögek, kör)

1. Egy deltoid átlói 75 mm, illetve 60 mm. A rövidebb áltó harmadolja a hosszab-bat. Mekkora a deltoid területe és kerülete?

2. Egy téglalap oldalai AB=6 cm, BC=8 cm. A CD oldalegyenesen felvett P pontra igaz, hogy PD=3 cm. Mekkora távolságra van a P a téglalap többi csúcsától?

3. Mi az alábbi alakzat, és mekkora a területe?

4. Egy trapéz alapjainak hossza 3 és 6. Mekkora az átlók metszéspontján át az alapokkal ∥ egyenesnek a trapéz belsejébe eső szakasza?

5. Egy szimmetrikus trapéz átlói ⊥ egymásra, és 1:2 arányban osztják egymást. A rövidebbik alap legyen 10. Mekkora a területe?

6. Egy trapéz rövidebb alapja 20 cm, magassága 4 cm. A hosszabbik alapon fek-vő két szög 45°, illetve 30°. Mekkora a trapéz kerüle te és területe?

7. Egy ABCD paralelogramma AB oldala 10. BC oldalának egy belső pontja le-

gyen P, amelyre igaz, hogy P� �R� = 2 5� . Legyen a DP és AB egyenesek met-

széspontja Q. Mekkora az AQ szakasz hossza?

8. Egy KLMN paralelogramma területe 200 cm2, a KL oldal hossza 25 cm. A ��l∢ = 120°. Mekkora a kerület és az átlók hossza?

9. Egy körgyűrűcikket 3 cm illetve 9 cm sugarú körívek határolnak, területe 18Q cm�. Mekkora a középponti szög?

10. Egy 5 cm sugarú kört 8,66 cm hosszú húrja két körszeletre bontja. Mekkorák a körszeletke területei?

20

11. Egy k kör középpontjától 38 cm-re van a P pont. A P-ből húzott két érintősza-kasz 120°-os szöget zár be. Mekkora a) a két érintőszakasz? b) a kör sugara? c) annak a síkidomnak a területe, amelyet a két érintőszakasz és az érintési

pontok által meghatározott hosszabbik körív határol?

12. Húrnégyszög-e az a négyszög, amely oldalai OP = √2, PR = √6, R� = �O = 2

és egyik áltója OR = 2√2! Válaszát indokolja!

13. Érintőnégyszög-e az a négyszög, amelyben OP = 1, OPR∢ = 90°, POR∢ = 60°, OR = O�, O� = √�� , ahol � a R� felezőpontja!

14. Hány csúcsú az a konvex sokszög, amelynek együttesen 153 oldala és átlója van?

15. Mekkora ív tartozik egy 90 cm kerületű körben a 72°-os középponti szöghöz?

•••• Térgeometria

1. Egy téglatest élei 6, 9, 12 cm. Mekkora a) szöget zárnak be

i. a testátlók a lapokkal? ii. az élekkel?

b) a téglatest felszíne és térfogata? c) a testátlók és lapátlók hossza?

2. Egy négyoldalú szabályos gúla oldaléle 6,4 cm, az oldalél az alaplap síkjával 72°-ot zár be. Mekkora a gúla magassága?

3. Egy kocka éle: a. Mekkora a) a lapátló és testátló? b) a felszín és a térfogat? c) a kocka csúcsainak az egyik testátlótól való távolsága?

4. Egy szabályos tetraéder élhossza 8 cm. Mekkora a) a magassága? b) a köré írt gömb sugara? c) a beírt gömb sugara?

5. Egy forgáskúp alapkörének az átmérője egyenlő az alkotó hosszával. Határoz-

za meg a kúp felszínét és térfogatát, ha a magassága 8√3 cm!

21

6. Mekkora annak a gömbnek a sugara, amelynek a középponttól 3 cm távolságra lévő síkmetszet területe 50,26 cm2.

7. Egy hasáb két lapja rombusz, a többi négy lapja négyzet. A hasáb minden éle 12 cm hosszú, a hasábnak van 45°-os lapszöge. Mekko ra a) a hasáb térfogata? b) a hasáb magasságai?

8. Egy 10 cm belső átmérőjű, magas üveghenger félig van vízzel. a) Melyik esetben emelkedik többet a vízszintje:

i. ha egy 3 cm sugarú tömör fémgolyót helyezünk a vízbe? ii. ha egy 5 cm élű tömör fémkockát helyezünk a vízbe?

b) Hány mm-t emelkedik a vízszint az i. és az ii. esetekben?

IX ELŐADÁS

•••• Kombinatorika, valószín űség.

1. Egy küldöttség utazik külföldre. Kilencen tudnak angolul, hatan németül, ketten mindkét nyelven beszélnek. Hány tagú a küldöttség, ha hárman e két nyelv egyikén sem tudnak megszólalni? (13)

2. Nyolc barát találkozik. Kézfogással üdvözlik egymást. Hány kézfogásra kerül sor? (28)

3. Mi a valószínűsége, hogy egy szabályos kockát többször feldobva

a) a második dobásnál kapunk először 6-ost? \ �,^

b) a harmadik dobásnál kapunk először 6-ost? \ � ��,^

4. Adott négy kártya, amelyen számok vannak: 8 , 8 , 4 , 4 . a) Hány féle különböző négyjegyű szám állítható elő? (6) b) Melyik a legnagyobb és legkisebb szám? c) Mutassa meg, hogy a legnagyobb és legkisebb így előállítható négyjegyű

szám különbsége osztható 9-cel!

5. Karcsi, Zoli, Pali és Juli a moziban 4 egymás melletti székre kapott jegyet. Pali feltétlenül Juli mellett akar ülni. Hányféleképpen foglalhatják el a helyüket? (12)

6. Mi a valószínűsége, hogy két kockát feldobva kapott számok összege 9? \��^

22

7. Egy versenyen 12-en vesznek részt. a) Hányféleképpen alakulhat ki a végső sorrend, ha csak az első hármat rang-

sorolják? \E��� F ⋅ 3!^

b) Legyen ez a verseny a selejtező, ahol csak hatan kerülhetnek a döntőbe.

Ez hányféleképpen valósulhat meg? \E��, F^

8. Egy dobozban négy különböző pár cipő van. Véletlenszerűen kiválasztunk két

darab cipőt. Mi a valószínűsége, hogy ez a két darab cipő éppen egy pár? . �E��F/

9. Egy társaságban 6 fiú és néhány lány van. Minden fiú pontosan 2 lányt ismer és minden lány pontosan 3 fiút. Hány lány van? (4)

10. Egy üzemben 500 terméket gyártottak, amiből 20 selejt. A minőségellenőrzésen találomra kiválasztanak 10 terméket.

a) Hányféle választás lehetséges? \E ���� F^

b) Hány esetben van pontosan 5 selejt a 10-ből? \E�� F ⋅ E*�� F^

11. Hány különböző módon olvasható ki a HATÁROZOTT szó a mellékelt ábrából, ha a H-tól indulva mindig csak jobbra vagy lefelé haladhatunk? (30) H A T ÁA T Á RT Á R OZ O TO T T

12. Hat tojásból kettő romlott. Véletlenszerűen kiválasztunk kettőt, mi a valószínű-

sége, hogy nem lesz köztük romlott? .>�=�/

23

Saját jegyzetek

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................