EKSISTENSI BIFURKASI HOPF DAN PENYELESAIAN NUMERIK METODE RANGE KUTTA PADA MODEL EPIDEMI DENGAN FUNGSI PENGOBATAN SATURASI

Dona Maria R , Setijo Winarko dan Lukman HanafiJurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember(ITS)Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesiaemail :setijo_winarko@yahoo.com

AbstrakPenyebaran penyakit berdampak merugikan bagi kehidupan manusia, terutama penyebaran dari penyakit model epidemi SIS karena dalam model epidemic SIS penyakit dapat menginfeksi setiap individu lebih dari sekali. Oleh karena itu perlu diketahui tentang bagaimana dinamika penyebaran penyakit model epidemi SIS agar nantinya penyebaran penyakit dapat dikendalikan dan tidak menjadi wabah di suatu daerah . Pada Tugas Akhir ini didapat bilangan reproduksi dasar dan terjadi bifurkasi mundur ketika ketika dan dan selanjutnya pada model epidemi tesebut diselidiki eksistensi Bifurkasi Hopf yang ditandai dengan adannya nilai eigen imaginer murni, jika orbit periodik stabil shingga teerjadi bifurkasi hopf superkritikal, dan jika orbit periodik tidak stabil terjadi bifukasi Hopf subkritikal.

Kata kunci : Model epidemik SIS, Bifurkasi Mundur, Stabilitas Global, Bifurkasi Hopf.

I.P ENDAHULUANPenyakit malaria, meningitis dan tuberculosis merupakan penyakit infeksi yang sangat berbahaya. Penyakit tersebut disebabkan oleh protozoa dan bakteri yang dapat menyebar melalui kontak langsung dengan penderita, udara, dan batuk atau bersin. Menurut World Health Organization (WHO) [2,3], sekitar 584.000 penduduk di seluruh dunia meninggal akibat malaria dan sekitar 1000.0000 meninggal akibat meningitis. Selanjutnya menurut Gerdunas[6], tuberculosis merupakan penyakit yang menyebabkan kematian ketiga terbesar di Indonesia.Dampak dari penyakit malaria, meningitis, dan tuberculosis sangat merugikan bagi manusia. Oleh karena itu, perlu diketahui mengenai penyebaran penyakit penyakit tersebut agar penyebaran penyakit dapat dikendalikan atau dibrantas. Penyebaran penyakit tersebut dapat disajikan menggunakan model epidemi Susceptible-Infective-Susceptible (SIS) [4,5]. Pada model SIS individu yang telah sembuh dari suatu penyakit dapat terinfeksi penyakit tersebut kembali. Hal ini dikarenakan tubuh tidak mempunyai kekebalan permanen terhadap penyakit tersebut. Adapun salah satu faktor yang mempengaruhi dinamika model epidemi adalah laju insidensi yang digunakan[1,5]. Laju insidensi adalah laju munculnya infeksi baru. Pada model epidemik sering kali digunakan laju insidensi bilinear, dengan peluang penularan penyakit ketika terjadi interaksi, dan berturut turut menyatakan jumlah individu yang rentan penyakit dan jumlah individu yang terinfeksi sekaligus memiliki kemampuan untuk menginfeksi individu lain pada saat. Laju insidensi bilinear menunjukkan bahwa kenaikan laju kontak sebanding dengan kepadatan populasi[1,7].Pengobatan merupakan salah satu metode untuk membrantas penyebaran penyakit, akan tetapi dapat terjadi suatu keadaan dimana jumlah orang yang terinfeksi semakin besar dan sarana pengobatan terbatas, sehingga menyebabkan keterlambatan pengobatan. Dampak dari keterlambatan pengobatan dapat dinyatakan dalam fungsi pengobatan saturasi , dengan laju pengobatan dan ukuran sejauh mana dampak pengobatan tertunda pada individu yang terinfeksi[5]. Bifurkasi mundur dapat terjadi apabila keterlambatan pengobatan berdampak kuat.Pada Tugas Akhir ini dicari bilangan reproduksi dasar, analisis stabilitas titik setimbang, adanya bifurkasi terutama adanya bifurkasi mundur dan bifurkasi Hopf pada model epidemi SIS yang dipengaruhi fungsi pengobatan saturasi. Selanjutnya merumuskan penyelesaian numerik dari model tersebut dengan metode Runge-Kutta beserta simulasinya.

II METODOLOGI PENELITIANA. Tahap Mengkaji Model Epidemi SISTahap mengkaji model epidemi SIS yang dipengaruhi fungsi pengobatan saturasi yang terbagi dalam 2 kompartemen yaitu Susceptible dan Infected

B. Tahap Mencari Titik Kesetimbangan dan Bilangan Reproduksi DasarPada tahap ini dilakukan analisis model model epidemi SIS yang dipengaruhi fungsi pengobatan saturasi sehingga didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit, titik kesetimbangan endemik.

C. TahapMenentukan Bilangan Reproduksi DasarPada tahap ini analisis dari matriks Jacobian titik kesetimbangan bebas penyakit untuk menentukan bilangan Reproduksi Dasar.

D. Tahap Analisis Bifurkasi Mundur Pada tahap ini dilakukan analisis perubahan kualitatif yang disebabkan oleh perubahan parameter atau dilakukan analisis terjadinya bifurkasi mundur.

E. Tahap Menganalisis Kestabilan LokalTahap ini akan dicari kestabilan lokal dari titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemikdengan memasukkan nilai kesetimbangan kedalam matriks Jacobian, sehingga didapatkan nilai akar- akar karakteristik dari matriks Jacobiannya untuk mengetahui kestabilan asimtotik lokal pada titik titik tersebut.

F. Tahap Analisis Bifurkasi Hopf Pada tahap ini diselidiki eksistensi bifurkasi Hopf yang ditandai dengan adanya nilai eigen imaginer murni dan analisis stabilitas orbitnya .

G. Tahap Simulasi Numerik Runge-Kutta orde-4 Tahap simulasi numerik Runge-Kutta orde 4 dilakukan menggunakan software pemrograman MATLAB untuk menggambarkan grafik kestabilan dan penyelesaian numerik model model epidemi SIS yang dipengaruhi fungsi pengobatan saturasi.

H. Tahap Kesimpulan dan SaranSetelah dilakukan analisa dan pembahasan maka akan diambil suatu kesimpulan dan saran sebagai masukan untuk pengembangan penelitian lebih lanjutIII ANALISIS DAN PEMBAHASANA. Model Epidemi SISModel interaksi dinamis yang akan dibahas pada TugasAkhir ini memiliki asumsi sebagai berikut:1. Populasi dibagi menjadi 2 kelompok yaitu: S adalah populasi Susceptible (kumpulan individu yang rentan terhadap penyakit) pada saat dan I adalah populasi Infected (kumpulan individu yang terinfeksi penyakit) pada saat .2. adalah laju kematian alami. adalah laju kematian alami pada populasi Susceptible, adalah laju kematian alami pada populasi Infected. adalah laju kematian yang disebabkan penyakit pada populasi populasi Infected. adalah laju rekruitmen pada populasi Susceptible. adalah laju kesembuhan pada populasi Infected.3. adalah laju isidensi bilinear atau laju munculnya infeksi baru dengan adalah peluang penularan penyakit saat terjadi interaksi antara populasi Susceptible dan Infected dimana sebanding dengan kepadatan populasi. 4. adalah fungsi pengobatan saturasi dengan adalah laju pengobatan dan adalah ukuran sejauh mana dampak pengobatan tertunda akibat keadaan saturasi pada populasi Infected.Dari asumsi di atas, dapat digambarkan diagram kompartemen dari model interaksi dinamis sebagai berikut:

Gambar 1.Diagram Kompartemen Dari Model Interaksi Dinamis

Model dapat dituliskan sebagai berikut

B. Titik Kesetimbangan 1. Titik Kesetimbangan bebas PenyakitTitik setimbang bebas penyakit adalah suatu keadaan tidak terjadi penyebaran penyakit menular dalam suatu populasi sehingga . Titik kesetimbangan model dapat didapatkan dengan

Dari persamaan didapatkantitik kesetimbangan bebas penyakit adalah

2. Titik Kesetimbangan EndemikTitik KesetimbanganEndemik digunakan untuk menunjukkan adanya kemungkinan penyebaran penyakit pada suatu populasi sehingga Titik Kesetimbangan Endemik didapatkan dengan

Sedemikian hingga

Dari persamaan didapatkan titik kesetimbangan endemic dengan , Selanjutnya dengan mensubtitusikan ke persamaan (2) diperoleh persamaan

Dengan ,, dan dan dari persamaan (5) didapat penyelesaian positif sebagai berikut dan C. Bilangan Reproduksi DasarBilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproduction Number) diperlukan sebagai parameter untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Bilangan Reproduksi dasar diperoleh dengan menentukan nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks jaobian yang dihitung pada titik kesetimbangan bebas penyakit.

D. Analisis Bifurkasi MundurDalam hal ini, menggunakan titik kesetimbangan endemic untuk mencari persamaan yang optimum untuk membuat kurva bifurkasinya. Diketahui sebagai berikut dengan , , dan Teorema 11. Untuk Persamaan mempunyai penyelesaian tunggal yaitu maka sistem persamaan mempunyai titik kesetimbangan endemik tunggal ketika dan tidak mempunyai titik kesetimbangan endemik ketika .2. Untuk . Jika , sistem persamaan mempunyai titik kestimbangan endemik tunggal ketika dan tidak mempunyai titik kesetimbangan endemik ketika .3. Untuk . Jika , sistem persamaan mempunyai titik kesetimbangan endemik tunggal ketika , tidak mempunyai titik kesetimbangan endemik ketika , dan mempunyai dua titik kesetimbangan endemik yaitu dan ketika ..Dan ketika maka dengan

sehingga di dapat

Bukti:1. Untuk maka dengan subtitsi ke persamaan didapat . Sehingga terbukti sistem persamaan mempunyai titik kesetimbangan endemik tunggal ketika dan tidak mempunyai titik kesetimbangan endemik ketika .

2. Untuk dan jika , titik endemik sistem persamaan (1)-(2) hanya bergantung pada yang bergatung pada . Jika maka negatif. diperoleh penyelesaian real bernilai positif dan penyelesaian yang lain bernilai negatif sehingga dapat disimpulkan dalam kasus ini ketika sistem persamaan (1)-(2) mempunyai titik kesetimbangan tunggal.Ketika maka persamaan (5) tidak mempunyai penyeleesaian real positif sehingga terbukti tidak mempunyai titik kesetimbangan. Sedangkan ketika maka dari persamaan didapat dengan dan maka sistem persamaan(1)-(2) tidak mempunyai titik kesetimbangan.

3. Jika maka negatif, sehingga pada persamaan diperoleh penyelesaian real bernilai positif dan penyelesaian yang lain bernilai negatif, sehingga didapat penyelesaian tunggal. Ketika persamaan mempunyai penyelesaian dengan dan maka didapat penyelesaian real positif sehingga disimpulkan mempunyai penelesaian tunggal. Selanjutnya ketika maka didapat yang selanjutnya disubtitusi ke persamaan sehingga didapakan Selanjutnya ketika maka sistem persamaan (1)-(2) tidak mempunyai titik kesetimbangan endemik dan ketika terdapat dua titik kesetimbangan endemik yaitu dan .

Teorema 2Jika sistem persamaan (4.1)-(4.2) terjadi bifurkasi mundur ketika Bukti:Untuk menggambar kurva bifurkasi diasumsikan sebagai varibel, dengan parameter yang lain konstan.Difrensial implisit dari terhadap adalah. Jikamaka kurva bifurkasi memiliki kemiringan positif, dan jika . Selanjutnya jika tidak terjadi bifurkasi mundur ketika maka titik endemik tunggal untuk memenuhi

dan kurva mempunyai kemiringan positif untuk semua titik . Jika terdapat bifurkasi mundur ketika maka terdapat interval antara dua titik endemik sebagai berikut

Kurva bifurkasi mempunyai kemiringan negatif lebih pendek dan mempunyai kemiringan positif yang lebih panjang. Terlihat dari gambar 2.

Gambar 2. Bifurkasi mundur dengan dan

Pada Gambar 2 grafik bifurkasi mundur mempunyai . Hal ini membuktikan bahwa terjadi bifurkasi mundur ketika .Dan memenuhi Teorema 1 yang menyatakan bahwa terjadi bifurkasi mundur apabila terdapat titik kritis . Sesuai kondisi yang ada pada Teorema 1 tersebut ketika penyakit tidak akan menghilang sekalipun maka titik kritis dapat digunakan sebagai ambang batas baru untuk mengontrol penyebaran pennyakitpenyakit.

Teorema 3Pada sistem persamaan terjadi bifurkasi mundur ketika dengan

Bukti Ketika sehingga dilakukan pembuktian terjadi bifurkasi mundur ketika (7)Diketahui sebelumnyya bahwa dengan ada kondisi maka didapat

Dari persamaan dan (8 didapat Selanjutnya dengan merduksi persamaan didapat

E. Analisis Stabilitas Global

Teorema 4Titik bebas penyaki stabil asimtotis lokal ketika dan tidak stabil ketika .

Bukti Pada titik Kesetimbangan bebas penyakit didapat matriks Jacobian

selanjutnya dicari persamaan karakteristik dengan menggunakan

Sehingga didapat akar akar karakteristik sebagai berikut :

dan diperoleh nilai eigen dari karkarakteristiknya sebagai berikut Sehingga didapatkan analisis kstabilan lokal, jika maka dan semua nilai eigen dari akar persamaan karakteristik bernilai real negatif. .Hal ini menunjukkan bahwa titik kesetimbangan stabil asimtotis loka.l sebaliknya jika titik kesetimbangan tidak stabil.

Teorema 5Ketika dan , maka titik endemik tunggal stabil asimstotis lokal.Bukti Dari analisis bifurkasi pada Teorema 1, diketahui bahwa persamaan (1)-(2) mempunyai titik kesetimbangan endemik bernilai tunggal ketika . Selanjutnya pada matriks Jacobian titik kesetimbangan endemik tunggal

disubtitusi dan dengan menggunakan persamaan ,sehingga matriks matriks dapat direduksi menjadi

Dari matriks yang telah tereduksi diperoleh . Sesuai dengan kondisi maka . Selanjtnya didapat dengan menggunakan kembali kondisi diperoleh Dengan menggunakan krietria kestabilan ketika dan terbukti bahwa mempunyai dua nilai eigen negatif dan terbukti bahwa titik endemik tunggal stabil asimtotis lokal ketika dan .Teorema 6Titik Endemik merupakan titik saddle

Bukti Berdasarkan matriks Jacobian titik kesetimbangan endemik

Diperoleh. Pada Teorema 1 jika dan terdapat .Selanjutnya didapatkan dan. Maka terdapat titik endemik tunggal sedemikian hingga ketika ketika ketikadengan selanjutnya dari persamaan dengan didapat dandan dengan menggunakan syarat batas didapat . Sehingga terbukti bahwa dan . Karena maka dan .Dengan demikian didapat dan oleh kedua hal tersebut memenuhi kriteria kestabilan saddle point.

Teorema 7 Jika maka titik endemik stabil asimtotis lokal, Jika maka titik endemik tidak stabil dengan dengan dan

Bukti Berdasarkan matriks Jacobian titik kesetimbangan endemik

Didapat dengan subtiusi maka didapatkan Dengan merupakan derajat pertama polynomial dan merupakan sisa dari pembagian dibagi .Selanjutnya karena maka dan karena

Selanjutnya dari persamaan diketahui bahwa dan , sedemikian hingga Oleh karena it terbukti bahwa stabil asimtotis lokal ketika , dan sebaliknya apabila maka tidak stabil.

F. Analisis Bifurkasi Hopf1. Daerah Penyelesaian ModelDengan menjumlahkan persamaan (1)-(2), sehingga didapatkan total populasi sehingga dapat ditulis sebagai berikut Dinotasikan bahwa .Sehingga maka

merupakan invarian positif dan atraktif terhadap system persamaan (1)-(2)

Teorema 8Ketika , titik bebas penyakit global asimtotis lokal sehingga penyakit akan menghilang.

Bukti Pada Teorema 1 telah dibuktikan bahwa ketika model tidak mempunyai titik endemik. Dari Teorema Poincare-Bendixson , diketahui bahwa tidak terdapat orbit periodik di sehingga terdapat titik bebas penyakit di . Karena merupakan batas daerah invarian positif dan hanya titik yang berada di , stabilitas lokal dari mengakibatkan setiap penyelesaian awal di mendekati . Jadi titik bebas penyakit stabil asimotis global.

Teorema 9Ketika dan maka sistem persamaan tidak mempunyai limit cycle

Bukti Dengan menggunakan teorema Dulax diselidiki keberadaan limit cycle. Dengan mensubtitusi pada persamaan dan menjumlahkan keduanya sehingga didapatkan Dan ketika dan diperoleh persamaan dan terbukti persamaan tidak mempunyai limit cycle ketika dan .

Teorema 12 Pada persamaan (terjadi bifurkasi Hopf jika .Selanjutnya jika orbit periodik dari system persamaan (1)-(2) stabil sebagaimana menurun dari 0 sehingga terjadi bifurkasi Hopf superkritikal. Dan jika orbit periodic dari system persamaan (1)-(2) tidak stabil sebagaimana meningkat dari 0 sehingga terjadi bifurkasi Hopf subkritikal.

Bukti Pada titik kesetimbangan terjadi bifurkasi Hopf jika dan hanya jika mempunyai nilai eigen imajiner murni dan terjadi nilai eigen imajiner murni jika dan hanya jika Dan dari persamaan didapat bahwa sehingga terbukti ketika maka terjadi bifurkasi Hopf dengan syarat transversal

Selanjutnya dilakukan analisis stabilitas orbit periodik bifurkasi Hopf dengan meenggunakan index stabilitas pada persamaan subtitusi dan , sehingga didapatkan dengan Karena bagian imaginer murni pada nilai eigen

adalah , maka didefinisikan Dan Sehingga persamaan (1) dan (2) dapat ditulis kembali menjadi Dengan

Dengan menggunakan index stabilitas persamaan

didapat

dengan

Dan didapat orbit periodik pada sistem persaamaan sperti pada Gambar 3

Gambar 3. Orbi Periodik dan

Selanjutnya jika orbit periodik dari system persamaan (1)-(2) stabil sehingga terjadi bifurkasi Hopf superkritikal. Dan jika orbit periodic dari system persamaan (1)-(2) tidak stabil sehingga terjadi bifurkasi Hopf subkritikal.

G.Tahap Simulasi Numerik Runge-Kutta orde-4

Setelah didapatkan titik setimbang bebas penyakit, titik setimbang endemik. Maka dilakukan simulasi numerik dengan metode Runge Kutta orde 4 dalam program Matlab sehingga didapat1. Simulasi Numerik Titik Kesetimbang Bebas Penyakit dengan parameter dengan parameter

Gambar 4.Solusi Numerik Titik Kestimbangan Bebas Penyakit

Pada Gambar 4. Didapat dan populasi Susceptible, Infected berturut turut pada keadaan bebas penyakit adalah pada saat . Laju Populasi SusceptibleLaju perubahan populasi susceptible mengalami peningkatan kemudian stabil, sebab tidak ada penyebaran penyakit. Laju Populasi InfectedLaju perubahan populasi infected mengalami penurunan, seiring dengan kenaikan yang dialami populasi susceptible. Kemudian populasi infected stabil menuju ke nol, ini mengindikasikan bahwa jumlah iindividu yang terinfeksi penyakit perlahan lahan mulai berkurang. 2. Simulasi Numerik Titik Kesetimbang Bebas Penyakit dengan parameter dengan parameter

Gambar 5.Solusi Numerik Titik Kestimbangan Endemik

Pada Gambar 5. Didapat , maka titik endemic populasi Susceptible, infected berturut turut adalah pada saat Laju Populasi SusceptibleLaju perubahan populasi susceptible mengalami peningkatan selanjutnya mengalami penurunan yang stabil hal ini diakibatkan karena laju kesembuhan mengalami penurunan yang disebabkan adanya pengobatan saturasi. Laju Populasi InfectedLaju perubahan populasi infected mengalami kenaikan yang yang menjelaskan terjadinya endemik ketika .IV KESIMPULANBerdasarkan keseluruhan hasil analisis dapat disimpulkan bahwa1. Diperoleh Bilangan Reproduksi Dasar

Titik Kestimbangan Bebas Penyakit

Dan Titik Kestimbangan Endemik

Dengan , , dan Serta analsis Stabilitas lokal sebagai berikuta. Kestabilan lokal Titik Kesetimbangan bebas penyakit. maka stabil asimtotis lokal ketika . .Dan ketika titik kesetimbangan tidak stabil.b. Ketika dan maka titik endemic tunggal stabil asimstotis lokal.c. Titik Endemik merupakan titik saddle dimanapun keberadaannyad. Jika maka titik endemik stabil asimtotis lokal, Jika maka titik endemik tidak stabilil dengan dengan dan

2. Pada persamaan model epidemik SIS yang dipengaruhi fungsi pengobatan saturasi mengalami bifurkasi mundur ketika dan dan .

3. Analisis Bifurkasi HopfBifurkasi Hopf terjadi jika .Selanjutnya jika orbit periodik stabil sehingga terjadi bifurkasi Hopf superkritikal. Jika orbit periodik tidak stabil sebagaimana sehingga terjadi bifurkasi Hopf subkritikal.V.DAFTAR PUSTAKA[1]Xiao, Y. Zhang, W. Deng, G. dan Liu, Z. (2014). Stability and Bogdanov-Taken Bifurcation of SIS Epidemic Model with Saturted Treatment Function.

[2]World Health Organization. (2014). Maningitis disease.

[3]World Health Organization. (2014). Malaria Fact.

[4]Hetchcote, H. W. (2008). The Basic Epidemiology Models : Models, Expressions For , Parameter Estimation, And Applications, in Mathematical Understanding of Infectous Disease Dynamics.World Scientic Publishing Co. Pte.Ltd., Lecture Notes Series Institute for MathematicalSciences, National University of Singapore.

[5]Zhang, X. (2008). Backward Bifurcation of an Epidemic Model with Saturated Treatment Function. Journal of Mathenatical Analysis and Applications, vol. 348.no.1,pp.433-443

[6]Gerdunas, T. B. (2007). Pedoman Nasional Penanggulangan Tuberculosis , 2 ed. Departemen Kesehatan Republik Indonesia

[7]Wang,W. (2003). Bifurrcation in a Epidemic Model wih Constant Removal Rae of The Bifurcation Infectives.Journal of Diffrential Equations,vol.188,no.1.pp135-163.

8