Bilangan Berpangkat Dan Bentuk Akar 9.2
Dari Crayonpedia
Langsung ke: navigasi, cariUntuk materi ini mempunyai 3
Kompetensi Dasar yaitu:Kompetensi Dasar: 1. Mengidentifikasi
sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar
2. Melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat
bulat dan bentuk akar
3. Memecahkan masalah sederhanayang berkaitan dengan bilangan
berpangkat dan bentuk akar
Daftar isi
1 Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif 2
Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif 3 Bentuk Akar
dan Bilangan Berpangkat Pecahan
3.1 Bilangan Rasional dan Irasional 3.2 Bentuk Akar 3.3 Mengubah
Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya 4
Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
4.1 Penjumlahan dan Pengurangan 4.2 Perkalian dan Pembagian 4.3
Perpangkatan 4.4 Operasi Campuran 5 Merasionalkan Penyebut
5.1 Penyebut Berbentuk b 5.2 Penyebut Berbentuk (a+b) atau (a+b)
5.3 Penyebut Berbentuk (b+d) atau (b+d) 6 Referensi
Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif
Masih ingat bentuk berikut:32 = 3 x 323 = 2 x 2 x 256 = 5 x 5 x
5 x 5 x 5 x 5 Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum
sebagai berikut.
Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari
pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.
Sifat 1an x an = am + n 24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 = 24+3
Sifat 2am: an = am - n, m > n55: 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5): (5
x 5 x 5) = 5 x 5 = 52 = 55 - 3
Sifat 3(am)n = am x n(34)2 = 34 x 34 = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3
x 3 x 3) = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3) = 38 = 34 x 2Sifat 4(a x
b)m = am x bm(4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2) = (4 x 4 x 4) x
(2 x 2 x 2) = 43 x 23
Sifat 5(a: b)m = am: bm(6: 3) 4 = (6: 3) x (6: 3) x (6: 3) x (6:
3) = (6 x 6 x 6 x 6): (3 x 3 x 3 x 3) = 64: 34Bilangan Bulat dengan
Eksponen Bilangan Bulat Negatif
Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 20 = 1 dan 2-n =
1/2n , secara umum dapat ditulis:
Pecahan Berpangkat Bilangan BulatKita telah mengetahui bahwa
pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat
(b 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan
bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan
bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat
yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
Contoh:Tentukan hasil berikut ini!
(1/2)5Jawab:
Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan
Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b 0. Bilangan rasional
merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh
bilangan rasional adalah -5, -1/2, 0, 3, 3/4, dan 5/9.Sebaliknya,
bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan
dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b 0.Contoh bilangan
irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan
kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal
yang berulang. Misalnya
2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan
rasional dan irasional disebut bilangan real.
Bentuk Akar
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional
adalah2 dan5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah
kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan
bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar
pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisia2 = a
jika a 0, dan a jika a < 0
Contoh:Sederhanakan bentuk akar berikut 75Jawab:75 = 25x3 = 25 x
3 = 53
Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan
Sebaliknya
Bentuk a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk
akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya
sama dengan a. oleh karena itu 2,3, 5, 10, 15 dan 19 merupakan
bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar nam dapat
ditulis am/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk am/n disebut
bentuk pangkat pecahan.
contoh:
jawab:
Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan
jika memiliki suku-suku yang sejenis.
kesimpulan:jika a, c = Rasional dan b 0, maka berlaku
ab + cb = (a + c)b
ab - cb = (a - c)b
Perkalian dan Pembagian
Contoh:Tentukan hasil operasi berikut:
jawab:
Perpangkatan
Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga
berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu
bilangan.Contoh:
Operasi Campuran
Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian
akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada
bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan
operasi hitung berikut.
Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah
bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
Jika tidak ada tanda kurungnya maka
1. pangkat dan akar sama kuat;
2. kali dan bagi sama kuat;
3. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal
dikerjakan terlebih dahulu;
4. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya
kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.
Contoh:
Merasionalkan Penyebut
Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan
penyebut bentuk akar, misalnya
Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya
harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar
pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang
akan dirasionalkan berturut-turut adalah
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut
bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan
rasional.
Penyebut Berbentuk b
Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta b adalah bentuk
akar maka pecahan a/b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara
mengalikan pecahan tersebut dengan b/b .
Contoh:Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan
penyebutnya!
jawab:
Penyebut Berbentuk (a+b) atau (a+b)
Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+b) atau
(a+b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara
mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan
dari (a+b) adalah (a+b) adalah dan sebaliknya.Bukti
Contoh:
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
jawab:
Penyebut Berbentuk (b+d) atau (b+d)
Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang
dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai
berikut.
Contoh:
Selesaikan soal berikut!
Jawab:
Heksadesimal
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Heksadesimal atau sistem bilangan basis 16 adalah sebuah sistem
bilangan yang menggunakan 16 simbol. Berbeda dengan sistem bilangan
desimal, simbol yang digunakan dari sistem ini adalah angka 0
sampai 9, ditambah dengan 6 simbol lainnya dengan menggunakan huruf
A hingga F. Nilai desimal yang setara dengan setiap simbol tersebut
diperlihatkan pada tabel berikut:
0hex=0dec=0oct0000
1hex=1dec=1oct0001
2hex=2dec=2oct0010
3hex=3dec=3oct0011
4hex=4dec=4oct0100
5hex=5dec=5oct0101
6hex=6dec=6oct0110
7hex=7dec=7oct0111
8hex=8dec=10oct1000
9hex=9dec=11oct1001
Ahex=10dec=12oct1010
Bhex=11dec=13oct1011
Chex=12dec=14oct1100
Dhex=13dec=15oct1101
Ehex=14dec=16oct1110
Fhex=15dec=17oct1111
KonversiKonversi dari heksadesimal ke desimalUntuk
mengkonversinya ke dalam bilangan desimal, dapat menggunakan
formula berikut:
Dari bilangan heksadesimal H yang merupakan untai digit hnhn
1...h2h1h0, jika dikonversikan menjadi bilangan desimal D,
maka:
Sebagai contoh, bilangan heksa 10E yang akan dikonversi ke dalam
bilangan desimal:
Digit-digit 10E dapat dipisahkan dan mengganti bilangan A sampai
F (jika terdapat) menjadi bilangan desimal padanannya. Pada contoh
ini, 10E diubah menjadi barisan: 1,0,14 (E = 14 dalam basis 10)
Mengalikan dari tiap digit terhadap nilai tempatnya.
= 256 + 0 + 14
= 270
Dengan demikian, bilangan 10E heksadesimal sama dengan bilangan
desimal 270.Konversi dari desimal ke heksadesimal
Sedangkan untuk mengkonversi sistem desimal ke heksadesimal
caranya sebagai berikut (kita gunakan contoh sebelumnya, yaitu
angka desimal 270):
270 dibagi 16 hasil: 16 sisa 14 ( = E )
16 dibagi 16 hasil: 1 sisa 0 ( = 0 )
1 dibagi 16 hasil: 0 sisa 1 ( = 1 )
Dari perhitungan di atas, nilai sisa yang diperoleh (jika
ditulis dari bawah ke atas) akan menghasilkan: 10E yang merupakan
hasil konversi dari bilangan desimal ke heksadesimal itu.Sistem
bilangan
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Sistem bilangan numerik adalah sebuah simbol atau kumpulan dari
simbol yang merepresentasikan sebuah angka. Numerik berbeda dengan
angka. Simbol "11", "sebelas" and "XI" adalah numerik yang berbeda,
tetapi merepresentasikan angka yang sama yaitu sebelas.
Artikel ini akan menjelaskan beberapa sistem numerik. Secara
garis besar terdapat dua sistem numerik, yaitu sistem numerik
berdasarkan penambahan (english: addition) dan sistem numerik
berdasarkan posisi (eng. position).
Daftar isi
1 Sistem Numerik Berdasarkan Penambahan 2 Sistem Numerik
Berdasarkan Posisi
2.1 Basis eksponen 2.2 Faktoradik 3 Lihat pula
Sistem Numerik Berdasarkan Penambahan
Sistem numerik yang paling sederhana adalah Sistem numerik
unary. Sistem ini sering dipakai untuk melakukan pemilihan pada
suatu voting. Contoh dari Sistem numerik Unary adalah Tally mark.
Kerugiann penggunaan dari sistem numerik Unary adalah sistem ini
membutuhkan tempat yang besar.
Selain sistem numerik unary, contoh lain dari sistem numerik
berdasarkan penambahan adalah angka Romawi.
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
Angka Romawi dituliskan dengan simbol dari angka yang tersedia
kemudian ditambahkan atau dikurangkan.
Sebagai contoh adalah 1970 disimbolkan dalam angka romawi dengan
MCMLXX. Simbol M merepresentasikan angka 1000. Simbol CM
merepresentasikan 900, hal ini dikarenakan oleh peraturan dalam
penulisan angka romawi, yang tidak diperkenakan pengulangan suatu
simbol lebih dari tiga kali. Jadi apabila 900 dituliskan dengan
simbol DCCCC maka penulisan tersebut salah. Simbol C disebelah kiri
atau sebelum M merupakan angka pengurang dari angka sesudahnya,
jadi CM = 1000-100 = 900. Simbol selanjutnya adalah LXX yang
melambangkan angka 70.
Angka Romawi ini digunakan di Eropa sampai dengan abad ke 15.
Kekurangan dari sistem ini adalah tidak adanya angka Nol.
Sistem Numerik Berdasarkan Posisi
Di dalam sistem numerik ini, penulisan angka berdasarkan posisi
dan basis. Posisi suatu angka dalam sistem ini menentukan nilai
dari bilangan yang diwakilinya. Maka notasi yang digunakan disebut
notasi posisional. Sistem numerik berdasarkan posisi yang sangat
terkenal dan dipakai paling luas adalah sistem bilangan desimal.
Sistem desimal ini merupakan sistem numerik berdasarkan posisi yang
berbasis 10. Simbol 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 adalah bagian dari
sistem desimal. Sebagai contoh 612, angka ini berarti:
2 100 = 2 1 = 2
1 101 = 1 10 = 10
6 102 = 6 100 = 600
Basis eksponen
Selain sistem desimal yang digunakan sehari-hari, terdapat pula
sistem lainnya, yaitu:
Sistem biner, berbasis 2,
Sistem oktal, berbasis 8,
Sistem heksadesimal, berbasis 16,
Sistem seksagesimal, berbasis 60,
dan sistem numerik berbasis lainnya.
Seluruh sistem di atas menggunakan eksponen. Berarti setiap
angka pada posisi tertentu, nilainya adalah sebesar angka tersebut
dikalikan basisnya dipangkatkan posisinya.
Faktoradik
Artikel utama untuk bagian ini adalah: FaktoradikFaktoradik
menggunakan pengali yang berbeda untuk setiap posisi bilangannya.
Pengalinya adalah sesuai dengan faktorial posisinya.
Sistem bilangan desimal
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Sistem bilangan desimal adalah
bilangan" sistem bilangan yang menggunakan 10 macam angka dari
0,1, sampai 9. Setelah angka 9, angka berikutnya adalah 1 0, 1 1,
dan seterusnya (posisi di angka 9 diganti dengan angka 0, 1, 2, ..
9 lagi, tetapi angka di depannya dinaikkan menjadi 1). Sistem
bilangan desimal sering dikenal sebagai sistem bilangan berbasis
10, karena tiap angka desimal menggunakan basis (radix) 10, seperti
yang terlihat dalam contoh berikut:
angka desimal 123 = 1*102 + 2*101 + 3*100Berikut adalah tabel
yang menampilkan sistem angka desimal (basis 10), sistem bilangan
biner (basis 2), sistem bilangan/ angka oktal (basis 8), dan sistem
angka heksadesimal (basis 16) yang merupakan dasar pengetahuan
untuk mempelajari komputer digital. Bilangan oktal dibentuk dari
bilangan biner-nya dengan mengelompokkan tiap 3 bit dari ujung
kanan (LSB). Sementara bilangan heksadesimal juga dapat dibentuk
dengan mudah dari angka biner-nya dengan mengelompokkan tiap 4 bit
dari ujung kanan.
DesimalBiner (8 bit)OktalHeksadesimal
00000 000000000
10000 000100101
20000 001000202
30000 001100303
40000 010000404
50000 010100505
60000 011000606
70000 011100707
80000 100001008
90000 100101109
100000 10100120A
110000 10110130B
120000 11000140C
130000 11010150D
140000 11100160E
150000 11110170F
160001 000002010
imbolberasal dari kata symballo yang berasal dari bahasa Yunani.
Symballo artinya melempar bersama-sama, melempar atau meletakkan
bersama-sama dalam satu ide atau konsep objek yang kelihatan,
sehingga objek tersebut mewakili gagasan. Simbol dapat
menghantarkan seseorang ke dalam gagasan atau konsep masa depan
maupun masa lalu.[1] Simbol adalah gambar, bentuk, atau benda yang
mewakili suatu gagasan, benda, ataupun jumlah sesuatu. Meskipun
simbol bukanlah nilai itu sendiri, namun simbol sangatlah
dibutuhkan untuk kepentingan penghayatan akan nilai-nilai yang
diwakilinya. Simbol dapat digunakan untuk keperluan apa saja.
Semisal
pengetahuan" ilmu pengetahuan, kehidupan sosial, juga keagamaan.
Bentuk simbol tak hanya berupa benda kasat mata, namun juga melalui
gerakan dan ucapan. Simbol juga dijadikan sebagai salah satu
infrastruktur bahasa, yang dikenal dengan bahasa simbol.
Simbol dari 9 agama di dunia: Kristen, Yahudi, Hindu, Islam,
...
Simbol paling umum ialah tulisan, yang merupakan simbol
kata-kata dan suara. Lambang bisa merupakan benda sesungguhnya,
seperti salib (lambang Kristen) dan tongkat (yang melambangkan
kekayaan dan kekuasaan). Lambang dapat berupa warna atau pola.
Lambang sering digunakan dalam puisi dan jenis sastra lain,
kebanyakan digunakan sebagai metafora atau perumpamaan. Lambang
nasional adalah simbol untuk negara tertentu.
Kesalahan terbesar manusia dalam memahami simbol adalah
menganggap bahwa simbol adalah substansi. Sehingga mereka kerap
kali terjebak pada pembenaran terhadap semua hal yang hanya
bersifat kasat mata sebagai kebenaran hakiki. Muara dari kesalahan
itu adalah fanatisme. Contoh kasus: Agama X menyebut kata Tuhan
dengan sebutan X1, sedangkan agama Y menyebutnya dengan Y1.
Masing-masing agama mengklaim bahwa penyebutan yang benar adalah
menurut cara mereka masing-masing. Di luar penyebutan itu, dianggap
sebagai ajaran sesat.
Begitu pula dengan bahasa yang dipakai. Agama A menggunakan
bahasa A1 baik dalam kitab sucinya, maupun dalam tata cara ibadah.
Di lain pihak, agama B memilih menggunakan bahasa B1. Perbedaan
simbolik yang hanya terletak pada permukaan itu dijadikan alasan
untuk saling membenci, dan memusuhi satu sama lain.
Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis dua adalah
sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0
dan
(angka)" 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh
Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini
merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital. Dari
sistem biner, kita dapat mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal
atau Hexadesimal. Sistem ini juga dapat kita sebut dengan istilah
bit, atau Binary Digit. Pengelompokan biner dalam komputer selalu
berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte/bita. Dalam istilah komputer, 1
Byte = 8 bit. Kode-kode rancang bangun komputer, seperti ASCII,
American Standard Code for Information Interchange menggunakan
sistem peng-kode-an 1 Byte.
20=1
21=2
22=4
23=8
24=16
25=32
26=64
dst
[sunting] Perhitungan
DesimalBiner (8 bit)
00000 0000
10000 0001
20000 0010
30000 0011
40000 0100
50000 0101
60000 0110
70000 0111
80000 1000
90000 1001
100000 1010
110000 1011
120000 1100
130000 1101
140000 1110
150000 1111
160001 0000
Perhitungan dalam biner mirip dengan menghitung dalam
numerik" sistem bilangan lain. Dimulai dengan angka pertama, dan
angka selanjutnya. Dalam sistem bilangan desimal, perhitungan
mnggunakan angka 0 hingga 9, sedangkan dalam biner hanya
menggunakan angka 0 dan 1.
contoh: mengubah bilangan desimal menjadi biner
desimal = 10.
berdasarkan referensi diatas yang mendekati bilangan 10 adalah 8
(23), selanjutnya hasil pengurangan 10-8 = 2 (21). sehingga dapat
dijabarkan seperti berikut
10 = (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20).
dari perhitungan di atas bilangan biner dari 10 adalah 1010
dapat juga dengan cara lain yaitu 10: 2 = 5 sisa 0 (0 akan
menjadi angka terakhir dalam bilangan biner), 5(hasil pembagian
pertama): 2 = 2 sisa 1 (1 akan menjadi angka kedua terakhir dalam
bilangan biner), 2(hasil pembagian kedua): 2 = 1 sisa 0(0 akan
menjadi angka ketiga terakhir dalam bilangan biner), 1 (hasil
pembagian ketiga): 2 = 0 sisa 1 (0 akan menjadi angka pertama dalam
bilangan biner) karena hasil bagi sudah 0 atau habis, sehingga
bilangan biner dari 10 = 1010atau dengan cara yang singkat
10:2=5(0),5:2=2(1),2:2=1(0),1:2=0(1)sisa hasil bagi dibaca dari
belakang menjadi 1010Oktal atau sistem bilangan basis 8 adalah
sebuah
bilangan" sistem bilangan berbasis delapan. Simbol yang
digunakan pada sistem ini adalah 0,1,2,3,4,5,6,7. Konversi Sistem
Bilangan Oktal berasal dari
bilangan biner" Sistem bilangan biner yang dikelompokkan tiap
tiga bit biner dari ujung paling kanan (LSB atau Least Significant
Bit).
BinerOktal
000 00000
000 00101
000 01002
000 01103
000 10004
000 10105
000 11006
000 11107
001 00010
001 00111
001 01012
001 01113
001 10014
001 10115
001 11016
001 11117
Garis Bilangan
August 10, 2008
By aurino
Garis BilanganSecara geometris, sistem bilangan real {R} dapat
digambarkan dengan garis lurus. Buat garis yang dimulai dari
sembarang titik yang dianggap dan ditandai sebagai titik 0. Titik
ini dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua
sisi dari O dibuat bagian sama besar (segmen) dengan kesepakatan
arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah
kiri O. Selanjutnya, tuliskan bilangan-bilangan bulat positif 1, 2,
3, pada masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan -1,
-2,- 3, pada titik-titik di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap
segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-bilangan 1/2,
misalnya 2 1/2, atau 1 1/2
Bilangan asli
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Belum DiperiksaLangsung ke: navigasi, cari
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan
bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan
tradisional, yaitu himpunan
bulat" bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}.
Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer,
adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}.
Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling
sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan
dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan
beberapa jenis kera besar (Inggris: apes) juga bisa
menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan
yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih
dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan
prima" bilangan prima, dipelajari dalam
bilangan" teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli
dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan
suatu himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg
tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifat universal.
Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli
sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano
(sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan
pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman
logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam
teori matematika, himpunan semua
rasional" bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap,
diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
Bilangan asli dapat digunakan untuk menghitung (satu apel, dua
apel, tiga apel, ...).
[sunting] Sejarah bilangan asli
Bilangan asli memiliki asal dari kata-kata yang digunakan untuk
menghitung benda-benda, dimulai dari bilangan satu.
Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan
bilangan" sistem bilangan untuk melambangkan angka-angka. Ini
memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh, orang-orang
Babylonia mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan
10. Orang Mesir kuno memiliki sistem bilangan dengan hieroglif
berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai pada satu juta.
Sebuah ukuran batu dari Karnak, tertanggal sekitar 1500 SM dan
sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2
ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk
angka 4622.
Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol
sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan
dalam notasi posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun
mereka mencopotnya bila menjadi lambang terakhir pada bilangan
tersebut. Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan
India Brahmagupta.
Pada abad ke-19 dikembangkan definisi bilangan asli
menggunakan
himpunan" teori himpunan. Dengan definisi ini, dirasakan lebih
mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan
kosong" himpunan kosong) sebagai bilangan asli, dan sekarang
menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, logika dan
komputer" ilmu komputer. Matematikawan lain, seperti dalam
bidang
bilangan" teori bilangan, bertahan pada tradisi lama dan tetap
menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.
Bilangan bulat
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Belum DiperiksaLangsung ke: navigasi, cari
Simbol yang digunakan untuk melambangkan himpunan bilangan
bulatBilangan bulat terdiri dari
cacah" bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3,
...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara
terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal
atau pecahan.
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan
dengan Z (atau ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk
"bilangan").
Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian.
Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan
bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah
operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu
bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah
pembagian.
PenambahanPerkalian
closure:a+b adalah bilangan bulatab adalah bilangan bulat
Asosiativitas:a+(b+c)=(a+b)+ca(bc)=(ab)c
Komutativitas:a+b=b+aab=ba
Eksistensi unsur identitas:a+0=aa1=a
Eksistensi unsur invers:a+(a)=0
Distribusivitas:a(b+c)=(ab)+(ac)
Tidak ada pembagi nol:jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau
keduanya)
[
pemrograman" sunting] Bilangan bulat sebagai tipe data dalam
bahasa pemrograman
[sunting] Dalam Pascal
Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar
dalam bahasa pemrograman Pascal. Walaupun memiliki ukuran 2 byte
(16 bit),karena integer adalah type data signed maka hanya mampu
di-assign nilai antara -215 hingga 215-1 yaitu -32768 sampai 32767.
Ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda
positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe
data integer pada bahasa pemrograman
Basic .NET" Visual Basic .NET dan
Delphi" Borland Delphi memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed
sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga
2,147,483,647.
Borland Delphi: smallint
Visual Basic .NET: short
Bilangan cacah
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Belum DiperiksaLangsung ke: navigasi, cari
Bilangan cacah adalah himpunan
bulat" bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3
...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0.Jadi,
bilangan cacah harus bertanda positif
