Biochemische Reaktionen. Gliederung 1. Einführung 1. Das Massenwirkungsgesetz 1. Enzyme 3.1 Enzymkinetik 3.2 Modelle 3.2.1 Gleichgewichtsapproximation

Biochemische Reaktionen

Gliederung

1. Einführung

1. Das Massenwirkungsgesetz

1. Enzyme

3.1 Enzymkinetik 3.2 Modelle 3.2.1 Gleichgewichtsapproximation

3.2.2 Quasi – Stationaritätsapproximation 3.3 Enzyminhibition

3.3.1 kompetitive Inhibition3.3.2 allosterische Inhibition3.3.3 Kooperativität

3.4 Das Monod – Wyman – Modell

4. Glykolyse und Glykolytische Oszillation

1. Einführung

audesapere.ch/homoeopathie/neuewegekrebs/neuewegekrebs.html - 37k -

• Reaktionsgeschwindigkeit Die Geschwindigkeit, mit der eine reagierende Substanz verbraucht oder mit der

ein Reaktionsprodukt gebildet wird

Sie ist abhängig von: 1. Zahl der Zusammenstöße pro Zeiteinheit2. Anteil mit ausreichender Kollisionsenergie3. Anteil mit geeigneter Orientierung

• Geschwindigkeitskonstante – durch das Symbol k darstellbar– Stellt die Proportionalität der Reaktionsgeschwindigkeit v zu den Konzentrationen

der Substrate dar– v = k1[A] Reaktion 1. Ordnung– v = k2[A][B] Reaktion 2. Ordnung– abhängig von der geometrischen Struktur und Größe der reagierenden Moleküle &

der Temperatur

• ReaktionsrateSie gibt an, wie oft die chemischen Reaktionen pro Zeiteinheit im Einheitsvolumen stattfinden: Sie ist somit proportional zur Anzahl der Zusammenstöße pro Zeiteinheit

zwischen Edukten

V =d [P]

dt

v=d [ A]

dt

1. Einführung

• Reaktion 1. OrdnungA B

die Reaktionsgeschwindigkeit ist proportional zur Konzentration von A

• Reaktion 2. OrdnungA + B C + D

die Reaktionsgeschwindigkeit hängt von der Konzentration zweier Reaktionsteilnehmer abhängt

1. Einführung


A + B C

• Reaktionsrate:

→ Massenwirkungsgesetz (MWG)

• Die Reaktionskonstante verdoppelt sich nicht zwingend mit der Verdoppelung der Konzentration eines Substrats

d [C ]dt

d [ C ]

dt= k [ A ] [ B ]

k

A + B C

die Konzentrationsänderung von A für die Reaktion lautet:

= k-[C] – k+[A][B]

im Gleichgewichtszustand ändern sich die Konzentrationen nicht, es gilt:

[C]eq = [A]eq[B]eq

sind A und C an keinen weiteren Reaktionen beteiligt,so gilt [A] + [C] = A0 (const.)

→ [C] = A0

Keq = k-/k+ heißt Gleichgewichtskonstante


d [A]dt

k

k−

[B ]K eq [ B ]

2. Das Massenwirkungsgesetz Keq hat keine feste Einheit, sie richtet sich nach der

jeweiligen Reaktionsgleichung

Keq <<1 → hohe Affinität zwischen A und B

[B] = Keq: die Hälfte von A liegt in gebundener Form vor


Das MWG gilt für reversible Reaktionen, die den

Gleichgewichtszustand erreicht haben.

Es gibt den Zusammenhang zwischen den

Aktivitäten der Edukte und der Produkte einer

Reaktion im chemischen Gleichgewicht an.

3. Enzyme

„http://www.webmed.ch/Archiv_akuelle_Meldungen/Archiv_Bilder/catalase2%20(Enzym).gif“

3.1. Enzymkinetik

• Enzyme sind die am höchsten spezialisierten Proteine hochspezifisch Katalysatoren biologischer Reaktionen

• für sie gilt: sie arbeiten unter milden Bedingungen in

wässrigen Lösungen sie helfen anderen Molekülen, sich in ein Produkt

umzuwandeln, sie selbst verändern sich nicht

• Wichtigste Eigenschaften: Genauigkeit und katalytische Wirkung

Sie setzen die Aktivierungsenergie herab und beschleunigen so die Bildung des Produkts

bis zu 10Mio mal schnellere Reaktionen

Enzyme folgen nicht direkt dem MWG, die Reaktionsrate steigert sich mit der Enzymkonzentration nur in einem gewissen Umfang, bis die maximale Reaktionsgeschwindigkeit erreicht ist

3.1 Enzymkinetik

3.2. Modelle

• S + E C P + E

• Enzyme beschleunigen die Hin- und Rückreaktion

• Es gibt zwei ähnliche Arten, die Gleichung zu bestimmen

– Die Gleichgewichtsapproximation (Michaelis und Menten)

– Quasi – Steady – State Approximation (Briggs und Haldane)

k1

k-1

k2

s = [S], c = [C], e = [E] und p = [P]

= k-1c - k1se

= (k-1 + k2)c – k1se

= k1se – (k2 + k-1)c

= k2c

e + c = e0

3.2. Modelle

dsdt

dedt

dcdt

dpdt

dedt

dcdt

=0

3.2.1 Die Gleichgewichtsapproximation

S + E C P + E• Annahme: das Substrat seht unmittelbar im

Gleichgewicht mit dem Komplex → k1se =k-1c

• mit e + c = e0 ergibt sich: (Ks = k-1/k1)• die Reaktionsrate ist gegeben durch

• Vmax= k2e0 ist die max. Reaktionsgeschwindigkeit

• wird erreicht, wenn sich alle Enzyme mit dem Substrat S im Komplex befinden

V = dpdt

=k2 c=k 2 e0 s

K s s=

V max s

K s s

k1 k

2

k-1

c =e0 s

K s s

3.2.1 Die Gleichgewichtsapproximation

bei s = Ks hat die Reaktionsrate die Hälfte ihres Maximums erreicht

Wichtig: die Gleichung k1se = k-1c ist nicht immer gültig, denn nach der Gleichung = k-1c - k1se würde das Substrat nicht verbraucht werden und kein Produkt entstehen

dsdt

3.2.2 Quasi – Stationaritätsapproximation

• Annahme: die Bildung und der Zerfalls des Komplexes stehen zu jeder Zeit im

Gleichgewicht • dc/dt ≈ 0

• Einführung dimensionsloser Variablen• σ = x = τ = k

1e

0t

• κ = є = α =

= -σ + x (σ +α)

= σ – x (σ +κ)

ss0

ce0

k−1 k 2

k 1 s0

e0

s0

k−1

k1 s0

dσdτ

єdxdτ

= -σ + x(σ +α) = σ - x(σ +κ)

= 0 ≠ = 0

II

• Quasi - Stationaritätsapproximation: die rechte Seite der Gleichung wird Null

gesetzt Variable x ändert sich mit σ

• sie berücksichtigt: є ist klein und dx/dτ hat die Ordnung 1

3.2.2 Die Quasi - Stationaritätsapproximation

dxdτ

dcdt

єdxdτ

єdxdτ

dσdτ

V = dpdt

=−dsdt

=k2 e0 s

sK m

=V max s

sK m

k−1 k 2

k1

Aus =0 folgen die DGL´s

und „ Michaelis – Menten – Gesetz“

q = κ-α =

Mit Hilfe der ursprünglichen Variablen:

Km =


єdxdτ

x=σ

σκdσdτ

=−qσσκ

k 2

k1 s0


Quasi – Stationaritätszustand Gleichgewicht

Km =

ähnliche Form, Ergebnisse basieren jedoch auf unterschiedliche Annahmen

c =e0 s

sK m

V = dpdt

=−dsdt

=k2 e0 s

sK m

=V max s

sK mV = dp

dt=k2 c=

k 2 e0 s

K s s=

V max s

K s s

c =e0 s

K s s

k−1 k 2

k1

(Ks = k-1/k1)

3.2. Modelle

Michaelis – Menten – Gesetz ist eine brauchbare Approximation, wie das MWG nicht universell anwendbar

Km ist relativ einfach zu bestimmen, denn

kann geschrieben werden als

→ 1/V ist eine lineare Funktion von 1/s.

1V

= 1V max

K m

V max

1s

V = dpdt

=−dsdt

=k2 e0 s

sK m

=V max s

sK m

3.2. Modelle

Diese doppeltreziproke Auftragung wird Lineweaver – Burk – Plot genannt

Sie werden experimentell bestimmt

Man kann an ihnen Vmax und Km ablesen

1V

= 1V max

K m

V max

1s

3.2. Modelle• Alternative Methode:

der direkte lineare Graph, Vmax gegen Km

• Wiederholen des Versuchs mit diversen Anfangskonzentrationen und Geschwindigkeiten ergibt eine Familie von Geraden

• Idealfall: Schnittpunkt in einem einzelnen Punkt

• http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Enzymkinetik3.png&filetimestamp=20090302154106

3.3. Enzyminhibition• Hemmt die katalytische Wirkung

• Allgemeine Eigenschaft von Enzymreaktion

• wichtig zur Kontrolle der Enzymaktivität

• irreversible Hemmstoffe oder katalytische Gifte: sie senken die Enzymaktivität auf 0

• Das Enzymmolekül ist für gewöhnlich ein sehr langes Protein, meist weitaus länger als das Substratmolekül, dessen Reaktion katalysiert wird

3.3. Enzyminhibition Im Enzym eingebunden sind ein oder mehr aktive

Zentren, an die sich das Substrat binden kann, um einen Komplex zu bilden

Allgemein katalysiert ein Enzym ein Substratmolekül ähnlicher Struktur (Schlüssel-Schloss-Prinzip)

http://www.scheffel-gymnasium.de/faecher/science/biologie/proteine_enzyme/2enzym/enzym.htm

Gibt es ein dem Substrat ähnliches Molekül, kann dieses ebenfalls an die aktive Seite gebunden werden und so die Bindung des Substratmoleküls verhindern und die Reaktion hemmen

•

• kompetitiver Hemmstoff: der Hemmstoff wetteifert mit dem Substrat um die aktive Seite

3.3. Enzyminhibition

Das Enzym hat häufig andere bindende Seiten, die sich von der aktiven Seite unterscheiden - allosterische Seite→ sie unterscheiden sich strukturell von der katalytisch aktiven Seite

„regulierende Seiten“, da die katalytische Aktivität durch Bindung an diese Seite reguliert wird

Effektor (Modifier):der Liganden, der an die allosterische Seite gebunden ist

Der Effektor heißt allosterischer Aktivator, wenn er die katalytische Wirkung steigert und allosterischer Inhibitor, wenn er die Aktivität des Substrats mindert


3.3.1 Kompetitive Inhibition

• Einfachstes Beispiel: die Reaktion wird gestoppt, wenn der Inhibitor an die aktive Seite des Enzyms gebunden ist

• S + E C1 E + P

• E + I C2

Mit Hilfe des MWG

= -k1se + k-1c1

= -k3ie + k-3c2

= k1se – (k-1 + k2)c

= k3ie – k-3c2

e + c1 + c2 = e0

k1 k

2

k-1k

3

k-3

dsdt

didtdc1

dt

dc2

dt

Im Quasi-stationären Zustand

für die Reaktionsgeschwindigkeit ergibt sich

Der Effekt des Inhibitors ist es, die effektive Gleichgewichtskonstante des Enzyms durch den Faktor 1+i/Ki zu steigern→ die Reaktionsgeschwindigkeit nimmt ab

c1 =K i e0 s

K m iK i sK m K i

c2 =K m e0 i

K m iK i sK m K i

K m =k−1 k 2

k 1

K i =k−3

k 3

V =k 2 c1 =k 2 e0 sK i

K i sK m iK m K i

=V max s

sK m 1i / K i

Falls der Inhibitor sich an die allosterische Seite binden kann, ergibt sich die Möglichkeit, dass das Enzym den Inhibitor und das Substrat gemeinsam binden

• vier mögliche Bindungsarten für das Enzym und Übergänge zwischen ihnen

• E ES E + P

• EI EIS

3.3.2 Allosterische Inhibition

k1s k

2

k-1

k-3k

3i

k-1

k3i k

-3

k1s


Die einfachste Analyse ist die Gleichgewichtsanalyse

definiere und x, y, z beschreiben die Konzentrationen von ES,

EI und EIS Aus dem MWG folgt für den stationären Zustand

→ lineares Gleichungssystem

K s =k−1

k 1

K i =k−3

k 3

e0 − x − y − z s − K s x = 0

e0 − x − y − z i − k i y = 0

ys − K s z = 0

xi − K i z = 0


Wir können x, y, z als Funktionen von i und s bestimmen

mit Vmax = k2e0 ist

der allosterische Inhibitor mindert die maximale Reaktionsgeschwindigkeit, während Ks unverändert bleibt

x=e0 K i

K i is

K s s

V =V max

1 i / K i

sK s s

3.3.3 Kooperativität

Ein Enzym kann mehr als ein Substratmolekül binden

Bindung eines Substratmoleküls beeinflusst die Bindung des nachfolgenden

Annahme:ein Enzym kann zwei Substratmoleküle binden → es kann in einem von drei Stati existieren

Als freies Molekül E Als Komplex mit einem besetzten Center C1 Als Komplex mit zwei besetzten Center C2

S + E C1 E + P

S + C1 C2 C1 + P

k1

k2

k-1

k3

k4

k-3

3.3.3 Kooperativität

Das MWG angewandt, kann man die Gleichungen für die 5 Konzentrationen von S, E, C1, C2 und P aufschreiben

dsdt

= −k 1 se k−1 c1 − k 3 sc1 k−3 c2

dc1

dt= k 1 se − k−1 k 2 c1 − k 3 sc 1 k 4 k−3 c2

dc 2

dt= k 3 sc 1 − k 4 k−3 c2

Wir übernehmen die Annahme des Quasi-stationären Zustands: dc1/dt = dc2/dt = 0

Für die Reaktionsgeschwindigkeit ergibt sich

3.3.3 Kooperation

V =k 2 c1 k 4 c2 =k 2 K 2 k4 s e0 s

K1 K 2 K 2 ss2

c1 =K 2 e0 s

K1 K 2 K 2 s s2 c2 =e0 s2

K 1 K 2 K 2 s s2

K1 =k−1 k 2

k 1

K 2 =k 4 k−3

k 3

3.3.3 Kooperation Die aktiven Seiten handeln unabhängig und identisch

voneinander• → k1 = 2k3 = 2k+, 2k-1 = k-3 = 2k- und 2k2 = k4

Für die Reaktionsgeschwindigkeit ergibt sich

V =2k2 e0K s s

K 2 2Ks s2= 2

k 2 e0 s

K s

Die Bindung des ersten Substratmoleküls erfolgt langsam, die zweite sehr schnell (große positive Kooperativität)

k3 → ∞ und k1 → 0, k1k3 = const.

K1 → ∞ und K2 → 0, K1K2 =const.

Km² = K1K2 und Vmax = k4e0

i.A. gibt es n Gleichgewichtskonstaten, wenn n Substratmoleküle an das Enzym gebunden sind

→ K1 → ∞ und Kn → 0, K1Kn = const.

wobei Kmn =

Diese Gleichung ist bekannt als Hill – Gleichung

∏i=1

n

K i

3.3.3 Kooperation

V =k 4 e0 s2

K m2 s2 =

V max s2

K m2 s2

V =V max sn

K mn sn

es gilt → das Hill – Diagramm sollte eine Gerade mit der Steigung

n ergeben

es ist nicht ungewöhnlich, dass n nicht ganzzahlig ist

3.3.3 Kooperation

ln V

V max −V

n ln s = n ln K m ln V

V max − V

3.3.3 Kooperation ein Enzym kann negative Kooperativität aufweisen

→ k3 wird herabgesetzt

3.4. Das Monod – Wyman – Changeux Modell das Modell basiert auf folgende Annahmen: → kooperative Proteine sind zusammengesetzt aus diversen

identischen Reaktionseinheiten, genannt Protomer, die die gleichen Positionen im Protein belegen

→ jedes Protomer umfasst eine bindende Seite für jeden Liganden

→ die bindenden Seiten innerhalb jeden Proteins sind äquivalent

→ falls die Bindung eines Linganden zu einem Protomer einen konformativen Wechsel im dem Protomer einleitet, wird ein identischer konformativer Wechsel in allen Proteinen eingeleitet

→ das Protein hat zwei konformative Stati, gewöhnlich bezeichnet als R und T, die sich in ihrem Verhalten Liganden zu binden unterscheiden

wir betrachten Protein, mit nur zwei binden Seiten es kann in einem von 6 Stati existieren:

Ri, i= 0, 1, 2 oder

Ti, i= 0, 1, 2

der Einfachheit halber: Ri kann nicht in Ti umgerechnet werden

Die Stati für das Protein und die zugelassenen Übergänge

3.4. Das Monod – Wyman – Changeux - Modell

es gilt ri und ti sind die entsprechenden Konzentrationen von Ri und Ti

für die Sättigungsfunktion gilt:

mit Ki = k-i/ki, i=1, 2, 3 ergibt sich

durch Substitution erhält man

wobei r0/t0 = K2

3.4. Das Monod – Wyman – Changeux - Modell

Y =r1 2r2 t 1 2t2

2 r0 r1 r2 t0 t 1 t 2

r1 = 2sK 1−1 r0, r2 = s2 K1

−2 r0

t 1 = 2sK3−1 t 0, t 2 = s2 K3

−2 t 0

Y =sK 1

−1 1 sK −1 K 2−1 [sK 3

−1 1 sk3−1]

1 sK 1−12 K 2

−1 1 sK 3−12

3.4. Das Monod – Wyman – Changeux - Modell Allgemein ist Y eine sigmoidale Funktion von s

K3 = ∞ → das Substrat kann nicht direkt an die T- Konformation

binden →

K2 = ∞ → nur die R – Konformation existiert

→ Michaelis – Menten Gleichung

Y =sK 1

−1 1 sK 1−1n−1 K 2

−1 [ sK 3−1 1 sK 3

−1n−1 ]

1 sK 1−1n K 2

−1 1 sK 3−1n

Y =sK 1

−1 1 sK 1−1

1 sK 1−1 2 K 2

−1

Y =s

s K 1

4. Glykolyse und glykolytische Oszillation

Stoffwechsel kann als Austausch freier Energie gesehen werden

Stoffwechselwege: die durch Enzyme katalysierten Auf-/Ab- und Umbauprozesse in den Zellen

bekannter Träger von Energie in der Zelle: ATP

Adenosintiphosphat


Die Bindungen der drei Phosphate sind sehr energiereich

Werden die Phosphoanhydrid-Bindungen durch Enzyme hydrolytisch gespalten, entsteht das Adenosindiphosphat (ADP) bzw. das Adenosinmonophosphat (AMP) und Phosphat

es werden jeweils etwa 32,3 kJ/mol (Spaltung einer Bindung) oder 64,6 kJ/mol (Spaltung beider Bindungen) Energie frei.

Die freiwerdende Energie ermöglicht die Arbeitsleistungen in den Zellen.

katalysiert vom Enzym PFK1

Isomerisierung

http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~ltemgoua/chemie/Glykolyse.html

4. Glykolyse und glykolytische Oszillation PFK 1 wird von ATP allosterisch

gehemmt → allosterisches Enzym

ATP kann Substrat und allosterischer Hemmstoff sein

der Inhibitoranteil von ATP wird durch AMP beseitigt

→ Aktivität von PFK1 steigt, wenn ATP/AMP sinkt

2ADP ATP + AMPhttp://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Phosphofructokinase.png&filetimestamp=20060727180613


ein Überfluss an Fructose 6-Phosphat führt zur Bildung von Fructose-2,6-bisphosphat

• → Aktivität von PFK1 wächst• → negative Rückkopplung

PFK1- Aktivität wird von einem komplexen System von Reaktionen kontrolliert

4. Glykolyse und glykolytische Oszillation unter gewissen Umständen ist bekannt: die Rate der Glykolyse ist periodisch, manchmal sogar

chaotisch

ein mathematisches Modell von Sel´kov (1968), später modifiziert von Goldbeter und Lefever (1972)

Achtung: nur die positive Rückkopplung von ADP auf PFK1 wird beachtet

4.1. Modell von Sel´kov

PFK1 ist inaktiv im ungebundenen Status aktiviert durch die Bindung mit ADP-Molekülen im aktiven Status katalysiert das Enzym die

Produktion von ADP aus ATP

das Modell: PFK1 (E) ist aktiviert oder deaktiviert, je nach

Bindungsstatus mit den γ-Molekülen von ADP (S2)

γS2 + E ES2γ

ATP (S1) kann sich an die aktivierte Form des Enzyms binden um ein Produkt von ADP zu bilden

Annahme: die Rate von S1 ist beständig, das Produkt S2 wird jedoch irreversibel verbraucht


→ S1

S1 + ES2γ S1ES2

γ → ES2γ + S2

S2 →

k1

k-1

ν1

k2


s1 = [S1], s2 = [S2], e = [E], x1 = [ES2ν], x2 = [S1ES2

γ]

e + x1 + x2 = e0

ds1

dt= υ1 − k 1 s1 x 1 k−1 x 2

ds2

dt= k 2 x 2 − K 3 s2

υ e k−3 x1 − υ2 s2

dx 1

dt= −k 1 s1 x 1 k−1 k 2 x 2 k 3 s2

υ e − k−3 x 1

dx2

dt= k1 s1 x1 − k−1 k 2 x2


es ergibt sich

mit

dσ1

dτ= υ −

k 2 k−1

k 2

u1 σ1 k−1

k2

u2

dσ2

dτ= α [u2 −

k−3

k 2

σ 2γ 1 − u1 − u2

k−3

k 2

u1] − ησ 2

єdu1

dτ= u2 − σ1 u1

k−3

k 2 k−1

[σ 2γ 1 − u1 − u2 − u1]

єdu 2

dτ= σ 1 u 1 − u 2


Annahme: є ist klein → u1 und u

2 sind fest und können als ihre Quasi

– Stationaritätsgrößen gesetzt werden

u1 =σ 2

γ

σ 2γ σ 1 σ 2

γ 1u2 =

σ 1 σ 2γ

σ 2γ σ 1 σ 2

γ 1= f σ 1 , σ 2

dσ 2

dτ= αf σ 1 , σ 2 − ησ 2

dσ 1

dτ= υ − f σ 1 , σ 2


das System hat periodische Lösungen für einen gewissen Bereich von ν

wegen der Sättigung, ist die Funktion f(σ1, σ2) durch 1 begrenzt

falls ν > 1, sind die Lösungen der Differentialgleichungen nicht begrenzt


0 < ν < 1

die Hauptisoklinen des Phasenflusses sind gegeben durch

σ 1 =υ

1 − υ

1 σ 2γ

σ 2γ

dσ 1

dτ= 0

σ 1 =1 σ 2

γ

σ 2γ p − σ 2

dσ 2

dτ= 0


für die stationäre Lösung gilt:

die Stabilität der konstanten Lösung findet man durch Linearisierung der DGL´s der stationären Lösung und Prüfung der Eigenwerte des linearen Gleichungs-systems

σ 2 = pυ σ1 =υ1 σ2

γ

1 − υσ2γ


das linearisierte System hat die Form:

die charakteristische Gleichung für die Eigenwerte λ der linearen Gleichungssysteme ist

Da f1 immer positiv ist, ist die Stabilität des linearen Systems durch das Vorzeichen von H= αf2 – η – f1 betimmt

es ist stabil für H < 0 und instabil, falls H > 0

d σ 1

dτ= − f 1 σ 1 − f 2 σ 2

d σ 2

dτ= αf 1 σ 1 αf 2 − η σ 2

λ2 − αf 2 − η − f 1λ f 1 η = 0

Wechsel der Vorzeichen, gibt es bei H = 0 dies sind Hopf – Bifurkationen periodischer Lösungen

mit einer approximativen Frequenz

→ H(0) = η(γ-1) H(1) = -η → für γ > 1 muss es einen Hopf-Bifurkationspunkt

geben, unter dem die konstante Lösung instabil ist


ω = f 1 ηH υ =1 − υ1 γ

ηγ υ −1 y −η y = pυγ


für ν kurz unterhalb des Bifurkationspunktes, gibt es eine stabile periodische Bahn

4.2. Hess und Boiteux

Hess und Boiteux (1973): es gibt für hohe und niedrige Injektionsraten eine

stabile Stationaritäslösung es gibt zwei Hopf – Bifurkationspunkte 1. bei 20mM/hr Dauer 8Min 2. bei 160mM/hr Dauer 3Min

4.3. Goldbeter und Lefever sie schlugen 1972 Modell des Monod – Wyman –

Changeux – Typs vor Annahme: PFK1 ist ein Dimer, das in zwei Stati existiert

aktiven Status R inaktiver Status T

S1 kann an beide Formen gebunden werden

S2 (positiver Effektor des Enzyms) bindet nur an die aktive Form

4.3. Goldbeter und Lefever

Die enzymatischen Formen, an die ein Substrat binden, zersetzen sich irreversibel, um ADP zu bilden

das Substrat wir dem System in einer konstanten Rate geliefert

die Rate der Rückbildung des Produkts verläuft proportional zur Konzentration


Tj = inaktive T-Form von der Enzymbindung zu j Substratmolekülen

Rij = aktive R-Form des Enzyms, gebunden an i Substratmoleküle und j Produktmolekülen


das Substrat S1 hält das System im inaktiven Status durch Bindung mit T0 um T1 zu bilden

S2 hält das System im aktiven Status durch Bindung mit R00

um R01 zu bilden

durch Bindung mit R01 um R02 zu bilden


mit Hilfe des MWG erhalten wir die Differentialgleichungen der 14 Arten

ds1

dt= υ1 − F

F = k−2 r 10 r 11 r 12 2k−2 r 20 r 21 r 22 − 2k 2 s 1 r 00 r01 r 02

− k 2 s1 r 10 r11 r 12 − 2k 3 s1 t0 − k 3 s1 ´ t1 k−3 t 1 2k−3 t2

dr00

dt= − k 1 sk 2 s1 2k 2 s2 r00 k−2 k r10 k−2 r01 k−1 t 0


Annahme: die 12 Zwischenstufen sind im Quasistationaritäszustand

→ lineares Gleichungssystem mit 12 Unbekannten und 12 Gleichungen

es ist lösbar, wenn wir die Gesamtmenge der Enzyme e0 setzen


durch Substitution dieser Lösung in die Differentialgleichungen für s1 und s2 erhalten wir

wir führen dimensionslose Variablen ein

wir erhalten das System

dσ 1

dτ= υ − f σ 1 , σ 2

dσ 2

dτ= αf σ 1 , σ 2 − ησ 2

ds1

dt= υ1 − F s1 , s2

ds2

dt= F s1 , s2 − υ2 s2


Falls wir außerdem annehmen1. das Substrat bindet nicht an die T-Form (k3 =

0, T ist komplett inaktiv)2. T0 wird R00 gegenüber bevorzugt (k1>>k-1)

3. falls das Substrat S1 an die R-Form bindet, wird die Bildung des Produkts S2 der Trennung bevorzugt (k>>k-2)

→ das System kann wesentlich vereinfacht werden f(σ1, σ2) = σ1(1 + σ2)

2


die Hauptisoklinen dieses Systems sind deutlich verschieden vom Sel´kov Modell

die eindeutige Lösung für die Stationaritätsbedingung ist

σ1 =υ

1 σ 22 σ2 =

υη


Die Stabilität wird wieder von der charakteristischen Gleichung bestimmt und das Vorzeichen des Realteils der Eigenwerte ist das selbe wie von

ausgewertet unter Stationaritätsbedingungen

sie kann auch geschrieben werden als Polynom dritten Gerades

H = f 2 − f 1 − η = 2σ1 1 σ22 − 1 σ 2 − η

1η

y3 − y 2 = 0 y = 1 υη

y2 − 1

y1 − 1=

υ2

υ1

= 16020

= 8

y 1 = 2.08, y 2 = 9.61, η = 116.7

T i =2πωi

=2π

η 1 σ2=

2π

η yi


für genügend großes η hat das Polynom zwei Nullstellen, die größer sind als 2: y1 und y2

Annahame: die Flussrate ν ist proportional zur experimentellen Angebotsrate von Glucose

Forderung: →

Am Hopf - Bifurkationspunkt, erhalten wir die Oszillationsperiode

theoretisch T1/T2 = 4,6

experimentell T1/T2 = 2,7


Documents

Biochemische Reaktionen. Gliederung 1. Einführung 1. Das Massenwirkungsgesetz 1. Enzyme 3.1 Enzymkinetik 3.2 Modelle 3.2.1 Gleichgewichtsapproximation