Branch Bound 2

7/26/2019 Branch Bound 2

1/25Ramifcacin y acotacin Pg. 1

Ramifcacin y acotacin(Branch and Bound)

Introduccin

El problema del viajante

de comercio El problema de la mochila 0-1

El juego del 1


2/25Ramifcacin y acotacin Pg. !

Introduccin:Branch and Bound

"l igual #ue lo$ m%todo$ deb&$#ueda con retroce$o'

( $e aplica a problema$ de optimi)acin con

re$triccione$ *alguna$ vece$ tambi%n aprobl. de deci$in+

( $e genera el e$pacio de $olucione$,organi)ndolo en un rbol.

( e podan $ubrbole$ in&tile$.

erminolog/a'( odo vivo' nodo del e$pacio de $olucione$

del #ue no $e han generado a&n todo$ $u$hijo$.

( odo muerto' nodo del #ue no $e van a

generar m$ hijo$ por#ue' no hay m$ no e$ completable, no producir una $olucin mejor #ue la

$olucin en cur$o

( odo en curso*o en epan$in+' nodo del

#ue $e e$tn generando hijo$



3i4erencia 4undamental con elm%todo de b&$#ueda con retroce$o'

( 5&$#ueda con retroce$o'

an pronto como $e genera un nuevo hijodelnodo en cur$o, e$te hijo pa$a a $er el nodoen cur$o.

( Ramifcacin y acotacin'

e generan todo$ lo$ hijo$ del nodo en cur$o

ante$ de #ue cualquier otro nodo vivopa$e a $er el nuevo nodo en cur$o.

En con$ecuencia'( 5&$#ueda con retroce$o'

6o$ &nico$ nodo$ vivo$ $on lo$ #ue e$tn enel camino de la ra/) al nodo en cur$o.

( Ramifcacin y acotacin'

Puede haber m$ nodo$ vivo$.e deben almacenar en una e$tructura dedato$ auiliar' lista de nodos vivos.

Introduccin:(1) Ramifcacin



Recordemos:Backtracking para

problemas deoptimizacin(minimizacin)

algoritmoBackTracking(entk:entero;

entsal X:vector[1..n]devalor)

{Pre: X[1..k-1] es completable,

cota(X,k-1)


5/25Ramifcacin y acotacin Pg.

Backtracking Iteratio

algoritmoBackTracking()

variable P es pila de nodo;

CosteMejorSol:=pvacia(P); apilar(P,)

mientras vacia(P) hacer

:=cima(P); desapilar(P);para todov en Cihacer

X[k]:=v;

si(completable(X,k) cota(X,k)



3i4erente$ e$trategia$ deelegir el $iguiente nododel conjunto de nodo$ vivo$

3i$tinto$ rdene$ de recorridodel rbol de

$olucione$

( pila:

recorr. en pro4undidad

( cola:

recorrido por nivele$

( cola con prioridades (Branch and

Bound): $eleccin del nodo vivo m$prometedor.

recorrido 9etra:o;

6a prioridad de un nodo $e calcula de acuerdocon una funcin de estimacin#ue midecunto de 9prometedor; e$ un nodo.

Introduccin:


7/25Ramifcacin y acotacin Pg. ,?+ @ 9co$te de la mejor eten$inde >;, el algoritmo ir directoa la mejor $olucin

6a cota $irve para de$cubrir pronto #uee$ in&til continuar por el camino actual

( i, adem$, cota*>,?+@ 9co$te de la mejoreten$in de >;, podar el re$to de rama$.

En general, con$eguir prioridade$ y

cota$ per4ecta$ e$ impo$ible.( i prioridad*>,?+ 9co$te de la mejor eten$in

de >;, el algoritmo ir ca$i directo a la mejor$olucin

( i cota*>,?+ 9co$te de la mejor eten$in de >;,el algoritmo podar ca$i toda$ la$ rama$

En general, el co$te e$pacial y temporaldel m%todo e$ A*p*n+ dn+

( d@maBCDiC

( p*n+ e$ un polinomio

Ramifcacin y poda


9/25Ramifcacin y acotacin Pg. F

Punto clavede lo$ m%todo$ deramifcacin y acotacin'

Encontrar buena$ 4uncione$ deprioridad y buena$ cota$.

Gabitualmente $e u$a la cotacomo prioridad del nodo *$i la cota

e$ buena, e$ una buena medida delo prometedor #ue e$ el nodo+. ino decimo$ lo contrario, no$otro$tambi%n lo haremo$.

Ramifcacin y poda



!l problema del ia"antede comercio

Recordar'

( Encontrar un recorrido de longitud

m/nima para un viajante #ue tiene#ue vi$itar varia$ ciudade$ y volveral punto de partida, conocida ladi$tancia ei$tente entre cadado$ ciudade$.

( E$ decir, dado un gra4o dirigido con arco$delongitud no negativa, $e trata de encontrarun circuito de longitud m/nima #uecomience y termine en el mi$mo v%rtice ypa$e eactamente una ve) por cada unode lo$ v%rtice$ re$tante$

*circuito hamiltoniano+.

HE$toyha$tala$ $de viajar J



Kormali)acin'( ean #@*$,%+ un gra4o orientado,

$@B1,!,L,n,

&Mi,"N la longitud de *i,"+%,&Mi,"N@$i no ei$te el arco *i,"+.

( El circuito bu$cado empie)a en el v%rtice 1.

( Dandidato$'

!@ B 1,>,1 C > e$ una permutacin de *!,2,

L,n+ C!C @ *n-1+J

( olucione$ 4actible$'

!@ B 1,>,1 C > @'1,'!,L,'n-1, e$ unapermutacin de *!,2,L,n+ tal #ue *i",i"O1+%,

0"n*1,'1+ % *'n-1,1+ %

( Kuncion objetivo'

K*>+@3M1,1NO3M1, !N O 3M!, 2NO...O3Mn-!, n-1NO

O3Mn,1N



12/25Ramifcacin y acotacin Pg. 1!

Repre$entacin del e$pacio dee$tado$'

( Da$o de un gra4o completo con C$C @ 7.


1

181121!11

10F=



3efnicin de una cota*,k+ muy$encilla'

( uma de ari$ta$ ya e$cogida$

( cota*,k+@&M1M1NNO [email protected]!&MMiN,MiO1NN

Ejemplo' *n@+


!0 20 10 11

1 18 7 !2 ! 7

1F 8 1= 2

18 7 < 18

Ejemplo de matri) noreducida.



Puede mejorar$e u$ando la matriz dedistancias reducida'

( Qna fla *columna+ de la matri) de di$tancia$ $e

dice reducida$i $u$ elemento$ $on nonegativo$ y contiene al meno$ un 0.

( Qna matri) de di$tancia$ $e dice reducida $icada fla y columna e$ reducida.

( Para cada k, 1kn, todo circuito hamiltonianoincluye eactamente un arco de la 4orma *k,-+ yeactamente un arco de la 4orma *-,k+.

( i $e re$ta una con$tante tde cada elemento deuna fla *columna+ de la matri) de di$tancia$, lalongitud de todo hamiltoniano $e reduceeactamente en ty un hamiltoniano dedi$tancia m/nima lo $igue $iendo.


!0 20 10 11

1 18 7 !

2 ! 7

1F 8 1= 2

18 7 < 18

Ejemplo de matri) noreducida.



( i $e elige tcomo el m/nimo de lo$ elemento$ de

la fla *columna+ i-%$ima y $e re$ta tde todo$ lo$elemento$ de e$a fla *columna+, la flare$ultante e$ reducida.

( Repitiendo el proce$o para fla$ y columna$,$iempre $e puede con$eguir #ue la matri) dedi$tancia$ $ea reducida.

6a cantidad total *re$tada de fla$ y columna$e$ una cota in4erior de la longitud de unhamiltoniano de longitud m/nima


Reduccin de la fla 1, t@ 10.

!0 20 10 11

1 18 7 !

2 ! 7

1F 8 1= 2

18 7 < 18

10 !0 0 1

1 18 7 !

2 ! 7

1F 8 1= 2

18 7 < 18

10 1< 0 1

1! 11 ! 0

0 2 0 !

1 2 1! 0

11 0 0 1!

!0 20 10 11

1 18 7 !

2 ! 7

1F 8 1= 2

18 7 < 18

Reduccinde la matri),*@ !.



( Dlculo de la cota in4erior para lo$ nodo$di$tinto$ de la ra/) y de la$ hoja$'

ea%la matri) de di$tancia$ reducida parael nodoy.

ea'un hijo dey#ue corre$ponda aincluir el arco *i,"+ en el recorrido y #ue no$ea hoja.

6a matri) Breducida para', y por tantocota*+, $e calcula de la $iguiente 4orma'

1.Dambiar todo$ lo$ elemento$ de la fla iyde la columna"de%por .

( E$to evita el incluir m$ arco$ #ue$algan de io lleguen a".

!.Dambiar el elemento *",1+ de%por

( E$to evita con$iderar el arco *",1+.2.Be$ la matri) #ue $e obtiene al reducir

toda$ la$ fla$ y columna$ de la matri)re$ultante *ecepto a#u%lla$ 4ormada$ $lopor 9;+.

i re$ el valor total re$tado en el pa$o *2+'

cota*+@cota*y+ O 3Mi,jN O r



17/25Ramifcacin y acotacin Pg. 10, pi >0, 1 i n


23/25Ramifcacin y acotacin Pg. !2

El problema original'

3eci$in' encontrar una $ecuencia

de movimiento$ #ue lleven alobjetivo

Aptimi)acin' encontrar la $ecuenciade movimiento$ m$ corta

+n primer e"emplo:!l "uego del 10

amuel 6oyd' El juego del 1 o 9ta?en;.

Problema publicado en un peridico de ueva Xor?

en 1=


24/25Ramifcacin y acotacin Pg. !7

( Donfguracin' permutacin de *1,!,...,18+

( olucin' $ecuencia de confguracione$#ue

empie)an en el e$tado inicial y acabanen el fnal. 3e cada confguracin $e puede pa$ar

a la $iguiente. o hay confguracione$ repetida$

1 ! 2 7

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