Breviar de Mecanica Navala

BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 1

Dr.ing. G. Kűmbetlian Dr.ing T. Chis

BREVIAR DE MECANICA APLICATĂ

(Teorie şi aplicaţii)

CONSTANŢA 2008

x

y z

2 G. Kűmbetlian şi T. Chis

Referent ştiinţific:

Prof.Dr.Ing. Mihai Minescu

Universitatea Petrol-Gaze Ploiesti

ISBN 978-973-0-06162-8

© Garabet Kűmbetlian, Timur Chis, 2008

Constanţa,

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României

Kűmbetlian, Garabet

BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ

(Teorie şi aplicaţii)

/Prof.univ.dr.ing. Garabet Kűmbetlian

Lect.univ.dr.ing.Timur Chis

Constanţa, 2008.

Bibliogr.

ISBN 978-973-0-06162-8

Timur Chiş


NOTĂ

BIBLIOTECA NATIONALA A ROMANIEI

Lucrarea BREVIAR DE MECANICA APLICATA (TEORIE SI APLICATII) autori GARABET KUMBETLIAN si TIMUR VASILE CHIS a fost înregistrată având codul ISBN 978-973-0-06162-8.

Autorul se obligă să tipărească codul ISBN pe coperta a IV-a şi pe verso paginii de titlu.

Pentru aceste publicaţii este valabilă Legea 111/1995 republicata 2007 – Legea Depozitului Legal.


PREFAŢĂ

Cursul de faţă pentru Navigatori, se adresează studenţilor din anul II

ai Facultăţii de Navigaţie şi Transport Maritim şi Fluvial.

Cursul de mecanică este prevăzut în planul de învăţământ al Facultăţii

în semestrul 1 (3) al anului II, cu 2 ore de curs şi 1 oră de seminar pe

săptămână.

Ţinând cont de timpul alocat, conţinutul cursului a trebuit să fie redus

la cunoştinţele de mecanică strict necesare navigatorului.

Din acelaşi motiv, tratarea cunoştinţelor s-a făcut cu instrumentul

matematic cel mai potrivit unei prezentări clare şi sistematice, aplicaţiile fiind

adaptate specificului „meseriei de marinar”.

Sperăm că sub această formă, el este accesibil studenţilor,

îndeplinindu-şi scopul de suport al cursului predat direct studenţilor.

Autorii,


OBSERVATIE

Cursul de faţă a fost întocmit pe baza programei din „Standards of

Training, Certification and Watchkeeping for Seafares (STCW), Officer in

charge of a navigational watch, PHYSICAL SCIENCE, PART C, MODULE

16,

1.1.Mass, weight and force,

1.2.Distance, velocity and acceleration,

1.3.Circular motion and rotation,

1.4.Statics,

1.5.Work, energy and power,

1.6.Machines.


CUPRINS

Pag.

NOTA BIBLIOTECA NATIONALA A ROMANEI...... 3

PREFATA......................................................................... 4

OBSERVATIE.................................................................. 5

CUPRINS.......................................................................... 6

1. INTRODUCERE.............................................................. 10

2. STATICA.......................................................................... 11

2.1. Mărimile fizice ale staticii.............................................. 11

2.2. Vectorii şi versorii.......................................................... 11

2.3. Orientarea spaţiului......................................................... 14

2.4. Operaţii cu vectori.......................................................... 17

2.4.1. Amplificarea vectorilor cu un scalar............................... 17

2.4.2. Adunarea vectorilor coplanari si concurenti................... 18

2.4.3. Proiecţia unui vector pe o axă......................................... 20

2.4.3.1. Expresia hipercomplexă a unui vector în planul (x,y).... 21

2.4.3.2. Teorema proiecţiilor....................................................... 22

2.4.4. Produsul a doi vectori..................................................... 23

2.4.4.1. Produsul scalar a doi vectori........................................... 23

2.4.4.2. Produsul vectorial a doi vectori...................................... 26

2.4.5. Aplicaţii.......................................................................... 28

2.5. Momentul unei forţe în raport cu un punct.Teorema

momentelor .................................................................... 37


2.5.1. Momentul unei forţe în raport cu un punct..................... 37

2.5.2. Teorema momentelor...................................................... 41

2.6. Cuplul de forţe; momentul cuplului................................ 44

2.7. Operaţii de echivalenţă în mecanică............................... 47

2.8. Reducerea sistemelor de forţe coplanare, oarecare......... 49

2.9. Momente statice, centre de greutate............................... 51

2.10. Echilibrul corpului solid rigid, sub actiunea sistemelor

de forte coplanare..............................................................

59

2.10.1. Echilibrul corpului solid rigid liber................................ 59

2.10.2. Echilibrul corpului solid rigid cu legături. Axioma

legaturilor. Tipuri de legaturi............................................

61

2.10.2.1. Axioma legăturilor.......................................................... 61

2.10.2.2. Tipuri de legături (in plan).Legatura prin fir.................. 62

2.10.3. Maşini simple la bordul navelor..................................... 67

2.10.3.1. Parghia........................................................................... 67

2.10.3.2. Scripetele....................................................................... 68

2.10.3.3. Troliul............................................................................ 68

2.10.3.4. Planul inclinat fara frecare............................................. 69

2.10.3.5. Planul inclinat cu frecare............................................... 70

2.10.4. Instalaţii de ridicare de la bordul navelor (Instalatii cu

biga si balansina).............................................................. 71

3. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL.................... 74

3.1. Elementele mişcării......................................................... 74

3.1.1. Traiectoria....................................................................... 74

3.1.2. Viteza.............................................................................. 74

3.1.3. Acceleratia...................................................................... 75

3.2. Mişcările particulare ale punctului material................... 77


3.2.1. Mişcarea rectilinie uniformă.......................................... 77

3.2.1.1. Mişcarea absolută, relativă şi de transport rectilinie a

punctului material.......................................................... 78

3.2.2. Mişcarea rectilinie variantă............................................ 85

3.2.3. Mişcarea circulară a punctului material......................... 87

3.2.3.1. Mişcarea absolută, relativă şi de transport circulară a

punctului material.......................................................... 94

4. DINAMICA...................................................................... 99

4.1. Principile mecanicii clasice............................................ 99

4.1.1. Principiul inertiei (Legea I-a a lui Newton).................... 99

4.1.2. Principiul actiunii fortei (Legea a II-a a lui Newton)..... 99

4.1.3. Principiul actiunii si reactiunii (sau „actiunilor

reciproce fortei”) (Legea a III-a a lui Newton).............. 100

4.2. Forţe şi momente de inerţie. Metoda cineto-statică (a

lui d’Alembert)............................................................... 100

4.2.1. Forte de inertie in miscarea rectilinie a punctului

material si in translatia corpului solid rigid................... 100

4.2.2. Forte de inertie in miscarea circulara a punctului

material .......................................................................... 103

4.2.3. Forte de inertie in rotatia corpului solid rigid................. 105

4.3. Lucrul mecanic, puterea şi energia cinetică, în

mişcarea rectilinie a punctului material şi translaţia

corpului solid rigid.......................................................... 110

4.3.1. Teorema energiei cinetice în translaţie........................... 112

4.4. Lucrul mecanic, puterea şi energia cinetică în rotaţia

corpului solid rigid.......................................................... 113

4.4.1. Teorema energiei cinetice în rotaţia corpului solid rigid 116

4.5. Impulsul şi teorema impulsului....................................... 119


4.5.1. Impulsul forţei şi impulsul punctului material în

mişcarea rectilinie........................................................... 119

4.5.2. Impulsul corpului solid rigid în translaţie....................... 120

4.5.3. Teorema impulsului şi teorema conservării impulsului.. 121

4.6. Momentul cinetic şi teorema momentului cinetic........... 124

4.6.1. Momentul cinetic al punctului material în mişcarea

circulară.......................................................................... 124

4.6.2. Momentul cinetic al solidului rigid în rotaţie................. 126

4.6.3. Teorema momentului cinetic.......................................... 127

4.6.4. Teorema conservării momentului cinetic....................... 128

4.7. Giroscopul şi aplicaţiile în navigaţie.............................. 131

4.7.1. Generalităţi...................................................................... 131

4.7.2. Efectul giroscopic în cazul navelor echipate cu turbine 132

4.7.3. Giroscopul ca stabilizator antiruliu pentru salile de operatie de la bordul navelor ......................................... 134BIBLIOGRAFIE............................................................... 137


1.INTRODUCERE

Obiectul de studiu al mecanicii îl constituie „corpurile

materiale”. Corpurile materiale pot fi considerate „puncte

materiale”, dacă dimensiunile lor sunt relativ mici în raport cu

mediul sau „solide rigide” (nedeformabile), dacă dimensiunile

lor sunt comparabile cu cele ale mediului înconjurător.

Mecanica studiază „mişcarea mecanică” a corpurilor, cu viteze

„v” mult inferioare vitezei luminii „c”.

(1.1.)

Sistemele de referinţă în raport cu care se studiază mişcarea

sunt considerate în mecanică „inerţiale” (adică în mişcare

rectilinie şi uniformă).

Părţile mecanicii sunt STATICA, CINEMATICA şi

DINAMICA.

Statica studiază starea de echilibru a corpurilor materiale.

Cinematica studiază mişcarea mecanică, independent de

cauzele care o produc.

Dinamica studiază mişcarea mecanică, în strânsă dependenţă

de cauzele care o produc.


2.STATICA

2.1.Mărimile fizice ale staticii

„Mărimile fizice” care fac obiectul de studiu al staticii pot fi

clasificate în mărimi scalare sau vectoriale.

-„Mărimile scalare” sunt perfect definite printr-un singur număr, ca în

cazul masei sau volumului unui corp.

-„Mărimile vectoriale” sunt definite prin valoare, direcţie şi sens (ca în

cazul vectorilor „alunecători” aplicaţi asupra corpurilor solide rigide) sau

valoare, direcţie, sens şi punct de aplicaţie (ca în cazul celor aplicaţi asupra

punctelor materiale sau, asupra corpurilor solide deformabile).

2.2.Vectorii şi versorii

„Vectorii” pot fi „legaţi”, „alunecători” sau „liberi”.

-„Vectorii legaţi” sunt mărimi fizice caracteristice punctelor materiale sau

solidelor deformabile (figura 2.1.).

Fig.2.1.

În figura 2.1., viteza , impulsul , acceleraţia şi forţa acţionează

asupra punctului material de masă m.

-„Vectorii alunecători” sunt caracterizaţi prin direcţie, sens şi valoare ca

în cazul forţei care acţionează asupra navei din figura 2.2.

m


Fig.2.2.

Efectul lor asupra „corpului solid rigid” este acelaşi, indiferent de punctul

de aplicaţie aparţinând direcţiei Δ, iar valoarea forţei este F.

-„Vectorii liberi” pot fi mutaţi în orice punct al planului (sau spaţiului),

fără ca efectul lor să fie alterat, cu condiţia păstrării sensului şi mărimii,

(ca în cazul momentului al unui cuplu ( )) (figura 2.3.).

Fig.2.3.

Vectorii mai pot fi „coliniari” (ca în figura 2.4.), coplanari (ca în figura

2.5.) sau spaţiali.

„Versorii” sunt vectori de mărime unitate (1). De exemplu în figura

2.6., vectorul este versor, dacă mărimea lui este:

(2.1.)

În acest caz vectorul (de valoare F) orientat după direcţia (şi în

sensul) versorului poate fi notat sub forma:

Δ

F

(M)

(M)M

O1 O O2O1


(2.2.)

Fig.2.4.

Fig.2.5.

Fig.2.6.

2.3.Orientarea spaţiului

Δ

3F

1F

2FG

Δ4F

1F

3FG

2F

(Δ)

u

uFF


„Orientarea” unei drepte (direcţii), x

În figura 2.7. axa x devine „orientată” dacă i se asociază un versor

=i=1

Fig.2.7.

În acest caz, expresiile forţelor şi vor ţine cont de orientarea axei x.

Astfel,

(2.3.)

(2.4.)

„Orientarea planului” este posibilă cu ajutorul unui sistem de axe

(x,y) „orientate” cu ajutorul versorilor şi . În acest caz o rotaţie a

planului va putea fi considerată pozitivă, dacă suprapunerea axei x

peste y se face cu unghiul α de cea mai mică valoare (de 90°), (figura

2.8.).

Aceleaşi considerente determină şi rotaţia pozitivă (sau negativă) a

axelor, ca în figura 2.9.

I

I11 FF

OI22 FF

x


Fig.2.8.

Fig.2.9.

Orientarea spaţiului poate fi definită similar celei a planului, dacă prin

rotaţia axelor (x peste y, y peste z şi z peste x), unghiurile „pozitive”

αxy, αyz şi αzx vor fi unghiuri de 90° (figurile 2.10. şi 2.11.).

J

O

xI

yα>0

α<0

I

G x

J

y

α>0

α<0


Fig.2.10.

Fig.2.11.

x

yz

αxy >0

αzx >0αyz >0

x

y

z

αxy >0

αzx >0

αyz >0


2.4.Operaţii cu vectori

În cele ce urmează vom considera ca fiind operaţii cu vectori: „Amplificarea

vectorilor cu un scalar”, „Adunarea vectorilor”, „Proiecţia unui vector pe o

axă” şi „Produsul a doi vectori”.

2.4.1.Amplificarea vectorilor cu un scalar

Vectorul , (de valoare F), amplificat cu un scalar λ, este un vector, :

(2.5.)

Direcţia lui este cea a lui .

Sensul lui este cel al lui , dacă λ>0.

Sensul lui este contrar lui , dacă λ<0.

Valoarea lui este F1:

(2.6.)

Proprietăţile produsului :

Produsul este comutativ:

(2.7.)

Produsul este asociativ, în raport cu un al doilea scalar, μ.

(2.8.)

Produsul este distributiv, în raport cu adunarea scalarilor λ şi μ.

(2.9.)


2.4.2.Adunarea vectorilor coplanari şi concurenţi

În cele ce urmează vom considera că vectorii sunt forţe .

( ), sunt coplanare şi concurente.

Regula paralelogramului forţelor

-Rezultanta a două forţe coplanare şi concurente şi este diagonala

paralelogramului construit pe cei doi vectori ca laturi (figura 2.12.).

Fig.2.12.

Se scrie:

(2.10.)

Regula triunghiului forţelor

-două forţe şi coplanare (şi concurente) pot fi sumate (adunate)

vectorial, adăugând în continuarea vectorului un vector, având aceaşi

sens şi aceaşi valoare (la scara desenului) cu forţa (vectorul) (figura

2.13.).

()

()2F

1F

O

R


Fig.2.13.

Rezultanta va avea şi în acest caz punctul de aplicaţie în cel al forţelor

şi , fiind paralelă şi egală cu suma vectorială a vectorilor şi .

Generalizare pentru un sistem de n forţe coplanare şi concurente

(Regula poligonului forţelor)

Un număr de n forţe coplanare şi concurente se pot suma grafic,

generalizând regula triunghiului (adunând succesiv rezultantele a două

câte două forţe concurente), ca în figura 2.14.b).

Fig.2.14.

(2.11.)

2F

1F

21 FFR

1F

2F

O O)a )b

nF

1F R

1F

12R

2F

jF

2F

jF nF

RR ,n,...,2,1

O O)a )b

j2,1R jnR


Rezultanta va avea şi în acest caz punctul de aplicaţie în cel al forţelor

, , ... , fiind paralelă şi egală cu „vectorul” ce rezultă din

construcţia „poligonului” forţelor, din figura 2.14.b).

Dacă poligonul „forţelor” rămâne deschis, atunci (evident) rezultanta este

diferită de zero. Dimpotrivă, dacă „poligonul” forţelor se închide, rezultanta

forţelor este nulă şi sistemul de forţe va fi în „echilibru”.

Proprietăţile adunării vectorilor

Adunarea vectorilor este:

-comutativă, adică

, (2.12.)

-asociativă, adică

, (2.13.)

-şi distributivă, în raport cu un scalar:

(2.14.)

2.4.3.Proiecţia unui vector pe o axă

Proiecţia vectorului pe axa x (figura 2.15.) ar putea fi considerată ca fiind

tot de natură vectorială, întrucît i se poate asocia o direcţie şi un sens

(corespunzător axei x), precum şi o valoare Fx=X.

(2.15)

Proiecţia se obţine ducând din punctul de aplicaţie şi vârful vectorului ,

perpendiculare pe axa x. Vectorul proiectat pe axa x va fi „pseudovectorul”:

(2.16.)

Valoarea α este cea a unghiului dintre axa x şi suportul vectorului .

Analog, proiecţia vectorului pe axa y, va fi „pseudovectorul” ,


(2.17.)

Fig.2.15.

2.4.3.1.Expresia hipercomplexă a unui vector în planul

(x,y)

În conformitate cu cele de mai sus, valorile proiecţiilor vectorului şi

„vectorului de poziţie”, al forţei în raport cu originea (O) a axelor, vor fi:

, , (2.18.)

Ca urmare rezultă, că valorile vectorilor proiectaţi pe axele ortogonale x şi y

vor fi:

, (2.19.)

iar expresiile vectoriale ale acestora (numite „hipercomplexe”) vor fi:

(2.20.)

Cu notaţiile din figură rezultă, că:

, (2.21.)

F

yF

xI

y

J

Jyry

),Y(Fy

Ixrx

),X(Fx


şi respectiv:

. (2.22.)

2.4.3.2.Teorema proiecţiilor

Dacă se raportează adunarea vectorială,

(2.23.)

sistemului de axe (x,y) din figura 2.16. rezultă (cu notaţiile din figură), că:

(2.24.)

Fig.2.16.

relaţii care definesc „terorema proiecţiilor” şi care poate fi enunţată astfel:

„Suma proiecţiilor unor forţe care fac obiectul unei sumări vectoriale pe o

axă, este egală cu proiecţia rezultantei lor pe aceeaşi axă”.

Prin generalizare, dacă:

1F

xI

1

y

J

2F

I1X

I2X

1X 2XX

J1YJ2Y

Y 1Y2Y)Y,X(R

2


, (2.25.)

atunci:

. (2.26.)

2.4.4.Produsul a doi vectori

Produsul a doi vectori poate fi „scalar” sau „vectorial”.

2.4.4.1.Produsul scalar a doi vectori

Prin definiţie, produsul scalar al vectorilor şi (figura 2.17.) este

expresia:

(2.27.)

Produsul scalar este:

Comutativ, în sensul că:

(2.28.)

Asociativ în raport cu un scalar, adică:

(2.29.)

Distributiv, în raport cu adunarea vectorilor:

(2.30.)


Fig.2.17.

Cazuri particulare

Pentru , (figura 2.18.),

Fig.2.18.

. (2.31.)

Pentru ,

. (2.32.)

Ca urmare pentru versorii şi ,

. (2.33.)

Pentru , (figura 2.19.), obţinem:

. (2.34.)

Ca urmare,

. (2.35.)

1F

2F

1F

2F

I

O


Fig.2.19.

Pentru 0<α< , (figura 2.20.), obţinem:

Fig.2.20.

, (2.36.)

(2.37.)

rezultă:

sau . (2.38.)

1F

2F

2

I

J

O

x

2F

IJ

O

1F

y

1X2X

1Y2Y1

2


2.4.4.2.Produsul vectorial a doi vectori

Se consideră vectorii şi , în planul (P), (figura 2.21.). Prin

definiţie, produsul vectorial va fi expresia:

. (2.39.)

Sau:

. (2.40.)

Fig.2.21.

Produsul vectorial definit ca mai sus are caracteristicile unui

vector rotitor (rotor) în jurul axei z, cu sensul corespunzător triedrului (

, ).

Rezultă, că produsul vectorial , are:

x2F

IJ

O

1F

y

1X2X

1Y2Y2

k

z21 FF

)P(

1


Direcţia axei z, perpendiculară pe planul (P) al vectorilor , .

Sensul axei z, dacă valoarea produsului este pozitivă şi sensul contrar

axei z, dacă valoarea produsului este negativă.

Valoarea sau .

Proprietăţile produsului vectorial

Produsul vectorial este:

Anticomutativ:

. (2.41.)

Asociativ, în raport cu un scalar:

. (2.42.)

Distributiv, în raport cu adunarea vectorilor:

. (2.43.)

Cazuri particulare

, (figura 2.22.),

Fig.2.22.

Întrucât , rezultă că, în acest caz avem:

. (2.44.)

1F

2F

I

O


Ca urmare şi:

. (2.45.)

Pentru , (figura 2.23.), obţinem:

, (2.46.)

cu valoarea:

. (2.47.)

Ca urmare:

, (2.48.)

Fig.2.23.

2.4.5.Aplicaţii

Aplicaţia 1. Asupra unei nave acţionează un remorcher şi un împingător, cu

forţele de 4 kN şi 3 kN ca în figura 2.24. Determinaţi direcţia, sensul şi

valoarea rezultantei, R.

Rezolvare: Forţele fiind coliniare, rezultă că R=3 kN+4 kN=7 kN (figura

2.25.).

1F

2F

2

I

J

O


Fig.2.24.

Fig.2.25.

Direcţia rezultantei este direcţia forţelor,

Sensul, corespunde forţelor, care se adună.

Aplicaţia 2. Asupra unei nave acţionează două remorchere, cu forţele de 4 kN

fiecare, ca în figura 2.26.Determinaţi direcţia, sensul şi valoarea rezultantei

lor.

Fig.2.26.a.

Rezolvare:

Soluţia 1-a. Întrucât forţele au aceeaşi valoare şi fac acelaşi unghi cu

axa longitudinală a navei, rezultanta lor va fi orientată în direcţia axei x. În

xkN3F1

kN4F2 G

x

kN7R G

x

kN4G

kN44545

y

y

y


acest caz, rezultanta va fi diagonala pătratului ale cărui laturi sunt chiar

forţele. Ca urmare, kN (figura 2.26.b.).

Soluţia a 2-a. Conform teoremei proiecţiilor, kN

şi Y=0. Rezultă kN.

Fig.2.26.b.

Aplicaţia 3. Rezolvaţi aceeaşi problemă, dacă unghiurile pe care le fac

forţele cu axa x sunt de 30° (figura 2.27).

Fig.2.27.

Aplicaţia 4. Două remorchere acţionează asupra unei nave cu forţe de

3 şi respectiv 4 kN, ca în figura 2.28.a. Determinaţi direcţia, sensul şi

valoarea rezultantei lor.

x

kN4G

kN44545

y

R

x

kN4G

kN43030

y


Fig.2.28.a.

Rezolvare:

Soluţia 1-a. Întrucât forţele sunt perpendiculare, rezultă că

kN. Direcţia rezultantei este dată de unghiul α (figura

2.28.b.),

.

Soluţia a 2-a. Conform teoremei proiecţiilor, din kN şi Y=4 kN.

Rezultă kN.

Fig.2.28.b.

Aplicaţia 5. Asupra unei nave acţionează două împingătoare, cu

forţele de 3 kN şi 4 kN, ca în figura 2.29.a. Determinaţi direcţia, sensul şi


xkN3G

kN4 90y

x

kN3G

kN4 y

R


Rezolvare. Întrucât forţele sunt vectori alunecători, putem să le

deplasăm astfel încât să devină concurente în originea „O” a axelor, ca în

figura 2.29.b.

Fig.2.29.a.

Fig.2.29.b.

Ca urmare, întrucât X=4 kN şi Y=3 kN, rezultă că:

kN, iar :

.

Aplicaţia 6. Asupra unei nave acţionează trei împingătoare, cu forţele

de 3 kN şi 4 kN, ca în figura 2.30.a. Determinaţi direcţia, sensul şi valoarea

rezultantei lor.

x

kN3

OkN4

y

x

kN3O kN4

y

R


Rezolvare. Întrucât forţele pot fi considerate „vectori alunecători”,

putem să le deplasăm pe suportul lor, astfel încât să devină concurente în

originea „O” a axelor, ca în figura 2.30.b.

Fig.2.30.a.

Fig.2.30.b.

În consecinţă, comform teoremei proiecţiilor kN=

şi Y=0. Ca urmare: kN, şi este orientată în

direcţia şi sensul axei x.

Aplicaţia 7. Asupra unei nave acţionează un remorcher şi două împingătoare,

cu forţele de 4 kN, 3 kN şi 5 kN fiecare, ca în figura 2.31. Determinaţi

direcţia, sensul şi valoarea rezultantei lor.

xO

ykN4

kN4kN3 4545

xO

y kN4

kN4kN3 4545


Fig.2.31.

Răspuns:

R=8,602 kN şi α=35 ° 32’15”.

Aplicaţia 8. Asupra unei nave acţionează un remorcher şi două împingătoare,

cu forţele de 2 kN, 4 kN şi respectiv 1 kN, ca în figura 2.32. Determinaţi

direcţia, sensul şi valoarea rezultantei lor.

Fig.2.32.

Aplicaţia 9. După ce direcţie trebuie să acţioneze un împingător care dezvoltă

o forţă de 6 kN ca în figura 2.33.a, pentru a se suprapune peste direcţia

rezultantei altor două împingătoare care dezvoltă forţe de 3 respectiv 4 kN?

Calculaţi valoarea rezultantei totale în acest caz.

x

kN5G kN4

y

kN3

x

kN1G

kN2y

kN4


Fig.2.33.a.

Rezolvare. Se deplasează prin alunecare forţele de 3 şi 4 kN, astfel

încât să devină concurente, ca în figura 2.33.b.

Fig.2.33.b.

Rezultă R3,4 =5 kN şi

,

Rtot= R3,4 + 6 kN=5+6=11 kN.

x

kN4G

kN6

y

kN3?

?

x

kN4

kN6

y

kN3

4,3R


Aplicaţia 10. Asupra unei nave acţionează două remorchere, cu forţele de 3

kN şi respectiv 4 kN ca în figura 2.34.a. Determinaţi direcţia, sensul şi


Fig.2.34.a.

Rezolvare. (figura 2.34.b.).

Fig.2.34.b.

X=3 cos 30 + 4 cos 60=4,595 kN,

Y=3 sin 30 - 4 sin 60= - 1,96 kN,

kN,

x

kN4

G

y

kN36030

x

kN4

G

y

kN3

60

30R

X

Y

α


.

Aplicaţia 11. Asupra unei nave acţionează două împingătoare, cu forţele de 3

kN şi respectiv 4 kN ca în figura 2.35. Determinaţi direcţia, sensul şi valoarea

rezultantei lor.

Fig.2.35.

2.5.Momentul unei forţe în raport cu un punct. Teorema

momentelor

2.5.1.Momentul unei forţe în raport cu un punct (figura

2.36)

Să considerăm în planul (P) o forţă aplicată în punctul O’ şi vectorul

de poziţie al punctului O’, în raport cu un alt punct (O) din plan.

Prin definiţie, momentul, al forţei în raport cu punctul O, este

produsul vectorial:

x

kN4

G

y

kN345

45


, (2.49.)

Dacă notăm:

rx=x, ry=y, Fx=X, Fy=Y, (2.50.)

atunci:

, (2.51.)

Fig.2.36.

în care, valoarea scalară a momentului , este:

, (2.52.)

pe de altă parte, în baza definiţiei produsului vectorial, putem scrie:

, (2.53)

în care:

, (2.54.)

este „braţul” forţei F în raport cu punctul O.

Aplicaţii:

k

0M

x

yz

(P)

F

r

ry

Fy

rx Fx

d

α

αJ

I

O’


Aplicaţia 1. Pentru nava din figura 2.37. calculaţi momentul pe care-l

imprimă navei în raport cu centrul de greutate G, un împingător care

acţionează cu o forţă de 4 kN.

Fig.2.37.

Rezolvare: M0=4 · 10=40 kNm.


imprimă navei în raport cu centrul de greutate G, un împingător care

acţionează cu o forţă de 14,1 kN.

G x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

4kN

d=rx=x


Fig.2.38.

Rezolvare:

rx=x=10 m,

ry=y= - 4,5 m,

Fx=X=14,1 cos 45=14,1 =10 kN,

Fy=Y=14,1 sin 45=14,1 =10 kN,

M0=xY – yX =10 · 10 – (- 4,5) · 10 = 145 kNm.


imprimă navei în raport cu centrul de greutate G, un remorcher care

acţionează cu o forţă de 4 kN.

G x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

45°

rx=x

d

14,1 kN


Fig.2.39.

Rezolvare:

rx=x=20 m,

ry=y= 0 m,

Fx=X=4 cos 30=4 =3,46 kN,

Fy=Y=4 sin 30=4 =2 kN,

M0=xY – yX =20 · 2 – 0 · 3,46 = 40 kNm.

2.5.2.Teorema momentelor

„Teorema momentelor” pentru un sistem de forţe concurente se

enunţă astfel:

„Pentru un sistem de forţe concurente care admit o rezultantă ,

(2.55.)

G x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

30°

4kN


momentul rezultantei în raport cu un punct „O” este egal cu suma

momentelor forţelor, în raport cu acelaşi punct.

, (2.56.)

sau

, (2.57.)

Relaţia (2.57.) se mai poate scrie sub forma:

, (2.58.)

sau:

(2.59)

Aplicaţii:

Aplicaţia 1. Pentru nava acţionată de două remorchere, ca în figura

2.40., calculaţi momentul rezultantei acţiunii lor, în raport cu centrul de

greutate G, al navei.

Rezolvare:

Soluţia 1. M0=3 · 10 – 4 · 4,5 =12 kNm.

Soluţia 2. x=10 m, y=4,5 m, X1=0, Y1=3 kN, X2=4 kN, Y2=0,

M0=x(Y1 + Y2) – y(X1 + X2) =10 · 3 – 4,5 · 4=12 kNm.


Fig.2.40.

Aplicaţia 2. Pentru nava acţionată de două remorchere, ca în figura

2.41., calculaţi momentul rezultantei acţiunii lor, în raport cu centrul de

greutate G, al navei.

Fig.2.41.

Rezolvare:

G

x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

3 kN

4kN

Gx

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

30°r=x

60°

3 kN

4 kN


M0=(Y1+Y2)x=x Y1+x Y2.

M0=(3 sin 60) · 20 + ( 4 sin 30) · 20 = 91,9 kNm.

2.6. Cuplul de forţe; momentul cuplului

Să considerăm în planul paginii (P), un cuplu de forţe şi ( ca în

figura 2.42.), egale şi opuse, la „braţul” d între ele. Ne propunem să calculăm

„momentul cuplului” , în raport cu un punct O. În acest scop, punem în

evidenţă „vectorii de poziţie” şi ai punctelor de aplicaţie ale celor două

forţe, în raport cu O şi

.

Dar , şi ca urmare,

, (2.55.)

indiferent de poziţia punctului O.

În consecinţă, momentul cuplului este un vector liber, adică are

aceeaşi valoare indiferent de punctul de calcul al lui.

Valoarea momentului cuplului este:

. (2.56.)

Dacă lucrăm cu proiecţiile pe axele x şi y, ale vectorului şi forţei ,

adică cu rx=x, ry=y, Fx=X, Fy=Y, atunci momentul cuplului va avea expresia:

(2.57.)


Fig.2.42.

Ca urmare:

Direcţia momentului este perpendiculară pe planul forţelor

cuplului.

Sensul momentului corespunde triedrului , , .

Mărimea momentului este

. (2.58.)

Două cupluri sunt echivalente, dacă:

(2.59.)

În plan, cuplurile (coplanare) se sumează după regula

cunoscută,

(2.60.)

i

j

1r

x

y

(P)F

α

F

2r

r

βdO

Mc


Aplicaţii:

Aplicaţia 1. Calculaţi momentul cuplului pe care-l exercită două

remorchere, asupra navei din figura 2.43.

Fig.2.43.

Rezolvare:

Mc=4 · 20 =80 kNm.

Aplicaţia 2. Calculaţi momentul cuplului pe care-l exercită două

remorchere, asupra navei din figura 2.44.

Rezolvare:

Soluţia 1. Mc=(4 sin 60) · 40 =138,4 kNm.

Soluţia 2. x=40 m, y=0, X=4 cos60=2 kN, Y=4 sin 60=3,46 kN.

Rezultă:

Mc=xY – yX =40 · 3,46=138,4 kNm.

O

x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

4kN

4kN


Fig.2.44.

2.7. Operaţii de echivalenţă în mecanică

Mecanica (Statica), admite următoarele şase operaţii de echivalenţă.

1. Alunecarea unui vector (alunecător) pe suportul lui, Δ (figura 2.45.).

Fig.2.45.

2. Adăugarea a două forţe egale şi opuse (figura 2.46.), fără a se

modifica starea iniţială a corpului.

Fig.2.46.

O

x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

60° 60°

4kN

4kN

F F

F

F


3. Suprimarea a două forţe egale şi opuse (figura 2.47.), fără a se

modifica starea iniţială a corpului.

Fig.2.47.

4. Înlocuirea a două forţe concurente, prin rezultanta lor (figura 2.48.).

Fig.2.48.

5. Înlocuirea unei forţe , cu componentele ei, şi , după două

direcţii şi cunoscute, concurente între ele într-un punct

aparţinând suportului forţei (figura 2.49.).

Fig.2.49.

6. Înlocuirea unui cuplu cu momentul lui, Mc. (figura 2.50.).

F

F

1F2F

R

1F2F

R

1F

)( 1

)( 2

F

cMF


Fig.2.50.

2.8. Reducerea sistemelor de forţe coplanare (oarecare)

Să considerăm o navă asupra căreia acţionează mai multe remorchere

şi împingătoare, cu forţele , care fac cu axa longitudinală (X) a navei,

unghiuri (figura 2.51.a.).

Ne propunem să reducem forţele în centrul (de greutate), G al

navei. În acest scop, se reduce fiecare forţă în punctul G, la ea însăşi şi la

momentul ei, , în raport cu punctul G.

Fig.2.51.a.

. (2.61.)

În ecuaţia (2.61.), sunt braţele forţelor în raport cu punctul O

(figura 2.51.b.). Forţele devenite concurente în punctul G se reduc la

rândul lor, la o rezultantă unică, (figura 2.51.c.).

G

x

y

n

jF

1F

1nF

jd1

dn

dj


Fig.2.51.b.

Fig.2.51.c.

, (2.62.)

în care:

(2.63.)

şi care este independentă de poziţia punctului de reducere (O):

1F

jF

nF

jjx jy

1G11 FMdF

jGjj FMdF

GnGnn FMdF

y

x

1F

nF

)x(G

n

1jGnG MFM

n

1jjFR )y(

x

y

jF

nF


, (2.64.)

în care:

(2.65.)

, (2.66.)

în care:

. (2.67.)

Momentele se reduc şi ele la un moment rezultant, M0,

(2.68.)

Cazuri posibile de reducere

1. Dacă şi , sistemul de forţe se reduce la o rezultantă şi

un moment, al căror efect asupra navei este de translaţie şi rotaţie

în jurul punctului G.

2. Dacă şi , sistemul de forţe se reduce la o rezultantă

unică.

3. Dacă şi , sistemul de forţe se reduce la un moment

unic,

şi.

4. Dacă şi , nava se va afla în echilibru sau mişcare

rectilinie şi uniformă.

Aplicaţii


1.Asupra unei nave acţionează două împingătoare şi două remorchere, cu

forţele îndicate în figura 2.52. Se cere să se calculeze valoarea, şi înclinarea

rezultantei R a forţelor faţă de axa x şi momentul rezultant M0 al forţelor,

reduse în centrul de greutate (G) al navei.

Fig.2.52.

Rezolvare:

Varianta I-a:

Rezultă:

Pentru calculul momentului M0 avem două posibilităţi:

Soluţia 1-a:

G

x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

45°

d 2 kN

4kN

1 kN

3 kN

1,41 kN

4

1

2

3


.

Soluţia 2-a:

, în care

şi .

Ca urmare:

.

Varianta II-a: cu ajutorul calculului tabelar.

Se constituie tabelul:

Nr.

Crt

1 -20 0 1 0 0 0 0

2 0 -4,5 0 3 0 0 0

3 0 4,5 1 1 0 4,5 -4,5

4 20 0 2 0 0 0 0

/ / 4 4 0 4,5 -4,5

Rezultă , şi .

2.Asupra unei nave acţionează două împingătoare şi un remorcher, cu forţele

de 1 kN,2 kN şi 4 kN ca în figura 2.53. Se cere să se calculeze rezultanta

forţelor reduse în centrul de greutate G al navei, şi valoarea momentului

rezultant, M0 .


Fig.2.53.

Răspuns: X=6,28 kN, Y=2,82 kN, R=6,88 kN.

, şi

3.Asupra unei nave acţionează trei împingătoare şi un remorcher, ca în figura

2.54. Se cere să se calculeze rezultanta forţelor reduse în centrul de greutate

G al navei, şi valoarea momentului rezultant, M0 .

Fig.2.54.

Gx

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

30°

4 kN

4kN

1 kN

2 kN

1

2

3

α2

G

x

y

4,5 m

4,5 m

10 m 10 m 10 m 10 m

30°

4 kN

4kN

1 kN

2 kN

α

3 kN


2.9.Momente statice şi centre de greutate

Se consideră o suprafaţă de arie (plină) A, ca în figura 2.55., raportată

la axele centrale y şi z, care se intersectează în centrul de greutate G al

suprafeţei.

Aria A poate fi considerată ca fiind formată din o mulţime de

suprafeţe elementare, dA, şi în acest caz, putem scrie:

(2.69.)

Prin definiţie, momentul static al suprafeţei A în raport cu o axă y0

paralelă cu y, este integrala:

(2.70.)

Fig.2.55.

Coordonata zG a centrului de greutate G al suprafeţei A în raport cu

axa y0, este zG(y0):

Gy

(A)

z

z

zG

z0

O

(dA)

zo

y0


(2.71.)

Evident, coordonata zG a centrului de greutate G al suprafeţei A în

raport cu axa y, va fi nulă:

(2.72.)

Din ecuaţia (2.72.), rezultă că momentul static al suprafeţei în raport

cu o axă centrală este nul.

În cazul nostru:

(2.73.)

În cazul suprafeţelor compuse constituite dintr-un număr finit de „n”

suprafeţe componente, relaţia (2.71.) se scrie sub forma:

(2.74.)

Evident, dacă z este axă de simetrie, centrul de greutate se află pe axa z:

(2.75.)

Aplicaţii

1.În cazul unei nave având secţiunea din figura 2.56., centrul de greutate se

va afla în punctul de intersecţie al axelor de simetrie, y şi z.


Fig.2.56.

2.În cazul secţiunii din dreptul unei guri de magazii a unei nave (ca în

figura 2.57), centrul de greutate G al secţiunii se va afla pe axa de simetrie z

(din planul diametral al navei), dar într-o poziţie oarecare pe verticală. Dacă

alegem ca axă de referinţă conturul median al învelişului punţii, poziţia

centrului de greutate G al secţiunii poate fi definită prin coordonata zG în

raport cu axa de referinţă aleasă.

Pentru calculul coordonatei zG cu relaţia (2.74.), se procedează în felul

urmator:

a.se descompune secţiunea în suprafeţe componente, după cum

urmează:

1.învelişul punţii cu centrele de greutate G1 (pentru fiecare suprafaţă

componentă) prin care trece axa centrală y1.

2.învelişul bordurilor, cu centre de greutate G2 prin care trece axa

centrală y2.

Gy

z

B=9 m

D=6 m

t=2 X 10-2 m

z


3.învelişul fundului, cu centrul de greutate G3 prin care trece axa

centrală y3.

Fig.2.57.

b.se constituie tabelul de mai jos, în care se trec datele necesare calculului.

Nr. Crt. Aj [m2] zGj [m] Aj zGj [m3]

1 8 · 10-2 0 0

2 24 · 10-2 3 72 · 10-2

3 18 · 10-2 6 108 · 10-2

50 · 10-2 / 180 · 10-2

Rezultă: m.

Gy

4,5 m

6 m

4,5 m

y2

G2 G2

G3

1 1

2

2

3

3 m ZG=3,6 m G1G1

X X

X

X

z

ZG2=3 m

ZG3=6 m

2 m2 m

2 ·10-22 ·10-2

1 m 1 m


3.Calculaţi în raport cu axa de referinţă, care coincide cu conturul median al

învelişului punţii, pentru secţiunea din fig.2.58., coordonata zG, a centrului de

greutate, G al secţiunii.

Fig.2.58.

2.10.Echilibrul corpului solid rigid, sub acţiunea

sistemelor de forţe coplanare

2.10.1.Echilibrul corpului solid rigid liber

Un corp solid rigid liber, asupra căruia acţionează un sistem de forţe

coplanare Fj se află în echilibru, dacă rezultanta (vectorială) a forţelor şi

momentul rezultant M0 al forţelor sunt nule (fig.2.59.a) şi b)).

4,5 m

2 m

4,5 m

y1

G2 G2

G3

1 22

4

4 m

G1X

X

z

ZG2

ZG42 ·10-2

XX X

G4

3

ZG3

y2

y3

y4

3 m


Fig.2.59.

(2.75.)

sau:

(2.76.)

Dacă forţele sunt şi concurente, atunci condiţia de echilibru a

corpului se reduce la:

sau . (2.77.)

1F xO

a)

O

Ry

y

M0

jF nF

Rx

R

b)


Dacă forţele sunt paralele în plan, (de exemplu orientate după

direcţia axei y), atunci condiţiile de echilibru se reduc la:

(2.78.)

sau:

, (2.79.)

în care O1 şi O2 sunt două puncte oarecare aparţinând corpului solid

rigid liber. În acest caz, prima ecuaţie (2.78.) poate fi folosită ca o ecuaţie de

verificare (suplimentară) a condiţiei de echilibru.

2.10.2.Echilibrul corpului solid rigid cu legături.

Axioma legăturilor. Tipuri de legături

2.10.2.1. Axioma legăturilor

Un corp solid rigid care este legat de un mediu printr-o legătură poate

fi eliberat de ea, dacă se înlocuieşte legătura cu torsorul forţelor care

acţionează în legătură, asupra corpului considerat. Ca urmare, în urma acestei

operaţii corpul iniţial legat poate fi considerat liber, sub acţiunea sistemului

iniţial de forţe active şi forţelor de legătură, .


În acest caz, condiţia de echilibru (2.75.) devine:

, (2.80.)

iar, celelalte condiţii de echilibru, (2.76.), (2.77.), (2.78.) şi (2.79), se

modifică, completându-se corespunzător, ţinând cont inclusiv de prezenţa

forţelor de legătură, .

2.10.2.2. Tipuri de legături (în plan). Legătura prin fir

O legătură prin fir (cablu, lanţ, etc.), (figura 2.60 a) şi b)), se

înlocuieşte printr-o forţă de legătură (sau „efort”), orientată în lungul firului,

în sensul corespunzător întinderii lui. Valoarea efortului din fir se calculează

cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru. Firul introduce deci o singură necunoscută.

Reazemul simplu (fără frecare).

Legătura unui corp printr-un reazem simplu, se reprezintă ca în figura

2.61.a). Reazemul permite deplasarea (translaţia) corpului paralel cu

suprafaţa de reazem şi rotirea lui în jurul „punctului” de reazem, împiedecând

deplasarea corpului perpendicular pe suprafaţa de reazem (figura 2.61.b)).

În consecinţă reazemul simplu se înlocuieşte cu o reacţiune (forţă) R,

perpendiculară pe suprafaţa de reazem (figura 2.61.c)).

Mărimea (necunoscută a) reacţiunii poate fi determinată din condiţia

de echilibru a corpului rezemat, cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru. Reazemul

introduce deci o singură necunoscută.


Fig.2.60.

Fig.2.61.

Articulaţia.

Articulaţia poate fi considerată ca fiind un reazem fix (imobil) şi se

reprezintă ca în figura 2.62.a).

O

G=mg

N=G

b)

m

a)

G=mg

1F

a)

jF nF

b)

jF

nF

1F

R

c)


Articulaţia permite rotirea corpului în jurul punctului de articulaţie şi

se opune deplasării corpului după orice direcţie (figura 2.62.b). Ca urmare,

articulaţia se poate înlocui cu o reacţiune (forţă), , având direcţia (α) şi

mărimea (R) necunoscute, sau prin două componente (Rx şi Ry) ortogonale

ale reacţiunii , de direcţii cunoscute dar mărimi necunoscute.

Cele două necunoscute introduse prin înlocuirea articulaţiei (valoarea

R, direcţia α sau valorile Rx şi Ry ale componentelor reacţiunii ) se pot

determina cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru, din condiţia de echilibru a

corpului eliberat de legătura prin articulaţie. Articulaţia introduce deci într-o

problemă două necunoscute: R şi α sau Rx şi Ry.

Fig.2.62.

Încastrarea.

1F

a)

jF nF

b)

jF

nF

1F

c) RRy

Rx

α


Este legătura rigidă, care răpeşte corpului toate gradele de libertate

(figura 2.63.a).

Ca urmare încastrarea, (în plan) se înlocuieşte cu o reacţiune , de

valoare (R) şi de direcţie (α) necunoscute (sau de componente ortogonale Rx

şi Ry, după direcţii cunoscute, dar de mărimi necunoscute) şi un moment M

(în planul forţelor) de mărime necunoscută.

Încastrarea introduce deci într-o problemă trei necunoscute (R, α şi M

sau Rx , Ry şi M).

Acestea pot fi determinate din condiţia de echilibru a corpului eliberat

de încastrare, cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru.

În situaţii concrete reale, corpurile pot fi prevăzute simultan cu două

sau chiar mai multe legături.

Fig.2.63.

Acestea introduc-prin eliberarea corpului de legături-una sau mai

multe necunoscute iniţiale în funcţie de natura legăturilor înlocuite. Cum

1F

a)

jF nF

b)

jF

nF

1F

c)

R Ry

Rx

α

M


necunoscutele pot fi determinate cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru, rezultă

că, în rezolvarea problemelor care implică corpuri solide rigide sub acţiunea

sistemelor de forţe coplanare oarecare, pot fi întâlnite următoarele trei

situaţii:

a.numărul necunoscutelor (n) este mai mic ca numărul ecuaţiilor de

echilibru (3):

n < 3.

În acest caz, corpul are grade de libertate suplimentare şi se

comportă ca un mecanism.

b.numărul necunoscutelor (n) este egal cu cel al numărului de ecuaţii

de echilibru (3) disponibile:

n = 3.

În acest caz, libertatea de mişcare a corpului este împiedicată şi

valorile necunoscutelor introduse prin înlocuirea legăturilor cu reacţiuni

sau/şi parametri geometrici pot fi determinate cu ajutorul ecuaţiilor de

echilibru disponibile.

c.numărul necunoscutelor (n) este mai mare decât cel al ecuaţiilor de

echilibru (3):

n > 3.

În acest caz, problema este static nedeterminată, iar rezolvarea ei

impune folosirea suplimentară a unor ecuaţii care să aibă în vedere

comportarea reală, sub sarcini, a corpului real (deformabil).

2.10.3.Maşini simple de la bordul navelor


2.10.3.1.Pârghia

Scopul pârghiei este de a facilita ridicarea unor greutăţi (G) mari, cu

ajutorul unor forţe (F) mici (figura 2.64.).

Dacă considerăm pârghia - - -

în echilibru sub

acţiunea greutăţii G şi forţei aplicae P, şi scriem una din ecuaţiile de

echilibru şi anume ecuaţia de momente în jurul punctului de reazem (2), vom

obţine relaţia între forţa activă F şi greutatea ridicată, G.

Fb-Ga=0 sau .

Din relaţia obţinută se deduce că, cu cât raportul a/b pentru o greutate

dată G este mai mic, cu atât şi forţa F folosită pentru ridicarea greutăţii G va

fi proporţional mai mică.

Fig.2.64.

2.10.3.2.Scripetele

G=mg

b

m

a

P

1 2 3

1 2

3


Dezavantajul pârghiei constă în faptul că forţa activă P trebuie

aplicată în jos. Scripetele din figura 2.65. înlătură acest dezavantaj, dar din

ecuaţia de momente în raport cu axul scripetului (O) rezultă că:

F=G,

de unde se deduce, că scripetele (simplu) nu „economiseşte” forţa

activă necesară ridicării greutăţii G (anulează avantajul pârghiei).

Fig.2.65.

2.10.3.3.Troliul

Troliul (figura 2.66.) reuneşte într-un singur dispozitiv avantajele

pârghiei şi scripetelui. Din ecuaţia de echilibru (de momente) în raport cu

axul troliului, obţinem:

FR-Gr=0 sau ,

de unde se observă că, cu cât rapotul r/R este mai mic pentru o

greutate G dată, cu atât şi valoarea forţei active, F, va fi una mai mică.

m

FG=mg

r r


Fig.2.66.

2.10.3.4.Planul înclinat fără frecare

Greutatea G (figura 2.67.) se poate descompune în componentele

G sin α (paralelă cu planul înclinat) şi G cos α (perpendiculară pe planul

înclinat). Din ecuaţia de echilibru (de proiecţii pe direcţia firului paralel cu

planul înclinat), rezultă relaţia dintre forţa activă (F), de ridicare şi greutatea

G:

P=F sin α,

de unde se deduce că, cu cât pentru o greutate G, dată unghiul α este

mai mic, cu atât şi valoarea forţei F ar trebui să fie mai mică (dacă se

neglijează efectul frecării dintre corpul ridicat şi planul înclinat).

În cele ce urmează se consideră problema frecării cunoscută de la

cursul de fizică.

m

FG=mg

r R


Fig.2.67.

2.10.3.5.Planul înclinat cu frecare

În cazul în care corpul de greutate G (figura 2.68.) se deplasează cu

frecare pe planul înclinat, între corp şi plan se dezvoltă o forţă de frecare Ff.

Ff=μN.

Fig.2.68.

În ecuaţia de mai sus, N este reacţiunea normală a planului asupra

corpului:

mF

G=mg

(F)

(F)

GccosαG sinα

α

α

mP

G=mg

(P)

(P)

GccosαG sinα αFf=μN

α


N=G cos α.

Ca urmare, rezultă că:

Ff=μ G cos α,

şi din ecuaţia de proiecţii a forţelor pe direcţia planului, obţinem:

F=G(sin α+μ cos α).

Cu cât înclinarea (α) şi coeficientul de frecare (μ) vor fi mai mici cu

atât (pentru o greutate G dată), şi forţa activă F va fi mai mică.

2.10.4.Instalaţii de ridicare de la bordul navelor

(Instalaţii cu bigă şi balansină)

La bordul navelor există instalaţii de ridicare ale căror elemente

principale sunt biga (care asigură orientarea instalaţiei) şi balansinele

(cablurile care susţin biga). Într-o primă aproximaţie se poate considera, că

biga este un solid rigid (nedeformabil), iar balansinele ar putea fi asimilate

„firelor” deformabile.

În acest context biga poate fi considerată articulată la capătul inferior

(dinspre stâlpul de susţinere sau catarg), balansinele putând fi secţionate

imaginar şi înlocuite cu efortul N pe care-l trasmit asupra bigii. În cele ce

urmează ne propunem să studiem câteva instalaţii foarte simple cu bigă şi o

singură balansină, scopul studiului fiind determinarea efortului din balansină

pentru o greutate ridicată G, dată. Alegerea tipului de cablu pentru balansină

se face în funcţie de valoarea acestui efort axial, N.


Aplicaţii

1. Pentru instalaţia cu bigă şi balansină din figura 2.69., se cere să se

determine valoarea efortului N din balansină, în funcţie de valoarea

greutăţii ridicate G, braţul ei (X) în raport cu articulaţia bigii şi

unghiul (α) de înclinare a balansinei faţă de orizontală (axa bigii).

Fig.2.69.

Rezolvare:

Luând în considerare că (după secţionarea imaginară a balansinei şi

înlocuirea ei cu efortul axial N) biga se află în echilibru, putem scrie o

ecuaţie de echilibru (de momente) a forţelor ce acţionează asupra bigii, în

raport cu articulaţia bigii. Ca urmare, vom obţine ecuaţia:

Nd=Gx,

în care d este braţul efortului N în raport cu articulaţia bigii, d=l sin α.

Rezultă:

.

(d)

G=mg

N

l

α

m

x

N



determine valoarea efortului N din balansină, în funcţie de valoarea

greutăţii ridicate, G=40 kN.

Fig.2.70.


determine valoarea efortului N din balansină, pentru o greutate G=60

kN.

Fig.2.71.

N

α=45°

m

N

G=40 kN

6 m

N

β=30°

m

N

G=40 kN

d=4 m

d’

α=60°


3.CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

3.1. Elementele mişcării

Elementele mişcării punctului material sunt: traiectoria, viteza şi

acceleraţia.

3.1.1. Traiectoria

Traiectoria unui punct material (în figura 3.1.) este reprezentată prin

curba din planul (P) pe care o descrie punctul în mişcarea sa (presupusă ca

desfăşurându-se în acelaşi plan, P). Poziţia punctului la un moment dat (t)

este marcată prin punctul M(t), al cărui vector de poziţie în raport cu originea

O a unui sistem de axe xOy, este . M’(t+Δt) indică poziţia punctului

material la un interval de timp Δt faţă de M(t), ş.a.m.d. Cu alte cuvinte,

traiectoria este definită prinvectorul de poziţie ,

. (3.1.)

3.1.2. Viteza

Viteza medie, (figura 3.1.) la momentul M(t) este definită de

raportul:

, (3.2.)


iar limita spre care tinde acest raport când Δt tinde spre zero, este

viteza (instantanee) a punctului material în punctul M.

(3.3.)

sau:

(3.4.)

în care este derivata vectorului de poziţie , în raport cu timpul.

Fig. 3.1.

3.1.3. Acceleraţia

Dacă poziţiile unui punct material (fig.3.2.) în două momente extrem de

apropiate (la un interval de timp Δt) sunt M şi M’ , caracterizate prin vitezele

instantanee şi ,

, (3.5.)

variaţia vitezei între cele două puncte va fi ,

xO

v

)P(

r

y

r

)t(M

)tt(M

mvr

aTraiectori


(3.6.)

Fig. 3.2.

Raportul dintre şi Δt se numeşte acceleraţie medie, ,

. (3.7.)

Limita spre care tinde , când Δt tinde spre zero, se numeşte

acceleraţie (instantanee a) mişcării, în punctul .

(3.8.)

Cu alte cuvinte, acceleraţia ( ) este derivata vitezei ( ) în raport cu

timpul sau derivata doua a vectorului de poziţie ( ), în raport cu timpul.

(3.9.)

3.2.Mişcările particulare ale punctului material

x

v

)P(

vv

M

M vvv

ma)t(

)tt(

a


3.2.1. Mişcarea rectilinie uniformă

Să considerăm că o navă (M) se deplasează pe direcţia Ox (de versor

), cu viteza , constantă.

Distanţa d parcursă în timpul t va fi:

, (3.10.)

şi se măsoară în metri (m), kilometri (km),

m (3.11.)

sau mile marine (Mm),

km m. (3.12.)

Din relaţia (3.10) putem obţine expresia vitezei în funcţie de distanţă şi

timp,

. (3.13.)

Viteza se măsoară în metri pe secundă (m/s), kilometri pe oră (km/h),

m/3600 s=0,277 m/s (3.14.)

sau noduri (Nd),

1 Nd= 1 MM/h=1,852 km/h. (3.15.)

1 Nd= 1,852·0,277 m/s=0,513 m/s. (3.16.)

Aplicaţie:

O navă părăseşte un port cu viteza de 20 Nd, iar după o oră, pleacă din

acelaşi port o altă navă, cu viteza de 30 Nd (fig.3.3). După cât timp se vor

întâlni şi la ce distanţă de port ?

a. Din condiţia d1=d2, rezultă:

20 t=30 (t-1),

din care obţinem:

t=3 ore.


b.Distanţa parcursă de cele două nave până la punctul de întâlnire, va fi:

d=v1t=20·3=60 MM=60·1,852=111,12 km.

Fig. 3.3.

3.2.1.1. Mişcarea absolută, relativă şi de transport

(rectilinie), a punctului material

Să considerăm o navă care se deplasează cu „viteza relativă” în raport

cu un fluviu, a cărui apă curge cu „viteza de transport” , faţă de mal (figura

3.4.).

Care va fi „viteza absolută” a navei, faţă de mal?

Rezolvare

Viteza absolută a navei ( ) va fi rezultanta vectorială a vitezelor

„relativă” ( ) şi de transport ( ).

, (3.17.)

d=d1=d2

(t) v1=20 Nd

v1=30 Nd

(t-1)


Fig. 3.4.

Cazuri particulare

1.a. Dacă vitezele „relativă” şi de „de transport” , sunt colinare şi

de acelaşi sens (figura 3.5.), atunci:

, (3.18.)

şi

(3.19.)

Fig. 3.5.

rv

tv

tra vvv

tv

avrv

tv


1.b. Dacă vitezele „relativă” şi de „de transport” , sunt colinare şi

opuse (figura 3.6.), atunci:

, (3.20.)

şi

(3.21.)

Fig. 3.6.

2.a. Dacă vitezele „relativă” şi de „de transport” , sunt octogonale

(figura 3.7.), atunci:

Fig. 3.7.

, (3.22.)

şi

(3.23.)

av rv

tv

av

rv

tv


2.b. Dacă vitezele de „de transport” şi direcţia vitezei absolute, ,

sunt octogonale (figura 3.8.), atunci:

Fig. 3.8.

, (3.22.)

şi

(3.23.)

Aplicaţii:

1. O navă se deplasează cu viteza vr=20 km/h în sensul curentului unui

fluviu, a cărui viteză vt este de 1,5 m/s. În cât timp va parcurge o

distanţă d=40 km? Dar dacă se deplasează în sens opus?

Rezolvare:

a. ; ,

deci:

h adică 1 h 34’.

av

rv tv

()


b. ; ,

deci:

h adică 2 h 44’.

Fig. 3.9.a.

Fig. 3.9.b.

2. O navă parcurge distanţa d=216 km în sensul de curgere a unui

fluviu în timpul t1=10 ore şi în sens contrar, în t2=15 ore.

Determinaţi vitezele relativă (vr) a navei şi de transport (vt) a fluviului.

rv

tv

d=40 km

rv

tv

d=40 km


Răspuns: vr=18 km/h şi vt= 3,6 km/h.

3. O navă traversează un fluviu (care curge cu viteza v t=0,5 m/s), cu

viteza vr=2 m/s. Sub ce unghi φ faţă de mal trebuie să pornească

nava pentru a traversa fluviul perpendicuar pe axa şenalului? Cât va

fi în acest caz viteza absolută, va şi în cât timp traversează fluviul.

Fig. 3.10.

deci

s.

4. O navă traversează un fluviu (care curge cu o viteză vt=0,6 m/s),

perpendicular pe axul şenalului. Determinaţi unghiul β dintre axa

longitudinala a navei (a cărei viteza relativă este vr=2,4 m/s) şi

direcţia deplasării, viteza absolută va şi timpul parcurs.

rv tv

av

l=48 m

φ


Fig. 3.11.

Răspuns: β=14°29’; va=2,32 m/s ; t=20,8 s.

5. O navă traversează un fluviu (a cărui viteză de curgere este v t=0,6

m/s) pornind perpendicular pe axa şenalului lui, cu viteza v r=2,4

m/s. Determinaţi abaterea (α şi BB’) faţă de direcţia iniţială,

valoarea drumului parcurs AB’, viteza absolută a navei (va) şi

timpul necesar traversării (tAB’). (figura 3.12.).

Fig. 3.12.

rv tv

av

l=48 m

β

A

B

rv tv

av

l=48 mβ

A

B B’


3.2.2. Mişcarea rectilinie variată

În mişcarea rectilinie variată, punctul material se deplasează accelerat,

cu acceleraţia a (figura 3.13.).

În timpul t, viteza creşte de la v1 la:

. (3.24.)

Fig. 3.13.

Între poziţiile şi , punctul material parcurge distanţa d, cu viteza

medie:

. (3.25.)

Rezultă că:

. (3.26.)

Dar din expresia vitezei v2, putem înlocui timpul:

, (3.27.)

şi obţinem:

d(t)

a[m/s]

1v

tavv 12

t2

vvtvd 21

m

1 2

1 2


, (3.28.)

de unde:

, (3.29.)

sau:

. (3.30.)

Aplicaţie:

O navă se deplasează (pornind din repaus), cu acceleraţia a=0,05

m/s2.Determinaţi timpul necesar atingerii unei viteze de 10 Nd (figura 3.14.).

Fig. 3.14.

Rezolvare:

,

v=10 Nd=10 =5,14 m/s.

s ≈ 1 minut şi 42,8 secunde.

x

t=?

0v1 Nda


3.2.3. Mişcarea circulară a punctului material

Să considerăm mişcarea circulară a unui punct material în planul orizontal

(P), ca în figura 3.15., legea mişcării:

, (3.31.)

fiind cunoscută.

Viteza unghiulară va fi derivata în raport cu timpul a unghiului descris de

raza vectoare într-un timp t ,

Figura 3.15.

, (3.32.)

iar acceleraţia unghiulară ε, derivata în raport cu timpul a vitezei

unghiulare , sau derivata a doua a lui în raport cu timpul.

. (3.33.)

(P)

v

ta

nar

(O)

a

(M)

s


Dacă cunoaştem legea de variaţie a vectorului de poziţie a punctului O (în

raport cu timpul):

, (3.34.)

atunci viteza (tangenţială) a punctului O va fi:

, (3.35.)

iar valoarea ei va fi:

. (3.36.)

Dacă cunoaştem legea de variaţie a arcului (s) descris de punctul O,

sau (3.37.)

atunci viteza tangenţială va fi:

, (3.38.)

ca în relaţia (3.36.).

Viteza unghiulară va fi:

, (3.39.)

sau în funcţie de “turaţia” n ,

. (3.40.)

Acceleraţia punctului O este:

, (3.41.)

sau:


. (3.42.)

Primul termen al relaţiei (3.42.) este acceleraţia tangenţială,

sau , (3.43)

la care se poate ajunge şi cu ajutorul vitezei tangenţiale:

, (3.44.)

în care:

sau . (3.45.)

În concluzie putem scrie:

. (3.46.)

Al doilea termen al relaţiei (3.42.) este acceleraţia normală, şi se dezvoltă

după regula de calcul a dublului produs vectorial:

(3.47.)

sau

(3.48.)

şi este opusă vectorului de poziţie .

Valoarea acceleraţiei normale an, este:

, sau (3.49.)

Mai putem scrie:


. (3.50.)

În tabelul de mai jos se prezintă o analogie între elementele de bază ale

mişcării rectilinii şi celei circulare, după cum urmează:

Mărimea Mişcarea

rectilinie

Mişcarea circulară

Elemente

unghiulare

Elemente curbilini

Legea

mişcării

Viteza

Acceleraţia

Spaţiul

parcurs

Spaţiul

parcurs

Legea de

variaţie a

vitezei

Aplicaţii


1. O navă porneşte de la mal, într-o mişcare circulară de rază R=250 m,

cu viteza v0=10 Nd şi acceleraţia tangenţială vt=0,08 m/s2.

Determinaţi valorile acceleraţiilor normală (an) şi totală (a) precum

şi unghiul φ dintre ele (figura 3.16.).

Rezolvare:

; .

m/s2 .

m/s2 .

.

Figura 3.16.

2. Tamburul unui vinci de ancoră de rază r=15 cm lansează o ancoră cu

o turaţie n=120 rot/min., constantă în timp. Determinaţi viteza

unghiulară a tamburului şi viteza şi acceleraţia ancorei (figura 3.17.).

R=250 m

a=?

φ=?

v=10 Nd

a=0,08 m/s2

an=?


Figura 3.17.

Rezolvare

rad/s.

m/s.

m/s2.

3. Stabiliţi relaţiile între elementele cinematice (h,v,a şi respectiv h1,v1,

şi a1) ale troliului din figura 3.18.

(=a)

at=0

v

anR=15 cm

n


Figura 3.18.

Rezolvare

3.2.3.1. Mişcarea abolută, relativă şi de transport

(circulară), a punctului material

m

FG=mg

rR

ha


Să considerăm o navă, în mişcare circulară ca în figura 3.19., cu viteza

unghiulară, .

Figura 3.19.

Viteza tangenţială (de transport), va fi:

, sau . (3.50.)

Dacă pe punte se află un container care se deplasează în lungul navei cu

viteza relativă , atunci viteza absolută a containerului va fi (figura 3.20.):

sau . (3.51.)

Se demostrează că pentru ω=constant şi vt şi vr constante, acceleraţia

absolută a containerului va fi:

(3.52.)

în care acceleraţia normală ( ) este:

, (3.53.)

sau:

(P)

rv t

r

(C)

.const


, sau , (3.54.)

iar acceleraţia Coriolis, are expresia:

sau . (3.55.)

Acceleraţia Coriolis este perpendiculară pe planul vectorilor şi şi are

sensul celei de-a treia axe a triedului drept , , (conform regulii

şurubului drept).

Figura 3.20.

Aplicaţii

1. Dacă raza de giraţie a traiectoriei unei nave este r=0,1 km=100 m

(vezi figura 3.20), viteza de transport a navei Nd şi viteza

relativă a containerului este m/s. Calculaţi viteza absolută a

containerului (va), acceleraţia normală (de transport), (an=atr),

acceleraţia Coriolis (ac) şi acceleraţia absolută (aa) a containerului.

Rezolvare:

vtr=vt=10 Nd=19· (1852/3600)=5,14 m/s,

av

rv

r

ttr vv

na

ca

aa

O (fix)


va=vtr + vr= vt + vr =5,14+1=6,14 m/s,

atr=an= m/s2,

ac= m/s2,

aa=an+ac=0,264+0,103=0,367 m/s2,

2. Dacă raza de giraţie a traiectoriei unei nave este r=0,1 km (vezi figura

3.21.) viteza de transport a navei vtr=vt=10 Nd şi viteza relativă a

containerului este vr=1 m/s, calculaţi viteza absolută s containerului

(va), acceleraţia normală-de transport (an=atr), acceleraţia Coriolis (ac)

şi acceleraţia absolută (aa) a containerului.

Figura 3.21.

Rezolvare:

m/s,

m/s2,

av rv

r

tv

ntr aa

ca

aa

O (fix)


m/s2,

m/s2,

3. Pentru aceeaşi navă şi aceleaşi valori pentru r,v t şi vr dar pentru sensul

vitezei relative (vr) din figura 3.22., calculaţi va,an,ac şi aa.

Rezolvare:

m/s,

an=0,264 m/s2,

ac=0,103 m/s2,

m/s2,

Figura 3.22.

4. Pentru aceeaşi navă şi aceleaşi valori pentru r,v t şi vr dar pentru sensul

vitezei relative (vr) din figura 3.23., calculaţi va,an,ac şi aa.

Rezolvare:

m/s,

an=0,264 m/s2,

ac=0,103 m/s2,

av rv

r

tv

ntr aa

ca

aa

O (fix)


m/s2,

Figura 3.23.

avrv

r

tv

ntr aa

caaa

O (fix)


4.DINAMICA

4.1.Principile mecanicii clasice

Principiile mecancii clasice au fost definite de către Isaac Newton în anul

1687 şi sunt următoarele:

4.1.1.Principiul inerţiei (Legea I-a a lui Newton)

„Un corp asupra căruia nu acţionează forţe, se află în repaus sau în mişcare

rectilinie şi uniformă în raport cu un reper (sau sistem de referinţă) inerţial”.

Măsura inerţiei corpului în mişcare rectilinie (sau translaţie) este „masa (m)”.

Unitatea de măsură pentru „masă” în „SI” este kg.

4.1.2.Principiul acţiunii forţei (Legea II-a a lui Newton)

„Dacă asupra unui corp de masă „m” acţionează o forţă (Figura 4.1.)

această imprimă corpului o acceleraţie .

Relaţia dintre masa m [kg], acceleraţia a [m/s2] şi forţa F[N→”Newton”],

este:

(4.1.)

Sau, în cazul „punctului material”,


(4.2.)

Figura 4.1.

4.1.3.Principiul acţiunii şi reacţiunii (sau „acţiunilor

reciproce forţei”) (Legea III-a a lui Newton)

Dacă două corpuri (1) şi (2) interacţionează reciproc cu forţele şi

(Figura 4.2.), atunci;

sau (4.3.)

4.2.Forţe şi momente de inerţie. Metoda cineto-statică (a lui

d’Alembert)

4.2.1.Forţe de inerţie în mişcarea rectilinie a punctului

material şi în translaţia corpului solid rigid

S-a arătat mai sus, că dacă asupra unui punct material acţionează o forţă

, aceasta imprimă corpului o acceleraţie, şi punctul material se va afla în

raport cu un sistem inerţial într-o mişcare rectilinie variată. Dacă raportăm

însă punctul material unui sistem de referinţă neinerţial, legat de punct, atunci

putem considera corpul în repaus, sub acţiunea forţei de mai sus şi a unei

forţe egale, de sens contrar, proporţională cu masa şi acceleraţia lui (ca în

Figura 4.3.).

F

m


Figura 4.2.

Figura 4.3.

Forţa:

(4.4.)

se va numi „forţă de inerţie” şi în conformitate cu raţionamentul de mai

sus,

. (4.5.)

Din ecuaţia (4.5.) rezultă că:

(4.6.)

sau,

, (4.7.)

ceea ce corespunde celui de-al doilea principiu al dinamicii.

În cazul unui corp solid rigid în translaţie, (Figura 4.4.), forţa de inerţie

este proporţională cu masa şi acceleraţia centrului de greutate al corpului,

. (4.8.)

21F

12F

F

mamFin

a


Figura 4.4.

Aplicaţie

O ancoră de masă m=1 t este ridicată cu o acceleraţie a=0,3 m/s2 ca în

figura 4.5. Se cere să se determine greutatea ancorei (G), forţa de inerţie (F in)

şi efortul (N) din lanţul de ancoră.

Figura 4.5.

Rezolvare:

m=1 t = 1000 kg.

G=mg= 1000 · 9,81 =9810 N

Fin= ma= 1000 · 0,3 =300 N

N=G+ Fin=9810+300=10110 N=10,11 kN.

F

mamFin

a

G

m

a


Figura 4.6.

4.2.2.Forţe de inerţie în mişcarea circulară a punctului

material

În cele ce urmează vom considera un punct material în rotaţie în jurul

unui centru O, cu viteza unghiulară ω şi acceleraţia unghiulară ε (Figura

4.7.).

Forţa f care imprimă corpului mişcarea de rotaţie determină şi

acceleraţiile „tangenţiale”

(4.8.)

şi „normală”:

(4.9.)

Ca urmare, într-un sistem de referinţă legat de corp, am putea considera că

asupra acestuia, în „repaus” s-ar aplica forţele de inerţie „tangenţială”, fin(t),

(4.10.)

şi „normală” (sau „centrifugă”), fincf :

m

a

G

Fin

N


(4.11.)

Ca urmare, forţa de inerţie totală, rezultantă ar fi:

(4.12.)

sau:

(4.13.)

Aplicaţie:

O barcă cu motor, de masă m=200 kg., se deplasează după o traiectorie

circulară de rază r=20 m, cu viteza de v=10 Nd. Se cere valoarea acceleraţiei

normale (an) şi forţei de inerţie centrifuge (f in(cf)), care tinde să devieze barca

de la traiectoria pe care o urmează (figura 4.8.).

Rezolvare:

v=10 Nd= 10 (1852/3600)=5,14 m/s.

an=v2/r=(5,14)2/20=1,32 m/s2.

(f in(cf))=m · an=200 · 1,32=254 N=0,264 kN.

Figura 4.7.

O

n)cf(in maf t)t(in maf

ωε

ra t rvm

2n ra

a


Figura 4.8.

4.2.3.Forţe de inerţie în rotaţia corpului solid rigid

Să considerăm un corp solid rigid (ca de exemplu tamburul unui vinci de

ancoră), în rotaţie în jurul axei sale, cu viteza unghiulară ω şi acceleraţia

unghiulară ε (figura 4.9.), sub acţiunea unui moment, M.

Asupra fiecărei particule de masă mj şi distanţă rj de centrul tamburului, va

acţiona o acceleraţie tangenţială atj.

(4.14.)

Ca urmare, fiecărei particule de masă mj, i se poate asocia (atribui) o

forţă de inerţie (tangenţială), ftj, opusă acceleraţiei atj, de valoare:

(4.15.)

Suma momentelor acestor forţe (de inerţie) în raport cu centrul de

rotaţie, se va numi „moment de inerţie”, Min, a cărui expresie matematică,

conform definiţiei, va fi:

v

rna

O (fix)


(4.16.)

Figura 4.9.

Ecuaţia (4.16.) se mai poate scrie şi sub forma:

(4.17.)

Expresia , care depinde doar de masele particulelor (m j), (particule care

compun corpul) şi de distribuţia lor (rj) se numeşte „moment de inerţie

masic” şi se notează cu J [kg m2].

(4.18.)

Momentul de inerţie masic este o caracteristică masică a corpului în rotaţie

(asemănătoare cu masa (m) în translaţia corpului).

Se poate spune deci, că „momentul de inerţie masic“ , J , este măsura inerţiei

corpului material în rotaţie. Ca urmare, „ momentul de inerţie” (M in) a

corpului în rotaţie, va fi:

(4.19.)

O

tjf

ωε

R

tja M

Min


Pentru un corp solid rigid, omogen si izotrop de grosime constantă şi

„densitate superficială” , ρA [kg/m2],

(4.20.)

Expresia:

[m4] (4.21.)

Se numeşte „moment de inerţie polar”. Ca urmare, între momentul de inerţie

masic şi momentul de inerţie polar există relaţia:

. (4.22.)

Pentru un volant (sau tambur) de formă circulară, de rază R şi grosime

constantă, se demostreză că:

şi (4.23.)

Aplicaţii:

1.Pentru troliul din figura 4.10., sub acţiunea greutăţilor F şi Q,

corespunzătoare maselor mF şi mQ, se cere să se calculeze, în funcţie de datele

problemei (F, Q, R, r şi J), acceleraţiile a şi a1, vitezele v şi v1 cu care se

deplasează masele, precum şi distanţele h şi h1 parcurse de ele.

Rezolvare:

Odată introduse forţele (greutăţile F şi Q), forţele de inerţie (F in(F) şi Fin(Q)),

precum şi momentul de inerţie (Min), sistemul poate fi considerat „in repaus”,

faţă de un sistem de referinţă neinerţial, problema devenind una de statică,

secţionând (imaginar) cablurile şi întroducând în secţiuni eforturile (egale şi

opuse) N şi N1 , putem scrie „ecuaţiile de echilibru”:

-pentru troliu : ,

-pentru masa mF: ,


-pentru masa mQ: ,

Figura 4.10.

Dar întrucât , rezultă .

Întroducând N şi N1 în prima relaţie, obţinem:

,

Din care rezultă valorile:

O

R

Min=Jε

r

F=mF ·g

Fin(Q)=mQ ·a1=(Q/g) ·a1

Q=mQ ·g

mQ

mF a

a1

(N)

(N)(N1)

(N1)


, , şi .

2. Pentru vinciul de ancoră din figura 4.11., acţionat de momentul cunoscut

R1, se cere să se determine acceleraţia a, viteza v şi legea mişcării ancorei (h),

dacă se cunosc greutatea ancorei (Q), razele R şi r ale tamburului vinciului de

ancoră şi rolei de ghidaj a lanţului de ancoră, precum şi valorile momentelor

de inerţie masice J şi J1 ale lor.

Figura 4.11.

Din condiţia de „echilibru” a tamburului, rezultă:

sau .

Pentru , rezultă .

O

R

Min=Jε

Fin(Q)=(Q/g) ·a

Q

a

M=!

(N1)

(N1)

ε

NIVEL APĂ

ω

(N) (N)


Din condiţia de „echilibru” a rolei de ghidare a lanţului de ancoră,

obţinem:

şi pentru rezultă:

.

Din condiţia de „echilibru” a ancorei obţinem:

sau .

Întroducând pe N din prima relaţie şi N1 din a treia condiţie de echilibru,

în relaţia din a doua condiţie de echilibru, rezultă efectuând calculele,

valoarea acceleraţiei:

.

Şi apoi v=at şi .

4.3.Lucrul mecanic, puterea şi energia cinetică, în mişcarea

rectilinie a punctului material şi în translaţia corpului solid

rigid

Să considerăm un corp solid, rigid (sau un punct material) în translaţie

(sau respectiv în mişcare rectilinie) ca în figura 4.12.

Dacă în poziţia 1 viteza corpului este v1, în poziţia 2 viteza va fi v2.

(4.24.)

Produsul dintre valoarea forţei (F) şi distanţa (d) parcursă pe direcţia

forţei se numeşte „lucru mecanic” (L).


Figura 4.12.

(4.25.)

Unitatea de măsură pentru lucrul mecanic este „Joule”.

Dacă forţa este orientată în sensul distanţei parcurse (d), lucrul mecanic

se numeşte „lucrul mecanic motor”.

Dacă forţa F este opusă sensului distanţei parcurse (d), lucrul mecanic se

numeşte „lucru mecanic rezistent”.

Dacă forţa F face un unghi α cu direcţia distanţei parcurse (ca în figura

4.13.), lucrul mecanic este:

(4.26.)

Raportul dintre lucrul mecanic şi timpul în care a fost efectuat se numeşte

„putere” (P).

(4.27.)

Unitatea de măsură pentru putere este „Watt”-ul.

(4.28.)

4.3.1. Teorema energiei cinetice în translaţie

d(t)

a[m/s]

1v

tavv 12

t2

vvtvd 21

m

1 2

F

F


Între poziţiile 1 şi 2 din figura 4.12., lucrul mecanic efectuat este L12:

. (4.29.)

Dacă înlocuim acceleraţia cu expresia ei în funcţie de vitezele v2, v1 şi

timpul t în care a fost parcurs spaţiul d,

, (4.30.)

obţinem:

, (4.31.)

sau:

. (4.32.)

Expresia se numeşte „energie cinetică” şi se măsoară în „Joule”:

. (4.33.)

Ca urmare:

, (4.34.)

Ecuaţia (4.34.) reprezintă teorema energiei cinetice.

Pentru v1 =0,

€

Ec1 = 0 , si teorema energiei cinetice devine:

€

L12 = Ec2 (4.35.)

Aplicatie:

O nava care a pornit din repaus, a parcurs o distanta d in drum drept,

ajungand la o viteza de v=10 Nd. Daca masa navei este m=100 t, calculati

energia cinetica si lucrul mecanic efectuat.

Rezolvare: m=100 t=100.000 kg,


€

v1 = 0 ;

€

v2 = v =10 Nd =10 ⋅1852

3600= 5,14

m

s,

€

Ec2 = Ec =mv2

2

2=

100.000 ⋅(5,14)2

2=1.320.980 J

€

L12 = Ec2 =1.320,98 kJ =1,32098 MJ

4.4.Lucrul mecanic, puterea şi energia cinetică, în rotatia

corpului solid rigid

Sa consideram in cele ce urmeaza un corp solid rigid, de tipul unui troliu,

scripete sau tambur al unui vinci de ancora in rotatie cu viteza unghiulara

(figura 4.13.) sub actiunea unui moment, M.

Daca momentul de inertie masic al corpului in rotatie este J, atunci in

conformitate cu cele studiate anterior, avem relatia:

€

Je = M (4.36.)

Pentru un unghi de rotatie [rad], produsul M este „Lucrul mecanic”

efectuat:

€

Mq = L [J] (4.37.)

si care poate fi la randul lui „Lucrul mecanic motor” (pentru

€

L ⟩0 ), sau

„Lucrul mecanic rezistent” (pentru

€

L ∠0 ).

Raportul L/t este „Puterea”

€

L

t= P [W], (4.38.)

de unde:

€

P =Mq

t= Mw . (4.39.)


Din cele de mai sus rezulta ca momentul se defineste in functie de putere

(P) si viteza unghiulara sub forma:

€

M =P W[ ]

w s−1[ ]

[Nm] (4.40.)

Figura 4.14.

Daca exprimam viteza unghiulara in functie de turatia n [rot/min],

€

[s−1] =2πn

60=

πn

30, (4.41.)

rezulta:

€

M = [Nm] =P[W]

πn

30

=30P [W]

πn[rot/min] (4.42.)

sau:

€

M = [kNm] =30

π

P[W]

n, (4.43.)

si respectiv:

M

€

M in= −Je

€

1(ω1)

€

2(ω2)


€

e =M

J[s−2]. (4.44.)

Aplicatie.

Determinati momentul de actionare, acceleratia unghiulara , viteza

unghilara si legea de variatie a spatiului unghiular pentru un tambur

de vinci cu masa m=200 kg si de raza R=0,5 m, daca transmite o putere

P=314 kW sub o turatie n=3000 rot/minut.

Rezolvare:

€

M = [kNm] =30

3,14

314

3000=1 kNm =1000 Nm.

€

J = mR2

2=

200 ⋅(0,5)2

2= 25 kgm2 .

€

e =M

J=

1000

25= 40 s-2.

€

=40t 2

2= 20t 2 [rad].

4.4.1. Teorema energiei cinetice, in rotatia corpului solid

rigid

Daca la momentul t1 (si spatiul unghiular 1), viteza unghiulara este 1 ,

la momentul t2 (si spatiul unghiular 2), ea va fi:

€

2 = ω1 + εt , (4.45.)


de unde:

€

=2 −ω1

t.

Lucrul mecanic efectuat de momentul M corespunzator spatiului

unghiular va fi ,

€

L12 = Mθ = Jε ⋅ωmed ⋅t . (4.46.)

Dar cum:

€

med =ω1 + ω2

2, (4.47.)

rezulta ca:

€

L12 = Jω2 −ω1

t⋅ω1 + ω2

2⋅t =

1

2J(ω2

2 −ω12) , (4.48.)

sau:

€

L12 =1

2Jω2

2 −1

2Jω1

2 (4.49.)

Expresia:

€

1

2Jω2 = Ec , (4.50.)

si ca urmare:

€

L12 = Ec2 − Ec1 (4.51.)

Expresia (4.51.) reprezinta teoria energiei cinetice.

Daca Ec1=0, 1=0 atunci si L12=Ec2.

Aplicatii:

1.Pentru troliul din figura 4.15., sub actiunea maselor mF si mQ,

determinati elementele miscarii celor doua mase (a,v,h si respectiv a1, v1

si h1).


Figura 4.15.

Rezolvare:

Problema se rezolva cu ajutorul metodei izolarii corpurilor si teoremei

energiei cinetice.

Pentru troliul izolat avem:

€

NR ⋅Q − N1rθ =1

2Jω2 .

Dar intrucat

€

Rθ = h , si

€

rθ = h1 , rezulta ca:

(N)

(N)

(N1)

(N1)

a=RMFMQ

v=R

F

Q

h=R

h1=r

v1=r

a1=r

J


€

Nh − N1h1 =1

2Jω2 =

1

2J

v2

R2.

Pentru masa mF :

€

Fh − Nh =F

gJω2 ⋅

v2

2g.

Pentru masa mQ :

€

N1h1 − Qh1 =Qv2

2g.

Dar intrucat

€

rθ = h1 = rh

R, si

€

rω = v1 = rv

R , rezulta ca:

€

N1h1 = Qhr

R+

Q

2g⋅r2v2

R2 .

Introducand expresiile Nh si N1h1 obtinute in expresia teoremei energiei

cinetice pentru troliu, obtinem efectuand calculele, expresia acceleratiei

masei mF:

€

a =gR(FR - Qr)

FR2 + Qr2 + Jg, v = at si h =

at 2

2

2. Pentru instalatia vinciului de ancora din figura 4.11., determinati

expresia acceleratiei ancorei in momentul ridicarii ei cu ajutorul teoremei

energiei cinetice si a metodei izolarii corpurilor.

Raspuns:

€

a =gRr2(M - QR)

QR2r2 + J1gR2 + Jgr2 .


4.5.Impulsul si teorema impulsului

4.5.1. Impulsul fortei si impulsul punctului material, in

miscarea rectilinie

Figura 4.16.

In pozitia 2, viteza corpului va fi:

€

rv 2 =

r v 1 +

r a t (4.52.)

d(t)

a[m/s]

1v

tavv 12

t2

vvtvd 21

m

1 2

F

F

t


Din ecuatia de mai sus avem:

€

ra =

r v 2 −

r v 1

t. (4.53.)

Expresia fortei poate fi scrisa ca fiind:

€

rF = m

r a = m

r v 2 -

r v 1

t, (4.54.)

De unde rezulta:

€

rF t = m

r v 2 − m

r v 1 , (4.55.)

expresia:

€

rp =

r F t = m

r v 2 − m

r v 1 , (4.56.)

se numeste „impulsul fortei” si se masoara in „Ns” sau in „kgm/s”.

Expresia:

€

rh = m

r v , (4.57.)

se numeste „impulsul punctului material” si se masoara (evident) tot in „Ns”

sau in „kgm/s”.

Cu cele de mai sus mentionate, relatia (4.55.) devine:

€

rp =

r F t =

r h 2 −

r h 1, (4.58.)

si daca corpul porneste din repaus (

€

rv 1 = 0) obtinem ecuatia:

€

rp =

r h 2. (4.59.)

4.5.2. Impulsul corpului solid rigid in translatie

Daca sub actiunea unui sistem de forte de rezultanta

€

vR , centrul de

greutate al corpului se afla in translatie cu viteza

€

vv g si acceleratia:

€

va g =

r v g (4.60.)

ca in figura 4.17., impulsul corpului solid in translatie va fi:


Figura 4.17.

€

rH = m

r v g (4.61.)

4.5.3. Teorema impulsului si teorema conservarii

impulsului

Daca derivam (in raport cu timpul) expresia impulsului (din relatia 4.60.),

obtinem „teorema impulsului”.

€

r H = mr v G = m

r a G =

r F jext =

r R

j=1

n

∑ , (4.62.)

sau:

€

rH = m

r v g =

r R , (4.63.)

G

€

rF 1

€

rF j

€

ra G

€

rv G

€

rR

€

rF n


comform careia „derivata impulsului corpului solid rigid (in translatie) in

raport cu timpul, este egala cu rezultanta

€

rR , a sistemului de forte care

actioneaza asupra corpului”.

Daca rezultanta sistemului de forte ce actioneaza asupra corpului este

nula, (corpul in repaus sau miscare rectilinie uniforma), atunci (pentru

€

rR = 0),

impulsul este constant.

€

r H = 0, (4.64.)

sau

€

rH = m

r v G = constan t . (4.65.)

Aceasta relatie este expresia „teoremei conservarii impulsului”.

Aplicatii:

1. Pentru o nava cu un deplasament de m=D=5000 tone care se afla in

repaus se cere sa se calculeze timpul necesar motorului care dezvolta

forta F=100 kN, pentru a imprima navei o viteza de v=10 nD.

a. fara a lua in consideratie rezistenta apei,

b. luand in consideratie rezistenta apei, R=35 kN.

Rezolvare

a. In prima ipoteza, din relatia Ft=mv, rezulta

€

t =mv

F,

si care, pentru

€

m = 5 ⋅106 kg,

€

v =10 Nd = 5,14 m

s si

€

F =105 N , ne da

€

t = 5 ⋅106 ⋅5,14 /105 = 257 s = 4 min si 17 s.


b.In a doua ipoteza din relatia:

€

(F - R)t = mv , obtinem:

€

t =mv

F - R si care pentru

€

R = 35 ⋅103N , ne da:

€

t =5 ⋅106 ⋅5,14

65 ⋅103≅ 395 s = 6 min si 35 s.

2. Un remorcher care are un deplasament D2=400 t si care se deplaseaza

cu viteza v2=10 Nd, urmeaza sa deplaseze o barja cu un deplasament

D1=1000 t care se afla in repaus (v1=0). Se cere sa se calculeze viteza

v’, a remorcherului si barjei, dupa cuplarea lor (dupa ce cablul de

legatura a fost intins la maximum), figura 4.18. (Se neglijeaza

rezistenta apei).

Rezolvare:

a.In prima situatie

€

H1 = D2v2.

b.In a doua situatie,

€

H2 = (D1 +D2) ′ v . In conformitate cu teorema conservarii impulsului,

€

D2v2 = (D1 +D2) ′ v , din care rezulta:

€

v'=D2v2

D1 +D2

=400 ⋅10

1400= 2,857 Nd.

sau:

€

v'= 2,8571,852

1= 5,29

km

h= 5,29

1000

3600=1,46

m

s.


Cazul a.

Cazul b.

Figura 4.18.

4.6.Momentul cinetic si teorema momentului cinetic

4.6.1.Momentul cinetic al punctului material in miscare

circulara

Sa consideram un punct material de masa „m” in miscare circulara, cu

viteza unghiulara si acceleratia unghiulara

€

= ˙ ω , ca in figura 4.19.

Elementele miscarii sunt:

a. viteza tangentiala

€

v = rω (4.66.)

b. acceleratia tangentiala

€

a t = rε (4.66.)

D1=1000 t

v1=0

D2=400 t

v2=10 Nd

D1=1000 t D2=400 t

v’


Figura 4.19.

Forta tangentiala (componenta tangentiala) a fortei care imprima miscarea

de rotatie, este:

€

ft = ma t = mre , (4.67.)

iar momentul acesteia in raport cu centrul de rotatie (O) este:

€

M0(ft ) = ft ⋅r = mr 2ε . (4.68.)

Expresia:

€

k = hr , (4.69.)

se numeste „momentul cinetic al punctului material”, in miscarea

circulara.

4.6.2.Momentul cinetic al solidului rigid in rotatie

Sa consideram un solid rigid de forma unui volant, scripete, troliu s-au

tambur de vinci, in rotatie, in jurul unei axe O, (ca in figura 4.20.), sub

actiunea unui moment M, cu viteza unghiulara si acceleratia unghiulara .

m

€

rv

€

ra t

O

€

rh

€

rf t

r

€

rf '


Momentul M imprima tutror punctelor materiale de mj (apartinand

corpului) acceleratii tangentiale:

€

a tj = rjε (4.70.)

Ca urmare se poate considera ca asupra tuturor punctelor materiale ar

actiona forte tangentiale:

€

ftj = m jrjε , (4.71.)

al caror moment in raport cu axa O va fi:

€

M = M j

j=1

n

∑ = ftj = m jrj

j=1

n

∑ ⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

j=1

n

∑ ε, (4.72.)

echivalent cu M.

Dar:

€

m jrj

j=1

n

∑ = J , (4.73.)

este momentul de inertie masic al corpului (considerat cunoscut).

Ca urmare,

€

M = Jε . (4.74.)

Pe de alta parte, impulsul punctului material mj va fi:

€

h j = m jv j = m jrjω , (4.75.)

iar „momentul cinetic” al corpului solid rigid in rotatie, va fi:

€

k = k j = h jrj = ( m jr j

2)ωj=1

n

∑j=1

n

∑j=1

n

∑ . (4.76.)

Cum paranteza din membrul doi al relatiei (4.76.) este chiar momentul de

inertie masic (J) al corpului in rotatie, rezulta:

€

k = Jω [kgm2 /s = (kgm/s2)ms = Nm⋅s = J ⋅s . (4.77.)


Figura 4.20.

4.6.3.Teorema momentului cinetic

„Teorema momentului cinetic” se obtine daca derivam expresia (4.77.).

Rezulta:

€

˙ k = Jε = J ˙ ω = M , (4.78.)

sau:

€

˙ k = M , (4.79.)

Ca urmare, „derivata in raport cu timpul a momentului cinetic (k) al

corpului solid rigid in rotatie, este chiar momentul (M) care actioneaza asupra

corpului.

4.6.4.Teorema conservarii momentului cinetic

J

M

mj

j

atj

hj

ftj


Daca momentul rezultant al fortelor care actioneaza asupra corpului in

rotatie este nul, atunci:

€

˙ k = J ˙ ω = 0 , (4.80.)

de unde rezulta:

€

k = Jω = constant , (4.81.)

care reprezinta expresia „teoremei conservarii momentului cinetic”.

Aplicatii:

1.Pentru troliul din figura 4.21. sub actiunea greutatilor F si Q (de masa

mF si mQ), calculati acceleratiile si vitezele lor, precum si spatiile h si h1

parcurse. Momentul de inertie masic J se considera cunoscut.

Rezolvare:

Daca sectionam (imaginar) cablurile si introducem eforturile N si N1,

putem studia (separat), miscarea fiecarui corp in parte.

Din studiul miscarii troliului in rotatie rezulta:

€

k = Jω = Jv

R,

de unde, ca urmare,

€

˙ k = J˙ v

R= J

a

R.

Dar

€

˙ k = M0

r F extj

j=1

n

∑ ,

si deci:

€

Ja

R= NR − N1r , (4.82.)


in care N si N1 rezulta pentru fiecare corp (mF) si (mQ), din teorema

impulsului:

pentru corpul de greutate F,

€

H = mFv =F

gv ,

si deci:

€

˙ H =F

g˙ v =

F

ga = F − N ,

de unde:

€

N = F -F

ga .

pentru corpul de greutate Q,

€

H1 = mQv1 =Q

gv1

€

˙ H 1 =Q

g˙ v 1 =

Q

ga1 = N1 − Q

de unde,

€

N1 = Q +Q

ga1 = Q +

Q

g⋅

r

Ra .

Introducand N si N1 in relatia (4.82.), rezulta:

€

a =gR(FR - Qr)

FR2 + Qr2 + Jg.

Daca dorim sa determinam expresia acceleratiei ancorei in momentul

ridicarii ei, cu ajutorul teoremelor de conservare a impulsului si

momentului cinetic, aceasta va fi (Figura 4.11.):

J


Figura 4.21.

€

a =(M - QR)gRr2

Jgr2 + J1gR2 + QR2r2

4.7. Giroscopul si aplicatiile lui in navigatie

4.7.1. Generalitati

Giroscopul este un corp solid, rigid in rotatie, in jurul unei axe z (Figura

4.22.), cu viteza unghiulara

€

r .

(N)

(N)

(N1)

(N1)

a=RmFmQ

v=R

FQ

h=R

h1=r1

v1=r

a1=r

v


Daca se imprima giroscopului (de moment de inertie masic J) o rotatie

€

r 1, se dezvolta un „moment de inertie” (

€

rM in ) , care se numeste „moment

giroscopic” (

€

rM g ) a carui expresie este:

€

rM g = J

r ω ×

v ω 1, (4.83.)

si care va actiona asupra lagarelor lui cu o „presiune giroscopica”,

€

±F .

Figura 4.22.

4.7.2. Efectul giroscopic in cazul navelor

echipate cu turbine

€

r 1

F

z

€

r

€

r 1

€

rM g =

r M in

(F)

J


Figura 4.23.

a.Cazul navei care vireaza (Figura 4.23.).

In cazul in care nava efectueaza un viraj cu viteza unghiulara

€

r 1 (in jurul

axei z), se dezvolta un moment giroscopic

€

rM g, care imprima navei un tangaj,

in jurul axei orizontale (y).

b.Cazul navei in tangaj (Figura 4.24.)

Daca nava este in tangaj cu viteza unghiulara

€

r 1 (in jurul axei y), se

dezvolta un moment giroscopic

€

rM g, care produce tendinta de viraj in

jurul axei verticale z.

(z)(y)

(x)

€

r

€

r 1'

€

rM g


Figura 4.24.

4.7.3. Giroscopul ca stabilizator antiruliu (figura 4.25.),

pentru salile de operatie de la bordul navelor

(z)(y)

(x)

€

r

€

r 1

€

r 1'

€

rM g

(x)

(y)

€

r

€

r 1

€

r 1'

€

rM g

'

€

r


Figura 4.25.

Daca nava se afla in ruliu, cu viteza unghiulara

€

r 1 , (in jurul axei

orizontale x), se dezvolta momentul giroscopic

€

rM g

' care tinde sa imprime

navei o rotatie cu viteza unghiulara

€

r 1' (in jurul axei orizontale y). Datorita

tendintei de rotatie a giroscopului cu viteza unghiulara

€

r 1' , se dezvolta insa

momentul giroscopic

€

rM g

" ,

€

rM g

" = Jr ω ×

r ω 1

' ,

(4.60.)

care tinde sa roteasca in axa cu viteza unghiulara

€

r 1" in jurul axei

orizontale x. In felul acesta si intrucat

€

r 1" se opune sensului

vitezei unghiulare

€

r 1 , tendinta navei de a se supune ruliului, este anulata.

€

r 1"

€

rM g

"

(z)


TABEL COMPARATIV CU MARIMILE IMPORTANTE

ALE DINAMICII, DIN TRANSLATIA SI ROTATIA

CORPULUI SOLID RIGID

Nr.crt. Translatie Rotatie

1 Forta

€

rF

Momentul fortei

M=Fr

€

rM =

r r ×

r F

2 Masa, Momentele de inertie


m

€

J = m jrj2

j=1

n

∑ sau

€

r2dm∫∫∫

3 Relatia dintre forta si

acceleratie

€

rF = m⋅

r a

Relatia dintre momentul fortei si

acceleratia unghiulara

€

M = Jε (

€

rM = J

r ε )

4 Lucrul mecanic

L=Fl(cos)

Lucrul mecanic

L=M(cos)

5 Puterea

P=Fv(cos)

Puterea

P=M(cos)

6 Energia cinetica

€

Ec =1

2mv2

Energia cinetica

€

Ec =1

2Jω2

7 Impulsul

€

rH = m

r v G

Momentul cinetic

K=J (

€

rK = J

r ω )


BIBLIOGRAFIE

1. Sears, F.W., Zemarsky, M.W., Young, H.D.- „University Physics”,

Ed.Addison-Wesley Publishing Company, 1976.

2. Valcovici, V., Balan, St., Voinea, R-„Mecanica teoretica”, Editura

Tehnica, Bucuresti, 1968.

3. Voinea, V., Voiculescu, D., Ceausu,V.-„Mecanica”, Editura Didactica

si Pedagogica, Bucuresti, 1983.

4. Voinea, R., Voiclescu, D., Simion, F.P., „Introducere in mecanica

solidului cu aplicatii in inginerie”, Editura Academiei RSR, 1989.

5. Standards of Training, Certification and Watchkeeping for

Seafarers (STCW), Physical Science, Part C, Module 16.

Documents

Breviar de Mecanica Navala