British Standards 1

Norme: British Standards pag. 1

Sezione 1 Note introduttive

1.1 Premessa

uesto manuale è suddiviso in due sezioni: una sezione introduttiva sulle strutture in generale e sulle basi della Scienza delle Costruzioni e una sul calcolo delle strutture in cemento armato ordinario. La sezione che affronta

il materiale cemento armato, a differenza della prima, è stata redatta seguendo le indicazioni dell’ultima versione delle “British Standard” 8110, e delle sue sottoparti (“Code of Practice”). Come noto, a partire dal 31 marzo del 2010, la BS8110-97 è stata sostituita dalla BS EN 1992-1-1:2004 (Eurocodice 2). Il presente lavoro, quindi, è uno puro studio sulle formulazioni matematiche adottate dalle British Standards per il calcolo e il progetto degli elementi in cemento armato ordinario, utili sicuramente per una migliore compresione del calcolo con gli Eurocodici. Per sopperire al fatto generale di qualsiasi norma di modificarsi nel tempo, si è deciso di affrontare la materia proponendo delle procedure di calcolo e verifica che impiegano formulazioni ormai consolidate e che, nel corso degli anni, hanno comunque mantenuto essenzialmente invariato il loro aspetto. Se non altro, almeno per i progettisti del nostro Paese, questa linea direttiva può rivelarsi eventualmente utile per condurre manualmente una spedita verifica o per agevolare il “cross check” per la valutazione complessiva dell’affidabilità o per la validazione di eventuali risultati ottenuti con post-processori dei software di calcolo, su documenti di progetti redatti secondo la BS8110.

Dato il carattere eminentemente applicativo della trattazione e data la vastità della materia, si è deciso di ridurre al minimo la parte descrittiva, fin dove è stato possibile. Molte formulazioni, per evitare di doverle dedurre da complicate, se pur necessarie, trattazioni analitiche, vengono giustificate con semplici ragionamenti intuitivi. Per facilitare la lettura e l’eventuale approfondimento degli argomenti toccati, ciascuna sezione è stata corredata di illustrazioni e tabelle cercando di mantenere il più possibile semplificate le numerazioni dei paragrafi, delle illustrazioni, dei riferimenti interni, etc.

Alla fine del testo, una sufficiente bibliografia permette a tutti coloro che lo desiderino di documentarsi ulteriormente e meglio in merito all’argomento. In tutte le applicazioni numeriche proposte, i valori sono stati approssimati alla prima o alla seconda cifra decimale, in relazione all’unità di misura adottata nel singolo esempio proposto. Trattandosi di normativa estera British Standard(1.1), in tutto il testo è stata adottata la convenzione di utilizzare come separatore decimale la virgola.

Q

MANUALE DI CALCOLO STRUTTURE - BS SEZIONE 1 NOTE INTRODUTTIVE

pag. 2 Norme: British Standards

Il presente testo sviluppa argomenti presenti in diverse parti dell’intero corpo delle British Standards. A tal proposito, al fine di rendere la trattazione il più possibile lineare, si è cercato, nei limiti, di semplificare le notazioni e la simbologia: alcuni simboli utilizzati, infatti, potrebbero non risultare identici a quelli presentati nel suddetto corpo normativo. Nella sezione introduttiva, inoltre, al solo scopo di meglio comprendere alcune problematiche, si è deciso di riportare anche alcune semplici procedure di verifica/progetto condotte secondo il vecchio metodo ASD (Allowable Strength Design) proposto in una versione dell’AISC Manual of Steel Construction. Nella stessa ottica, si è deciso di riportare una procedura di verifica a progetto delle sezioni in cemento armato secondo il modello proposto dallo Standard Building Code Requirements for Reinforced Concrete: ACI 318-11.

In generale, tutti gli esempi di calcolo presentati sono proposti come caso-studio, rappresentativi delle situazioni progettuali che più frequentemente si potrebbero verificare nella pratica tecnica. In particolare, in tutti gli esempi riportati nella presente pubblicazione, le indicazioni sulle analisi dei carichi e le ipotesi sull’entità delle sollecitazioni di progetto vanno intese come orientative, quindi devono essere controllate dall’utilizzatore.

Il testo e le illustrazioni potrebbero presentare qualche imprecisione/errore, sebbene ogni sforzo sia stato fatto per ridurre al minimo ogni inconveniente.

I Lettori si sentano liberi quindi di proporre in ogni momento correzioni e/o suggerimenti, affinché si possa mantenere e migliorare nel futuro questo lavoro.

1.2 Un accenno descrittivo delle British Standards

1.2.1 Le principali linee guida

Le linee guida anglosassoni sulla progettazione di costruzioni e strutture di ingegneria civile in generale sono riportate sotto i nomi di “British Standards” e “Code of Practice”.

Relativamente alla progettazione strutturale, le BS possono essere raggruppate essenzialmente in tre grandi gruppi:

• quelle relative alle specifiche dei materiali e dei loro componenti;

• quelle che definiscono i carichi agenti sulle strutture;

• quelle che regolano il dimensionamento, il progetto e la verifica di elementi strutturali di un medesimo materiale (quale può essere, appunto, l’acciaio, il legno, la muratura, etc.).

Quanto riportato nel codice normativo delle British Standard è opera della British Standard Institution (BSI) che, fondato nel 1901 in Inghilterra come primo ente normazionale al mondo, si propone come obiettivo quello di

(1.1) Di seguito indicate, per brevità, semplicemente come: BS.

BritishStandards

ASDAISC

ACI318-11


MANUALE DI CALCOLO STRUTTURE - BSSEZIONE 1 NOTE INTRODUTTIVE

promuovere ovunque norme in tutti i campi del lavoro e del buisiness. La BSI è presente in 120 Paesi con oltre ottantamila clienti(1.1).

Di seguito, tabellate, un elenco delle principali BS adottate in questa pubblicazione come riferimento per il calcolo delle strutture.

(1.1) Ripreso da: it.wikipedia.org/wiki/British_Standards_Institution.

Riferimento Argomento (topic) Titolo originale

BS 4 - Part 1: 1990 Sezioni profilati in carpente-ria metallica

Structural steel sections - specification for hot rolled sections

BS 12: 1989 Tipi di cemento Specification for Portland cements

BS 882: 1983 Aggregati impasti per cemento

Specification for aggregates from natural sources for concrete

BS 890: 1972 Confezionamento impasti Specification for building limes

BS 1243: 1978 Staffe metalliche, cravatte per partizioni

Specification for metal ties for cavity wall construction

BS 3921: 1985 Mattoni, murature Specification for clay bricks

BS 4360: 1990 Acciai saldabili Specification for weldable structural steels

BS 4449: 1988 Acciai per armatura Specification for carbon steel bars for the reinforcement of concrete

BS 4483: 1985 Reti, gabbie metalliche arma-tura

Specifications for steel fabric for the reinfor-cement of concrete

BS 4721: 1981 (1986) Cementi, intonaci premisce-lati

Specification for ready-mixed building mor-tars

BS 4978: 1988 Materiali lignei, calcolo resi-stenze

Specifications for softwood grades for struc-tural use

BS 5606: 1988 Costruzioni, linee guida nella progettazione

Code of practice for accuracy in building

BS 5977 - Part 2: 1983 Architravature prefabbricate Lintels - specification for prefabricated lin-tels

BS6073 - Part 1: 1981 Mattoni e blocchi, specifiche e tolleranze

Specification for precast concrete masonry units

BS6073 - Part 2: 1981 Mattoni e blocchi, metodi di misura e calcolo resistenze

Method for specifying precast concrete masonry units

BS 6398: 1983 Misure e test su materiali di costruzione, prodotti bitumi-nosi; composizione, montag-gio, etc.

Specification for bitumen damp-proof cour-ses for masonry

Tabella 1.1 Linee guida per specifiche dei materiali e loro componenti.



1.2.2 Termini e locuzioni principali nelle BS

Nelle BS intervengono sovente i seguenti termini inglesi:

• “dead loading”;

• “imposed loading”;

• “wind loading”;

• “combined loads”.

DEAD LOADING. Possono essere definiti in questa categoria tutti i pesi propri degli elementi strutturali e i permanenti portati (o esterni) dovuti ai materiali non strutturali che gravano sulla struttura portante. Possono quindi considerarsi


BS 648: 1964 Pesi, densità dei materiali da costruzione

Schedule of weight of building materials

BS 5977 - Part 1: 1981 (1986)

Carichi per costruzioni nor-mali, uso civile

Lintels - method for assesment of load

BS 6399 - Part 1: 1984 Azioni permanenti e variabili sulle strutture

Loading for building - code of practice for dead and imposed loads

BS 6399 - Part 3: 1988 Azioni sulle coperture. Cari-chi per neve, climatici, etc.

Loading for building - code of practice for imposed roof loads

CP 3 - Chapter V - Part. 2: 1972

Azioni del vento sulle strut-ture in generale

Code of basic data for the design of buil-ding. Loading. Wind loads.

Tabella 1.2 Linee guida per carichi agenti sulle strutture.


BS 5268 - Part 2: 1988 Strutture in legno Structural use of timber - code of practice for permissible stress design, materials and workmanship

BS 5628 - Part 1: 1978 (1985)

Strutture in muratura non armata

Use of masonry - structural use of unreinfor-ced masonry

BS 5950 - Parte 1: 1990

Strutture in carpenteria metallica

Structural use of steelwork in building - code of practice foe design in simple and conti-nuos construction: hot rolled section

BS 8110 - Part 1: 1985 Strutture in calcestruzzo armato

Structured use of concrete - code of practice for design and construction

Tabella 1.3 Linee guida per carichi agenti sulle strutture.



come (parte) delle “azioni permanenti” nel senso che agiscono durante la vita della costruzione, senza significative variazioni.

IMPOSED LOADING. Comprendono tutti quei carichi che fungono da “occupazione”, “uso” della struttura. Ad esempio, i carichi variabili della folla su una rampa, o l’utilizzo di un solaio da parte di un’utenza. Nelle BS, vengono anche impiegati i termini di “superimposed loading”, “live loading” o “super loading”. Alcune azioni possono essere di breve o di lunga durata a seconda dei casi, come ad esempio la neve o la formazione di ghiaccio.

WIND LOADING. È l’azione di pressione/depressione (o la risultante tra le due) dovuta ai venti sulle strutture investite. La norma CP 3 Chapter V - Part 2 “Wind loads” fornisce le indicazioni relative alle velocità di riferimento dei venti in funzione delle località e della geografia nel Regno Unito. La BS6399 - Part 2 fornisce i coefficienti di pressione relativi alle differenti parti di una struttura investita, in funzione delle sue dimensioni e della sua forma.

COMBINED LOADS. Valutate le singole combinazioni elementari di carico (ad esempio, azioni permanenti, neve e vento), per lo studio e la verifica della struttura, è necessario considerare secondo norma tutte le possibili combinazioni di carico tra quelle elementari considerate.

1.2.3 I carichi “dead loading” nelle BS

L’elenco dei pesi dei principali materiali da costruzione si trova nella BS 648: 1964 “Schedule of weights of building materials”. La norma suddetta riporta tutte le misure specifiche in termini di . In particolare, se si adotta come unità di forza il Newton , la relazione di conversione in kilonewton è:

.

All’atto pratico, nelle calcolazioni il fattore di conversione da kilogrammi a Newton viene arrotondato a 10, assumendo . Ad esempio, secondo i valori di densità riportati nella BS 648, il peso specifico del calcestruzzo armato operativamente si calcola:(1.1)

.

Da quest’ultima particolare relazione si può dedurre, in generale, la formula operativa:

.

Analogamente, per i momenti delle forze:

.

(1.1) Notare che nelle British Standards la densità del calcestruzzo armato è fissata pari a 2400 kg per metro cubo, a dif-

ferenza delle norme italiane che hanno sempre imposto 2500 kg/mc.

kg m2N

103 kg 103 9 81 kg s2 9810 N 9 81 kN= = =

Importante9 81 kg s2 10 kg s2

2400 kg m3 10 kg s2 24000 N m3 24 kN m3= =

102 kg m3 1 kN m3

10 kgm 0 1 kNm



Tipo [kg/mq] Tipo [kg/mc] - [kg/mq]

Asfalto coibentazioni(per sp. 19 mm)

42 Pietra naturale 2250

Impermeabilizzazione(per sp. 19 mm)

41 Calcestruzzo armato (aggregati naturali)

2400

Pavimentazioni stra-dali e marciapiedi(per sp. 19 mm)

44 Calcestruzzo armato (aggregati leggeri)

1760(+ 240 o – 160)

Strato di bitume per impermeabilizzazione tetti e terrazze

3,5 Acciaio (carpenteria metallica)

7850

Muratura in mattoni pieni (per sp. 25 mm)

55 Legno soffice (softwood)

590

Muratura in mattoni forati (per sp. 25 mm)

15 Legno duro(hardwood)

1250

Muratura in mattoni in cls (per sp. 25 mm)

59 Acqua 1000

Tavolato (per sp. 25 mm)

12,5 Fibra di vetro (per sp. 25 mm)

2,0÷5,0 kg/mq

Pietre in cemento(per sp. 50 mm)

120 Partizioni interne in cartongesso e telaio(per sp. 75 mm)

44 kg/mq

Tabella 1.4 Pesi unitari dei materiali da costruzione (estratto da BS 648: 1964).

Tipo di impalcato Carico distribuito [kN/mq] Carico concentrato [kN]

Tipo 1: relativo a unità di abitazioni indipendenti

• per tutti gli impalcati: 1,5 1,4

Tipo 2: relativo ad appartamenti, ostelli, case in generale

• solai che portano il peso di mac-chine (caldaie, boiler, etc.) 7,5 4,5

• Cucine, lavanderie (per più utenze)

3,0 4,5

• Sale da pranzo, di ricreazione, sale giochi/biliardo 2,0 2,7

Tabella 1.5 “Imposed loads” edifici residenziali (BS 6399 - Part 1 - tab. 5).



• Stanze da bagno (toilet) 2,0 –

• Stanze da letto, dormitori 1,5 1,8

• Corridoi, atri, passerelle, pianerot-toli, scale 3,0 4,5

• Balconi medesimo carico degli ambienti ai quali danno accesso (ma con un minimo di 3,0 kN/mq)

1,5 kN per metro di fuga con-centrato nella punta di estre-mità dello sbalzo.

Tipo 3: relativo ad alberghi, motel

• solai che portano il peso di mac-chine (caldaie, boiler, etc.) 7,5 4,5

• Corridoi, atri, passerelle, pianerot-toli, scale 3,0 4,5

• Cucine, lavanderie (per più utenze) 3,0 4,5

• Sale da pranzo, di ricreazione, sale giochi/biliardo 2,0 2,7

• Stanze dal letto 2,0 1,8

Tipo 3: relativo ad alberghi, motel

• Ambienti suscettibili di affolla-mento (senza posti a sedere fissi)(a), sale da ballo

5,0 3,6

• Ambienti suscettibili di affolla-mento (con posti a sedere fissi) 4,0 –

• Stanze da bagno (toilet) 2,0 –

• Bar 5,0 –

• Balconi, terrazze medesimo carico degli ambienti ai quali danno accesso (ma con un minimo di 3,0 kN/mq)

1,5 kN per metro di fuga con-centrato nella punta di estre-mità dello sbalzo.

(a). Per ambienti con “posti a sedere fissi” si devono intendere quelle aree occupate il cui utilizzo per scopi diversi è

da considerarsi improbabile.

Tipo di impalcato Carico distribuito [kN/mq] Carico concentrato [kN]

Tabella 1.5 “Imposed loads” edifici residenziali (BS 6399 - Part 1 - tab. 5). (Continua da pag. precedente).



1.2.4 I carichi “imposed loading” nelle BS

Nel paragrafo “Loading for buildings” della BS 6399 - Part 1 vengono riportati i valori dei carichi di esercizio imposti per solai e sottotetti di varie tipologie di edifici. Di seguito, in tabella, vengono riportati alcuni tra i principali carichi (“imposed loads“) per edifici residenziali elencati nella BS 6399 - Part 1 (tab. 5). In particolare, nella BS 6399 - Part 3 sono evidenziati i carichi di esercizio da adottare per il dimensionamento dei solai di copertura (variabile per neve e/o manutenzione).

In generale, per contenute costruzioni dove alcun accesso è previsto per il tetto, si deve adottare un carico uniformemente distribuito di almeno 0,75 kN/mq o un carico concentrato di 0,90 kN, considerando l’assetto che dà il peggiore cimento statico sulla struttura. In tale ottica, per struttura “contenuta” deve intendersi una costruzione non più alta di 10 m e con un’area in pianta non maggiore di 200 mq. Inoltre, non devono essere presenti parapetti o particolari zone che consentano accumuli per neve o accumuli di carico in generale. Per scenari differenti, infatti, è necessario riferirsi a quanto riportato nella BS 6399 - Part 3, relativamente sempre ai carichi sulle coperture.

1.3 Alcuni cenni di teoria delle strutture

1.3.1 La flessione negli elementi strutturali

Indipendentemente dalla particolare norma di calcolo utilizzata, la procedura base per il dimensionamento di travi inflesse si sviluppa essenzialmente attraverso tre punti:

1. calcolo dei carichi applicati e delle reazioni vincolari e di taglio;

2. calcolo delle sollecitazioni flettenti indotte dai carichi esterni e dalle relative reazioni vincolari;

3. progetto e verifica dell’elemento strutturale inflesso in funzione delle massime sollecitazioni di taglio, flettenti calcolate e subordinatamente all’entità delle deformate.

Il punto 1 consente, stabilendo inizialmente la distribuzione e la posizione dei carichi agenti, di calcolare l’andamento della forza di taglio (SF)(1.1) lungo l’elemento e il suo valore massimo da utilizzare per il progetto o la verifica . Il punto 2 può essere condotto analizzando l’andamento del diagramma SF e, tramite quest’ultimo, individuando il valore massimo della sollecitazione flettente. In particolare, tramite l’andamento del SF si può tracciare il diagramma della sollecitazione flettente (BM),(1.2) ricordando che taglio “V” e momento flettente “M” sono legati dalla relazione:

(1.1) SF per “shear forces”: forze di taglio.

(1.2) BM per “bending moment”: momento flettente.



.

In particolare, per una trave rettilinea isostatica con un carico uniformemente distribuito (UDL)(1.1), nella sezione di mezzeria , dove la sollecitazione flettente presenta un massimo a tangente orizzontale, il taglio deve essere nullo:

(1.1) UDL per “uniformly distribuited load”: carico distribuito uniformamente.

Figura 1.1 Andamento sollecitazioni taglianti e flettenti per due importanti assetti di carico su trave rettilinea isostatica.

dM z dz

---------------- V z =

z L 2=



.

Viceversa, nel caso di trave caricata in mezzeria con un carico concentrato , l’andamento del momento flettente è lineare con punto di cuspide nella sezione

. Si conclude che il valore del taglio è in intensità ovunque costante e pari a:

.

Le formule e le espressioni per calcolare i tagli e i momenti in qualsiasi sezione di un elemento strutturale sono generalmente riportate sui manuali di calcolo delle strutture, in funzione del particolare assetto di carico e vincolo. Negli schemi in figura 1.1 sono riportate le due più comuni condizioni di carico distribuito uniforme (UDL) e di carico concentrato in mezzeria (CPL). Come si può notare, ammettendo per le due travi isostatiche di lunghezza la medesima risultante

dei carichi verticali, passando dallo schema di UDL allo schema di CPL,(1.1) il valore massimo della sollecitazione flettente raddoppia dal valore al valore

. Il massimo valore della sollecitazione di taglio rimane invariato in valore pari a . Varia sensibilmente, in proporzione, la freccia della deformata nella sezione di mezzeria che aumenta del 60% in più:

.

FORMULE DELLA FLESSIONE PER ELEMENTI IN LEGNO E ACCIAIO. La resistenza a flessione di un elemento strutturale viene dedotta dalla teoria della flessione in regime di tensioni lineari:

(Eq. 1‐1)

dove:

• indica genericamente il momento di resistenza (MR)(1.2) dell’elemento oppure la sollecitazione flettente esterna agente (BM);

• è il momento d’inerzia della sezione relativo all’asse di flessione interessato dalla sollecitazione agente o resistente;

• è la tensione del materiale (effettiva o limite di progetto) di cui è costituito l’elemento strutturale inflesso;

• è la distanza della generica fibra (compressa o tesa) dall’asse neutro della generica sezione inflessa.

dM z dz

----------------L 2

0 = V L 2 0=

W

z L 2=

dM z dz

----------------L 2

V L 2 = V L 2 W2-----= cost=

(1.1) CPL per “central point load”: carico concentrato centrato (in mezzeria).

(1.2) MR per “moment of resistance”: momento resistente (interno).

LW

WL 8WL 4

W 2

5384--------- 1

48------ = 384

5 48------------- 8

5--- 1 6= = =

✍

MJ

----- y---=

M

J

y



In particolare, fissata una sezione lungo l’elemento strutturale inflesso, il rapporto assume evidentemente valore costante. Pertanto, se le tensioni in tutte le fibre del materiale si mantengono al di sotto della relativa tensione di snervamento, consegue la validità della legge lineare :

. (Eq. 1‐2)

Nel caso semplice di asse neutro baricentrale su sezione rettangolare di altezza e larghezza (ad esempio, una trave in legno con fibre in trazione e compressione), detta con la distanza delle fibre maggiormente cimentate dall’asse neutro e con la risultante in compressione (o trazione) delle tensioni con andamento triangolare, il momento resistente interno elastico ( ) è dato dal prodotto del braccio interno per una delle risultanti ( ):

, (Eq. 1‐3)

avendo indicato con il modulo di resistenza elastico della sezione inflessa e con il valore della tensione di snervamento sulle sole fibre estreme ( ):

.

Nel caso in cui tutte le fibre della sezione siano snervate (sezione interamente plasticizzata), allora il braccio di leva interno coincide con la distanza e la distribuzione delle tensioni sulle due aree separate dall’asse neutro è costante di forma rettangolare (con e quindi con

):

, (Eq. 1‐4)

avendo indicato con il modulo di resistenza plastico della sezione inflessa attorno all’asse d’inerzia forte . Come si può subito constatare, ad esempio su una sezione rettangolare semplicemente inflessa, il modulo di resistenza plastico non è altro che la somma dei momenti statici delle aree della sezione tagliata dall’asse neutro. Nel caso di sezione rettangolare di area

si ha infatti (fig. 1.2):

.

In sostanza, i moduli plastici rappresentano nell’analisi plastica di una sezione quello che rappresentano i moduli elastici nell’analisi elastica. In generale nell’analisi plastica, trattando di somma di momenti statici (almeno per una sezione semplicemente inflessa), l’asse neutro, dovendo dividere la sezione in due

Limiteelastico

zM J

y =

MJ

----- costy--- = = k y=

Hb

y 0 5 H=C 0 5f y b T= =

MRel z 2 3 H=C T=

MRel C z T z 0 5f y b2H3

------- fbH2

6--------- f Zx= = = = =

Zx bH2 6=f

y 0 5 H=

y f=

Limiteplastico z 0 5 H=

f cost= =C T f b 0 5 H = =

MRpl C z T z fbH2

4--------- f Sx= = = =

Sx bH2 4=x x–

A b H=

Sx bH2---- H

4---- b

H2---- H

4---- +

H4---- 2

b H2

----------- bH2

4---------= = =



parti di uguale area, non necessariamente passa per il baricentro (geometrico) della sezione: si pensi ad esempio ad una sezione a “T” di un profilato metallico.

ESEMPIO 1-A

Dati: Una trave 457x152x52 kg/m (Universal beams, Steelwork Design Guide to BS 5950 ‐ Part 1) a sbalzo e perfettamente incastrata, di luce , risulta assicurata allo svergolamento. Si determini il massimo carico di progetto , concentrato sull’estremità libera, in condizioni elastiche e plastiche. Si ipotizzi un acciaio “grade 43 steel” ‐ 275 MPa.

Soluzione: La resistenza di progetto per gli acciai strutturali sono elencati nella BS 5950 alla tab. 6. I valori riportati già sono comprensivi del coefficiente parziale di sicurezza allo stato limite ultimo. Nel caso ipotizzato, si ha quindi direttamente . In particolare, la sezione scelta presenta i seguenti valori dei moduli di resistenza attorno all’asse forte:

modulo elastico: ;

modulo plastico: .

Il valore della sollecitazione flettente di progetto (nell’incognita ) nella sezione di incastro risulta . Allo stato limite, uguagliando i momenti resistenti interni al momento sollecitante esterno, si ha:

in condizioni elastiche: ;

in condizioni plastiche: .

Come si può notare, almeno in questo caso particolare analizzato, se la sezione maggiormente cimentata riesce a plasticizzarsi completamente, ammettendo ovviamente che sia assicurato il non svergolamento, la trave potrà essere assoggettata ad un carico (di progetto) superiore di circa il 15% rispetto al valore dell’analisi elastica (150/130 = 1,15). In altre parole, il rapporto tra i momenti resistenti (interni) in condizioni plastiche ed elastiche è misurato direttamente dal rapporto dei rispettivi moduli di resistenza:

Figura 1.2 Distribuzione lineare, lineare-plastica (intermedia) e completamente plastica delle tensioni su sezione simmetrica semplicemente inflessa di area .b H

L 2 m=P

pym

py 275 MPa=

Zx 949 cm3 949 103 mm3= =

Sx 1090 cm3 1090 103 mm3= =

PMu P L=

MRel Zx py = PelZx pyL

---------------949 103 2752000 103

---------------------------------------- 130 kN= =

MRpl Sx py = PplSx pyL

---------------1090 103 275

2000 103------------------------------------------- 150 kN= =



.

Quest’ultima relazione, pur essendo indipendente dal tipo di resistenza dell’acciaio usato, dà indicazioni sicuramente utili sulla riserva di resistenza a partire dalla condizione di

Fine-esempio

raggiungimento della tensione di progetto per le fibre più estreme della sezione.

Nel caso di sezioni in calcestruzzo armato, trattandosi di sezioni composte da due materiali di differenti costanti elastiche e di differente comportamento a trazione, è necessario omogeneizzare la sezione in calcestruzzo compresso, attraverso un’opportuna procedura. Invece, per gli elementi strutturali in carpenteria metallica (ad esempio, i profilati sagomati a caldo), i valori dei moduli elastici e per i due assi principali di inerzia ( e ) sono già opportunamente tabellati.

ESEMPIO 1-B

Dati: Una trave lignea, di luce , è sottoposta ad un carico di progetto UDL al più di compreso il suo peso proprio presunto (fig. 1.3). Ammettendo una

larghezza della trave di , si determini l’altezza imponendo una tensione massima in condizioni di flessione parallela alle fibre di (strength class SC4, BS 5268 ‐ Part 2 1988 Tab. 9).

Soluzione: Dimensionando in condizioni elastiche (si veda fig. 1.2), si dovrà utilizzare il modulo di resistenza . Per prima cosa è necessario uguagliare il momento resistente interno (in condizioni elastiche) con il momento di progetto sollecitante:

.

Sostituendo e semplificando:

.

MRplMRel-------------

SxZx----- 1=

Importante

Z S x x– y y–

Figura 1.3 Diagramma di carico di progetto di una trave, a sezione costante, uniformemente caricata.

L 5 m=W 4 5 kN=

b 63 mm= Hf 7 5 MPa=

Zx

f Zx fbH2

6--------- WL

8--------- 4 5 103 5 103

8--------------------------------------------------- 2 81 106 Nmm= = = =

fbH2

6--------- WL

8--------- H 6

f b--------- WL

8--------- 6

7 5 63------------------- 2 81 10 6 189 mm= = =



Si impiegherà una trave di sezione 63x200 (BS 5268 ‐ Part 2, 1988 Tab. 98)(1.1). Tra le sezioni disponibili ci sono infatti 63x175, 63x200, 63x225, di cui la 63x175 non è sufficiente.

ESEMPIO 1-C

Dati: Una trave in acciaio deve portare un carico di progetto UDL (incluso il suo peso proprio) di su una luce . Avendo imposto per altri motivi di contenere la tensione massima al valore , determinare il modulo elastico minimo.

Soluzione: Si uguaglia il momento ultimo sollecitante con il momento interno:

.

Risulta idonea almeno una trave 254x102x25 kg/m (Universal beams, Steelwork Design

Fine-esempio

Guide to BS 5950 ‐ Part 1) il cui modulo elastico è .

In generale, almeno per le travi in legno e le travi in carpenteria metallica (dove le fibre tese e le fibre in compressione collaborano sostanzialmente in maniera uguale in regime di flessione semplice), è di regola necessaria anche la verifica allo stato limite di esercizio delle deformazioni. Per il controllo dell’entità delle deformazioni, è necessario considerare il momento d’inerzia della sezione attorno all’asse di flessione. Al solito, per una sezione rettangolare reagente sia a trazione che a compressione (quindi, ad esempio, una trave in legno) il momento d’inerzia è dato dalla semplice espressione:

,

(1.1) Geometrical properties of sawn softwoods.

W 70 kN= L 4 80 m=f 165 MPa=

Figura 1.4 Trave in carpenteria metallica e relativo diagramma di carico di progetto.

Mu

MuWL8

--------- f Zx Zx WL8f

---------70 103 4800

8 165--------------------------------------------- 255 103 mm3= = = =

Zx 265 103 mm3=

Importante

J

JxbH3

12---------

bH2

6---------

H2----

Zxy-----= = =



avendo indicato con la distanza delle fibre più esterne dall’asse neutro che risulta baricentrico in condizioni di flessione semplice in sezioni reagenti sia a trazione che a compressione. In particolare, per le sezioni dei profilati metallici, i valori di attorno ai due assi di inerzia sono riportati tabellati in funzione del tipo di sezione in commercio.

ESEMPIO 1-D

Dati: Una trave in legno, di luce , porta un carico complessivo (nominale)(1.1) UDL di , compreso il suo presunto peso proprio. La sezione della trave è 63x175 (secondo BS 5268 ‐ Part 2, 1988 tab. 98) e il modulo elastico del materiale ligneo utilizzato è

. Verificare se la deformata nella sezione di mezzeria rientra nel limite di 1/300 della luce.

Soluzione: In condizioni di semplice appoggio, per trave a singola campata, la massima freccia nella sezione di mezzeria è:

.

Il momento d’inerzia della sezione è (attorno all’asse ):

. Si ha quindi:

. Il limite richiesto è:

.

La verifica allo stato limite di esercizio non è soddisfatta: . A questo punto, si impone il limite richiesto e si calcola l’altezza (minima) della sezione lignea. Per cui:

y H 2=

J

(1.1) Per carico nominale (e non di progetto) qui si è voluto intendere semplicemente il carico per la condizione di stato

limite di esercizio: necessario per valutare l’entità delle massime deformazioni in condizioni estreme di servizio.

L 4 80 m=W 3 0 kN=

E 6600 MPa=

Figura 1.5 Diagramma di carico (nominale) per trave di legno. Assetto qualitativo della deformata SLE.

5384---------WL

3

EJ-----------=

x x–

JxbH3

12--------- 63 1753

12--------------------- 28 14 106 mm4= = =

5384---------WL

3

EJ----------- 5

384--------- 3 0 103 4 80 103 3

6600 28 14 106 ----------------------------------------------------------- 23 3 mm= =

fmaxL300--------- 4800

300------------ 16 mm= = =

fmax



.

Si adotterà, quindi, una sezione di almeno 63x200 (BS 5268 ‐ Part 2, 1988 Tab. 98).

ESEMPIO 1-E

Dati: Un impalcato viene eseguito con travi portanti in carpenteria metallica ad interasse di 5,00 m e completato superiormente con un getto di una soletta in c.a. di spessore 150 mm; quest’ultima con la funzione di ritegno allo svergolamento per le travi (fig. 1.6)

Determinare il tipo di profilato per una resistenza di progetto dell’acciaio di (spessori delle singole piattabande che non eccedono i 16 mm) e per

un’azione variabile di esercizio (“imposed load”) di . Considerare una densità del calcestruzzo armato della soletta gettata di (coerentemente con quanto indicato nella BS 648 1964).

Soluzione: Prima di procedere nella verifica di resistenza allo stato limite delle travi, è necessario calcolare il carico lineare di progetto. ULS(1.1) gravante su ciascuna trave. Come si vede dallo schema in fig. 1.6 (sez. B‐B), la larghezza di influenza della trave centrale (più caricata) è pari a . Si hanno, dunque, i seguenti carichi nominali uniformemente ripartiti (UDL):

carico dovuto al peso proprio soletta: ;

peso proprio(1.2) profilato (stima): ;

carico variabile (“imposed load”): .

La risultante complessiva ULS sulla trave si calcola, detta la luce della trave:

.

Sostituendo i valori numerici, si ha per ULS:

.

La sollecitazione di progetto (limite ultimo) nella sezione di mezzeria è:

.

Nel caso generale si scegliesse un profilato con piattabanda di spessore (flange thickness) maggiore di 16 mm, il valore di andrebbe ridotto a 265 MPa.

Pertanto, il modulo plastico (minimo) richiesto è:

H532------ WL3

E bfmax---------------------3

532------ 3 0 103 4 80 103 3

6600 63 16 ---------------------------------------------------------------3 198 mm= =

py 275 MPa=5 0 kN m2

2400 kg m3

(1.1) ULS per “ultimate limit state”: stato limite ultimo.

(1.2) SW per “self-weight”: peso proprio.

i 5 0 m=

0 15 m 24 kN m3 5 0 m 18 kN m=

SW70 kg m 100 kg kN

---------------------------------- 0 70 kN m=

5 0 kN m2 5 0 m 25 kN m=

L

W fd dead load fi imposed load + L=

W 1 4 18 0 7+ 1 6 25 + kNm

------- 6 0 m 397 1 kN= =

MuWL8

--------- 397 1 103 6 0 103 8

--------------------------------------------------------------- 297 8 106 Nmm= = =

py



.

Dal documento Steelwork Design Guide to BS 5950: Part 1 (Steel Construction Institute), il profilato 457x152x60kg/m (UB section)(1.1) presenta un modulo di resistenza plastico di

(flange thickness < 16 mm) e un peso lineare di 60 kg/m:

Figura 1.6 Diagramma di carico di progetto per la trave in acciaio. Schema disposizione in pianta.

(1.1) UB section per “universal beams section”: sezioni travi tipiche.

SxMu

py------- 297 8 106 Nmm

275 MPa-------------------------------------------- 1 083 106 mm3 1083 cm3= = = =

Sx 1280 cm3 1083 cm3=



,

Fine-esempio

compatibile con il valore inizialmente fissato (stima in eccesso) nell’analisi dei carichi.

L’esempio di progetto 1-E si può applicare come procedimento standard per travi che sono perfettamente controventate allo sbandamento laterale dalla presenza della soletta gettata e soggette a sollecitazioni di taglio non eccessivamente grandi o importanti. Infatti, quando le sezioni di travi compatte a comportamento plastico sono sottoposte ad azioni di taglio notevoli, la capacità ultima a flessione deve essere opportunamente ridotta in virtù dell’interazione tra flessione e taglio. A tal proposito, espressioni modificate della resistenza flessionale ultima sono riportate nella BS 5950. In casi come questo, di impalcati civili di medie dimensioni, l’interazione flessione-taglio non insorge.

FORMULE DELLA FLESSIONE PER ELEMENTI IN CEMENTO ARMATO. La resistenza a flessione per elementi in cemento armato differisce sostanzialmente rispetto al caso di elementi in legno o in acciaio. La differenza sostanziale sta nell’enorme divario di resistenza del calcestruzzo a compressione e a trazione; quest’ultima, infatti, completamente trascurata in tutte le verifiche di resistenza di qualsiasi normativa.

Di seguito, una schematizzazione di sezione inflessa in calcestruzzo armato con resistenza a rottura valutata prescindendo da eventuali armature compresse superiori. Almeno in condizioni di flessione semplice retta, l’equilibrio alla traslazione impone:

Per anticipare parte delle formule principali utilizzate dalle normative anglosassoni, si è ritenuto utile e istruttivo presentare il semplice schema di calcolo

(riportato in fig. 1.7) adottato dallo Standard Building Code Requirements for Reinforced Concrete: ACI 318-11.

SW60 kg m 100 kg kN

---------------------------------- 6 0 m 3 6 kN 0 70 kN m 6 0 m 4 2 kN= = =

✍

Figura 1.7 Ipotesi e modello matematico adottato per la derivazione delle equazioni di progetto allo stato limite ultimo per c.a., secondo ACI 318.



(Eq. 1‐5)

essendo (secondo la ACI 318-11):

• altezza utile della sezione inflessa;

• la resistenza a compressione del calcestruzzo a 28 giorni;

• la larghezza della sezione compressa;

• la distanza dell’asse neutro dalla fibra maggiormente compressa;

• l’ampiezza delle tensioni (efficaci) di compressione;

• la massima tensione (costante) di compressione a rottura;

• l’area complessiva delle armature in trazione;

• la tensione di progetto (di snervamento) delle armature.

La forza di trazione delle armature in condizioni di rottura è:

(Eq. 1‐6)

Uguagliando le espressioni nelle eq. 1-5 e 1-6, si ottiene la profondità delle tensioni (efficaci) in compressione (fig. 1.7):

(Eq. 1‐7)

Per l’equilibrio dei momenti rispetto al punto di applicazione di o di , si ha:

. (Eq. 1‐8)

Quest’ultima espressione, tenendo conto dell’eq. 1-6, viene penalizzata dalla norma ACI con un opportuno coefficiente (funzione dei particolari assetti di progetto)(1.1). Il momento ultimo interno assume quindi l’aspetto:

Assetti di progetto valori di

Momento in assenza di carico assiale 0,90

Punzonamento, aderenza e ancoraggio 0,85

Elementi compressi con armatura a spirale 0,75

Elementi compressi con staffe 0,70

Piastre di base su calcestruzzo 0,70

Fondazioni debolmente armate 0,65

Tabella 1.6 Valori da adottare per il coefficiente di penalizzazione , secondo ACI 318.

C 0 85 f c b a T As fy= = =

d

f cb

x

a x=

0 85 f c

As

fy

T As fy=

aAs fy

0 85 f c b -----------------------------=

C T

T d a2---–

MR C d a2---–

= =

Importante



. (Eq. 1‐9)

Calcolata l’espressione di e sostituendo nell’eq. 1-9, si ottiene un’equazione di II° in .Uguagliando infine con il valore calcolato della sollecitazione flettente ultima ( ), e risolvendo l’equazione di II°, si trova il valore di (minimo necessario):

. (Eq. 1‐10)

ESEMPIO 1-F

Dati: Un plinto di sezione in pianta 2,00 m x 2,00 m è sottoposto ad una pressione ultima del terreno, (assunta) uniforme, pari a . Il plinto (fig. 1.8) è caricato da un pilastro in asse di sezione quadrata 35 cm x 35 cm.

Coerentemente con l’Articolo 10.3.3 della Norma ACI, ipotizzando per le strutture in fondazione una resistenza a compressione del calcestruzzo a 28 giorni pari a

(1.1) Secondo la normativa ACI 318, la procedura di progetto allo stato limite ultimo deve ridurre la resistenza del calce-

struzzo per tenere conto dell’errore umano nel processo di fabbricazione e di altre incertezze mediante appunto l’adozio-

ne di coefficienti .

MR As fy d a2---–

=

a a As =As

MR Mu=As

Mu

fy----------- As d

As a As 2

------------------------ –= As2

qult 300 kPa=

Figura 1.8 Schema in pianta e prospetto plinto: dati geometrici di progetto delle armature tese a flessione.



e per le armature una tensione di snervamento pari a , determinare le armature tese a flessione del plinto. Interrompere le armature, senza la necessità di uncini, lasciando un copriferro di di calcestruzzo (Articolo 7.7.1 Norme ACI).

Soluzione: Per il calcolo delle armature a flessione tese, si impiega il modello a mensola schematizzato nella fig. 1.8. In particolare, si ha:

.

Il valore di progetto (ultimo) della sollecitazione flettente ad opera della tensione ultima a rottura del terreno è:

.

Sfruttando l’eq. 1‐7, ed esprimendo in termini di , si calcola:

.

Pertanto: .

Sostituendo nell’eq. 1‐10, si ottiene:

.

Si adotta per l’altezza utile il valore .

Inserendo i valori numerici (con ‐ tab. 1.6), si ha:

.

Sistemando e ordinando l’equazione di II° grado nell’incognita :

,

si ottiene la soluzione positiva (minimo): .

Si disporranno barre (area effettiva: ), per un totale di barre resistenti a trazione per singola direzione in pianta.

Infine, per la verifica dell’aderenza delle barre tese (sempre secondo la ACI 318‐11), adottando barre (con ), risulta:

.

Si assume come lunghezza di ancoraggio richiesta 340 mm. La lunghezza di ancoraggio effettivamente disponibile è: .

In questo modo, è confermato che è possibile interrompere le barre di armatura, senza necessità di uncini terminali, lasciando un ricoprimento di 70 mm di calcestruzzo (Articolo

Fine-esempio

7.7.1 ACI 318).

f c 24 MPa= fy 400 MPa=

c 70 mm=

Leff2 00 0 35–

2------------------------------ 0 83 m= =

Muqult b Leff

22

----------------------------------300 kN m2 1 0 m 0 83 m 2

2----------------------------------------------------------------------------------------------- 104 kNm= =

As mm2 m

aAs fy

0 85 f c b -----------------------------

As 400 0 85 24 103 --------------------------------------------- As 0 0196= =

a As As 0 0196=

a As

Mu

fy----------- As d

A2s 0 0196

2------------------------------ –=

d H 70 30+ – 450 100– 350 mm= =

0 90=

104 1060 9 400---------------------- As 350

A2s 0 0196

2------------------------------ –=

As

0 0098A2s 350As– 0 2889 106+ 0=

As min 846 mm2 m

14 15 As 1026 mm2 m= 1314

db 14 mm= Ab 154 mm2=

Ld richiesta max0 02 Ab fy

f c------------------------------- 0 06 db fy ;

max 252 336; 336 mm= = =

Ld disponibile Leff c– 830 70– 760 mm Ld richiesta= = =



Le formulazioni per il calcolo delle sezioni in cemento armato secondo le BS 8110 “Structural use of concrete” e relative parti 1, 2 e 3 (Code of practice for design and construction, Code of practice for special circumstances, Design chart for singly reinforced beams, doubly reinforced beams and rectangular columns) verranno riportate più avanti e spiegate nel dettaglio in un’apposita sezione. Qui, in questa parte introduttiva, si è approfittato del modello adottato dalla ACI 318 per una prima presentazione dell’argomento.

1.3.2 La pressoflessione negli elementi strutturali

Elementi prevalentemente soggetti ad azioni assiali sono i pilastri e le colonne che possono sopportare carichi concentrici (teoricamente) ed eccentrici (casi reali). In linea teorica, appunto, se la retta d’azione di compressione o trazione coincide con l’asse geometrico dell’elemento strutturale, si parla di carico concentrico. Viceversa, se la retta d’azione presenta una qualche eccentricità dall’asse geometrico dell’elemento, allora la sollecitazione è sempre composta da un’azione concentrica e da una concomitante azione flessionale. In altri termini, una sezione sottoposta ad un carico assiale con eccentricità non nulla si dice pressoinflessa o tensoinflessa, a seconda che l’azione assiale sia rispettivamente di compressione o di trazione sull’elemento. Come si può notare dagli schemi in figura 1.9, nel caso di eccentricità nulla la generica sezione è completamente compressa con tensione costante su tutta la sezione:

e l’asse neutro è tendente (teoricamente) all’infinito.

FORMULE DELLA PRESSIONE ECCENTRICA NEGLI ELEMENTI REAGENTI A TRAZIONE. Viceversa, quando esiste un’eccentricità su una sezione reagente anche a trazione, se il centro di pressione di cade esternamente al nocciolo centrale d’inerzia(1.1) la

(1.1) Nel caso semplice di sezione rettangolare A = bH, il nocciolo d’inerzia presenta dimensioni pari ad 1/3 delle dimen-

sioni della sezione: H/3 e b/3. Gli estremi del nocciolo distano H/6 e b/6 dagli assi centrali d’inerzia della sezione.

Figura 1.9 Schema di pilastro, colonna con carico concentrico (caso teorico) e carico eccentrico (caso reale).

NA---- cost= =

✍N



sezione risulta in parte compressa e in parte tesa: asse neutro che taglia la sezione. Come noto, nel caso generale di pressoflessione, la formula per il calcolo delle tensioni sulla generica fibra della sezione assume l’aspetto:

, (Eq. 1‐11)

avendo indicato, al solito, con la distanza positiva della fibra a tensione dall’asse neutro, con e rispettivamente l’area e il momento d’inerzia della sezione. Nel caso particolare di sezione rettangolare reagente sia a trazione che a compressione (ad esempio, il caso in fig. 1.9), assumendo un’eccentricità si determinano due componenti di sollecitazione contemporaneamente agenti: compressione (parallela all’asse geometrico dell’elemento) e sollecitazione flessionale semplice attorno ad un asse d’inerzia. Volendo, pertanto, calcolare la massima tensione agli estremi della sezione, modificando opportunamente l’eq. 1-11, si ottiene:

, (Eq. 1‐12)

avendo infatti considerato per sezione rettangolare un momento d’inerzia .

FORMULE DELLA PRESSIONE ECCENTRICA NEGLI ELEMENTI NON REAGENTI A TRAZIONE. Quando esiste un’eccentricità nei solidi o in quelle particolari parti strutturali non reagenti a trazione (ad esempio, la suola di un plinto), si pone il problema di valutare l’equilibrio alla stabilità. Considerando proprio il caso reale di un plinto parallelepipedo soggetto a pressione eccentrica con il centro di pressione fuori dal nocciolo centrale d’inerzia (fig. 1.10), è evidente che il diagramma degli sforzi non potrà apparire come quello riportato nella parte destra della figura 1.9, in

y NA----

MJ----- y=

y y A J

e 0

NM N e=

y H 2=

maxNb H-----------

N eb H312

---------------------------- H

2----

Nb H----------- 1

6 eH

---------- = =

J bH3 12=

Figura 1.10 Suola di plinto con eccentricità del carico verticale fuori dal nocciolo centrale di inerzia.

✍



quanto non può esistere la distribuzione triangolare delle trazioni. Quando l’eccentricità è tale da portare il centro di pressione di fuori dal nocciolo centrale di inerzia, l’equilibrio è assicurato dalle sole sollecitazioni possibili tra terreno di fondazione ed intradosso della suola del plinto: quelle di compressione. In particolare, la risultante eccentrica di compressione deve passare per la stessa retta d’azione della risultante delle pressioni del terreno. Tali pressioni devono aumentare dal valore nullo (per l’assenza di trazioni) ad un valore massimo, supponendo una variazione lineare tra i due estremi. In altri termini, la distribuzione triangolare delle tensioni di reazione (di compressione del terreno) deve avere risultante passante per la retta d’azione della sollecitazione (fig. 1.10):

. (Eq. 1‐13)

Da quest’ultima equazione di equilibrio, si deduce quindi la massima tensione al suolo corrispondente al carico agente con eccentricità :

. (Eq. 1‐14)

ESEMPIO 1-G

Dati: Un plinto, con dimensione in pianta quadrata = 100 cm x 100 cm, è sottoposto ad un carico ultimo di . L’eccentricità del carico assiale è tale per cui risulta una escursione di (vedere dettagli qualitativi in fig. Figura 1.10). Considerando che la tensione massima ammessa in fondazione (in condizioni ultime) è

, verificare la stabilità del plinto.

Soluzione: Poiché tre volte il valore maggiore di è minore di , non tutta la superficie di appoggio è in compressione con il terreno di imposta: non potendosi avere trazione, esisterà un’area non sfruttata della suola del plinto. Variando il parametro in un range definito, si avrà un intervallo di variazione delle massime tensioni scaricate in fondazione. È sufficiente applicare direttamente l’eq. 1‐14, perché il terreno di fondazione, in tutto il range di variazione di , non è in grado di estrinsecare trazioni. Partendo dal caso maggiormente favorevole di :

,

le dimensioni in pianta del plinto non sono sufficienti. Poiché le sollecitazioni scaricate dalla struttura soprastante sono dei dati di progetto indipendenti, l’eccentricità del carico assiale è da considerare costante e pari a:

.

Variando ora le dimensioni in pianta del plinto, dovendo rimanere costante il rapporto , varierà il valore di .

N

NR

N

N Rmax 3u B

2------------------------------= =

N e 0

max23--- Nu B-----------=

L0 B0Nu 150 kN=

u0 15 30 cm=

adm 300 kPa=

u0 L0 B0 100 cm= =

u0

u0u0 30 cm=

max23---

Nuu0 B0--------------- 2

3---

150 1033 0 102 3 103

--------------------------------------------------- 0 33 MPa 330 kPa= = = =

eL0

2----- u0– 100

2--------- 30– 20 cm= = =

e M N 20 cm= = u 0 5L e–=



Mantenendo la pianta quadrata , sempre sfruttando l’eq. 1‐14 e imponendo l’uguaglianza , si scriverà:

.

Riordinando in funzione dell’incognita L, si ottiene l’equazione di II° grado:

.

Infine, sostituendo i valori numerici, si ha (esprimendo in termini di N e mm):

,

con la soluzione . Quando l’eccentricità è minima (ovvero quando ) è sufficiente una pianta 110 m x 110 m.

Ripetendo la medesima procedura, adottando il valore più gravoso di , si calcola intanto:

.

e l’analoga equazione di II°:

la cui soluzione porge . È necessario quindi un plinto di dimensioni in

Fine-esempio

pianta di almeno 125 cm x 125 cm.

Nell’analisi convenzionale delle fondazioni rigide la pressione sul terreno viene calcolata sulla base dei principi della meccanica delle strutture sovrapponendo gli effetti di flessione e azione assiale (si veda eq. 1‐12). Tuttavia, a rigore, si dovrebbe tenere conto del peso di metà fondazione dalla parte opportuna(1.1) dell’asse rispetto al quale agisce la sollecitazione flettente per diminuire il momento applicato. In generale, se viene compiuto tale accorgimento, si ottiene una leggera riduzione della pressione massima sul terreno e un leggero incremento della pressione minima.

ESEMPIO 1-H

Dati: Un basamento ha le dimensioni in pianta di = 2,10 m x 2,10 m. Le sollecitazioni di progetto ultime scaricate dalla struttura soprastante sono: , . Dovendo mantenere la massima pressione scaricata in fondazione al valore di

, verificare se le dimensioni in pianta del basamento sono sufficienti per

L B=max adm=

adm23--- Nuu B----------- 2

3---

Nu0 5L e– L

----------------------------------= =

L2 2eL–43---Nuadm-----------– 0=

L2 2 200 L –43--- 150 103

0 3--------------------------– 0=

B L 1041 mm=u0 30 cm=

u0 15 cm=

eL0

2----- u0– 100

2--------- 15– 35 cm= = =

L2 2 350 L –43--- 150 103

0 3--------------------------– 0=

B L 1238 mm=

(1.1) Quando solo una parte della suola di fondazione è compressa, la rimanente parte, non potendo estrinsecare delle

trazioni con il terreno, può solo contribuire a contrastare il momento esterno agente con il suo peso proprio perché non

bilanciato da alcuna reazione del terreno.

L BNu 850 kN= Mu 35 kNm=

adm 200 kPa=



mantenere tutta la superficie di intradosso a contatto con il terreno, quindi in compressione.

Soluzione: Intanto, si calcola l’eccentricità (non dipendente dalle dimensioni del basamento):

.

L’eccentricità è evidentemente talmente contenuta che si può già stabilire che tutta la sezione è in compressione con il terreno fondale. La dimensione del nocciolo d’inerzia dal baricentro geometrico della sezione del basamento è infatti . Si dovrà utilizzare la formula dell’eq. 1‐12 con il solo segno “+” (utilizzando N e mm) per calcolare il valore massimo:

,

e il segno “‐” per calcolare il valore minimo:

.

La massima tensione di compressione è maggiore della tensione ammessa nel terreno:

.

Pertanto, è sufficiente imporre e calcolare il conseguente valore di dall’equazione:

.

Riordinando, si ottiene l’equazione di III° grado:

eMu

Nu-------

35850--------- 0 041 m 4 1 cm= = =

L 3 210 3 70 cm e= =

Figura 1.11 Distribuzione delle tensioni di compressione al suolo sotto il basamento.

maxNB L------------ 1 6 e

L----------+

850 103 2100 2

-------------------------- 1 6 412100-------------+

0 22 MPa 220 kPa= = = =

minNB L------------ 1 6 e

L----------–

850 103 2100 2

-------------------------- 1 6 412100-------------–

0 17 MPa 170 kPa= = = =

max 220 kPa adm 200 kPa= =

max adm= L

maxNB L------------ 1 6 e

L----------+

850 103 L2

-------------------------- 1 6 41L

-------------+ 0 20= = =

0 20850 103

--------------------------L3 L– 246– 0=



che risolta per tentativi fornisce la radice: . Si adotterà un basamento

Fine-esempio

con sezione in pianta quadrata di dimensioni 2,20 m x 2,20 m.

1.3.3 La compressione e l’instabilità nei pilastri e nelle colonne

In questo paragrafo sarà analizzato il comportamento di elementi strutturali sottoposti a compressione o pressoflessione con una componente assiale non trascurabile. Ciò soprattutto per quei casi particolari in cui (soprattutto per l’acciaio e il legno) si incorre disgraziatamente in un cambiamento improvviso di configurazione (instabilità della colonna o del pilastro). Si immagini di caricare assialmente una struttura verticale (pilastro, colonna, setto) con un carico perfettamente centrato sull’asse indeformato dell’elemento. Se l’area della sezione trasversale viene scelta in modo tale che il valore dello sforzo di compressione agente sulla sezione stessa risulti inferiore allo sforzo di snervamento del materiale utilizzato e se lo spostamento in sommità

rispetta eventuali limitazioni imposte allo stato limite di esercizio ( ), si potrebbe concludere (erroneamente) che l’elemento è stato correttamente progettato. Può invece succedere, soprattutto per elementi quali i metalli e il legno, che, non appena viene applicato il carico, l’elemento strutturale verticale si instabilizzi: invece di rimanere rettilineo, anche sotto il carico assegnato , abbandona improvvisamente la configurazione originaria. Risulta evidente, quindi, che in questi casi un elemento strutturale che si instabilizzi a seguito dell’applicazione del carico non è correttamente progettato.

Come è noto, un elemento caricato assialmente sbanda repentinamente dalla sua configurazione rettilinea iniziale, quando il carico esterno ha raggiunto e superato un certo carico, detto critico . Per avere una cognizione pratica di ciò, è sufficiente poggiare, perpendicolarmente al piano del tavolo, un comune righello e, tenendolo in posizione verticale con il palmo posizionato sull’estremo più alto, provare a spingere verticalmente verso il basso. Aumentando la forza con il palmo della mano, il righello arriverà a un punto in cui sbanderà improvvisamente, assumendo una configurazione curva, e si deformerà sempre di più, man mano che si aumenta il carico, fino a spezzarsi. Se si ripete l’esperimento impiegando materiali differenti (plastica, legno, alluminio, etc.), si noterà che questo carico critico che porta a sbandamento dipende essenzialmente:

• dal tipo di materiale (modulo elastico );

• dalla lunghezza dell’elemento sottoposto a prova;

• dalla sezione (sezione trasversale di resistenza geometrica ;

• da come viene vincolato l’elemento durante la prova.

È intuitivo comprendere come, a parità di vincoli, di materiale ( ) e di sezione ( ), aumentando la lunghezza , lo sbandamento tende a innescarsi con valori relativamente minori della forza applicata . Ciò significa che il valore del carico critico è in qualche modo inversamente proporzionale alla

L B 2175 mm=

NA

N A=

y NL EA= max

N

Caricocritico N

NCR

E

L

J

E cost=J cost= L

N



lunghezza . Analogamente, considerata variabile una qualsiasi altra grandezza e fissate le rimanenti, si deduce che il carico critico aumenta in modo direttamente proporzionale al modulo elastico del materiale e/o alla resistenza geometrica della sezione. In particolare, si potrà notare come la variazione più sensibile del carico critico avvenga quando, lasciando invariato tutto, si fa variare solo la lunghezza .

Si può quindi affermare, almeno intuitivamente che il carico critico può legarsi qualitativamente alle grandezze precedentemente introdotte in questo modo:

, (Eq. 1‐15)

Figura 1.12 Andamenti qualitativi delle possibili deformate che un’asta sufficientemente snella, sottoposta a carico critico, può assumere.

Nel fenomeno dell’instabilità, per tutte le grandezze si può sempre parlare di proporzionalità (diretta o inversa). Nella variazione del parametro della lunghezza

L dell’elemento la proporzionalità (inversa) si avverte in maniera più sensibile.

L

EJ

L

NCR c2EJL------=



dove:

• è una costante di proporzionalità diretta;

• è il modulo elastico del materiale;

• è la resistenza geometrica della sezione (momento d’inerzia);

• è la lunghezza che caratterizza la snellezza dell’elemento.

Nell’eq. 1-15, l’esponente sulla lunghezza è stato introdotto per tenere conto di un legame di proporzionalità maggiormente sensibile di rispetto a quello degli altri parametri coinvolti. Per definire compiutamente l’espressione del carico critico, quindi, si deve porre attenzione al tipo di deformata che ci si può aspettare una volta che è avvenuto repentino lo sbandamento. Si immagini di ripetere l’esperimento utilizzando, ad esempio, un’asta di materiale metallico sufficientemente snella. Intanto, possiamo osservare che un’asta snella, rispetto a una molto tozza, presenta una sezione trasversale geometricamente contenuta rispetto alla sua lunghezza: . Volendo estendere poi il concetto di snellezza in termini di resistenza, possiamo prendere in considerazione la resistenza geometrica della sezione e rapportarla all’area stessa della sezione: . L’asta risulterà meno snella quanto più grande sarà la sua resistenza geometrica per unità di area . È molto comune esprimere il rapporto in termini del quadrato del raggio di inerzia della sezione . Il parametro di snellezza di un elemento strutturale di lunghezza , sezione e momento di inerzia , sarà espresso quindi come:

.

Ciò premesso, si immagini di portare a sbandamento un’asta metallica sufficientemente snella. È intuitivo aspettarsi almeno una delle deformate rappresentate nella fig. 1.12. Come si può notare, le forme assunte sembrano ricordare quelle di una corda quando viene agitata contemporaneamente ai suoi estremi: si avvertono le forme di una specie di onda (o sinusoide). Notoriamente, tutto ciò che è riconducibile a una specie di onda è schematizzabile con delle particolari funzioni analitiche dette sinusoidi. Queste funzioni matematiche presentano la peculiarità di essere cicliche, come le onde appunto. Le sinusoidi sono descrivibili, quindi, da funzioni sinusoidali e presentano la seguente formulazione:

(Eq. 1‐16)

dove:

• è il valore massimo dello spanciamento che l’asta presenta quando sbanda. Ovviamente, come si può notare dalla figura 1.12, il suo valore non può che diminuire all’aumentare del numero di onde che si osservano nell’asta sbandata;

• è una costante, il cui quadrato risulta direttamente proporzionale al carico assiale applicato e inversamente proporzionale al prodotto .

c2

E

J

L

1 LL

A << L

J AJ

A J Ai2 J A=

L A J

Li--- L

J A--------------= =

z max kz sin=

max

kN EJ



Quest’ultima affermazione può spiegarsi intuitivamente pensando che l’aumento del carico esterno e la contemporanea diminuzione sia della resistenza meccanica del materiale sia della resistenza geometrica della sezione hanno l’effetto di amplificare l’ampiezza delle onde della deformata. Aumentando aumenta anche e di conseguenza aumenta in ogni punto. È consuetudine esprimere il legame che caratterizza la costante mediante una forma utile per soli fini analitici:

. (Eq. 1‐17)

A questo punto, per descrivere l’equilibrio(1.1) dell’asta, entrata ormai in sbandamento sotto il carico critico agente , conviene utilizzare proprio l’equazione delle onde nella forma dell’eq. 1-16. Si imponga, in particolare, l’assetto dell’asta sbandata con una sola onda (primo schema con n = 1). In questo caso, l’entità dello spanciamento risulta maggiore dei tre casi rappresentati. Coerentemente con il sistema di riferimento adottato (arbitrario), si impongono le condizioni di vincolo dell’asta:

• I estremo: per ;

• II estremo: per .

Applicando queste due condizioni separatamente, dall’eq. 1-16 si ottiene (tralasciando la prima condizione banale ) la semplice e utile relazione:

. (Eq. 1‐18)

Quest’ultima equazione non è altro che l’equazione di equilibrio di un’asta che ha raggiunto l’instabilità sotto il carico critico e alla quale sono state assegnate le effettive condizioni di vincolo al contorno (in questo caso particolare, vincoli di cerniera alle due estremità). Infatti, come si era accennato precedentemente, quando si è introdotta la formulazione dell’eq. 1-15, il carico critico dipende anche dalle condizioni di vincolo dell’asta caricata. La soluzione dell’eq. 1-18 richiede semplicemente l’annullamento della funzione seno che, notoriamente, si verifica quando l’argomento risulta pari a un multiplo intero ( ) dell’angolo piatto :

. (Eq. 1‐19)

Come era già stato anticipato da un’analisi qualitativa del fenomeno, a ogni valore del multiplo intero corrisponde per lo sbandamento una differente

(1.1) È fondamentale notare che, parlando di instabilità, il termine equilibrio potrebbe essere usato in maniera impropria.

Infatti, nella realtà, un’asta che comincia a sbandare ha evidentemente perso l’equilibrio. Può infatti succedere che tenda

a ritornare nella configurazione iniziale rettilinea, se si rimuove il carico N (se N < Ncr), oppure a deformarsi sempre più,

anche diminuendo il carico N, fino a raggiungere la rottura (se N > Ncr). Con la dizione equilibrio con il proprio carico

critico (si vedano gli schemi in figura 1.12) deve intendersi quella particolare forma della deformata (appunto critica) che

fa da separazione tra i due componenti possibili prima descritti: equilibrio stabile (N < Ncr) ed equilibrio instabile (N >

Ncr).

NE J

kkz sin z

k

k2NCREJ

----------=

NCR

0= z 0=

0= z L=

0 0=

0 max kL sin=

NCR

kL n 0 1 2 3 etc. =

kL n=

n



deformata, individuata dalla soluzione dell’eq. 1-19. In particolare, tenendo conto dell’eq. 1-17, l’eq. 1-19 equivale a scrivere:

. (Eq. 1‐20)

Come si può vedere, confrontando l’eq. 1-20 con l’eq. 1-15, si constata che l’esponente del parametro risulta effettivamente maggiore di 1 e che è presente una costante di proporzionalità diretta, come si era supposto inizialmente da considerazioni intuitive. Osservando l’eq. 1-20, si nota che il valore minore del carico critico (quindi il più pericoloso per la struttura) è dato dalla posizione , corrispondente alla prima configurazione riportata nella figura 1.12 (una sola onda). A questo punto, si può definitivamente riportare la formulazione del cosiddetto carico critico di Eulero relativo alla più pericolosa condizione di maggiore sbandamento dell’asta dalla sua configurazione iniziale indeformata:

. (Eq. 1‐21)

Va fatta un’ultima osservazione. Dopo aver esaminato gli schemi di figura 1.12, si ponga attenzione alle deformate con più onde: esse presentano una configurazione tale che all’equilibrio, dopo lo sbandamento, i valori dei carichi critici da applicare risultano maggiori del carico critico di Eulero , relativo all’asta con singola onda. Questo può essere spiegato dall’innescarsi lungo l’asta di cambiamenti di concavità (per esempio per cause di contatto con azioni esterne). Questo passaggio da un’onda all’altra (tramite cambio di concavità) può essere spiegato come l’effetto (sia sulla deformata, sia sull’annullamento del valore delle sollecitazioni flettenti) di vincoli a cerniera interni. In tal modo, infatti, causando l’estrinsecarsi di un vincolo interno a cerniera (cambio di concavità e annullamento della sollecitazione flettente), le lunghezze di sbandamento aumentano di numero (a parità di altre condizioni, come la resistenza del materiale, la sezione resistente, etc.), ma diminuiscono relativamente in lunghezza. Diminuendo in lunghezza, il valore del carico critico necessario per mantenere la data configurazione dell’asta sbandata aumenta (fig. 1.12):

. (Eq. 1‐22)

In realtà, le tre configurazioni presentate fanno riferimento al medesimo fenomeno. Infatti, si consideri la terza deformata con tre onde. Sono di fatto presenti 3 tronchi di lunghezza , ciascuno con delle cerniere agli estremi (2 esterne e 2 interne). Sappiamo dall’equazione delle onde che questa configurazione è relativa al caso di multipli di . Pertanto, applicando la formula generale (eq. 1-20) si ha:

k2 L2 n2 2 = NCR L2EJ

-------------------- n2 2 = NCR n22EJL2

------------=

Lc2 n22=

n 1=

NCR2EJL2

------------=

NCR

NCR NCRII NCR

III NCRIV

L 3

n 3=



. (Eq. 1‐23)

Analizzando, però, un solo tronco compreso tra due cerniere (lungo quindi ) e applicando la semplice formula di Eulero, relativa a un singolo

tronco compreso tra due cerniere,(1.1) ritorna il precedente risultato:

.

È infatti per questo motivo che, nel valutare il carico di Eulero, si impiega subito il valore calcolato dall’eq. 1-20 ponendo .

CONSIDERAZIONI SULL’INSTABILITÀ SECONDO LE BS. Secondo le British Standards, in funzione delle modalità di rottura, gli elementi strutturali in compressione vengono definiti “corti” (“short”) o “lunghi” (“long”). Un elemento si definisce “corto” quando la rottura avviene per raggiungimento della resistenza delle fibre del materiale con cui è costituito, mentre un elemento “lungo” si considera a rottura quando lo sbandamento laterale per instabilità (“buckling”) avviene prima del raggiungimento delle tensioni di rottura del materiale.

Secondo le BS, una pilastro in calcestruzzo armato è considerato “corto” quando la sua altezza effettiva non supera 15 volte la dimensione minima della sua sezione trasversale :

.

Pertanto, secondo questa classificazione, un pilastro di sezione 300 mm x 200 mm è considerato “corto” quando la sua altezza effettiva è contenuta entro i 3 m:

.

La grande maggioranza dei pilastri in c.a. è, quindi, compreso in questa categoria. Il progetto di pilastri corti, cimentati prevalentemente da sollecitazioni

(1.1) Il singolo tratto tra due cerniere (interne e/o esterne) equivale ad individuare il tratto minore (ad esempio, lungo

l’estensione effettiva dell’asta, quando non vincolata “a mensola”) compreso tra due punti di flesso (cambio di concavità

della deformata). Viceversa, nel caso particolare di elementi vincolati a mensola, si riconduce l’analisi ad un’asta (virtua-

le), pari al doppio della lunghezza effettiva, equivalente ad una di medesime caratteristiche (sezione e materiale) incer-

nierata agli estremi.

Il fenomeno repentino dell’instabilità, avviene generalmente in campo elastico, ma ha l’effetto di imporre delle configurazioni geometriche di assetto il

più delle volte incompatibili con l’equilibrio della struttura.

NCRn n2

2EJL2

------------ NCRIII 3 2

2EJL2

------------ 92EJL2

------------ 2EJ

L3---

2

--------------- 2EJL* 2

-------------= = = = =

L* L 3=Importante

L*

NCR2EJL* 2

------------- 92EJL2

------------= =

n 1=

✍

LeffA b H=

Leff 15 min b H;

Leff 15 min 200 300; 3000 mm= =

Pilastritozzi



di intensa compressione, si riconduce semplicemente ad una verifica sulla tensione assiale:

,

dove la tensione è la tensione massima di riferimento per il materiale impiegato e è la sezione trasversale dell’elemento strutturale.

Le strutture in carpenteria metallica sono prodotte in forme standardizzate. Alcune forme tipiche sono riportate in figura 1.13. Dettagli sulle dimensioni e proprietà geometriche di tali sezioni standard possono reperirsi direttamente dalle British Standards o da particolari pubblicazioni a cura dell’organo SCI (Steel Construction Institute). Secondo le BS, una colonna in acciaio è considerata “corta” se la sua altezza effettiva non eccede sei volte la dimensione minima dell’ingombro della sezione trasversale:

Figura 1.13 Sezioni tipiche di laminati in acciaio e relativa dicitura secondo British Standards.

N A=

A

Profilatimetallici

Leff



.

Ad esempio, una colonna UC 203 mm x 203 mm per essere considerata “corta” non dovrebbe essere più lunga di: . Questo per dire che, nei casi più comuni, le colonne in acciaio sono da considerare come “lunghe”. Analoga condizione per le sezioni degli elementi lignei.

Quando colonne “lunghe” raggiungono la rottura per sbandamento laterale (buckling), in combinazione con il conseguente raggiungimento della resistenza limite dei materiali per forti deformazioni, la tensione massima di riferimento per il dimensionamento diviene intimamente legata alla “snellezza” (slenderness). La snellezza è un parametro correlato alla lunghezza effettiva della colonna, alla sua sezione geometrica trasversale e (soprattutto) a come si schematizzano le condizioni di vincolo ai suoi estremi(1.1) e quindi, conseguentemente, alla lunghezza di libera inflessione dell’asta. Secondo anche le British Standards, infatti, il fattore che governa il dimensionamento di un elemento suscettibile di instabilità è il rapporto di snellezza SR (slenderness ratio), così definito:

(Eq. 1‐24)

dove:

• è la lunghezza di libera inflessione dell’asta, colonna, pilastro (dipendente dalle condizioni di vincolo adottate);

• è il raggio di inerzia minimo della sezione (dipendente dal tipo di profilato imposto o scelto).

Il raggio di inerzia è una particolare grandezza geometrica della sezione dell’elemento legata al momento d’inerzia e all’area della sezione. Essendo generalmente due gli assi di inerzia ( ) di una sezione, si definirà per ciascun asse d’inerzia:

. (Eq. 1‐25)

ALCUNE CONSIDERAZIONI GENERALI SULL’INSTABILITÀ. La lunghezza di libera inflessione di un’asta, come già anticipato, dipende dalle particolari condizioni di vincolo ai suoi estremi. In particolare, se una colonna è fissata con cerniere agli estremi, si instabilizzerà assumendo una deformata che coinvolgerà l’intera sua lunghezza effettiva: . Viceversa, se una colonna è vincolata con incastro a tutte e due le estremità, la lunghezza libera di inflessione sarà pari a perché, in virtù della simmetria geometrica e di carico-vincolo, se si impone una

(1.1) Si approfitta per evidenziare che, per alcuni materiali (ad esempio, profilati metallici e colonne in legno) non sem-

pre è possibile sapere con estrema certezza come un’asta risulti realmente vincolata ai suoi estremi (potendo analoghe ti-

pologie di connessioni alle estremità presentare un comportamento diverso dipendente dalla particolare disposizione o

proporzione tra le parti che la costituiscono). Una piastra bullonata al piede di una colonna tramite tirafondi, ad esempio,

potrebbe comunque non estrinsecare un vincolo di incastro perfetto, se le dimensioni o gli spessori delle lamiere non sod-

disfano particolari requisiti di resistenza e deformabilità.

Leff 6 min b H;

6 203 mm 1218 mm 1 2 m=

Importante

L0

SRL0

r-----=

L0

r

J Ax y;

rxJxA---- ry

JyA----= =

✍

L0 Leff=L0 0 5 Leff=



curvatura spanciata in mezzeria si dovranno formare due punti di flesso (cerniere interne), simmetrici anch’essi, per riportare le sezioni all’incastro con rotazione nulla. Dovendo, in particolare, aspettarci una deformata simmetrica rispetto alla mezzeria, le cerniere interne si dovranno posizionare (in virtù delle suddette simmetrie) a 1/4 della luce a partire da ciascuna sezione di incastro (schema A in fig. 1.14). Come si può osservare nella figura 1.14, facendo riferimento all’assetto base (asta incernierata agli estremi: schema C), le diverse configurazioni di vincolo sono riportate in ordine di pericolosità crescente all’instabilità: la situazione assunta come più sfavorevole è quella di mensola (schema D)(1.1); mentre la situazione più “ottimistica” è relativa allo schema A. In particolare, preso come riferimento il valore del carico critico di Eulero per il caso di asta incernierata agli estremi , si sono espressi i relativi valori dei carichi critici delle altre configurazioni di vincolo in funzione del loro rapporto con il

(1.1) In alcune situazioni, ad esempio nel caso di telai “a nodi spostabili”, la lunghezza libera di inflessione nelle colonne

può superare il valore di 2 (relativo al vincolo di mensola). In figura 1.14 sono stati, infatti, riportati degli schemi di rife-

rimento, di natura teorica, per evidenziare l’influenza della scelta dei vincoli sul valore del carico critico di una semplice

asta rettilinea.

Figura 1.14 Lunghezze di libera inflessione di un’asta soggetta a compressione e vincolata diversamente.

NCR



suddetto valore . In particolare, posto per convenzione per la condizione di asta di lunghezza reale e incernierata agli estremi (con ):

,

si ha:

• condizione di vincolo con entrambe le estremità incastrate:

; con

• condizione di vincolo con incastro-cerniera:

; con

• condizione di mensola:

; con .

L’ultima condizione di vincolo è stata estrapolata dal caso di un’asta incernierata agli estremi di lunghezza (efficace) pari proprio al doppio di quello di mensola reale. Si ritorna in questo modo alla nativa configurazione di asta incernierata agli estremi (di lunghezza efficace pari a . In questa configurazione, considerata la simmetria del carico e della relativa reazione verticale , la sezione di mezzeria si deve deformare mantenendo una rotazione nulla rispetto alla configurazione indeformata (verticale). In questo punto, in base anche a considerazioni intuitive fatte precedentemente, il valore del momento flettente deve essere massimo (punto di massimo con ) e pertanto lì la sollecitazione tagliante deve annullarsi ( ):

.

Questo significa che, considerando dell’asta incernierata di lunghezza la sua metà (dalla sezione di incastro in mezzeria fino al punto di applicazione del carico), si considera in realtà anche il comportamento del tratto di mensola (fittizia) al suo interno, dove notoriamente il vincolo alla base è un incastro. Pertanto, in un’asta incernierata agli estremi, in cui la disposizione dei carichi esterni siano tali da indurre un momento massimo in mezzeria, è sempre estrapolabile una mensola di metà lunghezza con sezione di incastro proprio sulla sezione di mezzeria dell’asta più grande. In fase di progettazione o verifica, le prime due condizioni di vincolo (incastro-incastro e incastro-cerniera) devono essere valutati con estrema attenzione, per il fatto che la condizione di incastro perfetto, almeno per le strutture metalliche, è difficilmente realizzabile nella pratica: i valori delle relative lunghezze libere di inflessione dovrebbero quindi essere opportunamente ridotte. Ad esempio, se si volesse verificare all’instabilità le due colonne alte di un semplice portale in acciaio con traverso supposto

NCRL Leff= n 1=

NCR NCRC 2EJ

Leff2

------------= =

NCRA

4 NCR= L0 0 5 Leff=

NCRB

2 04 NCR= L0 0 7 Leff=

NCRD

0 25 NCR= L0 2 Leff=

2LN N–

dM dz 0=V 0=

V dMdz-------- 0= =

Leff 2L=L

L



infinitamente rigido, un frettoloso giudizio porterebbe a considerare ciascuna colonna incastrata al piede e incastrata anche al traverso (considerando quindi

) e a dedurre un carico critico 4 volte maggiore di . In realtà, però, pur ipotizzando l’incastro perfetto, in testa a al piede delle colonne, nulla potrebbe impedire al traverso rigido di muoversi (spostando la testa delle colonne), inducendo un cambio di concavità nelle colonne e creando così una cerniera interna a metà altezza ( ). La singola colonna potrebbe, in altre parole, conglobare in sè almeno due tronchi di mensola, come nello schema D di figura 1.14, con lunghezza libera di inflessione . È infatti quasi la norma, per telai in acciaio “a nodi spostabili” a due colonne e un traverso, che la lunghezza libera di inflessione possa raggiungere valori attorno a

. Da quanto detto si comprende chiaramente come un’errata valutazione del comportamento della struttura sotto i carichi esterni (oppure la valutazione erronea sull’efficienza effettiva di un vincolo esterno), soprattutto per le strutture deformabili come l’acciaio e il legno, possono far credere che le colonne siano da considerare comunque incastrate in testa e al piede, magari perché ci possono essere delle rigide connessioni in testa alla colonna con gli estremi del traverso. La conseguenza potrebbe essere disastrosa perché il carico critico reale in tal caso sarebbe sovrastimato di ben 4 volte.(1.1) Riguardo al carico critico di Eulero rimane il fatto che il suo valore:

non dipende affatto dalla resistenza del materiale. Questo significa che, per aste relativamente molto snelle (dove i problemi sono legati più all’instabilità che non alla mera resistenza), per ridurre il valore teorico del carico critico è necessario aumentare le caratteristiche di resistenza geometriche della sezione (aumentando ), stante le ipotesi di vincolo adottate.

DETERMINAZIONE ANALITICA DEL CARICO CRITICO. Si consideri un’asta, vincolata con cerniere alle due estremità e soggetta a una forza assiale pari a di compressione. Si supponga che l’asta sia in una condizione di equilibrio indifferente con una certa deformata (ad esempio, la configurazione C di fig. 1.14). In questa condizione, si deve avere evidentemente uguaglianza tra momento esterno e momento interno resistente. L’equazione della linea elastica è come noto dalla Scienza delle Costruzioni:

. (Eq. 1‐26)

Stante le condizioni al contorno per un’asta incernierata agli estremi, detto con il quadrato di “A” il rapporto:

(1.1) È opportuno notare che, per valutare esattamente la lunghezza libera di inflessione dei pilastri in un telaio generico

anche a più piani, esistono opportuni grafici (detti nomogrammi) che permettono di risalire ai moltiplicatori effettivi della

lunghezza di libera inflessione in funzione di opportuni rapporti dipendenti dalle rigidezze flessionali delle colonne e del-

le travi e in funzione del tipo stesso di telaio (a “nodi spostabili” o a “nodi fissi”).

L0 0 5 L= NCR

L 2 LL 2

L0 2 L 2 L=

L0 2 5 2 6 L=

Importante

NCR2EJL02

------------=

fy

J

✍N

MEJ------– d2

dz2--------- = =



, (Eq. 1‐27)

l’equazione della linea elastica assume la forma:

, (Eq. 1‐28)

dove è la freccia massima in mezzeria ; perché il massimo valore di si ha per e cioè per e per . Per deve essere , quindi . Quest’ultima condizione è soddisfatta se l’asta rimane rettilinea (soluzione banale con ) oppure se

, cioè se risulta:

con numero intero. In particolare per si ha e , per cui risulta:

. (Eq. 1‐29)

Unendo le due espressioni nelle eq. 1-27 e 1-29, con la condizione , si ottiene:

, (Eq. 1‐30)

A2 NEJ------=

Figura 1.15 Schema deformato del telaio “a nodi spostabili”, equilibrio di forze su colonna deformata.

z max Az sin=

max max L 2 = z z sin 1= Az 2= z L 2= z L=

0= 0 max AL sin= z 0=

AL sin 0=

L n =

n n 1= AL = N NCR=

A2 2

L2-----=

N NCR=

2

L2----- A2

NCREJ

---------- = = NCR 2EJL2

------------=



ovvero il carico critico determinato da Eulero.

Il carico critico , per le ipotesi assunte e per come è stato determinato, dovrebbe rappresentare un limite a cui si tende asintoticamente. Pertanto, il carico critico reale sarà sempre inferiore a quello teorico di Eulero in quanto le ipotesi relative all’asta perfetta non potranno mai essere soddisfatte. L’approccio teorico del problema risulta importante per indagare e meglio comprendere alcune situazioni reali che si approssimano qualitativamente al modello matematico.

ESEMPIO 1-I

Dati: Determinare il carico critico Euleriano per le colonne di un telaio supposto con traverso infinitamente rigido (fig. 1.15). Si supponga che il carico distribuito (pesi propri, permanenti portati e variabili di esercizio) possa schematizzarsi come due forze concentrate uguali di intensità agenti in asse alle colonne.

Soluzione: In virtù delle ipotesi sulla rigidezza del traverso, il telaio si deforma secondo lo schema qualitativo in figura 1.15: il telaio è quindi “a nodi spostabili”. Se con si indica il momento di vincolo agli incastri, in una generica sezione a quota z dallo spiccato (momento esterno complessivo agente pari a M(z)) si ha:

.

L’equazione della linea elastica della colonna è (si veda eq. 1‐26):

,

avendo disposto:

, .

L’integrale generale dell’equazione differenziale è:

.

Le condizioni al contorno impongono che: per z = 0 (allo spiccato) sia e , da cui si deduce che e . Per cui, sostituendo si ha:

.

Per z = L si ha (incastro con ritto infinitamente rigido: no rotazioni) e quindi è:

Le conclusioni a cui si è pervenuti non sono ovviamente verificate nella realtà, perché le ipotesi adottate (asta perfettamente rettilinea, sezione costante, carico

perfettamente centrato, materiale omogeneo e illimitatamente elastico) non sono praticamente realizzabili.

NCR

N

Mi 0

M z N z Mi–=

z NEJ------– z

Mi

EJ------+ a2– z c+= =

a2 NEJ------= c

Mi

EJ------=

z t1 az sin t2 az cos ca2----+ +=

0= 0=t1 0= t2 c a2–=

z ca2---- 1 az cos– =

0=



.

Quest’ultima equazione è soddisfatta per (soluzione banale di trave rettilinea) oppure per , quando:

.

Ricordando la posizione fatta inizialmente di e assumendo la configurazione di fig. 1.15 come critica ( ), si deduce la relazione:

.

Come si vede dall’espressione del carico critico, la lunghezza di libera inflessione in questo caso è pari alla lunghezza effettiva della colonna .

Se erroneamente si fosse concluso che ciascuna colonna è vincolata con incastro sia al piede che in testa con il traverso, si sarebbe condotta la verifica all’instabilità assumendo un carico critico euleriano quattro volte maggiore a quello teorico (esatto) calcolato

Fine-esempio

dall’equazione della linea elastica: ; con .

ALCUNE FORMULAZIONI DI VERIFICA ALL’INSTABILITÀ. In questa prima parte introduttiva, vengono riportati alcuni esempi che sfruttano semplici formulazioni di progetto e verifica all’instabilità di elementi prevalentemente soggetti a intense sollecitazioni di compressione (tra cui quelle per le colonne d’acciaio, riportate nelle specifiche dell’American Institute of Steel Construction - AISC)(1.1). Si è scelto, in particolare, di riportare alcune spedite procedure basate sul concetto di sforzo assiale ammissibile(1.2).

ESEMPIO 1-J

Dati: Un pilastro di lunghezza effettiva è previsto a sezione quadrata ed è da realizzarsi in legno di abete Douglas ( e

(1.3)). Utilizzando un coefficiente di sicurezza CS = 2,5 nel calcolo del carico critico di Eulero per l’instabilità, stimare le dimensioni minime della sezione se il pilastro deve sostenere: (caso 1) un carico (nominale) di o (caso 2) un carico (nominale) di .

Soluzione: (Caso 1). Utilizzando il coefficiente di sicurezza imposto:

0ca2---- a aL sin =

c a2 0=aL sin 0=

aL a2 2

L2-----= =

a2 N EJ =N NCR

2

L2----- a2

NEJ------

cr

NCREJ

---------- NCR 2EJL2

------------= = = =

L0 L=

(1.1) In particolare, accennando qui brevemente, in questa sezione del manuale, a formule di predimensionamento e ve-

rifica, si è voluto fare riferimento, a puro titolo informativo e curiosità, ad una delle versioni del “Manual of Steel Con-

struction” dell’American Institute of Steel Construction.

(1.2) Metodo ASD (Allowable Strength Design).

NCRA

4 NCR= L0 0 5 L=

✍

(1.3) Tensione ammissibile per compressione parallela alle venature.

L 2 50 m=E 13 GPa 1300 kN cm2= =

adm // 12 MPa=

N 100 kN=N 200 kN=



.

Dalla formula di Eulero (relativa a ), si ricava:

.

Per una sezione quadrata, si calcola la dimensione che assicura dall’instabilità:

.

Verificando infine le tensioni del materiale:

.

Dato che la tensione è inferiore a quella ammissibile, la sezione scelta è idonea ad un primo proporzionamento della struttura.

(Caso2). Utilizzando il coefficiente di sicurezza imposto:

.

Ragionando in maniera analoga, si ottiene:

.

.

.

ESEMPIO 1-K

Dati: Un pilastro in alluminio ( ) ha una lunghezza e deve portare una carico nominale centrato di circa . È prevista una sezione rettangolare piena . I vincoli di estremità del pilastro consentono uno schema di mensola per inflessione attorno all’asse d’inerzia forte x‐x (asse neutro alla direzione della dimensione maggiore ) e uno schema di trave incernierata agli estremi attorno all’asse d’inerzia debole y‐y (asse neutro alla direzione della dimensione minore ). Determinare il rapporto che ottimizza la resistenza all’instabilità del pilastro, assumendo un fattore di sicurezza all’instabilità di almeno 2,5 sul carico nominale.

Soluzione: Rapporto di snellezza (eq. 1‐24 a pag. 34) instabilità attorno asse x‐x ( ):

.

Rapporto di snellezza instabilità attorno asse y‐y ( ):

NCR 2 5 100 kN 250 kN= =

n 1=

JNCRL2

2E---------------- 250 2 5 102 2

2 1300 ------------------------------------------- 1218 cm4= = =

J a4

12------ 1218 cm4 a 12 1218 4 11 cm= = = =

NA---- 100 103

1102--------------------- 8 3 MPa adm // 12 MPa== = =

NCR 2 5 200 kN 500 kN= =

JNCRL2

2E---------------- 500 2 5 102 2

2 1300 ------------------------------------------- 2436 cm4= = =

J a4

12------ 2436 cm4 a 12 2436 4 13 cm= = = =

NA---- 200 103

1302--------------------- 11 8 MPa adm // 12 MPa== = =

E 70 GPa 7000 kN cm2= = L 5 50 m=N 25 kN=

H b

H b

b H

L0 2L=

SRx x–L0

rx----- 2L

JxA----

--------- 2L

112------bH3

bH----------------

--------------------- 2L

b 12-----------------= = = =

L0 L=



.

La condizione ottimale è, ovviamente, quella che rende uguali i due rapporti di snellezza:

.

In altri termini, in virtù del rapporto precedente:

.

L’area della sezione (minima) è: . Ora, utilizzando il coefficiente di sicurezza imposto per l’instabilità (CS = 2,5):

.

La tensione critica di Eulero è dunque (in funzione della sola dimensione ):

.

D’altronde, dall’espressione del carico critico di Eulero (per ), in termini di tensioni:

.

Uguagliando le due ultime espressioni di , si ottiene l’equazione:

.

Risolta in funzione di (espressa implicitamente in termini di millimetri), si ottiene:

.

Fine-esempio

La sezione adottata come primo proporzionamento è dunque b x H = 90 mm x 180 mm.

CARICO ASSIALE ECCENTRICO: FORMULA DELLA SECANTE. In questa piccola parte, si ritiene utile accennare ad una formulazione utilizzata quando il carico assiale non è centrato. Se si indica con l’eccentricità del carico agente, cioè la distanza tra la retta d’azione del carico e l’asse della colonna o pilastro, l’elemento è cimentato da un’azione assiale centrata sull’asse e da una coppia flettente di intensità . Al crescere del carico cresce anche il valore della coppia

, aumenta l’inflessione ( ) e aumenta anche la componente flettente dovuta agli effetti del II ordine: . Infatti, in una generica sezione a quota z dallo spiccato di un’asta (supposta incernierata agli estremi), agisce la sollecitazione flettente complessiva di intensità:

,

SRy y–L0

ry----- L

H 12------------------= =

2L

b 12----------------- L

H 12------------------=

H 2b=

bH---- 1

2---=

A b H 0 5H H 0 5H2= = =

NCR 2 5 25 kN 62 5 kN= =

b H

CRNCRA

----------62 5 103

2b2------------------------ MPa= =

n 1=

CR2E

L0

rx-----

2

----------------- 2E

2Lrx-------

2------------------ 2E

SRx x– 2----------------------- 2E

2L

b 12-----------------

2----------------------------= = = =

CR

2E

2L

b 12-----------------

2---------------------------- 62 5 103

2b2------------------------=

b

b 62 5 103 24L22E

----------------------------------------------462 5 103 24 5500 2

2 70 103 ---------------------------------------------------------------4 90 mm= =

✍e 0N

M N e= NM z 0

N z

M z N e z + =



essendo la deformata dovuto allo spanciamento dell’asta sotto carico. In virtù dell’eq. 1-26:

sostituendo l’espressione di , si ottiene l’equazione differenziale della linea elastica:

. (Eq. 1‐31)

Fissata per comodità la posizione:

,

si ottiene l’equazione differenziale:

. (Eq. 1‐32)

Trattando il caso di asta incernierata agli estremi , il carico critico euleriano per è:

.

La soluzione dell’eq. 1-32 porta alle due interessanti espressioni:

, (Eq. 1‐33)

, (Eq. 1‐34)

avendo indicato con la massima distanza delle fibre compresse dall’asse neutro della sezione, in condizioni di flessione semplice retta.

Operativamente, queste due ultime espressioni rimangono valide qualunque siano i vincoli imposti alle estremità dell’asta, a patto ovviamente di considerare il relativo valore del carico critico . È da osservare che, nell’espressione 1-34, la massima tensione nelle fibre non varia linearmente con il carico assiale e che di conseguenza non è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti per la determinazione degli sforzi dovuti alla simultanea applicazione di più carichi. È necessario invece determinare il carico risultante e ricavare il corrispondente sforzo tramite l’eq. 1-34, appunto. Infine, esprimendo in funzione direttamente della lunghezza di libera inflessione dell’asta:

z 0

MEJ------– d2

dz2--------- = =

M z

d2dz2--------- M

EJ------– N e z +

EJ----------------------------------–= =

C NEJ------=

d2 z dz2

----------------- C2 z + C2e–=

L0 L=n 1=

NCR2EJL2

------------=

max e 2---NadmNCR------------

sec 1–=

maxNA---- 1

e ymaxr2

----------------- 2--- NNCR----------

sec+=

ymax

Importante

NCRmax N



. (Eq. 1‐35)

Quest’ultima equazione è nota col nome di “formula della secante” e definisce la forza per unità di area corrispondente a un dato sforzo massimo in un elemento pressoinflesso con un dato rapporto di snellezza e lunghezza libera di inflessione . L’equazione 1-35 è di tipo trascendentale: apparendo

in entrambi i membri, è necessario risolverla per tentativi. È interessante osservare che, per piccoli valori del rapporto di snellezza:

la secante si approssima al valore unitario. Pertanto, si ritorna all’espressione della pressoflessione (si veda l’eq. 1-11 a pag. 23):

. (Eq. 1‐36)

ESEMPIO 1-L

Dati: Un pilastro di altezza effettiva e di sezione tubolare quadrata (si vedano dettagli in figura 1.16) sia considerato vincolato a mensola ( ). Si stimi il massimo carico nominale dedotto applicando un coefficiente di sicurezza CS = 2,5 sul carico critico di Eulero corrispondente. Ipotizzando che il massimo carico nominale sia applicato con un’eccentricità pari al 20% della dimensione massima della sezione, determinare il massimo spostamento dell’estremità libera della mensola e il massimo sforzo nelle fibre più compresse della sezione. Si consideri: , ,

e . La massima tensione imposta sia .

Soluzione: Lo schema di vincolo è quello di mensola. Il carico critico euleriano per è:

.

Con un fattore di sicurezza CS = 2,5 si ricava (per ):

, .

L’inverso del coefficiente di sicurezza fissato (CS = 2,5) coincide con il rapporto . L’eccentricità si calcola (per ipotesi) pari al 20% della

dimensione maggiore della sezione trasversale:

.

Utilizzando l’eq. 1‐33 e sostituendo i valori numerici, si calcola il massimo spostamento dell’estremità libera della mensola:

NA----

max

1e ymaxr2

----------------- 12--- NEA--------

L0

r-----

sec+

------------------------------------------------------------------------------------=

Formulasecante N A max

SR L0 r=L0

N A

SRL0

r-----=

NA----

max

1e ymaxr2

-----------------+ --------------------------------- max

NA---- 1

e ymaxr2

-----------------+

L 3 0 m=L0 2L=

Nadm

E 200 GPa 2 0 105 MPa= = A 2400 mm2=J 3 5 106 mm4= r 38 19 mm= adm 130 MPa=

n 1=

NCR2EJ2L 2

-------------- 2 2 0 105 3 5 106 103 2 3 0 103 2

--------------------------------------------------------------- 192 kN= = =

A 2400 mm2=

NadmNCRCS---------- 192

2 5--------- 76 8 kN= = =

NadmA

------------ 76 8 1032400

------------------------ 32 MPa= =

Nadm NCR 76 8 192 1 2 5= =

e 0 2 max b H; 0 2 100 mm 20 mm= = =



,

avendo considerato che . Lo spostamento orizzontale in testa alla colonna è pari a L/176 e andrà verificato che non comprometta l’esercizio dell’intera struttura. Il massimo sforzo normale in condizioni di pressoflessione si calcola secondo l’eq. 1-34:

.

Sostituendo i valori numerici:

.

Risultando anche il precalcolo della colonna si considera soddisfacente sia dal punto di vista della non instabilità sia dal punto di vista della resistenza del materiale alla pressoflessione.

ESEMPIO 1-M

Dati: Sia data una colonna in acciaio di sezione S100 x 11.5 (profilato americano tipo S). Assumendo una tensione resistente di e un modulo elastico , verificare la massima lunghezza effettiva che può avere la colonna se si adotta lo schema di cerniere agli estremi, con carico assiale (nominale) pari a .

Soluzione: In questa sezione introduttiva, si è ritenuto utile e istruttivo utilizzare alcune formule di verifica, relative al metodo ASD (Allowable Strength Design), riportate in una versione dell’AISC Manual of Steel Construction. Il profilato scelto ha le seguenti caratteristiche:

, , .

max e 2---NadmNCR------------

sec 1– 20

2 2 5 --------------------

sec 1– 20 0 832 17 mm= = =

sec 1 cos=

maxNadmA

------------ 1e ymaxr2

----------------- 2---NadmNCR------------

sec+ 32 120 5038 19 2

----------------------

2 2 5 --------------------

sec+= =

Figura 1.16 Caratteristiche geometriche sezione tubolare in acciaio.

max 32 120 5038 19 2

----------------------

2 2 5 --------------------

sec+ 32 1 0 686 0 832+ 32 1 57 51 MPa= = = =

max adm 130 MPa=

y 290 MPa= E 200 GPa=L

N 60 kN=

A 1452 mm2= rx 41 6 mm= ry 14 75 mm=



Nelle specifiche dell’AISC si esprime in funzione del rapporto di snellezza , tramite l’introduzione di un fattore di sicurezza FS dipendente dal tipo di

pilastro/colonna (snella o tozza). In particolare, definito il parametro:

,

se risulta si utilizza la formula con fattore di sicurezza implicito di FS = 1,92:

,

dove il rapporto non dovrebbe eccedere il valore 200. Altrimenti, se risulta , si utilizza la formula:

,

con il fattore di sicurezza FS che assume la forma:

.

Per ipotesi, si conosce il valore della tensione di snervamento . Per cui:

.

admSR L r=

Cc222Ey

------------=

L r Cc

adm122E

23 Lr---

2

-------------------------=

SR L r=L r Cc

admyFS------- 1

12---

L rCc

--------- 2+=

Figura 1.17 Colonna supposta incernierata agli estremi, sezione tipo S 100 x 11.5 (profilato americano).

FS 53--- 3

8--- L rCc

--------- 1

8--- L rCc

--------- 3–+=

y 290 MPa=

Cc222Ey

------------ 22 200 103 290

----------------------------------- 13 61 103 Cc 116 7= = = =



Si impone una tensione di lavoro agente pari a quella dovuta alla sollecitazione di compressione:

.

Assumendo a priori (successivamente quindi da verificare), si uguaglia la tensione all’espressione fornita:

,

ricavando il relativo valore di :

.

Utilizzando il valore minore dei raggi giratori di inerzia ( ), si ricava l’altezza effettiva massima della colonna (vincolo cerniera‐cerniera: ):

.

Risultando infine , l’assunzione fatta a priori è corretta come

Fine-esempio

anche l’utilizzo della relativa formula.

admNA---- 60 103

1452------------------ 41 3 MPa y 290 MPa= = = =

L r Ccadm

adm122E

23 Lr---

2

------------------------- 41 3 122 200 103

23 Lr---

2

--------------------------------------= =

SR L r=

Lr---

2

24927 Lr--- 157 9 200= =

ry 14 75 mm=L0 L=

Lry---- L

14 75--------------- 157 9 L 157 9 14 75

103-------------------------------------------- 2 30 m= = = =

L ry 157 9= Cc 116 7=



1.4 Riferimenti bibliografici [Sezione 1]

ACI Committe 318, 2011, ACI 318-11, Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary

American Institute of Steel Construction, Manual of Steel Construction, 9a ed., New York, 1989

BS 6399-1: 1996, Loading for buildings. Code of practice for dead and imposed loads

BS 648: 1964, Schedule of weights of building materials

Carlo Sigmund, Calcolo semplificato agli stati limite, Dario Flaccovio Editore, 2010

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnston Jr., Mechanics of Materials, 2/E in SI Units; McGraw-Hill Inc., 1992

Institution of Structural Engineers, Manual for the Design of Steelwork Building Structures, 1989

The Steel Construction Institute, The British Constructional Steelwork Association Limited, Steelwork Design Guide to BS 5950-1:2000, volume 1 Section Properties Member Capacities

Trevor Draycott, Structural Elements Design Manual, Butterworth Heinemann, 1999.

Documents

British Standards 1