226
Savremena racunska t.ehnika i primena Knjiga 5 Koriolan Gil.e.zan Bosko Latinovic BULOVA ALGEBRA 1 PRIMENE BEOGRAD 1977

Bulova algebra i primene

Embed Size (px)

Citation preview

  • MATEMATI~KI INSITUT

    Savremena racunska t.ehnika i primena

    Knjiga 5

    Koriolan Gil.e.zan Bosko Latinovic

    BULOVA ALGEBRA 1 PRIMENE

    BEOGRAD

    1977

  • Rccezer}ti: Slavi~a Presi~, dr NedelJKo Parezanovi~, 3vetozar ~ilid

    Primljeno za ;tampu sednici Redakcionog odbora od 3. 1~7). ~Qdine.

    ;' interesna zajednica n~cn; rad Vojvodine u~estvovala u tro~kovima izdavanJa ~utlikacije. .

    e;enJ~ ~epubli~kog sekretariJata za kulturu publikaciJs oslobodJena poreza .

  • R D G V R

    Re~enja mnogih m u raznim naucnim discip1inama,

    sebno u matematici, tehnici, ekonomiji, sociologiji i med1cini

    m se prevesti "da 11i n", odnosno "1 i1i ". Ova ci-

    njenica , pored 'osta1og, pospe~i1a razvoj e1ektronike i digi-

    talne tehnike, tim i Bu10ve a1gebre, posebno Bu10ve 1

    skupu {, 1 } .

    Danas se u svetu raznim jezicima Bu1ovoj 1! i

    njenim primenama mnogo pi~e. 1 nm jeziku takodje se pi~e

    Bulovoj algebr~ i njenim primenama, ali su retke knjige koje

    jednom mestu, sistematizovano, tretiraju ovaj problem. Autori se

    nadaju da ova knjiga, donek1e popun1ti ovu prazninu.

    Knjiga nmnn studentima, ekonom1stima, in!enjerima,

    matematicarima i sirem krugu citalaca ! se interesuju za

    Bulovu a1gebru i koris.te praksi.

    Knjiga sadrzi deset g1ava. U prvoj glavi govori se 1

    voj algebri jednoj algebarskoj strukturi proizvo1jnom

    nepraznom skupu. Od.druge do seste glave govori posebno

    lovoj algebr1 skupu {0,1} (dvoc1ana Bulova algebra), gde

    obradjuju Bulove funkcije 1 Bu10ve jednacine. od sedme do desete

    g1ave govori se onek1m primenaIJ\a dvoclane Bulove algebre.

    u svakoj ~lavi posebno su numer1sane def1n1c1je, teoreme,

    slike, formule, pr1meri 1 zadaci.

    Na kraju knjige navodi se spisak koriscene literature. Na-

    glasavamo da smo pisanju ove knjige kao osnovnu lite.raturu

    ze1i radove akademikaGr.C. Mo1sila i prof. S. Rudeanua.

    Rukopis ove knjige su akadem1k Dr . 5to.j.akovic,

    Dr 5.. Presic, Dr N. Parez~novic, S. Milic i Mr R. Tosic. Na

    nj1hovim sugestijama 1 pr1medbama autori se zahvaljuju. Takodje

    se zahvaljujemo asistentima . Ses1ij1 i Mr . Vojvodicu Koji

    su procitali neke g1ave knjige.

    Primedbe strucnu i11 metodsku stranu 1z1aganja autor1

    pr1m1t1 sa zahva1noscu.

    Autori

  • --

  • S D R Z

    Strana

    GLAVA 1 BULOVA ALGEBRA .......................... 1

    1. Definicija Bulove algebre................... 1

    2. Modeli Bulove algebre....................... 2

    3. Neke vaznije teoreme Bulove algebre......... 8

    4. Binarne relacije ~ i ~" Bulovoj algebri.. 13

    5. Ideali. Filtri. Podalgebre.................. 17

    6. Zadaci...................................... 22

    GLAVA II BULOVA ALGEBRA SKUPA {,l} . 28

    1. Bulov izraz................................. 29

    2. Forme Bu10vih izraza........................ 31

    . Neke teoreme normalnim formama............ 34

    4. Zada

  • GLAVA I

    GLAVA VII

    .Gllczan - 8. Latillovlc

    Strana

    3. Primena matrice Vajt-Karnaufa.............. 98

    4. Proste implikante.......................... 106

    5. Metoda Kvajn-Mak Klaskog .............. 110

    6. Zadaci..................................... 115

    FUNKCIJE LUASIJEVltA ISEFERA ...... 117

    1. Definicija funkcija Lukivi6 i Sefera . 117

    2. Neka svojstva funkcija Lukaljevi6a i

    sefera..................................... 120

    3. zadacl .................. "........... 125

    BULOVE ATRICE................................ 130

    1. Definicija Bulove matrice .. 130

    2. Sistem alternattvnih jednacina ... 136

    . Bulove matrice i grafovi ...... 137

    4. Zadaci ................ " 140

    GLAVA VIII SEE SA DlREKTNOM KOANDOM ........ 142

    1. Elementi relejno-kontaktne ... 142

    2. Strukturna formula i funkctja rada dipola

    klase ................................... 145

    3. Inverzna !lema.............................. 148

    4. Funkcionalna ekvivalentnost dipola ... 149

    5. Minimizacija !leme.......................... 154

    6. Seme kontaktima i relejima .. 155

    7. Konstrukcija !leme zadatim uslovima .... 160

    8. Zadaci..................................... 163-

    GLAVA IX MULTIPOLI ................ '. . . . . . . 176

    1. Definicija l1....................... 176

    2. Strukturna matrica multipo~a ..... 178

    3. Funkcija provodljivo.;ti multipola .......... 179

    4. Eliminaclja cvorova u multipolu .. 184

    5. Zadaci..................................... 187

  • JJl1lova algcbra

    Strana

    GLAVA TRANZISTORI. 193

    1. Promenljive pridruzene tranz1storu X ~ 194

    2. Serijsko vezivanje tranz1stora ...... 195

    3. Paralelno vezivanje tranzistora ...... 200

    BIBLIOGRAFIJA. 207

    INDEX POJMOVA ' :.............. 211

  • - ... ~_, ___ .. , .. "'~._ ...... I'_I ___ t ~" ~I '111 1 1

  • 1

    G L V I

    BULOVA ALGEBRA

    U g1avi I razrnatra specija1na a1gebarska struktura, tzv.

    BuZova aZgebra nepraznorn skupu dve binarne i jednorn unar-

    nrn operac1jorn. (George 1, eng1eski rnaternaticar 1815.-1864).

    Bu10va a1gebra rnoze def1nisati v1se nacina (videti [23], [55 i [57]). Ovde uvedena Bu10va a1gebra preko dve ekviva1e-

    ntne def1nicije. Pri dokaz1vanju teorerna krisn defi-

    niaija 1. U ovoj g1av1 , pored rnode1a 1 nekih vaznij1h teore-

    rn Bu10ve a1gebre, razrnatrane i neke binarne re1acije Bu10ve 1-

    gebre.

    1. DEFINICIJA BULOVE ALGEBRE

    Dat skup nrnn dva e1ernenta, u oznac1 1 I,

    korne 11 def1n1sane dve binarne operaaije, u oznac1 .1...1" 1 " ,i

    jedna unarna operaaija, u oznaci .-".

    Definiaija 1. Nao 8kupu definisana BuZova aZgebra ako

    8 . . Vaze 8 Zedede aksiome (zakoni. 8 stva) :

    ! komutativno8~i

    (i) avb = bv f1 () = '

    2 Svoj8tva asoaijativnosti

    (1) (avb)va = av(bya) () ()=()

    distributivnosti

    (1) av(b'a) = (a\...Jb)(ava) (~1) (bva) = '...I'

  • .Gi IClan - N.. 1 . ,. il'i4..:

    . Svojstva eLemenata 1

    (1) avO = (1.1) 1 = B s Svojstva negaciJe

    (1) ava = 1 (11) =.

    Bulovu algebru skupu operac1jama.' .v ". .-., kra-

    6 oznacavamo cetvorku (, v , . , - ). Elemenat obicno

    zovemo prvi eLement, element 1 posLednji eLement 1 ). Postoje 1 druge def1n1cije Bulove algebre su ekviva-

    lentne def1n1c1j1 1. Navodimo slede6u:

    Definicija 1'. Ako Bve ,, vaie aksiome (aakoni,

    sIJojstva):

    { (1) avb = tva (11) = '

    (1) (avb)v = v(bv ) (11) ( = .()

    ; (1) aV ( c)=(avbJ ( vc) (11) ' ()=(v ()

    ; (1) (. bJv (11) (avbJa

    ; (1) (aa)vb = (11) (aVa)b =

    tada kaiemo da i!etvorka (, v , . , - ) BuLova aLgebra.

    Za dokaz ekv1valentnost1 def1n1cbje 1. 1 def1n1cije 1: vi-

    deti [54. U daljem tekstu 1 6 se uglavnom poz1vat1 def in1ci-

    ju 1.

    2. MODELI BULOVE ALGEBRE

    ModeL 1. Dat skup Lz = {,l} . Uvedimo skupu Lz bi-narne operacije v i (zovemo ih redom disjunkcija 1 konjunk-ciJa) 1 unarnu operac1ju (zovemo negacija) slede61 na-

    c1n:

    1) Za termine prvi eLement. posLednji eLement videti teoremu 10.

    . Olle glave .

  • ,,\ 11\(.'\>1":1

    v v 1 1 1 vO 1 1 Vl 1

    00 01 10 11 1

    1 1

    111 pomo6u tabela

    v 1 1

    ~ 1 1 1 1 1 1 1

    Ovako def1n1sane operac1je skupu L 2 zadovoljavaju aks1-

    ome Bulove algebre 1z def1n1c1je 1., sto n1je tesko prover1t1.

    Dakle, data algebarska struktura skupu L2 predstavlja model

    Bulove algebre. Bulovu algebru skupu L2 zovemo d v ~ t - Butova a.tgtJbl'a 1 ozna~avamo (L2, v , , - ), (v1det1 [25],

    [42), [46] ).

    ModtJt 2. Dat neprazan skup U Neka part1t1vnom

    skupu P(U), P(U) = {xlx U} uo~ene binarne operac1je .v 1 .r"I" (un1ja 1 presek) 1 unarna operac1ja ~." (komplement).

    rac1je v , r"I 1 zadovoljavaju aks10me Bulove algebre 12:

    def1n1c1je 1. Na1me, ako su , 1 element1 skupa P(U), 1z te-

    or1je skupova (v1det1 []) poznato da !!:

    (1) AvB = BvA

    (2) (AvB)v = Av(BVC)

    () Av (BvC)c(AVB) v (AVC)

    (B~) Ao..vJ =

    ( 5 ) AvA-"'U

    r"lB = Br"lA

    ( 1"'\ ) r"lC = r"I(E r"lC)

    r"I (Br"I ) = (Ar"I ) r"I ( r"lC)

    AI"'\U =

    Ar"lA -.. 11

    OVde prv1 element prazan skup 11. , poslednj1 element

    skup U, data algebarska struktura skupu P(U) predstavlja

    model Bulove algebre u oznac1 ( (U) V , r"I, -).

    Mod.t . Matr1cu = [/] , / - 1, ,m '" 1,. ,n, gde / {,l} zovemoBulovamatr1caformata m,xn, (v1det1[25],

  • 4 .Gilezan - . Latil\ovlc

    [55

    Neka skup svih Bulovih matrlca formata m n. Uve-

    dimo skupu dve binarne operacije, u oznacl .+. i . i dnu unarnu operaclju u oznaci " slede6i nln:

    + ., [ ) = l 1.) i 1, , 1, , - [ = l ' Ij ] i 1, . , 1, .. ,

    .., [- 1 = l) i 1, , 1, . ,. Ovde u .~., ," 1 _-. operac1je skupa {0,1} lz modela 1.

    Na pr1mer, za Bulove matr1ce

    [: :]. ._[:: :] 1:

    1\..10]=[111]

    1\..11 1 1

    0\..11

    + [

    11.)

    01.) 1\..1

    1'0]=[0 ] 1'1 1 [

    1'

    0'0

    1

    1'0

    "[; : :].[: :]. Uvedene operae1je .+n, ., ' skupu zadovoljava)u

    aks10me Bulove algebre 1z d f 1 1 1 1. Za1sta:

    ( ) (1) + [/ ~ I] = ( 1 \..1 l ] + (11) = [ ']=[I )) ' 11 =

    ( 2) (1) ( + ) + = [( 1I \..1 )~ 111 [l} \..1 (1 1.) ) ]

    + ( + )

  • BLllova algcl,ra 5

    () ( ) [( cij]

    (lj . ( ) ( )

    () (i) + ( ) [ V ( )

    == [,(alj'V ) (/ V )]

    ( +) ( + )

    () ( + ) ( (b/jv ) }

    [( /) ) V ( )] ( ) + ( )

    (~) (i) Prvi element skupa ulv matrica ciji

    '! elementi nule. Oznacimo = [ Prema om

    + = [ jJV [/] =

    (ii) Poslednji element skupa j~ ulv matrica

    ciji ! eiemen~i jedinice. Oznacimo I = [1) .Prema 0-

    I = [aij 1] [ =

    (s) (i) + ' [ V ] [ 11 I () ' [/} ] = [.

    Dakle, uvedene operacije " + " " " '" skupu , , zadovoljavaju ak~iome Bulove algebre iz d f i i i 1.

    i algebarska struktura skupu predstavlja model Bulove al-

    gebre u oznaci (, +, , ') . d . Z 4. Neka . neprazan skup. Funkciju f, koja

    definisana . skupu i ima vrednosti u skupu {0,1} , tj.

    f : ... {0,1}

    zovemo i v Z t tdvQvrednQsna). funkcija:

    Obelezimo L2M skup svih ovakvih bivalentnih funkcija

    ~kupu . Uvedimo skupu L2M binarne operacije .V, ."! ~nar-

  • ...

    6 .Gllczan - . Lallllovlc

    nu operac1ju - sld1 na~1n:

    (f V '1) () d f(x) V '1 ()

    (f 1\ '1) () ~ f () '1 () , _ d_.

    f () =.f () ,

    za 8vako , '1de 8U operac1je oV', 1 _. respek-

    t1vrio d1sjunkc1ja, konjunkc1ja 1 ne'1ac1ja skupu {,l} 1z m 0-

    d 1 1.

    Uvedene operac1je 8kupu LzM zadovoljavaju ak810me Bulo-ve al'1ebre 1z d f 1 1 1 1. Za1sta:

    (, )

    (1)

    (11)

    (1)

    (f V '1) () .. f () v '1 ()

    = '1() v f () .. ('1 V f) ()

    (f '1) () .. f () '1 ()

    '1() f(x)

    .. ('1 f) ()

    f v '1) V h) () .. (f () v '1 ( v h () - f () v ('1 () v (

    ./t V ('1 V ()

    (11) fl\ '1) h)()" (f(x)''1(x'h(x)

    (1)

    .. f(x)'('1(x)h(x

    (f ('1 ()

    (f V ('1 h() .. f(x) ('1().(

    .. (f () v '1 () ) (f () v h () )

    - 1(f V '1) (f V ()

    (11) (f (9 V () .. t () ('1 () v h (

    .. (f () '9 ( v (f () (

    .. f '1) V (f ()

  • HI.lova algclmt 7

    (B~) (1) Prv1 element skupa L 2 M bivalentna funkc1ja ~, gde za svak1 1z , ~(x) = . Prema ovome :

    (f 'V ~) () = f () v ~ () = f () v = f ()

    (11) PO'slednj1 element skupa L2M bivalentna funk-1 1, gde za svako 1z , I(x) = 1. Prema ovome :

    (f 1\ 1) () f(x) 'I(x) = f(X)'l = f(x).

    (5) (1)

    (11)

    (f V f> () f () v f () 1 = I(x)

    (f 1\ f> () = f () ffi) = ~(x)

    data algebarska

    struktura skupu L ~ predstavlja model Bulove algebre. Bulo-

    vu algebru skupu L2M zovemo: Bulova algebra bivaZentnih

    funkaija 1oznacavamo (L2M, V ,1\ , - ), (v1det1 [55] ).

    ModeZ 5. Neka skup 1skazan1h formula 1) . Pr1dru:Hmo svakoj 1skazanoj formu11 , , skup 1skazan1h ~ormula , ;

    gde q ( ekv1valentno sa ). OVaj skup zovemo

    k Z k v i v Z i 1skazane formule 1 0-

    bele~avamo sa [), tj.

    lp)a'f { I , q } . Neka / skup sv1h klasa ekv1valenc1je (skup kol1c-

    111k). Uved1mo skupu / dve binarne operac1je "V , 0'- (d1s-junkc1ju 1 konjunkc1ju) 1 unarnu operac1ju .-0 slede61 n-1n:

    [.), [ ] ., [ V q 1, gde V q d1sjunkc1ja 1skaza ,, [] . (] [ 1\ ], gde 1\ q konjunkc1ja 1skaza ,,

    - [ []=, -,], gde -, negac1ja1skaza .

    Prepuita se c1taocu da prov~r1 aks10me Bulove algebre 1z

    d f 1 1 1 1. za ovako uvedene operac1je skupu /

    tj. da ( / , V' , - ) model Bulove algebre (v1det1 [46 ) . I)Vidi: S.P~elid. EZementi mtmtik Zogik~. Beog~ad. 8.'

  • 8

    . NEE VA~NIJE TEOREE BULOVE ALGEBRE

    Navodimo sp1sak vazn1j1h teorema Bulove algebre (, v , . ,

    - ). Neke od nj1h zovemo i d t i t t i, (v1det1 [2} [55]).

    1 d t i t t i:

    1 (i) avb = bVa (11) ' = ' 2 (1) (avb)v = l..J (bv ) (11) (' ). = ' ( )

    , (1) av(bc)=(aVb)(avc) (11) a(b,Jc)=(ab)v(ac)

    . (i) avO = (ii) 1

    , (i) ava 1 (11) '

    6 (1) av = () 7 (1) avI 1 ()

    . (1) av(ab) = (11) (avb) = ( 1 ) V (;,. av (11) (av )

    JIO (1) (avb)v(;'b)= 1 (11) ( (avb) =

    JII (1) (avbJ(;'b)= (11) ( V(avb)= 1

    = (11) 1

    () : ;'vb

    r :

    1. Ako av% = 1 i % = onda % = .

    m 2. avb = ako i ako = = .

    . ' 1 ako i m ako = = 1.

    4. ' ako i ako = ili = .

    5. BuLovoj aLgebri postoji jedan prvi Lement.

    6. BuLovoj aLgebri postoji jeda .. pos.Lednji Le-

    ment.

  • 9

    Teorema 7. U Bulouoj algebri 8uaki element p08toji 8

    n element .

    Doka~1mo neke' od naveden1h ident1teta. Pr1 dokazu kor1st1-

    prinaip dual.no8ti u Bulovoj algebr1. Na1me,' u! svakog .1-

    dentiteta (teoreme) u Bulovoj algebr1 (, u, . , - ) ide7

    ntitet (teorema) * koj1 1zveden medjusobnom zamenom operac1-

    u l' kao 1 medjusobnom zamenom elemenata 1 1 u 1dent1-

    tetu . Tako primer, dual identiteta

    ()

    1dentitet (*)

    (1 U ) ( u )

    ( ) U ( 1)

    .

    1dentitetima Jk(i) spiska (1{"k

  • 10

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    (5)

    .Gllcz;1I1- . Lali";

    , (11) =

    = 1 (zakon , (11)

    = ( v ) (zakon 5 (1 .. ( ) v ( ) (zakon , (11 .. ( ) v O (zakon 5 (11 = . . (zakon ,(1.

    * ldent1tet1 ,(11) 1 ,(1) 8U dualn1, to je8t,J,(11) :; ,(1)

    i J:(i)= J,(1i). Iz dokaza 1dent1teta .(1) v1dimo da

    sled1ca ak810ma , (1), 5 (11), , (1), 5 (1) 1 , (11). Iz dokaza

    1dent1teta ,(11) v1dimo da po81ed1ca aks10ma ,(11),5(1),

    ,(11), 5(11) 1 ,(1). Dakle, 1dent1tet ,(11) po81ed1ca ak-

    * * * * * * 10 , (1), , (11), , (1), , (1) 1 , (11) jer , (1):; , (11) , * .. * * , (11) ", (1), (1) :: , (11), , (1) :: , (11) 1 , (11) :: , (1).

    u daljem tek8tu dokaza6emo neke 1dent1tete 801. sp18ka ~1-taocu o8tavljamo da obrazlo!1 dokaze nj1hov1h dualn1h 1dent1teta

    kor116enjem pr1nc1pa dualno8t1.

    Doka

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    , (11)

    = (

    ( )

    -= .

    . ..

    )

    (zakOn 8, (11

    (zakon 8. (11) )

    (1dent1tet ,(11

    (zakon 5(11.

    Ident1tet 7(1) posled1ca 8,(1),8.(1), ,(1) 1 ,(1) (kor1-

    8timo dualnost1).

    .(1) V ( ) = Doka8.

    (1 ) V ( ) 1 V ( ) (zakon , (11

  • (2)

    (3)

    (4)

    = (1 V = . 1

    =

    (zakon (11) )

    (1dent1tet 7(1

    (zakon B~ (11

    1dentitet' (11) posled1ca B~ (1), (1), 7 (11) 1 B~ (1).

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    Do1caz.

    ,(11)

    ( ) v (

    v ( )

    ( v

    =

    (zakon (11

    (zakon 5 (11

    (zakon l (1

    (zakon _ (1) )

    1dent1tet ,(1) posled1ca (1), 5(1), l(11) 1 _(11).

    l (1) ( v ) v ( . ) 1 Do1caz.

    (1) (avb) v(a.E):=avJy ) avb)vE) (zakon , (1

    (2) = (av (av.b ( v (bvE (zakon1 2(1)'l (1

    (3) =aVa)vb) (avI) (zakon1 2 (1),5(1

    (4) = (1v ) (av 1) (zakon 5 (1 (5) =(bV1) (avI) (zakon l (1

    (6) = 1 1 (1dent1tet 7(1

    (7) = 1 (1dent1tet ,(11.

    11

    Ident1tet l (11) posled1ca (11), 2 '(11) 1 l (), 2 (11)

    1 5 (11), 5 (11), l (11) 7 (11), , (1).

    (2 )

    (3)

    Do1call.

    ll(11) ( . ) v ( v ) 1

    (zakon l(1

    = vE) .,) avE) vb) (zakon , (1

    -(av(av; avb)vb) (zakon l )

  • 12 .Gllczan - . Lalilluvic

    (4) = aV a)v ) (av (bV (zakon 2 (1) )

    (5 ) =(IVb) (...,l) (zakon , :1) )

    (6) =(bVI) (avI) (zakon I (1

    (7) 1 1 (1dent1tet .1 7 (1) )

    (8) 1 (1dent1tet .1,(11.

    Ident1tet .111 (1) posled1ca l (11), (11), l (11),

    , (11), 81 (11), .17 (11) 1 , (1).

    Dokaz.

    (1 ) = (zakon ,(11 1

    (2) (ava) (zakon , (1) )

    (3) ( ) v ( ) (zakon 8,(11

    (4) ( a)v (zakon , (11

    (5) OV ( ) (zakon l (1

    (6) ( ) v ( ) (zakon1 85 (11) ,81 (11

    (7 ) = (ava) (zakon 8(11

    (8) = 1 (zakon 85 (1

    (9) = (zakon 8. (11.

    .11 3 (1) 1

    Dokaz.

    (1) OVO (zakon 8. (1

    (2) OvO (zakon 81 (1) )

    (3) 1 (zakon 85 (1.

    1dent1tet .111 (11) posled1ca 8. (11), 81 (11) 1 85 (11).

    dokaza11 1dent1tet .11.(1) prvo dokazat1 t.o-

    reu 1.

    -Ako aVx 1 1 onda = .

  • Bulova algebra 13

    Dk.

    (1) = 1 (zakon . ( (2) = (ava) (zakon Bs (1 (3) ( ) v(x ) (zakon (

    (4) ( ) v(a ) (zakon 1 (

    (5) v(a ) (pretpostavka '=)

    (6) ( x)VO (zakon 1 (1

    (7) ( ) v(a ) (zakon Bs (

    (8) = (xva) (zakon (

    (9) = 1 (pretpostavka avx=I) -(10) (zakon . (

    1. (1) :7 = - Dk.

    (1) (a.vb) v ( ) .. 1 (1dentitet 1 0(1

    (2) (a.vb) ( ) ~ (1dentitet 1 1 (1

    (3) \'avb = (pretpostavka) -(4) = (pretpostavka)

    (5) AvX = 1 (zamena (3) 1 (4) u (1)

    (6) . = . (za'mena (3) 1 (4) u (2) )

    (7) = (1z (5) 1 (6) teorem1 1)

    (8) av = (zamena (3) 1 (4) u (7)

    Za detalje dokaza osta11h teorema koj1 ovde n1 naveden1 videti

    [ 48), [55), [11].

    4. BINARNE RELACIJE < , ;. U BULOVOJ ALGEBRI

    Uved1mo u Bulovu algebru (B,v, , - ) binarnu relac1ju < (mn iZi jednako) sld1 n1n:

  • 14 .Gil7.'- .Llill"';.'

    Defini~ija 2. Za eLemente . ia kaiemo da

    ako i ako xvy = . To~a 8. < ako i ako = .

    < "

    Dokaz. Dokaza6emo prvo da 1z < pro1z1az1 . Za-

    1sta:

    (1) < (pretpostavka) (2) xVy (def1n1c1ja 2.)

    (3) = (1dent1tet =)

    (4) x{xvy) (zamena (2) u (3) )

    (5) = (1dent1tet . (11.

    Doka!lmo sada da 1z = prolz1azl ;;;; . Zalsta ,.

    (1 ) = (pretpostavka)

    (2) xvy XVy (ldentltet =)

    (3) xvy '" xYv (zamena (1) u (2

    (4) xvy vxy (komutaclja I (1

    (5) Xv (ldentltet ,(1

    () .;;; (def1nlclja ~.).

    l dokazall teoremu.

    To~a 9. ReLa~ija < ~ela~ija po~etka u Bulovoj aLgeb~i (. V. - . . 8vaki .", ia aadovoljava u8Love:

    (1) < . (11) ako < !I i !I .;;; onda = %~

    (111) ako < . i .;;; onda < . Dokall.

    (1) (1 ) xvx '" (1dentltet ,{l

    (2) < (deflnlc1ja 2.) (11) (1 ) .;;; i < (pretpostaVka)

    (2) xvy = 1 xvy '" (def1n1c1ja 2.)

  • 1I\ll\' al!(cl>ra 15

    (3) xvy 1 yvx=x (1dentitet l (1

    (4) = (tranz1t1vnost) (111) (1) < 1 < z (pretpostavka)

    (2) xvy = 1 yvz = z (def1n1c1ja 2.) (3) ( v ) v z = z (zamena 1z (2 (4) v ( v z) = z (asoc1jac1ja Jz(1 (5) xvz = z (pretpostavka) (6) .:;;. z (def1n1c1ja 2.).

    S11cno kao u def1n1c1j1 2. uvodimo binarnu relac1ju ~ (ve-

    Ui jednako).

    Definiaija 3. Za Zemente . ia kalemo :r: . .;;. V ako

    i ako = .

    Def1n1c1ja.2. 1 def1n1c1ja 3. su dualne.

    Uopite, neka teorema (def1n1c1ja, 1dent1tet) Bulove al-

    gebre (, v, , - ) u kojoj se pojavljuju 1 s1mbo11 ~ , ~ . Du-

    alna teorema (def1n1c1j~, 1dent1tet) * 1zvod1 se tako ito se -

    red medjusobne zamene s1mbola v 1 , 1 1 vri1 medjusobna

    zamena 1 simbola < 1 > . Neposredno pro1z11az1 da (*)* _ .

    Teorema 10. BuZovoj aZgebri ( v, . , - ) Bvaki vale BZedeca BvojBtva:

    (Tl) (1) :r:::y 1 V;;':r:Y

    ( 2 ) . (1) :: ako i ako :r:>

    () (1) ako :r:(;V n :r:vaV n :r:;;;"

    (T~) (1) :r: (5) (1) (; ako i ako :r:y =

    (11) :r:;;,V ako i ako :r:vy = 1

    .. i

  • 16 .Gi Iczan - . LcttiHovic

    ( ) (i) = ako i ako (xvy)' ( ) 1 (ii) = ako i ako = .

    Dua1na svojstva svojstvirna (Tk

    ) (i) (1";; k ";;6) su svojstva

    (T~) () i obrnuto, to jest, (Tt ) * (i) =' (.) () i (Tk ) * () =' (.)

    (i). Ostav1ja se ~itaocu da doka~e navedena svojstva.

    Primsr 1. U dvo~lanoj Bu1ovoj a1gebri ({,l}, , , -) iz

    m Jde1a 1.' postoj i binarna re1acija ~ (rnanje i1i jednako). Zai-

    sta " , "1, 1 " 1 jer V = , V 1 = 1, 1 v 1 = (zadovo1jena definicija 2.). Medjutim, nije > 1 niti 1 " .

    Primer 2. U skupovnoj Bu1ovoj a1gebri ( (U) , v, 'I, ') iz td1 2. postoje re1acije , ~ (relacija inkluzije). Za1sta

    neka , ~p (U). Tada

    ako i samo ako v ,

    ~ ako i ako 'I .

    Primer 3. U Bu1ovoj a1gebri (, + , , , ) iz modela 3.,

    gde skup Bu10vih rnatrica i

    ( ] t = 1, ... , , 1, .. , [ = 1,_ , ; 1, .. ,

    postoj i re1acija ~ data

    " ako i sao ako za svaki ,

    Tako primer, ako

    [: : :] - [: :], tada

    ,,;; jer + .

  • 5. IDEALI. FILTRI. DLGRE

    Definiaija 4. BuZovoj aZ(Jbl'i (, , , - )

    Bkup zovemo ideaZ (v1deti [57]) ako zadovo.ljena BvojBtva:

    (1) ,

    17

    neprazan

    BZededa

    () Za Bvaki :1:.11 ako :1:.11 onda i :1:Il ,

    (1) Za Bvaki :1:.11 ako :1: i 11 ~.1: onda i

    Ocigledrio da , jer za svaki , O~x.

    Pl'imel' 4. Neka U = {,,} 1 ) >rt1t1vn1

    1 unarna operac1ja -= , 1z modela 2.

    , 1', - ) ideali su slede61 skupov1: 1 {9},

    2 {9 {} } ,

    = {9 , {} } ,

    . {9 {} {} {,}

    Js { {} {} {,}

    Ima 1h I ostavlja c1taocu da 1h i.

    Skupov1

    ! = {{} , {}, {}},

    ; {{} {}, {,}},

    n1su idea11 jer n zadovoljavaju uslove defin1c1je 4.

    Definiaija 5. U BuZovoj aZgebl'i (, , . , -

    Bkup F zovemo fiZter (v1deti [571) ako zadovoZjena BvojBtva:

    (i) F ,

    11 .

    skup, tj.

    neprazan

    BZededa

  • 18

    (ii) Za 8vaki , , onda i ',

    (iii). Za Bvaki , ( i

  • 11111",'" "Igcbra 19

    Primer 7. Neka (, + , " ') Bulova algebra 1z modela

    . , gde skup Bulov1h matr1ca formata n. Tada su (;,

    = 1,2 Bulove podalgebre, gde + , , , )

    1 {0,1}, 2 = {O,A1,Az,1}

    i gde

    [ . "] ~.~:::~ 1 0 ... 0

    l' 1 . 1

    1 1 1

    1 1 ... 1 [

    ... 0 1. "1] 1= ~.~:::~ 2= ~.~:::~

    11 . 1 00 ... 0

    Teorema 11. Svaka BuLova podaLgebra (, v gebre (, v, . , - ) jeste BuLova aLgebra.

    - BuLove aL-

    Dokaz. Kako def1n1c1j1 . to binarne operaci-

    v i' skupa 2adovoljavaju aks10me 1 , 2' 1 1z def1-n1cije 1. Na osnovu (11i) 12 def1nicije . pro1zilazi da za

    svako i (, anaosnovu (1) 1 () 1zdef1n1cije .

    sledida XVXEBoiX'xEBo,tojest 1(B o iO(Bo (jer

    \ = 1, = ). OVim teorema 11. dokazana.

    Definicija 7. Neka (, v , . , - ) i ( 1, + , * , ') u-ZOVe aZgebre. PrssZikavanje [: B~B1 aovsmo homomorfizam ako

    aaqovoZjava usZOVe:

    (i) f(:z;V ) = f(:z:) + [().

    () f( = (f(:z;))'

    Primer 8. Dat1 u skupov1 ~ {,} 1 = {1,2,,}. -

    1m part1t1vnom skupu () binarne operac1je v , 1 rrkt1vn uniju, presek 1 komplement, skupu binarne

    operac1je + 1 * slede61 n1n:

    +

    *

    NZS (,)

    NZD (,)

    unarnu operac1ju

    - 6 : ,

    (nn1 zajedn1ck1 sadr~alac za ,8)

    (n6! zajedn1cki delilac za , ) i

    za .

    ~etvorke ( () , v , , , ) 1 (, + , * , - 1 l0 algebre.

  • 20

    Preslikavanje f ~ () dato sa

    2 3

    {,}

    jeste homomorfizam jer zadovoljava svojstva (i), (ii) iz defini-

    cije 7.

    Teorema 12. Ako [: + l homomor[izam tada :

    () [() = [() I(} () [() l 1(I } 1 1

    gde i 1 B odnosno l i 1 1 prvi i posLednji eLement

    Lgebre (, - ) odnosno (l, + ,

    ) . V, , , , () Ako ~ tada I(} ~ [().

    Dokaz.

    () (1) f(xy) f(XVf) (zakoni de Morgana)

    (2) (f (xvy , (uslov (11) iz definicije

    (3 ) (f () +f () ) , (definicija 7. (1

    (4 ) (f )'. (f ( , (zakon de Morgana)

    (5) f (x).f () (us1ov (11) iz definic1je

    (6) f () .f () (dvostruka negac1ja =).

    () (1) f(OB) f (') (zakon s, (11) )

    (2) f () .f () (teorema 12., (

    (3) f (). (f ( , (us1ov (11) iz defin1cije

    (4 ) l (zakon Bs, (11) ).

    (1 ) f(1B

    ) f

  • Btllova algcbra 21

    Deliniaija 8. Neka (, v, . ,-) i (l' +, *, -) Butove atgebre. Prestikavanje 1 : + l zovemo izomorliza ako zadovotjava ustove:

    (1) 1 obostrano nnn prestikavanje.

    () f(:r;vy) = I(:r;) + '().

    (111) 1(;) = (I(:r;))'.

    Primer 9. Neka su ( () , v , , - ) 1 (, + , * , -) Bu-love algebre 1z pr1mera 8. PreS11kavanje f : + (), dato

    f 2 3

    {:) {} {} jeste 1zomorf1zam jer zadovoljava (1) , () 1 (1) 1z defin1c1-

    8.

    Teorema 13. Ako (, v, . , -), (l'+ , * , -) 1 (2' V , 1\ , -, ) BuZove aZgebzoe i 1 : + BI' g : . 1 + 2 izomorliz-

    mi tada i kompozitum gol : + 2 imrlizm. gde

    (gol)(:r;) = g(I(:r;))

    Dk.

    (1) Kako f 1 g obostrano jednoznacna pres11kavanja to

    1z ~ sled1' f(x) ~ f(y) i 1z 1st1h razloga 1z

    f () ~ f () sled1. g (f ( ~ g (f () ). Dakle 1 presli-

    kavanje gOf obostrano jednoznacno.

    () (gOf) (xvy) = g (f (xvy

    g(f(x) + f(y

    g(f(xt) V g(f(y

    (gof) () V (gof) ()

    (1) (gof) () g (f (

    g f ( -) = -, (g (f () ) )

    = -, (gof) ()

  • 22 " .Gi ICl~\1\ - . .. ilIH\ i.t.:

    Teorema 14. PresLikavanje [: ~ , izomor[iaam ako i

    ako [-1: , ~ iaomor[iaam.

    Dokaz. Neka f izomorf1zam 1 z,w (f(B). Tada z=f(x)

    1

    (1) w = f () za , .

    Dakle = f-1(z) 1 = f- 1 (w).

    Ako z F w tada 1 F . Na1me, ako bilo =

    tada 1ma11 z = f(>:)=f(y)=w. Odavde 1mo da

    pres11kavanje -' obostrano jednozna~no.

    (11) f (xvy) = f () + f () = z + w onda

    -, -,-, f (z+w)=xvy=f (z)vf (w).

    (111) f(x) (f () ) '= z' onda

    ---,--(f (z) )

    S11~no se dOkazuje da ako f-' izomorf1zam onda 1 f 1-

    zomorf1zam.

    ZADACI

    Zadatak 1. Kor1stet:!1 1dent1tete J t (1) i J t (11),

    dokazat1 da u Bulovoj algebr1 (, V , , - ) va~e sledet:!1 1den-

    t1tet1:

    1. (1) XYVKY = 1 ) (11) ( vy) () =

    2. (1) - - (11) (XVY) (xVY) (xvz) ( JZ)=X vxyv xz vxz=x . (1)

    - - (11) ( Vy) (z Vy) (xvy) (yvz)=xz xyvzyvxyvyz=xvz 4. (1) - - (11) ( vy) ( Vy) (XVY) = xyvxYvxy=xvy 5. (1) vxy vxy vxy=I (11) (xvY) (XVY) (xvy) (XVy) =0

    6. (1) xz (yv z) =xzy (11) xv z Vyz=x vyv z

    1) Umesto z.v. ukoLiko n un. pisa&emo zv.

  • iI"lo\'" ulgcl>ra 23

    7. (i) xy(zvy)=xy () vyvzy"'xvy

    8. (i) z vxyz=I () xyz (XVyvz)=O

    9. (i) (xvyvz) (XVyvz)=O () xyzvxyz=I

    10. (i) ( yz) =xyz () xy(yvz)=XVYV z

    11. (i) ))= () ()= -- -- -12. (i) = () =

    13. (i) () ()= () -= 14. (i) xyzv xyz vxz=z () (XVyvz) (XVyvz) (xvz)=z

    15. (i) xyvxzVxy=xz

  • ...

    24 .Gilclal1- . [,alil1uv;c

    odrediti tako da = xvyv z.

    (ii)Data = (xvyvz) (xvYVZ) (XVyvz) (xvyvz) (xvyVZ)

    (xvyvz) (av xvyv z), E(O,I};

    odrediti tako da = xyz.

    Zadatak 3. Dokazati sld Bulove identitete:

    1. (i) '-, -i- 1)

    ;) = I I , (11) ;=1

    " . 2. (i) (U x,)v (-i -1 /=! (11) (,-, ,) (V )=

    ,=, '=1 '=1 '=1

    3. (i) -,-!

    i ;=1

    ;tj) (VX;)=O '=1

    (11)

    (Ux,)V( 1-1 ,)=I ,=, ',..1

    4. (i) l (X1VX2) (X1VX2 vx,) . (X\ VX 2V" .vx n _ 1 v x n )= 'I=

    5.

    .

    1)

    (ii) X1V \2 VX1X2X, V .. VX1X2" . . " =u , 1='

    " (11) XV(-'-\ I)= '-- (xvy,)

    i=t 1=1

    , i)

    t " (i) Vx, =Vxjn v (UX jn ) ,=, h =, h=k+l

    " () ,-,, -'1 -'1 ) ,

    '=1 h = 1 h=k+l gde SU 1 , 2 , ...... , 11 permutacije od 1,

    , ......

    V X ; X1VX,V . VX. -\ -Ix \ 2' .. ' . . , '=1 i=t

  • 7.

    1.

    2.

    .

    4.

    (1)

    (11)

    n. V(XiVYi) 1=1

    JJtllova algcl>ra

    11

    (vxi)v(LJY,) ;=1 '''''1

    11 11

    (rlx)'(/-' .). i=1 I ;=1'

    Zadatak 4. U Bulovoj algebr1 (. , , - ) dokazat1: (1) , ~ ako 1 sao ako ~

    (11) > ako 1 sarno ako >.

    (1) ab~cvd ako 1 sao ako ~b d

    (11) ~C d ako 1 sarno ako ~ . d (i) = ako 1 sarno ako ~ ~b

    (11) ( v ) () ako 1 sao ako >;;;,

    (i) ~b ako. 1 sarno ako ~ .

    25

    Zadatak 5. Neka U neprazan skup 1 () njegov part1-

    tat1vn1 skup. .. 1 .n" (n1 1 presek) binarne operac1je i

    11 " (kornplernent. ' = \ . ( () ) unarna operac1ja.Po

    delu 2. cetvorka ((). v , , ') Bulova algebra.

    Matr1cu = [] i = 1, = 1, 1/1. gde su elernent1 skupa (), zoverno Bulova rnatr1ca forrnata rnn.

    Neka skup skup sv1h Bulov1h rnatr1ca forrnata rnn,

    11 + 11 1 11 binarne operac1je uvedene sledec1 n1n:

    + tle.f

    [ / 1, , V = ; =

    tlef

    [ I = 1, , 111 ; = 1, ,

    gde su v 1 operac1je n1 1 presek skupa ().

    Uved1rno unarnu operac1ju sledeci nn;

    = 1, , :: 1, , ,

    gde , 11 unarna operac1ja kornplernent = U'\ / Dokazat1 da cetvorka ( . + - ) Bulova algebra tj.

    da su zadovoljene aksiorne Bulove algebre 1z defin1cije 1. Napo-

    minjemo da su prvi 1 poslednji elernent:

  • 26 K.Gllezan- B.Lallllovlc

    Zadatak 6. Date Bulove algebre

    (1,Vl,'.lt -1), (B 2 ,Vz,nZ' -2)' ... '( n 'V''' '\", -,,).

    Dokazati da (, v , , - Bulova algebra, gde

    = , ,

    = (Xl,X2, . ,X,I)' to jest ako i ako

    '{1,2, .. ), operacije v

    cin:

    , ,- definisane slede6i

    ",.,. (, v,y" " ) xv 2 V2Y2"" , N Vf'I

    11t'1

    (, \', , ntt 2 nZY2t ... , ,,)

    Ilt( -1 _ 2

    -

    (, , 2, , )

    i

    na-

    Zadatak 7. Dokazati da (, + , , - )Bulova algebra,gde

    :

    , 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70)

    + NZS (,) (najmanji zajednicki sadrzalac)

    NZD (.) (najve6i zajednicki delilac)

    = 70 : .

    Zadatak 8. U Bulovoj algebri (. + , , - ) iz zadatka 7.'

    odrediti ideale, filtre i podalgebre.

    Zadatak 9. Data Bulova algebra (. v, , - ) svih Bulovih matrica formata mxn, gde

    = { r i ] \ i= 1, , = 1, , /11 DOkazati da (, + , , ') Bulova algebra gde :

    + (Ief

    [ ' .I ]

    cle'

    [ I ]

    i skup

    }

  • \ll algcbra 27

    l = l, ,~ .= 1, ,

    ,,,''', .-0 operaci'je skupa .

  • 28 .Gilczal\ - . Latill0vic

    G-LAVA II

    u L V L G R L 2

    u ll 1 razmatrana Bu10va a1gebra prolzvoljnom ne-praznom skupu najmanje dva elementa. U glavl 11 razmatra

    1 a1gebra skupu L2 = {0,1} Razlog za posebno tretl-ranje Bulove a1gebre skupu L 2 obrazla!emo slede61m: ona

    najvle korlstl, aparat kojl odnosl dvovrednosne promen-

    1l uvek najsavrenljl.

    Napomlnjemo da sve teoreme navedene u Bu1ovoj algebrl (,

    V , . , - ) va!e 1 za Bulovu algebru (L 2 , v, . , - ). U glavl prolruje splsak teorema navedenln u glavl 1. Neke vre-

    de 1 u 1 a1gebrl (, v, . , - ) (vldetl [24), [55}, (571). U ll 1 (model 1.) defln1sall mo skupu L2 = {0,1} -

    narne operac1je .v (d1sjunkc1ju) 1 (konjunkc1ju) l-

    deC!1 nal:ln:

    (1 )

    (2)

    v

    ,

    ,

    v 1 1,

    1 = ,

    1 V 1, 1 V 1 1

    1 , 1 . 1 1.

    Takodj~ def1nlsa11 unarnu operac1ju - (negac1ju) slede-

    61 nalHn:

    (3) = 1, i = . Bu10vu a1gebru skupu L2 = {,1} , gde su uvedene binar-

    ne operac1je .v 1 pomoC!u (1) 1 (2) 1 unarna operac1ja

    l

    pomoC!u (3), zovemo Bu10va a1gebra dvol:Lanog skupa (111

    a1gebra L2).

    S11l:no, ako skupu S = {,} uvedemo binarne operac1je

    1 unarnu operac1ju slede61 nal:1n

  • Bulova algcbra 29

    GJ

    f onda cetvorka (5, , , - ) dvoclana Bulova algebra. Prepus-tamo citaocu da dokaze da su l0 algebre (Lz, V, . , - ) i

    (5, , (1), -) izomorfne.

    Iz definicije Bulove algebre (definicija 1., Gl. 1) i nave-

    denih osnovnih teorema neposredno sled1 da u Bulovoj algebri (L2'

    V, . , - ) za a,b,c~L2 vaze .sledeca. svojstva (identite-

    ti) :

    51 (i) avb = bVa (i1) =

    52 (i) (aVb)Vc aV(bVc) () () = ()

    8 (i) aV = : (ii) =

    5~ (1) avab = (11) a(aVb) =

    55 (i) aVbc. (avb) (avc) (11) a(bVc) = abvac

    86 (i) aVl 1 (11)

    57 (i) avO = (11) 1 = 8 (1) aVa 1 (11) - = 59 (i) aVb () = v

    = = 511 (i) avab avb (11) a(avb)

    Za detalje videti [42], [27] , [39] i [55].

    1. BULOV IZRAZ

    Uvedimo skupu L2 relac1ju

    = ako 'f

    (4) Cl

    1, ako = , a,xEL z Prema (4)

  • 39 K.(;iICI.~H' - B.I.aIiItH\"il..:

    00 1, 01 = , 10 = , 1 1 1.

    Na osnovu (3 ) 1 (4 ) 1m:

    (4 ') = 1 =

    (4 ' ') .

    Takodje 1 slede6a relac1ja:

    L2

    x~ , L, f (4 "

    u L2 , f . u L2,a

    Na relac1je (4')1 1dent1teta 51(1), 5,(11), 5~(1)

    (11) relac1ja (4", neposredno se ver1f1kuje. Za1sta:

    1 58

    =

    l 1

    1 =

    U

    xlU 1

    U l

    Dogovorno uz1mamo da

    love konstante, slova

    = ,

    = 1 ,

    = ,

    u = ,

    XUX = l ,

    xUx 1.

    se s1mbo1i 1 1 1z

    x,y,z, ... koja uz1maju

    skupa L2 zovu

    vrednost1 1 1

    1z skupa' L2 Bulove promenlj1ve.

    Definioija 1.

    1. BuLoue konstante 0,1 i BuLoue p~omenLjiue ..3 ... u

    BuLoui i~i.

    2. Ako i BuLoui i~i tada ( U ), (')' ,

    Loui i~i.

    . BuLoui i~i oni simboLi koji dobijaju kona-

    p~imsnom 1.i 2.

    Na pr1mer, Bulov1 1zraz1 :

  • Blllova lg 31

    , 1, , , ZO (jer ZO = z), ZI, (xv ), (), (), XvO)x), x1)VY).

    Da bismo 1zbegl1 glomaznost, ob1cno uvod1mo konvenc1ju

    br1sanju spoljn1h zagrada. Tako, pr1mer, Bulov 1zraz

    xv ))

    jednostavno 1s

    ( v ).

    2. PORE BULOVIH IZRAZA

    Defini'oija 2.

    (1) Bu7..ovi izrazi 1

  • 32

    i Bvaka promenLjiva x k (iLi nn negacija ~k,k=l,

    n) uzeta jednom (i n) utvu izgradnji dis-

    junkcije .

    Na primer, elementarne konjunkcije

    xyz, xyz, xyz

    su kanonske elementarne konjunkcije u odnosu promenljive ,

    i z, elementarna konjunkcija nije kanonska elemantarna

    konjunkcija u odnosu , i z jer ne sadrzl l z ni z.

    Elementarne kanonske konjunkcije

    xyz, xyz, xyz

    u odnosu promenljive , i z mogli bismo, prema

    (4 ') pisati

    Z

    relaciji

    uopste, kanonska ele~entarna konjunkclja u odnosu pro-

    menljlve I, 2, ' oblika

    gde CL

  • Bulova algebra

    Definiai;ja 4: (1) Bulov izpaz ob~ika

    CIVC2V VC "

    33

    gde I '2' ,Crelementapne kOn;jUnka,iJe, zove d i ; n-

    k t i v f (kpace DF).

    (11) Bulov izpaz oblika

    DID2 Dn gde DI,D2, ,D r elementapne dis;junkai;je. zove k ; -

    k t i v f (kpace KF).

    Na pr1mer, Bulov1 1zraz1 - - - - - - Vxyv xyz, xv xyz vxyz, xyV xyzv xyz...;

    su d1sjunkt1vne forme, Bulov1 1zraz1

    . x(XVy) (xvyvz), x(XVyvz) (xvyvz), x(YVx)

    su konjunkt1vne forme.

    Definiai;ja 5.

    (1) Dis;junktivna ' m

    zove kanonska disjunktivna nopmalna ' (kpace KDNF) od-

    ppomenl;jive :l:1,:l:2, .:I: n ' ako CI,C2, ... ,C ... ,kanonske

    elementarne kon;junkaije odnosu promenl;jive :1:1':1:2' :l:.

    (11) Konjunktivna forma m

    -1 IDI 1=1

    zove kanonska kon;junktivna nopmalna ' (kpace KKNF) od-

    promenljive :l:1,:l:2, . ,:l: n, ako DI,D2, ... ,D m kanonske

    elementapne disjunkaije odnosu ppomenljive :l:1,:l:2, ,:l:n.

    Na pr1mer, Bulov1 izraz1 - - -xyzv xyzv xyz ...;xyz, xyzv xyz, xyz vxyz vxyz

    su kanonske,d1sjunkt1vne normalne forme u odnosu promenlj1ve

    , i z, dok Bulov 1zraz

  • 34 K.Gilczall- . Lalillvi

  • ntllova algcb.a 35

    Skup 3

    L2 = L2XL2XL2 = {(,,) ,(0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0) (1,1,1)}

    1ma 23 = 8 elemenata (uredjen1h trojk1).

    postoji 2 n pa&Zi~itih kanonskih konjunkaiJa obZika

    l 2 n (5) Zl Z2 "'Zn' (al,a2,"" n> L2 ,

    nn 2 n & U~itih kanonskih disjunkaija obUka

    (6) l 2 n "

    Zl U Z2 V ,~. (alta2, #an)EL2 ,

    gde i&pa&i dati (4) (1 (4~.

    Doka&. Kako svaka konjunkc1ja obl1ka (5), odnosno d~sjurik

    1 obl1ka (6), sadrzi 1zraze

    , l {,l}, 1= , ,n

    to prema relac1j1 (4~) 1 varijac1je ponavljanjem od dva

    elementa n-te klase, tj. 2" konjunkc1ja, odnosno d1sjunkc1ja.

    Ppimep 1. Za promenlj1ve , postoj1 22 = 4 kanonsk1h ko-

    njunkc1ja obl1ka (5), tj.

    1 -

    , , , ,

    odnosno 22 = 4 kanonsk1h d1sjunkc1ja obl1ka (6), tj.

    111 xuy, xvy, xvy, xuj.

    2.

    (1) Disjunkaija evih kanonekih konjunkaija obZika (5)

    naka l~ tj.

  • 36 .Gilczan -1J.I,lillviC

  • tl 0\'3 aJgcbra 37

    Prerna tome, postoj1 sao jedna d1sjUnkc1ja obl1ka () koja

    jednaka ; osnovu 1dentiteta . = sled1 da. (8) 1njeno.

    P:rime:r 2.

    Na osnovu Teoreme 2. pro1z11az1:

    (1) Za promenlj1ve , d1sjunkc1ja sv1h kanonsk1h konju-

    nkc1ja jednaka 1, tj.

    - - --XYvXYVxyvxY. = 1.

    Za1sta - -xYVxYv.xyvxy

    (11) Za promenlj1ve , konjunkc1ja sv1h kanonsk1h d1s-

    junkc1ja jednaka , tj. . - - --(xvy) (XVy) (xvy) (xvy) . Za1sta

    (XvY) (xvy) (xvy) (XVY)=(XVyxvxyVYY) (XVyxvxYvYY)

    (xvx(YVY (xvx(YVY= (xvx) (xvx) = = .

    Teo:rema 3.

    (1) Konjunkcija koje dve :r~iit kanonake konjunkcije

    ob~ika (5) jednaka , tj.

    l 2 n 131 132 I3 n (11:1 11:2 ... l1:n )(11:1 11:2 l1: n ) = ,

    gde

    , (131,132'"'' I3n)E L2 ,

    (ll 2, .. , n ) 'i' (1311132 , ... , I3 n )

    (11) biajunkcija koje dve :rz~iit kanonake diajunkcije

    obZika () jednaka 1, tj.

    {

    1 2 n 131 13 2 13 (11:1 V 11:2 V . Vl1: n )V(I1:J Vl1:2 V Vl1: n )= 1.

    (I3,I321""l3 n ) EL2

  • 38 .Gllezan - . Latinovlc

    Dokaa.

    (i) Neka

    Tada postoji bar jedno 0< < ) tako da

  • Lllv algcbra 39

    Dokaz. Neka Bulov 1zraz. r1st1 svojstva Bulove

    algebre, dat1 1zraz m::!m transform1sat1 u D~(odnono F) '0

    Ako . KDNF (odnosno KKNF) dokaz zavrsen. Aka.1zraz

    n1 KDNF (odnosno KKNF) onda postoj1 bar jedna elementarna kon-

    junkc1ja (odnosno elementarna d1unk1 D ) kojan1je ka-

    nonska elementarna konjunkc1ja (odnosno kanonska elementarna d1-

    sjunkc1ja) .

    Ako konjunkc1je ' (odnosno d1sjunkc1ju D' )ne sadr::!e pro--menlj1vu 111 mo::!emo.p1sat1

    ~ = ' ( v ) = ' v ' 111

    D~ = D' v(x ) = (D'vx )(D'vx).

    Prema tome, svaka konjunkc1ja (odnosno d1sjunkc1ja) ::!

    transform1sat1 u KDNF (odnosno KNF)

    Pl'imel' 4. Transform1s1mo Bulov 1zraz

    xVy

    za promenlj1ve , u KDNF.

    (1) xvy xlvy1 (1dent1tet S6 (11) )

    (2) (YvY) vy (xvx) (1dent1tet S8 (1) )

    -(3) xyvxy l.JYXVYX {1dentitet 'S5 (11) ) (4 ) xyvxyvxy (identitet1 S1 (1) i S (1) )

    Pl'imel' 5. Transformis1mo Bulov 1zraz

    (z)v xz

    za promenlj1ve x,y,z u KDNF.

    (1) (yvz) ,z=vzvz (1dent1tet S5 (11.) )

    (2) (zvz)v xz (V) xz (YVY) (1dent1tet1 S7(11) 1 'S8 (1) )

    - -(3) xyzvxyz vxzyvxzyvxzyvxzy (1dent1tet ~5(11 - -(4) = xyz Vxyz vxyz vxyz (1dentitet1 S1 (1) 1 S, (11)

    Pl'imel' 6. Transform1s1mo Bulov 1zraz

  • ..

    40

    u KNF.

    () (1)

    (2)

    (3)

    () (1)

    (2)

    (3)

    (4 )

    .Gi Iczan - . Latillovic

    xvxy

    xvxy

    ) za promenlj1ve ,

    za promenlj1ve x,y,z

    (xvx) (xv )

    1 (xvy)

    xvy

    xvxy .. xvy

    (1dentitet

    (1dent1tet

    {1dent1tet

    (1dent1tet

    55. (1

    58 (1) )

    57 (11)

    () )

    (xvy)v zz (1dent1tet1 57 (11) 1

    ({xvy)vz) (xvy)vz) (1dent1tet 55. (1

    (xvyvz) (xvyvz).

    S8 (11) )

    Primer 7. Transform11mo u NF u odnosu promenljlve ,

    , z Bulov izraz (xv ) (xv ) z.

    (xvy) (XVy)z=(xvyvzz) 6cvyvzz) (zvxxVyy)

    =(xvyvz) (xvyVz) (XVyvz) 6cvyvz)

    ({zv ) (zv ) \.. )

    =(XVyvz) (xvyvz) (XVyvz) (xvyvz) (zvxvy)

    (z vx vy) (z vxvy) (z vxvy)

    =(xvyvz) (XVyvz) (XVyvz) (XVYvz) (XVyvz)

    (XVyvz )

    Teorema 5. BuLov iaraa KDNF u odno8u promenLjive

    l.Z "'n ako i 8 ako iaraa KKNF u odn08U promen-Ljive l.z 'n '

    Dokaa. Ako lzraz DNF onda svaka konjunkclja, koja

    u~eBtvuje u 1zgradnji izraza , elementarna kanonska konjunkc1-

    , to jeBt

    E=V l az a n l xz " .xn '

  • gde MCL~

    Tada

    BuIova aIgcbra

    ] 2 _ an ] 2 'Xn

    r1st1 zakone de Morgana 1 relac1ju (4 ) 1mamo:

    I~-I (11 2 2 (1 VX2 V . V?,2 ). (a.l, ... ,a2)

    41

    Obrnuto, neka 1zraz KNF. _Onda svaka d1sjunkc1ja,

    koja u~estvuje u 1zgradnj1 1zraza , elementarna kanonska d1s-

    junkc1ja, tj.

    =-I I 1 2 an -(] VX2 v VXn ),

    gde

    MCL~

    Tada

    1 2 a n (1 V X2 V . VXn )

    ( 1" ,an ) .

    Kor1ste61 zakone de Morgana 1 relac1ju (4 ) 1mamo:

    _ ] 2 an = V (]- 2 . ,-xn ). ( 1, , an )

    Ov1m teorema dokazana.

    P~ime~ 8. Neka

    .. xyzvxyz vxyz

    Izraz nap1san u DNF za promenlj1ve x,y,z. Tada

    '" (XVyvz) (xvyvz) c;Vyvz)

  • 42 .Gi le,,,,, - 8. Latillovi':

    tj. napisan u KKNF u odnosu promenljive x,y,z.

    Iz ranijih primera mogli smo zaklju~iti da za neki Bulov

    izraz jednostavnije napisati KDNF nego KNF. Teorema 5. olakAava

    nam konstrukciju za Bulove izraze. mo Bulov izraz tran-

    sformisali u KNF radimo slede6e:

    (1) Izraz transformiemo u izraz .

    (2) Izraz napiemo u KDNF.

    () Konstruiemo negaciju za KDNF izraza . osnovu te-

    oreme 5. dobijamo KNF za izraz .

    Primer 9. Transformiimo u KNF u odnosu promenljive ,

    y,z Bulov izraz = (xvy) (Xvz).

    )

    (2)

    ()

    Koriste6i teoremu 5. imamo:

    (xvY) (xvz) = xyvxz

    xy{zvz) vx{yvy)z = xyzvxyzvxyzvxyz

    (XVyvz) (X"vyvz) (XVyvz) (xvyvz) = .

    ZADACI:

    Zadatak 1. TransformiAimo u DNF u odnosu promenljlve ,

    i z Bulove izraze: 1) x{yvz), 2) xvyz, ) x(yvi) ,4) (x,\-Iy)

    (XVy) ' z).

    Reenje:

    1) x{yvz) xyvxz

    xy(zvz)vxz{YV1)

    -xyz v xyz v xyz v xyz xyz vxyzvxyz,

    2) xvyz x{yvy) (zvz)vyz{xvx)

    - - -xyz vxyzvxyz vxyzvxyz vxyz - -xyzv xyzv xyzvxyz vxyz,

    V{y"cz)

    xvyz

  • x(yvY) (zvz)Vyz{xvx)

    xyz v xyz v xyz v xyz v xYz v xyz

    - -xyzvxyzvxyzvxyzvxyz, 4) (xvz) (XVY) (yvz)=xyvxyzVyzVxyzvxz

    =xy(z vz) VxyzVyz (xvx)V xyz vxz (YVy)

    =xyz v xyz vxyz vxyz Vxyz ;xyz vxyz vxyz

    - -=xyzvxyzvxyzvxyz

    43

    Zadatak 2. Transformisimo u KKNF u odnosu promenljive ,

    i z Bulove izraze: 1) ;, 2) x(yvz), 3) yvzvxyz.

    Resenje:

    1) XVY

    2) x(yvz)

    (XVYY) (YVXX)

    (XVY) ( VY) (yvx) (yvx)

    (xvy) (xvy) (xvy).

    (XVyyvzz) (yvzvxx)

    (xvYYvz) (xv yyvz) (yvz vx) (yvz )

    (XVyvz) (XVyvz) (XVyvz) (XVyvz) (XVyv z )

    (yvzvx),

    3) yvz vxyz

    (xvYVz) (XVYvz) (XVyvz) (XVyvz) (xvyv z ).

    (yvzvx) (yvzVyz)

    (XVYVz) yvz)v(yvz

    xVyvz.

    Zadatak 3. Transformisati u KDNF i KKNF sledece Bulove iz-

    raze:

    1) xvyx za promenljive ,

    2) za promenljive x,y,z

    3) (XVy)z za promenljive x,y,z

    4) xVyz za promenljive x,y,z

  • 44

    za promenljive x,y,z.

    2adatak 4. Transformisati u KKNF u odnosu promenljive ,

    sledece Bulove izraze:

    ,

    Es ,

    = x(xvY),

    = xvy.

    xvy,

    2adatak 5. Dokazati iledece identitete:

    1) (1) xyvxzvxyzvxyz=xyvxz , (11) (xvy) (xvz) (xVYvz)

    2) (i) xyvxzvYZ-Z(v} ,

    3} (i) xYvyzvxyvxyz=xvz,

    4) (i) xyvxzvyzvxyz=xvyvz,

    5} (i) xyvxyvxy=xvy,

    } (i) xyv xyv xy=xvy,

    7} (i) xvx(yzvvzvv}vyv=l,

    } (i) (xvyvz}vvyvvx'vxyzv

    coxvyv',:,

    Zadatak . Dokazati da

    .(XVyvz)=(xvy) (xvz),

    () (XVy) (xvz) (YVZ}=ZL'XY

    () (xv ) (yv z) (zv )

    .(xvyvz}=xz,

    () (XVy) (xvz) (yvz)

    .(xvYvz)=xyz,

    () (XVY) (xvy) (XVy)=xy,

    - - --() (xv ) (xvy) (xv ) =,

    () (x(xv(yvzvv)zv) (yvv)=O,

    () (xYZVV)(yvv)x

    .(XVyv ZVV) =xyv.

  • Bul'ova algebra 45.

    G L V !

    U L V F U N !

    U glavi III razmatr~ju funkcije ~ijisu i dr~ginal1 i

    slike element.t skupa {.,1} Zovu Bulove funkcije. Bulov1m

    funkcijama u kojoj Bulovoj algebri ~italac m v!4eti [1, (55]

    Pored opsteg razmatranja Bulovih funkcija u algebri (L2,V,

    , - ) u ovoj glavi govori i specijalnim Bulovim funkci-

    : simetri~nim i alternativnim.

    Ovde posebno razmatra mogu~t pisanja Bulove funkcije

    omu Bulovih izraza u raznim formama.

    1. DEFINICIJA BULOVE FUNKC~JE

    Definicija 1. ZOfl Zi1

  • ?M~r~r 2. Bulove funkcije [" [ 2 , f, date su slcde6im Bulo-

    vim izrazima:

    f 1 () , L2; [ 2 (,) = xvy,

    (,) (L~; f J (X,y,Z) = xvyvxz, (X,y,Z) CL:,

    gde su binarne operacije .v (disjunkcija), .. ' (konj,;'Ckcija) i U-

    narna operacija (negacija) definisane skupu L. (glava I,

    model 1.)

    P~imer 3. Date su slede6e Bulove tunkcije

    f (, ) = ,

    (,)( L.;

    (x,y,z)CL .

    Odgovaraju6e tablice datih funkcija su:

    WF xvY [. ( , f (,)

    1 1 1 1 1

    1

    z z f,(x,y,z)

    1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1

    Iz ovog primera vidimo da za svaku Bulovu funkciju,datu -

    lovim izrazom, mozemo formirati odgovaraju6u tablicu, koristeci

    tablice za disjunkciju, konjunkciju i negaciju, kao i svojstva

    Bu)"'. algebre (L2' V, , - ).

    Vazi i obrnuto. Svaku Bulovu funkciju, datu tablicom, moze-

    predstaviti Bulovim izrazom (videti teoremu 2., teoremu 3. i

    teoremu 4. glave) .

  • Hitlova, algcllra 47

    2. NEE TEOREME BULOVIM FUNKCIJAA

    m 1. razZicitih BuZovih funkcija promenZji-

    vih 2 2n

    Dokaz. Kako u skupu L~ postoj12n raz11c1t1h n-tork1,1 sva-koj n-torki rnozerno pr1druz1t1 rn jednu od vrednost1 111 1,to

    irnrn var1jac1je ponavljanjern od dva elernenta klase 2n Nj1-

    hov broj , kao sto znarno 22

    Primer 4. Postoje cetir1 raz11c1te Bulove funkc1je jed-

    nrn prornenlj1vorn. Dajerno 1h u sledecoj tablic1:

    f1 () f2 () f () f4 ()

    1 1 1 1 1

    Funkcije f1 ()= i f4 ()=1 zovu konstantne Bulove funk-

    1. Funkcija f 2 (x)=x zove ident1cna funkcija ( direktna ) , funkcija f()= kornplernentarna (indirektna).

    postoji sesnaest razlicitih Bulovih funkcija od dve prornen-

    ljive. Dajerno '1h u sledecoj tabl1c1:

    f 1 f 2 f f 4 f 5 f 6 f 7 f e f 9 f 1 f 11 f 12 f 1 f 14 f 15 f 16

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    Najcesce koristirno sledece: f2, f1, { , fJ,f 10, f H 1 f l5 Dajerno u sledecern spisku nj1hova irnena i n oznacavanje:

    f 2 (x,y)=xy funkc1ja i:. fkonjunktivna funkcijaJ f 1 (x,y)=x 61 funkcija ekskluzivno ili ( aZternativna funkcijaJ f 8 (,) = funkcija ili (disjunktivna funkcijaJ f

    9 (,)= funkcija niZi { Lukasijevic!eva funkcijaJ

    f 1 (,) = funkcija ekvivaZencije

    f 1~ (,)==> funkcija imp Zikacije

    f i 5 (,) =x.L funkcija ni {$eferova funkcijaJ.

  • 48 K.Gilczal\ - . L"li""~'lc

    Teorema 2. Za koju B~o funkciju

    f L~" L 2

    jednakost

    l a n f(xI""'xn ) =~) f(al, ... ,an)x "'Xn '

    aEL~

    (1)

    (tj. funkc1ja mo~e bit1 predstav1jena u KDNF).

    Dokaa. Ozna~imo desnu stranu jednakost1 (1) F(XI""'Xn )

    tj.

    " \ 11 ( (2) F,(K1, .. ,Xn ) ="-.-/ f(alt .. ,an)xl "'Xn '

    L~ Zamenom n-torke (al, .. ,a ) L~ u re1ac1ju (2) 1mamo

    Konjunkc1je

    (3)

    imaju, osnovu relac1je (4) (glava II), vrednost 111 1, tj.

    {1, (al' . ,an )

    , (al, ,an~ ~ (al, ,(lo)

    Zna~i, postoji sao jedna konjunkc1ja (3) jednaka 1.

    Na osnovu svojstva

    1'f(a) = f(a), Of(a)=O, Ovf(a)

    gde = (al, . ,an), 1m

    (4) F(al, .. ,an ) = f(all ... ,an }

    f (),

    re1ac1ja (4) zadovo1jena za n-tcrku 1z Ln pro-2

    izilazi da

    F(Xlt .. ,Xn ). = f(xI""'xn ),

    1spunj"na re1acija (1). Ovim dokazana teorema 2.

    Teorema 3. Za koju B~o funkciju

  • ulv algcbrn 49

    vali jednakost

    (1 ') f ( l' ' ) ,-, ii7

    = (f(a1t ,an)VX1V ... VXn)

    aEL~

    (tj. funkc1ja mo~e bit1 predstav1jena u KNF).

    Dokaz. Ozna~1mo desnu stranu jednakost1 (1') ( ""' ) tj.

    Zaenom n-torke (l"" , ) L2

    u re1ac1ju (2') ~mamo .;.

    -- F(aJl ... ,an )=' I (f(al, ... ,an)Val~ ... vanR.)

    ' EL~

    D1sjunkc1je

    (3' ') l l V ... ' (1, ... ,) L 2 ,

    1m, osnovu re1ac1je (4) (l 11), vrednost 111 1, tj.

    {1, ako .

    . . = , ako

    Znac1, postoj1 jedna d1sjunkc1ja (3') koja jednaka

    .

    Na 9 svojstava

    f(a)VO = f(a), f(a)V1 = ", f(a)'1 = f(a), gde = (l,2, ... ,), !

    (4') F(a1,a2, ... ,an) = f(a1t a 2, ... ,an )

    Kako re1ac1ja (4') zadovoljena za svaku n-torku 1z L~ pro1z11az1 da F(x) f(x) 1spunjena relac1ja (l').Ov1

    dokazana' teor~a 3.

  • 50

    Primer 5. Bulove funkcije f 1 , f 2 , f , f., fs i f. date su

    slede6im tablicama:

    f 1 () f 2 (,) f (,) f. (,)

    1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1

    z fs (x,y,z) f6 (x,y,z)

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    NapiAimo KDNF (odnosno KKNF) datih runkcija.

    Na osnovu teoreme 2 i tablica, KDNF datih funkcija su:

    f 1 (x) = Uf 1 (o.)x(}. . L2

    f 2 (,)= U f2 (0.,B)x(}.yB=f 2 (,), f 2 (, l) l V f 2 (1,) 1 (0., ) L~

    Vf2(1,1)Xlyl=0.XOyO V 1XOylV1.XlyO V 1 1 l

    =xyvxyvxy.

    Sli~no, za funkcije f" f., f s , f., imamo:

    f (x,y)=l.xOyOv O.XOy 1V 1X 1 yOv 1X 1 y l= yvx yvx ,

    f.(x,y)=l.XOyOv 1.XOylV1.XlyOVO.Xlyl=X yvx yv ,

    f 5 (, , z) =0. z v . Z 1 V . 1 Z v . 1 Z lv 1. 1 Z

    v 1 1 z 1 V 1. 1 1 Z V 1. 1 1 Z I = z v z V z

    v z,

    f. (, , z) =, xyz vxyzv xyzV xyzv xyzv xYz.

    Na osnovu teoreme 3. i tablica, KKNF datih funkcija su:

  • ./lIl algcb,"a

    f,(x) = (fJ(a)l...Ixa ) t L2 (Ivxo ) (Dvx J ) (11...1 ) (01...1 ) = (11...1 ) (01...1 )

    1 (01...1 ) = OV"~ ,

    f 2 (,) =(f(,(3)v~) (,(3) L~

    =(f(O,O)v xol...lYo) (; (,)I...I XI...lYl) (f (1,0)I...I 1 ,. ) -

    (f(I,I)vX1vy l)

    =(ovxvy) (lvxvy) (IVxVy) ( 11...1 1...1 )

    =(OVxvy) , I xVy) (11...1 xvy) (11...1 1...1 )

    =(xvy)II1 = xvy.

    Slicno, za funkcije f , f., f s imamo:

    f (,) (ll...lxOvYO) (OI...lXrvYl) (IVX1 V yo) (1I...1X1 vY1)

    (11...1 xvy) (Ol...lxVY) (IVXVy) (IVxvy)

    (IvxVY) (ovxvy) (11...1 1...1 ) (11...1 1...1 )

    1 ( 1...1 ) 11 = Xl...ly,

    (lvxo~)yO) (IVXO vy1) (IVX1vyO) (OV;IV y1) (lI...lXVY) (11...1 1...1 ) (11...1 1...1 ) (Ol...lxl...ly)

    (11...1 ) (11...1 XI...i ) (11...1 xvy) (01...1 1...1 )

    111 (XVy) = XVy,

    f s (, ,z) = ( I...I 1...1 yOv;-) (01...1;1...1 y0l...l ;1) (01...1 ;01...1 1 1...1;0) (01...1;01...1 y1v~) (11...1 ;I VYOV ;-0) (11...1 ;IVyOV;I) (11...1 X1vy1v ;-O) (IVx1V 1 V~l)

    =(OVxVyvz) (OVXVYl...lz) (OVxVyvz) (OI...lXI...lYI...IZ)

    1111

    =(xvyvz) (xl...lyl...lz) (Xl...l 1...1 z) (Xl...lyvz).

    51

    Teorema 4. koja BuZova funkcija f : L2 ~ L2ea- promen-

    Zjivim Xl, ,Xn

    biti predetavZjena l! dil1junkcije i n

    gacije. nn konjunkcije i negacije. tj.

    -~

    I

  • ')2 . Gi \..,13n - 11. Lal "\ iC

    (i) f ( 1 , ,)

    Dokaa.

    I~-I l I (rci) . 1 ).

    L 1

    \ 1 "--,,,f()l n

    ELI

    \_;:)v~lv ... vx:n L~

    1

    -- l n (f (a)V I V . VKn )

    aEL~

    (teorema KDNF)

    (svojstvo =)

    (svoj stvo ~ =! K i

    (teorema KKNF)

    \--, l n I I (f(a)Vxl V VKn

    ) (svojstvo =)

    EL~

    Teorema 5. Skup 8utovih funkciJa

    F = {f\f : L~ ~ L }

    (svojstvo V 1. =1

    (svojstvo ~=a).

    kome Un binarne operaciJe .v i . i unarna operacija .-"

  • BlIlova ulgcl)lo"

    ~Zededi na!in:

    (D1J (f 1V f 2) '! U (f 1 () V f 2 () )

    L~

    gde

    (1"" 'Xn) =,

    jeste BuZova aZgebpa.

    =,

    53

    Pot~ebno pokazat1 da zadovoljen1 aks1om1 1z def1n1c1-

    Bulove algebre (def1n1cija 1. gl. I).

    Dokaz.

    (1)(1) (flVf 2)(x)=U (f1(a)vf 2 (axa

    CL~ (def1n1c1ja (D 1

    = U (f2(a)vf 1 (axa

    aEL~ (zakon 1 (1

    '" (f 2 v f 1) () (def1n1c1ja (D1,

    (2) (1) flv f 2)Vf)()= U f 1 ()vf2(Vf(

    L~ (def1n1c1ja (Dl

    U (f1 (a)v (f 2 ()vf ( )

    L~ (zakon 2 (1) )

    .. (f 1 V (f2 Vf () (def1n1c1ja (D .

    Na s11can nac1n proveravamo vazenje aks10ma l(11), 2(11)

    iz detin1c1je 1. (gl: I), takodje 1 aks10me (1) 1 (11)

    Prv1 element 1 poslednj1.element I suokonstantne Bulove

    funkc1je, gde za svako L~ ,

    () = 1 I(x) = 1.

    (4) (1) (fvO) ()= U (f(a)vO{axa (def1n1c1ja (Dl

    L~

  • 54 .Gllcz

  • LI!\' nlgcbra

    f)(2')'),

    X)X2V 2V )

    Dokazimo da f () '2 ,) = f (2 ,) ,)

    Zaista

    f () , 2 , ) ~ ( ) V 2) ( 2 V ) ( V ) ) = ) 2 V ) 2 ,

    f (2 ,) ,) =(2 V ) () V ) (v 2) =)2V )2

    Dakle f(),2') = f(2t),)

    Slicno se dokazuje i za ostale permutacije.

    55

    m 6. Ako 8 f i g 8imetriane BuZove funkaije n 8

    i fvg, fg,f 8imetriane funkaije, gde

    (fv g) () (/-! f () v g () ,

    (fq) () .I!!:! f(x) g(x),

    f () d

    za svako

    Dokaz. Neka su f i g simetricne funkcije, tj.

    f(x) f (. , .. ,. ), 1.) 1.

    n

    g(x) = g(x. , . ,xi

    ) 1.)

    za svaku permutaciju (. , . ,. ) promenljivih )' n 1.) 1.n Tada

    imamo

    (fvg) () f(x)vg(x)

    f (. , ... ,. ) v g (. , ... ,x i ) 1.) 1.n 1.)

    (fvg)(x. , ,. ), 1.) 1. n

  • 56 K.Gilczan-Il.Ltillvk

    (f g) () f (~) . 9 ()

    f(x i "",xi )'g(x i "",xi ) 1 1

    (f.g)(xi

    , ... ,. ), 1 l.n

    f(x) = f(Xl, .. ,Xn ) = f(X i1"",X

    i )

    OVim dokazana teorema 6.

    4. ALTERNATIVNE FUNKCIJE

    f(X i ""'X i ). 1

    Na strani 47.naveli smo tablicu esnaest Bulovih funkcija

    od dve promenljive. Medju njima i alternativnu funkciju

    f (,) = 8 ,

    koja se ~esto koristi u praksi. Ona data izrazom 8 u ko-

    figurie jedna specijalna binarna operacija 8 skupu L2 (ta-

    kozvano sabiranje modelu 21 kra6e mod. 2). Navodimo jed-

    tablicu alternativne funkcije (videti [36, [44] ).

    8

    011 1 1 110

    Na osnovu teoreme KDNF i KKNF izmedju operacije 8 i -

    racija v postoje slede6e veze:

    VE8

    (i) 8 x'Yv

    () 8 (xvyHxvy)

    (iii) xvy , 8 8 .

    Definicija 3. 10 Konstante 0,1 i promenljive ..." .skupa

    {,1) alternativni izi.

    20 Ako i alternativni izrazi tada

    8 , ', , alternativni izi.

    0 lternativni. izi oni simboU ko'

    ji dobijaju konacnom primenom 1 0 i 2~

  • l algcbr:l 57

    Pr~mBr 7. A~tBrnativni iaraai :

    ,. 1, , , , , (. ) 1td. Na 08nOVU veza V.(1) 1 V.(111) svak1 alternat1vn1 1zraz

    1 Bulov 1zraz,1 obrnuto. Prema ovom 1 uvek mozemo govor1t1 Bu-

    lovom 1Zrazu.

    $

    B1narna relac1ja 1 slede6a svojstva:

    S.1. =

    Si2 ( z) ( ) z '" {1~ . .= (11) 1 =

    S.4. (1) = 1

    .5. ( z) =

    S.6. =

    -S.7. (1) = S.8. l.2 xn

    ';. I.2$ ... $n

    Dokaz1:

    (11)

    xz

    (11) =

    l. 2 . n l.2." '.n ............ l.2.' ;n

    l. 2$ .. n ' za n=2k.

    (veza V. (1) )

    (komutativnost za V 1 )

    (veza V$(i.

    (y$z) ,= (.) $ z

    . (y$z)=x. (yz Vyz)

    =x(yzVyz) vx(yzVyz)

    =x(yzVyz)vxyvz) (yvz

    (vezaV.(i

    (veza V$ (i

    (zakon1 de Morgana)

  • 58

    =xyz vxyzvx (yzVyz)

    =xyz vxyz vxyz vxyz

    =(xyvxy) z v(xyvxy) z ,

    =(XYvxy)ZVXVY) (xvyz

    = ( v ) z v ( v ) z = (xyvxy)$ z

    =( 81 ) $ z

    (zakon d1st~1butivnosti)

    (zakon distributivnosti)

    (zakoni asoc. 1 dlst~.)

    (zakoni distrubucije)

    (zakon1 de Morgana)

    (veza V8/(i

    (veza V$(i.

    8/0=

    81

    $

    $

    xOvx(j (veza $ ()

    ' 1 (svojstva = i ( 1 )

    = (zakon '! = ).

    Sli~no se dokazuju svojstva 5813' (11), 5$4. (i), 5$4. (11) i

    81

    - - yv x

    yvx

    Yvx

    81

    $

    yvx

    (XVY) (XVy)

    yvx

    yvx

    = $

    (veza V 81 (1) )

    (identitet = )

    (zakon komutativnosti)

    (veza V$(i

    (zakoni de Morgana i =)

    (zakon1 distr. i , (i))

    (1dentitet = )

    51i~no se dokazuje svojstvo 5$7. (11).

    1=1, ... ,

  • Bulova :algcbra 59

    Neka

    Kako operac1ja $ zadovoljava zakone asocijat1vnost1 1 komu-

    tat1vnost1 1

    Dakle,

    l:$x1 }=I

    1 $ g l' 1=1,2, ... ,n.

    1 g 1 (svojstvo 8$7. (1.

    OV1m svojstvo 8$8. dokazano.

    Teorema 7. Za koju BuZovu funkaiju f jednakost

    f(XI, ,X) = ~$f(a)iICa

    L 2

    vali

    (tj. funkcija moze bit1 .predstavljena pomo6u sabiranja modulu

    2, konjunkc1je 1 negac1je).

    Dokaz.

    f(x) = V f(a)xa aEL~

    Ov1m teorema dokazana.

    Primer 8. Za Bulovu funkc1ju 3

    f : L 2-+- :r;.2

    datu tabelom

    (teorema KD

    NF)

    f3 (svojstvax

    =0, a"f3 1 $

    =).

  • 60

    A1

    2 4

    .Cilczan - . LlillV;

    z f (, ,z)

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    teoremi 7.

    f(x,y,z) xyz 18 xyz 18 xyz 18 xyz 18 xyz,

    5kup Lz binarnim operacijama .18 (sabiranje mod.2) i

    (konjunkcija) jeste polje u oznaci (L z , 18, . ).

    Za svako x,y,z( L va~e aksiome polja:

    18 = (svojstvo 5181)

    (y.z) (xlily ) 61 z (svojstvo 5612)

    61 = (svojstvo 518 (i))

    Za svaki L x6lx=O (svojstvo 5614 ())

    5kup Lz'{O} jeste, u odnosu binarnu operaciju 0 (kon -

    junkcija) komutativna grupa.

    5 = (komutativnost konjunkcije)

    (yz) () z (asocijativnost konjunkcije)

    7 ! = (svojstvo jedinice)

    Za svaki xELz'{O} =!

    Zadovoljen distributivni zakon konjunkcije prema sabira-

    nju mod. 2.

    9 (y6lz) 111 xz (svojstvo 5615)

    (yl8z) I zx.

    5kup L~ nad poljem (Ll' 18, ) jeste 11nearni prostor u od-nosu binarne operacije sabiranje i no~enje skalarom, gde

    +

  • Bulova algcbra

    Za svaki x,y,z L~ i , EL vai!:e aksiome linearnog pro-stora

    + = + 1 2 4 Ps

    7

    + (y+z)

    + ,

    +

    lx =

    ()

    (+)

    (+) + z

    gde 0=(0, ,0)

    (-)

    +

    ($) = +. Dokaz.

    1 + ~ (X1$yl, ,Xn$Yn)

    (Yl$Xl, ,Yn$xn )

    2 Slicno dokazuje koriste6i asocijativnost mod. 2.)

    ( $ , , xn $0)

    (x1' 'xn )

    =

    + = (, . , $ ) .

    (, ,0)

    .

    Slicno pokazuju svojstva Ps ' ' 7 i

    61

    Primer 9. Neka su Vj = (0,1,1,0) i V2 = (1,1,0,0) vektori

    prostora L~. Tada

    ( $ 1~ 1 $ 1, 1 , $ ) - (1,0,1,0)

    (01, 01, 01, 00) (0,0, , )

    (10, 11, 11, 10) (0,1,1,0)

  • 62 .Gilczan - . Lalil\U"i~:

    Definicija 4. Vektori V1 ,V 2 , ,vm m>l linearno

    visni ako toji 1. . L2, tako da iz ) )

    + V =

    proizilazi ~ .

    Definicija 5. Vektori V1 ,V 2 , ,vm m>l linearno n-

    zavisni ako Bvako , ( L2, iz

    CXIV1+ CX2V2+ . +CXnvm = proizlazi l=2="'=m=0

    Primer 10. Vektori

    (1,1,0,0), 2 = (1,0,1,1), VJ = (1,0,1,0), v. (1,1, 0,1)

    iz prostora L~ su linearno zavisni. Zaista lz

    . (1,1,0,1)

    (0,0,0,0)

    i jednakosti vektora proizi1azi da

    Jedno od reenja ovog sistema jeste ,=l, 2=1, ,=l .=l, to

    1ako proveriti. Dakle, definiciji ., vektori " V2, ,

    i v. su linearno zavisni.

    Primer 11. Vektori

    (0,0,0,1), V2 = (0,0,1,0), v, = (0,1,0,0), v (1,0,0,0) ,

    iz prosto'ra L 2 , su 1 f learno nezavisni. Zaista iz

  • Bulova aJgebra

    +a~ (1,0,0,0)

    =(0,0,0,a1)+(0,0,a20)+(0,a,0,0)+(a~,0,0,0)

    = (, , , )

    1 jednakost1 vektora pro1z11az1 da a~=O, ,=, 2=0, ~1=0,

    su vektor1 Vl, V2, v 1 v~ 11nearno nezav1sn1;

    Definicija . u tinea~no neaavisnih vekto~a Vl, ,Vk ia

    L~ aovemobaaa p~oeto~a L~ evaki EL~ vektol'i X,Vl, . ,vk ~inea~no aavisni.

    Jedna baza prostora L~ su vektor1

    ! (1,0,0, ,0)

    2 (0,1,0, ,0)

    .................. n - (0,0,0, ,1),

    jer se .svak1 vektorx=(x1 , ,Xn) 1z L~ mo~e pr1ka~at~ kao 11-

    nearna komb1nac1ja

    = xlel+x2e2+ +Xnen.

    Za1sta,

    = x 1 (1,O, O)+Xz(O,1, ,O)+ . +xn(O,O, .. ,1)

    = ( ,, ,0)+(0, 2 , ,0)+ +(,, ,n )

    ($ 81 81 , 81 2$ $ , 081 81 ..... xn

    ) .

    (l'2' 'n ) .

    Prime~ 12. Ska1arn1 pro1zvod vektorax=(1,1,O,O,1) 1

    (1, 0,1,1,1) vektorskog prostora L~

  • 64 .Gllezan - . Latlllovlc

    = 11 10. 0'1 01 1"1 ~ 1 . Q 1 .

    SkaZarni. proi.lIvod < , > J.ma slede~a svojstva:

    1 ;;;'

    20 ~

    ]0 = +

    +

    40 = =

    .Alt - Q ka!emo da vektorl 1 ortogona1nl.

    Pod skupov 1

    svakl 1

    ZADACI:

    1 N

    svakl

    skupa

    N

    L2 zovu ~e ortogonalnl ako

    .. .

    za

    Zadatak 1. Postojl 2' razll~1tlh Bulovlh funkc1ja f : L~+L2 (tabllca stranl (7). Nap1satl kanonske dlsjunktlvne noralne

    forme, odnosno kanonske konjunkt1vne normalne forme za funkclje:

    nOkazatl da dobijenl lzraz1 za funkclje f7, f" fl0, f 10 1

    f ls mogu trnsform1sat1 u 81ede~e veze:

    -x'yv ', xvy,

    = x'yvx'y,

    => xvY,

    1.. .

    Zadatak 2. Data Bulova funkclja f:L:+L281ede~om tabllcom: z

    Q Q 1 Q 1 Q 011 1 Q 1 Q 1 110 111

    f (, ., z)

    1 1 1 1 1 1

  • 8\110 algebra

    Kor1ste61 KDNF dokazat1 da fL,y,z)

    Resenje: Kanonska d1sjunkt1vna nor.malna

    f (, ,z) =xYZvxyZvxYZVXYzvxyz vxyz

    Kor1ste61 zakone Bu'love algebre, mozemo p1sat1

    f(x,y,z)=xz (YVy)vyz () vxz (YVY)VYZ{xvx)

    xzvyzvxzvyz

    z(xvx)vyzVyz

    zvY(Zvz)

    zvy.

    Zadatak . Date su Bulove fUnkc1je f, f2, f ,

    bl1com

    z f f 2 f f~ f 5

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    ) Nap1sat1 KDNF 1 KKNF -za date funkc1je.

    ) 1n KDNF 1 KNF transform1sat1 u obl1ke

    f 1 (x,y,z) yvz f 2 (,, z) xz

    f (,,z) xvyvz f~ (x,y,z) xyz

    f5 (x,y,z) = xvyvZ.

    65

    v f~, f 5 , 'ta-

    Zadatak 4. Ako su 1 Bulove promenlj1ve 1 opera-c1je

    11 => , .1 11 date vezama

    =>

    (6 ) () = )

    dokazat1 da

    ) 1. => .. 1

    2. => ) => ) => 1

  • .GilclOI - 11. Latillovit'

    .

    4. (=>)=> ({y=>z) => (x=>z)) 1

    6. => ( =~ )

    7. {=> ( =>z)) => ({=>) => (=> z)) 1

    . => ( =>(=>)) = 1

    ) 1. = 1

    )

    d)

    )

    2 ( ). ( )

    . ( ) ( )

    1. (=>) (y=>z) => (x=>z) = 1

    2. () ( z) =>(xz) = 1

    . ( ) ( =>)'{=> ) = 1

    1 (=>) (y=>z) (x=>z) = xyvxz.vxzvyz

    2. ( ) ( z) (=> z) = xyvxzvyz

    1.

    2.

    . (xy)z = {yz).

    Zadatak 5. Dokazatl veze: xVy=x=>y, ==>, , L2.

    Zadatak 6. Dokazati identitete:

    ( =>) => Z

    (x=>y)=>z

    => (y=>z),

    x=>{y=>z), x,y,Z(L2'

    Zadatak 7. Dokazatl veze:

    v 1 = ;(1=> (~2=> (XI=> .,. =>(Xn_1=>Xn ) .. )), 1=1

    -llx1

    1=1

    XI=> (2=>{'=>'" ~>(x => ) . )), n-1 n.

    -n---1 1 1 1=1

  • lll,'" algcbra

    Zadatak 80 Dokazat1 da koja Bulova funkc1ja f

    promenlj1v1m ,ooo,xn

    moze nap1sat1 u obl1ku

    (1) f(x)= u l 2 an - 1 . an f () => (] => (2 => => (xn - 1 => ~n ) ) )

    67

    (11) f () = _ l 2 1'l_1 an I (f () => (I => (2 => => (xn - 1 => x n ) )

    EL~

    Zadatak 90 Dokazat1 da koja Bulova funkc1ja moze pr1-

    kazat1 negac1je 1 impl1kac1jeo

    Zadatak 100 Dokazati 1dent1tete:

    10 f(x) = Xof(l)vX of(O) = (xvf(O) (xvf(I

    2 f () v g ()

    30 f(x)og(x).

    ( f(l)vx'f(0v(g(1)xvg(0) )

    f(1) vg(Ix v(f(O) vg(Ox)

    (f(1)xvf(0)x) (g(l)XVg(O)x)

    (f(1) og(l)x) v(f(O) og(O)x)

    Zadatak 110 Dokazat1 identltete:

    10 x 1f(x) xif(Xl,000,x1_1,I,x1+1'000,xn)

    20 x1f(x) X1f(Xl,000,xi_l,0,x1+1'000,xn)

    30 x i vf(x) = 1 vf(xl,000,x1_1,0,xi+l'000,xn)

    4 x i vf () = X1vf(Xl,000,x1_1,I,x1+1'000,xn), 1=1, ,

    Zadatak 120 Dokazat1 1dent1tete:

    10 f(x) = xif(xl,000,x1_1,1,x1+1'000,xn)

    Vx1f (], ,,_1 , '1+1 ' ,xn ) , 1=1, , 20 f(x) = (x1~f,x],000,.x1_1,0,x1+1'000,xn

    30 f ()

    (1 vf , '1_1 ,1,1+1 , 'Xn' 1=1, . , X1X1+1f(X],000,X1_1,1,1,X1+2'000,xn)

    vX1X1+1f(X],000,X1_1,liO,x1+2"00,Xn)

  • ~ .GilczO\I\ - .I ... I iIHl\j I.f

    V;{i x i+1 f (,' ... ,x1_ 1 ,0,1,xi +2 , 'n)

    VXiX1+1f(Xl, ... ,xl_1,0,0'X1+2, ... ,Kn), i=1, ... ,n.

    4. f () ( 1 i+ 1 V f ( 1 , , i -1' , ' 1 + 2 ' .. ' n ) )

    ( i ;{i+1 V f ( 1 , ,K i - 1 ,0,1, Xi + 2 ' ... ,) )

    ( i 1 + 1 V f. ( 1 , , 1- 1 ' 1 , , i + 2 ' . ) )

    (X i ;{1+1 vf(XI, ... ,K1_1,1,1'X1+2, .. Kn, i=1,2, ... ,n

    Zadatak 13. Ako $ = z, onda

    1. $ z

    2. $ z =

    3. $ $ z = , dOkazati.

    Zadatak 14. Neka

    n = (()!() Ua } (L~

    to jest, n skup Bulov1h funkclja u KDNF. Dokazatl da skup

    n pOlju (L 2 , $, . ) 11nearni prostor u odnosu binarne 0-

    peracije sabiranja i mnozenja skalarom, gde

    f () +g ()

    kf(K) II~I [ ().

    '-../ kacx'x ,

    CX(L~

    ,,$" i "." sabiranje 1 mnozenje mod. 2.

    2adatak 15. Data Bulova funkc1ja

    f(K,y)=f(O,O)xY$f(O,l)KY$f(l,O)KY$f(O,l)XY;

    transformisati u baze:

    I = {l, , , }

    = {1, , , }

    2 = {l, , , }

    .= , , , ;{}

    Resenje za bazu . f(x,y)=f(O,O)$(f(l,O)$f(O,Ox

    $ (f ( , 1) $ f ( , ) ) $ (f ( 1 , 1) $ f ( , 1) $ f ( 1 , ) $ f ( , ) ) .

  • l3ulova al~cbra 69

    G L V IV

    U L V D N"A I N

    1. BULOVIM JEDNAeINAA

    Sada op1sat1 Bulove jednac1ne (1 nejednac1ne) u Bulo-

    voj algebr1 (L2 , V', ',' - ). Def1n1c1je 1 neke teoreme

    'jednac1nama, koje ovd~,1z1a~eo, mogu se pros1r1t1

    Bulovu algebru. Za detalje v1d1 (39), .[55 ..

    Bulov1m

    bilo koju

    U ovoj glav1 se daju neke metode za resavanje ulv jedna-

    C1~e. Detaljn1je obradjena metoda sukces1vn1h elim1nac1ja ko-

    se cesto kor1st1 u praks1. Obradjene su alternat1vne jednac1-

    ne kao spec1jaln1 slucaj ulv1h jednac1na.

    Definicija 1. Ako .(l,'" ,xn ) 1 (! ,' ,n ) Bu~ovi is-l'asi, gde l' jedan od njih sadl'si pl'omen~jive l"" ,x

    n skupa" L2,

    tada jednakost

    (1 )

    80Ve BuZova jednaaina.

    Pl'imel' 1. Ako su , 1 z .1z skupa L2,tada BU jednako'st1

    V1 = 1, (XVy)z = , (xvz)xy = (xVy)z

    ulv jednac1ne. Medjut1m, jednakost1

    1VO=1, (lvO).l=l, (lV1)'0

    n1su ulv jednac1ne.

    Vektor =(, ,) skupa L~ zove part1kularno resenje"

    ulv jednac1ne (1) ako

    () ().

  • 70 h..Gil-':l':llt - (l.I.illil1t1,"ic:

    Skup svih partikularnih reenja Bulove jednacine (1) zovemo

    skup reenja jednacine. sa R oznacimo skup reenja Bulove

    jednacine (1),unda

    R = { I ()

    to jest

    Prime!' 2. Skup reenja Bulove. jednacine = 1

    R = {(, 1), (1,0), (1,1)}, gde (,)( R.

    R prazan skup onda Ka~eo Bulova jednacina

    nemogu6a. , primer, jednacine = 1, () = 1 su nemogu6e.

    Definicija 2. Ako (' 'n ) i (, ,n ) 8u~ovi iz!'aai,gde !' n od njih sadrii p!'omenljive ' 'n skupa L2,tada !'elacija

    (2) A(XJ, ... ,Xn)

  • Blllova al~cbra 71

    (J1 ) (.) . . (YVZ) {jedna~1na (l

    () (XVy) ' . (y.z) (zakon1 de Morgana)

    (Kz ) - (.) ,z xxvyx (zakon1 d1str1buc1je 1 asoc1jac1je)

    (] ) OVY'x Oz (zakon1 = )

    (2 ) = (zakon1 avO =,=).

    Jedna1!1ne (), 1), (2), (]) 1 (2) su ekv1valentne.

    Teol'ema 1. Bu~ova jednacina = ekviva~entna jednacinama

    A'BVA'B = (11) (AvB). (AVB) = 1.

    Dokaz.

    (1) (l) = ako 1 samo ako "' 1 <

    (glava I, teorema 9.)

    (11)

    -(2) A~B 1 B~A ako 1 sao ako = 1 =

    (glava I, teorema 10., (Ts) (1

    (3) '= 1 = ako 1 sao ako A.BVAB=O (glava I, teorema 2.)

    (1) = ako 1 samo. ako '" 1

  • 72 .Gilezan - . Lallnovlc

    (1) (1) ", 1 '=- (glava 1, te.orea 8.)

    (2) (') (zaena . u (1) )

    (3) () (zaxoni asoclj acije 1 -

    mutaclje)

    (4) ' = (zakon - = ) (5) ' = (zakon - ).

    (11) (1) -

  • nulova algcbra

    S1stem Bulov1h jedna~1na

    xyvz 1

    (xl;)z)y 1

    -xVy 1 teorem1 . (11) ekv1valentna Bulovoj jedna~1n1

    (XYVz) (XVz)y 6) - 1.

    Pr1rodno name6u slede6e posled1ce 1 teorema:

    PoeZedioa 1. Sietem BuZovih j.dna~ina

    1 = 1 , 1 8 1, ,n,

    ekvivaZentan BuZovim j.dna~inama _ _

    (1) V (111111 )= (11) 1=1

    (posled1ca teoreme 1.1 teoreme .).

    (1 1 ) (A1 UB1 )=1 1=1

    PoeZedioa 2. Sietem BuZovih n.jedna~ina

    1 < 1 , 1 = 1, ,n .. ek-vivZntn " Zovim jedna~inama

    (11)

    ~posled1ca teoreme 2. 1 teoreme .).

    7

    Prema , s1stem Bu~ov1h jedn~~1na 1 nejedna~1na uvek

    o~e svest1 jednu Bulovu jedna~1nu.

    p:rime-zo 8. S1stem Bulov1h jedna~1na 1 nejednalS1na

    xyuz = xuyz = xvzy yvxz

    yuxz < n teoreme 1.(1) 1teoreme 2. (1) ekv1valentan s1stemu

    (XUy)zx v(xyuz)x -

    x(yuz)yv(xvyz)y =<

    _x(ZUY) (yvxz) u(xuzy)ycXvz) ..

    Cvvxz)x ..

  • 74 .Gllezan - . Lalll10vic

    odno8no 818temu

    xyzvxz ..

    XyzvxY - xyzvxyz ..

    .. .

    Dobijen1 s18tem jedna~1na , osnovu teoreme . ekv1va-

    lentan Bulovoj jednaiHn1

    (xYzvxzl V(~zvxYl v

  • Bulova algebra 75

    = ~.

    Ostale konjun~c1je u (5) su jednake nu11. Dakle A'(e~, ,en)-l,

    ito u suprotnost1 ~11n da su jedna~1ne (3) 1 (4)

    kv1valentne. Prema ovome, part1kularno reienje (e~, ,en) ~ , odakle sl,ed1 (.1, .. , ) L~' ito .1 trebalo dokazat1.

    Primer9. Nadjlno skup reienja Bulove jedna~1ne

    (xuy)zux(yuz)vx = .

    Datu jedna~1nu !, osnovu teoreme DNF, transform1sat1

    u ekv1valentnu jednalHnu

    xyzv xyzv xyzv Xyz V xYz = ,

    odnosno '.

    qde

    = {(1 ,.~ ,1), (1,0,1), (1,1,0) , (0,1,1) , (1,0,0)}.

    Dakle, skup reienja date jedna~1ne

    R = L;\M - {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0)}.

    Lema 1. Svaka BuZova jedna~ina

    (6) A(Xl'.~.Xn) =

    ekvivaZentna BuZovim dninm

    1 = 1,2, ,n.

    Dokaz leme 1. neposredan.

    Teorema 5. Jedna~ina (6) mogudaako i

    (, ,1_1 ,1 ,1+1 , . ' ) (, ,1_1 ,0 ,1+1 , ~ ' ) =0, 1=1,2, ,.

    Dokaa. Neka (q.1 ..... ,~) reiienje jedna~1ne (6). Na osnovu

    leme 1. (1.1' '(12) reienje 1 s1stema (7), to jest

  • 76 K.Gllczan- B.Lalinovlc

    1.cl,2, .. ,n.

    teorem1 . s1stem (8) ekv1valentan s1stemom

    (9)

    A(al, ,a1_1,0,a1+1, ,an)a1=0, 1=1,2, ... ,n,

    teorem1 2. (1) s1stem (9) ekv1valentan s1stemom~edna

    ~ina

    to jest s1stem (9) ekv1valentan sistemom nejedna~1na

    (10) A(al' .... ,a1_1'1,a1+1; . ,an)

  • Bulova algebra 77

    Teol'ea 6. jednaiHna (12) O(Jut!a. to j t, n

    ' . l'.'enje j.dna~in. (12) i

    (I) 1)< <

    (I "') .. .

    Doka,..DokaI1Jao prvo relac1ju (1).

    1,. ax\.ibx -

    2. - 1 '"

    .

  • 78 K.Gllezan - . Latil1ov\c

    -

    - ,

    jer (uslov da jedna~1na (14) mogu~a).

    Neka relenje jedna~1ne (14). Zamenom = u (13'),

    1z teoreme 6. pro1z11az1 da = \.

    su relac1je (1) 1 (11) 1z (15) ekv1valentne 1z1az1 1z:

    \ = (\ )\

    .. (\)\

    .. \.

    (bva - pro1z11az1 1z uslova da jedna~1na (14) mogu~a, to

    jest = , iito teorem1 2. ekv1valentno b~a,odnosno

    ekv1valentno \; '" ).

    Prim.r 12. Reiienje jedna~1ne

    \ (\ ) = teorem1 7.(1)

    = (bvc)pV (bVc)p, tj. - bvc.

    Reiienje jedna~1ne

    abxV (\) -

    teorem1 7. (1)

    = (aVb)pV (aVb)p, tj. - avb.

    2. SUKCESIVNIH ELIINACIJA

    Keka data Bulova jedna~1na

    (16) A(Xl,.",Xn ) "': B(Xl, ,Xn ).

    Na osnovu teoreme 1. (1) jedna~1nu (16) molemo transform1sat1 u e~.

    kv1valentnu jedna~1nu

    (17) iBVAB" , u oznac1 !l~J" 'Xn) - .

    Na osnovu leme 1. jedna~1nu (17) molemo trans!or.mlsatl u ekv1va-

    lentnu jedna~1nu

  • Dulova algebra

    (18.1) [l(1'2' ' )vf(0,2, , )1 = . .

    Na osnovu teoreme 5. jeana~1na (18.1) mogu~a ako

    (18.1~) f.](1,2, ,n)f(0,2"",n ) = , u oznac1 f 2 (2 , 'n) = ,

    gde e11m1n1sano .].

    U slede~em koraku,na osnovu leme 1.,

    (18.2)

    odakle sled1

    (18.2~) f2 (1,x~, 'n) f2 (,, ,

    f ( , 'n ) = ;

    ovde el1m1n1s~no 2.

    Postupak e11m1nac1je produ!avamo

    (18.n) f (1) Vf () .. ,

    gde f n (1) 1 f n () konstante skupa L2.

    , u oznac1

    79

    teorem1 5. Bulova jedna~1na (18.n) mogu~a ako 1

    ako

    (18.n") fn

    (1);fn

    (0) .. .

    teorem1 7. (1) rn Bu10ve jedna~1ne (18.n)

    (19.1) n = f n (1)PnVfn(0)Pn , tj. n = gn(pn), gde n promenlj1v1 parametar.skupa L2

    Zamenom (19.1) u (18.n-1) dobijamo Bulovu jedna~1nu

    f n- 1 (1,gn(PnXn_1Vfn_1(0,gn(PnXn_1=

    ~1je rn, osnovu teoreme 6.(1)

    (19.2) Xn-1~fn-1 (1,gn(pnPn-1Vfn-1 (0,gn(PnPn - 1 ,

    tj. xn- 1=gn-1(Pn-1'Pn) gde n-1' n parametr1 skupa L2.

    Produ!avanjem postupka, dolaz1mo do

    (19.n) 1=f (1 ,g2 (Pz, 'n)' ,gn (n) )

    vf:] (0,g2 (2, 'n)' ,gn ) ) .] ,

  • 80 .Gllczan - . Latillovic

    tj. 1 = gl(PJ,PZ,""Pn),

    gde su ""n parametr1 skupa Lz.

    Na osnovu (19.1) , ,(19.n) reenje jedna~1ne (17)

    1 = gl (P1,""Pn), gde su PI""Pn parametr1 skupa Lz

    Za deta1jan dokaz v1d1 [55].

    P~ier 13. Data Bu10va jedna~1na

    (20) (bVc)x\vcxzVbx,vcx\xZv (v)z,v\, = ,

    gde su ,. 1 parametr1 1z skupa Lz. ~11m1n11mo 1z jedna~1-

    n (20) nepoznatu ,. Na osnovu (18.1') dob1jamo jedna~1nu

    t(bv ) \ cxzv CX\XZ V (v ) 2 \) bve) x\v exzVbvcx\xz)=O

    koja ekv1va1entna jedna~1nom

    (21) (v)\v2v\zvz = . 11m1n11 1z jedna~1ne (21) nepoznatu Xz. osnovu (18.

    2') dobijamo jedna~1nu

    ({bvc)xJvcxJVbC)' ((bvc)XJVc))=

    koja ekv1va1entna jedna~1n1

    (22) (bVC)Xl = .

    Jedna~1na (22) mgu jer O(bVc) = . Na n teoreme 7. 1z (22), (21) 1 (20) d4\:

    (21.1)

    (21.2) Xz

    (21.3) ,

    pv(bVe)p

    (exIV bCXl)q V ( VbXl) .q (bXlvbCXl)' (bCX2vcx Z)'r

    vbve)x\xZv 2) .?

    Zamenom (21.1) u (21.2) el1m1n1emo l, zat~ zamer~m(21.

    2) u (21.3) e11m1n1emo 1 2' kraju dobijamo opte reenje

  • l .. bvcvp

    2 .. v~

    ... bV~r,

    gde 8U p,q 1 r roenl1v1 parametr1 8kupa L2.

    T"ol'ema 8 . (L. Lowenhe1m).

    Zal'no l'elenJe BuZove Jedna6ine

    (23) f(Xl.' ,Xn ) -,

    onda nn oplte "l'elenJe

    (24) x1-t1f()V1!(), 1E{1, ,n},

    gde.Je P-(l, ,n ) Pl'Oi8voZJan vektol' ekupa L~.

    81

    Doka8. 08nOVU teoreme DNF jedna~1na (23) ekviva-

    lentna 8

    (25) V'C .. , . EL.n

    gde " f(al, ,an). ~z (24) pro1z11az1 da (26) ~,-t1f(~)V1f(), 1E{l,.,n},

    jer akO j~ f(p) .. onda 1 - t 1 , tj. 1 .. t 1 , ako f(p) l,onda 1 .. 1 , tj. 1 = 1. 08nOVU (24) 1 (26) 1mamo:

    ., 1 1 ." 1-24) x1 -t1 f(p)VP1 f(p}," 1E{l, ,n}, "1EL2.

    eka 8ada opite reienje

    1 .": t1f(p)VP1f(P), 1E{1, ,ri}, 1 f(p - O~t .. (tl, ... ,tn}!tada zamenom (24') U (25) 1mamo:

  • 82 K.Gilczal\- . [.alillov!c'

    f)f()vf()f() : , jer f(;) = 1 ff .

    Neka (x~, ... ,x) = resenje jedna~lne (23), to jest

    f(x*) : , f(x*) = 1 1 = , onda

    ! = ;lf(x.)~x~f(X.) i:ol,2, .. ,n.

    OVim teorema dokazana.

    Primer 14. Jedno partikularno resenje Bulove jedna~lne

    11 11 _

    ~ 1=1' (XjVXh ) = (~I""';n) : (0, . ,0). Njeno opste resenje, osnovu teo-

    reme 8. (24),

    iE{l, .. ,n},

    to jest

    11 11

    1 =! Ij=l(ajv(~ PjPhJ, iE{l, ... ,n},

    gde su PI,."'Pn parametri iz L2

    . Postoje i druge teoreme Bulovim jedna~inama (nejedna~ina

    ). Za detalje videti [], [421, [551.

    3' ALTERNATIVNE JEDNAt1NE

    Ranije definisali alternativni izraz (qlava 111, ode-

    ljak 4.). Sada m definisati alternativnu jedna~lnu i navesti

    nekoliko teorema koje se odnose nju.

    vni iaraai, gde jedan od njih dr.i n ljive

    skupa L2,tada jednakost (nejednakostJ

  • \' aJgcbra

    (l,'" ,Xn)=B(Xl ~ 'n)" ({, ,Xn )";; {, 'n aOVe aZtepnativna jednaaina (nejednaaina).

    ppimep 15. Jednakosti

    .. , (. y)z =

    su alternativne jednaaine, nejednakosti .

    .";;, (x.y)z";;O

    su alternativne nejednaaine.

    m 9. AZtepnativna jednaaina

    () (, ,n). (l, ,n)=(, ,n )

    ekvivaZentna aZtepnativnoj jednaaini

    (2) ( , 'n) = ( , 'n). ( ' .... 'n )

    Dokaa.

    (jedna~ina (

    83

    (l) $=

    (2) ABVA ..

    (3) (AVAB) V(V) =

    (4) vvv.=

    (veza V.(i), glava III)

    (teorema 1., glava III)

    (zakoni de Morgana i distri-

    but1vnost1)

    (5) (v).V(v) (BVC) ..

    () ( ~)v (v) ..

    (7) -v

    (d1str1but1vnost 1 zakon1 de

    organa)

    (zakon1 de Morgana)

    (teorema 1., glava IV)

    (8) = $ (veza V.(1), glava III).

    OV1m dokazana ekv1valentnost jednaalna (l) 1 (2).

    PpimBP 1. Prema teorem1 9. jedna~1na = ekviva-lentna jedna~1ni = . TakO, resenje s1stema alternat1vnih

    jedna~1na

    $ ..

  • 84

    $ $ z = $ $ t ... d

    = , = 81 , z .. $ , t = d. Teorema 10. l.ternativna jednaiHna

    (27 ) =

    ekvival.entna Bul.ovoj jedna~ini

    (28) v(a ) .

    . Jedna~1na . = ekv1valentna jedna~ln1 81 ( ) osnovu svojstva

    butivnost1 1 asoc1jat1vnost1 sled1

    . = 1, pr1menom d1str1-( ) = .

    Teorema 11. Al.ternativna jedna3ina (27) moguda i

    ; = .

    Dokaa. Jedna~1na (27) ekv1va1entna jedna~1ni (28),

    osnovu teoreme 5. jedna~1na (28) gu i samo

    ( $ ) = Ato ekv1valentno sa . = jer (. ) = $ =. ( $ l) = ;.

    Teorema 12. jedna~ina (27) rnoguda. Op5te re5enje

    dnacine (27)

    (29) = $ , gde promentjivi parametar L 2

    _. Na osnovu teoreme 10, jedna~1ne (27) 1 (28) su ekv1-

    valentne. ReAenje jedna~1ne (28) osnovu teoreme 7.(1)

    = ( b)pvbp ( b)pvbp (relacija = )

    = ( )' .ta ) (relacija avb = $ ) . (relaclje ' , )

    = (relac1je = 1, '! = ). Primer 17. Opte reenje alternatlvne jednalHne

    (avb)x = , gde su , i konstante 1 L 2 ,je, .= () ; ovde promenljiv parametar 1 L2'

  • Bulova algebra

    ZADACI

    Zadatak 1. Date BU Bulove jednac1ne

    1 (1)

    2 (1)

    (1)

    J~ (1)

    yvxz

    zvxy

    xvyz

    yvzx

    =

    = z

    (11) xyzvxyz

    (11) xyz

    (11) =

    (11) = yzvyz.

    85

    Dokazati da BU (i) 1 (11), k=1,2,3,4 ekv1valentne jednac1ne.

    Zadatak 2., Dat s1stem jednac1na 1 nejednac1na:

    yvxz =

    zvxy = 1 < xvyz < 1 < . ,

    gde su 1 parametr1 1z skupa L2. Dokazat1 da dat1 sistem jednacina 1 nejednac1na ekviva-

    lentan jednacinom

    vz ~ (bVc)yzVcxz = .

    Zadatak 3. Data Bulova. jednac1na

    () v [ () l..l () ,. , gde su , 1 parametri iz skupa L2.

    Dokazati da data jednac1na mgu.

    Reenje. Data jednacina transformi~e ekvivalentnu

    dnacinu

    ()= ,

    gde () = za svako , i EL. Zadatak 4. Odrediti skup re~enja Bulovih jednac1na:

    (i) xyvxz"

  • 86 .Gilczal\ - . Lalillovic

    .()

    (111)

    (iv)

    xvyz =

    x(yvz) .= 1

    vxz vxy.ZV xyz

    () Yvz vxyz = 1.

    Reenje:

    (1) L:' {(0,0,1),. (, , ),

    () L; ,((0,1,1), , 1,1) ,

    (111) L) z ,{(0,1,1), (0,1,0),

    (1v) L' 2

    (v) L~' {(,,)}.

    xYvxz

    (1,1, ) , (1,0,0) }

    (1,0,1), (1,'1, ) ,

    (, 0,1) , (0,0,0) ,

    (1, , ) }

    (1,0,1) }

    Zadatak 5. Metodom sukceslvnlh ellmlnaclja odredltl

    reenje Bulov1h jedna~1na:

    (1)

    (11) cxvcYvcxYVyzvxz = ,

    gde su ' 1 parametrl lz skupa Lz.

    Reenje.

    (1) = bvcvp

    cvbpq

    z = vqr

    (11) = cvp

    cvpq

    z = cpqr, ,.

  • Zadatak 7. Qdred1t1 opste resenje Bulovih jedna~1na

    Resenje:

    (1) 1 =! (V /-1 ah1 pih) , 1=1, ... , k=1 1=1

    gde su PI""Pn parametr1 1z skupa Lz '

    R _ . _ _

    (11) 1=1 -/ -/ V(ah1V PhVPj ) ... 1=1, n, k=1 =I

    gde su PIJ."'Pn parametr1 1z skupa L2.

    Zadatak 8 . Odred1t1 skup resenja s1stema alternat1vn1h

    nac1na

    $ .=

    .$ = $ $ z = $ $ t = ,

    gde su , parametr1 1z skupa L2.

    Recezenti; dr Slavisa Presic, dr NedelJko Parezanovic, dr Svetozar ~ilic

    Primljeno za stampu sednici Redakcionog 6dbora od . 1915. gOdine .

    . Samoupravna interesna zajednica za naucni r~d Vojvodine ucestvovala utro~kovima izdavanja publikacije.

    87

    jed-

    Prema re;enju Republickog sekretarijata za ku1turu SR Srje publikacija os1obodJena poreza promet.

  • 88 .Gllczan - B.Lallnovlc!

    GLAVA V

    1 N I 1 Z 1 3 U L V

    !' U N I

    ~lta1ac 6 u qlavl VIII upoznat1 neke rte Bu10ve a1qe-

    bre re1ejno-kontaktne l. Vlde6e da zahtevl konstruk-

    c1ju jedne kontaktne l u ~etku obi~no 108 u verba1nom 0-

    bl1ku, zat~ 8 prevo4e u a1q8bar8k1 obl1k. Bu10va funkc1ja,

    pr1drulena l1,8 zat1m nek1 na~1n uproldava tako da kontak-

    tnalea bude Ito m09'\lc!e ekonoml~n1ja. l'o4'ekonoml!!n1jom l

    IIIO podrazUDeva 8 ~lj lzqradnju treba u10lltl manje are

    datava. edjut1m, unlverzalnoq krlterljuma Ita zna!!1 mini-matna fwnkaiJa .n. '. O~no 8 kao krlter1juml uz1maju:m1-

    n1Jll41nl broj 81ova, IIIln1ma1nl broj konjunkc1ja 1 1111n1ma1n1 z

    d1lj.unkc1jau 1zrazu koj1m le daje funkc1ja (vldet1 [15], [17],

    [28 1 (25). RAn1je I ve6 da11 neke pr1mere a1qebar8koq uprol6avanja

    8ulove funkc1je. ll nam da jednu 8ulovu funkc1ju, da.tu

    8ulov1m 1zrazom 31 , pred8tav1lllo ekv1va1entn1111 Bulov1lll. lzrazolll

    2 koj1 1JII4 lIIanj1 broj 810va od datog 1zraz& ~1' ada n181110 ek8-

    p11c1tno na91&8111, to naj1akle poBt1le. ako le Bu10va funkc1-

    f 1' u DNF (odnOBno NF), zat1lll uporedjuje Bvaka

    konjunkc1ja (o4n08no d18junkc1ja) 08ta11lll konjunkc1jaIIIA (d18-

    unkc1j ama) 1 pr1lllenjuju, gde to Il109'\168, 1dent1tetl

    XYvxY - , odn08nO!

    {Xv10 {XvY> - .

    P~im.~ 1. Za fuklu f datu '

  • nt~lova algcbrn 89

    - ---f ( , , ,_) .. l~ VlZ~ VlZ_ VXlX2XSX_ molemo,primen1t1 1dentttet XYvxY = konjunkc1je redam:pr-vu 1 drugu, tre6u 1 ~etvrtu, petu 1 !estu. Imamo:

    f (! '2 , ,X~) .. z_ (XlV Xl) VI2 _ V _) V I cX_v _)

    .. 2~VlZV1..ZS_VlZ ( vxs)

    = _ VX1XZ.

    11 ovog de1a jeste da daju s1stemat1~n1je metode za u-

    pro!6avanje Bu10ve funkc1je f. Iz10116emo dve: metodu Vajt-Kar-

    naufa (V~ltch-Karnaugh) 1 metodu Kvajn-ak K1askog ( Qu1ne -. C!uskey). Pre nego predjemo opis pomenutih metoda ~ 9: metr1jsku reprezentac1ju Bu10ve funkc1je (v1det1 (28]).

    1. GEOETRIJSA REPREZENACIJA BULOVE FUNClJE

    . :ta promen1j1ve XJt ,xn (g1ava II,' teorema 1.) postoj1 2

    konjunkc1ja obl1ka ! n

    (1) ! 2 n 1 2n d1sjunkc1ja obl1ka

    (2) ! 2 n

    ! VX v . vxn

    1 -SVak1 1.zraz 1 u konjunkc1j1 obl1ka (1) mo!emo zamen1t1

    111 1, u zav1snost1 da 11 1 '" 1 111 1 .. 1 (g1ava II,re-11 (4. Svakoj konjunkc1j1 obl1ka (1) mo!mo pr1drul1t1

    broj k.u s1stemu osnovom 2 1 obrnuto, to jest

    (1 ') n

    l 2 n .. Ck '

    gde

    111 druk~1je

    k

  • 90 K.Gllczan- . Latillovlc

    Indeks k dekadni broj koji jednak broju a 1 a 2 a n u -

    narnom sistemu.

    Odavde proizilazi da sve konjunkcije oblika (1) o~eo pi-

    sati u .normalnom poretkU

    ., Cl.' . ' Ck , , 2 -1

    Primer 2. Za promenlj1ve , i z postoji 2 ]=8

    t1h konjunkcija obl1ka (1) Njih mo~eo poredjati u

    poretku sld1 na!!1n:

    z . jer 000 =

    z l jer 001

    z 2 jer 010 2

    z ] jer 011

    z , jer 100 4

    z S jer 1l 5

    z , jer 110

    z 7 jer 111 7.

    i konjunkcija oblika (1 ) i disjunkc1je oblika

    redjati u normalnom poretku

    Do, Dl' , Dk , , D ' 2 -1

    razli!!i-

    normalnom

    (2) o~e-

    gde indeks k odredjuje kao u slu!!aju konjunkc1ja oblika (1).

    1 u glav1 uglavnom slu~iti KDNF Bulove funkc1je

    f, odnosno konjunkcijama ., Cl' ' 2 -1

    Na osnovu teoreme KDNF Bulove funkc1je (glava 111, teore-

    2) i relacije Ck

    se napisat1 u obliku

    Pr


Mogucnosti Primene Sketch Up

Mogucnosti Primene Sketch Up

Documents
3b Bulova algebra i binarna logika - ucg.ac.me€¦ · Microsoft PowerPoint - 3b_Bulova algebra i binarna logika Author: Korisnik Created Date: 10/23/2017 9:18:08 PM

3b Bulova algebra i binarna logika - ucg.ac.me€¦ · Microsoft PowerPoint - 3b_Bulova algebra i binarna logika Author: Korisnik Created Date: 10/23/2017 9:18:08 PM

Documents
M2 Diferencijalne Jednačine i Bulova Algebra (Vežbe)

M2 Diferencijalne Jednačine i Bulova Algebra (Vežbe)

Documents
Your new Bulova quartz clock incorporates a timekeeping

Your new Bulova quartz clock incorporates a timekeeping

Documents
Analiza ključnih reči - vtsnis.edu.rsvtsnis.edu.rs/wp-content/plugins/vts-predmeti/uploads/izbor kljucnih reci.pdf• Bulova algebra • AND – (+) reci sa operatorom AND moraju

Analiza ključnih reči - vtsnis.edu.rsvtsnis.edu.rs/wp-content/plugins/vts-predmeti/uploads/izbor kljucnih reci.pdf• Bulova algebra • AND – (+) reci sa operatorom AND moraju

Documents
Bulova Top Gear Partnership

Bulova Top Gear Partnership

Documents
Bulova i prekida~ka algebra - Elektronski fakultet Nisstarisajt.elfak.ni.ac.rs/phptest/new/html/informacije... ·  · 2004-05-18definiciju Bulove algebre na minimalan skup postulata

Bulova i prekida~ka algebra - Elektronski fakultet Nisstarisajt.elfak.ni.ac.rs/phptest/new/html/informacije... ·  · 2004-05-18definiciju Bulove algebre na minimalan skup postulata

Documents
Bulova i prekida~ka algebra - mf-bl.commf-bl.com/upload/documents/Dokumenti/Predmeti/Programiranje/Bulova... · 5. BULOVA I PREKIDAČKA ALGEBRA I ELEMENTARNA LOGIČKA KOLA Sve inženjerske

Bulova i prekida~ka algebra - mf-bl.commf-bl.com/upload/documents/Dokumenti/Predmeti/Programiranje/Bulova... · 5. BULOVA I PREKIDAČKA ALGEBRA I ELEMENTARNA LOGIČKA KOLA Sve inženjerske

Documents
7. Bulova algebra.ppt

7. Bulova algebra.ppt

Documents
Bulova Technologies Ordnance Systems LLC, A.S.B.C.A. (2014)

Bulova Technologies Ordnance Systems LLC, A.S.B.C.A. (2014)

Documents
Obrigado por comprar o seu novo relógio Bulova. Desde 1875 ... · Obrigado por comprar o seu novo relógio Bulova. Desde 1875, a Bulova tem o compromisso de prover a qualidade e

Obrigado por comprar o seu novo relógio Bulova. Desde 1875 ... · Obrigado por comprar o seu novo relógio Bulova. Desde 1875, a Bulova tem o compromisso de prover a qualidade e

Documents
BULOVA MODEL llBSACB - Watch Guy and Caravelle/Bulova... · DIAL SIDE TRAIN SIDE BULOVA MODEL llBSACB Automatic, Sweep Second Instant Change, Date and Day Crown Positions 12 ... and

BULOVA MODEL llBSACB - Watch Guy and Caravelle/Bulova... · DIAL SIDE TRAIN SIDE BULOVA MODEL llBSACB Automatic, Sweep Second Instant Change, Date and Day Crown Positions 12 ... and

Documents
April 2010 Bulova Byline - Chairman's Monthly Report

April 2010 Bulova Byline - Chairman's Monthly Report

Documents
Algebra... · 3 S A D R @ A J ALGEBRA VEZIVAWA (Nova sredstva istra`ivawa prirodnih pojava) (Primeri primene u ve{ta~koj inteligenciji i teorijskoj fizici) 1 Sadr`aj 3 Predgovor 5

Algebra... · 3 S A D R @ A J ALGEBRA VEZIVAWA (Nova sredstva istra`ivawa prirodnih pojava) (Primeri primene u ve{ta~koj inteligenciji i teorijskoj fizici) 1 Sadr`aj 3 Predgovor 5

Documents
10 Primene Izvoda -Grafik

10 Primene Izvoda -Grafik

Documents
POVIJEST RAZVOJA RAČUNALA - os-smiljevac.hr · (Bulova algebra) Booleova algebra: Zakoni Booleove algebre, logički sklopovi NE (NOT) I (AND) ILI (OR) Strojevi za računanje Slijedeći

POVIJEST RAZVOJA RAČUNALA - os-smiljevac.hr · (Bulova algebra) Booleova algebra: Zakoni Booleove algebre, logički sklopovi NE (NOT) I (AND) ILI (OR) Strojevi za računanje Slijedeći

Documents
PRIMENE RAZLIĈITIH METODA

PRIMENE RAZLIĈITIH METODA

Documents
Vintage Bulova Watches (1916 - 1979) | myBulova.com

Vintage Bulova Watches (1916 - 1979) | myBulova.com

Documents
Bulova Accutron

Bulova Accutron

Documents
4 Bulova Algebra

4 Bulova Algebra

Documents
ARHITEKTURA I RAD RAČUNARA kao veza šest jedinica: 1 ... · pod nazivom Bulova algebra. NAJVAŽNIJI REGISTRI • registar podataka, • adresni registar, • registar naredbi, •

ARHITEKTURA I RAD RAČUNARA kao veza šest jedinica: 1 ... · pod nazivom Bulova algebra. NAJVAŽNIJI REGISTRI • registar podataka, • adresni registar, • registar naredbi, •

Documents
primeri primene celika

primeri primene celika

Documents
3.Bulova Algebra

3.Bulova Algebra

Documents
Bulova Europe Presentation July 2012 Shareholders Meeting

Bulova Europe Presentation July 2012 Shareholders Meeting

Documents
Bulova Algebra (2)

Bulova Algebra (2)

Documents
Основи информатике - kpu.edu.rs sa predavanja... · Bulova algebra ima veliki značaj i primenu u razvoju savremenih računarskih sistema. Istorijat • Ideja računara

Основи информатике - kpu.edu.rs sa predavanja... · Bulova algebra ima veliki značaj i primenu u razvoju savremenih računarskih sistema. Istorijat • Ideja računara

Documents
Vintage Bulova Watches - The History of Bulova (1916 - 1979) | … · 2010. 12. 27. · PATENT NOTICE ACCJ_rrRON timepiece is manufactured by Bulova Watch patents well applications,

Vintage Bulova Watches - The History of Bulova (1916 - 1979) | … · 2010. 12. 27. · PATENT NOTICE ACCJ_rrRON timepiece is manufactured by Bulova Watch patents well applications,

Documents
Bulova algebra

Bulova algebra

Education
Pitagorina Teorema Primene

Pitagorina Teorema Primene

Documents
Bulova Alg

Bulova Alg

Documents