C u r s o : Matemática

Material N° 39

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 30

UNIDAD: GEOMETRÍA

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Determinación del plano:

Un plano queda determinado por:

Dos rectas que se intersectan en un punto (fig. 1).

Tres puntos no colineales (fig. 2).

Por una recta y un punto no perteneciente a ella(fig. 3).

Por dos rectas paralelas (fig. 4).

EJEMPLO

1. Señale cuál de las siguientes opciones es verdadera

A) Un plano queda bien determinado por tres puntos colineales.B) Un plano queda determinado por una recta y un punto perteneciente a ella.C) Por dos puntos pasa un único plano.D) Un plano está determinado por los lados opuestos de un paralelogramoE) Un plano se puede determinar por la recta de ecuación y = 3x + 2, y el punto (-1,-1).

L1

L2

P

fig. 1

L1

L2

Pfig. 4

AP

B Cfig. 2

L1

A

Pfig. 3

2

DEFINICIONES

POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denominacara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.

PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonoscongruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).

ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y sumedida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismopunto.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?

I) El cubo tiene 6 caras equivalentes.II) El paralelepípedo rectangular posee seis caras equivalentes.

III) Un prisma trapezoidal tiene como caras laterales trapecios y en sus basesrectángulos paralelos.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

2. El ángulo diedro formado por dos de las caras laterales de un prisma, cuyas basescorresponden a un hexágono regular, es

A) 30°B) 60°C) 90°D) 120°E) 150°

Prisma Pentagonal Prisma trapezoidal

Ángulo diedroArista

P1

Semiplanos P2

Arista

Vértice

Cara

3

CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje:

ESFERA CILINDRO CONO TRONCO DE CILINDRO CONCONO DOS CONOS

TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:

EJEMPLOS

1. Para formar el cuerpo de revolución de la figura 1, la superficie que lo puede generar es

I) II) III)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

2. Indique cuál de los siguientes cuerpos puede ser generado por rotación y traslación a la vez

I) El cuboII) La esfera

III) El cilindro

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

eje de giro

Prisma pentagonalPrisma trapezoidal Prisma hexagonalPrisma triangular Cilindro circular recto

fig. 1

4

CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

NOMBRE FORMA ÁREA VOLUMEN

PARALELEPÍPEDORECTANGULAR

2(ab +bh + ah) a · b · h

CUBO6a2 a3

PRISMA RECTORECTANGULAR

h(a + b + c)+ 2BB = área basal

Bh

CILINDRO RECTOBASE CIRCULAR

2rh + 2r2 r2 · h

PIRÁMIDE RECTABASE CUADRADA

2ag + a2

g = apotemalateral

21a · h

3

CONO RECTOBASE CIRCULAR

rg + r2

g= generatriz21

r · h3

ESFERA4r2

34r

3

h

ba

aa

a

r

Volumen

Área de la basepor la altura

Volumen

Área de la basepor la altura

dividido por tres

r

h

cb

a

hB

aa

gh

r

h g

5

EJEMPLOS

1. Un cuadrado de lado 6 cm, se traslada horizontalmente 5 cm, tal como se muestra en lafigura 1. Entonces, el área y el volumen son respectivamente

A) 180 cm2 y 186 cm3

B) 192 cm2 y 186 cm3

C) 182 cm2 y 192 cm3

D) 180 cm2 y 192 cm3

E) 192 cm2 y 180 cm3

2. Al girar en torno al lado AB del rectángulo ABCD de la figura 2, se obtiene un cilindro devolumen

A) 12 cm3

B) 24 cm3

C) 72 cm3

D) 144 cm3

E) 1.296 cm3

3. Un triángulo rectángulo de catetos 5 cm y 12 cm, se traslada horizontalmente 4 cm.Entonces, el área y volumen del cuerpo geométrico representado en la figura 3 es

Área Volumen

A) 90 cm2 120 cm3

B) 120 cm2 180 cm3

C) 150 cm2 120 cm3

D) 180 cm2 60 cm3

E) 180 cm2 120 cm3

fig. 1

6

6

56

fig. 3

5 cm12 cm

4 cm

fig. 2

D

C

A

B

6 cm

2 cm

6

PUNTOS EN EL ESPACIO

En la figura 1 observamos tres ejes X, Y, Z mutuamente perpendiculares que generan tambiéntres planos perpendiculares XY, XZ, y el YZ.

El paralelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes en tanto que el punto K estáen el plano YZ, el punto L, en el plano XZ y el punto M en el plano XY, pero el punto A está“suspendido” en el espacio encerrado por los tres planos. Este punto A tiene coordenadas(a, b, c).

EJEMPLOS

1. La figura 2, muestra un cubo de arista 8, entonces las coordenadas de los vérticesA, B, C y D son

A) A(8,0,0); B(8,0,0); C(0,8,8); D(8,8,8)B) A(8,8,0); B(0,8,0); C(0,8,8); D(8,8,8)C) A(8,0,8); B(0,0,8); C(0,8,0); D(8,8,0)D) A(8,8,0); B(0,8,0); C(0,8,0); D(8,8,8)E) A(0,8,0); B(0,8,0); C(0,8,8); D(8,8,0)

2. En la figura 3, ¿cuál es la distancia entre el punto A (0, 4, 0) y el punto (6, 4, 8)?

A) 5

B) 4 5C) 10D) 10

E) 2 13

Z

Y

X

M

A

c K

L

ba

fig. 1

A

B

C

Dfig. 2

x

z

y

8

fig. 3

4 y

A

6

x

8

z

7

EJERCICIOS

1. ¿Cuál es el diámetro de una esfera cuya área es igual a 100 cm2?

A) 2 cmB) 4 cmC) 5 cmD) 10 cmE) 12 cm

2. Se tiene un prisma regular con 16 vértices, que fue generado al trasladar su base.Entonces, se puede concluir que

A) su base es un pentágono regular.B) su base es un hexágono regular.C) su base es un heptágono regular.D) su base es un octógono regular.E) no se puede determinar.

3. Para que el volumen de una esfera sea igual a6

cm3, es necesario que el radio de dicha

esfera mida

A) 1

B)12

C)13

D)23

E)32

4. Si el contenido de un cilindro circular recto con un volumen de 175 cm3, se vacía en uncono recto de base circular de radio y altura iguales a la del cilindro (fig. 1), entonces¿cuál es la cantidad de líquido que no se alcanza a traspasar?

A)13

cm3

B)1753

cm3

C)175

3

cm3

D)3503

cm3

E)350

3

cm3

fig. 1

8

5. Un prisma de base triangular tiene una altura igual a 4 cm, si la base es un triángulorectángulo de catetos 8 y 15 cm, entonces el área del prisma es

A) 60 cm2

B) 120 cm2

C) 160 cm2

D) 220 cm2

E) 280 cm2

6. Señale cuál de las piezas de un ajedrez no se puede generar por rotación

A) AlfilB) TorreC) ReyD) ReinaE) Peón

7. Si se tiene un segmento cuyos puntos extremos son (1, 3, 0) y (2, 4, 2a). ¿Para quévalor de a, siendo a un real positivo, la distancia entre estos dos puntos es 6 ?.Sabiendo que la distancia entre dos puntos en el espacio, se obtiene mediante la

expresión 2 2 22 1 2 1 2 1(x x ) + (y y ) + (z z )

A) 0,4B) 0,5C) 1D) 2E) 3

8. Si se rota un cuarto de un círculo de radio 3 cm (fig. 2), en torno a su radio, ¿cuál es elvolumen del cuerpo que se genera?

A) 6 cm3

B) 9 cm3

C) 12 cm3

D) 15 cm3

E) 18 cm3

Alfil Torre Rey Reina Peón

3

fig. 2

9

9. ¿Cuál es el área y el volumen de un cilindro (fig. 3), en función de la altura (h), si lamedida del radio corresponde a un cuarto de la medida de la altura?

Área Volumen

A)2h 1

1 +2 4

3h8

B)2h 1

1 +2 4

3h16

C)2h 1

1 +2 2

3h4

D)2h 1

1 +4 2

2h8

E)2h 1

1 +4 4

2h16

10. En la figura 4, ¿cuánto mide el menor ángulo diedro formado por el plano ABCD y una delas caras del paralelepípedo, si AB = 2CE = 10 cm?

A) 30ºB) 45ºC) 60ºD) 50ºE) 90º

11. En la figura 5, ¿qué radio debe tener una esfera para que su volumen y área sean igualesnuméricamente?

A)13

B) 3C) 4D) 5E) 6

12. En la figura 6, el volumen de la pirámide es220a

3cm3 y el perímetro de su base cuadrada

es 8a cm. ¿Cuál es la longitud de la altura de dicha pirámide?

A)54

cm

B) 2 cmC) 4 cmD) 5 cmE) 10 cm

r fig. 5

fig. 3h

fig. 6

10 E

C

B

A

D

fig. 4

10

13. En la figura 7, al cilindro de radio 10 cm y de largo 30 cm, se le ha hecho un orificio en elcentro del cilindro con un diámetro de 18 cm, en toda su extensión. ¿Cuál es el volumendel cuerpo cilíndrico resultante?

A) 98 cm3

B) 570 cm3

C) 702 cm3

D) 800 cm3

E) 1.502 cm3

14. El valor de la apotema lateral (g) de una pirámide de base cuadrada de lado igual a5c cm y con un área de 50 cm2 está dado por

A) g =25c + 50

ccm

B) g =225c + 50c

cm

C) g =225c 5010c

cm

D) g =250 25c

10c

cm

E) g =250 + 25c

10cm

15. En la figura 8, ¿cuál es el volumen de la pirámide inscrita en el cubo de arista 4 cm?

A)163

cm3

B)243

cm3

C)343

cm3

D)483

cm3

E)643

cm3

fig. 8

Z

X

Y

fig. 7

10 cm

18 cm

11

16. Si se rota un triángulo rectángulo en torno al cateto de 4 cm de longitud, ¿cuál es lageneratriz (g) y el área del cuerpo generado, si el otro cateto del triángulo mide 3 cm?

Generatriz Área

A) 5 cm 27 cm2

B) 5 cm 24 cm2

C) 4 cm 24 cm2

D) 4 cm 12 cm2

E) 3 cm 12 cm2

17. Si el volumen del cubo de la figura 9 es 125 cm3, entonces el área achurada es

A) (5 + 5 2 ) cm2

B) (15 + 5 2 ) cm2

C) (25 + 25 2 ) cm2

D) (25 + 5 2 ) cm2

E) (5 + 25 2 ) cm2

18. Se desea cubrir un paralelepípedo recto con papel de regalo, ¿cuánto papel se necesita siel largo es p, y el ancho y alto miden q?

A) pq2

B) p2q2

C) p2qD) 2q2 + 4pqE) 2p2 + 4pq

19. Los puntos A, B, C y D de la figura 10, son los vértices de un cuadrado. Si ABCD setraslada según el vector (0,0,5), entonces el volumen del cuerpo que se generó por dichatraslación es

A) 13 cm3

B) 40 cm3

C) 56 cm3

D) 80 cm3

E) 112 cm3

fig. 9

X

Y

Z

fig.10

11 22

3

34

4

5

5 6

12

34

56

7

7

x

y

z

D A

C B

cm

cm

cm

12

20. Si dos de las coordenadas de un cubo son (0, 0, 0) y (4, 0, 0). ¿Cuál(es) de las siguientescoordenadas puede(n) pertenecer a dicho cubo?

I) (0, 4, 0)II) (0, 0, 4)

III) (4, 4, 4)IV) (4, -4, 0)

A) Solo I y IIB) Sólo II y IIIC) Sólo III y IVD) Sólo I, II y IIIE) Todas ellas

21. En la figura 11, ¿cuál es el área de una pirámide de base cuadrada de lado a, formada porcuatro triángulos equiláteros, en función de su altura h?

A) 2h · (1 + 3 )B) h2 · (1 + 3 )C) 2h2 · (1 + 3 )D) (2h)2 · (1 + 3 )E) 2h2 · (1 + 3 )2

22. Un reloj de arena de 12 cm de altura está formado por dos conos iguales rectos, uno delos cuales está completamente lleno de arena, tal como se muestra en la figura 12. Si seinvierte el reloj toda la arena pasa al otro cono en 1 minuto, bajo estas condiciones, ¿quévolumen de arena deja pasar por segundo el reloj? (use = 3)

A) 216 cm3

B) 36 cm3

C) 10,8 cm3

D) 7,2 cm3

E) 3,6 cm3

23. Un lingote de cobre (fig. 13), formado por la traslación de un trapecio de bases 7 y 5 cmy de altura 4 cm, pesa 4,32 kg. Calcule la densidad en gr/cm3 del cobre utilizado.

A) 18B) 12C) 10,8D) 9E) 7,7

h

aa

fig. 11

12 cm fig. 12

20 cm

fig. 13

13

24. En la figura 14 se tiene un cilindro de radio basal 3 cm y altura 4 cm, al que en su centrose le ha quitado un paralelepípedo recto de igual altura y base cuadrada de lado 2 cm.¿Cuál es el volumen que queda? ( use = 3)

A) 38 cm3

B) 40 cm3

C) 44 cm3

D) 54 cm3

E) 92 cm3

25. De un bloque cúbico de arista 3 m se recorta un sólido en forma de H como se muestraen la figura 15. Entonces, el volumen del sólido es

A) 21 m3

B) 27 m3

C) 54 m3

D) 55 m3

E) 62 m3

26. En la figura 16, se tiene dos pentágonos regulares de lado 2 cm. Si uno de ellos es laimagen del otro, provocado por una traslación horizontal. Calcular la longitud delsegmento que une dichos pentágonos, para crear un prisma de base pentagonal.

A) 26 cmB) 34 cmC) 6 cmD) 50 cmE) 36 cm

27. En la figura 17, se muestra una pirámide inscrita en un cubo. Se puede determinar elvolumen del cubo si :

(1) El volumen de la pirámide es 5 3 .(2) El volumen del cubo es equivalente a tres pirámides inscritas.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

fig. 14

1 m1 m 1 m

1 m

1 m

1 m

fig. 15

3 m

fig. 16

x

y

z

7

3

fig. 17

14

28. El volumen del cilindro recto de radio 3 cm (fig. 18) se obtiene si :

(1) Se conoce la generatriz g del cono inscrito.

(2) Se conoce el área basal del cilindro.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

29. Se puede calcular el área de un cilindro si :

(1) El diámetro de la base es 3 veces la altura del prisma.

(2) El volumen del cilindro es 48.

A) (1) por sí solaB) (2) pos sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30. Del prisma de la figura 19, formado por un cuadrado CDEF y un triángulo rectángulo ADCcomo base, se puede conocer el ángulo , si :

(1) 2 AD = AC

(2) ABC equilátero.

A) (1) por si solaB) (2) por si solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

h

r

fig. 18

fig. 19

A BD E

C F

15

RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 7

DMDOMA39

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1. D 11. B 21. C

2. D 12. D 22. E

3. B 13. B 23. D

4. E 14. D 24. E

5. E 15. E 25. A

6. C 16. B 26. B

7. C 17. C 27. A

8. E 18. D 28. A

9. B 19. D 29. C

10. A 20. E 30. D

EjemplosPágs. 1 2 3

1 D

2 A D

3 D C

5 E B E

6 B C