Cac phuong phap giai ptlg va de thi dh cac nam

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498

1

(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)

Gửi tặng: www.Mathvn.com

Bỉm sơn. 08.05.2011

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


2

MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chú ý: Về sự suy biến của các cung trong các công thức đã học ở trường phổ thông Ví dụ như các công thức sau

2 2sin cos 1x x 2 2cos 2 2cos 1 1 2sinx x x

sin 2 2sin cosx x x 3sin 3 3sin 4sinx x x …

Là những công thức chúng ta đã được học ở trường phổ thông, bây giờ ta thử xem các công thức sau đúng hay không

2 2sin 2 cos 2 1x x 2 2cos 4 2cos 2 1 1 2sin 2x x x

sin 4 2sin 2 cos 2x x x 3sin 9 3sin 3 4sin 3x x x …Hoàn toán đúng, vậy từ đây ta có thể khái quát và mở rộng như sau

Với 0k ta có 2 2sin cos 1kx kx

2 2cos 2 2cos 1 1 2sinkx kx kx sin 2 2sin coskx kx kx

3sin 3 3sin 4sinkx kx kx 1. Dựa vào mối quan hệ giữa các cung Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng… chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào

Bài 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình: 1 1 74.sin3sin 4sin2

xx x

Nhận xét:

Từ sự xuất hiện hai cung 32

x và 7

4x

mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa hai cung hai về cùng một

cung x. Để làm được điều này ta có thể sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức về các góc

đặc biệt

Giải:

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


3

Ta có 3 3 3sin sin .cos cos .sin cos2 2 2

x x x x

7 7 7 2sin sin cos cos .sin sin cos4 4 4 2

x x x x x

Sử dụng công thức về các góc đặc biệt

Ta có 3 3sin sin 2 sin cos2 2 2

x x x x

Hoặc 3sin sin 2 sin cos2 2 2

x x x x

7 7 2sin sin 2 sin sin cos4 4 4 2

x x x x x

Hoặc 7 2sin sin 2 sin sin cos4 4 4 2

x x x x x

Chú ý:

sin 2 sin,

cos 2 cos

x k xk

x k x

và

sin 2 sin,

cos 2 cos

x k xk

x k x

Điều kiện: sin 0

sin 2 0 ,cos 0 2

xx x k k

x

Phương trình 1 1 4sinsin cos 4

xx x

sin cos 2 2 sin .cos sin cosx x x x x x

sin cos 2 2 sin .cos 1 0x x x x

tan 1sin cos 022 2 sin .cos 1 0 sin 2

2

xx x

x x x

4 4

2 2 ,4 8

5 52 24 8

x k x k

x k x k k

x k x k

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là

4x k ;

8x k ; 5

8x k với k

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


4

Đs: 5, , ,4 8 8

x k x k x k k

Bài 2: (ĐH – D 2006) Giải phương trình: cos3 cos 2 – cos –1 0x x x

Giải:

Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa cùng về một cung x bằng công thức

nhân ba và nhân đôi của hàm cos

Phương trình 3 24cos 3cos 2cos 1 cos 1 0x x x x 3 22cos cos 2cos 1 0x x x 22cos 1 cos 1 0x x

21cos

2cos 1 sin 0 2sin 0

xx x

x

2 2

;3x k

kx k

Đs: 2 2 ,3

x k x k k

Cách 2: Nhận xét:

Ta có 32

x x x và cung 2x cũng biểu diển qua cung x chính vì thế ta nghĩ đến nhóm các hạng tử bằng cách

dùng công thức biến tích thành tổng và công thức nhân đôi đưa về phương sử trình tích

2

2

cos3 cos – 1 cos 2 0 2sin 2 .sin 2sin 0

2sin 2cos 1 0

x x x x x x

x x

… tương tự như trên Chú ý: Công thức nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhưng việc nhớ để vận dụng thì không khó Công thức nhân ba 3 3cos3 4cos 3cos , sin 3 3sin 4sinx x x x x x Chứng minh: Dựa vào công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi Ta có

2 2

2 2 3

cos3 cos 2 cos 2 .cos sin 2 .sin 2cos 1 cos 2cos .sin

2cos 1 cos 2cos 1 cos 4cos 3cos

x x x x x x x x x x x

x x x x x x

Tương tự cho sin 3x Bài 3: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 6 23cos 4 – 8cos 2cos 3 0x x x

Giải: Nhận xét 1: Từ sự xuất hiện cung 4x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


5

2 2 4 2cos 4 2cos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1x x x x x Cách 1: Phương trình 6 4 24cos 12cos 11cos 3 0x x x (pt bậc 6 chẵn) Đặt 2cos , 0 1t x t

Khi đó ta có 3 21

4 12 11 3 0 12

tt t t

t

… bạn được giải tiếp được nghiệm , ,4 2

x k k k

Nhận xét 2: Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2x bằng công thức ha bậc và từ cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi Cách 2: Phương trình

3

2 21 cos 2 1 cos 23 cos 2 1 8 2 3 0 cos 2 2cos 2 3cos 2 2 02 2

cos 2 0,4 2

cos 2 1

x xx x x x

x x kk

x x k

Nhận xét 3: Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau mà ta liên tưởng đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trình tích Cách 3:

0)1cos2)(1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4cos1(3 222242 xxxxxxx 2 2 2 2 26cos 2 2cos (2cos 1)cos 2 0 cos 2 3cos 2 cos (2cos 1) 0x x x x x x x x

2 4 2

cos 2 04 2

3(2cos 1) 2cos cos 0

kx x

x x x

Phương trình

2

4 22

cos 1 sin 02cos 5cos 3 0 3cos ( )

2

x x x kx x

x loai

Đs: , ,4 2

x k k k

Bài 4: (ĐH – D 2008) Giải phương trình: 2sin 1 cos 2 sin 2 1 cosx x x x

Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ tới việc chuyển cung 2x về cung x bằng các công thức nhân đôi của hàm sin và cos từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế Phương trình 24sin .cos 2sin .cos 1 2cosx x x x x

2sin .cos (1 2cos ) 1 2cosx x x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


6

(1 2cos )(sin 2 1) 0x x

1cos2

sin 2 1

x

x

2 23

4

x k

x k

Đs: 2 2 , ,3 4

x k x k k

Bài 5: Giải phương trình 33sin 3 3 cos9 1 4sin 3x x x Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện các cung 3x và 9x ta liên tưởng tới công thức nhân ba cho sin và cos từ đó đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos

33sin 3 4sin 3 3 cos9 1 sin 9 3 cos9 1x x x x x 2

1 3 1 1 18 9sin 9 cos9 sin 97 22 2 2 3 254 9

x kx x x k

x k

Bài 6: (ĐHM – 1997) Giải phương trình sin 5 15sin

xx

Giải: Điều kiện: sin 0x Phương trình sin 5 5sin sin 5 5sinx x x x Nhận xét: Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để giảm cung đưa cung 5x về x… có hai hướng Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai

sin 5 sin 4sin 2cos3 sin 2 4sin4cos3 sin cos 4sin cos3 cos 1

x x x x x xx x x x x x

23cos ( )

cos 4 cos 2 2 2cos 2 cos 2 3 0 2cos 2 1

x loaix x x x

x

21 cos 2 0 2sin 0 sin 0 ( )x x x loai Vậy phương trình vô nghiệm Hướng 2: Phân tích cung 5 2 3x x x , áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức

nhân hai, nhân ba

23 2 2 3 2 2

sin 3 2 5sin sin 3 cos 2 sin 2 cos3 5sin

3sin 4sin cos sin 2sin cos 4cos 3cos 5sin sin cos

x x x x x x x x


5 3 3 2 212sin 20cos sin 0 3sin 5cos 0x x x x x … vô nghiệm

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


7

Bài 7: (ĐH – D 2002) Tìm 0;14x nghiệm đúng phương trình: cos3 – 4cos 2 3cos 4 0x x x

Giải:

Phương trình 3 24cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0x x x x

3 2 2cos 2cos 0 cos (cos 2) 0x x x x

cos 02

x x k

Vì 0;14x nên 0 142

k

Đs: 3 5 7; ; ;2 2 2 2

x x x x

Bài 8: (ĐHTL – 2000) Giải phương trình sin 3 sin 53 5

x x

Giải:

Phương trình 25sin 3 3sin 4 5sin 3 4sin 3 sin cos 4 cos sin 4x x x x x x x x x

2 2

2 2

5sin 3 4sin 3sin cos 4 4cos cos 2

sin 0

5 3 4sin 3 cos 4 4cos cos 2 *

x x x x x x

x x k

x x x x

Phương trình 2* 5 3 2 1 cos 2 3 2cos 2 1 cos 2 cos 2x x x x

2

5 1cos 26 212cos 2 4cos 2 5 0

1cos 232

x x kx x

x kx

Bài 9: (ĐH – D 2009) Giải phương trình: 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0x x x x

Giải:

Nhận xét:

Từ sự xuất hiện các cung 5x, 3x, 2x, x và 3 2 5x x x ta nghĩ ngay tới việc áp dụng công thức biến đổi tổng

thành tích để đưa về cung 5x. Còn cung x thì thế nào hãy xem phần chú ý

Phương trình 3 cos5 sin 5 sin sin 0x x x x

3 1cos5 sin 5 sin2 2

x x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


8

12 3sin 5 sin3

6 2

x kx x k

x k

Đs: , ,18 3 6 2

x k x k k

Chú ý: - Đối với phương trình bậc nhất với sin và cos là sin cosa x b x c học sinh dễ dàng giải được nhưng nếu gặp phương trình sin cos 'sin 'cos , 0,1a x b x a kx b kx k thì làm thế nào, cứ bình tĩnh nhé, ta coi như hai vế của phương trình là hai phương trình bậc nhất đối với sin và cos thì cách làm tương tự - Với ý tưởng như thế ta có thể làm tương tự bài toán sau Bài 10: (ĐH – B 2009) Giải phương trình: 3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x

Giải: Phương trình

2sin 1 2sin cos .sin 2 3cos3 2cos4x x x x x x

1 3sin 3 3 cos3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 42 2

x x x x x x

cos 4 cos 36

x x

4 3 26

x x k

2

62

42 7

x kk

x k

Hoặc:

1 3 1sin sin 3 sin 3 cos3 2(cos 4 sin sin 3 )2 4 4

x x x x x x x

1 3 3 1sin 3 sin 3 cos3 2cos 4 sin sin 32 2 2 2

x x x x x x

1 3sin 3 3 cos3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 42 2

x x x x x x

Đs: 2 , 2 ,42 7 6

kx x k k

Tương tự: (CĐ – A 2004) Giải phương trình: 32coscos2sinsin

xxxx

HD:

Điều kiện: 32202coscos kxkxxx

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


9

xxxxxxxx sin21cos

232sin

212cos

232cos3cos32sinsin

32

92

6cos

62cos

kxkxxx

Bài 11: (ĐHXD – 1997) Giải phương trình:4 4

4sin 2 cos 2 cos 4tan tan

4 4

x x xx x

Giải:

Nhận xét:

Từ tổng hai cung 4 4 2

x x

nên tan tan 14 4

x x

và cung 2x có thể đưa về cung 4x

bằng công thức nhân đôi

Điều kiện: cos 0

4 1cos .cos 0 cos 2 cos 0 cos 2 04 4 2 2

cos 04

xx x x x

x

Phương trình 4 4 4 2 2 4 2 41sin 2 cos 2 cos 4 1 2sin cos 2 cos 4 1 sin 4 cos 42

x x x x x x x x

2

2 4 4 22

cos 4 111 1 cos 4 cos 4 2cos 4 cos 4 1 0 12 sin 42

sin 2 0sin 4 0 ,

cos 2 0 2

xx x x x

x loai

x kx x kx loai

Chú ý:

- Chắc hẳn các bạn sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét và tổng hai cung mà

quy đồng và biến đổi thì…ra không

- Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trình lượng giác có dạng phân thức

như trên nếu không khôn khéo thì rất … phức tạp.

- Với ý tưởng nhận xét về tổng các cung trên ta có thể làm tương tự bài toán sau

(ĐHGTVT – 1999) Giải phương trình: 4 4 7sin cos cot cot8 3 6

x x x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


10

Đs: ,12 2

kx k

Bài 12: (ĐHTL – 2001) Giải phương trình: 3 1 3sin sin10 2 2 10 2

x x

Giải:

Nhận xét:

Nhìn vào phương trình này ta ngĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng… nhưng đừng vội làm như thế

khó ra lắm ta xem mối quan hệ giữa hai cung 310 2

x và 3

10 2x

có mối quan hệ với nhau như thế nào

Thật vậy 3 3 9 3 3sin sin sin sin 310 2 10 2 10 2 10 2

x x x x

từ đó ta đặt 3

10 2xt

và sử

dụng công thức nhân ba là ngon lành

Phương trình 3 22

sin 01 1sin sin 3 sin 3sin 4sin sin 1 sin 02 2 1 sin 0

tt t t t t t t

t

TH 1: 3sin 0 2 ,5

t t k x k k

TH 2: 2 1 cos 2 1 31 sin 0 1 0 cos 2 2 4 ,2 2 6 5 6

tt t t k x k k

Chú ý:

- Nếu không quen với cách biến đổi trên ta có thể làm như sau 3 3 3210 2 5 10 2

x xt x t t

- Với cách phân tích cung như trên ta có thể làm bài toán sau

a. (BCVT – 1999) Giải phương trình: )4

sin(2sin)4

3sin( xxx

đặt 4

t x

Đs: 4 2

kx

b. (ĐHQGHN – 1999) Giải phương trình: 38cos cos33

x x

đặt 3

t x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


11

Đs:

62 ,3

x k

x k k

x k

c. (PVBCTT – 1998) Giải phương trình: xx sin2)4

(sin2 3

đặt 4

t x

Đs: ,4

x k k

d. (QGHCM 1998) Giải phương trình: xx sin2)4

(sin 3

Bài tập tự giải:

Bài 1: (Đề 16 III) Tìm nghiệm )3;2

( x của phương trình sau

xxx sin21)2

7cos(3)2

52sin(

Đs: 13 5 17,2 , , ,6 6 6

x

Bài 2: (ĐHYTB – 1997) Giải phương trình 2 32 cos 6 sin 2sin 2sin

5 12 5 12 5 3 5 6x x x x

Đs: 5 5 55 , 5 , 5 ,4 12 3

x k x k x k k

2. Biến đổi tích thành tích và ngược lại

Bài 1: Giải phương trình : sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin 6 0x x x x x x

Giải:

Nhận xét:

Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu ) của sin (hoặc cos) ta cần để ý đến cung để sao cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau Phương trình sin 6 sin sin 5 sin 2 sin 4 sin 3 0x x x x x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


12

7 5 3 7 32sin cos cos cos 0 4sin cos 2cos 1 02 2 2 2 2 2

27sin 072

3 2cos 0 ;2 3 3

2cos 1 0 2 23

x x x x x x x

kx x

x kx k Z

x x k

Bài 2: Giải phương trình : 3 3 2 3 2cos3 cos sin 3 sin8

x x x x

Giải: Nhận xét: Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn, chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Phương trình 2 21 1 2 3 2cos cos 4 cos 2 sin cos 2 cos 42 2 8

x x x x x x

2 2 2 2 22 3 2 2 3 2cos 4 cos sin cos 2 cos sin cos 4 cos 24 4

24cos 4 2 1 cos 4 2 3 2 cos 42 16 2

x x x x x x x x

kx x x x k Z

Cách khác: Sử dụng công thức nhân ba

3 3 1 3 3 3 1 3cos3 cos sin 3 sin cos3 cos3 cos sin sin sin 3 cos 44 4 4 4 4 4


Bài tập tự giải: Bài 1: (HVQHQT – 2000) Giải phương trình: cos cos3 2cos5 0x x x

Đs: 1,2

2

2

x k

x k

với 1,21 17cos

8

Bài 2: (ĐHNT 1997) Giải phương trình: 9sin 6cos – 3sin 2 cos 2 8x x x x

Đs: 22

x k

Bài 3: (ĐHNTHCM – 2000) Giải phương trình: 1 sin cos3 cos sin 2 cos 2x x x x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


13

Đs: 23

7,6 6

x k

x k

x k x k

Bài 4: (ĐHYN – 2000) Giải phương trình: sin 4 tanx x

Đs: 2

x k

x k

với 1 3cos2

Bài 5: (ĐHYHN – 1996) Giải phương trình: cos – sin cos sin cos cos 2x x x x x x

Đs: 2

4

x k

x k

Bài 6: (ĐHHH – 2000) Giải phương trình: 22sin 1 3cos 4 2sin – 4 4cos 3x x x x

Đs:

26

7 26

2

x k

x k

kx

Bài 7: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trình: 3 3cos – sin sin – cosx x x x

Đs: 4

x k

Bài 8: (ĐTTS – 1996) Giải phương trình: 3 3cos sin sin – cosx x x x

Đs: 2

x k

Bài 9: (ĐHCSND – 2000) Giải phương trình: 3 3cos sin sin 2 sin cosx x x x x

Đs: 2

kx

Bài 10: (HVQY – 2000) Giải phương trình: 2 3cos sin cos 0x x x

Đs: 2

24

x k

x k

với 1cos 12

Bài 11: (HVNHHN – 2000) Giải phương trình: 3 2cos cos 2sin – 2 0x x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


14

Đs:

22

22

2

x k

x k

x k

Bài 12: (HVNHHCM – 2000) Giải phương trình: 2 3sin sin cos 0x x x

Đs: 2

24

x k

x k

với 1cos 12

Bài 13: (DDHBCVTHCM – 1997) Giải phương trình: 2cos – 4sin cos 0x x x

Đs: 2x k

x k

với 1tan4

Bài 14: (HVKTQS – 1999) Giải phương trình: 3 32sin – sin 2cos – cos cos 2x x x x x

Đs:

24

4 22

x k

kx

x k

Bài 15: (ĐHSP I – 2000) Giải phương trình: 34cos 3 2 sin 2 8cosx x x

Đs:

2

2434

x k

x k

x k

3. Sử dụng công thức hạ bậc

Khi giải phương trình lượng giác gặp bậc của sin và cos là bậc nhất ta thường giảm bậc bằng cách sử

dụng các công thức hạ bậc… từ đó đưa về các phương trình cơ bản

Bài 1: (ĐHAG – 2000) Giải phương trình 2 2 2 3sin sin 2 sin 32

x x x

Giải: Nhận xét:

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


15

Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và tổng hai cung 6 2 42

x x x mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng

công thức biến đổi tổng thành tích sau đó nhóm các hạng tử đưa về phương trình tích cos 2 cos 4 cos 6 0 cos 4 (2cos 2 1) 0x x x x x cos 4 0

1 8 4 3cos 22

xkx x k

x

Bài 2: (ĐH – B 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x

Giải:

Nhận xét: Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin, cos mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và kết hợp với công thức biến đổi tổng thành tích đưa về phương trình tích

Phương trình 1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos122 2 2 2

x x x

cos12 cos10 cos8 cos 6 0x x x x 2cos11 .cos 2cos 7 .cos 0x x x x

cos cos11 cos 7 0x x x cos .sin 9 .sin 2 0 sin 9 .sin 2 0x x x x x

sin 9 0 9 9 ,sin 2 0 2

2

x kx x kk

x x k x k

Đs: ; ,9 2

x k x k k

Chú ý: Có thể nhóm cos12 cos8 cos10 cos 6 0x x x x

Bài 3: (ĐH – D 2003) Giải phương trình: 2 2 2sin tan cos 02 4 2x xx

Giải:

Nhận xét: Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và nhóm các hạng tử đưa về phương trình tích Điều kiện: cos 0x

Phương trình

21 cos tan2 1 cos 0

2 2

x xx

2 2 2 31 sin tan 1 cos 0 1 sin sin cos cos 0x x x x x x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


16

(sin cos )(1 sin cos cos sin ) 0sin cos 01 sin cos cos sin 0

x x x x x xx x

x x x x

Khi sin cos 0 tan 1 ;4

x x x x k k

Khi 1 sin cos cos sin 0x x x x

Đặt 21cos sin sin cos

2tt x x x x

Ta được 2 2 1 0t t 1t 2 3cos cos

4 2 4x

23 2 24 4 2

x kx k

x k

So với điều kiện ta chỉ nhận 2x k Cách 2:

22 2

2

1 sin 11 cos (1 cos ) (1 sin )sin (1 cos ) cos2 2 2cos

xx x x x x xx

2sin 1 2(1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0 cos 1 2

tan 14

x kxx x x x x x k

x x k

Kết hợp với điều kiện ta được kxkx 4

2

Chú ý: Vì cos 0 sin 1x x nên ta loại ngay được 22

x k

Đs: 2 , ,4

x k x k k

Bài 4: (ĐH – A 2005) Giải phương trình: 2 2cos 3 .cos 2 – cos 0x x x

Giải:

Cách 1:

Phương trình 1 cos 6 1 cos 2.cos 2 02 2

x xx

cos6 .cos 2 1 0x x 1 cos8 cos 4 1 02

x x 22cos 4 1 cos 4 2 0x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


17

2

cos 4 12cos 4 cos 4 3 0 3cos 4 1

2

xx x

x loai

4 22

x k x k k

Cách 2: 3 4 2cos 6 cos 2 1 0 4cos 2 3cos 2 .cos 2 1 0 4cos 2 3cos 2 1 0x x x x x x x

Đs: 2

kx k

Cách 3:

cos 6 cos 2 1x x cos 2 1 cos 6 1cos 2 1 cos 6 1

x xx x

Khi cos 2 1x thì 3cos6 4cos 2 3cos 2x x x =1 Khi cos 2 1x thì 3cos6 4cos 2 3cos 2 1x x x

Vậy hệ trên tương đương sin 2 0x cho ta nghiệm 2

x k

Chú ý: Một số kết quả thu được 1 sin ,cos 1x x sin 1 cos 1

sin .cos 1sin 1 cos 1

a ba b

a b

sin 1 sin 1sin .sin 1

sin 1 sin 1a b

a ba b

cos 1 cos 1cos .cos 1

cos 1 cos 1a b

a ba b

Tương tự cho trường hợp vế phải là 1

sin 1 cos 1sin .cos 1

sin 1 cos 1a b

a ba b

sin 1 sin 1sin .sin 1

sin 1 sin 1a b

a ba b

cos 1 cos 1cos .cos 1

cos 1 cos 1a b

a ba b

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


18

Bài 5: (ĐHL – 1995) Giải phương trình 4 4cos sin 14

x x

Giải: Phương trình

2

2 1 cos 21 cos 2 2 1

2 2

xx

2 2(1 cos 2 ) (1 sin 2 ) 1 cos 2 sin 2 1 2 cos 2 12

x x x x x

1cos 2 ,2 2 42

x x k x k k

Bài 6: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình:

11cos2

42sin2cos32 2

x

xx

Giải:

Điều kiện: 21cos x

Phương trình

0cos23sin

2120sincos31cos2

2cos1cos)32(

xxxxxxx

)12(3

21cos

33

03

sin2

nx

x

kxkxx

Đs: ,3

x k k

Bài 7: (QGHN – 1998) Giải phương trình 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x Giải:

Phương trình 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 cos 2 cos 4 1 cos 6 02 2 2

x x x x x x

22cos3 cos 2cos 3 0 2cos3 (cos cos3 ) 0 4cos3 cos 2 cos 0x x x x x x x x x

6 3

,4 2

2

x k

x k k

x k

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


19

Bài 8: (ĐHKT – 1999) Giải phương trình 3 22

3(1 sin )3 tan tan 8cos 04 2cos

x xx x xx

Giải:

Phương trình 3 23 tan tan 3(1 sin ) 1 tan 4 1 sin 0x x x x x

3 2

2

2

3 tan tan 3 1 sin tan 1 sin 0

3tan 1 sin tan 1 sin tan 0

1 sin tan 3 tan 1 0

x x x x x

x x x x x

x x x

TH 1: 1tan ,63

x x k k

TH 2: 1 sin tan 0 sin cos sin cos 0x x x x x x (pt đối xứng với sin và cos)

Giải phương trình này ta được 2 ,4

x k k với 2 1cos2

Bài 9: ĐH – B 2007) Giải phương trình: 22sin 2 sin 7 1 sinx x x

Giải:

Nhận xét:

Từ sự xuất hiện các cung x, 2x, 7x và 7 2.22

x x x chính vì thế ta định hướng hạ bậc chẵn và áp dụng công

thức biến đổi tổng thành tích

Phương trình 2sin 7 sin 1 2sin 2 0x x x 2cos 4 .sin 3 cos 4 0x x x

cos 4 0

cos 4 2sin 3 1 0 1sin 32

xx x

x

48 42

23 2 ,6 18 35 5 23 26 18 3

x kx k

x k x k k

x k x k

Đs: 2 5 2; ,18 3 18 3

x k x k k

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


20

Bài tập tự giải:

Bài 1: (GTVT – 2001) Giải phương trình: sin4x + 89)

4(sin)

4(sin 44

xx

Đs: ,2

x k k với 2 6cos2

Bài 2: (ĐHQGHN – 1998) Giải phương trình: 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x

Đs: 6 3 ,

4 2

kxk

kx

Bài 3: (Đề 48 II) Giải phương trình: 2 2 17sin 2 – cos 8 sin 102

x x x

Đs: 20 10 ,

6 3

kxk

kx

Bài 4: (ĐHD – 1999) Giải phương trình: 2 2sin 4 – cos 6 sin 10,5 10x x x

Đs: 20 10 ,

2

kxk

x k

Bài 5: (TCKT – 2001) 2 2 2sin sin 3 3cos 2 0x x x

Đs: ,3 2

x k x k với 5 1,cos2

k

Bài 6: (ĐHTDTT – 2001) Giải phương trình: cos3x + sin7x = 2

9cos2)2

54

(sin2 22 xx

Đs:

12 6

,4

8 2

kx

x k k

kx

Bài 7: (ĐHNTHCM – 1995) Giải phương trình: 8 8 217sin cos cos 216

x x x

Đs: ,8 4

kx k

Bài 8: (KTMM – 1999) Giải phương trình: 8 8 17sin cos32

x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


21

Đs: ,8 4

kx k

Bài 9: (HVQY – 1997) Giải phương trình: 8 8 1sin 2 cos 28

x x

Đs: ,8 4

kx k

Bài 10: (ĐHSPHN – A 200) Tìm các nghiệm của phương trình

2 2 7sin sin 4 sin 2 4sin4 2 2

xx x x

thỏa mãn điều kiện 1 3x

Đs: 7;6 6

x

Bài 11: (ĐHSP HCM – A 2000) Giải phương trình:

2 2sin sin cos sin 1 2cos2 2 4 2x x xx x

Đs: ,x k k

Bài 12: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình: 2 2 22cos 2 cos 2 4sin 2 cosx x x x

Đs: ,8 4

kx k

5. Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và một số đẳng thức quan trọng

22 21 sin 2 sin cos 2sin cos sin cosx x x x x x x 2 2 21 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos )x x x x x x x

sin 2sin cos2

xx x

3 3 2 2sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cosx x x x x x x x x x x x

3 3 2 2sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cosx x x x x x x x x x x x 2tan cot

sin 2x x

x , cot tan 2cotx x x

4 4 2 2 2 21 1 1 3 1sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos 2 cos 42 2 2 4 4

x x x x x x x

4 4 2 2 2 2cos sin cos sin cos sin cos 2x x x x x

6 6 4 4 2 2 23 3 5sin cos sin cos sin cos 1 sin 2 cos 44 8 8

x x x x x x x x 6 6 4 4 2 2cos sin cos 2 (sin cos sin cos )x x x x x x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


22

sin cos 2 sin 2 cos4 4

x x x x

11 tan .tan2 cosxx

x

Mối quan hệ giữa cos x và 1 sin x là 2cos cos 1 sin

1 sin cos (1 sin ) cosx x x

x x x x

Bài 1: (ĐH – D 2007) Giải phương trình: 2

sin cos 3 cos 22 2x x x

Giải:

Phương trình 2 2sin 2sin cos cos 3 cos 22 2 2 2x x x x x

sin 3 cos 1x x 1 3 1sin cos2 2 2

x x

1sin .cos cos .sin3 3 2

x x

1sin3 2

x

2 2

3 6 65 2 2

3 6 2

x k x kk

x k x k

Đs: 2 , 2 ,2 6

x k x k k

Bài 2: (ĐH – B 2003) Giải phương trình: x

xxx2sin

22sin4tancot

Giải:

Nhận xét:

Từ sự xuất hiện hiệu cot tanx x và sin 2x ta xem chúng có mối quan hệ thế nào, có đưa về nhân tử chung

hay cung một cung 2x hay không

Ta có 2 2cos sin cos 2 2cos 2

sin cos sin cos sin 2x x x xx x x x x

từ đó ta định hướng giải như sau

Điều kiện: sin 0cos 0 sin 2 0

2sin 2 0

xkx x x

x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


23

2 2cos sin 2 cos 2 14sin 2 2sin 2sin cos sin 2 sin 2 sin 2

x x xx xx x x x x

2 2cos 2 2sin 2 1 2cos 2 cos 2 1 0x x x x

cos 2 11cos 2

2

x

x

Khi cos 2 1x thì sin 0x không thỏa ĐK

Khi 1cos 22

x thì 2 1cos x

4 thỏa mãn điều kiện

Vậy ta nhận 1cos 22 3

x x k

Đs: ,3

x k k

Chú ý:

Từ mối quan hệ giữa tan x và cot x , giữa tan x và sin 2x ta có thể làm như sau

Đặt

2

1cottan

2sin 21

xtt x

txt

Ta được phương trình 2

2

1 2 14 221

t ttt tt

… bạn đọc giải tiếp nhé

Bài 3: (ĐH – D 2005) Giải phương trình: 4 4 3cos sin cos .sin 3 04 4 2

x x x x

Giải:

Nhận xét:

Từ đẳng thức 4 4 21sin cos 1 sin 22

x x x và hiệu hai cung 3 24 4

x x x

Từ đó ta định hướng đưa về cung một cung 2x

Phương trình 2 2 1 12sin cos sin 4 sin 2 02 2 2

x x x x

2sin 2 cos 4 sin 2 1 0x x x 2sin 2 sin 2 2 0x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


24

sin 2 1 ;4

x x k k

Đs: ,4

x k k

Bài 4: Giải phương trình 6 6 213cos sin cos 28

x x x

Giải:

Nhận xét:

Đề bài xuất hiện cung 2x, ta nghĩ xem liệu hiệu 6 6cos sinx x có biểu diễn qua cung 2x để có nhân tử chung

hay không ta làm như sau

2 3 2 3 213(cos ) (sin ) cos 28

x x x

2 2 4 4 2 2 213(cos sin )(cos sin sin cos ) cos 28

x x x x x x x

2 2 2 2 21 1 13cos 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (8 2sin 2 ) 13cos 22 4 8

x x x x x x x

2 2 2

cos 2 0 cos 2 0 cos 2 08 2sin 2 13cos 2 8 2(1 cos 2 ) 13cos 2 2cos 2 13cos 2 6 0

x x xx x x x x x

cos 2 0 1 4 2cos 2 (k )2

cos 2 6 ( ) 6

xx k

xx kx loai

Bài 5: (GTVT – 1998) Giải phương trình tan cot 2(sin 2 cos 2 )x x x x Giải:

Điều kiện cos 0

sin 2 0sin 0

xx

x

sin costan cot 2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 )cos sin

1 22(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 )sin cos sin 2

x xx x x x x xx x

x x x xx x x

21 sin 2 (sin 2 cos 2 ) 1 sin 2 sin 2 cos 2x x x x x x

2 cos 2 0cos 2 sin 2 cos 2 ,

tan 2 1 4 2 8 2x k kx x x x x kx

Bài 6: (QGHN – 1996) Giải phương trình 3tan cot 2cot 2x x x Giải:

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


25

Điều kiện cos 0sin 0 sin 2 0

2sin 2 0

xkx x x

x

3 3

3 3

sin costan cot 2cot 2 2cot 2cos sin

2cos 2 2cot 2 cot 2 cot 2sin 2

x xx x x xx x

x x x xx

2

cot 2 02 ,

2 4 2cot 2 1 ( )x kx k x kx loai

Bài 7: (ĐH – A 2006) Giải phương trình: 0sin22

cossin)sin(cos2 66

x

xxxx

Giải:

Điều kiện: 1sin2

x

Phương trình 4 4 2 22(cos sin sin cos ) sin cos 0x x x x x x 2 22 6sin cos sin cos 0x x x x 23sin 2 sin 2 4 0x x

sin 2 14

x x k 2

4 ;5 24

x kk

x k

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 5 2 ;4

x k k

Bài 8: (ĐH – A 2010) Giải phương trình: 1 sin cos 2 sin

14 cos1 tan 2

x x xx

x

Giải:

Điều kiện: tan 1cos 0

xx

Phương trình 2sin 1 sin cos2 1 tan .cos4

x x x x x

sin cossin cos 1 sin cos2 .coscosx xx x x x x

x

sin cos 2 0x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


26

2

sin 12sin sin 1 0 1sin

2

x loaix x

x

2

67 26

x kk

x k

Đs: 72 , 2 ,6 6

x k x k k

Bài 9: (ĐHDB – 2002) Giải phương trình: x

xx

xx2sin8

12cot21

2sin5cossin 44

Giải: Điều kiện: sin 2 0x Phương trình

0492cos52cos

812cos

21

5

2sin211

812cos

21

5cos.sin21 2

222

xxxx

xxx

kxx

loaix

6212cos

)(292cos

Bài 10: (ĐH – B 2005) Giải phương trình: 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x

Giải:

Phương trình 2 2 2sin cos sin cos cos sin 0x x x x x x (sin cos )(1 2cos ) 0x x x

sin 04 4 ;

21 2cos 32

x x kk

x kx

Đs: 2 23

x k k

Bài 11: (ĐHDB – 2002) Giải phương trình: 2tan cos – cos sin (1 tan .tan )2xx x x x x

HD:

Điều kiện:

02

cos

0cosxx

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


27

Ta có: sin .sin cos .cos sin .sin cos 12 2 2 21 tan .tan 1

2 coscos .cos cos .cos cos .cos2 2 2

x x x xx x xxx x x x xx x x

Phương trình

2)0(cos1cos0)cos1(coscossincoscostan 2 kxxxxx

xxxxx

Đs: 2 ;x k k

Bài 12: (ĐH – B 2006) Giải phương trình: cot sin (1 tan tan ) 42xx x x

Giải:

Điều kiện: sin 0cos 0 ,

2cos 0

2

xx x k kx

Phương trình sinsin 2cot sin 1 . 4

cos cos2

xxx x xx

cos .cos sin .sin2 2cot sin 4

cos .cos2

x xx xx x xx

cos2cot sin . 4

cos .cos2

x

x x xx

cos sin 4sin cos

x xx x

1 4sin .cosx x

2 21 6 12sin2 ,

5 52 2 26 12

x k x kx k

x k x k


12x k ; 5

12x k với k

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


28

Đs: 5; ,12 12

x k x k k

Bài 13: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 2cos 4cot tansin 2

xx xx

HD: Điều kiện: 12cos02sin xx Phương trình

kxx

loaix

xxxxxx

xxx

xx

3212cos

)(12cos

012cos2cos24cos2coscos.sin4cos

cossin

sincos 2

Đs: 2 ;3

x k k

Bài 14: (ĐH – A 2009) Giải phương trình:

1 2sin cos

31 2sin 1 sin

x xx x

.

Giải:

Điều kiện:sin 1

1sin2

x

x

Phương trình 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sinx x x x 2cos 2sin cos 3 3 sin 2 3 sinx x x x x

2cos 3 sin sin 2 3 1 2sinx x x x

cos 3 sin sin 2 3 cos 2x x x x 1 3 1 3cos sin sin 2 cos 22 2 2 2

x x x x

cos .cos sin .sin sin2 .sin cos2 .cos3 3 6 6

x x x x

cos cos 23 6

x x

222 2 ;

26 318 3

x kx x k k

x k


2 ,18 3

x k k

Đs: 2 ,18 3

x k k

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


29

Hoặc:2cos cos 1 sin

1 sin cos (1 sin ) cosx x x

x x x x

Phương trình thành: (1 2sin )(1 sin ) sin cos 23 3

(1 2sin )cos cos s in2xx x x x

x x x

3 cos sin 3 sin 2 cos 2 0 sin sin 2 03 6

x x x x x x

32sin cos 02 12 2 4x x

Hoặc là: 3 3 2sin 02 12 2 12 18 3x x k x k

(biểu diễn trên đường tròn lượng giác ứng với các

cung là 11 23, ,18 18 18 , kiểm tra bằng máy tính thì thỏa các điều kiện ban đầu)

Hoặc là:

cos 0 3 22 4 2 4 2 2x x l x l

(khi đó sin 1x thỏa điều kiện ban đầu) Bài tập tự giải:

Bài 1: (HVCTQG – 1999) 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x

Đs: ,8

x k k

Bài 2: (ĐHMĐC – 2001) Giải phương trình: 4 2

1 248 1 cot 2 .cot 0cos cos

x xx x

Đs: ,8 4

kx k

6. Sử dụng các công thức lượng giác đưa phương trình ban đầu về các các phương trình đơn giải đối

với một hàm lượng giác

a. Đưa về phương trình đẳng cấp

Bài 1: (ĐH – B 2008) Giải phương trình: xxxxxx cossin3cossincos3sin 2233

Giải:

Nhận xét:

Thay cos 0 ,2

x x k k vào phương trình ta được 3sin 0 sin 0x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


30

nên 2

x k k không phải là nghiệm của phương trình

Khi cos 0x chia cả hai vế của phương trình cho 3cos x ta được

3 2 2 2tan 3 tan 3.tan tan tan 1 3 tan 1 0x x x x x x

2tan 1

tan 1 tan 3 0tan 3

xx x

x

4 ;

3

x kk

x k

Đs: ; ,4 2 3

x k x k k

Bài 2: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình 1 3 tan 2sin 2x x

Giải:

Cách 1: Điều kiện: cos 0x

Phương trình 2sin1 3 4sin cos cos 3sin 4sin coscos

x x x x x x xx

Nhận xét: Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho 3cos x

Ta được

2 22 2

3 2 2

1 tan3 4 tan 1 tan 3tan 1 tan 4 tancos cos

3 tan tan tan 1 0 tan 1 3 tan 2 tan 1 0

x x x x xx x

x x x x x x

tan 1 ,4

x x k k vì 23tan 2 tan 1 0x x vô nghiệm

Chú ý:

- Ta có thể chia từ đầu hai vế của phương trình cho 2cos x

- Nhìn vào phương trình ta thấy xuất hiện tan x và sin 2x ta nghĩ tới mối quan hệ như giữa chúng

2 2 2

2sin cos 2 tansin 2sin cos 1 tan

x x xxx x x

hoặc 2

2

2

2sin cos2 tancossin 2 2sin cos

1 1 tancos

x xxxx x x

xx

từ đó ta

đặt tant x

Cách 2:

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


31

Đặt 2

2tan sin 21

tt x xt

Khi đó ta được 3 2 22

41 3 3 1 0 ( 1)(3 2 1) 01

tt t t t t t tt

1 tan 14

t x x k

Bài 3: (ĐHQG HCM – 1998) Giải phương trình 3sin 2 sin4

x x


Từ phương trình ta nhận thấy bước đầu tiên phải phá bỏ 3sin4

x

để đưa cung 4

x

về cung x

từ công thức sin cos 2 sin4

x x x

… đến đây rùi là ra cùng một cung x rùi

Cách 1:

Ta có 2 sin sin cos4

x x x

3 3 3 312 2 sin (sin cos ) sin (sin cos )4 4 2 2

x x x x x x

Phương trình

3 31 (sin cos ) 2 sin (sin cos ) 4sin *2 2

x x x x x x (pt đẳng cấp bậc ba)

Vì cos 0x không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho 3cos x Ta được

3 2 2(tan 1) 4 tan (1 tan ) (tan 1)(3 tan 1) 0

tan 1 (k )4

x x x x x

x x k

Cách 2: Từ phương trình (*)

3 2(*) (sin cos ) 4sin (sin cos )(sin cos ) 4sinx x x x x x x x 2 2(sin cos )(1 2sin cos ) 4sin cos 3sin 2sin cos 2sin cos 0x x x x x x x x x x x

2 2cos ( 2sin 1) sin (2cos 3) 0 cos (cos 2 2) sin (cos 2 2) 0x x x x x x x x cos 2 2 (loai)

(cos 2 2)(cos sin ) 0 (k Z)tan 1 4

xx x x x k

x

Bài 4: (HVQY – B 2001) Giải phương trình 3sin 2cos 2 3 tanx x x Giải:

3 tan cos 2cos 2 3tan cos (3 tan 2) 2 3tanx x x x x x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


32

23tan 2 0 tan tan,3

cos 1 2cos 1

x x kxk

x x kx

Bài tập tự giải: Bài 1: (BCVT – 2001) Giải phương trình: 34cos333sincos43cossin4 33 xxxxx

Đs: 24 2

8 2

kxk

kx

Bài 2: (ĐHNT – 1996) Giải phương trình: 3 3 2cos – 4sin – 3cos sin sin 0x x x x x

Đs: 4

6

x kk

x k

Bài 3: (ĐHH – 1998) Giải phương trình: 3 2cos sin – 3sin cos 0x x x x

Đs: 1

2

4

x k

x k kx k

với 1 2tan 1 2; tan 1 2

Bài 4: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trình: 3 3cos – sin sin – cosx x x x

Đs: 4

x k k

Bài 5: (HVKTQS – 1996) Giải phương trình: 32cos sin 3x x

Đs: 4x k

kx k

với tan 2

Bài 6: (ĐHD HCM – 1997) Giải phương trình: 3sin sin 2 sin 3 6cosx x x x

Đs: 3

x kk

x k

với tan 2

Bài 7: (ĐHYHN – 1999) Giải phương trình: 3sin cos 4sin 0x x x

Đs: 4

x k k

Bài 8: (ĐHQGHN – 1996) Giải phương trình: 1 3sin 2 2 tanx x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


33

Đs: 1,2

4x n

nx n

với 1,23 17tan

4

Bài 9: (ĐHNN I – B 1999) Giải phương trình: 2sin tan 1 3sin cos – sin 3x x x x x

Đs: 4

3

x kk

x k

b. Đưa về phương trình bậc hai, bậc ba, bậc 4… của một hàm lượng giác Bài 1: Giải phương trình 2 22sin tan 2x x

Giải:

Cách 1:

Điều kiện: cos 0x

Phương trình2

2 2 2 4 22

2 tan tan 2 2 tan tan tan 2 2 tan1 tan

x x x x x xx

24 2

2

tan 1tan tan 2 0 tan 1 tan (k )

4 4tan 2 (loai)x

x x x x kx

Cách 2: 2

2 2 2 2 22

sin2sin 2 2sin cos sin 2coscos

xx x x x xx

2 2 2 2 2 4 2 22(1 cos )cos 1 cos 2cos 2cos 2cos 1 cos 2cosx x x x x x x x

2

4 2 22

cos 1 (loai)2cos cos 1 0 2cos 1 01cos

2

cos 2 0 2 (k Z)2 4 2

xx x x

x

kx x k x

Chú ý:

Đối với phương trình 2 1cos2

x ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm khi kết hợp và so sánh

với điều kiện phức tạp nên ta hạ bậc là tối ưu nhất

Bài 2: Giải phương trình 8 8 1sin cos8

x x

Giải: 4 2 4 2 4 4 2 4 41 1(sin ) (cos ) (sin cos ) 2sin cos

8 8x x x x x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


34

2 42 4 2 41 1 1 1 11 sin 2 2(sin cos ) 1 sin 2 sin 2 2 sin 2

2 8 4 2 8x x x x x x

2 4 4 2 4 41 1 11 sin 2 sin 2 sin 2 8 8sin 2 2sin 2 sin 2 14 8 8

x x x x x x 4 2 2 2sin 2 8sin 2 7 0 sin 2 1 sin 2 7 1 (loai)x x x x

cos 2 0 2 ,2 4 2

kx x k x k

Chú ý: Có thể dùng công thức hạ bậc và đặt cos 2t x Bài 3: (ĐH – B 2004) Giải phương trình: 25sin – 2 3 1 sin tanx x x

Giải:

Phương trình 2 2 2 35sin (1 sin ) 2(1 sin ) 3sin 3sinx x x x x 3 22sin sin 5sin 2 0x x x

Đặt sint x với 1;1t 3 2 22 5 2 0 1)(2 3 2) 0t t t t t t

1122

t

t

t loai

2 22 6

x k x k

Đs: 52 ; 2 ,6 6

x k x k k

Bài 4: (QGHN – 1996) Giải phương trình 2tan tan . tan 3 2x x x Giải:

Điều kiện: cos 0cos3 0

xx

22 sin sin 2 2sin costan tan .tan 3 2 tan (tan tan 3 ) 2 2 2

cos cos cos3 cos cos cos3x x x xx x x x x x

x x x x x x

2 2 4 2 4 2sin cos cos3 cos 1 4cos 3cos 4cos 4cos 1 0x x x x x x x x

2 2(2cos 1) 0 cos 2 0 2 ,2 4 2

kx x x k x k

Bài 5: Giải phương trình 12 tan cot 2 2sin 2sin 2

x x xx

Giải:

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


35


sin 2 0sin 2 0

xx

x

2sin cos 2 1 sin sin 22 2sin 2 2 cos 2 2sin 2 1 0cos sin 2 sin 2 cos

x x x xx x xx x x x 2 2 24sin cos 2 2(1 cos 2 ) 1 0 2(1 cos 2 ) cos 2 3 cos 2 0x x x x x x

2cos 2 1 ( ) ( sin 2 0)

12cos 2 cos 2 1 0 cos 21 2cos 22

x loai vì xx x x

x

22 2 ,3 3

x k x k k

Bài 6: Giải phương trình 1 1s in2 sin 2cot22sin sin 2

x x xx x

Giải: Điều kiện: sin 0, cos 0x x Phương trình 2s in 2 sin 2 .sin cos 1 2cos2x x x x x

2 2 2 24cos sin 2cos .sin cos 1 4cos 0x x x x x x 2 2 2 24cos (1 cos ) 2cos (1 cos ) cos 1 4cos 0x x x x x x 4 34cos 2cos cos 1 0x x x

3 2(cos 1)(4cos 2cos 2cos 1) 0x x x x 2(cos 1)(2cos 1)(2cos 1) 0x x x

2cos 11 2cos

32

x kxk

x kx

Bài 7: (ĐH – A 2002)Tìm nghiệm (0;2 )x của phương trình: cos3 sin 35 sin cos 2 31 2sin 2

x xx xx

Giải:

Ta có: 3 3cos3 sin 3 4cos 3cos 3sin 4sinx x x x x x 4(cos sin )(1 sin cos ) 3(cos sin ) (cos sin )(1 4sin cos )x x x x x x x x x x Và 1 2sin 2 1 4sin cosx x x Khi đó phương trình thành:

5sin 5cos 5sin cos 2 3x x x x 22cos 5cos 2 0x x 1cos 2 ;2 3

x x k k

Xét 0 2 23

k 1 5 0

6 6k k

vì k ta được 3

x

Xét 0 2 23

k 1 7 16 6

k k vì k ta được 53

x

Đs: 5;3 3

x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


36

Cách 2: Quy đồng hai vế… bạn đọc tự giải Bài tập tự giải:

Bài 1: (ĐHNN – 2000) Giải phương trình: 12cos 2 – 8cos 7cos

x xx

Đs: 2

2

3

x kk

x k

Bài 2: (ĐHL – 2000) Giải phương trình: 4 sin 3 – cos 2 5 sin –1x x x

Đs:

22

2 2

x k

x k kx k

với 1sin4

c. Đưa về các dạng phương trình đối xứng Chú ý một số dạng đối xứng bậc chẵn với sin va cos Dạng 1: 4 4sin cos sin 2 0a x x b x c

Đặt 4 4 21sin 2 , 1 sin cos 1 sin 22

t x t x x x

Dạng 2: 4 4sin cos cos 2 0a x x b x c

Đặt 4 4 2 21 1cos 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 22 2

t x t x x x x

Dạng 3: 6 6sin cos sin 2 0a x x b x c

Đặt 6 6 23sin 2 , 1 sin cos 1 sin 24

t x t x x x

Dạng 4: 6 6sin cos cos 2 0a x x b x c

Đặt 6 6 2 23 3cos 2 , 1 sin cos 1 sin 2 1 1 cos 24 4

t x t x x x x

Dạng 5: sin cos sin cos 0a x x b x x c

Đặt 2 1sin cos , 2 sin cos2

tt x x t x x

Dạng 6: sin cos sin cos 0a x x b x x c

Đặt 21sin cos , 2 sin cos

2tt x x t x x

Dạng 7: 4 4sin cos .cos 2 0a x b x c x d

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


37

Đặt

2

2

1sin2cos 2 , 1

1cos2

txt x t

tx

Bài 1: (ĐHSP HCM – 2000) Giải phương trình 4 44(sin cos ) 3 sin 4 2x x x Giải:

214 1 sin 2 3 sin 4 22

x x

23 sin 4 2sin 2 2 3 sin 4 cos 4 1x x x x

2 4 2cos 4 cos (k )3 3

12 2

x kx

x k

Bài 2: (ĐHXD – 1994) Giải phương trình 6 6sin cos sin 2x x x Giải:

2 231 sin 2 sin 2 3sin 2 4sin 2 4 04

x x x x

sin 2 2 ( )2 2 ,

sin 2 2 / 3 sinx loai

x k x k kx

Bài 3: (ĐH – A 2007) Giải phương trình: 2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x

Giải: Nhận xét: Phương trình có tính chất đối xứng, điều đó gợi ý cho ta biến đối về phương trình đối xứng với sin và cos bằng cách đặt sin cost x x Phương trình 2 2 2cos sin cos sin cos sin (sin cos )x x x x x x x x

2cos sin sin cos (sin cos ) (sin cos )x x x x x x x x (cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0x x x x x x

sin 04

sin cos sin cos 1 0

x

x x x x

Với phương trình thứ nhất ta có ;4

x k k

Với phương trình thứ hai đặt sin cos t x x ta được

2 2 1 0 1 t t t 1sin

4 2x

2;

22

x kk

x k

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


38

Đs: , 2 , 24 2

x k x k x k k

Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHH – D 2000) Giải phương trình: sin cos 2sin 2cos 2x x x x

Đs: 2

2

2

x kk

x k

Bài 2: (ĐHM – 1999) Giải phương trình: 1 tan 2 2 sinx x

Đs:

24

5 2 12

11 212

x k

x k k

x k

Bài 4: (HVCTQG HCM – 2000) Giải phương trình: 2sin 2 – 2 sin cos 1 0x x x

Đs: 2 2

2

x kk

x k

b. Phương trình đối xứng với tan và cot Bài 1: Giải phương trình: 2 2tan cot 2(tan cot ) 6 (*)x x x x Giải:

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 (k Z)2

kx x x x

2(*) (tan cot ) 2 2(tan cot ) 6x x x x 2(tan cot ) 2(tan cot ) 8 0x x x x

tan cot 2 (1) tan cot 4 (2) x x x x 2 21(1) tan 2 tan 2 tan 1 0 (tan 1) 0

tan

tan 1 tan (k Z)4 4

x x x xx

x x k

2 2sin cos(2) 4 sin cos 4sin coscos sin

1 2sin 2 1 sin 2 sin( )2 6

x x x x x xx x

x x

7 72 2 2 2 (k Z)6 6 12 12

x k x k x k x k

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


39

Vậy nghiệm của phương trình là: 7 (k Z)4 12 12

x k x k x k

Cách 2: đặt 2 2 2 2 2 2tan cot (tan cot ) tan cot 2 tan cot tan cot 2t x x t x x x x x x x x

2 2 2 22 tan cot 2 4 4 2

2t

x x t tt

- Khi 2 tan cot 2 t x x 2 21tan 2 tan 2 tan 1 0 (tan 1) 0tan

x x x xx

tan 1 tan (k Z)4 4

x x k

- Khi 4 tan cot 4 t x x 2 2sin cos 4 sin cos 4sin coscos sin

x x x x x xx x

1 2sin 2 1 sin 2 sin2 6

x x

7 72 2 2 2 (k Z)6 6 12 12

x k x k x k x k

Vậy nghiệm của phương trình là: 7 (k Z)4 12 12

x k x k x k

Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHCĐ – 1997) Giải phương trình: 2 sin cos tan cotx x x x

Đs: 2 4

x k k

Bài 2: (ĐHNN – 1997) Giải phương trình: cot – tan sin cosx x x x

Đs: 2 4

x k k với 2 1cos2

Bài 3: (ĐHCT – D 1999) Giải phương trình: 3 tan cot 2 2 sin 2x x x

Đs: 4

x k k

Bài 4: (ĐHGTVT – 1995) Giải phương trình: 2tan 2 cot 8cosx x x

Đs: 2 2

24 2524 2

kx

kx k

kx

Bài 5: (ĐHQGHN – B 1996) Giải phương trình: 3tan cot 2cot 2x x x

Đs: 4 2

kx k

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


40

Bài 6: (DLĐĐ – 1997) Giải phương trình: tan cot 2 sin 2 cos 2x x x x

Đs: 4 2

8 2

kxk

kx

Bài 7: (DLĐĐ – 1998) Giải phương trình: cot tan 2 tan 2x x x

Đs: 8 4

kx k

Bài 8: (Đề 97 II) Giải phương trình: 6 tan 5cot 3 tan 2x x x

Đs: 2

2

x kk

x k

với 1 1cos ;cos3 4

Bài 9: (ĐHYHN – 1998) Giải phương trình: 2 cot 2 – cot 3 tan 2 cot 3x x x x Phương trình vô nghiệm Bài 10: (QGHN – 1996) Giải phương trình: 2tan – tan tan 3 2x x x

Đs: 4 2

kx k

Bài 11: (ĐHTH – 1993) Giải phương trình: 23 tan 2 – 4 tan 3 tan 3 tan 2x x x x

Đs: x k

kx k

với 3tan

5

Bài 12: (CĐHQ – 2000) Giải phương trình: 2 23tan 4 tan 4cot 3cot 2 0x x gx x

Đs: 4

x k k

Bài 13: (ĐHDHN – 2001) Giải phương trình: 2 2 2 2tan .cot 2 .cot 3 tan – cot 2 cot 3x x x x x x

Đs: 4

6

x kk

x k

Bài 14: (CĐGT – 2001) Giải phương trình: 2 2 2 2tan .tan 3 .tan 4 tan – tan 3 tan 4x x x x x

Đs: 4 2

x kkkx

Bài 15: (ĐHNT HCM – 1997) Giải phương trình: 2tan x + cot x = xsin

23

Đs: 3

x k k

c. Phương trình dạng thuận ngịch

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


41

Dạng 1: 2

22 0k kA f x B f x C

f xf x

Với sin ,cos

1f x x xk

Đặt 2

2 22

k kt f x f x t kf x f x

(tùy từng trường hợp cụ thể để tìm điều kiện của tham số t)

Ta được phương trình 2 2 0At Bt C Ak Dạng 2: 2 2 2 2tan cot tan cot 0A a x b x B a x b x C

Đặt 2 2 2 2 2tan cot tan cot 2t a x b x a x b x t ab Thay vào phương trình ban đầu ta được một phương trình bậc 2 theo t

Bài 1: Giải phương trình 22

1 14 sin 4 sin 7 0sinsin

x xxx

Giải: Điều kiện: sin 0x

2 21 1 1 14 sin 2 4 sin 7 0 4 sin 4 sin 15 0sin sin sin sin

x x x xx x x x

1 3 1 5sin (1) sin (2)sin 2 sin 2

x xx x

. 2(1) 2sin 3sin 2 0x x (vô nghiệm)

2

sin 2 (loai)(2) 2sin 5sin 2 0 1sin sin

2 6

xx x

x

72 2 (k )6 6

x k x k

22

1 1cos 2 cos 2 0coscos

x xxx

Điều kiện: cos 0x 2 21 1 1 1cos 2 2 cos 2 cos 2 cos

cos cos cos cosx x x x

x x x x

1 1cos 0 (1) cos 2 (2)cos cos

x xx x

2 2(1) 1 cos 0 cos 1x x (vô nghiệm) 2 2(2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 ( )x x x x x k k

Bài 2: (ĐHTM – 2001) Giải phương trình 22

2 2 tan 5(tan cot ) 4 0 (1)sin

x x xx

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


42


Từ phương trình thấy xuất hiện 2

1sin x

và 2cot x ta nghĩ đến công thức 22

11 cotsin

xx

, sau khi thay vào ta

được một phương trình đối xứng với tan và cot

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 (k )2

kx x x x

2 2(1) 2(1 cot ) 2 tan 5(tan cot ) 4 0x x x x 2 2 22(tan cot ) 5(tan cot ) 4 0 2 (tan cot ) 2 5(tan cot ) 4 0x x x x x x x x

22(tan cot ) 5(tan cot ) 0x x x x (*) Đặt: 2 2 2 2 2 2tan cot (tan cot ) tan cot 2 tan cot tan cot 2t x x t x x x x x x x x

2 2 2 22 tan cot 2 4 4 2

2t

x x t tt

.

Phương trình 25

(*) 2 5 0 20 (loai)

tt t

t

Khi 2 25 sin cos 5 12(sin cos ) 5sin cos sin 2 sin2 cos sin 2 5

x xt x x x x xx x

2 2 (k )

2 2 2 2 2x k

x k x kx k

Bài 3: Giải phương trình 22

3 3cot 4(tan cot ) 1 0 (1)cos

x x xx .


Từ phương trình thấy xuất hiện 2

1cos x

và 2tan x ta nghĩ đến công thức 22

11 tancos

xx

, sau khi thay vào

ta được một phương trình đối xứng với tan và cot

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 (k )2

kx x x x

2 2 22

3(1) 3cot 4(tan cot ) 1 0 3(1 tan ) 3cot 4(tan cot ) 1 0cos

x x x x x x xx

2 2 23(tan cot ) 4(tan cot ) 2 0 3 (tan cot ) 2 4(tan cot ) 2 0x x x x x x x x 23(tan cot ) 4(tan cot ) 4 0x x x x (*)

Đặt: 2 2 2 2 2 2tan cot (tan cot ) tan cot 2 tan cot tan cot 2t x x t x x x x x x x x

2 2 2 22 tan cot 2 4 4 2

2t

x x t tt

.

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


43

2 2(*) 3 4 4 0 2 (loai)3

t t t t

Khi : 2 2sin cos2 2 sin cos 2sin cos sin 2 1cos sin

x xt x x x x xx x

2 2 (k )2 4

x k x k

7. Đưa về phương trình tích Xu hướng trong đề thi đại học các năm gần đây giải phương trình lượng giác thường đưa về phương trình tích bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách nhóm, đặt nhân tưt chung… quan sát các bài sau đây a. Môt số bài toán cơ bản

Bài 1: (ĐHNT – D 1997) Giải phương trình 22 tan cot 3sin 2

x xx

Giải:

Điều kiện: sin 0

sin cos 0cos 0

xx x

x

2sin cos 13cos sin sin cos

x xx x x x

.

2 2 2 22sin cos 3 sin cos 1 1 sin 3 sin cos 1 sin 3 sin cosx x x x x x x x x x

sin 0 ( )tan 3 ,

3sin 3 cos

x loaix x k k

x x

Bài 2: (GTVT – 1995) Giải phương trình 2tan 2 cot 8cosx x x Giải:

Điều kiện: cos 2 0sin 0

xx

Phương trình 2sin 2 cos 8coscos 2 sin

x x xx x

2 2 cos 0sin 2 sin cos 2 cos 8cos cos 8cos cos 2 sin8cos cos 2 sin 1cos 2 sin

xx x x x x x x x xx x xx x

cos 0cos 0 cos 014cos 2 sin 2 1 2sin 4 1 sin 42

xx xx x x x

5 ,2 24 2 24 2

k kx k x x k

Bài 3: (GTVT – 1996) Giải phương trình 3(cot cos ) 5(tan sin ) 2x x x x Giải:

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


44

Điều kiện cos 0sin 0

xx

cos sin3(cot cos 1) 5(tan sin 1) 0 3 cos 1 5 sin 1 0sin cos

x xx x x x x xx x

cos sin cos sin sin sin cos cos3 5 0sin sin

x x x x x x x xx x

cos sin cos sin 0 (1)3 5(cos sin cos sin ) 0 3 5sin cos (2)

sin cos

x x x xx x x x

x xx x

2 1 2(1) 2 1 0 ( sin cos 2 sin 2)

41 2 ( )

tt t t x x x t

t loaïi

1 2 3sin sin 2 2 ,4 4 42

x x k x k k

3 5 3(2) tan tan ,sin cos 5

x x k kx x

Bài 4: (QGHN – 1997) Giải phương trình 1 12 2 sin4 sin cos

xx x

Giải:


sin 2 0sin 0 2

x kx xx

Phương trình sin cos 0 tan 1sin cos2(sin cos )sin 2 1 sin 2 1sin cos

x x xx xx xx xx x

4 4 ,4 22 2

2 4

x k x k nx nx m x m

Bài 5: (ĐHTCKT – 1997) Giải phương trình (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tanx x x Điều kiện: cos 0 x

2

2

(cos sin )(cos sin ) cos sincos cos

(cos sin )(cos sin ) cos sin

x x x x x xx x

x x x x x x

2 2

cos sin 0 tan 1,

cos 2 1 4cos sin 1x x x

x k x k kxx x

Bài 6: Giải phương trình 1 12 2 sin4 sin cos

xx x

Giải:

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


45

2 sinsin cos 42 2 sin( ) 2 2 sin

4 sin cos 4 sin cos

xx xx xx x x x

sin( ) 04 412 sin 2 0 sin cos 0 sin 2 04 sin cos

2sin cos 1 sin 2 1

x x kx x x xx x

x x x

sin 2 sin 1 04 2 (k Z)

4sin 2 1 2 2

2 4

x k xx k

x x k x k

Bài 7: Giải phương trình : 2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cosx x x x Giải: Cách 1: Phương trình 22sin 2cos 2sin cos 1 2cos 2cos 1 2sin cos 1 0x x x x x x x x

1cos2

sin 2 1

x

x

Cách 2: Phương trình 2sin os2 (1 sin 2 ) 2(cos sin ) 0xc x x x x

22sin x cos sin cos sin cos sin 2 cos sin 0x x x x x x x x

2cos sin 2sin cos 2sin cos sin 2 0x x x x x x x

2cos sin 2sin cos 2cos cos sin 0x x x x x x x

Bài 8: Giải phương trình : cos 2 3sin 2 5sin 3cos 3x x x x Giải:

2(6sin cos 3cos ) (2sin 5sin 2) 03cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0(2sin 1)(3cos sin 2) 0

x x x x xx x x xx x x

Bài 9: Giải phương trình: 23tan 3 cot 2 2 tansin 4

x x xx

Giải:

Điều kiện :

os3x 0sin2x 0 6 3 ,cos 0

4sin 4 0

c kxk

x kxx

(*)

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


46

Phương trình 2 2sin 2 cos 22 tan 3 tan tan 3 cot 2sin 4 cos3 cos cos3 sin 2 sin 4

x xx x x xx x x x x x

4sin 4 sin 2cos 2 cos 2cos3 4sin 4 sin cos3 cos 2cos34sin 4 sin cos3 cos 8sin 2 cos 2 sin 2sin 2 sin (*)

1 1cos 2 ,4 2

x x x x x x x x x xx x x x x x x x x do

x x m m Z

nghiệm này thoả mãn ĐK

Bài 10: Giải phương trình : 3 2

2

4cos 2cos 2sin 1 sin 2 2 sin cos0

2sin 1x x x x x x

x

Giải:

Điều kiện : 22sin 1 0 cos 2 0 ,4 2

kx x x k

Phương trình 24cos sin cos 2cos sin cos 2 sin cos 0x x x x x x x x

4

2 sin cos cos 1 2cos 1 0 2 ,2 23

x m

x x x x x m m

x m

Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm 2 ,3

mx m Z

Bài 11: Giải phương trình: 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x Giải: Phương trình 3 3 32 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0x x x x x

2 2

2

2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

22(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 )2

2 2cos 2 .cos 2 cos 2 , ( )4 2 8

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

πx x x x kπ k

Bài 12: Giải phương trình 2 cos sin1tan cot 2 cot 1

x xx x x

Giải:

Điều kiện: cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0

cot 1x x x x xx

Phương trình 2 cos sin1 cos .sin 2 2 sin

sin cos 2 cos cos1cos sin 2 sin

x x x x xx x x xx x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


47

2sin .cos 2 sinx x x

2

2 4cos2 2

4

x kx k

x k

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 24

x k k

Bài 13: Giải phương trình: 3sin 2 cos 3 2 3 cos 3 3 cos 2 8 3 cos sin 3 3 0x x x x x x

Giải 3

2 3 2

sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0

x x x x x x

x x x x x x x x

0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2 xxxxxxxx 2

2

( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0

tan 33 cos sin 0

cos 1cos 3cos 4 0 cos 4 ( )

x x x x

xx x

xx x x loai

,32

x kk

x k

Bài 14: (ĐH – A 2003) Giải phương trình: xxx

xx 2sin21sin

tan12cos1cot 2

Giải:

Điều kiện: cos 0,sin 0, tan 1x x x

2 22

cos cos sincos sin sin sin cossin cos sin

x x xx x x x xx x x

2 2cos sin cos sin cos sin sin cossinx x x x x x x x

x

cos sin 1 2sin cossinx x x x

x

2 2cos sin sin (cos sin ) (cos sin )(1 sin cos sin ) 0x x x x x x x x x x

2(cos sin )(2 tan tan 1) 0 cos sin 0 tan 1x x x x x x x

4x k (thỏa mãn điều kiện) (vì 22 tan tan 1 0x x vô nghiệm)

Đs: 4

x k k

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


48

Bài 15: (ĐH – D 2004) Giải phương trình: 2cos – 1 2sin cos sin 2 – sinx x x x x

Giải:

2cos 1 2sin cos sin 2cos 1x x x x x

12cos 1 0 cos(2cos 1)(sin cos ) 0 2

sin cos 0 tan 1

x xx x x

x x x

23 ;

4

x kk

x k

Đs: 2 , ,3 4

x k x k k

Bài 16: (ĐH – A 2007) Giải phương trình: 2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x

Giải: Phương trình 2 2 2cos sin cos sin cos sin (sin cos )x x x x x x x x

2cos sin sin cos (sin cos ) (sin cos )x x x x x x x x (cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0x x x x x x

sin 04

sin cos sin cos 1 0

x

x x x x

Với phương trình thứ nhất ta có ;4

x k k

Với phương trình thứ hai đặt sin cos t x x ta được

2 2 1 0 1 t t t 1sin

4 2x

2;

22

x kk

x k

Đs: , 2 , 24 2

x k x k x k k

Bài 17: ĐH – B 2007) Giải phương trình: 22sin 2 sin 7 1 sinx x x

Giải:

Phương trình 2sin 7 sin 1 2sin 2 0x x x 2cos 4 .sin 3 cos 4 0x x x

cos 4 0

cos 4 2sin 3 1 0 1sin 32

xx x

x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


49

48 42

23 2 ,6 18 35 5 23 26 18 3

x kx k

x k x k k

x k x k

Đs: 2 5 2; ,18 3 18 3

x k x k k

Bài 18: (ĐH – D 2008) Giải phương trình: 2sin 1 cos 2 sin 2 1 cosx x x x

Giải: Phương trình 24sin .cos 2sin .cos 1 2cosx x x x x

2sin .cos (1 2cos ) 1 2cosx x x x (1 2cos )(sin 2 1) 0x x

1cos2

sin 2 1

x

x

2 23

4

x k

x k

Đs: 2 2 , ,3 4

x k x k k

Bài 19: (ĐH – B 2010) Giải phương trình: sin 2 cos 2 cos 2cos 2 – sin 0x x x x x Giải: Phương trình 22sin .cos sin cos 2 .cos 2cos 2 0x x x x x x

2sin 2cos 1 cos 2 cos 2 0x x x x

cos 2 sin cos 2 0x x x

cos 2 0 cos 2 0

2 sin 2 sin 2 14 4

x x

x x loai

2 ,2 4 2

x k x k k

Đs: ,4 2

x k k

Bài 20: (ĐH – D 2010) Giải phương trình : sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x Giải: Phương trình 22sin cos 1 2sin 3sin cos 1 0x x x x x

2cos(2sin 1) 2sin 3sin 2 0cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0(2sin 1)(cos sin 2) 0

x x xx x x x

x x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


50

1 2sin 6 ,25cos sin 2 ( ) 26

x kxk

x x VN x k

Bài 21: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 3 – tan tan 2sin 6cos 0x x x x

HD: Điều kiện: cosx 0 Phương trình

0cos6)cos21(sincos30cos6cos

cossin2sincossin3 322

xxxxxx

xxxxx

0)sincos3)(cos21(0)cos21(sin)cos21(cos3 2222 xxxxxxx

kxxxxx

x

3212cos

212cos1

41cos

41cos

21cos

2

2

Đs: ;3

x k k

Bài 22: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 2cos 2 cos 2 tan – 1 2x x x

HD: Điều kiện: cosx 0 Phương trình

2 22

2

sin sincos 2 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 1 2sincos cos12sin 1 1 cos

cos

x xx x x x xx x

x xx

0]cos)cos1(2)[cos1(cos)cos1()cos1)(cos1(2 22 xxxxxxx

21cos

1cos

02cos5cos21cos

2 x

x

xxx

Đs: 2 , 2 ,3

x k k k

Bài 23: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: )sin1(2cossin

)1(coscos2

xxx

xx

HD:

Điều kiện: 04

sin2cossin

xxx

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


51

Phương trình 2(1 sin )(cos 1) 2(sin cos )(1 sin )x x x x x (1 sin )[(1 sin )(cos 1) 2(sin cos )] 0x x x x x

sin 1 sin 1 22

(1 cos )(1 sin ) 0 cos 1 2

x x x kx x x x k

Đs: 2 , 2 ;2

x k x k k

b. Một số bài toán đặc biệt Bài 1: (QGHN – B 1999) Giải phương trình 6 6 8 8sin cos 2(sin cos )x x x x Giải:

6 8 8 6sin 2sin 2cos cosx x x x 6 2 6 2 6 6sin (1 2sin ) cos (2cos 1) sin cos 2 cos cos 2x x x x x x x x

6 6 6

cos 2 0 cos 2 0 cos 2 0 4 2 (m Z)tan 1 4 2sin cos tan 1

4

x mx x xx m

xx x x x k

Bài 2: (ĐHNT – D 2000) Giải phương trình 8 8 10 10 5sin cos 2(sin cos ) cos 24

x x x x x

Giải: 10 8 8 8 52cos cos 2sin sin cos 2 0

4x x x x x

8 2 8 2 8 85 5cos (2cos 1) sin (1 2sin ) cos 2 0 cos cos 2 sin cos 2 cos 2 04 4

x x x x x x x x x x

8 88 8

cos 2 05cos 2 cos sin 0 54 4 2sin cos 1

4

xkx x x x

x x VN

Bài 3: (ĐHQGHN – D 1998) Giải phương trình 3 3 5 5sin cos 2(sin cos )x x x x Giải: Cách 1:

xx2x2x 3553 coscossinsin x2xx2x1x2xx21x 332323 coscoscossin)cos(cos)sin(sin

3 3 3

cos 2 0 cos 2 0 cos 2 0 (m Z)

tan 1 4 2 4 4 2sin cos tan 1x x x

x m x k x mxx x x

Cách 2: 3 3 5 5sin cos 2(sin cos )x x x x

3 3 2 2 5 5(sin cos )(sin cos ) 2(sin cos )x x x x x x 3 2 3 2 5 5 3 2 2 3 2 2sin cos cos sin sin cos sin (cos sin ) cos (cos sin )x x x x x x x x x x x x

www.MATHVN.com

www.mathvn.com


52

2 2 2 22 2 3 3

3 3

cos sin 0 cos sin 0(cos sin )(cos sin ) 0

cos sincos sin 0x x x x

x x x xx xx x

2 22 2cos sin 0

cos sin 0 cos 2 0 (k Z)4 2cos sin

x xx x x x k

x x

LỜI KẾT

Lượng giác và ứng dụng của lượng giác là một phần không thể thiếu trong các đề thi đại học, chính vì thể ngoài việc nắm bắt các công thức và vận dụng linh hoạt đòi hỏi các bạn học sinh phải thuần thục các kĩ năng, kĩ sảo, quan sát một cách tinh tế mới có thể làm được

Hi vọng qua chuyên mục nhỏ này sẽ giúp các em vững tin hơn khi bước vào phòng thi, tài liệu không thể tránh khỏi những sai sót và hạn chế vì tuổi đời còn trẻ kinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế rất mong các bạn bỏ qua

Góp ý theo địa chỉ Email: [email protected] hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long

Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa “Vì một ngày mai tươi sáng, các em hãy cố lên, chúc các em học tốt và đạt kết quả cao… chào thân ái”

www.MATHVN.com

www.mathvn.com

Documents

Cac phuong phap giai ptlg va de thi dh cac nam