Parte 1Parte 1

11

"calcolo combinatorio""calcolo combinatorio"

Parte 1Parte 1

22

"calcolo combinatorio""calcolo combinatorio"

si intende una branca della Matematica che studia i modi si intende una branca della Matematica che studia i modi

di di raggruppare ed ordinareraggruppare ed ordinare k k oggetti presi da un oggetti presi da un

insieme assegnato di insieme assegnato di nn oggetti, con l'obiettivo finale di oggetti, con l'obiettivo finale di contare il numero dei possibili raggruppamenti od contare il numero dei possibili raggruppamenti od ordinamentiordinamenti

Gli oggetti possono essere ripetuti oppure comparire Gli oggetti possono essere ripetuti oppure comparire una sola voltauna sola volta

L’ordine può essere importante oppure noL’ordine può essere importante oppure no K può essere > < = n K può essere > < = n

I raggruppamenti sono di sei tipi: tre semplici e I raggruppamenti sono di sei tipi: tre semplici e tre con ripetizionetre con ripetizione

Parte 1Parte 1

33

I diversi modi di “mischiare” n elementi in k I diversi modi di “mischiare” n elementi in k posti (con e senza ripetizione)sono:posti (con e senza ripetizione)sono:

Permutazioni : n=k Permutazioni : n=k es: gli anagrammies: gli anagrammi

Disposizioni: l’ordine è importante! Disposizioni: l’ordine è importante! es: la es: la pass word, la cassaforte …pass word, la cassaforte …

Combinazioni: l’ordine non conta, è indifferente Combinazioni: l’ordine non conta, è indifferente es: il terno al lotto, il concorso …es: il terno al lotto, il concorso …

Parte 1Parte 1

44

Una sequenza di n elementi si dice, genericamente, Una sequenza di n elementi si dice, genericamente, n-uplan-upla

(per n=2 si parlerà di "coppia", per n=3 di "terna", per n=4 (per n=2 si parlerà di "coppia", per n=3 di "terna", per n=4 di "quaterna",di "quaterna",

per n=5 di "cinquina", per n=6 di "sestina", per n>6 di per n=5 di "cinquina", per n=6 di "sestina", per n>6 di "sequenza di  6, 7, 8, ... elementi").  "sequenza di  6, 7, 8, ... elementi"). 

Quando in un'n-upla consideriamo "importante" Quando in un'n-upla consideriamo "importante" l'ordine in cui gli elementi si susseguono, parleremo di l'ordine in cui gli elementi si susseguono, parleremo di n-upla "ordinata", e la indicheremo con parentesi n-upla "ordinata", e la indicheremo con parentesi tonde: (x1, x2, …., xn)tonde: (x1, x2, …., xn)

NB (a,e,i)NB (a,e,i)è diverso da è diverso da (e,i,a)(e,i,a) Quando consideriamo irrilevante l’ordine, parleremo di Quando consideriamo irrilevante l’ordine, parleremo di

n-upla "non ordinata" e useremo le graffe:n-upla "non ordinata" e useremo le graffe: { x1, x2, …., xn{ x1, x2, …., xn }}

Parte 1Parte 1

55

N! N! n! = 1.2.3. … (n-2).(n-1).n n! = 1.2.3. … (n-2).(n-1).n oppure, in modo compatto n! = oppure, in modo compatto n! = Es. 7!=1. 2.3.4.5.6.7=5040Es. 7!=1. 2.3.4.5.6.7=5040

Per convenzione Per convenzione 0!=1 1!=1 0!=1 1!=1 n!=n.(n-1)!n!=n.(n-1)!

jn

j

1

)1.....(21.!

! knnn

k

n

1.2.3.4.5

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12

!5

!12

( definizione “ricorsiva”)

))1(.....(21.)!(

!

knnnn

kn

n

1.2.3.4.5.6.7

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12

)!512(

!12

Parte 1Parte 1

66

n!n! Simbolo inventato nel 1808 da Christian Kramp (Germania) a significare lo stupore con Simbolo inventato nel 1808 da Christian Kramp (Germania) a significare lo stupore con

cui cresce rapidamentecui cresce rapidamente In inglese è anche detto n-bang o, dagli studenti, n-shriek + urlo di terrore.In inglese è anche detto n-bang o, dagli studenti, n-shriek + urlo di terrore. Nel 1950 Horace Uhler calcolò 450! senza calcolatori elettronici e lo chiamò “ il fattoriale Nel 1950 Horace Uhler calcolò 450! senza calcolatori elettronici e lo chiamò “ il fattoriale

delle Mille e una Notte perché ha 1001 cifre delle Mille e una Notte perché ha 1001 cifre 450! =450! =

1733368733112632659344713146104579399677811265209051015569207509555333001683436717333687331126326593447131461045793996778112652090510155692075095553330016834367506046750882904387106145811284518424097858618583806301650208347296181351667570175060467508829043871061458112845184240978586185838063016502083472961813516675701719187004222809622372722306635280840380623123693426741350366101015088382204949709191870042228096223727223066352808403806231236934267413503661010150883822049497092973901163679376616502373085389640390159083614414959443268420451378471640230318229739011636793766165023730853896403901590836144149594432684204513784716402303182604094683993315061302563918385303341510606761462420205820006936352095967417183196040946839933150613025639183853033415106067614624202058200069363520959674171831915387256175095213805567813091954298002292738033425535581645919962989123685985477153872561750952138055678130919542980022927380334255355816459199629891236859854777117915846135134006890564712765816483637712630377492336007807230746200855435506871179158461351340068905647127658164836377126303774923360078072307462008554355068361448126606281145760960499187813428397924840592504537849487425060488481036571443614481266062811457609604991878134283979248405925045378494874250604884810365714479570467886357429367146151762191484697431029799497407144851047161696640523973926795704678863574293671461517621914846974310297994974071448510471616966405239739260284840869400740899890112749290517151447343138663339249204066152269230304381396002848408694007408998901127492905171514473431386633392492040661522692303043813960541966093224243809225137268851717904303214058238447936111678568236973036238404625419660932242438092251372688517179043032140582384479361116785682369730362384046265078906880000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000650789068800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Parte 1Parte 1

77

PermutazioniPermutazioniDati n oggetti, essi si possono "mettere in fila" Dati n oggetti, essi si possono "mettere in fila" (o “mettere in coda”, o “mettere in colonna”) (o “mettere in coda”, o “mettere in colonna”)

in  n! modi diversiin  n! modi diversi

1.ANAGRAMMI ( 1.ANAGRAMMI ( Permutazioni sempliciPermutazioni semplici ) )Grafico ad albero rovesciato Grafico ad albero rovesciato

AMOAMO AOMAOM MAOMAO MOAMOA OMAOMA OAMOAM

A M O

M O A O M A

AMO AOM MAO MOA OMA OAM

P3= 3! = 3*2*1=6P3= 3! = 3*2*1=6 Pn= n!= n*(n-1)*(n-2)…..3*2*1

AMOAMO

Parte 1Parte 1

88

Dati n oggetti, essi si possono "mettere in fila" Dati n oggetti, essi si possono "mettere in fila" (o “mettere in coda”, o “mettere in colonna”) (o “mettere in coda”, o “mettere in colonna”)

in  n! modi diversiin  n! modi diversi

Infatti, per la scelta del primo oggetto della fila abbiamo n Infatti, per la scelta del primo oggetto della fila abbiamo n possibilità;possibilità;

a ciascuna di queste n possibilità sono abbinate (n-1) a ciascuna di queste n possibilità sono abbinate (n-1) possibilità di scelta per il secondo oggetto della fila;possibilità di scelta per il secondo oggetto della fila;

ad ognuna delle n·(n-1) possibilità per i primi due oggetti ad ognuna delle n·(n-1) possibilità per i primi due oggetti corrispondono (n- 2) possibilità di scelta per il terzo corrispondono (n- 2) possibilità di scelta per il terzo oggetto della fila; ... ; oggetto della fila; ... ;

in totale, quindi, n oggetti possono essere ordinati in totale, quindi, n oggetti possono essere ordinati (=messi in fila, o in coda, o in colonna) in (=messi in fila, o in coda, o in colonna) in

n·(n-1)·(n-2)· … n·(n-1)·(n-2)· … ·3·2·1 = n!  modi diversi. ·3·2·1 = n!  modi diversi.

Parte 1Parte 1

99

A M ACA

AM ACA

AM A CA

AM ACA

5!

3!

5!/3!

Parte 1Parte 1

1010

2.ANAGRAMMI CON LETTERE UGUALI2.ANAGRAMMI CON LETTERE UGUALI

( ( Permutazioni con ripetizioniPermutazioni con ripetizioni ) )

AMAAMA AAMAAM MAAMAA MAAMAA AMAAMA AAMAAM

A M A

M A A A M A

AAM MAA AMAAMA AAMMAA

γ!β!α!n!

=P ),,(n

γβα

3=2!2!•3

=2!3!

=P (2)3

Anagrammiamo “ANAGRAMMIAMO”: n=12 Anagrammiamo “ANAGRAMMIAMO”: n=12 αα= 4 = 4 ββ=3=3

A si ripete 4 volte M si ripete 3 volteA si ripete 4 volte M si ripete 3 volte 220=1•2•3•43!

1•2•3•4•••10•11•12=

4!3!12!

=P (4,3)12

Calcoliamo: quanti numeri possiamo generare con le cifre 3,5,8 ? Calcoliamo: quanti numeri possiamo generare con le cifre 3,5,8 ?

Ragiono…è come anagrammare…..3 oggetti in tre posti…allora la Ragiono…è come anagrammare…..3 oggetti in tre posti…allora la risposta viene dalle permutazioni semplici…..Prisposta viene dalle permutazioni semplici…..P33=3!=3!=6….358;385;835;853;538;583=6….358;385;835;853;538;583

Parte 1Parte 1

1111

Il coefficiente BINOMIALEIl coefficiente BINOMIALE si legge “coefficiente si legge “coefficiente

binomiale n su k” e si binomiale n su k” e si ha dunque  ha dunque 

1.2.3.4.1.2.3

1.2.3.4.5.6.7

!4!3

!7

)!37(!3

!7

3

7

Esempi

800811.13.8.7

!10.1.2.3.4.5.6

!10.11.12.13.14.15.16

!10.1.2.3.4.5.6

!10.11.12.13.14.15.16

!10!6

!16

6

16

Parte 1Parte 1

1212

Il coefficiente BINOMIALEIl coefficiente BINOMIALE Proprietà:Proprietà:

2005 sess.ordinaria maturità di ordinamento…

Ma anche 1981 … e 2001

Parte 1Parte 1

1313

Il binomio di NewtonIl binomio di Newton Si chiama "binomio di Newton" la formula per lo Si chiama "binomio di Newton" la formula per lo

sviluppo dell'n-esima potenza di un binomio. Tale sviluppo dell'n-esima potenza di un binomio. Tale formula è:  = formula è:  =

40312213044

4

4

3

4

2

4

1

4

0

4babababababa

40312213044 14641 babababababa

Parte 1Parte 1

1414

Triangolo di tartagliaTriangolo di tartaglia

101.2.3.1.2

1.2.3.4.5

!3!2

!5

2

5

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Proviamo a verificare qualche valore

561.2.3.1.2.3.4.5

1.2.3.4.5.6.7.8

!3!5

!8

5

8

Parte 1Parte 1

1515

Dimostrazione della formulaDimostrazione della formula (a+b)(a+b)nn = (a+b)(a+b) .... (a+b)   dove a secondo membro abbiamo n = (a+b)(a+b) .... (a+b)   dove a secondo membro abbiamo n

fattori.fattori. Si può pensare di effettuare la moltiplicazione scegliendo, da Si può pensare di effettuare la moltiplicazione scegliendo, da

ciascun fattore (a+b), il termine ciascun fattore (a+b), il termine aa, oppure il termine, oppure il termine b b, in tutti i modi , in tutti i modi possibili, per poi sommare algebricamente i prodotti così ottenuti.possibili, per poi sommare algebricamente i prodotti così ottenuti.

Es se ho (a+b)Es se ho (a+b)77= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) posso prendere 5 posso prendere 5 aa e 2 e 2 b b a caso : a caso :a.a.a.b.b.a.a. oppure a.a.a.a.a.b.b oppure a.b.a.a.b.a.a = aa.a.a.b.b.a.a. oppure a.a.a.a.a.b.b oppure a.b.a.a.b.a.a = a55bb22

Ora, se io scelgo, ad esempio, k volte il fattore Ora, se io scelgo, ad esempio, k volte il fattore aa e n-k volte il fattore e n-k volte il fattore bb, avrò il monomio  a, avrò il monomio  akbbn-k

Quante volte comparirà, questo monomio, nella somma finale? Quante volte comparirà, questo monomio, nella somma finale? Tante volte quanti sono gli anagrammi con Tante volte quanti sono gli anagrammi con aa ripetuto k volte e ripetuto k volte e b b ripetuto n-k volteripetuto n-k volte

E tali modi sono  ... E tali modi sono  ...

k

n

knk

n

)!(!

!

Parte 1Parte 1

1616

Es “cattivello”…Es “cattivello”…… … ma che si è visto proprio alla maturità ma che si è visto proprio alla maturità

del 2000 e del 2001del 2000 e del 2001

Dividendo il primo e l'ultimo termine dell'uguaglianza per an abbiamo che:

Dimostrare che:

Dim:

Oppure provare con 2n=(1+1)n cioè con a=1 e b=1…..

Parte 1Parte 1

1717

disposizioni Se una prima scelta può essere fatta in r modi diversi, per

ciascuno dei quali una seconda scelta può essere effettuata in s modi diversi, e, per ciascuno dei modi in cui si sono compiute le prime due scelte, una terza scelta può essere effettuata in t modi diversi ecc., allora la successione di tutte le scelte può essere compiuta in r·s·t ... modi diversi

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1818

3. CONCORSI (3. CONCORSI (Disposizioni sempliciDisposizioni semplici))

Ad un concorso si iscrivono 4 persone per 2 posti disponibili, quante sono Ad un concorso si iscrivono 4 persone per 2 posti disponibili, quante sono gli esiti possibili tenendo conto dell’ordine di arrivo?gli esiti possibili tenendo conto dell’ordine di arrivo?

Ragiono: al primo posto ci potrebbero finire le quattro persone a b c d, ma Ragiono: al primo posto ci potrebbero finire le quattro persone a b c d, ma al secondo posto ci possono finire solo tre persone per ogni persona che è al secondo posto ci possono finire solo tre persone per ogni persona che è finita al primo postofinita al primo posto

k)!-(n

n!1))(k-2)....(n -(n •1)-(n•n=D kn,

a b c

b

ab

d

c d

ac

ad

ba

bc

bd

ca

cb

cd

da

db

dc

a c d a d a b cb

12=3•4=D4,244 33

Parte 1Parte 1

1919

4. CASSAFORTE (4. CASSAFORTE (Disposizioni con ripetizioneDisposizioni con ripetizione) )

Quante possibilità ci sono di formare una “combinazione” segreta di 4 Quante possibilità ci sono di formare una “combinazione” segreta di 4 cifre ?cifre ?

Queste sono due disposizioni accettabili. Ragioniamo: nella prima cella Queste sono due disposizioni accettabili. Ragioniamo: nella prima cella posso mettere 10 cifre diverse; ma anche nella seconda cella posso posso mettere 10 cifre diverse; ma anche nella seconda cella posso mettere 10 cifre diverse. Allora per ogni cifra della prima cella posso mettere 10 cifre diverse. Allora per ogni cifra della prima cella posso associare una delle possibili 10 cifre della seconda, e via così.associare una delle possibili 10 cifre della seconda, e via così.

00 33 33 55 33 11 11 99

krkn, n=D

10*10*10*10=104

In generale le disposizioni di n oggetti da sistemare con ripetizione in k In generale le disposizioni di n oggetti da sistemare con ripetizione in k posti è nposti è nkk (in questo caso k può superare n, vedi totocalcio).(in questo caso k può superare n, vedi totocalcio).

esempio: quante parole di quattro lettere posso comporre con 26 esempio: quante parole di quattro lettere posso comporre con 26 lettere a disposizione? 26*26*26*26=26lettere a disposizione? 26*26*26*26=264 4 = 456.976= 456.976

esempio: quante colonne di totocalcio sono possibili? 3*3….3*3*3 = esempio: quante colonne di totocalcio sono possibili? 3*3….3*3*3 = 3314 14 == 4.782.9694.782.969

1010 1010 1010 1010

Parte 1Parte 1

2020

combinazionicombinazioni

Quando si gioca al lotto cinque numeri, Quando si gioca al lotto cinque numeri, non è non è richiesto di indovinare anche l’ordinerichiesto di indovinare anche l’ordine con il con il quale questi numeri vengono estratti.quale questi numeri vengono estratti.

In questo caso se giocassi la cinquina In questo caso se giocassi la cinquina 8;17;56:12;818;17;56:12;81 vincerebbe tanto quanto vincerebbe tanto quanto 56;12;8;17;8156;12;8;17;81 oppure oppure

81;56;17;12;881;56;17;12;8 Queste tre cinquine sono praticamente la stessa Queste tre cinquine sono praticamente la stessa

cinquina anche se permuto i cinque numeri fra cinquina anche se permuto i cinque numeri fra loro.loro.

Parte 1Parte 1

2121

5. GIOCO DEL LOTTO (5. GIOCO DEL LOTTO (CombinazioniCombinazioni))

E come faccio a contare quante sono?E come faccio a contare quante sono?

Si tratta di considerare tutte le disposizioni possibili di 90 numeri in 5 posti senza Si tratta di considerare tutte le disposizioni possibili di 90 numeri in 5 posti senza considerare l’ordine. Ossia ogni disposizione va divisa per il numero di considerare l’ordine. Ossia ogni disposizione va divisa per il numero di permutazioni di 5 oggetti. Allora quante cinquine sono possibili al gioco del lotto?permutazioni di 5 oggetti. Allora quante cinquine sono possibili al gioco del lotto?

Se nel concorso di 4 persone per due posti di lavoro, non tenessi conto del piazzamento ma Se nel concorso di 4 persone per due posti di lavoro, non tenessi conto del piazzamento ma solo dei vincitori, allora ab=ba come ac=ca ecc. si avrebbe allora :solo dei vincitori, allora ab=ba come ac=ca ecc. si avrebbe allora :

26894943=1•2•3•4•5

86•87•88•89•90=

5!

D=C ..90,5

90,5

( )42

4,24,2 =6=

1•23•4

=2!

D=C

ba

ca cb da

db

dc

a b c

bab

d

c dac a

dbc

bd

cda c d a d a b cb

k

n

!)!(

!

!)!(

!

k!

1)k-2)....(n -(n •1)-(n•n

k!

D=C kn,

kn, kkn

n

kknn

Parte 1Parte 1

2222

6. I SEGMENTI (6. I SEGMENTI (Combinazioni con ripetizioneCombinazioni con ripetizione) )

Ci si chiede quante combinazioni di n oggetti, anche ripetuti, si possono Ci si chiede quante combinazioni di n oggetti, anche ripetuti, si possono mettere in k posti mettere in k posti (in questo caso k può superare n)(in questo caso k può superare n)..

Supponiamo di dover calcolare quanti segmenti posso costruire con 3 Supponiamo di dover calcolare quanti segmenti posso costruire con 3 punti allineati, comprendendo anche il punto come segmento nullo punti allineati, comprendendo anche il punto come segmento nullo Proviamo a fare un grafico ad albero. Proviamo a fare un grafico ad albero. (Si ricorda che una combinazione considera (Si ricorda che una combinazione considera ab=ba, ac=ca, ecc.)ab=ba, ac=ca, ecc.)

k!1)-k+ 2)....(n+ (n•1)+(n•n

=C=C k1,-k+nr

kn,

a b cPrimo estremo

a b c b c c

aa ab ac bb bc cc

Secondo estremo

Proviamo a contare: 6=2!

4•3=C=C2;=k3;=n 4,2

r3,2

Supponiamo di voler intervistare un campione di due individui su una popolazione di 3; l’intervista può anche essere fatta due volte sullo stessa persona ma non interessa in che ordine viene fatta. Quanti sono i possibili campioni ?

6=2!

4•3=C=C 4,2

r3,2

A B C

Parte 1Parte 1

2323

La grande illusione….La grande illusione….

Parte 1Parte 1

2424

Qual è la probabilità di azzeccare l' "estratto semplice"?  Io gioco un numero, ad esempio il 44, e "spero che esca".  I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè

e i casi favorevoli sono tanti quante le cinquine che contengono il 44.   Ma queste sono tante quante le quaterne costruibili utilizzando gli 89 numeri rimanenti, cioè

 

La probabilità richiesta è pertanto

Qual è la probabilità di azzeccare l' "ambo" ?   Io gioco 2 numeri, ad esempio il 44 e il 55, e "spero che escano". I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè 

e i casi favorevoli sono tanti quante le cinquine che contengono il 44 e il 55.  Esse sono tante quante le terne costruibili utilizzando gli 88 numeri rimanenti, cioè

   

La probabilità richiesta è pertanto

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2525

   Qual è la probabilità di azzeccare il "terno" ?  Io gioco 3 numeri, ad esempio il 44, il 55 e il 66, e "spero che escano". I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè

e i casi favorevoli sono tanti quante le cinquine che contengono il 44, il 55 e il 66. Esse sono tante quante le coppie costruibili utilizzando gli 87 numeri rimanenti, cioè 

      

La probabilità richiesta è pertanto

     Qual è la probabilità di azzeccare la "quaterna"?

Qual è la probabilità di azzeccare la "cinquina"?

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Lotto = gioco iniquo!Notare come il lotto sia un gioco "iniquo": a fronte delle probabilità sopra calcolate, lo Stato restituisce soltanto: 

  Quando gioco la Quando gioco la combinazione:combinazione:

ho una probabilità di ho una probabilità di vincere divincere di

Ma, in caso di vincita, mi Ma, in caso di vincita, mi viene pagata soltanto viene pagata soltanto una cifra uguale alla una cifra uguale alla posta giocata posta giocata moltiplicata permoltiplicata per

Estratto sempliceEstratto semplice 1/181/18 11,23211,232

AmboAmbo 2/801 (circa 1/400)2/801 (circa 1/400) 250250

TernoTerno 1/11.7481/11.748 42504250

QuaternaQuaterna 1/511.0381/511.038 80.00080.000

CinquinaCinquina 1/43.949.2681/43.949.268 1.000.0001.000.000

Ha senso giocare solo se si giocano piccole somme di denaro su combinazioni difficili,

con la quasi certezza di perdere ma con la remota speranza di vincere grosse cifre.

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L’emozione di un sogno milionario giustifica una piccola cifra giocata, ma quasi certamente persa.Lo “sfizio” di avere in tasca 1 possibilità su 622

milioni di aggiudicarsi il jeck-pot miliardario del super-enalotto può valere forse i pochi euro della giocata. Ma chi gioca centinaia di euro incrementa soltanto le entrate di quella che è stata chiamata …

La tassa sugli illusi !!!