Calcul de vis d'assemblage 1

Calcul de vis d'assemblageUne vis d'assemblage sert à effectuer un serrage, également appelé « flux bouclé[1] » ; du fait de cet effort deserrage, plusieurs sollicitations apparaissent dans le système vis-écrou. La forme de la vis et le filetage apportent deplus des concentrations de contraintes. Ainsi on doit prendre en compte le risque de ruine de la vis, qui peut soitcasser ou simplement se déformer.

Cas à étudier pour une vis d'assemblage

Situation Mode de ruine et nature de la sollicitation

Section sous tête, noyau arrachement des filets (cisaillement), rupture de la vis (traction)

Surface d'appui Compression, matage

Sollicitations cycliques Fatigue

Notons que les vis sont utilisées dans d'autres cas que pour l'assemblage. Ces situations ne sont pas étudiées dans leprésent article, mais le tableau ci-dessous présente quelques aspects à prendre en compte.

Cas à étudier pour les autres utilisations de vis

Situation Mode de ruine et nature de la sollicitation

Vis de pression Cisaillement des filets : nombre de filets en prise en fonction dumatériauCompressionFlambage : vis de pression trop longues

Vis d'arrêt Cisaillement transversal : noyau ou section cisaillé

Sollicitations cycliques Fatigue

Voir aussi le dossier Déformation élastique

Couple de serrage

Clef dynamométrique pour le contrôle du serrage

Lors de la mise en place d'une vis d'assemblage, il est primordiald'appliquer un couple de serrage adapté. Ce couple de serrage sertd'une part à mettre en tension la vis (le boulon est un assemblageprécontraint) pour tenir les éléments en contact, d'autre part àcompenser les efforts additionnels éventuels dus à des chocs, desvibrations, la pression, les variations thermiques ou hygrométriques, …

Pour les utilisation courantes, cela a peu d'importance. Mais lorsqu'ils'agit d'un assemblage étanche ou de sécurité, il faut maîtriser l'effortappliqué :•• trop faible, le système risque de présenter des fuites ou de se

desserrer ;•• trop fort, on risque de détériorer les pièces, par exemple écraser le joint ce qui provoquera des fuites, ou bien de

casser la vis.L'utilisation d'une clé dynamométrique est alors recommandée pour garantir la qualité du serrage.En pratique, pour des vis « métal » à filetage ISO, les règles de bonne pratique généralement admises sont :

Calcul de vis d'assemblage 2

• le concepteur détermine l'effort presseur qe doit exercer sa vis ; il en déduit la résistance que doit avoir sa vis, cequi détermine son diamètre d et la classe de qualité du métal[2] ;

•• pour éviter le matage, dans le cas de forts couples de serrage (vis de qualité élevée), on répartit l'effort en utilisantdes rondelles sous la tête de vis et sous l'écrou, ou bien des vis et écrous à embase tronconique (« H embase ») ;

•• pour éviter l'arrachement des filets,• dans le cas d'un boulon, l'écrou doit avoir la même classe que la vis : écrou classe 4 pour une vis classe 4.6 ou

4.8, écrou classe 10 pour une vis classe 10.9, … ;• dans le cas d'un trou taraudé, la longueur engagée le de la vis doit être au minimum égale

• au diamètre nominal d pour un taraudage dans un métal « dur » (acier),• à 1,5×d pour un taraudage dans un métal tendre (alliage d'aluminium) ;

•• le concepteur détermine ensuite le couple de serrage,•• soit à partir de l'effort minimum à appliquer pour assurer la fonction (cas d'un joint dont on veut éviter

l'écrasement),•• soit à partir de l'effort maximum que peut supporter la vis (cas général).

Les fabricants donnent des tables d'application pour les vis et raccords les plus courants. Il s'agit cependant de lavaleur limite à adopter avant endommagement de la vis. Il faut s'assurer que cela est supportable pour les élémentsassemblés. Ce moyen est rapide et suffit dans la plupart des cas. Ne pas oublier de tenir compte de l'état de surface etde lubrification du couple vis-écrou.Pour certaines application, comme par exemple le serrage d'une culasse de moteur thermique, il faut établir le serragepar paliers, souvent deux, un préserrage puis une mise définitive au couple.Notons que pour des goujons, les longueurs d'engagement sont de 1,5×d pour un matériau dur et 2×d pour unmatériau tendre.

Couple de serrage maximum admissibles (Nm)[3]

d(mm)

Classe de qualité

3.6 4.6 8.8 10.9 14.9

M3 0,38 0,46 1,23 1,74 2,43

M4 0,93 1,12 3 4,21 5,9

M5 1,81 2,17 5,79 8,15 11,4

M6 3,12 3,74 9,99 14 19,6

M8 7,43 8,92 23,7 33,4 46,8

M10 14,9 17,9 47,7 67,2 94,1

M12 25,3 30,4 81,1 114,1 159,8

M16 61,2 73,4 195,9 275,6 385,8

M20 119 143,2 382 537,1 752

Calcul de vis d'assemblage 3

Effort presseur maximum admissibles (kN)[4]

d(mm)

Classe de qualité

3.6 4.6 8.8 10.9 14.9

M3 0,679 0,906 2,41 3,40 4,75

M4 1,19 1,58 4,21 5,93 8,30

M5 1,91 2,55 6,81 9,57 13,4

M6 2,72 3,62 9,66 13,6 19,0

M8 4,94 6,59 17,6 24,7 34,6

M10 7,83 10,4 27,8 39,1 54,8

M12 11,4 15,2 40,5 56,9 79,6

M16 21,2 28,2 75,2 105,8 148

M20 33,1 44,1 118 165 231

Méthodes conventionnelles de détermination du couple de serrage

Formule de Kellermann et KleinLa formule de Kellermann et Klein[5] est une formule semi-empirique qui relie le couple de serrage C à laprécontrainte Ft dans une vis :

avec• Ft : tension de la vis (ou précontrainte) ;•• C : couple de serrage ;•• P : pas de la vis ;• Rh : rayon moyen sous tête (head) ; Rh = (Dext + Dint)/4, avec

• Dext : diamètre extérieur de la tête de vis,• Dint : diamètre intérieur de la tête de vis ;

• μh : coefficient de frottement sous tête ;• r2 : rayon moyen du filetage (thread), rayon sur flancs ;• d2 : diamètre moyen du filetage, diamètre sur flancs (Flankendurchmesser en allemand) ;• μt : coefficient de frottement du filetage (thread).On peut aussi exprimer la formule dans l'autre sens :

Nota :On trouve une formule théorique très proche mais plus générale en appliquant simplement le principe fondamentalde la statique avec hypothèse de frottement de Coulomb et en supposant tous les efforts concentrés sur une lignemoyenne de contact (au niveau du filetage comme au niveau de la tête)

Calcul de vis d'assemblage 4

où K est défini par :

avec•• α : angle d'hélice au niveau de la ligne de contact supposée du filetage ;•• θ : angle de filet.L'angle d'hélice est lié au pas par la formule géométrique :

.

Pour un filetage métrique ISO, θ = 30 ° ; on peut alors simplifier l'expression en faisant une hypothèse : le deuxièmeterme du dénominateur de K est négligeable devant l'autre. Ceci est largement vérifié pour des filetages standards,avec α et μt assez faibles. On trouve alors :

ce qui est très proche de la formule de Kellermann et Klein[5].Mais on peut aussi utiliser la formule théorique pour évaluer l'intérêt d'utiliser un filet trapézoïdal standard (θ = 15 °)ou même un filet carré (θ = 0) : une application numérique montre que diminuer l'angle θ permet, par exemple, dediminuer le couple nécessaire pour créer un effort axial souhaité.

Détermination simplifiée

Coupe de situation

Mais pour montages particuliers, c'estl'empirisme le plus total. Pour ces autrescas, voici une première approximation.

Lors de la mise en tension de la vis, troiséléments constituent le couple de serrage :1.1. Le frottement du filetage2.2. Le frottement de la tête de vis (ou de

l'écrou)3.3. La réaction à la tension induite par

l'inclinaison du pas.Nous ne tiendrons pas compte de la torsionde la partie filetée non en prise, del'étirement différentiel le long du filetage enprise, …

Formules :1. M1 = Tension × µ × Ømoyen filetage2. M2 = Tension × µ × Ømoyen appui3. M3 = Tension × Ømoyen filetage × tan(α)4. Couple de serrage = (M1 + M2 + M3)/2avec :•• Tension : effort à compenser pour une vis (en rpenant tout en compte) ;

Calcul de vis d'assemblage 5

• Ømoyen appui : diamètre moyen la surface frottante ;• α = angle du pas, soit arctan(P/(π×Øextérieur vis)) ;• Ømoyen filetage = diamètre moyen du filetage (et pas le diamètre sur flanc) = (Øextérieur vis + Øintérieur écrou)/2 ;•• µ = coefficient de frottement (pour chaque surface) pour lequel il est admis :

Coefficients de frottement acier/acier

µ Conditions

µ = 0,10 Lubrification adaptée et état de surface propre

µ = 0,15 Lubrification sommaire

µ = 0,20 Montage à sec

Étude mécaniqueL'assemblage vissé est un problème complexe, mais les éléments de base pour l'aborder sont relativement simples :• géométrie élémentaire, en particulier la trigonométrie ;• phénomènes d'adhérence et de frottement : loi de Coulomb (mécanique) ;• statique du solide élémentaire, en particulier le principe fondamental de la statique ;• résistance des matériaux, en particulier la traction.

Fonction de la visLe calcul doit se faire en fonction d'un cahier des charges ; il s'agit de faire un choix ou de valider une solution —une vis — en fonction de son utilisation.La vis d'assemblage sert à effectuer un serrage, c'est-à-dire à maintenir deux pièces en position par adhérence. Nousexcluons le cas des vis épaulées, qui assurent aussi une mise en position, voire servent d'axe de rotation, etl'utilisation des vis en aménagement d'intérieur (suspension d'objets).Du point de vue de l'utilisateur, l'important est la force normale entre les pièces à lier, force exercée par l'ensemblevis/trou taraudé ou vis/écrou (boulon), notée Ft. Du point de vue du monteur, l'important est la force à laquelle il doitserrer : le couple de serrage, noté C. Tout ceci doit être déterminé par le concepteur, qui choisit une vis en fonctionde sa résistance mécanique.

Calcul de vis d'assemblage 6

Maintien en postion par adhérence

La vis exerce un effort presseur qui créel'adhérence entre les pièces à assembler.

Le maintien en position (MaP) par adhérence consiste à presser deuxpièces l'une contre l'autre. Cet effort presseur est ici créé par une vis (eten général relayé par une rondelle).Considérons une pièce liée à un support (pièce du bas dans le schémaci-contre). La pièce est soumise à une action extérieure représentée parla force . La vis exerce un effort presseur . Le support exerceune action sur la pièce. La condition d'adhérence — denon-glissement de la pièce sur le support — peut s'exprimer de deuxmanières :• géométrique : doit être à l'intérieur du cône d'adhérence, de

demi-angle au sommet φa, où φa est l'angle d'adhérence ;• analytique : se décompose en une composante normale et

tangentielle , et l'on doit avoir

où μa est le coefficient d'adhérence entre les pièces à assembler ;avec la relation

μa = tan(φa).Les coefficients μa et φa dépendent essentiellement de la nature des matériaux en contact et de l'état de lubrification.

Valeurs typiques de coefficients d'adhérence

Couple de matériaux Non lubrifié Lubrifié

μa

φa

(°) μa

φa

(°)

Bois/bois 0,65 33,0 0,2 11,3

Métal/bois 0,5-0,6 26,6-31,0 0,1 5,71

Acier/fonte 0,19 10,8 0,1 5,71

Acier/acier 0,18 10,2 0,12 6,84

Acier/bronze 0,11 6,28 0,1 5,71

L'action extérieure F1 est le « cahier des charges » : la liaison doit supporter un effort donné. Il faut donc choisirl'effort presseur F2 adapté. Dans le cas présent, la détermination est simple :

F2 = F1/μa.Mais cet effort presseur est la plupart du temps assuré par plusieurs vis ; il faut donc savoir comment se répartit ceteffort.Si le système est symétrique, on peut faire dans un premier temps l'hypothèse que l'effort est uniformément réparti :si l'on prévoit d'implanter n vis, alors chaque vis doit exercer un effort

Ft = F2/n.Si la pièce subit un moment de basculement (par exemple est en porte-à-faux), on peut supposer que l'effort varie demanière linéaire, et l'on dimensionne donc pour la vis la plus sollicitée. Dans les cas plus complexes, il faut avoirrecours à un calcul par éléments finis ; on peut par exemple modéliser les vis par de simples poutres (élémentslinéïques) pour connaître la sollicitation de chacune.

Calcul de vis d'assemblage 7

Géométrie de la vis

Développement de l'hélice : relation entre l'angle, le diamètre et le pas de l'hélice.

Principales cotes d'un filetage ISO.

Le filetage et le taraudage ont desformes hélicoïdales. Si l'on considèreune hélice d'axe vertical de diamètre d2et de pas p, l'angle que fait la tangenteavec l'horizontale vaut :

.

Si l'angle est faible, ce qui est le caspour les vis, alors on a en radians

.

Le diamètre d2 à prendre en compte estle « diamètre sur flanc », c'est-à-direcelui de la « fibre neutre ». Dans le casdu profil métrique ISO, le profil dufilet est grosso modo un triangleéquilatéral, le rapport entre le pas p etla hauteur H du profil est donc de √3/2,soit H ≈ 0,866×p. On laisse 1⁄8H de jeuentre la pointe extérieure du profil etl'extrémité réelle du filet de la vis, soit

d2 = d - 0.649,5×p.où d est le diamètre nominal de la vis(diamètre extérieur du filet de la vis).

Angles des filetages pour les vis ISO à pas gros

d(mm)

p(mm)

d2

(mm)α(°)

d(mm)

p(mm)

d2

(mm)α(°)

M3 0,5 2,675 3,04 M10 1,5 9,026 2,73

M4 0,7 3,545 3,19 M12 1,75 10,863 2,66

M5 0,8 4,480 2,92 M16 2 14,701 2,28

M6 1 5,350 3,04 M20 2,5 0,125 2,28

M8 1,25 7,188 2,85

Calcul de vis d'assemblage 8

Angles des filetages pour les vis ISO à pas fin

d(mm)

p(mm)

d2

(mm)α(°)

d(mm)

p(mm)

d2

(mm)α(°)

M3×0,35 0,35 2,773 2,13 M12×1 1 11,350 1,52

M4×0,5 0,5 3,675 2,28 M12×1,25 1,25 11,188 1,90

M5×0,5 0,5 4,675 1,82 M12×1,5 1,5 11,026 2,28

M6×0,75 0,75 5,513 2,28 M16×1 1 15,350 1,14

M8×0,75 0,75 7,513 1,71 M16×1,5 1,5 15,026 1,71

M8×1 1 7,350 2,28 M20×1 1 19,350 0,912

M10×0,75 0,75 9,513 1,37 M20×1,5 1,5 19,026 1,37

M10×1 1 9,350 1,82 M20×2 2 18,701 1,82

M10×1,25 1,25 9,188 2,28

Dans le cas d'un filetage ISO à pas gros (pas par défaut), on a donc un angle d'hélice compris entre 2,28 et 3,19 °, etun rapport p/d compris entre 12,5 et 17,5 % du diamètre nominal, soit un rapport H/d compris entre 10,8 et 15,2 %.

Résistance de l'assemblage vissé

Modes de ruine de l'assemblage vissé.

L'assemblage vissé présente trois modes de ruine (voir figure ci-contre) :1.1. Arrachement du filet du taraudage ou de l'écrou (rupture en cisaillement).2.2. Arrachement du filet de la vis (rupture en cisaillement).3.3. Rupture de la vis (rupture en traction/torsion).4.4. Matage de la pièce sous la tête de vis (non représenté).

Résistance à l'arrachement des filets

Dans un premier temps, on peut évaluer le risque d'arrachement des filets.Lorsque la charge augmente, les filets se déforment plastiquement, et larupture est constatée sur touts les filets simultanément[6]. On prend donc encompte la totalité de la longueur engagée de la vis dans le taraudage :

• dans le cas d'un boulon, c'est la hauteur de l'écrou réduite des chanfreins :si un écrou a pour hauteur 0,8×d, la longueur utile Lu vaut 0,6×d ;

• et dans le cas d'un trou taraudé, c'est l'implantation j.En considérant que la surface cisaillée est un cylindre « ajouré » :• côté vis, la rupture a lieu sur la diamètre d1 (extrémité du filet de l'écrou) ; pour une vis ISO, d1 = d - 1,0825×p, la

hauteur cisaillée étant les 3/4 de la hauteur totale ;• côté écrou ou taraudage, la rupture a lieu sur un cylindre de diamètre d (diamètre nominal) ; pour un filetage ISO,

la hauteur cisaillée est les 7/8 de la hauteur totale.Si la vis est en prise sur une longueur le (longueur engagée), alors les surfaces résistantes des filets ont pour aire :

côté vis : Afv = 3⁄4×π×d1×lecôté écrou : Afe = 7⁄8×π×d×le

On peut donner une expression plus générale[7] :

Calcul de vis d'assemblage 9

le/p est donc le nombre de tours d'engagement. Pour un filetage ISO, θ = 30 °.

Sections de filetage ISO cisaillées, pas gros

d Afv

/le

(mm)A

fe/l

e(mm)

d Afv

/le

(mm)A

fe/l

e(mm)

M3 5,79 8,25 M10 19,74 27,49

M4 7,64 11,00 M12 23,81 32,99

M5 9,74 13,74 M16 32,60 43,98

M6 11,59 16,49 M20 40,75 54,98

M8 15,66 21,99

Sections de filetage ISO cisaillées, pas fin

d Afv

/le

(mm)A

fe/l

e(mm)

d Afv

/le

(mm)A

fe/l

e(mm)

M3×0,35 6,18 8,25 M12×1 25,72 32,99

M4×0,5 8,15 11,00 M12×1,25 25,09 32,99

M5×0,5 10,51 13,74 M12×1,5 24,45 32,99

M6×0,75 12,22 16,49 M16×1 35,15 43,98

M8×0,75 16,94 21,99 M16×1,5 33,87 43,98

M8×1 16,30 21,99 M20×1 44,57 54,98

M10×0,75 21,65 27,49 M20×1,5 43,30 54,98

M10×1 21,01 27,49 M20×2 42,02 54,98

M10×1,25 20,37 27,49

On voit qu'un pas fin augmente la section résistante pour la vis, mais ne change rien pour le taraudage.La résistance au cisaillement de la matière est appelée Reg. La force ultime que l'on peut appliquer vaut alors

Ft = min(Fv, Fe)avec• résistance du filet de la vis : Fv = k×Afv×Reg v ;• résistance du filet de l'écrou : Fe = k×Afe×Reg e ;le coefficient k est un coefficient de sécurité, pris habituellement égal à 0,9 ou à 0,75.

Calcul de vis d'assemblage 10

Résistance des matériaux courants

Matériau Reg

(MPa) Matériau Reg

(MPa)

Alliage d'aluminiumEN AB 21000 (A-U5GT)

100 FonteEN GJS 400-15 (FGS 400-15)

192

Alliage d'aluminiumEN AW 2017 (A-U4G)

120 Vis classe 4.6 168

AcierS235

117 Vis classe 8.8 512

Alliage d'aluminiumEN AW 7075 (A-Z5GU)

220 Vis classe 10.9 720

De manière générale :• pour un acier doux (S235, vis de classe 3.6) ou un alliage d'aluminium, Reg = 0,5×Re ;• pour un acier mi-dur (vis de classe 4.6 à 6.8), Reg = 0,7×Re ;• pour un acier trempé (classe 6.9 et supérieure) ou une fonte : Reg = 0,8×Re.Dans la pratique, on détermine plutôt la longueur d'implantation le minimale, le nombre de filet minimum qu'il fautengager, pour une force de traction Ft. Plus la vis est implantée, plus la surface cisaillée augmente. On a à la limite :• résistance du filet de la vis : Afv = Ft/k/Reg v ;• résistance du filet de l'écrou : Afe = Ft/k/Reg e ;soit

vis :

écrou :

Résistance à la traction de la vis

Une vis présente une section variant de manière brusque. On ne peut donc pas la modéliser par une poutre au sensstrict. On définit cependant de manière conventionnelle un cylindre lisee ayant la même résistance. Son diamètre estappelé d0, et il est défini, pour le profil ISO, par

d0 = (d2 + d3)/2avec• d2 = d - 0.649,5×p ;• d3 = d - 1.226,8×p ;soit

d0 = d - 0.938,2×p.Cela permet de définir une section équivalente de résistance en traction :

Seq = π×d02/4.

Calcul de vis d'assemblage 11

Section résistante, vis ISO à pas gros

d d0

(mm)S

eq(mm2)

d d0

(mm)S

eq(mm2)

M3 2,484 4,85 M10 8,593 58,0

M4 3,343 8,78 M12 10,358 84,3

M5 4,249 14,2 M16 14,124 157

M6 5,062 20,1 M20 17,655 245

M8 6,827 36,6

Section résistante, vis ISO à pas fin

d d0

(mm)S

eq(mm2)

d d0

(mm)S

eq(mm2)

M3×0,35 2,671 5,61 M12×1 11,062 96,1

M4×0,5 3,531 9,79 M12×1,25 10,827 92,1

M5×0,5 4,531 16,1 M12×1,5 10,593 88,1

M6×0,75 5,296 22,0 M16×1 15,062 178

M8×0,75 7,296 41,8 M16×1,5 14,593 167

M8×1 7,062 39,2 M20×1 19,062 285

M10×0,75 9,296 67,9 M20×1,5 18,593 272

M10×1 9,062 64,5 M20×2 42,02 54,98

M10×1,25 8,827 61,2

La force ultime à laquelle la vis peut résister en traction est donnée parFt = k×Seq×Re

où Re est la limite d'élasticité et k est un coefficient de sécurité.

Résistance en traction des matériaux courants

Matériau Re

(MPa) Matériau Re

(MPa)

Alliage d'aluminiumEN AB 21000 (A-U5GT)

200 FonteEN GJS 400-15 (FGS 400-15)

240

Alliage d'aluminiumEN AW 2017 (A-U4G)

240 Vis classe 4.6 240

AcierS235

235 Vis classe 8.8 640

Alliage d'aluminiumEN AW 7075 (A-Z5GU)

440 Vis classe 10.9 900

Vis inox

Nuances A1 à A5classe 50

210 Nuance C3classe 80

640

Nuances A1 à A5classe 70

450 Nuance C4classe 50

250

Calcul de vis d'assemblage 12

Nuances A1 à A5classe 80

600 Nuance C4classe 70

410

Nuance C1classe 50

250 Nuance F1classe 45

250

Nuance C1classe 70

410 Nuance F1classe 60

410

Nuance C1classe 110

820

Longueur d'implantation minimale

Comme indiqué précédemment, plus la longueur d'implantation est importante, plus la résistance au cisaillement dufilet est importante. À partir d'une certaine longueur, les filets sont plus résistants que le noyau de la vis, c'estsystématiquement la vis qui casse en traction.On peut estimer cette longueur en introduisant la force ultime en traction dans la formule de la longueur résistant aucisaillement :

côté vis :

côté écrou :

soit

côté vis :

côté écrou :

En faisant les approximations d0 ≈ d et Re v/Reg i ≈ 2 (vis et taraudage en acier doux, par exemple boulon de classe4), on a

côté vis : le = 2d/3 = 0,667d

côté écrou : le = 4d/7 = 0,571d

En supposant une vis de classe 8.8 (Re v/Reg v = 1,25) et un taraudage dans un alliage d'aluminium 2017 (Re v/Reg e =5,333) :

côté vis : le = 1,25d/3 = 0,417d

côté écrou : le = 10,667d/7 = 1,524d

Ceci justifie les règles empiriques le ≥ d ou 1,5d.

Matage sous tête

Si l'on sert directement avec la vis ou l'écrou sur le plat de la pièce, la surface de contact a la forme d'un anneau. Lediamète intérieur di de cet anneau est le diamètre de perçage d1, et le diamètre extérieur de est donné par la forme dela tête de vis. L'aire de cette surface sous tête vaut :

St = π×(de2 - di

2)/4.La pression de contact vaut donc :

P = F/St.

Calcul de vis d'assemblage 13

Diamètres extérieurs d'appuis sous tête

d Forme de la tête

vis ou écrou H[8]

vis CHC[9]

vis ou écrou H à embase[10]

M5 6,9 8,03 9,8

M6 8,9 9,38 12,2

M8 11,6 12,33 15,8

M10 14,6 15,33 19,6

M12 16,6 17,23 23,8

M16 22,5 23,17 31,9

M20 28,2/27,7[11] 28,87 39,9

La pression admissible dépend du matériau, mais il est difficile d'avoir des données. Pour les aciers de construction,on retient en général Padm = 20 MPa. Guillot propose lui des valeurs bien plus élevées (« avec une bonnesécurité »)[12] :

Pmax = (Rec + Rmc)/2avec• Rec : limite élastique minimale en compression ;• Rmc : résistance minimale en compression ;pour les matériaux isotropes (la plupart des métaux non frittés, excepté les fontes), on prend Rec ≈ Rp0,2 et Rmc ≈ Rm.

Propriétés au matage de quelques métaux

Matériau Rec

(MPa)R

mc(MPa)

Pmax

(MPa)

Acier S235 (E24) 235 340 288

Fonte EN GJS-400-12 (FGS 400.12) 280 700 490

Alu EN AC-21000 (AU5GT) 200 330 235

Alu EN AW-2017 (AU4G) 240 390 315

Outre la détérioration de la pièce, le matage diminue la précontrainte, le serrage. Pour éviter ce phénomène, on réduitla pression de matage en utilisant des rondelles. Ceci est particulièrement important lorsque l'on utilise des qualitésde vis élevées — donc pour des couples de serrage important — avec des matériaux de construction standard (aciersS235, S355, inox, alliages d'aluminium, …).

Calcul de vis d'assemblage 14

Relation entre la force de traction et le couple de serrage

Adhérence sur le filet

Action de contact sur un filet ISO.

Localement, la situation de la vis qui tournedans le taraudage est similaire à un solideglissant sur un plan incliné. On appelle laforce d'action locale du taraudage sur la vis.On se place à un endroit du filet et on définitun repère cylindrique local, l'hélice étantinscrite dans le cylindre : l'axe x est radial,l'axe y est tangentiel et l'axe z est l'axe ducylindre. Si l'on développe l'hélice, le plandéveloppé est le plan (y, z ).

Il n'y a pas de glissement « radial » (dans leplan (z, x )), donc la force est dans une planincliné de l'angle θ = 30 °, l'angle du profildu filet, par rapport à z. À la limite duglissement, l'action de contact du taraudagesur la vis se situe sur le cône d'adhérence,donc fait un angle φ avec la normale au plande glissement ; on a :

φ = actan(μ)où μ est le coefficient d'adhérence.Pour un contact acier-acier, on a typiquement μ = 0,18 (non lubrifié) ou 0,12 (lubrifié), donc φ = 10,2 ° (non lubrifié)ou 6,84 ° (lubrifié). Mais les coefficients présentent une grande variabilité : selon le traitement de surface (en généraltraitement anti-corrosion), la lubrification, mais aussi une grande disperison pour des conditions données.

Coefficients de frottement acier sur acier selon la finition et la lubrification[13]

Traitement de surface μ (φ)

Vis Écrou Non lubrifié Huilé Grissé au MoS2

Phosphatée Aucun 0,14-0,21(7,97-11,9°)

0,14-0,17(7,97-9,65°)

0,10-0,11(5,71-6,28°)

Galvanisé 8μm(électrozingué)

aucun 0,13-0,18(7,41-10,2°)

0,13-0,17(7,41-9,65°)

Galvanisé 5 μm 0,13-0,18(7,41-10,2°)

0,14-0,19(7,97-10,8°)

Cadmié 7 μm aucun 0,08-0,12(4,57-6,84°)

0,08-0,11(4,57-6,28°)

Cadmié 7 μm 0,08-0,12(4,57-6,84°)

0,10-0,15(5,71-8,53°)

La force peut suite se décomposer en :• une composante axiale Ft, qui met la vis en traction ;• une composante horizontale Fc, qui produit un couple résistant.On se place au milieu du filet, donc au diamètre sur flanc d2. On a donc :

Calcul de vis d'assemblage 15

Ft = F×cos(α ± φ)×cos(θ)

Le moment de la force par rapport à l'axe vaut

Ce moment M1 est une composante du couple de serrage. On peut éliminer F pour mettre en relation Ft et M1 (enscalaire) :

.

soit, en prenant α = 2,7 °, θ = 30 ° et φ = 6,84 ° (filetage ISO, pas gros, acier sur acier), en valeur absolue :M1 ≈ 0.097,0×Ft×d (serrage)

ouM1 ≈ 0.041,8×Ft×d (desserrage).

On a la relation trigonométrique suivante :

avec tan α = p/(πd2) et tan φ = μ. Par ailleurs, comme φ < 10° et α ≤ 2,28°, on a tan(α)tan(φ) < 0,008 qui estnégligeable devant 1, soit

et donc :

.

Le signe est positif au vissage et négatif au dévissage. Pour le vissage avec un filetage ISO, on a donc :M1 ≈ (0,184×p + 0,577×μ×d2)×Ft.

Exemple

Considérons une vis M10 à pas gros, avec un contact acier sur acier lubrifié. On a d2 ≈ d = 10 mm = 0,01 m, soit auserrage

M1 = 0.000,968×Ft(Ft en N, M1 en Nm).

Adhérence de la tête de vis ou de l'écrou sur le plat ou le fraisurage

Lors du serrage ou du desserrage, la partie que l'on manipule — tête de vis dans le cas d'un système vis/trou taraudé,tête de vis ou écrou dans le cas d'un boulon — frotte sur la partie plate de la pièce (ou sur la rondelle ou le joint), oubien sur le fraisurage (vis à tête fraisée). Nous prenons ici le cas d'un écrou.Isolons l'écrou. La vis exerce une action dont la résultante est la force Ft. Il se crée donc une résistance aupivotement. Cette résistance se traduit par un couple résistant de moment M2 :

M2 = μ×Ft×rtoù

Calcul de vis d'assemblage 16

• rt est un facteur de forme qui dépend de la forme de la tête de vis, une sorte de rayon moyen sous tête ;•• μ est le coefficient d'adhérence ; il peut être différent du coefficient d'adhérence sur le filet les les matériaux ou a

lubrification sont différents.Si la surface est un disque évidé de rayon intérieur rint et de rayon extérieur rext — par exemple vis à têtecylindrique, vis à tête hexagonale (il y a une collerette, portée circulaire située sous la tête), écrou hexagonal (il a des« bords relevés » donc une surface de contact circulaire), écrou à embase tronconique, écrou serré à la main(papillon, moleté, à croisillon) —, on a :

.

Pour les diamètres extérieurs des têtes de vis et des écrous, voir la section Matage sous tête.Dans le cas d'une vis ou d'un boulon, la largeur de la surface d'appui est faible devant son rayon, on a rext/rint ≈ 1, onpeut donc faire l'approximation

.

Pour une tête hexagonale et un passage de vis de d + 1 mm, on a rt ≈ 0,64×d. Cette forme n'est valable que pour uneforme de tête et un jeu de passage.

Rayon d'adhérence (mm) pour une tête hexagonale (H) et un trou de passage de d + 1 mm

d Formule utilisée

Formuleexacte

Moyenne(r

ext + r

int)/2

Proportionelle0,64×d

M5 3,230 3,225 (-0,2 %) 3,2 (-0,9 %)

M6 3,994 3,975 (-0,5 %) 3,84 (-3,9 %)

M8 5,177 5,150 (-0,5 %) 5,12 (-1,1 %)

M10 6,442 6,400 (-0,7 %) 6,4 (-0,7 %)

M12 7,436 7,400 (-0,5 %) 7,68 (+3,3 %)

M16 9,939 9,875 (-0,6 %) 10,24 (+3 %)

M20 12,388 12,300 (-0,7 %) 12,8 (+3,3 %)

Si la surface est un tronc de cône de demi-angle au sommet α' — vis à tête fraisée (tête normalisée à α' = 45 °) —

.

et donc

.

Exemple

Considérons un écrou M10, avec un contact acier sur acier lubrifié, soit μ = 0,12. Le diamètre de la collerette soustête vaut 14,6 mm, c'est aussi le diamètre du cercle inscrit dans l'hexagone ; donc rext = 14,6/2 = 7,3 mm. Admetonsque la rondelle d'appui ait un diamètre intérieur de 12 mm : on a rint = 12/2 = 6 mm.Nous avons donc :

rt = 6,67 mm = 0.006,67 mM2 = 0.000,801×Ft

(Ft en N, M2 en Nm).

Calcul de vis d'assemblage 17

Relation complète

Le couple de serrage est la somme des moment calculés ci-dessus :C = M1 + M2

soit dans le cas d'une vis à filetage ISO à pas gros :C = (0,184×p + (0,577×d2 + rt)×μ)×Ft

et à l'inverse

Dans le cas de notre vis M10 :C = 0.001,77×Ft

(Ft en N, C en Nm). On voit que l'adhérence du filet représente 99 % du couple de serrage, et l'adhérence sous la têtereprésente 1 % de ce couple.

Résistance mécanique

Contrainte dans le filetLe contact se faisant au niveau des dents celles-ci doivent supporter une contrainte qui peut être calculée.

CisaillementIl faut tenir compte des forces intérieures de cisaillement à la base de la tête de vis. Il est de bon ton de considérer lesforces correspondant à la répartition des contraintes dans un cylindre de diamètre égal au diamètre à flanc de filet.Bien que la vis ne doit pas avoir de contrainte de cisaillement, dans un assemblage la valeur de celle-ci est de 0,6 dela valeur de la rupture. (Dans un assemblage, des goupilles doivent être installées en cas de contrainte decisaillement).

Cas du boisLes vis à bois n'ayant pas un filetage suffisant pour travailler en traction, elles sont donc conçues pour travailler encisaillement. Pour un assemblage en bois vissé travaillant en traction, il faut utiliser :•• des tire-fonds dont le filetage est adapté à ce genre de sollicitations•• Des inserts filetés pour utilisation avec des vis ISO standards

References[1] un flux bouclé est un ensemble d'efforts internes à un sous-ensemble rigide (classe d'équivalence cinématique), et indépendant des actions

extérieures à ce sous-ensemble ; la somme de ces efforts est nécessairement nulle (condition d'équilibre), les vecteurs force mis bout à boutforment un polygone fermé, d'où cette notion de « boucle » et de « flux »C. Teixido, J.-C. Jouanne, B. Bauwe, P. Chambraud, G. Ignatio et C. Guérin, Guide de construction mécanique, Delagrave, 2000(ISBN 2-206-08224-1), p. 281

[2] la classe de qualité est composée de deux nombres, sous la forme a.b ; la limite élastique en MPa vaut Re = 10×a×b (pour une vis de classe8.8, Re = 640 MPa)

[3] correspondant à 3⁄4 de la limite élastique (coefficient de sécurité de 1,3), filetage à pas gros, pour un montage graissé monté avec rondellesplates (coefficient de frottement μ = 0,12) ; André Chevalier, Guide du dessinateur industriel, Hachette, 2004 (ISBN 978-2-01-168831-6),p. 336

[4] correspondant à 3⁄4 de la limite élastique ; sections résistantes : Jean-Louis Fanchon, Guide des sciences et technologies industrielles, Nathan,2011 (ISBN 978-2-09-161590-5), p. 194

[5] (de) Rudolf Kellermann et Hans-Christof Klein, « Untersuchungen über den Einfluß der Reibung auf Vorspannung und Anzugsmoment vonSchraubenverbindungen », dans Konstruction, Springer Verlag, vol. 2, 1955

Calcul de vis d'assemblage 18

[6] Jean Guillot, « Modélisation et calcul des assemblages vissés. Généralités », dans Techniques de l'ingénieur, Éditions TI, no BM 5 560, 2007,p. 14

[7] Guillot, op. cit. p. 15[8][8] normes ISO 4014 (vis) et ISO 4032 (écrous)[9][9] norme ISO 4762[10][10] normes EN 1665 (vis) et EN 1661 (écrou)[11][11] 28,2 mm pour une tête de vis, 27,7 pour un écrou à embase[12] Guillot, op. cit., p.16[13] Guillot, op. cit., p.11

Liens externes• Calcul liaison vissée (http:/ / technocalcul. celeonet. fr/ FR/ calcul_liaison_vissee. html)• Boulons – Capacités nominales (http:/ / www. steelbizfrance. com/ prog/ boulon/ lstboulon. aspx)• (de) Publications sur le sujet (http:/ / www. kamax. com/ kompetenzen/ veroeffentlichungen/ ) (Kamax, entreprise

fondée par Rudolf Kellermann)

Sources et contributeurs de l’article 19

Sources et contributeurs de l’articleCalcul de vis d'assemblage  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=84552379  Contributeurs: Arnaud.Serander, Cdang, Deep silence, Dhatier, Gene.arboit, Haha, Ji-Elle, Loveless,MonstroLinux, Mr TONO, Muy, P'tit Ju, Pautard, Pld, Ruizo, Skiff, Steeve osteen, Zdai, 14 modifications anonymes

Source des images, licences et contributeursImage:Clef dynamometrique 20-100danm.jpg  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fichier:Clef_dynamometrique_20-100danm.jpg  Licence: Creative CommonsAttribution-ShareAlike 3.0 Unported  Contributeurs: ruizo wiki.frImage:coupe filetage.jpg  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fichier:Coupe_filetage.jpg  Licence: GNU Free Documentation License  Contributeurs: Original uploader wasFichier:Map par adherence assemblage visse.svg  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fichier:Map_par_adherence_assemblage_visse.svg  Licence: Creative CommonsAttribution-Sharealike 3.0  Contributeurs: User:CdangFile:Angle developpee helice.svg  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fichier:Angle_developpee_helice.svg  Licence: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contributeurs: 060322_helix.svg: User:Stannered derivative work: CdangFichier:Profil filetage ISO principales cotes.svg  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fichier:Profil_filetage_ISO_principales_cotes.svg  Licence: Creative CommonsAttribution-Sharealike 3.0,2.5,2.0,1.0  Contributeurs: CdangFile:Modes ruine vis.svg  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fichier:Modes_ruine_vis.svg  Licence: Creative Commons Zero  Contributeurs: User:CdangFichier:Action contact filet vis ISO.svg  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fichier:Action_contact_filet_vis_ISO.svg  Licence: Creative Commons Attribution-Sharealike3.0,2.5,2.0,1.0  Contributeurs: Cdang

LicenceCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/