CALCUL DIFFÉRENTIEL . , ET , GEOMETRIE ?· 102 Calcul différentiel et Géométrie différentielle…

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    12-Sep-2018

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  • Conservatoire National des Arts & Mtiers

    D U T D E G N I E M C A N I Q U E E T P R O D U C T I Q U E Deuxime Anne

    CALCUL DIFFRENTIEL . , ET ,

    GEOMETRIE DIFFERENTIELLE

    Pierre M A R R Y

  • Table des Matires

    C H A P I T R E 1 : T O P O L O G I E D E I R n

    1.1 Normes sur IR n 1 1.1.1 Rappels sur les fonctions d'une variable 1 1.1.2 Normes sur un IR-espace vectoriel 2 1.1.3 Normes usuelles sur tn 3 1.1.4 Equivalence des normes 4

    1.2 Topologie de 1R" 5 1.2.1 Boules ouvertes et boules fermes 5 1.2.2 Voisinages d'un point, ouverts, ferms 6 1.2.3 Intrieur, adhrence, frontire 7 1.2.4 Compacts 8

    1.3 Limites et continuit 9 1.3.1 Limite d'une fonction de IR P dans t9 9 1.3.2 Continuit 10

    C H A P I T R E 2 : D I F F R E N T I E L L E S

    2.1 Diffrentielle d'une fonction 11 2.1.1 Rappels sur les fonctions d'une variable 11 2.1.2 Diffrentielle d'une fonction de IR P dans Ht 9 13

    2.2 Calcul des diffrentielles 15 2.2.1 Drives partielles 15 2.2.2 Expression de la diffrentielle 16 2.2.3 Matrice Jacobienne 17 2.2.4 Gradient d'une fonction valeurs relles 22

    2.3 Drives partielles d'ordre suprieur 23 2.3.1 Fonctions de classe Ck 23 2.3.2 Formes diffrentielles 24

    C H A P I T R E 3 : E X T R E M A DES F O N C T I O N S D E PLUSIEURS V A R I A B L E S

    3.1 Extrema d'une fonction 27 3.1.1 Rappels sur les fonctions d'une variable 27 3.1.2 Formule de Taylor au 2 ordre 28 3.1.3 Cas des fonctions de deux variables 29

  • 102 Calcul diffrentiel et Gomtrie diffrentielle

    3.2 Extrema lis 32

    C H A P I T R E 4 : P R O P R I T S M T R I Q U E S D E S C O U R B E S

    4.1 Rectification des courbes planes et gauches 37 4.1.1 Longueur d'un arc de courbe 37 4.1.2 Abscisse curviligne 39 4.1.3 Vecteur unitaire tangent 43

    4.2 Courbure des courbes planes 43 4.2.1 Un exemple simple : le cercle 43 4.2.2 Un deuxime exemple simple : la droite 44 4.2.3 Courbure et rayon de courbure d'une courbe plane . . 44

    4.3 Courbure et torsion des courbes gauches 48 4.3.1 Tridre de Frenet 48 4.3.2 Torsion 49 4.3.3 Exemple : l'hlice circulaire 50

    C H A P I T R E 5 : C O U R B E S D F I N I E S PAR U N E P R O P R I T D I F F R E N T I E L L E 5.1 quation diffrentielle d'une famille de courbes planes . . . . 53

    5.1.1 Rappels sur les quations diffrentielles du 1 ordre . . 53 5.1.2 Equation diffrentielle d'une famille de courbes planes 56 5.1.3 Application : trajectoires orthogonales d'une famille

    de courbes planes 58 5.2 Enveloppe d'une famille de courbes planes 61 5.3 Dveloppes et dveloppantes 65

    5.3.1 Dveloppe d'une courbe plane 65 5.3.2 Dveloppantes d'une courbe plane 67

    C H A P I T R E 6 : L M E N T S D E T H O R I E D E S S U R F A C E S 6.1 Surfaces paramtres 71

    6.1.1 Paramtrages rguliers 71 6.1.2 lment d'aire 72

    6.2 Premire forme fondamentale 73 6.3 Courbure d'une surface paramtre 74

    6.3.1 Courbures normales 74 6.3.2 Deuxime forme fondamentale 75 6.3.3 Courbures principales 76

    6.4 Exemples 78 6.4.1 Surfaces donnes par une quation z = z(x,y) 78 6.4.2 Surfaces de rvolution 79 6.4.3 Hlicode droit 83

    E X E R C I C E S 85

  • Chapitre 1 TOPOLOGIE DE IR n

    1.1 Normes sur IR"

    1.1.1 Rappels sur les fonctions d'une variable

    Etant donne une fonction / dfinie sur une partie (non-vide) Vf de 1R, valeurs dans 1R, on peut introduire les notions de limite et de continuit de / en un point. On dit qu'un point XQ de 1R est adhrent . Vf si et seulement pour tout a > 0, l'intersection de ]XQ a, XQ + a[ avec Vf est non-vide. L'ensemble des points adhrents Vf est une partie Vf de IR qui contient Vf, et que l'on appelle adhrence deVf. Rappelons ici les dfinitions des notions de limite et de continuit de / en un point xo Soit xo un point adhrent kVf. On dit que f(x) tend vers IR lorsque x tend vers xo , et l'on note lim /(x) = , si et seulement si :

    X-+XO

    V e > 0 , 3a > 0, Vx Vf, \x - x0\ a =* \f(x) - \ s.

    Si xo est un point de Vf, on dit que / est continue en xo si et seulement si lim /(x) = /(x 0 ) , c'est dire :

    V e > 0 , 3 o > 0 , V x e D / , | x - x 0 | < a = > | / ( x ) - / ( x 0 ) | < .

    On peut considrer que pour deux rels a et b donns, |6 a| reprsente la distance d(a, b) de a b. Cette distance a les proprits suivantes :

    - d(a, b) > 0 et d(a, b) = 0 si et seulement si a = 6. - (Symtrie) d(a,b) = d(b,b). - (Ingalits du triangle) :

    \d(a, c) - d(c, 6)| < d(a, b) < d(a, c) + d(c, b).

    Pour tendre les notions de limite et de continuit aux fonctions de plusieurs variables, il est ncessaire de gnraliser IR" cette notion de distance. Cela se fait par une extension de la notion de valeur absolue : la notion de norme.

    1

  • 2 Calcul diffrentiel et Gomtrie diffrentielle

    1.1.2 N o r m e s sur u n IR-espace vectoriel

    Soit E un IR-espace vectoriel.

    Dfinition 1.1 Une norme sur E est une application N de E dans IR qui vrifie les axiomes de dfinition suivants :

    - (Ni) Pour tout x e E on a N(x) > 0, et :

    N(x) = 0 x = 0.

    - (N2 : Homognit) Pour tout x E et tout 6 M on a :

    N(Xx) = |A| N(x).

    - (N3 : Ingalit du triangle) Pour tout x E E et tout y E, on a :

    N(x + y) \N(x)-N(y)\.

    dmonstration : On a x = (x + y) + (y), donc :

    N(x) < N(x + y) + N(-y) = N(x + y) + N(y).

    On en dduit que N(x + y) > N(x) - N(y).

    De mme, en crivant y = (x + y) + (x), on prouve que :

    N(x + y)>N(y)-N(x).

    On a donc bien N{x + y) > \N(x) - N(y)\.

    On peut dfinir la distance associe une norme :

    Dfinition 1.2 Etant donne une norme \\ sur E, la distance associe est l'application d de E X E dans IR dfinie par :

    V ( X , / ) ExE, d(x,y) = \\y-x\\.

  • Chapitre 1 : Topologie de Mn 3

    Proposition 1.2 La distance associe une norme vrifie les proprits suivantes :

    - Pour tout x E et tout y E, on a d(x, y) > 0 et :

    d(x,y) = 0 x = y.

    - (Symtrie) Pour tout x E et tout y E, on a d(x, y) = d(y, x). - (Ingalits du triangle) : Pour tout x E, tout y E et tout z E,

    on a : \d(x, z) - d(z, y)\ d(x, y) < d(x, z) + d{z, y).

    dmonstration : On a d(x,y) = \\y x\\ 0, et si d(x,y) = \\y x\\ 0, alors y x = 0, donc x = y. Comme x - y = -(y - x), on a d(x, y) = \\y - x\\ \\x - y|| = d(y, x). Comme y x = (y z) + (z x), on a, par l'axiome (N3) et la 2 ingalit du triangle :

    ||| y_z||_||z-x|||

  • 4 Calcul diffrentiel et Gomtrie diffrentielle

    La norme euclidienne n'est pas toujours la plus pratique utiliser en Ana-lyse Mathmatique. C'est pourquoi les mathmaticiens ont dfini d'autres normes sur IR". Les principales sont :

    - les normes || ||p, o p est un nombre entier strictement positif. Si x est le vecteur de IR71 de coordonnes (x\, X2, , x n ) , on pose :

    I k l l , = ( l * l | P + l * 2 | P + + \*n\)> = ( S N I " \=1

    Dans le cas n = 1 on obtient : n

    ll*lli = lil + l*al + .., + l*| = 2 N -=i

    Dans le cas n = 2 on retrouve la norme euclidienne.

    - la norme || l l ^ dite de la convergence uniforme . Si x est le vecteur de IR" de coordonnes (x\, X 2 , . . . , xn), on pose :

    I M I o o = l*2|, , \xn\] = max |{|. l < t < n

    1.1.4 E q u i v a l e n c e des n o r m e s

    Une notion importante," comme on le verra par la suite, est celle de normes quivalentes :

    Dfinition 1.3 Soient E un IR-espace vectoriel, et N et N' deux normes sur E. On dit que N est quivalente N' si et seulement s'il existe deux constantes relles strictement positives m et M, avec 0 < m < M, telles que pour tout x E E on ait :

    mN'(x) < N{x) < MN'(x).

    Cette relation est : - rflexive : Comme l.N(x) < N(x) < l.N(x), N est bien quivalente

    N. - symtrique : si N est quivalente N', il existe des constantes m et

    M , avec 0 < m < M , telles que pour tout x E on ait :

    mN'(x) < N(x) < MN'{x).

    I l vient alors : -^N(x) < N'(x) < N(x),

  • Chapitre 1 : Topologie de 2RN 5

    et TV' est quivalente N. - transitive : si N est quivalente N' et N' quivalente N", i l

    existe m et M , avec 0 < m < M , telles que pour tout x E on ait mJV'(i) < iV(x) < MN'(x), et m' et M ' , avec 0 < m' < M ' , telles que pour tout x E on ait m'N"(x) < N'(x) < M'N"(x). On a alors :

    mm'N"(x) < N(x) < MM'N"{x),

    et N est quivalente N". La relation est donc une relation d'quivalence . Nous admettrons le thorme suivant :

    Thorme 1.1 Sur un IR-espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont quivalentes.

    C'est donc le cas sur IR" qui est de dimension finie n.

    1.2 Topologie de HT

    1.2.1 Boules ouvertes et boules fe rmes

    Soient || || une norme sur IR" et d la distance associe. Pour tout point a de lR n et tout nombre rel strictement positif r > 0, on dfinit :

    - la boule ouverte de centre a et de rayon r :

    B (a, r) = {x JRn/d(x, a) < r} = {x IRn/||x - a|| < r } ,

    - la boule ferme de centre a et de rayon r :

    B(a, r) = {x 6 lRn/d(x, a) < r} = {x lRn/||x - a\\ r}.

    La figure ci-dessous montre les boules de centre 0 et de rayon r de IR 2 pour les normes respectives || || ||2 et || ||oo.

    y

    Norme 1

    y

    Norme 2 I Norme ce

  • 6 Calcul diffrentiel et Gomtrie diffrentielle

    1.2.2 Voisinages d ' u n point , ouverts , f e r m s

    On suppose IR n muni d'une norme || ||.

    Dfinition 1.4 Un voisinage d'un point XQ de Mn est une partie V de IR71 qui contient une boule ouverte centre en Xo-

    o

    Si V est un voisinage de xo, i l existe donc e > 0 tel que B (xo,) C V, ce qui signifie que tous les points de IR n qui sont une distance de XQ moindre que sont dans V. Comme toutes les normes sur IR" sont quivalentes, les voisinages d'un point sont les mmes quelle que soit la norme choisie. En effet, si N et N' sont deux normes sur IR n , toute boule ouverte de centre xo pour la norme N contient une boule ouverte de centre x$ pour la norme N', et rciproquement.

    Dfinition 1.5 Un ouvert de IRn est une partie de Mn qui est voisinage de chacun de ses points. Un ferm de C est une partie de IR11 dont le complmentaire est ouvert.

    Par exemple, une boule ouverte (resp. ferme) est un ouvert (resp. un ferm).

    o

    En effet, soient B =B (a,r) la boule ouverte de centre a et de rayon r, et xo un point de B. On a donc d(a, XQ) < r. Soit e un nombre rel tel que 0 < e < r d(a,Xo). Alors la boule ouverte de centre xo et de rayon est contenue dans B, car si d(x, xo) < e, on a :

    d(x, a) < d(x, x 0 ) + d(x0, a) < + (r - e) = r,

    donc x B . De mme, si B' = B(a, r) et si xo on a d(a, x 0 ) > r . Soit e un nombre rel tel que 0 < < d(a, xo) r. Alors la boule ouverte de centre xo et de rayon e est contenue dans le complmentaire de B'. Ce complmentaire est donc ouvert, et B' est donc un ferm. Les ouverts de IR n vrifient les proprits suivantes :

    Proposition 1.3 Les parties JPJ1 et 0 de IR71 sont des ouverts. Une intersection finie d'ouverts de IRn est un ouvert de IRn. Une runion quelconque (mme infinie) d'ouverts de WC1 est un ouvert de nr.

    dmonstration : Comme IR" contient toutes les boules ouvertes, i l est voisi-nage de chacun de ses points. Si 0 n'tait pas un ouvert, il existerait xo 0 pour lequel aucune boule ouverte centre en xo ne serait contenue dans 0. Comme 0 n'a pas d'lment, l'existence d'un tel xo est impossible, et 0 est donc ouvert. Soient U\,U2,..., Uk des ouverts de IR n , et XQ un point de l'intersection

  • Chapitre 1 : Topologie de IRn 7

    k

    P| /,-. Pour chaque , 1 < ' < k, Ui est ouvert, donc i l existe e,- > 0 tel que :'=1

    k o o ~ .

    B (xo,i) C U{. Soit s = min Alors B (xo,) C | | L7,-, ce qui prouve i = l

    que [j /t- est un ouvert. :'=1

    Soit enfin (Ui)ieI une famille quelconque d'ouverts de IR", et XQ un point

    de la runion (J#i- I l existe i 6 I tel que XQ 6 U%. Comme Ui est ouvert, o o | -

    i l existe > 0 tel que B (xo,z) C C7,-. On a donc B (xo,) C M Ui, et par t i

    consquent M Ui est ouvert.

    On en dduit les proprits suivantes des ferms de IR n :

    Proposition 1.4 Les parties IR71 et 0 de IR71 sont des ferms. Une runion finie de ferms de IRn est un ferm de IR71. Une intersection quelconque (mme infinie) de ferms de IR71 est un ferm de HT.

    En raison de l'quivalence des normes, les ouverts et les ferms de fftn sont les mmes quelle que soit la norme choisie.

    1.2.3 Intr ieur , a d h r e n c e , frontire

    Soit A une partie de IR.

    o

    Dfinition 1.6 L'intrieur A de A est la runion de tous les ouverts de IRn contenus dans A. C'est donc le plus grand ouvert de M71 qui soit contenu dans A.

    Par exemple, l'intrieur d'un point est vide. Si U est un ouvert de IR n , on 0

    a U= U. L'intrieur de la boule ferme de centre a et de rayon r > 0 est la boule ouverte de centre a et de rayon r. Comme dans le cas de IR, on peut dfinir les notions de point adhrent A et d'adhrence de A :

    Dfinition 1.7 Un point XQ de IR71 est dit adhrent A si et seulement si toute boule ouverte centre en XQ a une intersection non-vide avec A. L'adhrence A de A est l'ensemble des points de IR71 adhrents A.

    On a la proposition suivante :

  • 8 Calcul diffrentiel et Gomtrie diffrentielle

    Proposition 1.5 L'adhrence de A est le plus petit ferm de Mn qui con-tienne A. C'est l'intersection de tous les ferms de IRn qui contiennent A.

    dmonstration : Notons A' l'intersection de tous les ferms de IR" qui con-tiennent A, qui est donc le plus petit ferm de K " contenant A. L'adhrence A de A contient A. De plus, A est un ferm de tn. En effet, si XQ A, i l existe une boule ouverte centre en xo dont l'intersection avec A est vide. Soient r le rayon de cette boule, et s K. tel que 0 < < r. L'intersection de la boule ouverte de centre xo et de rayon avec A est vide. Sinon, pour un lment x de cette intersection, la boule ouverte de centre x et de rayon r aurait avec A une intersection non-vide. Comme

    o o

    cette boule est contenue dans B (xo , r ) , B (xo,r) aurait, contrairement l'hypothse, une intersection avec A non-vide. On en dduit que le complmentaire de A est ouvert, donc que A est ferm. I l s'ensuit que A est un ferm contenant A, donc que A D A'. Si xo A', i l existe, puisque le complmentaire de A' est ouvert, une boule ouverte centre en xo dont l'intersection avec A' est vide. L'intersection de cette boule avec A C A' est donc vide galement, et xo 4. A. On a donc C A\

    Donc A = A'.

    Par exemple, si F est un ferm de JRn, on a F = F.

    L'adhrence de la boule ouverte de centre a et de rayon r > 0 est la boule ferme de centre a et de rayon r . On a, pour toute partie A de ]R n :

    AC A C.

    Dfinition 1.8 La frontire, ou bord, de A est par dfinition la partie dA o

    de IRn dfinie par dA = A \

    Par exemple, le bord de la boule (ouverte ou ferme) de centre a et de rayon r est la sphre S(a, r) de centre a et de rayon r , dfinie par :

    S(a, r) = {x JRn/d(x, a) = r } .

    1.2.4 C o m p a c t s

    Dfinition 1.9 Une partie A de Mn est dite borne si et seulement s'il existe M > 0 tel que pour tout x A on ait j|x|| < M.

    En raison de l'quivalence des normes, les parties bornes de IR" sont les mmes quelle que soit la norme choisie.

  • Chapitre 1 : Topologie de Rn 9

    Dfinition 1.10 On appelle compact de Mn toute partie de IR71 qui est ferme et borne.

    Comme on le verra plus loin, les compacts de R " jouissent de proprits analogues celles des segments de IR.

    1.3 Limites et continuit

    1.3.1 L i m i t e d'une fonction de I R P dans I R 9

    On a maintenant les outils mathmatiques permettant de gnraliser les n...

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