Calculo de Volúmenes

Departamento De Ciencias Cajamarca Facultad De Ingeniera

SEMANA 9

CURSO : MATEMTICA II

Tema :

INTRODUCCIN

El mtodo de los casquetes cilndricos, proporciona una forma alternativa de calcular

volmenes de slidos de revolucin. En

ciertos casos es el nico mtodo viable porque

el de las arandelas (anillos) puede resultar a

veces difcil de aplicar o no puede aplicarse

en absoluto.

Piense por ejemplo en el problema de hallar el

volumen del solido de revolucin que se

genera al hacer girar sobre el eje Y la regin

que est comprendida, en el primer cuadrante,

entre la curva 3y x 4x 3x 1y la recta

vertical x 3 .

A primera vista puede parecer que el mtodo ms adecuado para este clculo consiste en

hacer repetidas secciones trasversales horizontales del slido- tajarlo por decirlo as- y en

integrar luego los volmenes de todos los trazos. Sin embargo, se presentan varias

dificultades. La primera est en que las secciones transversales son, en unas zonas del

slido, discos completos y, en otras,

arandelas (anillos), es decir discos con

hueco. Esto conduce a tener que dividir la

regin de integracin en varias

subregiones, lo que resulta engorroso.

Pero por otra parte, para plantear la

integral es necesario expresar tanto el

radio de los discos con el radio interior

(radio menor) y exterior (radio mayor) de

las arandelas en funcin de la variable y,

lo que no es fcil de lograr en este caso

(Vase la figura a la derecha).

Clculo de volmenes de slidos de revolucin: mtodo de la corteza cilndrica


En cambio, el mtodo de los casquetes cilndricos

funciona muy bien en esta situacin. Bsicamente

consiste en dividir el slido de revolucin en una serie

de casquetes cilndricos que se incrustan unos dentro

de otros y en integrar luego los volmenes de estos

casquetes para obtener el volumen total. En la Figura

mostrada a la derecha se puede ver cmo se van

agregando y se van retirando sucesivamente estos

elementos y cmo se produce el slido de revolucin.

Es por eso por lo que a este mtodo se le conoce

tambin como el mtodo de las capas, las

envolturas, las envolventes o los cascarones cilndricos.

PLANTEAMIENTO GENERAL: MTODO DE LOS CASQUETES CILNDRICOS

Para comenzar a entender en detalle el mtodo de

los casquetes cilndricos debemos establecer

cmo calcular el volumen V de un casquete

cilndrico de altura h cuyo radio interior es 1r y

cuyo radio exterior es 2r como el que aparece en

la Figura. Naturalmente procedemos restando el

volumen 1V del cilindro interior al volumen 2V del

cilindro exterior, as:

1 2

2 22 1

2 22 1

2 1 2 1

2 12 1

V V V

r h r h

r r h

r r r r h

r r2 r r h

2

En esta expresin podemos reconocer varias cosas. Si

ponemos

2 1r r

r2

, el radio medio de los cilindros, y

si ponemos 2 1r r r , el grosor del casquete

cilndrico, entonces podemos expresar el volumen de

la forma siguiente:

V 2 rh r


Esta expresin puede recordarse fcilmente si se piensa en que el casquete cilndrico se

abre y se aplana convirtindose en una caja rectangular de escaso grosor como lo muestra la

grfica.

Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del slido de

revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje Y la regin que est comprendida

entre la curva y f(x) , con f(x) 0 , el eje X, es decir, la recta horizontal y 0 y las rectas

verticales x a y x b , donde 0 a b . La regin aparece representada en la Figura a y el

slido de revolucin que engendra en la Figura b.

Dividamos en intervalo a;b en n subintervalos i 1 ix ;x , todos con el mismo ancho:

b ax

n . Sea

*ix el punto medio del i-simosubintervalo. Consideremos el rectngulo

iR construido sobre el i-simosubintervalo con

una altura de *if(x ) y hagmoslo girar en torno del

eje Y. Entonces se produce un casquete

cilndrico que tiene como radio medio*ix , como

altura *if(x ) y cuyo grosor es i 1 ix x x (Vase

la figura). Por lo tanto, el volumen iV de este

casquete cilndrico est dado por:

* *i i iV 2 x f(x ) x

Figura a Figura b


Para obtener un clculo aproximado del volumen total del slido de revolucin debemos

poner n casquetes cilndricos se stos, unos

dentro de los otros, como lo ilustra la figura y despus sumar los volmenes de todos ellos:

n n

* *i i i

i 1 i 1

V V 2 x f x x

Se puede probar que esta aproximacin ser mejor entre ms grande se n, el nmero de

casquetes cilndricos. Por eso, se puede poner:

bn

* *i i

ni 1 a

V lim 2 x f x x 2 xf(x)dx

Y de esta manera hemos llegado a formular una regla general para el clculo de volmenes

con el mtodo de los casquetes cilndricos. Es la siguiente:

MTODO DE LOS CASQUETES CILINDRICOS: UNA CURVA

El volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje Y la

regin que est comprendida entre la curva y f(x) , con f(x) 0 , el eje X y las rectas

verticales x a y x b , donde 0 a b , est dado por la integral:

b

a

Volumen V 2 xf(x)dx

Ejemplos:


1. Determinar el volumen del slido generado al girar alrededor del eje Y la regin

limitada por la grfica de la funcin 2 3f(x) 2x x y el eje de las abscisas.

Solucin:

Hallemos los puntos de interseccin de la funcin 2 3f(x) 2x x con el eje X (eje de las

abscisas). Para esto hacemos f(x) 0 , es decir:

2 32x x 0

2 x 2 x 0 x 0 x 2

Entonces, la grfica de la funcin 2 3f(x) 2x x y del slido de revolucin formado al

rotar la regin generada por la funcin 2 3f(x) 2x x alrededor del eje Y se muestra en

la siguiente figura:

Luego, el volumen se determina de la siguiente manera:

b

a

V 2 xf(x)dx

Dnde:

a. 2 3f(x) 2x x

b. x 0 x 2 c. Entonces, tenemos que:

22 2 4 5

2 3 3 4

0 0 0

x xV 2 x 2x x dx 2 2x x dx 2

2 5

4 52 2 162 0

2 5 5


16V (unidades cbicas)

5

2. Determinar el volumen del solido obtenido por revolucin, al hacer girar la regin

acotada por 1

yx

, el eje X y las rectas x 1 x 4 alrededor del eje Y.

Solucin:

La grfica de la funcin se muestra en la siguiente figura:

Sabemos que el volumen del solido obtenido por revolucin, se determina de la

siguiente manera:

b

2

a

V 2 f(x) dx

Donde:

a. 1

f(x)x

b. a 1 b 4

Entonces, tenemos:

44 4 312 2

00 0

x 2V 2 dx 2 x dx x

3x

28

V unidades cbicas3

3. Determinar el volumen del slido de revolucin generado al girar alrededor del eje Y la

regin limitada por la parbola 2f(x) 4x x y el eje de las abscisas.


Solucin:

Determinemos los puntos de interseccin de la funcin 2f(x) 4x x con el eje X. Para

esto hacemos f(x) 0 , es decir:

24x x 0

x 4 x 0 x 0 x 4

Entonces, la grfica de la funcin 2f(x) 4x x y el slido de revolucin formado al

rotar la regin generada por la funcin 2f(x) 4x x alrededor del eje Y se muestra en

la siguiente figura:


b

a

V 2 xf(x)dx

Donde:

a. 2f(x) 4x x

b. a 4 b 0

Entonces:

4 4

2 2 3

0 0

V 2 x 4x x dx 2 4x x dx

43 4

0

4x x 256 2562 2 0

3 4 3 4

128V unidades cbicas

3


MTODO DE LOS CASQUETES CILINDRICOS: DOS CURVAS

El volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje Y la

regin que est comprendida entre la curva y f(x), y g(x) con f(x) g(x) x a;b , el eje

X y las rectas verticales x a y x b , donde 0 a b est dado por:

b

a

Volumen V 2 x f(x) g(x) dx

Ejemplos:

1. Determinar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar sobre el

eje Y la regin comprendida por la parbola 2y x 4x 3 , por la cbica

3 2y x 6x 12x 5 y por las rectas verticales x 1 y x 3 .

Solucin:

La regin en cuestin aparece mostrada en la figura mostrada abajo. En este caso, a

diferencia de los ejemplos anteriores, hay dos funciones involucradas que son:

2y x 4x 3 e

3 2y x 6x 12x 5 .

El slido que se genera ala hacer girar esta regin alrededor del eje Y puede verse en la

figura mostrada abajo. Obsrvese que est limitado arriba y abajo por dos superficies


de revolucin curvas y en la parte interior y en la exterior por dos superficies

cilndricas.


b

a

V 2 x g(x) f(x) dx

Donde:

a. 3 2 2g(x) x 6x 12x 5 f(x) x 4x 3

b. a 1 b 3

Entonces:

4 4

3 2 2 3 2

0 0

V 2 x x 6x 12x 5 x 4x 3 dx 2 x x 5x 8x 2 dx

33 5 4 3

4 3 2 2

1 1

x 5x 8x2 x 5x 8x 2x dx 2 x

5 4 3

292V unidades cbicas

15

5. Determinar el volumen del slido generado al girar la regin acotada por x

y 2x, y2

y x 1alrededor del eje Y. Solucin:

Determinemos los puntos de interseccin entre las funciones y 2x e x

y2

. Para eso

igualemos ambas funciones:


x

2x2

x 0

Luego, la grfica de la regin acotada por x

y 2x, y2

y x 1 se muestra en la

siguiente figura.


b

a

V 2 x f(x) g(x) dx

Donde:

a. x

f(x) 2x g(x)2

b. a 0 b 1

Entonces:

1 1 2

0 0

x 3xV 2 x 2x dx 2 dx

2 2

13

0

3x 3

3 3

V unidades cbicas


MTODO DE LOS CASQUETES CILINDRICOS:ALREDEDOR DE X K

El volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje x k la

regin que est comprendida entre la curva y f(x) con f(x) 0 , el eje X y las rectas

verticales x a y x b , donde a b est dado por:

b

a

Volumen V 2 x k f(x)dx

OBSERVACIN:

a. El volumen V del slido de revolucin generado al girar la regin acotada por la

grficas de la funciones y f(x) y y g(x) , desde x ahasta x b , alrededor de la

recta x k ; donde k a;b ; adems f(x) g(x) x a;b viene dado por:

b

a

V 2 x k f(x) g(x) dx

b. El volumen V del slido de revolucin generado al girar la regin acotada por la

grficas de la funciones x f(y) y x g(y) , desde y c hasta y d , alrededor de la

recta y k ; donde k c;d ; adems f(y) g(y) y c;d viene dado por:

d

c

V 2 y k f(y) g(y) dy

Ejemplos:

6. Determine el volumen del slido generado por la rotacin de la regin limitada por las

grficas de 2x y 3y 6 0 y x y 3 0 , alrededor de la recta y 3 .


Solucin:

Determinemos lo puntos de interseccin de ambas funciones. Despejando ambas

funciones, tenemos 2x y 3y 6 y x y 3 . Igualando ambas funciones:

2y 3y 6 y 3

2 y 2y 3 0

y 3 y 1

Luego, la grfica de la regin acotada por 2x y 3y 6 y x y 3 se muestra en la

siguiente figura.


d

c

V 2 3 y f(y) g(y) dy

Donde:

a. 2f(y) y 3y 6 g(x) y 3

b. c 3 d 1

Entonces:

1 12 3 2

3 3

V 2 3 y 6 3y y 3 y dy 2 y y 9y 9 dy

14 3 2

3

y y 9y 2562 9y

4 3 2 3

256

V unidades cbicas3


7. Determine el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor

de la recta vertical x 1, la regin que est comprendida entre el eje X, las rectas

verticales x 2, x 3 , y la curva y f(x) donde 2y 2 x 2x .

Solucin:

Entonces, la grfica de la funcin 2f(x) 2 x 2x y el slido de revolucin formado

al rotar la regin generada por la funcin 2f(x) 2 x 2x alrededor del eje Y se

muestra en la siguiente figura:


b

a

V 2 x k f(x)dx

Donde:

a. 2f(x) 2 x 2x

b. b 3 a 2

Entonces:

3 3 3

2 2

2 2 2

V 2 x 1 2 x 2x dx 4 x 1 dx 2 x 1 x 2xdx

La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda integral podemos hacer

la sustitucin 2w x 2x , por lo cual dw 2 x 1 dx y, respecto de los lmites de

integracin, si x 2 entonces w 0 y si x 3entonces w 3 . Luego:


3 3

2 0

V 4 x 1 dx wdw

332 3

2 0

x 2 w4 x

2 3

V 6 2 3 unidaes cbicas

EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Calcule el volumen del slido de revolucin generado al girar la regin dada alrededor

del eje Y.

1. 2,0,0,12 xxyxy 2. 0,42 yxxy 3. 2,0,0,4 2 xxyxy

4. 4,0,0, xxyxy 5. 0,0,4 2 xyxy 6. 0,0,43 xyxxy

II. Calcular el volumen del slido de revolucin generado al girar la regin dada alrededor

del eje Y.

1. xyxxy ;4 2 2. 22 23;4 xyxxy 3. 032;224 yxxy

III. Resolver

1. Determine el volumen del slido generado al girar alrededor del eje Y la regin acotada por

la recta que pasa por los puntos 1;3 , 3;7 y las rectas x 1; x 3 .

2. Calcule el volumen generado al rotar la regin limitada por 2 2y x ; x y , alrededor de la

recta x 2 .

3. Calcule el volumen del slido generado al rotar 3 2y x ; y 2x x , alrededor de la recta

x 1.

4. Calcule el volumen del rea plana comprendida entre 2y x 3x 6; y 3 x engendrado

al girar alrededor de la recta x 1.

5. Diseo industrial. Un slido se genera al girar la regin acotada por 2 / 2y x y 2y

alrededor del eje y. Un hueco, centrado a lo largo del eje de revolucin, se taladra a travs

de este slido tal que se pierde un cuarto del volumen. Encontrar el dimetro del hueco.

6. Sean los puntos A( 2;4), B(1;1) sobre la parbola 2y x y los puntos C(1;s), D( 2;r) , tales que

el segmento de recta CD es tangente a la parbola y es paralelo al segmento de recta AB.


Halle el volumen que se obtiene al girar el rea de la regin encerrada por la parbola y por

los segmentos AD, DC y CB, alrededor de la recta x 1.

7. Determine el volumen de los slidos generados al hacer girar las regiones alrededor de los

ejes dados. Si considera que sera mejor utilizar el mtodo de las arandelas en alguno de

ellos, hgalo.

a) El tringulo con vrtices (1,1), (1,2) y (2,2) alrededor de

a.1 El eje x a.2 El eje y a.3 La recta x = 10/3 a.4 La recta y = 1

b) La regin acotada por , 2, 0y x y x alrededor de

a.1 El eje x a.2 El eje y a.3 La recta x = 4 a.4 La recta y = 2

c) La regin acotada por 22y x x y y x alrededor de

a.1 El eje y a.2 La recta x = 1

8. La regin que se muestra a continuacin se hace girar alrededor del eje x para generar un

slido. Cul de los mtodos (el de discos, el de arandelas, o el de casquillos) podra

utilizarse para determinar el volumen del slido? Cuntas integrales son necesarias en

cada caso? Explique.

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