Cálculos de Tensões no Betão

ESTRUTURAS DE BETÃO I

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

MÓDULO 1

INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO DAS ESTRUTURAS

DE BETÃO ARMADO

Carla Marchão

Júlio Appleton

Ano Lectivo 2008/2009

Introdução

Estes apontamentos têm como objectivo facilitar o acompanhamento nas aulas e

correspondem, em geral, à sequência e organização da exposição e incluem ainda a

resolução de problemas. São apontamentos de síntese que não dispensam a consulta

dos restantes apontamentos da disciplina e da bibliografia.

Estes apontamentos foram elaborados com base nos outros textos da disciplina para

os quais contribuíram todos os docentes que leccionaram o Betão Armado e Pré-

Esforçado.

No presente ano lectivo 2008/2009 foram adoptadas integralmente as normas

europeias (Eurocódigos) já aprovados na versão definitiva (EN). No entanto estamos

ainda num período de transição que se prevê termine em 2010 e em que é possível

utilizar, no âmbito profissional, em alternativa, a regulamentação nacional (REBAP –

Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado) ou a regulamentação

europeia (Eurocódigo 2 – Projecto de Estruturas de Betão).

Deve-se no entanto realçar que o ensino do betão armado e pré-esforçado está

essencialmente concebido para transmitir a compreensão do comportamento e

fundamentação dos modelos de cálculo, aspectos que são quase independentes das

prescrições normativas.

IST, Setembro de 2008

José Camara

ÍNDICE

1. COMPORTAMENTO DO BETÃO ESTRUTURAL............................................................... 1

1.1. ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS....................................................... 1 1.2. ELEMENTO DE BETÃO ARMADO ........................................................................................ 3 1.3. CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO ............................................. 4 1.4. CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO ........................................................... 6 1.5. DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO / ESTRUTURA ................................................. 7 1.6. DETERMINAÇÃO DA REGIÃO ONDE OCORRE FENDILHAÇÃO NUMA VIGA PARA UM

DETERMINADO CARREGAMENTO.................................................................................................... 7

2. O CONCEITO DE SEGURANÇA NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS.............. 8

2.1. OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL.............................. 8 2.2. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES

ÚLTIMOS ..................................................................................................................................... 8 2.3. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES

DE UTILIZAÇÃO .......................................................................................................................... 10

3. MATERIAIS......................................................................................................................... 16

3.1. CARACTERIZAÇÃO DOS BETÕES .................................................................................... 16 3.1.1. Tensões de rotura do betão .................................................................................. 16 3.1.2. Módulo de elasticidade do betão........................................................................... 17 3.1.3. Determinação do valor característico da tensão de rotura do betão à compressão

fck a partir do ensaio de um conjunto de provetes ............................................................. 17

3.2. CARACTERIZAÇÃO DAS ARMADURAS .............................................................................. 17 3.2.1. Classificação das armaduras para betão armado................................................. 18

Estruturas de Betão I

MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 1

1. Comportamento do Betão Estrutural

Notações

f – resistência do material

fc – tensão de rotura do betão à compressão

fct - tensão de rotura do betão à tracção

Ec – módulo de elasticidade do betão

fy – tensão de cedência do aço

fu – tensão de rotura do aço

Es – módulo de elasticidade do aço

1.1. ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS

Considere-se a viga de betão simples ilustrada na figura seguinte, bem como os

diagramas de esforços correspondentes a uma carga pontual genérica P aplicada a

meio vão.

(+)

DEV

DMF

P/2

(+)

(-)

5.00

P/2

P

0.50

0.20

P/2

P/2

PL/4

Como se pode verificar, o maior momento flector ocorre a meio vão, estando esta

secção sujeita ao seguinte diagrama de tensões normais:

M

σ2

G

h/2

h/2

y σ1

Tensões: σ = M × y

I ; σmáx = M w

em que w = I

ymáx (módulo de flexão)

Para uma secção rectangular, w = b h3 12 ×

2 h =

b h2 6



Para um determinado nível de carga P ocorrerá a fendilhação da secção de meio vão

(por ser a secção mais esforçada) e, consequentemente a rotura da viga.

Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e carga-

deslocamento que ilustram o comportamento da viga de betão simples desde o início

do carregamento até à rotura (rotura frágil).

M

1/ R

EI (rigidez de flexão)

P

δ

a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento

Este comportamento resulta da lei de comportamento do material betão:

ε

σ

fc

fct (2 a 5 MPa)

(20 a 80 MPa)

≈ 3.5‰

Ec (≈30 GPa)

Índice c – “concrete”

fc – tensão de rotura do betão à compressão

fct – tensão de rotura do betão à tracção

Ec – módulo de elasticidade do betão

Através da análise da relação constitutiva do betão pode concluir-se que este é um

material que possui uma boa resistência à compressão e uma baixa resistência à

tracção (da ordem de 1/10 a 1/15 da resistência à compressão).

Cálculo do momento de fendilhação

Admite-se fct = 2.0 MPa

σ = M w =

M × v I e w =

bh2 6 (para uma secção rectangular)

Deste modo, o momento de fendilhação pode ser calculado pela expressão:

Mcr = fct × w = 2 × 103 × 0.20 × 0.502

6 = 16.7 kNm



A carga P que provoca o início da fendilhação está associada ao momento de

fendilhação podendo ser calculada através da seguinte relação:

Mcr = PL 4 ⇒ P =

4Mcr L =

4 × 16.7 5 = 13.4 kN

Conclusão: Uma viga de betão simples não explora a capacidade resistente do

material em compressão, e está associada a uma baixa capacidade de

carga (condicionada pela fendilhação) e a uma rotura frágil.

Solução: Introduzir um material com boa resistência à tracção nas regiões onde é

necessário ⇒ Betão armado (betão +armadura)

1.2. ELEMENTO DE BETÃO ARMADO

Armadura: material dúctil com bom comportamento quer à tracção quer à compressão

2.5 a 10%

Es (≈200 GPa)

(200 a 800 MPa)

ε

fu

σ

fy

fy

Índice y – “yeld” (cedência)

fy+ ≈ fy

-

A introdução deste elemento no betão permite melhorar consideravelmente o

comportamento deste material, dado que, após a fendilhação, as tensões de tracção

passam a ser resistidas pela armadura.

Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e carga-

deslocamento que ilustram o comportamento da viga de betão armado desde o início

do carregamento até à rotura.

b) Diagrama carga-deslocamentoa) Diagrama momento-curvatura

δ

PM

R/1

Mcr

III

(1)

(2) (3)(1) - fendilhação do betão

(2) - cedência das armaduras

(3) - rotura



1.3. CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO

Considere-se a seguinte secção de betão armado.

0.20

0.50d

Admite-se:

As = 10.0 cm2

d = 0.45 m (altura útil da armadura)

Ec = 30 GPa

Es = 200 GPa

(i) Cálculo da quantidade mínima de armadura a adoptar por forma a resistir às

tensões de tracção, após a fendilhação do betão

σ

fct

h/2

b

Fct

Fc

(antes de fendilhar)

Fs ≥ Fct ⇔ As, min × fy ≥ b × h2 ×

12 fct ⇔

⇔ As, min ≥ 0.2 × 0.5 4 × 2×103 ×

1 400×103 × 104 = 1.25 cm2

(ii) Cálculo do estado de tensão na secção imediatamente após a fendilhação do betão

Hipóteses consideradas:

− O betão não resiste à tracção

− As secções mantêm-se planas após a fendilhação

εc

LN

σc

(-)

(+)

εsσs (Fs)

(Fc)

b

x

d z Mcr

Cálculo da posição da linha neutra

Através da determinação do centro de gravidade da secção homogeneizada,

x = ∑Ai xi

∑Ai =

bx × x/2 + As × Es/Ec × d bx + As × Es/Ec

⇔ x

bx + As ×

Es Ec

= bx × x 2 + As ×

Es Ec

× d ⇔



⇔ bx2 + As × Es Ec

× x = bx2 2 + As ×

Es Ec

× d ⇔ bx2

2 = As ×××× Es Ec

(d - x)

(equação que traduz a igualdade de momentos estáticos)

Para a secção em estudo,

0.2x2 2 = 10×10-4 x

200 30 (0.45 - x) ⇔ 0.1x2 + 6.67×10-3 - 0.03 = 0 ⇒ x = 0.143 m

z = d - x 3 = 0.45 -

0.143 3 = 0.40 m

Cálculo da tensão no betão (σc)

Por equilíbrio: Mcr = Fs × z = Fc × z =16.7 kNm ⇔ Fc = Mcr z =

16.7 0.40 = 41.8 kN

Fc = σc × x × b

2 ⇔ σc = 2Fc bx =

2 × 41.8 0.20 × 0.143 = 2923 kN/m2 ≅ 2.9 MPa

Cálculo da tensão nas armaduras (σs)

Fs = σs × As ⇔ σs = Fs As

= 41.8

10 × 10-4 = 41800 kN/m2 = 41.8 MPa

Cálculo das extensões máxima no betão e nas armaduras (εc e εs)

σ = E × ε ⇒

εc =

σc Ec

= 2923

30×106 = 0.097×10-3 ≅ 0.1‰

εs = σs Es

= 41800

200×106 = 0.2‰

ou εc εs

= x

d - x ⇒ εs = d - x

x εc = 0.45 - 0.143

0.143 × 0.097×10-3 = 0.2‰

0.143

σ [MPa]

-2.9

εs = 0.2‰

(+)

(-)

εc = 0.1‰

LN

ε

41.8

1/R

Cálculo da curvatura

1 R =

εc + εs d =

0.1×10-3 + 0.2×10-3 0.45 = 6.67×10-4 m-1



Antes da fendilhação,

σ [MPa]

2.0

2.0

(+)

(-)

εc

εc

εc = σc Ec

= 2.0

30×103 = 6.67×10-5

1 R =

2 × 6.67×10-5 0.5 = 2.67×10-4 m-1

Conforme se pode verificar, 1 / RI 1 / RII

≅ 2.5

1.4. CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO

Em estado II (estado fendilhado) a linha neutra é invariável, pelo que, a um acréscimo

do momento flector irá somente corresponder um aumento de curvatura com

consequente aumento de tensões.

M

σs1εs

(+)

(-)

σc1

LN

εc

M1 M 2 > M1

σc2

σs2

A continuação da aplicação da carga P conduz ao aumento das tensões nas fibras

(para a região de comportamento não linear).

M 1z1

Fc

Fs1

σc1

LN

M 2z2

Fs2

Fc

σc2

LN

M 1 < M2

A variação do braço não é significativa (z1 ≅ z2), pelo que My ≅ z × F

Cálculo do momento de cedência da secção

σs = fy = 400M Pa ⇒ Fs = 400×103 × 10×10-4 = 400 kN

z = 0.40m ⇒ My = 0.4 × 400 = 160 kNm



1.5. DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO / ESTRUTURA

a) Secção

III

b) Estrutura

M

R/1

Mcr = 16.7

III

My = 160

M

1/R

As estruturas são compostas por inúmeras secções pelo que, o efeito da fendilhação

em algumas secções (perda de rigidez brusca nessas secções), vai conduzir a uma

diminuição gradual de rigidez da estrutura.

δ

P

(1)

(2) (3)

1.6. DETERMINAÇÃO DA REGIÃO ONDE OCORRE FENDILHAÇÃO NUMA VIGA PARA UM

DETERMINADO CARREGAMENTO

DMF

Mmáx

P

Região onde ocorre fendilhação para Pmáx

Mcr



2. O Conceito de Segurança no Dimensionamento de Estruturas

2.1. OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL

1) Garantir um bom comportamento das estruturas em situação corrente de serviço

Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos

Estados Limite de Utilização:

� Limitar a deformação (estruturas em geral)

δserviço ≤ δadmissível

≅

L250 ou

L500

� Controlar os níveis de fendilhação (estruturas de betão armado em particular)

ωserviço ≤ ωadmissível (0.2 a 0.4mm)

� Garantir um adequado comportamento dinâmico (estruturas em geral)

(ex: controlo de frequências próprias de vibração)

2) Assegurar um nível de segurança adequado em relação a determinadas situações

de rotura (rotura local ou global da estrutura)

Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos

Estados Limite Últimos

� Flexão

� Esforço transverso

� Encurvadura

� Equilíbrio

2.2. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS

LIMITES ÚLTIMOS

1) Definição de valores característicos para:

� valores das acções Ssk (95% de probabilidade de não serem excedidos)

� resistências dos materiais SRk (95% de probabilidade de serem superiores).



2) Adopção de coeficientes de segurança parciais que:

� majorem as cargas, consoante o tipo de acção:

• Acções permanentes: valor aproximadamente constante durante a vida

útil da estrutura (ex: peso próprio, equipamentos fixos, etc.)

γg = 1.0 ou 1.35 (consoante a acção for ou não favorável)

• Acções variáveis: variam durante a vida útil da estrutura (ex: sobrecarga,

vento, sismo, variação de temperatura, etc.)

γq = 0.0 ou 1.5 (consoante a acção for ou não desfavorável)

• Acções acidentais: muito fraca probabilidade de ocorrência durante a

vida útil da estrutura (ex: explosões, choques, incêndios, etc.) γa = 1.0

� minorem as resistências dos diferentes tipos de materiais:

• Armaduras (γs = 1.15)

• Betão (γc = 1.5)

Exemplo: fyd = fyk γs

; fcd = fck γc

3) Estabelecimento de combinações de acções, conforme especificado no RSA

Exemplo: Ssd = γg Sg + γq (Sq + Σψ0i Sqi) (ψ0i ≤ 1 – coeficiente de combinação da

acção variável i)

Sq – acção variável de base

Sqi – restantes acções variáveis

4) Avaliação dos efeitos estruturais das acções na estrutura, usualmente com base

numa análise elástica linear da mesma, e obtenção de esforços de cálculo

Exemplo: Msd = γg Mg + γq Mq + γq ψ0i Mqi

5) Avaliação das resistências de cálculo e capacidades resistentes (forças ou esforços)

Exemplo: MRd = As × fyk

1.15 × z

6) Verificação da condição de segurança SSd ≤ SRd

Exemplo: Msd ≤ MRd

No caso do exemplo anterior,

M = PL 4 ⇒ Msd = 1.5 × P ×

5 4 ≤ MRd = 10×10-4 ×

400 1.15 × 103 × 0.40 ⇔ P ≤ 74.2 kN



Relação que estabelece a condição de segurança

Ssm Ssk SRk SRmSsd SRd

Acções ou efeitos das acções Resistência

De acordo com esta formulação, a probabilidade de ruína de uma estrutura, projectada

e construída de acordo com os requisitos regulamentares, deverá ser inferior a 10-5.

2.3. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS

LIMITES DE UTILIZAÇÃO

1) Definição dos valores da acção que actuam na estrutura

2) Estabelecimento de combinações de acções, conforme preconizado no RSA:

� Combinação quase permanente de acções: Estado limite de longa duração

(≥ 50% do tempo de vida da estrutura) Scqp = G + Σψ2i Qi

� Combinação frequente acções: Estado limite de curta duração (≥ 5% do

tempo de vida da estrutura) Sfreq = G + ψ1 Q + Σψ2i Qi

� Combinação rara: Estado limite de muito curta duração (algumas horas no

período de vida da estrutura) Sraro = G + Q + Σψ1i Qi

(ψ2 < ψ1 < 1.0)

Q – acção variável de base

Qi – restantes acções variáveis

3) Avaliação dos efeitos estruturais das acções, considerando em geral uma análise

elástica linear e as propriedades médias dos materiais por forma a estimar o

comportamento previsível. Em geral é importante considerar os efeitos da fendilhação

(perda de rigidez) e fluência do betão

4) Verificar a condição de segurança

Exemplo: δserviço ≤ δadmissível

Esta formulação conduz a que a probabilidade de serem excedidos valores

admissíveis seja da ordem de 10-1.



EXERCÍCIO 1.1

Considere a estrutura da figura seguinte:

4.00 4.00 4.004.00

10.00

3.00

S2

S1

Materiais: C25/30, A400

Acções:

Peso próprio

Revestimento=2.0 kN/m2

Sobrecarga = 3.0 kN/m2

Coeficientes de majoração:

γG = γQ = 1.5

Coeficientes de combinação:

ψ1 = 0.4 ; ψ2 = 0.2

Secção da viga: 0.30×0.85 m2

Espessura da laje: 0.15m

a) Determine, para as secções S1 e S2 da viga, os valores de cálculo dos esforços.

b) Calcule, para as mesmas secções, os esforços para as combinações rara,

frequente e quase-permanente.



RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1.1

1. Modelo de cálculo:

Modelo para o cálculo da viga

10.00 3.00

S2 S1

g, q

Corte transversal à viga

rev, q

0.30

0.15

0.70

4.00

Comentários ao modelo de cálculo:

− Consideraram-se as vigas como contínuas, i.e., desprezou-se a continuidade

na ligação aos pilares;

− Considerou-se que as lajes descarregam apenas nas vigas transversais.

2. Cálculo das acções na viga

2.1. Carga permanente

• Peso próprio

pp = γbetão × Área = [4 × 0.15 + (0.85 – 0.15) × 0.30] × 25 = 20.3kN/m

• Revestimento

rev = 2.0 × 4.0 = 8.0kN/m

cp = pp + rev = 20.3 + 8.0 = 28.3kN/m

2.2. Sobrecarga

sc = 3.0 × 4.0 = 12.0kN/m



3. Diagrama de esforços para uma carga unitária

S1S2

10.00 3.00

p=1 kN/m

RA RB

10.25

4.5

4.55 3.0

DMF[kNm]

(+)

(-)

DEV[kN]

(+)

(-)

(+)

5.45

x

(i) Cálculo das reacções de apoio

ΣMA = 0 ⇔ 10 × RB – 1.0 × 13 × 13 2 = 0 ⇔ RB = 8.45kN

ΣF = 0 ⇔ RA + RB = 13 ⇒ RA = 13 – 8.45 = 4.55kN

(ii) Cálculo do momento flector a ½ vão

MB = – 1 × 3 × 3 2 = - 4.5kN/m

M½vão = 1 × 102 8 -

4.5 2 = 10.25kNm L/2 L/2

pL /82

(ii) Cálculo do momento flector máximo

4.55 + 5.454.55 =

10.0x ⇒ x = 4.55m

Mmáx = 4.55 × 4.55

2 = 10.35kNm

⇒ M½vão ≅≅≅≅ Mmáx



ALÍNEA A)

Secção S1 Secção S2

MS1G = – 4.5 × 28.3 = - 127.35 kNm MS2

G = 10.25 × 28.3 = 290.1 kNm

MS1Q = – 4.5 × 12.0 = - 54 kNm MS2

Q = 10.25 × 12.0 = 123.0 kNm

VS1G = –5.45 × 28.3 = 154.2 kN

VS1Q = –5.45 × 12.0 = 65.4 kN

Valores de cálculo dos esforços

MS1sd = 1.5 × ( )MS1

G + MS1Q = 1.5 × (-127.35 - 54) = -272.0 kNm

MS2sd = 1.5 × ( )MS2

G + MS2Q = 1.5 × (290.1 + 123) = 619.7 kNm

VS1Sd = 1.5 × ( )VS1

G + VS1Q = 1.5 × (-154.2 - 65.4) = -329.4 kN

Consideração de alternância de sobrecarga

A sobrecarga, sendo uma acção variável, pode actuar em qualquer tramo. Assim, para

cada caso, há que verificar a hipótese de carga mais desfavorável.

Se se considerar apenas a actuação da sobrecarga no tramo apoiado, o momento

flector obtido a meio vão desse tramo será superior ao calculado considerando a

sobrecarga a actuar em toda a viga (calculado anteriormente).

Deste modo,

g

q

MS2Q =

12 × 102

8 = 150 kNm ; MS2G = 10.25 × 28.3 = 290.1 kNm

⇒ MS2sd = 1.5 × (290.1 + 150) = 660.2 kNm



ALÍNEA B)

Secção S1

Mc rara = MG + MQ = -127.35 - 54 = - 181.4 kNm

Mc freq = MG + ψ1 MQ = -127.35 - 0.4 × 54 = -149.0 kNm

Mcqp = MG + ψ2 MQ = -127.35 - 0.2 × 54 = – 138.2 kNm

Vc rara = VG + VQ = 154.2 + 65.4 = 219.6 kN

Vc freq = VG + ψ1 VQ = 154.2 + 0.4 × 65.4 = 180.36 kN

Vcqp = VG + ψ2 VQ = 154.2 + 0.2 × 65.4 = 167.3 kN

Secção S2

Mc rara = MG + MQ = 290.1 + 123.0 = 413.1 kNm

Mc freq = MG + ψ1 MQ = 290.1 + 0.4 × 123 = 339.3 kNm

Mcqp = MG + ψ2 MQ = 290.1 + 0.2 × 123 = 314.7 kNm



3. Materiais

3.1. CARACTERIZAÇÃO DOS BETÕES

Os betões são classificados por classes de resistência.

As classes de resistência estão definidas de acordo com os valores característicos de

tensão de rotura à compressão aos 28 dias de idade, referidos a provetes cúbicos ou

provetes cilíndricos.

No quadro seguinte apresentam-se, para as várias classes de resistência do betão, os

valores característicos e de cálculo das tensões de rotura à compressão (fck e fcd), bem

como o valor médio da tensão de rotura à tracção (fctm) e módulo de elasticidade aos

28 dias (Ec, 28)

Classe B15

C12/15

B20

C16/20

B25

C20/25

B30

C25/30

B35

C30/37

B40

C35/45

B45

C40/50

B50

C45/55

B55

C50/60

cub. fck

cil. [MPa]

15

12

20

16

25

20

30

25

37

30

45

35

50

40

55

45

60

50 fcd

[MPa] 8.0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3

fctm

[MPa] 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1

Ec,28

[GPa] 27.0 29 30 31 33 34 35 36 37

3.1.1. Tensões de rotura do betão

A partir dos valores característicos das tensões de rotura à compressão ou à tracção,

definem-se os valores de cálculo:

fcd = f cil.

ck

γc , fctd =

fctk γc

com γc = 1.5 (fckcil ≈ 0.8 fck

cubos)

O valor médio da tensão de rotura do betão à tracção é dado pela expressão:

fctm = 0.30 fck2/3

Nota: o valor de fcd é definido a partir da resistência em cilindros, dado que estes provetes são

mais representativos da resistência do betão em peças longas.



3.1.2. Módulo de elasticidade do betão

Com vista ao tratamento de problemas estruturais que envolvem deformação em

regime de funcionamento praticamente elástico, considera-se um módulo de

elasticidade secante do betão aos 28 dias de idade. Este módulo de elasticidade, tal

como a figura seguinte indica, encontra-se definido para σc = 0 e σc = 0.4 fck.

(Verificação da segurança aos estados limites de utilização)

fcm

σc

εc

Ec

0.4 fck

3.1.3. Determinação do valor característico da tensão de rotura do betão à

compressão fck a partir do ensaio de um conjunto de provetes

fck = fcm - λ Sn , Sn – desvio padrão das resistências das amostras

λ – parâmetro que depende do número de ensaios

n 6 10 15

λ 1.87 1.62 1.48

3.2. CARACTERIZAÇÃO DAS ARMADURAS

As armaduras classificam-se em:

� armaduras para betão armado

� armaduras de pré-esforço



3.2.1. Classificação das armaduras para betão armado

� processo de fabrico

• aço natural (laminado a quente) (N)

• aço endurecido a frio (E)

� aderência

• alta aderência (superfície rugosa ou nervurada) (R)

• aderência normal (superfície lisa) (L)

� resistência

• (A235), A400, A500

Designação das armaduras: A500 N R

fyk aderência

processo de fabrico

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Cálculos de Tensões no Betão