CALCULUL NELINIAR AL STRUCTURILORCONSTRUCTIILOR Cursul 5 Studiul
stabilitii structurilor elastice prin metoda deplasrilor 5.1.
Notiuni introductive Metoda deplasrilor n forma clasicconduce la un
volum redus de calculi n cazul structurilor simple. Din condiia ca
sistemul de baz ncrcat cu forele exterioare, rotirile de nod i
translaiile pe direciile gradelor de libertates se comporte ca
sistemul real, rezult sistemul de ecuaii al metodei deplasrilor: (
) n 1 i 0 R Z rip jn1 jij = = +=(5.1) Sistemul de ecuaii (5.1) este
un sistem omogen deoarece forele sunt aplicate astfel
nctproducnumaiforeaxialenbarelestructurii(fig.5.1).Eforturilecareiaunateren
barelesistemuluidebaz(fig.5.1cid)dinncrcareaacestuiacudeplasrileunitare,
rotiriitranslaiidenodurisecorecteazcufunciiledecorecie1(v)4(v)i
()
()careintroducefectulforeiaxialedecompresiuneasupramomentului
ncovoietor i forei tietoare. Sistemul de ecuaii (5.1) poate admite
soluiile: -
pentrucaredeplasrilenodurilorsuntnuleadicstructuraseafln
echilibru n poziia iniial nedeformat prin ncovoiere i n consecin
forele exterioare nu au atins valoarea critic; -
care se obine din condiia ca determinantul coeficienilor
necunoscutelor s fie egal cu zero, adic: 0 r Dij = (5.2) sau|
|(5.3) Fig. 5.1
Condiia(5.3)reprezintecuaiadestabilitateastructuriiprinmetodadeplasrilor.
Dinaceastcondiierezultcnmomentulpierderiistabilitiirigiditateastructuriieste
nul. Ecuaia (5.3) se rezolv prin ncercri Observaii.
-ncalcululdeordinalIcorespunztorcondiiei
iechilibruluistabil, determinantul coeficienilor necunoscutelor
este mai mare ca zero, |
|;
-ncalcululdestabilitate,foreleexterioarecrescproporionalitreptat,deci
parametrul de ncrcare axial este diferit de zero i capt valori din
ce n ce mai mari. n
acelaitimpdeterminantulcoeficienilornecunoscutelorvariaz,avndvaloridincence
mai mici. Pentru
, rezult |
| i structura se afl n echilibru stabil la limit (indifferent).
Pentru
rezult |
| iar structura se afl n stadiul postcritic.
Acestesituaiipermitstabilireacriteriuluidereducereanumruluidencercrii
totodatorientareaasupramoduluidealegereavaloriiparametruluidencrcareaxial
pentruncrcareaurmtoare.Dacpentruovaloareaparametruluidencrcareaxial
rezult |
| rezultc
idecitrebuiesseefectuezeonouncercare
cuovaloaremaimareaparametrului.Dacpentruovaloareaparametruluirezult
|
|,nseamnc
i deci trebuiealeas ovaloare
maimic.Reducereanumruluidencercrisepoaterealizeinmodulurmtor:dupdouncercrincare
pentru()arezultat()ipentru()arezultat() valoarearealsepoate
determina prin interpolare liniar: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 D 1 D1
v 2 D 2 v 1 Dvcr~ (5.4) unde
()i()seintroducecusemnullor.Cuvaloareaastfelobinuteste recomandabil
s se verifice ecuaia de stabilitate. ncazul
structurilorsimetrice,ncrcatesimetric(fig.5.2a)se obin
unelesimplificri
alecalculului,caurmareafaptuluicstructuraipoatepierdestabilitateafieprintr-o
deformat simetric (fig. 5.2.b), fie printr-o deformat antisimetric
(fig.5.2.c). Fig.5.2. Rezult c n asemenea cazuri, trebuie studiate
ambele moduri de pierdere a stabilitii i
reinutacelacarecorespundevaloriiminimeaparametruluidencrcareaxial.De
observat c n deformata simetric pe stlpi sunt dou puncte de
inflexiuneiar rigla este o
curbcontinufrpunctedeinflexiune.Pierdereastabilitiistructurilorsimetrice,
ncrcatesimetric,sestudiazutilizndprocedeulgrupriinecunoscutelor,fieprocedeul
semistructurilor. 5.2. Procedeul gruprii necunoscutelor
nacestprocedeudecalculnecunoscutelesegrupeazndoucategorii:
necunoscute grupate simetric i necunoscute grupate antisimetric.
Dinncrcareacunecunoscutegrupatesimetric,reaciunilenlegturilesistemului
debazpedirecianecunoscutelorantisimetricesuntegalecuzeroiinvers.Rezultc
determinantul general al coeficienilor necunoscutelor se mparte n
doi determinani diferii de zero: |
|||
| |
||(5.5) iar ecuaia de stabilitate devine: |
||
||
|(5.6) sau |
| i |
| (5.7) ceea ce implic studierea ambelor moduri de pierdere a
stabilitii.5.3. Procedeul semistructurilor Semistructurile
suntstructuri convenionale obinute prin secionarea structurii reale
naxadesimetrieiintroducereanacesteseciuniaunorlegturicaresrespecte
urmtoarele condiii: -s permit semistructurii deformarea identic cu
deformarea ei n structura real; -n aceste legturi s apar aceleai
eforturi ca n seciunile de pe axa de simetrie a structurii reale.
Tipuriledelegturiceseintroducnaxadesimetrie,ncalcululdestabilitate,depind
de: -particularitatea structurii n axa de simetrie;
-moduldepierdereastabilitiistudiat(prindeformatsimetricsauprin
deformat antisimetric). nfigura
5.3.suntreprezentatesemistructurilei
legturiledinaxadesimetrie,pentru cele dou moduri de pierdere a
stabilitii. Fig.5.3. Aplicaia 5.1. Pentru structura prezentat n
figura 5.4. se cere sa se determine lungimile de flambaj ale
stlpilor. Fig.5.4. Rezolvare Riglele fiind articulate pe stlpi,
structura prezint o singur necunoscut, translaia nodurilor. Ecuaia
de stabilitate este: 0 Z r1 11=
Respectiv 0 r r D11 ij= = Parametrii de ncrcare axial ai celor
trei stlpi sunt:EIP5 , 4EIPl v111 1= =1222 2v 302 , 1EI 36 , 2P 25
, 26EIPl v = = =1333 3v 39 , 1EI 38 , 1P 5 , 16EIPl v = = =
Rigiditatea practic a stlpilor structurii au valorile: 15 , 4IlEIi
i111 0= = = =0222i 77 , 16I 36 , 2lEIi = = =0333i 05 , 15 , 4I 38 ,
1lEli = = =
ConsiderndcpesistemuldebazacioneazdeplasareaunitarZ1=1seobine
diagrama de moment m1 cu valorile scrise pe diagrama din figura
5.4.( ) ( ); v5 , 41 3vli 3m1 1 1 1111= =( ) ( ); v677 , 1 3vli 3m2
2 2 1222= = ( ) ( ); v603 , 1 3vli 3m3 1 3 1333= = Forele tietoare
de pe stlpise calculeaz cu relaiile: ( ) ( ) ( ); v5 , 43v5 , 41
3vli 3t1 121 121 12111q = q = q =( ) ( ) ( ); v631 , 5v677 , 1 3vli
3t2 122 122 12222q = q = q = ( ) ( ) ( )3 123 223 12333v609 , 3v603
, 1 3vli 3t q = q = q = Din ecuaia de echilibru pe orizontal se
obine relaia: ( ) ( ) ( ) 0 v609 , 3v631 , 5v5 , 43r3 122 221 1211=
q q q De unde ( ) ( ) ( ) | |3 1 2 1 1 1211v 579 , 0 v 996 , 0 v5 ,
43r q + q + q =Condiia de pierdere a stabilitii
conduce la ecuaia: ( ) ( ) ( ) | | 0 v 579 , 0 v 996 , 0 v D3 1
2 1 1 1= q + q + q = Rezolvarea ecuaiei se realizeaz prin ncercri.
-ncercarea 1. 30 , 1 v1 = 69 , 1 v 302 , 1 v1 2= = 80 , 1 v 39 , 1
v1 3= = ( ) ( ) ; 31181 , 0330 , 18814 , 03vv v2 211 1 1 1= = = q(
) ( ) ; 1602 , 0369 , 17919 , 03vv v2 222 1 2 1 = = = q( ) ( ) ;
3191 , 0380 , 17609 , 03vv v2 233 1 3 1 = = = q Introducnd valorile
obinute n ecuaia de stabilitate se obine: ( ) ( ) ( ) | | | | 0259
, 0 3191 , 0 579 , 0 1602 , 0 996 , 0 31181 , 0 v 579 , 0 v 996 , 0
v D3 1 2 1 1 1 = = q + q + q = DeoareceD = = q + q + q =
Valoareacriticaparametrilordencrcareaxialseaflntreceledouvalorialese.Se
adopt valorile: 29 , 1 vcr , 1= 68 , 1 vcr , 2= 79 , 1 vcr , 3=
Lungimile de flambaj ale stlpilor sunt:m 95 , 10 5 , 4 434 , 2 5 ,
4vlcr , 11 , f= = t= m 21 , 11 6 87 , 1 6vlcr , 22 , f= = t= m 525
, 10 6 754 , 1 6vlcr , 31 , f= = t= Aplicaia 5.2. Pentru structura
prezentat n figura 5.5. se cere sa se determine parametrul critic
minim de ncrcare i lungimile de flambaj ale stlpilor.Rezolvare
1.Deformat simetric
nacestcaz,cadrulsecomportcaostructurcunodurifixeinconsecinfiecare
stlp se comport ca o bar cu rezem fix la captul superior. Deci :
486 , 47 , 014 , 3vscr= =t= m 20 , 4 0 , 6 7 , 0 l 7 , 0 lf= = =
2.Deformat antisimetric n aceast situaie, ecuaia de stabilitate
este: 0 r r D11 ij= = ncrcndstructuracudeplasareaelastic
seobinnseciuniledin ncastrare momentele:( ) ( ); v0 , 61 3vli 3m
m1 1 1 1112 1= = = Fig.5.5. Forele tietoare de pe stlpise calculeaz
cu relaiile: ( ) ( ) ( ); v63v61 3vli 3t t1 121 121 12112 1q = q =
q = =Scrindecuaia de echilibru pe orizontal se obine relaia: ( ) (
) ( ) 0 v v61 32 r 0 v632 r1 1 1 1211 1 1211= q q = = q n concluzie
factorul de ncrcare nu influeneaz fenomenul de pierdere a
stabilitii i n consecin stlpul se comport ca o bar ncastrat la baz
i articulat la vrf: 57 , 1214 , 3vascr= =t= m 00 , 12 0 , 6 2
lvlascrf= = t= Aplicaia 5.3. Pentru structura simetric prezentat n
figura 5.6. se cere sa se determine parametrul critic minim de
ncrcare i lungimile de flambaj ale stlpilor. Fig.5.6. Rezolvare
1.Deformat simetric
nacestcaz,cadrulsecomportcaostructurcunodurifixeinconsecinfiecare
stlp se comport ca o bar dublu ncastrat. Deci : 28 , 65 , 014 ,
3vscr= =t= m 00 , 3 0 , 6 5 , 0 l 5 , 0 lf= = = 2.Deformat
antisimetric n aceast situaie, ecuaia de stabilitate este: 0 r r
D11 ij= = ncrcndstructuracudeplasareaelastic
seobinnseciuniledin ncastrare momentele:( ) ( ); v0 , 61 6vli 6m
m1 4 1 4112 1= = = Forele tietoare de pe stlpise calculeaz cu
relaiile: ( ) ( ) ( ); v66v61 6vli 6t t1 221 221 22112 1q = q = q =
=Scrindecuaia de echilibru pe orizontal se obine relaia: ( ) ( ) (
) 0 v v61 62 r 0 v662 r1 2 1 2211 1 2211= q q = = q n concluzie
factorul de ncrcare nu influeneaz fenomenul de pierdere a
stabilitii i n consecin stlpul se comport ca o bar dublu ncastrat:
14 , 3114 , 3vascr= =t= m 00 , 6 0 , 6 1 lvlascrf= = t= Aplicaia
5.4. Pentru structura simetric prezentat n figura 5.7. se cere sa
se determine parametrul critic minim de ncrcare i lungimile de
flambaj ale stlpilor. Fig.5.7. Rezolvare 1.Deformat simetric Ecuaia
de stabilitate a cadrului prezentat n figur este: 0 r r D11 ij= =
ncrcndstructuracurotireagrupatsimetricseobinediagramade moment
ncovoietor m1. Reaciunea r11 se determina cu relaia: ( ) | | ( )
125 , 1 v 0 v 4 5 , 4 2 r2 2 11 = = + = Pentru valoarea calculat a
funciei 2(v) din tabele rezult385 , 5 vscr = i lungimea de flambajm
498 , 3 6385 , 514 , 3lvlscrf= =t= 2.Deformat antisimetric n acest
caz, ecuaia de stabilitate este de forma: 0rrrrr D23233222ij= =
Reaciunile unitare sunt: ( ) | |; v 4 5 , 13 2 r2 22 + = ( ) ( ) (
); v 2 v61 62 vli 62 r r1 4 1 4 1 41132 23 = = = =
( ) ( ) ( ); v64v6122 v6i 122 t 2 r1 2 1 221 2211 33q = q = q =
= ( ) | | ( )( ) ( ); 0v32v 2v 2 v 4 5 , 13 2D1 2 1 41 4 2=q +=
ncercarea 190 , 2 v1 = ( ) 6819 , 0 v1 2= ( ) 8506 , 0 v1 4= ( )
1498 , 0 v1 2= q Rezult c D=0,195>0, deci v1
