Camp Gravitatori-2n de batxillerat

  • Published on
    06-Oct-2015

  • View
    14

  • Download
    3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Tema del temari de fsica de 2n de batxilerat de Catalunya.

Transcript

  • Camp gravitatori 1

    13/14

    CAMP GRAVITATORI

    s un fet dexperiencia que els cossos se senten atrets cap a la superfcie de la Terra, de manera que cauen cap a ella amb una acceleraci constant g = 9,8 m/s2. Tamb s un fet dexperincia lexistncia de molts astres (la Lluna, el Sol, els planetes, les estrelles, ) que es poden observar a simple vista, amb moviments o estats aparents de reps respecte a la Terra molt diferents. Des de les primeres civilitzacions es va voler donar resposta tant als moviments de la vida habitual a la Terra com als que sobserven en els cossos celestes, cosa que va donar lloc a diferents visions i expliacions globals de lunivers. Al llarg de lantiguitat i ledat mitjana preval, com se sap, la teoria geocntrica, que situa la Terra immbil al centre del cosmos, mentre el Sol i els diferents planetes giren al seu voltant. En el Renaixement, Nicolau Coprnic (1473-1543) va establir les bases de lheliocentrisme: el Sol s al centre de lunivers i els planetes la Terra com un ms giren al seu voltant. Tycho Brahe (1546-1601) va estudiar sistemticament els moviments dels astres visibles, a ull nu, i va recopilar durant anys un conjunt immens de dades i mesures diries fora precises sobre les posicions dels objectes celestes. Encara no es coneixia el telescopi. Johannes Kepler (1571-1630), a partir de lestudi, durant decennis, de les dades recollides per Brahe, va descobrir diferents constncies i relacions en el moviment orbital dels planetes. Aquestes relacions sn les anomemanes Lleis de Kepler. 1. Lleis de Kepler Les Lleis de Kepler es limiten a enunciar alguns patrons que sobserven en el moviment del planetes, sense donar ra de cap causa que els expliqui. Vnen a ser com la cinemtica del moviment dels planetes al voltant del Sol. 1 llei. Els planetes descriuen rbites ellptiques al voltant del Sol, que ocupa un dels focus de lellipse. 2na llei. El vector de posici dun planeta respecte al Sol escombra rees iguals en temps iguals. 3 llei. El quadrat del perode de revoluci dun planeta respecte al Sol s proporcional al cub de la distncia mitjana del planeta al Sol. ( 2 = k r3) La circumferncia s, com se sap, un cas particular duna figura geomtrica ms general que s lellipse. Per a alguns planetes, com s el cas la Terra, lexcentricitat de la seva rbita ellptica es molt petita i pot aproximar-se b per una rbita circular i pensar que la distncia del Sol a la Terra s constant. Si les rbites dels planetes sn ellptiques, la distncia dels planetes al Sol s variable. Quan sn ms lluny sobserva que la seva velocitat s ms petita que quan sn a prop

    del Sol. En qualsevol cas, hi ha una relaci precisa entre la distncia r del planeta al Sol i la velocitat v daquell: la velocitat areolar dA/dt s sempre constant. El dibuix fa entendre aquesta idea: Si els intervals de temps en qu el planeta es desplaa d1 a 2 i

    d1 a 2 sn iguals, les dues rees ombrejades han de ser iguals. La velocitat quan va d1 a 2 ha de ser ms petita que quan va d1 a 2.

    Els planetes en rbita no giren sincrnicament. Com ms lluny sn del Sol, triguen ms temps a descriure una rbita completa. En qualsevol cas, com que per a qualsevol planeta es t 2 = k r3, es complir que

    2. Llei de la gravitaci universal de Newton (1642-1727) Les lleis de Kepler, com sha dit, no donen ra dall que descriuen. Per qu, per exemple, les rbites han de ser ellptiques? Per qu aquella relaci entre els perodes dels planetes i les seves distncies al Sol? Amb una intuici genial, Newton va unificar la mecnica terrestre i la mecnica celeste. Si els planetes giren al voltant del Sol, si la Lluna gira al voltant de la Terra, cal una acceleraci centrpeta que doni comptes de la variaci de la direcci de la velocitat daquells cossos que giren. En el cas de la Lluna, aquesta acceleraci apunta en tot moment cap a la Terra, que fa una fora que crea aquesta acceleraci. De manera similar, des de la superfcie de la Terra veiem que els cossos (una poma dun arbre, per exemple) cauen cap a la Terra amb una acceleraci g que s sempre igual. La Terra, en aquest cas, ha de fer tamb una fora que causi aquella acceleraci. Newton va proposar que aquestes dues forces sn la mateixa: s la fora atractiva mtua que es fan tots els cossos. La mateixa fora atractiva Terra-Lluna que fa que aquesta giri establement al voltant de la Terra s la que fa que una poma caigui amb una acceleraci constant. La fora que explica la mecnica celeste s la mateixa que explica els moviments dels cossos a la superfcie de la Terra. Com se sap, aquesta fora sexpressa en la Llei de la gravitaci universal de Newton: dues masses puntuals m1, m2 separades una distncia r es fan una fora atractiva directament proporcional a les masses i inversament proporcional al quadrat de la distncia entre elles.

    La direcci de la fora s en la recta que uneix les dues masses. Per expressar el sentit atractiu de la fora dm1 sobre m2, hem definit un vector unitari nr que apunta cap a la massa que rep la fora F. El sentit dF seria, doncs, el corresponent a (nr).

    El mdul daquesta fora F s F = G m1m2r2

    . G s la constant de la gravitaci universal, un nmero que pren sempre un mateix valor, que depn noms de les unitats amb qu sexpressi. En el Sistema Internacional dunitats, G = 6,67 1011 N m2 kg2. Evienment, Per la 3a Llei de Newton, la fora F que fa m1 sobre m2 seria igual i de sentit contrari a la fora que m2 fa sobre m1.

  • Camp gravitatori 2

    13/14

    La fora de la llei de la gravitaci universal ve expressada per a masses puntuals. El mateix Newton va demostrar que s igualment vlida per a masses esfriques (com s el cas dels astres ms importants) de densitat uniforme, sense ms que considerar que una massa esfrica M es comporta com una massa puntual de valor M situada al centre de lesfera. Val a dir, com a curiositat, que per poder demostrar aquest fet Newton va haver de desenvolupar el clcul infinitesimal i integral. La Terra, doncs, a efectes de latracci gravitatria que pugui exercir sobre una altra massa s comporta com una massa puntual de valor MT situada al seu centre. El que diem pes duna massa m a la superfcie de la Terra no s ms que la fora atractiva que la massa de la Terra, MT, pensada en el seu centre, fa sobre una segona massa m situada a una distncia r igual al radi de la Terra, RT.

    F = GMT mRT2 Per la 2na llei de Newton, F = m a,

    GMT mRT2 = ma , a = G

    MTRT2

    Aquesta a no s ms que lacceleraci de la gravetat a la

    superfcie de la Terra, g = 9,8 ms2, que es pot prendre com a constant per a alades h al damunt de la Terra negligibles en comparaci amb el radi RT, com s el cas dels moviments dels cossos en la vida diria. En qualsevol cas, mentre la massa dun cos sempre s la mateixa, el pes mg dun cos depn de la posici del cos en relaci a la massa o masses que latreuen. A tall de curiositat, s senzill dedur que a una alada de la superfcie de la Terra igual al radi de la Terra, lacceleraci g de la gravetat i, per tant, el pes dels cossos es redueix a la quarta part de la que es mesura en la superfcie. La fora gravitatria s una fora central. Per tant, es tracta duna fora conservativa, cosa que, com se sap, t conseqncies importants, que ja es veuran. La fora gravitatria s extraordinriament petita. Noms s rellevant quan sn en joc masses immensament grans, com s el cas dels cossos de lUnivers. Pot fer pensar sobre la magnitud petitssima de la gravetat el fet que amb un dit puguem sostenir un cos d1 kg. Aix vol dir que la fora dels petits msculs del dit (que a nivell bioqumic s causada per forces de naturalesa elctrica) s capa danullar la fora que una massa immensa de 6 1024 kg (la massa de la Terra) fa sobre aquell cos.

    La fora gravitatria entre dos cossos, tot i que decau rpidament, en funci de 1/r2, t un abast infinit. Noms es fa estrictament zero per a una distncia infinita. Segons la posici duna massa respecte a la Ter-ra, la fora atractiva s mxima en la superfcie. Es demostra que una massa a linterior de la Terra s atreta nicament per la massa continguda en la subesfera concntrica a lesfera de la Terra que passa per aquell punt. Es troba, a ms, que, a

    mida que ens endinsem cap al centre de la Terra, la fora gravitatria que la Terra fa disminueix linealment fins fer-se zero en el seu centre.

    Les lleis de Kepler sn senzilles conseqncies de la llei de la gravitaci universal.

    El Sol (M) fa sobre un planeta (m) una fora F = G M mr2

    nr = Gm1m2r3

    r on el

    vector r = x i + y j seria el vector de posici del planeta respecte al Sol.

    Si apliquem la 2na llei de Newton, F = m d2rdt2

    , tindrem G M mr3

    r = m d2rdt2

    .

    La soluci daquesta equaci ens proporcionaria, amb unes condicions incials adients, lequaci del moviment r = r ( t ) del planeta, de la qual sen deriva lequaci de la trajectria de lrbita, que resulta ser una ellipse amb el Sol en un dels seus focus. Cal saber, a ms, que el moviment duna massa sotmesa a la fora gravitatria duna altra noms pot presentar trajectries cniques: ellipses, cercles (sn els dos casos drbites tancades ccliques) parboles o hiprboles (trajectries obertes). La segona llei de Kepler s una conseqncia immediata del fet que la fora gravitatria sigui una fora central. Una fora tal fa que es conservi el moment angular del planeta, ats que el moment de les forces que actuen sobre el planeta s nul. El concepte de moment angular, aix com el Teorema de la seva conservaci, sn idees del tot senzilles, tot i que, tristament, ja no formin part, del programa de Fsica del Batxillerat. Es dedueix sense dificultat que la quantitat dA/dt, s a dir, lrea escombrada per unitat de temps per vector de posici del planeta, ha ser constant. La relaci 2 = k r3 entre el perode de lrbita dun planeta i la seva distncia al Sol es dedueix de forma immediata. Pensant que lrbita del planeta, de massa m, al voltant del Sol s circular de radi r, i aplicant la 2na llei de Newton, F = ma, es t

    G M mr2

    = m v2

    r, G M

    r= v2

    Al llarg duna volta es t 2!r = v T , v = 2!rT

    Per tant, G Mr

    =4! 2r2

    T 2 don dedum T 2 = 4!

    2

    GMr3 , que

    s justament la 3a llei de Kepler 2 = k r3. Com s obvi, les lleis de Kepler, o les conseqncies derivades de la llei de la gravitaci universal no sn cap privilegi del Sistema Solar o del sistema Terra-Lluna. Es poden aplicar a qualsevol sistema de masses sotmeses a llur atracci mtua. 2.1. Principi de superposici La llei de la gravitaci universal de Newton ens permet calcular la fora atractiva entre dues masses. Si tenim una massa m sotmesa alhora, per exemple, a la fora de dues masses m1 i m2, quina ser la fora atractiva resultant sobre la massa m? El Principi de Superposici afirma que la fora amb qu una massa atreu una altra massa s independent de la presncia daltres masses. Aleshores la fora F resultant sobre m seria la suma vectorial de les forces que fan sobre m cada una de les altres masses, com si no existissin les restants. F = Fi .

  • Camp gravitatori 3

    13/14

    3. Intensitat de camp gravitatori Pensem dues masses M i m separades una distncia r.

    La fora que M fa sobre m, F = G M mr2

    nr , s proporcional a la prpia massa m.

    Aleshores, si coneixem la fora F que la massa M fa sobre una massa unitat, m = 1 kg, la fora sobre una massa m qualsevol es trobaria sense ms que multiplicar per m la fora calculada per a m = 1 kg. Aquesta idea, derivada de la naturalesa de la llei de la gravitaci universal, porta a la definici del concepte dintensitat de camp gravitatori en un punt. Es defineix la intensitat de camp gravitatori (que denotem per g) creat per una massa M en un punt P a distncia r com la fora per unitat de massa situada en P, s a dir, com la fora sobre una massa m = 1 kg situada en P.

    Aleshores, si en P shi situa una massa m, la fora sobre m ser F = m g. s immediat que el camp gravitatori g s en tots els punts un camp vectorial, en direcci radial que apunta en el sentit la massa M que crea el camp.

    El seu mdul s g = G Mr2

    .

    Les unitats del camp g sn g[ ] =Nkg

    =ms2

    . El camp g s un camp dacceleracions. Dacord amb aquesta idea de camp gravitatori, s immediat notar que lacceleraci de la gravetat g a la superfcie dela Terra no s ms que la intensitat de camp gravitatori creat per la massa M de la Terra, que pensem concentrada en el seu centre, en un punt P situat en la seva superfcie, s a dir, a una distncia del centre igual al radi R de la Terra. La llei de la gravitaci universal de Newton expressa una acci directa a distncia: quan en un punt P a distncia r duna massa M se situa una massa m aquesta rep una

    fora F = G M mr2

    nr per lacci dM.

    El camp gravitatori g es pot interpretar com lagent intermediari daquella fora dM sobre m. Direm que, donada una massa M, aquesta crea en tots els punts de lespai un camp gravitatori g, de forma que, en situar en un punt P del camp una segona massa m, el camp g li causa una fora F = m g. Des daquest punt de vista, la fora gravitatria dM sobre m, es crea a travs del camp gravitatori de la massa M. Aleshores, donat un sistema de masses, coneixent lexpressi del camp gravitatori que creen en tots els punts de lespai, g = gi, es calcularia sense dificultat la fora que el sistema de masses fa sobre una altra massa qualsevol en un cert punt.

    3.1. Lnies de camp o lnies de fora Donat un camp vectorial sanomenen lnies de camp o lnies de fora les lnies tals que en cada un dels seus punts el vector camp est dirigit segons la tangent. Resulten una manera til desquematitzar grficament el camp. Per conveni, el nombre de lnies que travessen una superfcie unitat perpendicular al camp, s fa proporcional al valor del camp en aquell punt. Per tant, la densitat de lnies dna idea del valor ms gran o ms petit del camp en un punt. Perexemple, per a una massa esfrica i per a dues masses esfriques iguals, les lnies de camp gravitatori serien, respectivament, de la forma

    Les lnies de fora indiquen les trajectries que seguiria una massa que shagus deixat en reps en el si del camp 4. Energia potencial gravitatria La fora gravitatria, F = G M m

    r2nr , com sha dit, s una fora conservativa.

    Resulta senzill justificar-ho, fent veure que el treball daquesta fora al llarg duna trajectria tancada qualsevol s zero.

    Pensem una massa m que recorre la trajectria tancada ABCD, formada per trams radials i per trams circulars concntrics amb la massa M, en el si del camp gravitatori creat per M. El treball de la fora al llarg daquesta trajectria F s zero. En efecte, WAB = 0 i WCD = 0, ja que F, punt a punt s perpendicular al desplaament dl en aquells trams. Daltra banda, el treball de la fora gravitatria en els trams BC i DA sn iguals i de signe contrari, negatiu en BC i positiu en DA. Aix, doncs, el treball total s nul.

    Una trajectria tancada qualsevol en el si del camp creat per M sempre es podria pensar com a aproximada per un nombre, infinit si cal, de trams concntrics amb la massa M i de trams radials. En cada un dels primers trams el treball de F s zero, mentre que el treball total en els trams radials quan sallunyen de M seria igu...