Cap 08 Interseccion Recta Poliedro Superficie

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Primera Edición

Geometría

Descriptiva

CAPÍTULO

IntersecciónAutor:

Víctor Vidal Barrena

Universidad

Nacional de Ingeniería

© 2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

Intersección

Recta

Poliedro


Prim

eraE

dició

n


INTERSECCIÓN DE RECTA CON

INTERSECCIÓN DE RECTA CON POLIEDRO.

©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 1 - 2

DE RECTA CONPOLIEDRO


Prim

eraE

dició

n


LA INTERSECCION ENTRE DOS SÓLIDOS SE CONOCECOMO UNA FIGURA DE INTERSECCION. TALESINTERSECCIONES SON COMUNES EN LASCONSTRUCCION SE EDIFICIOS, METALISTERIA,CONSTRUCCION DE MAQUINAS Y EN CUALQUIERCAMPO DE LA INGENIERIA. PARA LOS SÓLIDOSLIMITADOS POR SUPERFICIES PLANAS, LA

7.1 INTRODUCCIÓN.-


CAMPO DE LA INGENIERIA. PARA LOS SÓLIDOSLIMITADOS POR SUPERFICIES PLANAS, LAINTERSECCION CONSISTE EN SEGMENTOS SUCESIVOSDE RECTAS DE INTERSECCION DEL PLANO CON LASUPERFICIE PLANA DEL SÓLIDO, LA RECTA DEINTERSECCION DE DOS POLIEDROS ES UNA SERIE DERECTAS UNIDAS, QUE FORMA UN POLIGONOIRREGULAR.


Prim

eraE

dició

n


SE LLAMA POLIEDRO, A LOS CUERPOS GEOMETRICOS CUYA PORCION DEESPACIO ES TOTALMENTE LIMITADA, POR POLIGONOS PLANOS NOCOPLANARES.

AC

D

VERTICE

DIAGONAL

7.2 POLIEDROS: SU REPRESENTACIÓN.


H

EG

F

B

ARISTA

CARA


Prim

eraE

dició

n


a).- LAS CARAS: formadas por polígonos que limitan el poliedro.

b).- LAS ARISTAS: que son los lados del polígono.

c).- LOS VÉRTICES: que son los extremos de las aristas.

7.3 ELEMENTOS DE UN POLIEDRO.


d).- LAS DIAGONALES: aristas que unen dos vértices opuestos.

e).- LOS DIEDROS: formados por dos caras consecutivas.

f).- ANGULOS POLIEDRICOS: formados por aristas que concurren enun vértice.


Prim

eraE

dició

n


1).- POLIEDROS REGULARES: Son los poliedros que tienen todas sus caras y ángulos iguales. Ejemplo:

7.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.

D

A

D

B

C C

F

D B


C

TETRAEDRO

A

BH

E

FHEXAEDRO

B

G

OCTAEDRO

E

A

D B


Prim

eraE

dició

n


2) POLIEDROS IRREGULARES: Es aquel cuya cuyas caras es un polígono cualquiera y las demás caras son paralelogramos (prismas) o triángulos (pirámides) entre los principales tenemos los prismas y las pirámides. Ejemplo:

L

K

J I

HI

H

KM

C

H

IJ

K

LM



D

F

E

A

C

B

E

B

F

D

C A

PRISMA TRIANGULAR TRUNCADO

PRISMA HEXAGONAL OBLICUO

A

B

C

D

E

F

PRISMA HEXAGONAL RECTO


Prim

eraE

dició

n


1) PRISMAS: Es un sólido geométrico determinado por una superficieengendrada por una recta generatriz que se desliza paralela por una líneapoligonal o directriz

C

A

BK

L G

J

H

I

CA

D



PRISMA HEXAGONAL

D

F

EF

E

D

A

B

C H

PRISMA CUADRADO

E

F

G

CA

B

PRISMA TRIANGULAR


Prim

eraE

dició

n


2) PIRAMIDE: Es un sólido geométrico determinado por una superficie engendrada por una recta generatriz que esta unida a un punto fijo llamado vértice, a la vez que se desliza por una línea poligonal o directriz.

VV

V



PIRAMIDE TRIANGULAR

B

CA

PIRAMIDE DE BASE CUADRADA

A

D

B

CE

PIRAMIDE HEXAGONAL

B

F A

D C


Prim

eraE

dició

n


Hallar la intersección de la rectaMN con el prisma ABCD-EFGH.Mostrar la visibilidad de laintersección.

PROBLEMA Nº 7.1:

M(4, 8, 19), N(12, 4, 13) ,


M(4, 8, 19), N(12, 4, 13) , A(10, 9, 17) , B(13, 7, 16), C(12, 5, 19), D(9, 7, 20), E(3,5,12), F(6, 3, 11), G(5, 1, 14),H(2, 3, 15).


Prim

eraE

dició

n


SOLUCION 7.1:

HG

EH

M

HH

H

DH

NH

AH

CH

HB

14

13

12

11

15

19

17

20

16


HH

EF

G

F

F

F

FM

FH

F

DF

A

FC

FN

BF

grafico de los puntos

32 5 64 9 1310 12

3

4

1

5

7

11

9

8


Prim

eraE

dició

n


SOLUCION 7.1.

HA

HB

HC

DH

HE

GH

HH

HM

HN

a

b

c

d1

2

16

11

20

17

19

12

14

15

13


FA

FB

CF

DF

EF

FH

FF

GF

HH

FM

FN

a

b

c

d

1

2 solucion final

4 9 12 133 10652

11

1

4

3

7

9

5

8


Prim

eraE

dició

n


Hallar la intersección de la rectaMN con la pirámide V – ABCD.Mostrar la visibilidad de laintersección.

PROBLEMA Nº 7.2:


M(7.5, 9, 19), N(7.5, 2, 11) , A(6.5, 5, 18) , B(11, 3, 15), C(9.5, 7, 12), D(5, 9, 15); V(1, 4.5, 13)


Prim

eraE

dició

n


PASO 1: GRAFICAR LAS COORDENADAS.

VH

NH

HC

A

HD

H

HM

HB GRAFICO DE LAS COORDENADAS

11

12

13

15

18

19


D

VF

FB

MFF

NH

FC

NF

FA

4.5

2

3

1

9

7

5

7.55 6.5 119.5


Prim

eraE

dició

n


PROBLEMA Nº 2: SOLUCION.

HV

A H

BH

CH

DH

H

HN

2

1

1BVCMN - ++-+ +

FHRECTA FHPLANO HF INT

13

18

15

12

19

11

PC-1


VF

AF

BF

CF

DF FM

NF

2

1

1BVCMN - ++-+ +

+MN + -ABCD + 2- +

9.5 11

3

7

4.5

1 6.5

5

5

9

7.5

2


Prim

eraE

dició

n


SOLUCION SOMBREADA:

DH

CN

H

HB

HA

2

1

SOLUCION SOMBREADA

HV

H


D F

FA

BF

C

MF

NH

F

2

1

SOMBREADA

VF

NF


Prim

eraE

dició

n


ABCD y EFGH, son las bases de un prisma debase cuadrada determinar la intersección ymostrar la visibilidad de la recta MN con elprisma dado Hallar la tabla de visibilidad.

PROBLEMA Nº 7.3:

A(10, 9, 17), B(13, 7, 16), C(12, 5, 19),


A(10, 9, 17), B(13, 7, 16), C(12, 5, 19),D(9, 7, 20); E(3, 5, 12), F(6, 3, 11), G(5, 1, 14),H(2, 3, 15)M(8, 9, 20) N(8, 1, 11).


Prim

eraE

dició

n


PROBLEMA Nº 7.3: Solución

EH

NF

H

HH

G

A

HM DH

H

HB

CH

14

11

12

16

15

17

19

20

GRAFICO DE LAS COORDENADAS


FH

GF

EF

FC

FF

NF

FMF

FD

NFH H

A

BF

1

3

2 53

9

7

5

11

86 109 1312


Prim

eraE

dició

n


PROBLEMA Nº 7.3: SOLUCION:

HA

HB

HC

DH

HE

F

GH

HH

HM

N

1

2

19

12

14

15

16

11

20

17

RECTA PLANO INTH F FH H F

TABLA DE VIS

PC-1

PC-2


FA

FB

CF

DF

EF

FH

FF

GF

HF

FM

FN

b

HN

1

2

+ +

++

+ -

- +

-+

- +9

10

5

652 8

11

1

9 12 13

3

3

7

MN

AEDH

BFCG

1

2

MN


Prim

eraE

dició

n


PROBLEMA Nº 7.3: SOLUCION SOMBREADA

HH

E

GH 2

C

M D

1

H H

HAHB

H

SOLUCION SOMBREADA


HF

C

1

GF

EF

FF

NF

2

M

HE

HF

AF

DF

HN

F

FB

F

SOMBREADA


Prim

eraE

dició

n


PROBLEMA Nº 7.4

Si el poliedro tiene

sección transversal

convexa, la recta lo

interseca en dos

puntos; en cambio, si

es cóncava, es posible

©2011 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

es cóncava, es posible

que la recta interseque

en más de dos puntos.

7 - 21


Prim

eraE

dició

n


Hallar la intersección de la rectaMN con el prisma ABCD-EFGH.Mostrar la visibilidad de laintersección.

PROBLEMA Nº 7.5:



Prim

eraE

dició

n


PROBLEMA Nº 7.5



Prim

eraE

dició

n


Hallar la intersección de la rectaMN con la Pirámide V-ABCD.Mostrar la visibilidad de laintersección.

PROBLEMA Nº 7.6:



Prim

eraE

dició

n


PROBLEMA Nº 7.6



Prim

eraE

dició

n


INTERSECCION DE RECTA CON

INTERSECCIÓN DE RECTA CON SUPERFICIE.


DE RECTA CON SUPERFICIE


Prim

eraE

dició

n


7.6 Superficies: Cono Cilindro.

� CONO.-Es una superficie generada por una recta llamadageneratriz, que se desplaza apoyada sobre una curva(directriz) ypasando siempre por un punto (vértice).

� CILINDRO.-Es una superficie generada por una recta (generatriz)al desplazarse paralelamente a sí misma y apoyada sobre unacurva(directriz).



Prim

eraE

dició

n


7.7 REGLAS DE VISIBILIDAD

1. Si son visibles dos generatrices que se interceptan, su punto de

intersección es visible.

2. De dos generatrices que se interceptan, una o ambas están ocultas, el

punto de intersección es invisible.

3. Si dos círculos o sus porciones que se interceptan son visibles, el punto

de intersección es visible.

4. De dos círculos o sus porciones que se interceptan, una o ambas están


4. De dos círculos o sus porciones que se interceptan, una o ambas están

ocultas, el punto de intersección es invisible.

Antes de aplicar estas reglas de visibilidad, analizar la visibilidad de las

generatrices, utilizando las reglas de visibilidad:

1. Considerar al signo (+) como visible y el signo (-) como invisible.

2. No se plica la regla de los signos.

11- 28


Prim

eraE

dició

n


7.8 Representación de Superficies.

El cono está engendrado por el movimiento de una línea recta

llamada generatriz, que se desplaza sobre una curva directriz y que

pasa siempre por un punto fijo llamado vértice; véase la figura 11.2.

7.8.1 REPRESENTACIÓN DE CONOS


Fig. 10.2 Representación de conos.


Prim

eraE

dició

n


7.9 Representación de Superficies.

El cilindro es engendrado por el movimiento de una línea recta (generatriz)

que se desplaza sobre una línea curva plana (directriz) permaneciendo siempre en

todas sus posiciones paralela a su posición; véase la figura 11.3.

7.9.1 Representación de Cilindros.


Fig. 10.3 Representación de cilindros.


Prim

eraE

dició

n


Hallar la intersección de la recta MNcon un cono oblicuo de basehorizontal de 6 cm de diámetro;siendo O el centro de su base y V elvértice. Mostrar la visibilidad.

Problema 7.5:


vértice. Mostrar la visibilidad.

11- 31

M(5, 6, 16), N(13, 3, 12) , V(13.5, 7, 17) , O(8, 1.5, 13).


Prim

eraE

dició

n


SOLUCION

12

13HO

HN

16

17 HMH

V

grafico de los puntos


1.5

3

6

7

13.5

V

5

MF

8

OF

13

N F

F

puntos

11- 32


Prim

eraE

dició

n


SOLUCION

13

12

17

16HM

NH

O H

HV

A

1 2

M'H

MN + + FV -+- 2 +

GENER

MN

RECTA

+ +

H F

EV +

H

++

H F

1

INT

+

F


FN

1.5

5 13

OF

8 13.5

3

6

7M F

V F

solucion finalE H F H

A H

HB

FBA F E F FF

12

M'F

11- 33


Prim

eraE

dició

n


AB es el eje de un cilindro de baseshorizontales de 5cm de diámetro.Determinar la intersección y mostrarla visibilidad de la recta MN con elcilindro dado. Cortar al cilindro por

PROBLEMA 7.6:


cilindro dado. Cortar al cilindro porel extremo B.

11- 34

A(7, 2.5, 15), B(12, 8.5, 19.5) , M(8.5, 1, 21) , N(8.5, 10, 12).


Prim

eraE

dició

n


SOLUCION

12 N H

21

19.5

15HA

MH

BH

GRAFICO DE LOS PUNTOS


2.5

1

10

8.5

A

4 8.57

F

MF

N

N

F

H

12

FB

11- 35


Prim

eraE

dició

n


SOLUCION

15AH

19.5B

H

21H

M

HM'

HY 1

2

Z

GENERHRECTA

MN

MN ++

Z1

F

++

S2 +-

H F

-+

INT

21

FH

-+

-+

H

solucion final


12

7

2.5

FA

8.5 FB

12

10

1M

F

NH

NF

FX

XH

FM'

YF

S

S Z

2

1

8.5

H

F F

solucion final

11- 36


Prim

eraE

dició

n


Problema 11.3:PROBLEMA 7.7:

HALLAR LA INTERSECCION DE LARECTA AB CON EL CONO DEVERTICE V. VISIBILIDAD.



Prim

eraE

dició

n


SOLUCION:


Documents

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