Cap. 13: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

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Cap. 13: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Las ecuaciones de Maxwell sugieren que los fenómenos eléctricos y magnéticos son estrechamente ligados = teoría electromagnetismo

• Un campo magnético variable en el tiempo actúa como fuente de campo eléctrico, y un campo eléctrico que varía con el tiempo genera un campo magnético

Estos campos

E y

B se sostienen uno al otro y forman algo similar a una “onda

electromagnética” • Esto corresponde en realidad en la propagación (o transferencia entre

partículas) de energía y cantidad de movimiento La luz visible emitida por el filamento incandescente de una bombilla eléctrica es un ejemplo de onda electromagnética Pero también energía emitidas por fuentes tales como las estaciones de radio y televisión, los osciladores de microondas para hornos y radares, las máquinas de rayos X y los núcleos radiactivos En el modelo de ondas electromagnéticas los campos

E y

B son funciones

sinusoidales del tiempo y de la posición, con frecuencia y longitud de onda definidas Los distintos tipos de ondas electromagnéticas—luz visible, ondas de radio, rayos X y otras—difieren sólo en su frecuencia y longitud de onda = el espectro electromagnético El modelo de onda se construyo en analogía a ondas mecánicas, ej. ondas en una cuerda o del sonido en un fluido – que también corresponde a mecanismos de transporte de energía y cantidad de movimiento

• Pero a la diferencia de las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticas no requieren un medio material para propagar se

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Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas A la base de las ecuaciones de Maxwell tienen las siguientes observaciones:

• Existe dos tipos de campos: eléctrico E y magnético

B

o E esta producido por cargas en reposo

o B esta producido por corriente estable

Esto podría sugerir que se puede analizar los campos eléctricos y magnéticos de forma independiente, sin considerar las interacciones entre ellos Pero cuando los campos varían con el tiempo, dejan de ser independientes

• Ley de Faraday: un campo magnético variable en el tiempo actúa como fuente de campo eléctrico

• Ley de Ampère generalizada (incluyendo la corriente de desplazamiento): un campo eléctrico que cambia con el tiempo actúa como una fuente de campo magnético

Esta interacción mutua entre los dos campos se resumen en las 4 ecuaciones de Maxwell:

• Cuando un campo de un tipo cambia con el tiempo, induce un campo del otro tipo en las regiones adyacentes del espacio que se opone al cambio

• Este fenómeno es consistente con la ley de Lenz y es una consecuencia directa de la ley de la conservación de energía

Esto nos lleva a considerar la posibilidad de la existencia de una “perturbación electromagnética”, consistente con campos eléctricos y magnéticos que se modifican con el tiempo – esta onda es el principal mecanismo de propagación de energía entre partículas

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Por analogía mecánica ya se conocía en el tiempo de Maxwell de un fenómeno de perturbación transportador de energía (y cantidad de movimiento) = ondas mecánicas

• Por lo que se desarrollo un modelo similar = ondas electromagnéticas Tienen dos problemas con el modelo de ondas electromagnéticas clásica:

1) ¿Perturbación de que? El modelo mecánico sugiere que es la perturbación de un medio = ether; pero se demostró al final de los 1800’s que no existe el ether; por lo que las ondas electromagnética se propagan en el “vacio”

2) También se demostró que consistente con la estructura de la materia, la energía del los campo electromagnético es cuantificada – pero la energía de una onda es continúa ⇒ la onda electromagnética es una ficción; la energía se propaga en forma de partícula = fotón o quantum de energía

La descripción en términos de ondas es solo aproximativa, no debe se tomar como una descripción completa del fenómeno

• El significado físico en términos de ondas es posiblemente más profunda (un asunto no resuelta) relacionada con una visión probabilística de la materia ( ej. la interpretación de Max Born de la función de ondas en mecánica quántica)

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Generación de la radiación electromagnética Maxwell demostró en 1865 que una perturbación electromagnética debe propagarse en el espacio libre con una rapidez igual a la de la luz, por lo que era probable que la naturaleza de la luz fuera una onda electromagnética Al mismo tiempo descubrió que los principios básicos del electromagnetismo podían expresarse en términos de las cuatro ecuaciones = ecuaciones de Maxwell:

1) La ley de Gauss de los campos eléctricos:

E ⋅dA∫ = Qenc

ε0 2) La ley de Gauss de los campos magnéticos, que demuestra la inexistencia de monopolos magnéticos:

B ⋅dA∫ = 0

3) La ley de Ampère, que incluye la corriente de desplazamiento:

B ⋅dl∫ = µ0 iC + ε0

dΦE

dt⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ enc

4) La ley de Faraday:

E ⋅dl∫ = − dΦB

dt

Estas ecuaciones se aplican a los campos eléctricos y magnéticos en el vacío (definido como la ausencia de materia = no hay dieléctrico)

• Cuando hay materia, la permitividad ε0 y la permeabilidad µ0 del vacío se sustituyen por la permitividad ε y la permeabilidad µ del material

De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, una carga puntual en reposo produce un campo

E estático pero no un campo

B

Una carga puntual en movimiento con velocidad constante (corriente) produce los dos campos

E y B

Las ecuaciones de Maxwell también implican que para que una carga puntual produzca ondas electromagnéticas, la carga debe acelerar

• De hecho, un resultado general de las ecuaciones de Maxwell es que toda carga acelerada irradia energía electromagnética

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La figura abajo muestra algunas líneas de campo eléctrico producidas por una carga puntual oscilante (movimiento harmónico simple) vistas en cinco instantes durante un periodo de oscilación T

• La trayectoria de la carga está en el plano de los dibujos • En t = 0, la carga puntual se encuentra en su máximo desplazamiento

ascendente o La flecha muestra cómo se propaga una “vuelta” de las líneas de a

medida que se propaga hacia fuera de la carga puntual • El campo magnético (no se ilustra) comprende círculos que se hallan en

planos perpendiculares a las figuras y son concéntricos con respecto al eje de oscilación

• La oscilación de la carga hacia arriba y abajo produce una perturbación del campo eléctrico que hace que las ondas se propaguen hacia fuera de la carga

• La carga no emite ondas en todas direcciones por igual

• Son más intensas a 90° con respecto al eje de movimiento de la carga (donde el campo eléctrico es más perturbado), en tanto que no hay ondas a lo largo de este eje

En 1887, el físico alemán Heinrich Hertz (1857-‐1894) generó por primera vez ondas electromagnéticas con longitudes de onda macroscópicas en el laboratorio

• Usando como fuente de ondas cargas oscilantes en circuitos L-‐C • Detectó las ondas electromagnéticas resultantes mediante otros

circuitos sintonizados a la misma frecuencia • También produjo ondas electromagnéticas estacionarias y midió la

distancia entre nodos adyacentes (media longitud de onda) para determinar la longitud de onda

E

1094 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas

32.2 a) Todo teléfono móvil, módeminalámbrico o aparato transmisor de radioemite señales en forma de ondaselectromagnéticas causadas por cargas enaceleración. b) Las líneas de transmisiónde energía eléctrica conducen una corrientealterna intensa, lo que significa que hayuna cantidad sustancial de carga queacelera hacia delante y atrás y generaondas electromagnéticas. Estas ondas sonlas que producen el zumbido en el radiodel automóvil cuando conducimos cerca delas líneas de transmisión.

Estas ecuaciones se aplican a los campos eléctricos y magnéticos en el vacío. Siestá presente un material, la permitividad P0 y la permeabilidad m0 del espacio libre sesustituyen por la permitividad P y la permeabilidad m del material. Si los valores de Py m son diferentes en puntos distintos en las regiones de integración, entonces P y mdeben transferirse al lado izquierdo de las ecuaciones (29.18) y (29.20), respectiva-mente, y colocarse dentro de las integrales. El término P en la ecuación (29.20) tambiéntiene que incluirse en la integral cuyo resultado es dFE>dt.

De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, una carga puntual en reposo produceun campo estático pero no un campo ; una carga puntual en movimiento con velo-cidad constante (véase la sección 28.1) produce los dos campos y . Las ecuacionesde Maxwell también se usan para demostrar que para que una carga puntual produzcaondas electromagnéticas, la carga debe acelerar. De hecho, un resultado general delas ecuaciones de Maxwell es que toda carga acelerada irradia energía electromagné-tica (figura 32.2).

Generación de la radiación electromagnéticaUna manera de conseguir que una carga puntual emita ondas electromagnéticas es ha-ciéndola oscilar en movimiento armónico simple, de manera que tenga una acelera-ción casi en todo instante (excepto cuando la carga pasa por la posición de equilibrio).La figura 32.3 muestra algunas líneas de campo eléctrico producidas por una cargapuntual oscilante. Las líneas de campo no son objetos materiales; sin embargo, es útilpensar que se comportan como cuerdas que se extienden de la carga puntual al infinito.La oscilación de la carga hacia arriba y abajo hace que las ondas se propaguen haciafuera de la carga a lo largo de estas “cuerdas”. Observe que la carga no emite ondasen todas direcciones por igual; las ondas son más intensas a 90° con respecto al eje demovimiento de la carga, en tanto que no hay ondas a lo largo de este eje. Ésta es laconclusión a la que se llega con la analogía de la “cuerda”. Además, hay una pertur-bación magnética que se extiende hacia fuera de la carga, lo que no se ilustra en la fi-gura 32.3. Puesto que las perturbaciones eléctricas y magnéticas se dispersan o irradiandesde la fuente, se utiliza de manera indistinta el nombre de radiación electromag-nética o el de “ondas electromagnéticas”.

El físico alemán Heinrich Hertz generó por primera vez ondas electromagnéticascon longitudes de onda macroscópicas en el laboratorio en 1887. Como fuente de on-das, Hertz utilizó cargas oscilantes en circuitos L-C de la clase que estudiamos en lasección 30.5 y detectó las ondas electromagnéticas resultantes mediante otros circuitossintonizados a la misma frecuencia. Hertz también produjo ondas electromagnéticasestacionarias y midió la distancia entre nodos adyacentes (media longitud de onda)para determinar la longitud de onda. Una vez que determinó la frecuencia de resonan-cia de sus circuitos, encontró la rapidez de las ondas a partir de la relación entre sulongitud de onda y su frecuencia, v 5 lf, y estableció que era igual a la rapidez de laluz; esto comprobó directamente la predicción teórica de Maxwell. La unidad del SIpara la frecuencia recibió su nombre en honor de Hertz: un hertz (1 Hz) es igual a unciclo por segundo.

BS

ES

BS

ES

q

ES

a) t 5 0

q

ES

b) t 5 T/4

q

ES

c) t 5 T/2

q

ES

e) t 5 T

q

ES

d) t 5 3T/4

32.3 Líneas de campo eléctrico de una carga puntual que oscila con movimiento armónico simple, vistas en cinco instantes durante unperiodo de oscilación T. La trayectoria de la carga está en el plano de los dibujos. En t 5 0, la carga puntual se encuentra en su máximodesplazamiento ascendente. La flecha muestra cómo se propaga una “vuelta” de las líneas de a medida que se propaga hacia fuera dela carga puntual. El campo magnético (no se ilustra) comprende círculos que se hallan en planos perpendiculares a las figuras y sonconcéntricos con respecto al eje de oscilación.

ES

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Una vez que determinó la frecuencia de resonancia de sus circuitos, encontró la rapidez de las ondas a partir de la relación entre su longitud de onda y su frecuencia, v = λ f

• Estableció que v = c ⇒ comprobó directamente la predicción teórica de Maxwell

La unidad del SI para la frecuencia recibió su nombre en honor de Hertz: un hertz (1 Hz) es igual a un ciclo por segundo El valor actual por la rapidez de la luz: c = 299,792,458 m/s También c es la base de la unidad estándar de longitud: un metro se define como la distancia que recorre la luz en 1/299,792,458 de segundo (consistente con definición operacional del “espacio” – o mejor, del vacío) Es posible usar ondas electromagnéticas para la comunicación a larga distancia; gracias a investigadores como Guglielmo Marconi (1874 – 1937) la comunicación por radio se convirtió en una experiencia cotidiana:

• En un transmisor de radio se hacen oscilar cargas eléctricas a lo largo de la antena conductora, lo que produce perturbaciones oscilatorias de campo

• Como en la antena hay muchas cargas que oscilan juntas, las perturbaciones son mucho más intensas que las de una sola carga y se detectan a una distancia mucho mayor

• En un receptor de radio la antena también es un conductor, los campos de la onda que emana desde un transmisor distante ejercen fuerzas sobre las cargas libres dentro de la antena receptora, lo que produce una corriente oscilante que es detectada y amplificada por los circuitos del receptor

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El espectro electromagnético

Las ondas electromagnéticas cubren un espectro amplio de longitudes de onda y frecuencia

• Incluye las ondas de radio y televisión, la luz visible, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma

• Se han detectado ondas electromagnéticas con frecuencias desde 1 hasta 1024 Hz

• Las ondas electromagnéticas difieren en frecuencia f y longitud de onda λ, pero la relación c = λ f en el vacío se cumple para cada una

• El ojo solo puede detectar una parte muy pequeña del espectro = luz visible

o Su intervalo de longitud de onda va de 400 a 700 nm (400 a 700 × 10−9m) con frecuencias correspondientes de 750 a 430 THz (7.5 a 4.3 × 1014 Hz) aproximadamente

o Las distintas partes del espectro visible son interpretados por el cerebro humano como diferentes colores

• La luz blanca ordinaria incluye todas las longitudes de onda visibles

• Sin embargo, con el uso de fuentes o filtros especiales es posible seleccionar una banda angosta de longitudes de onda dentro de un intervalo de unos cuantos nm

o Esa luz es aproximadamente monocromática (de un solo color) o La luz totalmente monocromática con una sola longitud de onda

es una idealización inalcanzable

• La luz láser está mucho más cerca de ser monocromática que cualquiera que se obtenga de otra manera

32 .1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1095

El valor moderno de la rapidez de la luz, que se denota con el símbolo c, es299,792,458 m>s. (Recuerde que en la sección 1.3 vimos que este valor es la base denuestra unidad estándar de longitud: un metro se define como la distancia que recorre laluz en 1>299,792,458 de segundo.) Para nuestros propósitos, el valor de 3.00 3 108 m>stiene suficiente exactitud.

Al parecer, el posible uso de las ondas electromagnéticas para la comunicación alarga distancia no se le ocurrió a Hertz, y fue gracias a Marconi y a otros investigado-res que la comunicación por radio se convirtió en una experiencia cotidiana en el hogar.En un transmisor de radio se hacen oscilar las cargas eléctricas a lo largo de la antenaconductora, lo que produce perturbaciones oscilatorias de campo, como las que seilustran en la figura 32.3. Como en la antena hay muchas cargas que oscilan juntas,las perturbaciones son mucho más intensas que las de una sola carga y se detectan auna distancia mucho mayor. En un receptor de radio la antena también es un conduc-tor, los campos de la onda que emana desde un transmisor distante ejercen fuerzas sobrelas cargas libres dentro de la antena receptora, lo que produce una corriente oscilanteque es detectada y amplificada por los circuitos del receptor.

En lo que resta del capítulo nos ocuparemos de las ondas electromagnéticas en símismas, dejando a un lado el complejo problema de cómo se generan.

El espectro electromagnéticoLas ondas electromagnéticas cubren un espectro extremadamente amplio de longitu-des de onda y frecuencia. Este espectro electromagnético incluye las ondas de radioy televisión, la luz visible, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos x y los rayosgamma. Se han detectado ondas electromagnéticas con frecuencias desde 1 hasta1024 Hz; en la figura 32.4 se representa la parte más común del espectro, y se indicanlos intervalos de longitud de onda y frecuencia aproximados de sus diferentes seg-mentos. A pesar de las muchas diferencias en su uso y medios de producción, todasellas son ondas electromagnéticas con la misma rapidez de propagación (en el vacío),c 5 299,792,458 m>s. Las ondas electromagnéticas difieren en frecuencia f y longitudde onda l, pero la relación c 5 lf en el vacío se cumple para cada una.

Nosotros sólo podemos detectar directamente una parte muy pequeña del espectrocon nuestro sentido de la vista, y a ese intervalo lo denominamos luz visible. Su inter-valo de longitud de onda va de 400 a 700 nm (400 a 700 3 1029 m), con frecuenciascorrespondientes de 750 a 430 THz (7.5 a 4.3 3 1014 Hz) aproximadamente. Las dis-tintas partes del espectro visible evocan en los humanos las sensaciones de los dife-rentes colores. En la tabla 32.1 se presentan las longitudes de onda de los colores en laparte visible del espectro.

La luz blanca ordinaria incluye todas las longitudes de onda visibles. Sin embargo,con el uso de fuentes o filtros especiales es posible seleccionar una banda angosta delongitudes de onda dentro de un intervalo de unos cuantos nm. Esa luz es aproxima-damente monocromática (de un solo color). La luz totalmente monocromática con

Radio,TV

10 1 1021 1022 1023 1024 1025 1026 1027 1028 1029 10210 10211 10212 10213

108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022

Microondas

Infrarrojo

Ultravioleta

Rayos x

Luz visible

700 nm 650 600 550 500 450 400 nm

VIOLETAAZULVERDEAMARILLONARANJAROJO

Frecuencias en Hz

Longitudes de onda en m

Rayos gamma

32.4 El espectro electromagnético. Las frecuencias y longitudes de onda que se encuentran en la naturaleza se extienden en un intervalo tan amplio que se tiene que usar una escala logarítmica para indicar todas las bandas importantes. Las fronteras entre lasbandas son un tanto arbitrarias.

Tabla 32.1 Longitudes de onda de la luz visible

400 a 440 nm Violeta440 a 480 nm Azul480 a 560 nm Verde560 a 590 nm Amarillo590 a 630 nm Naranja630 a 700 nm Rojo

8

Nuestro sistema de comunicaciones globales depende de las ondas de radio: • La radio AM utiliza ondas con frecuencias de 5.4 × 105 Hz a 1.6 × 106 Hz • Las emisiones de radio en FM tienen lugar en las frecuencias de 8.8 × 107

Hz a 1.08 × 108 Hz • Las emisoras de televisión usan frecuencias que incluyen la banda de FM • Las microondas se utilizan para la comunicación por los teléfonos

celulares y las redes inalámbricas Los radares meteorológicos funcionan con frecuencias cercanas a 3 × 109 Hz Muchas cámaras tienen un dispositivo que emite un haz de radiación infrarroja

• Al analizar las propiedades de la radiación infrarroja reflejada por el sujeto, la cámara determina a qué distancia se encuentra éste y se enfoca de manera automática

La radiación ultravioleta tiene longitudes de onda más cortas que la luz visible

• Esta propiedad le permite enfocarse dentro de haces muy estrechos para aplicaciones de alta precisión, como la cirugía ocular LASIK

Los rayos X son capaces de pasar a través del tejido muscular, lo que los hace invaluables en la odontología y la medicina La radiación electromagnética con la longitud de onda más corta, los rayos gamma, es producida en la naturaleza por los materiales radiactivos

• Los rayos gamma, que tienen una gran cantidad de energía, se utilizan en medicina para destruir células cancerosas

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Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz Tomamos como base un sistema de coordenadas xyz y suponemos que el espacio está dividido en dos regiones por un plano perpendicular al eje x paralelo al plano yz En cada punto a la izquierda de este plano hay un campo eléctrico uniforme en la dirección +y y un campo

magnético uniforme en la dirección +z

Supongamos que el plano limítrofe, al frente de onda, se desplaza hacia la derecha en la dirección +x con rapidez constante c (de magnitud no definida) Así, los campos y viajan a la derecha hacia regiones hasta ahora libres de campo con rapidez constante:

• Los campos = 0 para los planos que están a la derecha del frente de onda y tienen los mismos valores en todos los planos ubicados a la izquierda del frente de onda

Este modelo describe una onda electromagnética rudimentaria = onda plana

E

B


una sola longitud de onda es una idealización inalcanzable. Cuando usamos la expre-sión “luz monocromática con l 5 550 nm” en relación con un experimento de labo-ratorio, en realidad nos referimos a una banda pequeña de longitudes de onda alrededorde 550 nm. La luz láser está mucho más cerca de ser monocromática que cualquieraque se obtenga de otra manera.

Las formas invisibles de la radiación electromagnética no son menos importantesque la luz visible. Por ejemplo, nuestro sistema de comunicaciones globales dependede las ondas de radio: la radio AM utiliza ondas con frecuencias de 5.4 3 105 Hz a 1.63 106 Hz, mientras que las emisiones de radio en FM tienen lugar en las frecuenciasde 8.8 3 107 Hz a 1.08 3 108 Hz. (Las emisoras de televisión usan frecuencias queincluyen la banda de FM.) Las microondas también se utilizan para la comunicación(por ejemplo, en los teléfonos celulares y las redes inalámbricas) y en los radares me-teorológicos (con frecuencias cercanas a 3 3 109 Hz). Muchas cámaras tienen un dis-positivo que emite un haz de radiación infrarroja; al analizar las propiedades de laradiación infrarroja reflejada por el sujeto, la cámara determina a qué distancia se en-cuentra éste y se enfoca de manera automática. La radiación ultravioleta tiene longi-tudes de onda más cortas que la luz visible; como veremos en el capítulo 36, estapropiedad le permite enfocarse dentro de haces muy estrechos para aplicaciones dealta precisión, como la cirugía ocular LASIK. Los rayos x son capaces de pasar a travésdel tejido muscular, lo que los hace invaluables en la odontología y la medicina. Laradiación electromagnética con la longitud de onda más corta, los rayos gamma, esproducida en la naturaleza por los materiales radiactivos (véase el capítulo 43). Losrayos gamma, que tienen una gran cantidad de energía, se utilizan en medicina paradestruir células cancerosas.

Evalúe su comprensión de la sección 32.1 a) ¿Es posible tener una ondapuramente eléctrica que se propague a través del espacio vacío, es decir, una onda constituida por un campo eléctrico pero no por un campo magnético? b) ¿Y una ondapuramente magnética, con campo magnético pero sin un campo eléctrico?

!

32.2 Ondas electromagnéticas planasy rapidez de la luz

Estamos listos para formular las ideas básicas de las ondas electromagnéticas y su re-lación con los principios del electromagnetismo. Nuestro procedimiento consistirá enpostular una configuración simple de campo eléctrico que tenga un comportamientoondulatorio. Supondremos un campo eléctrico que tenga sólo una componente y, yun campo magnético sólo con una componente z, y supondremos que ambos cam-pos se mueven juntos en la dirección 1x con una rapidez c que al principio es desco-nocida. (Conforme avancemos quedará claro por qué elegimos que y fueranperpendiculares a la dirección de propagación y entre sí.) Después evaluaremos si estoscampos son físicamente posibles indagando si son congruentes con las ecuaciones deMaxwell, en particular con las leyes de Ampère y Faraday. Veremos que la respuestaes sí, siempre y cuando c tenga un valor particular. También veremos que la ecuaciónde onda, que encontramos durante nuestro estudio de las ondas mecánicas en el capí-tulo 15, se obtiene a partir de las ecuaciones de Maxwell.

Una onda electromagnética plana simpleSi tomamos como base un sistema de coordenadas xyz (figura 32.5), suponemos quetodo el espacio está dividido en dos regiones por un plano perpendicular al eje x (yparalelo al plano yz). En cada punto a la izquierda de este plano hay un campo eléctri-co uniforme en la dirección 1y y un campo magnético uniforme en la dirección1z, como se ilustra. Además, supongamos que el plano limítrofe, al que llamaremosfrente de onda, se desplaza hacia la derecha en la dirección 1x con rapidez constante c,un valor que por el momento dejaremos indeterminado. Así, los campos y viajan a la derecha hacia regiones hasta ahora libres de campo con rapidez definida. En resu-men, la situación describe una onda electromagnética rudimentaria. Una onda comoésta, en la que en cualquier instante los campos son uniformes en toda la extensión de

BS

ES

BS

ES

BS

ES

BS

ES

Los campos eléctrico y magnético sonuniformes detrás del frente de onda queavanza, y cero por delante de éste.

z x

y

Oc

ES

BS E

S

BS

ES

BS

ES

BS E

S

E 5 0S

B 5 0S

BS E

S

BS

Frente de onda plana

32.5 Frente de una onda electromagnética.El plano que representa el frente de ondase mueve hacia la derecha (en la direcciónpositiva del eje x) con rapidez c.

E

B

10

La pregunta es ¿si este modelo es congruente con las leyes de Maxwell? En primer lugar, verifiquemos que la onda plana satisface la primera y segunda ecuaciones de Maxwell:

• Tomamos como superficie gaussiana una caja rectangular con lados paralelos a los planos de coordenados xy, xz y yz

• La caja no encierra cargas eléctricas

• Por lo que los flujos eléctrico y magnético totales a través de la caja son iguales a cero

Aun si parte de la caja está en la región en la que E = B = 0

• Esto no sería el caso si o tuvieran una componente x, paralela a la dirección de propagación

Para satisfacer las ecuaciones 1 y 2 de Maxwell, los campos eléctrico y magnético deben ser perpendiculares a la dirección de propagación = onda transversal

E

B

32 .2 Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz 1097

cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación, se llama onda plana. En el caso que se ilustra en la figura 32.5, los campos son igual a cero para los planosque están a la derecha del frente de onda y tienen los mismos valores en todos los pla-nos ubicados a la izquierda del frente de onda; más adelante estudiaremos ondas planas más complejas.

No nos ocuparemos del problema de generar efectivamente una configuración decampo de este tipo; sólo preguntaremos si es congruente con las leyes del electromag-netismo, es decir, con las ecuaciones de Maxwell. Consideraremos sucesivamente cadauna de estas ecuaciones.

En primer lugar, verifiquemos si nuestra onda satisface la primera y segunda ecua-ciones de Maxwell, es decir, las leyes de Gauss de los campos eléctrico y magnético.Para ello, tomaremos como nuestra superficie gaussiana una caja rectangular con la-dos paralelos a los planos coordenados xy, xz y yz (figura 32.6). La caja no encierracargas eléctricas. Se puede demostrar que los flujos eléctrico y magnético totales através de la caja son iguales a cero, aun si parte de la caja está en la región en la que E 5 B 5 0. Esto no sería el caso si o tuvieran una componente x, paralela a la dirección de propagación. La prueba se deja como ejercicio para el lector (véase el pro-blema 32.42). Así, para satisfacer las ecuaciones primera y segunda de Maxwell, loscampos eléctrico y magnético deben ser perpendiculares a la dirección de propaga-ción; es decir, la onda debe ser transversal.

La siguiente ecuación de Maxwell por considerar es la ley de Faraday:

(32.1)

Para probar si nuestra onda satisface la ley de Faraday, aplicamos esta ley a un rectán-gulo efgh paralelo al plano xy (figura 32.7a). Como se observa en la figura 32.7b, lacual representa un corte transversal en el plano xy, este rectángulo tiene altura a y an-chura Dx. En el instante que se ilustra, el frente de onda ha avanzado parcialmente através del rectángulo, y es igual a cero a lo largo del lado ef. Al aplicar la ley de Fa-raday suponemos que el área vectorial del rectángulo efgh está en la dirección 1z.Con esta elección, la regla de la mano derecha indica que se requiere integrar ensentido antihorario alrededor del rectángulo. es igual a cero en todos los puntos dellado ef. En cada punto de los lados fg y he, es igual a cero o perpendicular a Sóloel lado gh contribuye a la integral, y sobre él y son opuestos, por lo que se obtiene

(32.2)

Por consiguiente, el lado izquierdo de la ecuación (32.1) es diferente de cero.Para satisfacer la ley de Faraday, ecuación (32.1), debe haber una componente de

en la dirección z (perpendicular a de manera que pueda haber un flujo magnéticoFB distinto de cero a través del rectángulo efgh y una derivada dFB>dt diferente decero. En realidad, nuestra onda tiene sólo la componente z. Hemos supuesto que estacomponente tiene la dirección z positiva; veamos si esta suposición es congruente conla ley de Faraday. Durante un intervalo de tiempo dt, el frente de onda se desplaza unadistancia c dt hacia la derecha en la figura 32.7b, y recorre un área ac dt del rectán-gulo efgh. Durante este intervalo, el flujo magnético FB a través del rectángulo efghse incrementa en dFB 5 B(ac dt), por lo que la tasa de cambio del flujo magnético es

(32.3)

Ahora, sustituimos las ecuaciones (32.2) y (32.3) en la ley de Faraday, ecuación (32.1),y obtenemos

(onda electromagnética en el vacío) (32.4)

Así, hemos demostrado que nuestra onda es congruente con la ley de Faraday sólo si su rapidez c y las magnitudes de los vectores perpendiculares y guardan la B

SES

E 5 cB

2Ea 5 2Bac

dFB

dt5 Bac

BS

ES

)BS

CES # d l

S5 2Ea

d lS

ES

d lS

.ES

ES

ES # d l

SdA

SES

CES # d l

S5 2

dFB

dt

BS

ES

El campo eléctrico es el mismo en las carassuperior e inferior de la superficie gaussiana,por lo que el flujo eléctrico total a través dela superficie es igual a cero.

El campo magnético es el mismo en las carasizquierda y derecha de la superficie gaussiana,por lo que el flujo magnético total a través dela superficie es igual a cero.

ES

ES

ES

ES

ES

BSB

SBSB

SBS

x

y

z

32.6 Superficie gaussiana para una ondaelectromagnética plana.

z

x

c dt

eaf

g

h

y

ES

ES

BSB

SBSB

S

BSB

SBSB

S

ESE

SES

a) En el momento dt, el frente deonda se desplaza una distancia c dten la dirección1x.

Ox

y

f

a

c dt

e

g

h

b) Vista lateral de la situación en a)

Dx

dlS

dlS

dlS

dlS

dAS

ES

BS

E 5 0S

B 5 0S

32.7 a) Aplicación de la ley de Faraday a una onda plana. b) En el momento dt, elflujo magnético a través del rectángulo enel plano xy se incrementa en una cantidaddFB. Este incremento es igual al flujo através del rectángulo sombreado, con áreaac dt; es decir, dFB 5 Bac dt. Por lo tanto,dFB>dt 5 Bac.

11



dt Aplicamos esta ley a un rectángulo efgh paralelo al plano xy (figura a)

• Un corte transversal en el plano xy (figura b) , muestra este rectángulo tiene altura a y anchura Δx

• En el instante que se ilustra, el frente de onda ha avanzado parcialmente a través del rectángulo, y

E = 0 a lo largo del lado ef

• Al aplicar la ley de Faraday, suponemos dA en la dirección +z

o La regla de la mano derecha ⇒E ⋅dl debe ser integrado en sentido

anti-‐horario alrededor del rectángulo • En cada punto de los lado fg y he,

E ⊥ d

l ⇒

E ⋅dl = 0 y del lado ef

E = 0

• Solo el lado gh contribuye a la integral, y por lo tanto: (13.1)

E ⋅dl∫ = −Ea

La onda

B tiene sólo una componente z en la dirección positiva

• Durante un intervalo de tiempo dt, el frente de onda se desplaza una distancia cdt hacia la derecha y recorre un área a cdt del rectángulo efgh

• Durante este intervalo, el flujo magnético ΦB a través del rectángulo efgh se incrementa en dΦB = B a cdt( ) , por lo que la tasa de cambio del flujo magnético es:

(13.2) dΦB

dt= Bac

• Segundo la ley de Faraday:


dt⇒−Ea = −Bac

(13.3) E = cB Así, encontramos que la onda plana es congruente con la ley de Faraday solo si la razón de las magnitudes de los vectores perpendiculares es constantes igual a la velocidad de propagación de las ondas






(32.1)


(32.2)



(32.3)




SES

E 5 cB

2Ea 5 2Bac

dFB

dt5 Bac

BS

ES

)BS

CES # d l

S5 2Ea

d lS

ES

d lS

.ES

ES

ES # d l

SdA

SES

CES # d l

S5 2

dFB

dt

BS

ES



ES

ES

ES

ES

ES

BSB

SBSB

SBS

x

y

z


z

x

c dt

eaf

g

h

y

ES

ES

BSB

SBSB

S

BSB

SBSB

S

ESE

SES


Ox

y

f

a

c dt

e

g

h


Dx

dlS

dlS

dlS

dlS

dAS

ES

BS

E 5 0S

B 5 0S







(32.1)


(32.2)



(32.3)




SES

E 5 cB

2Ea 5 2Bac

dFB

dt5 Bac

BS

ES

)BS

CES # d l

S5 2Ea

d lS

ES

d lS

.ES

ES

ES # d l

SdA

SES

CES # d l

S5 2

dFB

dt

BS

ES



ES

ES

ES

ES

ES

BSB

SBSB

SBS

x

y

z


z

x

c dt

eaf

g

h

y

ES

ES

BSB

SBSB

S

BSB

SBSB

S

ESE

SES


Ox

y

f

a

c dt

e

g

h


Dx

dlS

dlS

dlS

dlS

dAS

ES

BS

E 5 0S

B 5 0S


12

Nos queda a verificar la congruencia con la ley de Ampère:

B ⋅dl∫ = µ0 iC + ε0

dΦE

dt⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ enc

• No hay corriente de conducción (iC = 0), por lo que la ley de Ampère es:

(13.4)

B ⋅dl∫ = µ0ε0

dΦE

dt

• Movemos el rectángulo de manera que esté se encuentra sobre el plano xz, y de nuevo observamos la situación en un momento en que el frente de onda haya viajado parcialmente a través del rectángulo

• A aplicar la ley de Ampère, suponemos dA en la dirección +y

o La regla de la mano derecha ⇒B ⋅dl debe ser integrado en sentido

anti-‐horario alrededor del rectángulo • En cada punto de los lado fg y he,

B ⊥ d

l ⇒

B ⋅dl = 0 y del lado ef

B = 0

• Solo el lado gh contribuye a la integral, y por lo tanto: (13.5)

B ⋅dl∫ = Ba

Durante este intervalo, el flujo eléctrico ΦE a través del rectángulo efgh se incrementa en dΦE = E a cdt( ) > 0 , por lo que la tasa de cambio del flujo eléctrico es:

(13.6) dΦE

dt= Eac

• Substitución en la ley de Ampère da que: Ba = ε0µ0Eac (13.7) B = ε0µ0cE


relación que describe la ecuación (32.4). Observe que si supusiéramos que estabaen la dirección z negativa, habría un signo menos adicional en la ecuación (32.4); como E, c y B son todas magnitudes positivas no habría sido posible ninguna solución.Además, ninguna componente de en la dirección y (paralela a habría contribuidoal flujo magnético cambiante FB a través del rectángulo efgh (que es paralelo al pla-no xy), por lo que no sería parte de la onda.

Por último, se hace un cálculo similar empleando la ley de Ampère, el miembrorestante de las ecuaciones de Maxwell. No hay corriente de conducción (iC 5 0), porlo que la ley de Ampère es

(32.5)

Para comprobar si nuestra onda es congruente con la ley de Ampère movemosnuestro rectángulo de manera que esté sobre el plano xz, como se ilustra en la figura32.8, y de nuevo observamos la situación en un momento en que el frente de onda hayaviajado parcialmente a través del rectángulo. Tomamos el área vectorial en la di-rección 1y, y así, la regla de la mano derecha demanda que integremos en sen-tido antihorario alrededor del rectángulo. El campo es igual a cero en todos los puntosa lo largo del lado ef, y en todos los puntos sobre los lados fg y he es cero o perpendicu-lar a Sólo el lado gh, donde y son paralelos, contribuye a la integral, por loque se obtiene

(32.6)

Por consiguiente, el lado izquierdo de la ley de Ampère, ecuación (32.5), es diferentede cero; el lado derecho también debe ser diferente de cero. Así, debe tener unacomponente y (perpendicular a para que el flujo eléctrico FE a través del rectánguloy la derivada con respecto al tiempo dFE>dt puedan ser diferentes de cero. Llegamosa la misma conclusión que inferimos a partir de la ley de Faraday: en una onda elec-tromagnética, y deben ser perpendiculares entre sí.

En un intervalo de tiempo dt, el flujo eléctrico FE a través del rectángulo se incre-menta en dFE 5 E(ac dt). Como elegimos que estuviera en la dirección 1y, estecambio de flujo es positivo; la tasa de cambio del campo eléctrico es

(32.7)

Al sustituir las ecuaciones (32.6) y (32.7) en la ley de Ampère [ecuación (32.5)], seencuentra


De esta forma, la onda que hemos supuesto obedece la ley de Ampère sólo si la rela-ción entre B, c y E es la que describe la ecuación (32.8).

Nuestra onda electromagnética debe obedecer tanto la ley de Ampère como la deFaraday, de manera que las ecuaciones (32.4) y (32.8) deben satisfacerse. Esto sóloocurre si P0m0c 5 1>c, o:

(rapidez de las ondas electromagnéticas en el vacío) (32.9)

Al sustituir los valores numéricos de estas cantidades, encontramos que

5 3.00 3 108 m/s

c 51"18.85 3 10212 C2/N # m2 2 14p 3 1027 N/A2 2

c 51"P0 m0

B 5 P0 m0 cE

Ba 5 P0 m0 Eac

dFE

dt5 Eac

dAS

BS

ES

BS

)ES

CBS # d l

S5 Ba

d lS

BS

d lS

.

BS

BS # d l

SdA

S

CBS # d l

S5 m0 P0

dFE

dt

ES

)BS

BS

O x

z

f

a

c dte

g

h

b) Vista superior de la situación en a)

Dx

ES

BS

dlS dl

S

dlS dl

S

dAS

E 5 0S

B 5 0S

x

y

z ac dth

e

f

g

a) En un tiempo dt, el frente deonda se desplaza una distanciac dt en la dirección 1x.

ES

ES

BS

BSB

SBSB

S

BSB

SBS E

SESE

S

32.8 a) Aplicación de la ley de Ampèrea una onda plana. (Compare con lafigura 32.7a). b) En un tiempo dt, el flujoeléctrico a través del rectángulo en elplano xz se incrementa en una cantidaddFE. Este incremento es igual al flujo através del rectángulo sombreado con áreaac dt; es decir, dFE 5 Eac dt. Por lo tanto,dFE>dt 5 Eac.


relación que describe la ecuación (32.4). Observe que si supusiéramos que estabaen la dirección z negativa, habría un signo menos adicional en la ecuación (32.4); como E, c y B son todas magnitudes positivas no habría sido posible ninguna solución.Además, ninguna componente de en la dirección y (paralela a habría contribuidoal flujo magnético cambiante FB a través del rectángulo efgh (que es paralelo al pla-no xy), por lo que no sería parte de la onda.

Por último, se hace un cálculo similar empleando la ley de Ampère, el miembrorestante de las ecuaciones de Maxwell. No hay corriente de conducción (iC 5 0), porlo que la ley de Ampère es

(32.5)

Para comprobar si nuestra onda es congruente con la ley de Ampère movemosnuestro rectángulo de manera que esté sobre el plano xz, como se ilustra en la figura32.8, y de nuevo observamos la situación en un momento en que el frente de onda hayaviajado parcialmente a través del rectángulo. Tomamos el área vectorial en la di-rección 1y, y así, la regla de la mano derecha demanda que integremos en sen-tido antihorario alrededor del rectángulo. El campo es igual a cero en todos los puntosa lo largo del lado ef, y en todos los puntos sobre los lados fg y he es cero o perpendicu-lar a Sólo el lado gh, donde y son paralelos, contribuye a la integral, por loque se obtiene

(32.6)

Por consiguiente, el lado izquierdo de la ley de Ampère, ecuación (32.5), es diferentede cero; el lado derecho también debe ser diferente de cero. Así, debe tener unacomponente y (perpendicular a para que el flujo eléctrico FE a través del rectánguloy la derivada con respecto al tiempo dFE>dt puedan ser diferentes de cero. Llegamosa la misma conclusión que inferimos a partir de la ley de Faraday: en una onda elec-tromagnética, y deben ser perpendiculares entre sí.

En un intervalo de tiempo dt, el flujo eléctrico FE a través del rectángulo se incre-menta en dFE 5 E(ac dt). Como elegimos que estuviera en la dirección 1y, estecambio de flujo es positivo; la tasa de cambio del campo eléctrico es

(32.7)

Al sustituir las ecuaciones (32.6) y (32.7) en la ley de Ampère [ecuación (32.5)], seencuentra


De esta forma, la onda que hemos supuesto obedece la ley de Ampère sólo si la rela-ción entre B, c y E es la que describe la ecuación (32.8).

Nuestra onda electromagnética debe obedecer tanto la ley de Ampère como la deFaraday, de manera que las ecuaciones (32.4) y (32.8) deben satisfacerse. Esto sóloocurre si P0m0c 5 1>c, o:

(rapidez de las ondas electromagnéticas en el vacío) (32.9)

Al sustituir los valores numéricos de estas cantidades, encontramos que

5 3.00 3 108 m/s

c 51"18.85 3 10212 C2/N # m2 2 14p 3 1027 N/A2 2

c 51"P0 m0

B 5 P0 m0 cE

Ba 5 P0 m0 Eac

dFE

dt5 Eac

dAS

BS

ES

BS

)ES

CBS # d l

S5 Ba

d lS

BS

d lS

.

BS

BS # d l

SdA

S

CBS # d l

S5 m0 P0

dFE

dt

ES

)BS

BS

O x

z

f

a

c dte

g

h


Dx

ES

BS

dlS dl

S

dlS dl

S

dAS

E 5 0S

B 5 0S

x

y

z ac dth

e

f

g

a) En un tiempo dt, el frente deonda se desplaza una distanciac dt en la dirección 1x.

ES

ES

BS

BSB

SBSB

S

BSB

SBS E

SESE

S

32.8 a) Aplicación de la ley de Ampèrea una onda plana. (Compare con lafigura 32.7a). b) En un tiempo dt, el flujoeléctrico a través del rectángulo en elplano xz se incrementa en una cantidaddFE. Este incremento es igual al flujo através del rectángulo sombreado con áreaac dt; es decir, dFE 5 Eac dt. Por lo tanto,dFE>dt 5 Eac.

13

Para satisfacer ambos ley, de Faraday y Ampère, necesitamos que al mismo tiempo

EB= c y E

B= 1ε0µ0c

Esto implica que c2 = 1ε0µ0

es decir:

(13.8) c = 1ε0µ0

A substituir los valores numéricos de estas cantidades encontramos que

c = 1

8.85 ×10−12 C2

N ⋅m2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4π ×10−7 N

A2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≈ 3.00 ×108 ms

El modelo de onda plana es congruente con todas las ecuaciones de Maxwell, siempre y cuando su frente de onda se desplace con la rapidez de la luz Propiedades clave de las ondas electromagnéticas El modelo sencillo de onda plana ilustra varias características importantes de todas las ondas electromagnéticas: • La onda es transversal: o Tanto

E como

B son

perpendiculares a la dirección de propagación de la onda

o Los campos eléctrico y magnético también son perpendiculares entre sí

o La dirección de propagación es la dirección del producto vectorial E ×B

• Hay una razón definida entre las magnitudes E y B: E = cB o La onda viaja en el vacío con rapidez definida e invariable

• A diferencia de las ondas mecánicas, que necesitan de partículas oscilantes de un medio para transmitirse, las ondas electromagnéticas no requieren un medio o Lo que “ondula” en una onda electromagnética son los campos eléctricos y magnéticos mismo


La onda que supusimos es congruente con todas las ecuaciones de Maxwell, siemprey cuando su frente de onda se desplace con la rapidez indicada, la cual reconocemosde inmediato como ¡la rapidez de la luz! Observe que el valor exacto de c está defini-do como 299,792,458 m>s; el valor moderno de P0 se define de manera que concuerdecon esto cuando se utiliza en la ecuación (32.9) (véase la sección 21.3).

Propiedades clave de las ondas electromagnéticasPara nuestro estudio elegimos una onda simple con la finalidad de evitar complicacio-nes matemáticas, pero este caso especial ilustra varias características importantes detodas las ondas electromagnéticas:

1. La onda es transversal; tanto como son perpendiculares a la dirección depropagación de la onda. Los campos eléctrico y magnético también son per-pendiculares entre sí. La dirección de propagación es la dirección del productovectorial (figura 32.9).

2. Hay una razón definida entre las magnitudes de y 3. La onda viaja en el vacío con rapidez definida e invariable.4. A diferencia de las ondas mecánicas, que necesitan de partículas oscilantes de

un medio —como el agua o aire— para transmitirse, las ondas electromagnéti-cas no requieren un medio. Lo que “ondula” en una onda electromagnética sonlos campos eléctricos y magnéticos.

Podemos generalizar este análisis a una situación más realista. Suponga que tene-mos varios frentes de onda en forma de planos paralelos perpendiculares al eje x, todoslos cuales se desplazan hacia la derecha con rapidez c. Imagine que los campos y son iguales en todos los puntos dentro de una sola región comprendida entre dos pla-nos, pero que los campos difieren de una región a otra. La onda en su conjunto es plana,pero en ella los campos varían por etapas a lo largo del eje x. Se podría construir unaonda de este tipo sobreponiendo varias de las ondas de etapa sencilla que acabamosde estudiar (ilustradas en la figura 32.5). Esto es posible porque los campos y obedecen el principio de superposición en las ondas de la misma forma que en las si-tuaciones estáticas: cuando dos ondas se superponen, el campo total en cada puntoes la suma vectorial de los campos de las ondas individuales, y de manera similarpara el campo total.

Podemos ampliar lo anterior para demostrar que una onda con campos que varíanpor etapas también es congruente con las leyes de Ampere y Faraday, siempre y cuandotodos los frentes de onda se desplacen con la rapidez c dada por la ecuación (32.9).En el límite en que las etapas individuales se hacen infinitesimalmente pequeñas, setiene una onda en la que, en cualquier instante, los campos y varían continua-mente a lo largo del eje x. Todo el patrón del campo se traslada hacia la derecha conrapidez c. En la sección 32.3 se considerarán ondas en las que y son funciones si-nusoidales de x y t. Como en cada punto las magnitudes de y están relacionadasde acuerdo con E 5 cB, las variaciones periódicas de los dos campos en cualquier ondaperiódica viajera deben estar en fase.

Las ondas electromagnéticas tienen la propiedad de polarización. En el análisisanterior, la asignación de la dirección y para fue arbitraria. De igual manera podríamoshaber especificado el eje z para en tal caso, habría estado en la dirección 2y. Se dice que una onda en la que siempre es paralelo a cierto eje está polarizada linealmente a lo largo de ese eje. Más en general, cualquier onda que viaje en la di-rección x se puede representar como una superposición de ondas polarizadas lineal-mente en las direcciones y y z. En el capítulo 33 estudiaremos la polarización con másdetalle, con especial atención a la polarización de la luz.

*Deducción de la ecuación de onda electromagnéticaA continuación se presenta otra deducción de la ecuación (32.9) que describe la rapidezde las ondas electromagnéticas. Tiene más profundidad matemática que el tratamientoanterior, pero incluye una deducción de la ecuación de onda para las ondas electro-magnéticas. Esta parte de la sección puede omitirse sin perder continuidad en el estudiodel capítulo.

ES

BS

ES

;ES

BS

ES

BS

ES

BS

ES

BS

ES

ES

BS

ES

BS

ES

BS

: E 5 cB.ES

ES

3 BS

BS

ES

z

y

x

c

O908

Dirección de propagación 5 dirección de E 3 B.

ES

S

S S

S

BS

Regla de la mano derecha para una ondaelectromagnética

Apunte el pulgar de su mano derecha enla dirección de propagación de la onda.

Imagine que hace girar 90° el campovectorial E en el sentido en que se doblansus dedos.

Ésa es la dirección del campo B.

1

1

2

2

32.9 La regla de la mano derecha para lasondas electromagnéticas relaciona lasdirecciones de y con la dirección depropagación.

BS

ES

14

Deducción matemática de la ecuación de onda electromagnética

Consideramos una onda plana donde a cada instante Ey y Bz son uniformes en la totalidad de cualquier plano perpendicular al eje x, la dirección del la propagación de la energía Dejamos que Ey y Bz viarién continuamente a medida que se avanza sobre el eje x – en esta condición ambas son funciones de x y t: Ey x,t( ) y Bz x,t( ) Consideremos los valores de Ey y Bz en dos planos en dos planos perpendiculares al eje x y otro en x + Δx( ) Aplicamos la ley de Faraday a un rectángulo que yace paralelo al plano xy (a)

• El extremo izquierdo gh del rectángulo esta en la posición x y el extremo derecho ef se localiza en la posición x + Δx( )

• En el instante t los valores de Ey en estos dos lados son Ey x,t( ) y Ey x + Δx,t( ) respectivamente

Cuando aplicamos la ley de Faraday (sentido anti-‐horario) a este rectángulo encontramos que: (13.9)

E ⋅dl∫ = −Ey x,t( )a + Ey x + Δx,t( )a = a Ey x + Δx,t( )− Ey x,t( )⎡⎣ ⎤⎦

Para determinar el flujo magnético ΦB a través de este rectángulo se supone que Δx es suficientemente pequeño como para que Bz sea casi uniforme en todo el rectángulo

• En este caso ΦB = Bz x,t( )A = Bz x,t( )aΔx Por lo que:

(13.10) dΦB

dt=∂Bz x,t( )

∂taΔx


En nuestro análisis de las ondas mecánicas en la sección 15.3, demostramos queuna función y(x, t), la cual representa el desplazamiento de cualquier punto en una ondamecánica que viaja a lo largo del eje x, debe satisfacer la ecuación diferencial (15.12):

(32.10)

Esta ecuación se llama ecuación de onda, y v es la rapidez de propagación de la onda.Para deducir la ecuación correspondiente para una onda electromagnética, consi-

deramos una vez más una onda plana. Es decir, suponemos que en cada instante, Ey yBz son uniformes en la totalidad de cualquier plano perpendicular al eje x, la direcciónde propagación. Pero ahora dejamos que Ey y Bz varíen continuamente a medida quese avanza sobre el eje x; en esas condiciones, ambas son funciones de x y t. Conside-remos los valores de Ey y Bz en dos planos perpendiculares al eje x, uno en x y otro enx 1 Dx.

Siguiendo el mismo procedimiento anterior, aplicamos la ley de Faraday a un rec-tángulo que yace paralelo al plano xy, como se ilustra en la figura 32.10. Esta figuraes similar a la 32.7. El extremo izquierdo gh del rectángulo está en la posición x, y elextremo derecho ef se localiza en la posición (x 1 Dx). En el instante t, los valores deEy en estos dos lados son Ey(x, t) y Ey(x 1 Dx, t), respectivamente. Cuando aplicamosla ley de Faraday a este rectángulo, encontramos que en vez de comoantes, tenemos

(32.11)

Para determinar el flujo magnético FB a través de este rectángulo, se supone queDx es suficientemente pequeño como para que Bz sea casi uniforme en todo el rectán-gulo. En ese caso, FB 5 Bz(x, t)A 5 Bz(x, t)a Dx, y

Se utiliza notación de derivadas parciales porque Bz es función tanto de x como de t.Al sustituir esta expresión y la ecuación (32.11) en la ley de Faraday, ecuación (32.1),se obtiene

Por último, imaginemos que el rectángulo se encoge hasta quedar como una astilla,de manera que Dx tiende a cero. Cuando se toma el límite de esta ecuación como Dx S 0, se obtiene

(32.12)

Esta ecuación demuestra que si hay una componente Bz del campo magnético que va-ría con el tiempo, también debe haber una componente Ey del campo eléctrico que semodifica con x, y a la inversa. Por el momento dejaremos a un lado esta ecuación, perovolveremos a ella dentro de poco.

A continuación se aplica la ley de Ampère al rectángulo que se ilustra en la figu-ra 32.11. La integral de línea se convierte en

(32.13)

Suponiendo una vez más que el rectángulo es angosto, tomamos como aproximacióndel flujo eléctrico FE a través de él la expresión FE 5 Ey(x, t)A 5 Ey(x, t)a Dx. Por lotanto, la tasa de cambio de FE, que necesitamos para la ley de Ampère, es

dFE

dt5'Ey 1 x, t 2't

a Dx

CBS # d l

S5 2Bz 1 x 1 Dx, t 2a 1 Bz 1 x, t 2ar B

S # d lS

'Ey 1 x, t 2'x

5 2

'Bz 1 x, t 2't

Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2

Dx5 2

'Bz

't

a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 5 2

'Bz

't a Dx

dFB

dt5'Bz 1 x, t 2't

a Dx

5 a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 CES # d l

S5 2Ey 1 x, t 2a 1 Ey 1 x 1 Dx, t 2ar E

S # d lS

5 2Ea

'2y 1 x, t 2'x2

51

v2 '2y 1 x, t 2't2

O

y

zxe

a)

fg

ha

xDx

O

ESE

S

ES

BS

BSB

S

Ox

y

f

a

Dx

e

g

h


EyEy

AS

32.10 Ley de Faraday aplicada a unrectángulo con altura a y anchura Dxparalelo al plano xy.

y

zx

e

a)

h

xDx

O

a

gf

O

ES

BS

ES

BS

Ox

z

f

a

e

g

h


BzBz

Dx

AS

32.11 Ley de Ampère aplicada a unrectángulo con altura a y anchura Dxparalelo al plano xz.



(32.10)




(32.11)




(32.12)



(32.13)


dFE

dt5'Ey 1 x, t 2't

a Dx

CBS # d l


S # d lS

'Ey 1 x, t 2'x

5 2

'Bz 1 x, t 2't

Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2

Dx5 2

'Bz

't

a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 5 2

'Bz

't a Dx

dFB

dt5'Bz 1 x, t 2't

a Dx



S # d lS

5 2Ea

'2y 1 x, t 2'x2

51

v2 '2y 1 x, t 2't2

O

y

zxe

a)

fg

ha

xDx

O

ESE

S

ES

BS

BSB

S

Ox

y

f

a

Dx

e

g

h


EyEy

AS


y

zx

e

a)

h

xDx

O

a

gf

O

ES

BS

ES

BS

Ox

z

f

a

e

g

h


BzBz

Dx

AS


15

Al substituir esta expresión en la ley de Faraday obtenemos que:

a Ey x + Δx,t( )− Ey x,t( )⎡⎣ ⎤⎦ = −

∂Bz x,t( )∂t

aΔx⇒

⇒Ey x + Δx,t( )− Ey x,t( )⎡⎣ ⎤⎦

Δx= −

∂Bz x,t( )∂t

Tomando el limite: limΔx→0

Ey x + Δx,t( )− Ey x,t( )⎡⎣ ⎤⎦Δx

=∂Ey x,t( )

∂x esto nos da que:

(13.11) ∂Ey x,t( )

∂x= −

∂Bz x,t( )∂t

• Esta ecuación demuestra que si hay una componente Bz del campo

magnético que varía con el tiempo, también debe haber una componente Ey del campo eléctrico que se modifica con x, y a la inversa

Vamos ahora aplicar la ley de Ampère al rectángulo mostrado abajo en (a)

La integral de línea se convierte en: (13.12)

B ⋅dl∫ = −Bz x + Δx,t( )a + Bz x,t( )a = −a Bz x + Δx,t( )− Bz x,t( )⎡⎣ ⎤⎦

Y para el flujo eléctrico, suponiendo el rectángulo angosto

(13.13) dΦE

dt=∂Ey x,t( )

∂taΔx



(32.10)




(32.11)




(32.12)



(32.13)


dFE

dt5'Ey 1 x, t 2't

a Dx

CBS # d l


S # d lS

'Ey 1 x, t 2'x

5 2

'Bz 1 x, t 2't

Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2

Dx5 2

'Bz

't

a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 5 2

'Bz

't a Dx

dFB

dt5'Bz 1 x, t 2't

a Dx



S # d lS

5 2Ea

'2y 1 x, t 2'x2

51

v2 '2y 1 x, t 2't2

O

y

zxe

a)

fg

ha

xDx

O

ESE

S

ES

BS

BSB

S

Ox

y

f

a

Dx

e

g

h


EyEy

AS


y

zx

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a)

h

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O

a

gf

O

ES

BS

ES

BS

Ox

z

f

a

e

g

h


BzBz

Dx

AS




(32.10)




(32.11)




(32.12)



(32.13)


dFE

dt5'Ey 1 x, t 2't

a Dx

CBS # d l


S # d lS

'Ey 1 x, t 2'x

5 2

'Bz 1 x, t 2't

Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2

Dx5 2

'Bz

't

a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 5 2

'Bz

't a Dx

dFB

dt5'Bz 1 x, t 2't

a Dx



S # d lS

5 2Ea

'2y 1 x, t 2'x2

51

v2 '2y 1 x, t 2't2

O

y

zxe

a)

fg

ha

xDx

O

ESE

S

ES

BS

BSB

S

Ox

y

f

a

Dx

e

g

h


EyEy

AS


y

zx

e

a)

h

xDx

O

a

gf

O

ES

BS

ES

BS

Ox

z

f

a

e

g

h


BzBz

Dx

AS


16

Substituimos esta expresión en la ley de Ampère

−a Bz x + Δx,t( )− Bz x,t( )⎡⎣ ⎤⎦ = ε0µ0

∂Ey x,t( )∂t

aΔx⇒

⇒−Bz x + Δx,t( )− Bz x,t( )⎡⎣ ⎤⎦

Δx= ε0µ0

∂Ey x,t( )∂t

De nuevo tomando el limite: limΔx→0

Bz x + Δx,t( )− Bz x,t( )⎡⎣ ⎤⎦Δx

=∂Bz x,t( )

∂x

Tenemos por la ley de Ampère:

(13.14) −∂Bz x,t( )

∂x= ε0µ0

∂Ey x,t( )∂t

Si tomamos la derivadas parciales con respecto a x en ambos lado de la ecuación (13.11) y la derivadas parciales con respecto a t en ambos lado de la ecuación (13.14) encontramos que:

−∂2Ey x,t( )

∂x2=∂2Bz x,t( )∂x∂t

−∂2Bz x,t( )∂x∂t

= ε0µ0∂2Ey x,t( )

∂t 2

Combinando para eliminar Bz

(13.15) ∂2Ey x,t( )

∂x2= ε0µ0

∂2Ey x,t( )∂t 2

Esta ecuación es la ecuación típica de una onda mecánica; y x,t( ) = desplazamiento de cualquier punto de una onda mecánica que viaja a lo largo del eje x a la velocidad v:

(13.16) ∂2 y x,t( )∂x2

= 1v2

∂2 y x,t( )∂t 2

El campo eléctrico Ey se comporta como una onda que se desplaza a la velocidad

1v2

= ε0µ0 ⇒ v = 1ε0µ0

De manera similar, tomando la derivada parcial de la ecuación (13.11) con respecto a t y la derivada parcial de la ecuación (13.14) con respecto a x y combinando, encontramos para Bz:

−∂2Ey x,t( )∂x∂t

=∂2Bz x,t( )

∂t 2 y − 1ε0µ0

∂2Bz x,t( )∂x2 =

∂2Ey x,t( )∂x∂t

(13.17) ∂2Bz x,t( )

∂x2= ε0µ0

∂2Bz x,t( )∂t 2

17

Ondas electromagnéticas sinusoidales En una onda electromagnética sinusoidal, y en cualquier punto del espacio son funciones sinusoidales del tiempo, y en cualquier instante la variación espacial de los campos también es sinusoidal Las ondas electromagnéticas producidas por una carga puntual oscilante son un ejemplo de ondas sinusoidales que no son ondas planas Pero si restringimos nuestras observaciones a una región relativamente pequeña del espacio a una distancia suficientemente grande de la fuente, las ondas planas son una buena aproximación de estas ondas

La frecuencia f, la longitud de onda λ y la rapidez de propagación c de cualquier onda periódica guardan entre sí la relación c = λf Si la frecuencia f es la frecuencia de la línea de energía eléctrica de 60 Hz, la

longitud de onda es: λ = cf=3×108 m

s60Hz

≈ 5 ×106m = 5000km

¡que es del orden del radio de la Tierra! Para una onda con esta frecuencia, incluso una distancia de muchos kilómetros incluye sólo una pequeña fracción de la longitud de onda Pero si la frecuencia es 108 Hz (100 MHz), común para las emisiones de radio de

FM, la longitud de onda es: λ = cf=3×108 m

s108Hz

≈ 3m

y una distancia moderada incluye muchas ondas completas

E

B


una región relativamente pequeña del espacio a una distancia suficientemente grandede la fuente, las ondas planas son una buena aproximación de estas ondas (figura 32.12).Del mismo modo, la superficie curva de la Tierra (casi) esférica nos parece plana envirtud de nuestro pequeño tamaño en relación con el radio terrestre. En esta secciónrestringiremos nuestro análisis a las ondas planas.

La frecuencia f, la longitud de onda l y la rapidez de propagación c de cualquieronda periódica guardan entre sí la conocida relación entre longitud de onda y frecuen-cia, c 5 lf. Si la frecuencia f es la frecuencia de la línea de energía eléctrica de 60 Hz,la longitud de onda es

¡que es del orden del radio de la Tierra! Para una onda con esta frecuencia, inclusouna distancia de muchos kilómetros incluye sólo una pequeña fracción de la longitudde onda. Pero si la frecuencia es 108 Hz (100 MHz), común para las emisiones deradio de FM, la longitud de onda es

y una distancia moderada incluye muchas ondas completas.

Campos de una onda sinusoidalLa figura 32.13 muestra una onda electromagnética polarizada sinusoidal que viaja enla dirección 1x. Se muestran los vectores y correspondientes a unos cuantospuntos sobre el eje x positivo. Observe que los campos eléctrico y magnético oscilanen fase: es máximo donde también lo es, y es igual a cero donde también valecero. Advierta también que donde está en la dirección 1y, tiene la dirección 1z;y donde está en la dirección 2y, está en la dirección 2z. En todos los puntos, elproducto vectorial está en la dirección en que se propaga la onda (la dirección1x). Esto se mencionó en la sección 32.2 como una de las características de las ondaselectromagnéticas.

CUIDADO En una onda plana, y están en todas partes La figura 32.13 podría darla impresión errónea de que los campos eléctricos y magnéticos existen únicamente a lo largodel eje x. En realidad, en una onda plana sinusoidal hay campos eléctricos y magnéticos en todoslos puntos del espacio. Imagine un plano perpendicular al eje x (es decir, paralelo al plano yz) enun punto particular, en un momento dado; los campos tienen los mismos valores en todos lospuntos del plano. Los valores son diferentes para distintos planos. !

Podemos describir las ondas electromagnéticas por medio de funciones de onda,como se hizo en la sección 15.3 para el caso de las ondas en una cuerda. La ecuación(15.7) es una forma de la función de onda para una onda transversal que viaja en ladirección 1x a lo largo de una cuerda estirada:

donde y(x, t) es el desplazamiento transversal de su posición de equilibrio en el tiempo tde un punto con coordenada x sobre la cuerda. La cantidad A es el desplazamientomáximo, o amplitud, de la onda; v es su frecuencia angular, igual al producto de 2ppor la frecuencia f; y k es el número de onda, igual a 2p>l, donde l es la longitud deonda.

Dejemos que Ey(x, t) y Bz(x, t) representen los valores instantáneos de la compo-nente y de y la componente z de respectivamente, en la figura 32.13, y sea queEmáx y Bmáx representen los valores máximos, o amplitudes, de estos campos. De estaforma, las funciones de onda para la onda son

(32.16)

(onda electromagnética sinusoidal plana que se propaga en la dirección 1x)

Ey 1 x, t 2 5 Emáx cos 1 kx 2 vt 2 Bz 1 x, t 2 5 Bmáx cos 1 kx 2 vt 2BS

,ES

y 1 x, t 2 5 A cos 1 kx 2 vt 2

BS

ES

ES

3 BS

BS

ES

BS

ES

BS

ES

BS

ES

BS

ES

l 53 3 108 m/s

108 Hz5 3 m

l 5cf

53 3 108 m/s

60 Hz5 5 3 106 m 5 5000 km

Fuente de las ondaselectromagnéticas

Las ondas que pasan a través de una superficiegrande se propagan en diferentes direcciones …

… pero las ondas que pasan a través de un áreapequeña se propagan casi todas en la mismadirección, por lo que podemos tratarlas comoondas planas.

32.12 Las ondas que pasan a través de una pequeña área a una distancia suficientemente grande de la fuente pueden considerarse como ondas planas.

32.13 Representación de los camposeléctricos y magnéticos como funciones de x correspondientes a una ondaelectromagnética sinusoidal plana linealmente polarizada. Se ilustra unalongitud de onda de la onda en el tiempot 5 0. Los campos se indican sólo parapuntos a lo largo del eje x.

La onda viaja en la direcciónx positiva, en la misma direccióndel producto vectorial E 3 B.

y

z

x

O

c

ES

ES

E: sólo componente yB: sólo componente z

S

S

ES

BS

BS

S S

BS

18

Campos de una onda sinusoidal La figura muestra una onda electromagnética sinusoidal polarizada que viaja en la dirección +x Se muestran los vectores y correspondientes a unos cuantos puntos sobre el eje x positivo Los campos eléctrico y magnético oscilan en fase: es máximo donde también lo es, y es igual a cero donde también vale cero

• está en la dirección +y, tiene la dirección +z • Donde está en la dirección −y, está en la dirección −z • En todos los puntos, el producto vectorial

E ×B está en la dirección en que

se propaga la onda Para describir las ondas electromagnéticas sinusoidal usamos funciones de onda sinusoidal: para una onda transversal que viaja en la dirección +x

(13.18) Ey x,t( ) = Emax cos kx −ωt( )Bz x,t( ) = Bmax cos kx −ωt( )

• Ey(x, t) y Bz(x, t) representen los valores instantáneos de las componentes

de los campos • Emax y Bmax representen los valores máximos, o amplitudes, de estos

campos • ω es su frecuencia angular, igual al producto de 2π por la frecuencia f • k es el número de onda, igual a 2π λ donde λ es la longitud de onda

En forma vectorial:

(13.19)

E x,t( ) = j Emax cos kx −ωt( )B x,t( ) = k Bmax cos kx −ωt( )

Las amplitudes son relacionadas por la relación (leyes de Maxwell): (13.20) Emax = cBmax

E

B

E

B

E

B


una región relativamente pequeña del espacio a una distancia suficientemente grandede la fuente, las ondas planas son una buena aproximación de estas ondas (figura 32.12).Del mismo modo, la superficie curva de la Tierra (casi) esférica nos parece plana envirtud de nuestro pequeño tamaño en relación con el radio terrestre. En esta secciónrestringiremos nuestro análisis a las ondas planas.

La frecuencia f, la longitud de onda l y la rapidez de propagación c de cualquieronda periódica guardan entre sí la conocida relación entre longitud de onda y frecuen-cia, c 5 lf. Si la frecuencia f es la frecuencia de la línea de energía eléctrica de 60 Hz,la longitud de onda es

¡que es del orden del radio de la Tierra! Para una onda con esta frecuencia, inclusouna distancia de muchos kilómetros incluye sólo una pequeña fracción de la longitudde onda. Pero si la frecuencia es 108 Hz (100 MHz), común para las emisiones deradio de FM, la longitud de onda es

y una distancia moderada incluye muchas ondas completas.

Campos de una onda sinusoidalLa figura 32.13 muestra una onda electromagnética polarizada sinusoidal que viaja enla dirección 1x. Se muestran los vectores y correspondientes a unos cuantospuntos sobre el eje x positivo. Observe que los campos eléctrico y magnético oscilanen fase: es máximo donde también lo es, y es igual a cero donde también valecero. Advierta también que donde está en la dirección 1y, tiene la dirección 1z;y donde está en la dirección 2y, está en la dirección 2z. En todos los puntos, elproducto vectorial está en la dirección en que se propaga la onda (la dirección1x). Esto se mencionó en la sección 32.2 como una de las características de las ondaselectromagnéticas.

CUIDADO En una onda plana, y están en todas partes La figura 32.13 podría darla impresión errónea de que los campos eléctricos y magnéticos existen únicamente a lo largodel eje x. En realidad, en una onda plana sinusoidal hay campos eléctricos y magnéticos en todoslos puntos del espacio. Imagine un plano perpendicular al eje x (es decir, paralelo al plano yz) enun punto particular, en un momento dado; los campos tienen los mismos valores en todos lospuntos del plano. Los valores son diferentes para distintos planos. !

Podemos describir las ondas electromagnéticas por medio de funciones de onda,como se hizo en la sección 15.3 para el caso de las ondas en una cuerda. La ecuación(15.7) es una forma de la función de onda para una onda transversal que viaja en ladirección 1x a lo largo de una cuerda estirada:

donde y(x, t) es el desplazamiento transversal de su posición de equilibrio en el tiempo tde un punto con coordenada x sobre la cuerda. La cantidad A es el desplazamientomáximo, o amplitud, de la onda; v es su frecuencia angular, igual al producto de 2ppor la frecuencia f; y k es el número de onda, igual a 2p>l, donde l es la longitud deonda.

Dejemos que Ey(x, t) y Bz(x, t) representen los valores instantáneos de la compo-nente y de y la componente z de respectivamente, en la figura 32.13, y sea queEmáx y Bmáx representen los valores máximos, o amplitudes, de estos campos. De estaforma, las funciones de onda para la onda son

(32.16)

(onda electromagnética sinusoidal plana que se propaga en la dirección 1x)

Ey 1 x, t 2 5 Emáx cos 1 kx 2 vt 2 Bz 1 x, t 2 5 Bmáx cos 1 kx 2 vt 2BS

,ES

y 1 x, t 2 5 A cos 1 kx 2 vt 2

BS

ES

ES

3 BS

BS

ES

BS

ES

BS

ES

BS

ES

BS

ES

l 53 3 108 m/s

108 Hz5 3 m

l 5cf

53 3 108 m/s

60 Hz5 5 3 106 m 5 5000 km

Fuente de las ondaselectromagnéticas

Las ondas que pasan a través de una superficiegrande se propagan en diferentes direcciones …

… pero las ondas que pasan a través de un áreapequeña se propagan casi todas en la mismadirección, por lo que podemos tratarlas comoondas planas.

32.12 Las ondas que pasan a través de una pequeña área a una distancia suficientemente grande de la fuente pueden considerarse como ondas planas.

32.13 Representación de los camposeléctricos y magnéticos como funciones de x correspondientes a una ondaelectromagnética sinusoidal plana linealmente polarizada. Se ilustra unalongitud de onda de la onda en el tiempot 5 0. Los campos se indican sólo parapuntos a lo largo del eje x.

La onda viaja en la direcciónx positiva, en la misma direccióndel producto vectorial E 3 B.

y

z

x

O

c

ES

ES


S

S

ES

BS

BS

S S

BS

E

B

E

B

19

La figura muestra los campos eléctrico y magnético de una onda que viaja en la dirección x negativa Donde está en la dirección +y, tiene la dirección −z; y donde está en la dirección −y, está en la dirección +z

Las funciones de onda correspondientes:

(13.21)

E x,t( ) = jEmax cos kx −ωt( )B x,t( ) = − kBmax cos(kx −ωt)

• Los campos eléctrico y magnético oscilan en fase y en todos los puntos, el producto vectorial

E ×B está en la dirección en que se propaga la onda

Las ondas sinusoidales que se ilustran están linealmente polarizadas en la dirección y

• Donde el campo E siempre es paralelo al eje y

E

B

E

B

32 .3 Ondas electromagnéticas sinusoidales 1103

También es posible escribir las funciones de onda en forma vectorial:

(32.17)

CUIDADO El símbolo k tiene dos significados Advierta que existen dos k diferentes:el vector unitario en la dirección z, y el número de onda k. ¡No los confunda! !

Las curvas sinusoidales de la figura 32.13 representan valores instantáneos de loscampos eléctricos y magnéticos como funciones de x en el tiempo t 5 0, es decir,

y Conforme transcurre el tiempo, la onda viaja hacia la de-recha con rapidez c. Las ecuaciones (32.16) y (32.17) indican que en cualquier puntolas oscilaciones sinusoidales de y se encuentran en fase. De la ecuación (32.4) sedesprende que las amplitudes deben estar relacionadas mediante la expresión


Estas relaciones de amplitud y fase también son requisitos para que E(x, t) y B(x, t)satisfagan las ecuaciones (32.12) y (32.14), que provienen de la ley de Faraday y laley de Ampère, respectivamente. ¿Puede usted comprobar esto? (Véase el problema32.36.)

La figura 32.14 muestra los campos eléctrico y magnético de una onda que viaja enla dirección x negativa. En los puntos donde está en la dirección y positiva, se encuentra en la dirección z negativa; y donde está en la dirección y negativa, estáen la dirección z positiva. Las funciones de onda correspondientes a esta onda son

(32.19)

(onda electromagnética sinusoidal plana, que se propaga en la dirección 2x)

Al igual que ocurre con la onda que viaja en la dirección 1x, las oscilaciones sinusoi-dales de los campos y en cualquier punto se encuentran en fase, y el productovectorial apunta en la dirección de propagación.

Las ondas sinusoidales que se ilustran en las figuras 32.13 y 32.14 están lineal-mente polarizadas en la dirección y; el campo siempre es paralelo al eje y. El ejem-plo 32.1 se refiere a una onda linealmente polarizada en la dirección z.

ES

ES

3 BS

BS

ES

Ey 1 x, t 2 5 Emáx cos 1kx 1 vt 2 Bz 1x, t 2 5 2Bmáx cos 1kx 1 vt 2 BS

ES

BS

ES

Emáx 5 cBmáx

BS

ES

t 5 0 2 .BS 1 x,E

S 1 x, t 5 0 2 k

BS 1 x, t 2 5 kBmáx cos 1 kx 2 vt 2

Estrategia para resolver problemas 32.1 Ondas electromagnéticas

IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Muchas de las mismas ideasque se aplican a las ondas mecánicas (que estudiamos en los capítulos15 y 16) también se aplican a las ondas electromagnéticas. La caracte-rística novedosa es que la onda queda descrita por dos cantidades, elcampo eléctrico y el campo magnético en vez de una sola canti-dad, como el desplazamiento de una cuerda.

PLANTEAR el problema de acuerdo con los siguientes pasos:1. Dibuje un diagrama que señale la dirección de propagación de la

onda y las direcciones de y 2. Determine las variables buscadas.

EJECUTAR la solución, como sigue:1. Para problemas que impliquen ondas electromagnéticas, el mejor

enfoque es concentrarse en las relaciones básicas, como la rela-ción entre y (tanto de magnitud como de dirección), el modoen que se determina la rapidez de la onda, la naturaleza transversalde las ondas, etcétera. Hay que recordar estas relaciones mientrasse trabaja con los detalles matemáticos.

2. Para ondas electromagnéticas sinusoidales, es necesario utilizar ellenguaje desarrollado en los capítulos 15 y 16 para ondas mecáni-

BS

ES

BS

.ES

BS

,ES

cas sinusoidales. No dude en regresar para repasar el material ex-puesto en ellos, incluyendo las estrategias sugeridas para resolverproblemas.

3. Recuerde las relaciones básicas para las ondas periódicas: v 5 lf yv 5 vk. Para las ondas electromagnéticas en el vacío, v 5 c. Tengacuidado en diferenciar entre la frecuencia ordinaria f, que por lo ge-neral se expresa en hertz, y la frecuencia angular v 5 2pf, que seexpresa en rad>s. También recuerde que el número de onda es k 52p>l.

EVALUAR la respuesta: Verifique que el resultado sea razonable. Enel caso de las ondas electromagnéticas en el vacío, la magnitud delcampo magnético expresada en teslas es mucho menor (en un factor de3.00 3 108) que la del campo eléctrico expresada en volts por metro.Si la respuesta sugiere otra cosa, es probable que se haya cometido unerror al usar la relación E 5 cB. (Más adelante en esta sección, vere-mos que la relación entre E y B es diferente para las ondas electromag-néticas en un medio material.)

yLa onda viaja en la direcciónx negativa, que es la mismadel producto vectorial E 3 B.

x

O c

z

ES

ES

S SES


S

S

BS

BS

BS

32.14 Representación de una longitud de onda de una onda electromagnéticasinusoidal plana linealmente polarizada,que viaja en la dirección x negativa en elinstante t 5 0. Sólo se ilustran los camposcorrespondientes a puntos a lo largo del eje x. (Compare con la figura 32.13.)

ES 1 x, t 2 5 eEmáx cos 1 kx 2 vt 2

20

Ejemplo 12.1: Campos de un rayo láser Un láser de dióxido de carbono emite una onda electromagnética sinusoidal que viaja en el vacío en la dirección x negativa La longitud de onda 10.6µm (en el infrarrojo) y el campo

E z con magnitud

máxima de 1.5 MV/m

Un par de posibles funciones para esta onda es:

E x,t( ) = k Emax cos kx +ωt( )B x,t( ) = j Bmax cos kx +ωt( )

Segunda la ley de Faraday, Emax = cBmax

Bmax =Emaxc

= 1.5 ×106 V m

3.0 ×108 m s≈ 5.0 ×10−3T

Donde se uso las relaciones para las unidades: 1V = 1Wb/s y 1Wb/m2 = 1T Como se tiene que λ = 10.6 ×10−6m

k = 2πλ

= 2π rad10.6 ×10−6 m

≈ 5.93×105 radm

ω = ck = 3.00 ×108 ms

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 5.93×105 rad

m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≈1.78 ×10

14 rads

Al substituir en la ecuación de la onda:

E x,t( ) = k 1.5 ×106 V

m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos 5.93×105 rad

m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x + 1.78 ×1014 rad

s⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ t

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

B x,t( ) = j 5 ×10−3 T( )cos 5.93×105 rad

m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x + 1.78 ×1014 rad

s⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ t

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

NOTAS: • Como se esperaba, la magnitud Bmax es mucho menor que la magnitud Emax

• Una solución aún más general implica incluir una fase: kx +ωt +φ


Ondas electromagnéticas en la materiaHasta este momento, nuestro análisis de las ondas electromagnéticas se ha restringidoa ondas en el vacío. Pero las ondas electromagnéticas también viajan en la materia;piense en la luz que viaja a través del aire, el agua o el vidrio. En este apartado am-pliaremos nuestro estudio a las ondas electromagnéticas en materiales que no sonconductores, es decir, en dieléctricos.

En un dieléctrico, la rapidez de la onda no es la misma que en el vacío, y la denota-remos con v en vez de con c. La ley de Faraday no se altera, pero en la ecuación (32.4),obtenida de ella, se sustituye la rapidez c por v. En la ley de Ampère, la corriente dedesplazamiento está dada no por donde FE es el flujo de a través de unasuperficie, sino por donde K es la constante dieléctrica y P esla permitividad del dieléctrico. (Estas magnitudes se presentaron en la sección 24.4.)Asimismo, la constante m0 en la ley de Ampère debe sustituirse por m 5 Kmm0, dondeKm es la permeabilidad relativa del dieléctrico y m es su permeabilidad (véase la sec-ción 28.8). Por ello, las ecuaciones (32.4) y (32.8) se sustituyen por

(32.20)E 5 vB y B 5 PmvE

P dFE/dt 5 KP0 dFE/dt,ES

P0 dFE/dt,

Ejemplo 32.1 Campos de un rayo láser

Un láser de dióxido de carbono emite una onda electromagnética sinu-soidal que viaja en el vacío en la dirección x negativa. La longitud deonda es 10.6 mm y el campo es paralelo al eje z, con magnitud máxi-ma de 1.5 MV>m. Escriba las ecuaciones vectoriales para y comofunciones del tiempo y la posición.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Este problema tiene que ver con una onda electromag-nética sinusoidal del tipo descrito en esta sección.

PLANTEAR: Las ecuaciones (32.19) describen una onda que viaja enla dirección x negativa con a lo largo del eje y, es decir, una onda li-nealmente polarizada a lo largo del eje y. En contraste, la onda de esteejemplo está linealmente polarizada a lo largo del eje z. En los puntosen los que está en la dirección z positiva, debe estar en la direccióny positiva para que el producto vectorial esté en la dirección xnegativa (que es la dirección de propagación). La figura 32.15 ilustrauna onda que satisface estos requerimientos.

EJECUTAR: Un par de posibles funciones de onda que describen la on-da que se representa en la figura 32.15 son

BS 1 x, t 2 5 eBmáx cos 1 kx 1 vt 2 E

S 1 x, t 2 5 kEmáx cos 1 kx 1 vt 2ES

3 BS

BS

ES

ES

BS

ES

ES

El signo más en los argumentos de las funciones coseno indica que laonda se propaga en la dirección x negativa, como debería. La ley deFaraday requiere que Emáx 5 cBmáx [ecuación (32.18)], de manera que

Para comprobar la consistencia de las unidades, advierta que 1 V 51 Wb>s, y que 1 Wb>m2 5 1 T.

Se tiene que l 5 10.6 3 1026 m, por lo que el número de onda y lafrecuencia angular son

Al sustituir estos valores en las funciones de onda anteriores se obtiene

Con estas ecuaciones es posible encontrar los campos en el rayo láseren cualquier posición y tiempo en particular sustituyendo los valoresespecíficos de x y t.

EVALUAR: Como se esperaba, la magnitud Bmáx en teslas es muchomenor que la magnitud de Emáx en volts por metro. Para comprobar lasdirecciones de y observe que está en la dirección de

Esto es lo correcto para una onda que se propaga en la dirección x negativa.

Nuestras expresiones para y no son las únicas so-luciones posibles. Siempre es posible agregar una fase f a los argu-mentos de la función coseno, de manera que kx 1 vt se volvería kx 1vt 1 f. Para determinar el valor de f se necesitaría conocer y como funciones de x en un momento dado t o como funciones de t enuna coordenada dada x. Sin embargo, el enunciado del problema no in-cluye esta información.

BS

ES

BS 1 x, t 2E

S 1 x, t 2k 3 e 5 2 d.ES

3 BS

BS

,ES

1 1 1.78 3 1014 rad/s 2 t 4 BS 1 x, t 2 5 e 15.0 3 1023 T 2 cos 3 15.93 3 105 rad/m 2 x 1 1 1.78 3 1014 rad/s 2 t 4 ES 1 x, t 2 5 k 11.5 3 106 V/m 2 cos 3 15.93 3 105 rad/m 2 x 5 1.78 3 1014 rad/s

v 5 ck 5 1 3.00 3 108 m/s 2 1 5.93 3 105 rad/m 2 k 52p

l5

2p rad

10.6 3 1026 m5 5.93 3 105 rad/m

Bmáx 5Emáx

c5

1.5 3 106 V/m

3.0 3 108 m/s5 5.0 3 1023 T

sólo componente ysólo componente ysólo componente zsólo componente z

32.15 Diagrama para este problema.

21

Ondas electromagnéticas en la materia Las ondas electromagnéticas no son restringidas al vacío, también viajan en la materia:

• Ej. la luz viaja a través del aire, el agua o el vidrio Para ondas electromagnéticas que se propagan en materiales que no son conductores, es decir, en dieléctricos, la rapidez de la onda no es la misma que en el vacío, v ≠ c El otro cambio es que se debe substituir ε0 →ε yµ0 → µ Por lo que tenemos nuevas relaciones en las ecuaciones de Maxwell: (13.22) E = vB y B = εµvB Esto nos da una nueva relación para la velocidad de propagación de la onda:

(13.23) v = 1εµ

= 1KKm

1ε0µ0

= cKKm

Para la mayoría de los dieléctricos (excepto materiales ferromagnéticos aislantes), la permeabilidad relativa Km ≅ 1 de modo que

v = cK

Como K siempre es mayor que la unidad, la rapidez v de las ondas electromagnéticas en un dieléctrico siempre es menor que la rapidez c en el vacío por un factor de 1 K En óptica, la razón entre la rapidez c en el vacío y la rapidez v en un material = el índice de refracción n del material

(13.24) cv= n = KKm ≅ K

Por lo general, en esta ecuación no es posible utilizar los valores de K que se determino antes, porque esos valores se miden con base en campos eléctricos constantes

• Cuando los campos oscilan con rapidez, normalmente no hay tiempo para que ocurra la reorientación de los dipolos eléctricos que tiene lugar con los campos estáticos

• Los valores de K con campos que varían con rapidez, en general, son más pequeños que para campos estables

• Por ejemplo, el valor de K para el agua es de 80.4 con campos estables, pero sólo de 1.8 en el intervalo de frecuencias de la luz visible.

Así, la “constante” dieléctrica K en realidad es función de la frecuencia = función dieléctrica

22

Ejemplo 2: Ondas electromagnéticas en diferentes materiales a) ¿Como cambia la luz de una lámpara de sodio (una lámpara del alumbrado público) cuando pasa en un diamante? El vapor de sodio caliente de la lámpara emite luz amarilla con frecuencia de f = 5.09 × 1014 Hz.; a esa frecuencia, el diamante tiene las propiedades K = 5.84 y Km = 1.00

La longitud de onda en el vació: λvació =cf= 3.00 ×10

8 m s5.09 ×1014Hz

≈ 5.89 ×10−7m = 589nm

Esto es una luz roja La rapidez de la onda en el diamante cambia

v = cKKm

= 3.00 ×108 m s

5.84 1.00≈1.24 ×108 m

s

Esto es alrededor de dos quintos de la rapidez en el vacío La longitud de onda es proporcional a la rapidez de onda, por lo que se reduce en el mismo factor:

λvació =vf= 1.24 ×10

8 m s5.09 ×1014Hz

≈ 2.44 ×10−7m = 244nm

Esto es mucho más azul, por lo que el diamante parece ser azul b) Una onda de radio con frecuencia de 90.0 MHz (en la banda de radio de FM) pasa del vacío hacia un núcleo de ferrita aislante (un material ferromagnético que se utiliza en los cables de computadora para eliminar la interferencia de radio) A esta frecuencia, la ferrita tiene propiedades K = 10.0 y Km = 1000

La longitud de onda en el vació: λvació =cf= 3.00 ×10

8 m s90.0 ×106Hz

≈ 3.33m

La rapidez de la onda en el diamante cambia:

v = cKKm

= 3.00 ×108 m s

10.0 1000≈ 3.00 ×106 m

s

Soló 1% de la rapidez en el vacío

La longitud de onda λ ferita =vf= 3.00 ×10

6 m s90.0 ×106Hz

≈ 3.33×10−2m = 3.33cm

23

Energía y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas En una región de espacio vacío donde están presentes los campos y la densidad total de energía u está dada por:

(13.25) u = 12ε0E

2 + 12µ0

B2

Para las ondas electromagnéticas en el vacío, las magnitudes E y B están relacionadas por:

(13.26) B = Ec= ε0µ0E

Substituyendo B para E en la ecuación (13.25) :

(13.27) u = 12ε0E

2 + 12µ0

ε0µ0E( )2 = ε0E2

• Esto demuestra que en el vacío, la densidad de energía asociada con el

campo en la onda simple es igual a la densidad de energía de campo

• En general, la magnitud del campo eléctrico es función de la posición y el

tiempo, igual que para la onda sinusoidal; así, la densidad de energía u de una onda electromagnética, dada por la ecuación, también depende en general de la posición y el tiempo u = u x,t( )

Flujo de energía electromagnética y el vector de Poynting El sentido físico real de las ondas electromagnéticas es que represente en la propagación de energía:

• En la onda plana los campos y avanzan con el tiempo hacia regiones “del espacio” en las que originalmente no había campos, y llevan consigo la densidad de energía u conforme avanzan

• Esta transferencia de energía = energía transferida por unidad de tiempo por unidad de área de sección transversal, o potencia por unidad de área, perpendicular a la dirección en que viaja la onda = flujo de energía

E

B

E

B

E

E

B

24

Considere un plano estacionario, perpendicular al eje x, que coincida con el frente de onda en cierto momento En un tiempo dt el frente de onda se desplaza una distancia dx = c dt hacia la derecha del plano Considere un área A sobre este plano estacionario; la energía del espacio a la derecha de esta área debió haber pasado a través del área para llegar a la nueva ubicación El volumen dV es el producto del área de la base A por la longitud c dt, y la energía dU de esta región es el producto de la densidad de energía u por este volumen: dU = udV = ε0E

2( ) Acdt( )

El flujo de energía por unidad de tiempo por unidad de área, S, es:

(13.28) S = 1AdUdt

= ε0cE2

Usando la definición de la velocidad de la luz y la relación entre la magnitud del campo eléctrico y magnético:

(13.29) S = ε0ε0µ0

E2 = ε0µ0E2 = ε0

µ0E B

ε0µ0= EB

µ0

La unidad SI para S es S[ ] = Js ⋅m2 =

Wm2

De forma vectorial el flujo de energía que se propaga es igual a:

(13.30)

S = 1

µ0

E ×B

Donde el vector S = vector de Poynting

• Introducido por el físico británico John Poynting (1852-‐1914) • Su dirección es la misma que la dirección en que se propaga la energía

• Como E ⊥B la magnitud

S⎡⎣ ⎤⎦ =

EBµ0

32 .4 Energía y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas 1107

O

En el momento dt, el volumen entre el planoestacionario y el frente de onda contiene unacantidad de energía electromagnéticadU 5 uAc dt.

y

zx

c dt

A

Frente de onda en el tiempo dt posterior

Vector dePoynting

Planoestacionario

O

BS

BS

ES

ES

SS

32.17 Frente de onda en el momento dtdespués de haber pasado a través del planoestacionario con área A.

32.18 Estos paneles solares en el techo de un edificio están inclinados hacia el Sol,es decir, de frente al vector Poynting de las ondas electromagnéticas provenientesdel Sol; de esta forma, los paneles pueden absorber la máxima cantidad de energía de las ondas.

Para ver cómo se relaciona el flujo de energía con los campos, considere un planoestacionario, perpendicular al eje x, que coincida con el frente de onda en ciertomomento. En un tiempo dt después de eso, el frente de onda se desplaza una distanciadx 5 c dt hacia la derecha del plano. Si se considera un área A sobre este plano esta-cionario (figura 32.17), advertimos que la energía del espacio a la derecha de estaárea debió haber pasado a través del área para llegar a la nueva ubicación. El volumendV de la región en cuestión es el producto del área de la base A por la longitud c dt, y laenergía dU de esta región es el producto de la densidad de energía u por este volumen:

Esta energía pasa a través del área A en el tiempo dt. El flujo de energía por unidad detiempo por unidad de área, que llamaremos S, es

(en el vacío) (32.26)

Si empleamos las ecuaciones (32.15) y (32.25), obtenemos las siguientes formas al-ternativas:

(en el vacío) (32.27)

La deducción de la ecuación (32.27) a partir de la (32.26) se deja al lector (véase elejercicio 32.29). Las unidades S son energía por unidad de tiempo por unidad de área,o potencia por unidad de área. La unidad del SI para S es o 1 W>m2.

Es posible definir una cantidad vectorial que describa tanto la magnitud como ladirección de la tasa del flujo de energía:

(vector de Poynting en el vacío) (32.28)

El vector se denomina vector de Poynting, y fue introducido por el físico británicoJohn Poynting (1852-1914). Su dirección es la misma que la dirección en que se pro-paga la onda (figura 32.18). Como y son perpendiculares, la magnitud de es S5 EB>m0; según las ecuaciones (32.26) y (32.27), éste es el flujo de energía por uni-dad de área y por unidad de tiempo a través de un área de sección transversal per-pendicular a la dirección de propagación. El flujo total de energía por unidad detiempo (potencia, P) hacia fuera de cualquier superficie cerrada es la integral de sobrela superficie:

En el caso de las ondas sinusoidales que estudiamos en la sección 32.3, así comoen el de otras ondas más complejas, los campos eléctricos y magnéticos en un puntocualquiera varían con el tiempo, por lo que el vector de Poynting en cualquier pun-to también es función del tiempo. Puesto que las frecuencias de las ondas electro-magnéticas comunes son muy altas, la variación en el tiempo del vector Poynting estan rápida que lo más apropiado es examinar su valor medio. La magnitud del valormedio de en un punto recibe el nombre de intensidad de la radiación en ese punto.La unidad del SI para la intensidad es la misma que para S: 1 W>m2 (watt por metrocuadrado).

Veamos cuál es la intensidad de la onda sinusoidal descrita por las ecuaciones (32.17).Primero sustituimos y en la ecuación (32.28):

51m0

3 eEmáx cos 1 kx 2 vt 2 4 3 3kBmáx cos 1 kx 2 vt 2 4 SS 1 x, t 2 5

1m0

ES 1 x, t 2 3 B

S 1 x, t 2BS

ES

SS

P 5 CSS # dA

S

SS

SS

BS

ES

SS

SS

51m0

ES

3 BS

1 J/s # m2

S 5P0"P0 m0

E2 5 Å P0

m0 E2 5

EBm0

S 51A

dUdt

5 P0 cE2

dU 5 u dV 5 1 P0 E2 2 1Ac dt 2

25

El flujo total de energía por unidad de tiempo (potencia, P) hacia fuera de cualquier superficie cerrada = integral de S sobre la superficie total: (13.31)

P =

S ⋅dA∫

En el caso de ondas sinusoidales, o otras ondas más complejas, los campos eléctricos y magnéticos en un punto cualquiera varían con el tiempo

• Por lo que el vector de Poynting en cualquier punto también es función del tiempo

Puesto que las frecuencias de las ondas electromagnéticas comunes son muy altas, lo más apropiado es tomar valor medio

• La magnitud del valor medio de S en un punto = intensidad de la

radiación I en ese punto • Con unidad SI: 1 W/m2 (watt por metro cuadrado)

Primero sustituimos y en la ecuación (13.30):

S = 1

µ0

E x,t( )×

B x,t( ) =

= 1µ0

jEmax cos kx −ωt( )⎡⎣ ⎤⎦ × kBmax cos kx −ωt( )⎡⎣ ⎤⎦

Como j × k = i , y cos2 kx −ωt( ) nunca es negativo,

S x,t( ) siempre apunta en la

dirección x positiva (la dirección de propagación de la energía) La componente x del vector de Poynting es:

Sx x,t( ) = EmaxBmaxµ0

cos2 kx −ωt( ) = EmaxBmax2µ0

1+ cos2 kx −ωt( )⎡⎣ ⎤⎦

• El valor medio de cos2 kx −ωt( )ciclo

= 0 • Por lo que:

I = Smed =EmaxBmax2µ0

• La magnitud del valor medio de S x,t( ) para una onda sinusoidal (la

intensidad I de la onda) es1/2 del valor máximo De forma equivalente:

(13.32) I = Smed =EmaxBmax2µ0

= Emax2

2µ0c= 12

ε0µ0Emax2 = 1

2ε0cEmax

2

• En caso que la onda viaja en la dirección −x, el vector de Poyinting tiene

dirección −x pero con la misma magnitud

E

B

26

Ejemplo 4: Energía en una onda no sinusoidal Con respecto a una onda plana suponga que E = 100 V/m = 100 N/C y determine el valor B, la densidad de energía y la tasa de flujo de energía por unidad de área En la onda plana los campos eléctrico y magnético son uniformes detrás del frente de onda, por lo que B, u y S también deben ser uniformes detrás del frente de onda La magnitud del campo magnético:

B = Ec= 100V m3.00 ×108 m s

≈ 3.33×10−7 T

La densidad de energía: u = ε0E

2 = 8.85 ×10−12 C2 N ⋅m2( ) 100N C( )2 ≈ 8.85 ×10−8 N m2 = 8.858.85 ×10−8 J m3 La magnitud del vector de Poynting:

S = EBµ0

=100 V

m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 3.3×10

−7 T( )4π ×10−7 T ⋅m A

≈ 26.5 ×10−8V ⋅A m2 = 26.5W m2

Ejemplo 5: Energía en una onda sinusoidal Una estación de radio en la superficie terrestre emite una onda sinusoidal con una potencia total media de 50 kW El trasmisor irradia por igual en todas direcciones sobre el terreno calcule las amplitudes E y B detectadas por un satélite ubicado a 100 km de la antena

Asumimos que la intensidad es equivalente a la potencia media por unidad de área; El área de la superficie de un hemisferio de radio r = 100 km es: A = 2πr2 = 2π 1.00 ×105m( )2 ≈ 6.28 ×1010m2 Toda la potencia radiada pasa a través de esta superficie, por lo que:

I = PA= 5.00 ×104W6.28 ×1010m2 ≈ 7.96 ×10

−7 Wm2

Como I = Smed =Emax2

2µ0c⇒ Emax = 2µ0cSmed ≈ 2.45 ×10

−2 Vm

y Bmax =Emaxc

≈ 8.17 ×10−11T

32 .4 Energía y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas 1109

Ejemplo 32.4 Energía en una onda sinusoidal

Una estación de radio en la superficie terrestre emite una onda sinusoi-dal con una potencia total media de 50 kW (figura 32.19). Suponiendoque el trasmisor irradia por igual en todas direcciones sobre el terreno(lo que es improbable en situaciones reales), calcule las amplitudesEmáx y Bmáx detectadas por un satélite ubicado a 100 km de la antena.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Ésta es una onda sinusoidal, así que aplicamos la ideade que la intensidad es igual a la magnitud del valor medio del vector dePoynting. No se da el valor de la intensidad, pero sí el de la potenciatotal media del trasmisor. Se aprovecha la idea de que la intensidad esequivalente a la potencia media por unidad de área.

PLANTEAR: En la figura 32.19 se ilustra un hemisferio con radio de100 km en cuyo centro se encuentra el transmisor. Para hallar la inten-sidad I a esta distancia del transmisor, se divide la potencia media deltransmisor entre el área total del hemisferio. Después se utiliza la ecua-

ción (32.29) para determinar la magnitud del campo eléctrico, y laecuación (32.4) para encontrar la magnitud del campo magnético.

EJECUTAR: El área de la superficie de un hemisferio de radio r 5 100 km5 1.00 3 105 m es

Toda la potencia radiada pasa a través de esta superficie, por lo que lapotencia media por unidad de área (es decir, la intensidad) es

De acuerdo con las ecuaciones (32.29), I 5 Smed 5 Emáx2>2m0c, de ma-

nera que

De acuerdo con la ecuación (32.4) se tiene

EVALUAR: Advierta que la magnitud de Emáx es comparable con loscampos que se observan comúnmente en el laboratorio, pero Bmáx esextremadamente pequeña en comparación con los campos estudia-dos en capítulos anteriores. Por esta razón, la mayoría de los detectoresde radiación electromagnética responden al efecto del campo eléctrico,no del campo magnético. Una excepción son las antenas de espira pararadio.

BS

Bmáx 5Emáx

c5 8.17 3 10211 T

5 2.45 3 1022 V/m

Emáx 5 "2m0 cSmed

I 5PA

5P

2pR25

5.00 3 104 W

6.28 3 1010 m25 7.96 3 1027 W/m2

A 5 2pR2 5 2p 11.00 3 105 m 2 2 5 6.28 3 1010 m2

5 "2 1 4p 3 1027 T # m/A 2 1 3.00 3 108 m/s 2 17.96 3 1027 W/m2 2

Transmisor

Satélite

r 5 100 km

32.19 Una estación de radio irradia ondas hacia el interior delhemisferio que se ilustra.

Según la ecuación (32.25),

La magnitud del vector de Poynting es

5 26.5 V # A/m2 5 26.5 W/m2

S 5EBm0

51100 V/m 2 13.33 3 1027 T 2

4p 3 1027 T # m/A

5 8.85 3 1028 N/m2 5 8.85 3 1028 J /m3

u 5 P0 E2 5 18.85 3 10212 C2/N # m2 2 1100 N/C 2 2

EVALUAR: El resultado para S puede comprobarse aplicando unafórmula alternativa de la ecuación (32.26):

Como y tienen los mismos valores en todos los puntos detrásdel frente de onda, la densidad de energía u y la magnitud del vector dePoynting S también tienen el mismo valor en toda la región detrás delfrente de onda. Por delante del frente de onda, y , por loque u 5 0 y S 5 0; donde no hay campos, no hay energía de campo.

BS

5 0ES

5 0

BS

ES

5 26.5 W/m2

5 18.85 3 10212 C2/N # m2 2 1 3.00 3 108 m/s 2 1100 N/C 2 2

S 5 P0 cE2

Flujo de cantidad de movimiento electromagnéticay presión de radiaciónA partir de la observación de que se requiere energía para establecer campos eléctri-cos y magnéticos, hemos demostrado que las ondas electromagnéticas transportanenergía. También se puede demostrar que las ondas electromagnéticas llevan una can-tidad de movimiento p con una densidad de cantidad de movimiento correspondiente(cantidad de movimiento dp por volumen dV) de magnitud

(32.30)

Esta cantidad de movimiento es una propiedad del campo; no está asociada con lamasa de una partícula en movimiento en el sentido habitual.

Existe además tasa de flujo de cantidad de movimiento correspondiente. El volu-men dV ocupado por una onda electromagnética (rapidez c) que pasa a través de una

dp

dV5

EB

m0 c25

S

c2

27

Flujo de cantidad de movimiento electromagnética y presión de radiación Las ondas electromagnéticas llevan una cantidad de movimiento

p Por lo que la densidad de cantidad de movimiento correspondiente ( dp dV ):

(13.33) dpdV

= EBµ0c

2 =Sc2

• Esta cantidad de movimiento es una propiedad del campo; no está asociada con la masa de una partícula en movimiento en el sentido habitual (de hecho, el fotón, la partícula asociada a la onda electromagnética no tiene

masa y p = hν

c )

El volumen dV ocupado de la energía electromagnética que se desplaza a la rapidez c, y que pasa a través de una área A en el tiempo dt es dV = Ac dt

Sustituyendo en la ecuación (13.33): dpdV

= dpAcdt

= EBµ0c

2

La tasa de flujo de la cantidad de movimiento por unidad de área:

(13.34) 1Adpdt

= EBµ0c

= Sc

• Ésta es la cantidad de movimiento que se transfiere por unidad de área y por unidad de tiempo

• Al sustituir S por Smed = I en la ecuación (13.34) se obtiene la tasa media de

transferencia de cantidad de movimiento por unidad de área -‐ esto es que se mide

La cantidad de movimiento de la onda electromagnética es responsable del fenómeno de la presión de radiación:

• Cuando una onda electromagnética es absorbida por completo por una superficie, la cantidad de movimiento de la onda se transfiere a la superficie

• Si la superficie es perpendicular a la dirección de propagación, la tasa con que se transfiere la cantidad de movimiento a la superficie es igual a la

fuerza sobre la superficie dpdt

= F y 1Adpdt

= FA= Presión Pascal = N

m2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

• La presión de radiación prad, es el valor medio de dp/dt dividido entre el área absorbente A:

(13.35) 1A

dpdt

= prad =Smedc

= Ic

28

• Si la onda se refleja por completo, el cambio en la cantidad de movimiento es dos veces más grande, y la presión es:

(13.36) prad =2Smedc

= 2Ic

Ejemplo: Para la luz solar I ~1.4 kW/m2 (antes de pasar a través de la atmósfera terrestre) La presión media correspondiente sobre una superficie totalmente absorbente es:

prad−abs =Ic=1.4 ×103 W

m2

3.0 ×108 ms

≈ 4.7 ×10−6Pa

Donde se uso la relación para las unidades:

W m2

m s= W ⋅sm3 =

Js⋅s

m3 = N ⋅mm3 = N

m2 = Pa

La presión media sobre una superficie totalmente reflejante es el doble de esto:

prad−ref=2Ic

=1.4 ×103 W

m2

3.0 ×108 ms

≈ 9.4 ×10−6Pa

Éstas son presiones muy pequeñas, del orden de 10−10 atm, pero es posible medirlas con instrumentos sensibles

• La presión de la radiación de la luz solar es mucho mayor dentro del Sol o En el interior de las estrellas la presión de radiación ayuda a impedir

que ésta colapse bajo el efecto de su propia gravedad • La presión de radiación juga un papel importante en la teoría de la

formación y evolución de las estrellas: la fase de transformación de hidrógeno en helio (secuencia principal) corresponde a un equilibrio dinámico entre la presión de radiación y la gravedad; cuando la presión de radiación disminuye, la gravedad produce una contracción elevando la presión del gas que aumenta la producción de fotón y la presión de radiación re-‐estableciendo el equilibre

• El limite de Eddington corresponde para una masa dada a una presión de radiación máxima arriba de la cual la presión de radiación domina sobre la gravitación – esto produce los vientos solares (o de estrellas)

• Un agujero negro se forma cuando ninguna fuerza puede se oponer a la gravitación ni la presión de radiación, ni la fuerza de repulsión de Pauli (electrón repulsa electrón en gas degenerado) ni la repulsión neutrón-‐neutrón (en las estrellas a neutrones)

29

Ejemplo 5: Potencia y presión de la luz solar sobre un satélite

Un satélite en órbita alrededor de la Tierra tiene paneles recolectores de energía solar con área total de 4.0 m2 Si la radiación del Sol, perpendicular a los paneles, es absorbida por completo, ¿cual son la potencia media de la luz absorbida y la fuerza media asociada con la presión de radiación? Por definición:

P = IA = 1.4 ×103 Wm2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 4.0m

2( ) ≈ 5.6 ×103W = 5.6kW

La fuerza total sobre el satélite es:

F = pradA = 4.7 ×10−6 Nm2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 4.0m

2( ) ≈1.9 ×10−5N

Aunque la fuerza total de la radiación es comparable con el peso (en la Tierra) de un grano de sal, con el tiempo, esta pequeña fuerza llega a tener un efecto apreciable en la órbita de un satélite

• Se debe tomarse en cuenta esta fuerza haciendo pequeña corrección al orbita del satélite (o tomar la en cuenta en el tiempo de vida teórico del satélite)

32 .5 Ondas electromagnéticas estacionarias 1111

32.5 Ondas electromagnéticas estacionariasLas ondas electromagnéticas se reflejan; la superficie de un conductor (como una lá-mina metálica pulida) o de un dieléctrico (como una hoja de vidrio) pueden servir comoreflectores. El principio de superposición se cumple para las ondas electromagnéticasigual que para los campos eléctricos y magnéticos. La superposición de una onda in-cidente y una onda reflejada forma una onda estacionaria. La situación es análoga alas ondas estacionarias en una cuerda estirada que se estudiaron en la sección 15.7; esrecomendable repasar ese análisis.

Suponga que una hoja de un conductor perfecto (con resistividad igual a cero)se coloca en el plano yz de la figura 32.22, y una onda electromagnética lineal-mente polarizada que viaja en la dirección x negativa choca con ella. Como se vio enla sección 23.4, no puede tener una componente paralela a la superficie de un con-ductor perfecto. Por lo tanto, en esa situación, debe ser igual a cero en todo lugardel plano yz. El campo eléctrico de la onda electromagnética incidente no es cero entodo momento en el plano yz. Pero esta onda incidente induce corrientes oscilantesen la superficie del conductor, y estas corrientes dan origen a un campo eléctrico adicio-nal. El campo eléctrico neto, que es la suma vectorial de este campo y del incidente es igual a cero en todo lugar tanto en el interior como en la superficie del conductor.

Las corrientes inducidas sobre la superficie del conductor también producen unaonda reflejada que viaja hacia fuera del plano en la dirección 1x. Suponga que la on-da incidente está descrita por las funciones de onda de las ecuaciones (32.19) (unaonda sinusoidal que viaja en la dirección 2 x) y la onda reflejada por el negativo delas ecuaciones (32.16) (una onda sinusoidal que se desplaza en la dirección 1x). To-mamos el negativo de la onda dada por las ecuaciones (32.16) de manera que loscampos eléctricos incidente y reflejado se anulen en x 5 0 (el plano del conductor,donde el campo eléctrico total debe ser cero). El principio de superposición estableceque el campo total en cualquier punto es la suma vectorial de los campos de lasondas incidente y reflejada, y de manera análoga para el campo . Por lo tanto, lasfunciones de onda para la superposición de las dos ondas son las siguientes:

Bz 1 x, t 2 5 Bmáx 32cos 1 kx 1 vt 2 2 cos 1 kx 2 vt 2 4 Ey 1 x, t 2 5 Emáx 3cos 1 kx 1 vt 2 2 cos 1 kx 2 vt 2 4BS ES

ES

ES

,

ES

ES

Sensor solar (para mantenerlos paneles orientados haciael Sol)

Paneles solares

SS

SS

32.21 Paneles solares en un satélite.EJECUTAR: La intensidad I (potencia por unidad de área) es 1.4 3 103

W>m2. Aunque la luz proveniente del Sol no es una onda sinusoidalsimple, es posible usar la relación según la cual la potencia media P esel producto de la intensidad I por el área A:

La presión de radiación de la luz solar sobre una superficie absor-bente es La fuerza totalF es la presión prad por el área A:

EVALUAR: La potencia absorbida es considerable. Parte de ella sepuede utilizar para alimentar los equipos a bordo del satélite; el restocalienta los paneles, ya sea directamente o por ineficiencias de sus cel-das fotovoltaicas.

F 5 prad A 5 14.7 3 1026 N/m2 2 14.0 m2 2 5 1.9 3 1025 N

prad 5 4.7 3 1026 Pa 5 4.7 3 1026 N/m2.

5 5.6 3 103 W 5 5.6 kW

P 5 IA 5 11.4 3 103 W/m2 2 14.0 m2 2La fuerza total de la radiación es comparable con el peso (en la Tie-

rra) de un grano de sal. Sin embargo, con el tiempo, esta pequeña fuer-za llega a tener un efecto apreciable en la órbita de un satélite como elde la figura 32.21, por lo que la presión de la radiación debe tomarseen cuenta.

Evalúe su comprensión de la sección 32.4 La figura 32.13 muestra unalongitud de onda de una onda electromagnética sinusoidal en el instante t 5 0. ¿Paracuáles de los siguientes cuatro valores de x a) la densidad de energía es máxima; b) la densidadde energía es mínima; c) la magnitud instantánea (no media) del vector de Poynting alcanza sunivel máximo; d ) la magnitud instantánea (no media) del vector de Poynting alcanza su nivelmínimo? i) x 5 0; ii) x 5 l>4; iii) x 5 l>2; iv) x 5 3l>4.

!

y

z

x

Conductor perfecto

ES

BS

x 5 3l/4:plano antinodal de Eplano nodal de B

S

S

x 5 l:plano nodal de Eplano antinodal de B

S

S

32.22 Representación de los camposeléctricos y magnéticos de una ondaestacionaria linealmente polarizada cuandovt 5 3p>4 rad. En cualquier plano perpen-dicular al eje x, E es máxima (un antinodo)donde B es cero (un nodo), y viceversa.Conforme transcurre el tiempo, el patrónno se desplaza a lo largo del eje x; en vezde ello, los vectores y simplementeoscilan en todos los puntos.

BS

ES

?

30

Ondas electromagnéticas estacionarias Las ondas electromagnéticas se reflejan a la superficie de un conductor (como una lámina metálica pulida) o de un dieléctrico (como una hoja de vidrio) Aplicando el principio de superposición la superposición de una onda incidente y una onda reflejada = onda estacionaria Considere una hoja de un conductor perfecto en el plano yz, Una onda electromagnética linealmente polarizada viaja en la dirección x negativa choca con ella Como

E no puede tener una

componente paralela a la superficie de un conductor perfecto,

E = 0 en

todo lugar del plano yz

¡Pero, el campo eléctrico de la onda electromagnética incidente no es cero en todo momento en el plano yz!

• Se necesita tomar en cuenta que la onda incidente induce corrientes oscilantes en la superficie del conductor, y estas corrientes dan origen a un campo eléctrico adicional, de modo que es el campo eléctrico neto, la suma vectorial del campo adicional y campo y incidente, que es igual a cero en todo lugar tanto en el interior como en la superficie del conductor

Las corrientes inducidas sobre la superficie del conductor producen una onda reflejada que viaja hacia fuera del plano en la dirección x positiva

• Si la onda incidente = onda sinusoidal que viaja en la dirección −x , la onda reflejada = onda sinusoidal que se desplaza en la dirección +x

• Tomamos el negativo de la onda dada por las ecuaciones de manera que los campos eléctricos incidente y reflejado se anulen en x = 0 (el plano del conductor)






ES

ES

,

ES

ES


Paneles solares

SS

SS





F 5 prad A 5 14.7 3 1026 N/m2 2 14.0 m2 2 5 1.9 3 1025 N

prad 5 4.7 3 1026 Pa 5 4.7 3 1026 N/m2.

5 5.6 3 103 W 5 5.6 kW




!

y

z

x

Conductor perfecto

ES

BS


S

S


S

S


BS

ES

?

31

• El principio de superposición establece que el campo total en cualquier punto es la suma vectorial de los campos

Ey x,t( ) = Emax cos kx +ωt( )− cos kx −ωt( )⎡⎣ ⎤⎦Bz x,t( ) = Bmax −cos kx +ωt( )− cos kx −ωt( )⎡⎣ ⎤⎦

Estas expresiones se pueden expandir y simplificar con ayuda de las identidades: cos A ± B( ) = cosAcosB senA senB Esto nos da que:

(13.37) Ey x,t( ) = −2Emaxsenkx senωt

Bz x,t( ) = −2Bmax coskxcosωt

La condición Ey 0,t( ) = 0 y Ey x,t( ) = 0⇒ kx = 0,π ,2π ,...

• Para k = 2πλ esto implica que los planos nodales son:

(13.38) x = 0, λ2,λ, 3λ

2,...

• En los planos antinodales = punto medio entre dos planos nodales adyacentes cualesquiera, sen kx( ) = ±1⇒ E x,t( ) = 2Emax

Similaremente la condición para Bz x,t( ) = 0⇒ coskx = 0 implica planos nodales:

(13.39) x = λ

4, 3λ4, 5λ4,…

La figura muestra un patrón de onda estacionaria en cierto instante del tiempo El campo magnético no es igual a cero en la superficie conductora y no hay razón por la que debiera serlo Las corrientes superficiales que deben estar presentes para hacer que

E sea exactamente cero en la

superficie ocasionan campos magnéticos en esta última

• Entre los planos nodales de cada campo hay una separación de media longitud de onda

o Los planos nodales de un campo están en el punto medio entre los de otro; de esta forma, los nodos de

E coinciden con los antinodos de

B , y a la inversa






ES

ES

,

ES

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Paneles solares

SS

SS





F 5 prad A 5 14.7 3 1026 N/m2 2 14.0 m2 2 5 1.9 3 1025 N

prad 5 4.7 3 1026 Pa 5 4.7 3 1026 N/m2.

5 5.6 3 103 W 5 5.6 kW




!

y

z

x

Conductor perfecto

ES

BS


S

S


S

S


BS

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?

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El campo eléctrico total es una función seno de t, y el campo magnético total es una función coseno de t

• Las variaciones sinusoidales de los dos campos están 90o fuera de fase en cada punto

• En los momentos en que sen ωt( ) = 0 el campo eléctrico es cero en todo lugar, y el campo magnético es máximo

• Cuando cos ωt( ) = 0 el campo magnético es cero en todo lugar, y el campo eléctrico es máximo

Esto contrasta con lo que ocurre en una onda que viaja en una dirección, en las que las variaciones sinusoidales de

E y

B en cualquier punto en particular están en

fase Ondas estacionarias en una cavidad Cuando insertamos un segundo plano conductor, paralelo al primero a una distancia L de él, a lo largo del eje x – esto produce una cavidad donde la onda oscila:

• Ambos planos conductores deben ser planos nodales para E

• Una onda estacionaria puede presentarse sólo cuando el segundo plano está situado en alguna de las posiciones en las que E(x, t) = 0

• Es decir, para que exista una onda estacionaria, L debe ser un múltiplo entero de λ 2

• Las longitudes de onda que satisfacen esta condición son:

(13.40) λn =

2Ln

n = 1, 2, 3,…( ) Las frecuencias correspondientes son:

(13.41) fn =

cλn

= n c2L

n = 1, 2, 3,…( )

• Así, hay un conjunto de modos normales cada uno con frecuencia, forma

de la onda y distribución nodal características

• Midiendo las posiciones nodales es posible medir la longitud de onda • Si se conoce la frecuencia, se puede determinar la rapidez de onda

33

Un horno de microondas establece una onda electromagnética estacionaria con λ = 12.2cm una longitud de onda que el agua de los alimentos absorbe intensamente

• Como la onda tiene nodos separados por una distancia λ 2 = 6.1cm es necesario hacer girar los alimentos mientras se cocinan

o De lo contrario las partes que se encuentran en un nodo, donde la amplitud del campo eléctrico es igual a cero, permanecerían frías

Un láser tiene dos espejos:

• En la cavidad comprendida entre ellos se establece una onda estacionaria • Uno de los espejos tiene una pequeña apertura, parcialmente transmisora,

que permite que las ondas escapen por este extremo del láser Las superficies conductoras no son las únicas que reflejan a las ondas electromagnéticas

• La reflexión también ocurre en la interfaz entre dos materiales aislantes con diferentes propiedades dieléctricas o magnéticas

o El análogo mecánico es la unión de dos cuerdas con igual tensión pero distinta densidad de masa lineal

• En general, una onda incidente sobre una superficie limítrofe de este tipo se transmite parcialmente al segundo material y se refleja parcialmente de regreso hacia el primero

o Por ejemplo, la luz se transmite a través de una ventana de vidrio, pero sus superficies también reflejan la luz

34

Ejemplo 6: Intensidad en una onda estacionaria La intensidad I de la onda es el valor medio Smed de la magnitud del vector de Poynting Primero se calcula el valor instantáneo del vector de Poynting, y luego se promedia sobre un número entero de ciclos de la onda para determinar I

S x,t( ) = 1

µ0

E x,t( )×

B x,t( ) = 1

µ0−2 jEmaxsenkxcosωt⎡⎣ ⎤⎦ × −2kBmax coskx senωt⎡⎣ ⎤⎦ =

= i EmaxBmaxµ0

2senkxcoskx( ) 2senωt cosωt( ) = iSx x,t( )

Usando la identidad sen2A = senAcosA

Sx x,t( ) = EmaxBmaxsen2kx sen2ωtµ0

El valor medio de una función seno con respecto a cualquier número entero de ciclos es igual a cero I = Smed = 0

35

Ejemplo 7: Ondas estacionarias en una cavidad Se establecen ondas electromagnéticas estacionarias en una cavidad con dos paredes paralelas, altamente conductoras, separadas por una distancia de 1.50 cm a) Calcule la longitud de onda más larga y la frecuencia más baja de las ondas electromagnéticas estacionarias entre las paredes La longitud de onda más larga y la frecuencia más baja que son posibles corresponden al modo n = 1 λ1 = 2L = 2 1.50cm( ) = 3.00cm

Con frecuencia: f1 =c2L

= 3.00 ×108 m s2 1.50 ×10−2m( ) ≈1.00 ×10

10Hz = 10GHz

b) En el caso de la onda estacionaria con la longitud de onda más larga, ¿en qué parte de la cavidad

E tiene su magnitud máxima? ¿Dónde es igual a cero el campo

E ? ¿Dónde tiene

B su magnitud máxima? ¿Dónde es igual a cero el campo

B ?

Con n = 1 hay una sola media longitud de onda entre las paredes El campo eléctrico tiene planos nodales en las paredes y un plano antinodal (donde se presenta la magnitud máxima) equidistante de ambas El campo magnético tiene planos antinodales en las paredes y un plano nodal equidistante de ambas

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Cap. 13: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS