Cap 3 - Oppenheim

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  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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    Sistemas Dinâmicos LinearesELT 060 – Cap. 3

    Prof. Maurílio Nunes VieiraDepto. Engenharia Eletrônica - UFMG

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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    3.2 Reposta de SLITs a exponenciais

    complexas

    SLIT

    )( 0

    0)(

    ω σ  

    ω σ  

    e

    e

    eet  x

    st 

    t  j

    t  jt 

    =

    =

    ⋅=

    + )(t h

    ∫∞

    −∞=

    ⋅−⋅=

    τ 

    τ τ τ    d t  xht  y   )()()(

    ∫∞

    −∞=

    −⋅⋅=

      τ τ τ    d eh

      t s   )()(

    O sinal exponencial complexo não altera a sua forma sob umatransformação linear

    0σ     jsonde   +=

    0σ  

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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    Combinações lineares de autofunções

    SLIT

    Importância das exponenciais complexas em sistemas LIT

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    3.10 – Resposta em freqüência/filtragem em SLITs

    SLITt  jst  eet  x

     js

    ω 

    σ  

    σ  

    ==

    =

    +=

    )(

    então,0Se

    0

    Oscilações harmônicas nãoamortecidas

    t  je j H t  y   ω ω   ⋅=   )()(

    “reposta em freqüência”

    Importância das exponenciais complexas em sistemas LIT

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    3.10 – Resposta em freqüência/filtragem em SLITs

    2)(1

    1)(

     RC  j H 

    ⋅+

    =

    ω 

    ω 

    Frequência de corte 

    1

    2

    1

    Filtro passa-baixas de 1ª. ordem

     

    )(   RC atang−=

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     Autovetores e autovalores

    =

    2

    1

    2

    1

    2221

    1211

     y

     y

     x

     x

    hh

    hh

    entrada saídaTransformação

    yxH   =⋅

    Representação matricial

    linear

    Se

    x

    ⋅H   =

    xy   λ =

    Entrada e saídacolineares

    autovetor autovalor

    IxxxH   λ λ    ==⋅

    0xHI   =⋅−   )(λ 

    21,0   λ λ λ    K→=−HI

    Representação de sitemas por Espaço de Estados...

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    Noção de espaço de estados

    )()(012

    2

    t ut  yadt 

    dya

    dt 

     yd =⋅+⋅+

    u ya ya y   =⋅+⋅+   01   &&&

    &&&

    Equaçãodiferencial de

    ordem N

    N equações de1ª. ordem

    Equaçãode estado

    entradasaída

    =

    =

    → +⋅−⋅−==

    ==

    → =

    =

    Cx y

    u

    u xa xa y x y x 1021221

    2

    1

    &&&&

    [ ]01,1

    0,

    10,

    212

    1=

    =

    −−

    =

    =   CBAx

    aa x

     x

    Equaçãode saída

    Uso de técnicas de álgebra linear; controle multivariável

    “estados”

    (representaçãointerna dosistema)

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    Combinação linear de sinais de umconjunto básico (base ortogonal)

    Debate matemático: Euler (1748)

    configurações da corda vibrante = ∑modos normais

    3.1 Séries de Fourier (história) Euler

    Bernoulli

    Bernoulli (1753): Superposição supostamente válida para todos os

    movimentos físicos

    Lagrange (1758): crítico do uso de sériestrigonométricas (não válidas para representarquebras ou descontinuidades)

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    Fourier (1807-1822) –Propagação e difusão do calor “qualquer” sinal periódico poderia

    ser representado por um somatório(série trigonométrica) → Ira deLagrange; apoio de Laplace,Lacroix e Monge.

    Lagrange Fourier

    mas, a série trigonométrica: aplica-se a quase todos os sinais deinteresse na engenharia → condições de Dirichlet

    Grande contribuição:representação de sinaisaperiódicos por uma integral(“Transformada de Fourier”)

    Laplace

    Dirichlet

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    3.3 Série de Fourier (forma exponencial)

    Sinal periódico Série de Fourier

    LL   t 

    0

    )(t  x T 

    2=

    0⋅k 

    k  A

    0   1   2   3   4   5

    L

    SF 

    1−2−3−4−5−

    magnitude

    θ 

    Espectrode frequências

    t k  j

    k k    eat  x

      )( 0)(  ω ⋅=

     ∑

    −∞=

    fasores   0k ase

    Demonstração (editor de áudio)

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    Série complexa de Fourier

     x(t ) periódico 

    ak  é, em geral, complexo 

    t k  j

    k    eat  x  )( 0)(  ω ⋅= ∑

    −∞=

    T π 2

    0  =

    k k 

     j

    k k    jC  Be Aa  k  +=⋅=  θ 

    ( ) ( )22 k k k    C  B A   +=

    ) / (tan  1

    k k k    BC −

    =θ 

    re

    im

    k  B

    k C 

     Ak θ 

    ak  = coeficientes a serer determinados!

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    Ex 3.2

    k a

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    Ex. 3.3

    Ver Exemplo 3.4

    Complete:Complete:

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    14/47

    Formas alternativas

     x(t ) periódico e real

    )]()[cos()( 00   t k  jsent k at  xk 

    k    ω ω    +⋅= ∑∞

    −∞=∞∞

    )( k k    aa −∗=

    4 4 4 34 4 4 214 4 4 34 4 4 21)()(0

    0

    0,

    )cos()cos(

    0

    0,

    0

    θ θ θ θ    −−==

    ≠−∞=

    −=

    ≠−∞=

    sensen pois

    k k 

    k k 

    )cos(2)( 00,

    0   t k aat  xk k 

    k    ω ⋅+=   ∑∞

    ≠−∞=

    ∑∞

    =

    +=1

    0   ][2  0

    t  jk 

    k ea Rea  ω 

    ak  = em geral, complexo, no livro texto (Oppenheim & Willsky)

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    Formas alternativas

    Se x(t ) é periódico e real 

    )cos(2)( 01

    0   t k aat  xk 

    k    ω ⋅+=   ∑

    =

    ak  = Bk + jC k

    ⋅=

    1k =

    43421  )cos(2)cos(2

    0

    1

    0

    1

    0  t k  jC t k  Ba

    k    ω ω    ⋅+⋅+=   ∑∑  ∞

    =

    =

    )]sen()cos([2)(00

    1

    0  t k C t k  Bat  x k 

    k    ω ω    −⋅+=   ∑∞

    =

     Bk  e C k = reais; determinam a fase do k-ésimo harmônico!

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    Formas alternativas

    Se x(t ) é periódico e real 

    ∑∞

    =

    ⋅+=1

    0   ][2)(  0

    t  jk  jk    ee Areat  x

      k    ω θ 

    ) / (tan  1

    k k k    BC −

    =θ 

    k k 

     j

    k k    jC  Be Aa  k  +=⋅=  θ 

    ( ) ( )22 k k k    C  B A   +=

    ∑=+

    ⋅+=1

    )(

    0   ][2  0

    t k  j

    k k 

    e Area  θ 

    =

    +⋅+=1

    00   )cos(2)( k k k    t k  Aat  x

      θ ω 

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    Determinação dos coeficientes ak 

    *síntese

    T dt e

     j

    ∫   =⋅0

    0Área do período deuma (co)senoide

    k n

    k nT an

    =⋅

    ,0

    ,

    * análise

    Valor médio (DC)

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

    18/47

    Ex. 3.5

    )(

    )(2

    10

    101

    T k 

    T k sen

    ⋅⋅

    ⋅⋅=

    ω 

    continua...

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

    19/47

    Ex. 3.5

    )(

    )(2

    10

    101

    T k 

    T k sen

    T ak 

    ⋅⋅

    ⋅⋅=

    ω 

    14T T  =

    zeros4 / 

    1 =T T 

    SF

    18T T  =

    116T T  =

    0)(10  =⋅⋅   T k sen   ω 

    π π 

    mT T 

    k    =⋅⋅   12

    12  T 

    T mk  =→

    zeros

    T aumenta , ω0 diminui. Espectro mais denso

    inteiro

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    Ex. 3.62 (retificador de onda completa)

      −⋅=

    t  jk 

    k    dt et  xT a

      0

    )(

    1   ω 

    ∫  −⋅=

    T dt t k  jt k t  xT  )]sen()[cos()(

    1

    00  ω ω 

    −⋅=  1

    ] / [2],[,|)cos(|)(0   srad sT t t  x   ===   ω π 

    ⋅=  1

    2π 

    2π −

    π π −

    )(t  x

    LL

    k dt kt t T 

    ∀=⋅∫   ,0)2(sen)cos(

    T π 

    T π 

    =−++= ∫2 / 

    0

    21 )]21cos()21[cos(2

    1  π 

    π dt k t k    =

    −+

    +

    +=

    2 / 

    021

    )21(

    21

    )21(1  π 

    π    k 

    t k sen

    t k sen

    −+

    +

    +=

    k sen

    k sen

    21

    )(

    21

    )(1 22   π π 

    π 

    π π 

    k )1(−

    )41(

    )1(22

    k a

    k −

    −=→π 

    Ex.: use a fórmula de Euler e mostre que   k k senk sen   )1()()( 22   −=−=+   π π    π π 

    ,...)4,2,0(1   ±±=k 

    ,...)3,1(1   ±±=−   k  Traçar espectro...

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     Analisadores harmônicos (séc. XIX)

    Erro nas descontinuidades de ondas quadradas  → Josiah Gibbs (1989)

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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    3.4 Convergência da série de Fourier

    Sinal c/ descontinuidades: série sintetizada difere do sinaloriginal. Exemplo: (Fenômeno de Gibbs) média da descontinuidade

    Motivo da discórdia de Euler eLagrange

    Convergência pela minimização daenergia do “sinal de erro”→ aplicação adiversos sinais com discontinuidade deinteresse na engenharia

    Amplitude dos picosnão diminui comaumento de N

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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    Minimização da energia do erro Seja a aproximação por uma série de N elementos:

    (reais)

    0=∂

     N 

    a

     E 

    02)(2   00  2

    =⋅+⋅− ∫∫T 

    t k  j

    t  jk 

     N    dt eadt et  x  ω ω 

    Detalhes nopróximo slide

    (energia do erro)

    ∫   ∑−= T    k t  jk 

    k  N  N    dt eat  x E   2

    ])([  0ω 

    ∫   ∑∑   +−=T    k 

    t k  j

    t  jk 

    k  N  N    dt eaeat  xt  x   ])(2)([  00   222   ω ω 

    ∫∫   =⋅−

    t  jk k  N 

    t k  j dt adt eat  xe   00 )(2   ω ω 

    ∫  −⋅=

    t  jk 

     N k    dt et  xT 

    a   0)(1   ω 

     x N (t ) e sua série não são necessariamente iguais, mas   0→ N  E 

    (reais)

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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    =+−= ∫   ∑∑T    k 

    t k  j

    t  jk 

    k  N  N n   dt eaeat  xt  x E    ])(2)([  00   222   ω ω 

    ++++

    ++++−

    +=

    t  N  j

     N 

    t k  j

    t  jt  j

    t  jN  N t  jk k t  jt  j N 

     N 

    dt eaeaeaea

    dt eaeaeaeat  x

    dt  x

    ][

    ])[(2

    ][

    0000

    0000

    222242

    2

    22

    1

    2

    21

    2

    ω ω ω ω 

    ω ω ω ω 

    LL

    LL

    LL   +− ∫T 

    t  jk 

     N k    dt et  xa  0)(2

      ω 

    0=∂

     N 

    a

     E 02)(2   00

      2=⋅+⋅−∴ ∫∫

    t k  j

    t  jk 

     N    dt eadt et  x  ω ω 

    LL   ++ ∫T 

    t k  j

    k    dt ea  022   ω 

    ∫∫   =⋅→T 

    t k  j

    t  jk 

     N    dt eadt et  x  00   2)(  ω ω 

    ∫∫  −−

    =⋅→

    t k  jt k  j

    t  jk 

     N 

    t k  jdt eeadt et  xe   0000

      222)(

      ω ω ω ω 

    ∫∫   =⋅→  −

    t  jk  N    dt adt et  x

      0)(   ω  T adt et  x k T 

    t  jk  N    ⋅=⋅→ ∫

      − 0)(   ω  ∫  −⋅=→

    t  jk  N k    dt et  x

    T a   0)(1   ω 

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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    Condições de existência da série

    Energia finita por período

    Descontinuidades → Condições de Dirichlet:  x(t ) é equivalente à série exceto nas descontinuidades

     Condição 1: Integrabilidade absoluta Viola Condição 1

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

    26/47

    Condições de existência da série

    Descontinuidades → Condições de Dirichlet:  x(t ) é equivalente à série exceto nas descontinuidades

    Condição 2: número finito demáximos e mínimos num

    período qualquer

    Condição 3: número finito dedescontinuidades num

    período qualquer

    Viola Condição 2 Viola Condição 3

    Sinais de menor interesse na Engenharia

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

    27/47

    Sumário (convergência)

     x(t ) periódico e sem descontinuidades: a série de Fourierconverge e é igual a x(t ) para todo t .

     x(t ) periódico e com no

    finito de descontinuidades porperíodo: a série de Fourier converge e é igual a x(t ) paratodo t exceto nas descontinuidades

    descontinuidade. A energia do sinal de erro é nula

    0])([  20 =−=

    ∫  ∑

    −∞=T    k 

    t k 

    k    dt eat  x E   ω 

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

    28/47

    Propriedades da série de Fourier de tempo contínuo (1/2)

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

    29/47

    Propriedades da série de Fourier de tempo contínuo (2/2)

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

    30/47

    Propriedades principais

    Deslocamento no tempo

    defasagem

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

    31/47

    Retificador de onda completa revisitado

    |)cos(|)(   t t  x   =)41(

    )1(22

    k a

    −= →←π 

    F

    2π 

    2π −

    π π −

    )(t  x

    LL

    |)cos(||)cos(||)en(|)(02

      t t t t st  y   ±=±==   π 

    )(t  y

    LL

    t  jk S    00⋅⋅−   ω F

    2,   ==   ω π T 

    Ex. 3.62

    22−

    π − k k 

    )41(

    )1(22

    )2 / ()2(

    k eb

    k  jk 

    k −

    −⋅=∴

      ±⋅⋅−

    π 

    π 

    )41(

    )1(22

    k e

    k  jk 

    −⋅=

      ⋅±

    π 

    π 

    )41(

    12

    )41(

    )1(222

    2

    k b

    k   k 

    −=→

    −=

    π π 

    Propriedade do deslocamento; ver também Ex. 3.6

    0T 2=ω 

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

    32/47

    )(

    )(

    210

    101

    T k 

    T k sen

    ak s

    ⋅⋅

    ⋅⋅

    = →← ω 

    F

    )(t  x

    1

    4,11

      ==   T T 

    2

    20

    π π ω    ==

    1   22−   1−

    2

    12   1

    0   +==T 

    T a

      ≠⋅⋅− 0,00 k ae   t  jk  ω )(t  y

    L´hopital

    )('

    )('lim

    )(

    )(lim

    00  xg

     x f 

     xg

     x f 

     x x   →→=)2 / (

    )2 / (

    2

    1

    π 

    π 

    ⋅=

    k senak 

    Ex. 3.6)

    )2 / (

    )2 / (

    2

    12 / 

    0   π 

    π π 

    k seneb

      jk 

    ⋅−

    =→

    Aplicação da propriedade do deslocamento

    2

    −−=   t  xt  y

      ==−

    =→←

    0,021 k ak k 

     jk 

    k    aeb  1)2 / (

    0

    ⋅⋅−

    =∴  π 

    10 =T 

    ( )   k k  j  je   )(2 /  −=⋅−   π 

    2 / 0   π =

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

    33/47

     Algumas simetrias do espectro

    ∫  −⋅=

    t  jk 

    k    dt et  xT 

    a   0)(1   ω 

     par erealé t  xSe   )(

    ∫   −⋅=T 

    dt t k  jt k t  xT 

    )]sen()[cos()(1

    00  ω ω 

    ∫∫   ⋅⋅−⋅⋅=T T 

    dt t k t  xT 

     jdt t k t  xT 

    )sen()(1

    )cos()(1

    00  ω ω 

    )(   par erealé ak S F

    k k k    jC  Ba   +=

    0=k C 0≠k  B

    ímpar erealé t  xSe   )(

    ∫∫   ⋅⋅−⋅⋅=T T 

    k    dt t k t  xT 

     jdt t k t  xT 

    a   )sen()(1)cos()(100

      ω ω 

    0=k  B   0≠k C 

    )(   ímpar eimaginárioé ak 

    S F

    k  jk k    e Aa   θ =   ímpar  par  Arealt  xsequese Demonstra k k    ==−   θ ,:)(

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

    34/47

    Propriedades: algumas demonstrações

    Relação de Parserval

    Potência média do sinal

    ∫ ∫ ∑−∞=== T T   k t  jk 

    k    dt eaT dt t  xT 

    22

    |||)(|  0ω 

    ∫∑∞

    −∞=

    ⋅=

    T k 

    k    dt aT 

    2||

    1

    T =

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

    35/47

    Propriedades: algumas demonstrações Derivação e integração no tempo

    ∴⋅= ∑∞

    −∞=

    t k  j

    k    eat  x  )( 0)(  ω 

    t k  jea

    t  x   )( 0)(   ω ⋅∂

    =∂   ∞

    Se

    Então

    Prova (derivação)

    k t t   ∂∂

      −∞=

    t k  j

    k    eak  j  )(

    00)(

      ω ω    ⋅⋅= ∑

    −∞=

    k S  a jk 

    t t  x ⋅   →←

    ∂∂

    0)( ω F

    a jk dt t  x0

    1

    )( ω    →←⋅∫  F

    Prova (integração) é similar

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

    36/47

    Ex. 3.7

    =

    ≠=

    ⋅−

    0,0

    0,)2 / (

    )2 / (

    2

    12 / 

    k k 

    k sene

    g jk 

    k    π 

    π π 

    )(t g

    k ok    x jk g

    s

    t d 

    t dxt g

    ⋅=

    =

    )(

    )(

    )()(

    ω 

    Fb

    2 / 

    0   )2 / (

    )2 / (

    2

    1

    )2 / (

    1   π 

    π 

    π 

    π 

    ⋅−

    =  jk 

    k k    e

    k sen

     jk  x

    24

    22   π π π ω    ===

    T o

    k o

      g jk 

     xω 

    1=

    )(t  x

    ?)( k 

    s

     xt  xF

    2 / 

    20   )2 / (

    )2 / (

    2

    1   π 

    π 

    π    ⋅−

    =  jk 

    k k    e

    k sen

     j x

    →⋅= ∫T 

    dt t  xT 

     x   )(1

    0

    4=T 

    22

    14

    =

    ×

    =

    2

    10  = x

    4=T 

    2

    )2 / (

    )2 / (

    2

      

     =

    π 

    π 

    k sen

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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    Propriedades importantes

    Multiplicação convolução

    Para x(t ) real Magnitude do espectro ( Ak ) = par Fase (θ k ) = ímpar

      k   = Parte imaginária do espectro (C k ) = ímpar

    Demonstrações apresentadas/discutidas oportunamente

    e/ou em exercícios

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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    Exercícios recomendados

    Básicos (sem respostas)

    3.22, 3.23, 3.24, 3.25 Básicos com respostas: 3.3, 3.4, 3.6, 3.7, 3.13, 3.20

    Básicos avançados 3.40, 3.42, 3.46a-b, 3.62,

    Problemas de Extensão 3.65a (pares a, c, d), 3.65b, 3.65d, 3.71

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    Exercícios

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  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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    Propriedade

    da derivada

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    Há forma mais elegante de resolver o problema com a propriedade da derivada...

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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    Simetrias

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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    Simetrias

  • 8/17/2019 Cap 3 - Oppenheim

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    autofunção

    Resposta emfrequência