Cap. 4 Le Cap. 4 Le combinazioni degli combinazioni degli

enti geometrici enti geometrici fondamentali e fondamentali e degli assiomidegli assiomi

Definizione di Definizione di combinazionecombinazione

Operazione che mette insieme Operazione che mette insieme due o più cose affini, secondo un due o più cose affini, secondo un determinato criterio e per determinato criterio e per ottenere un certo risultatoottenere un certo risultato

Nel nostro caso mettiamo insieme gli Nel nostro caso mettiamo insieme gli enti geometrici fondamentali e gli enti geometrici fondamentali e gli assiomi per ottenere altre entità assiomi per ottenere altre entità geometrichegeometriche

Punti Punti coincidenticoincidenti

Due punti si dicono

coincidenti se occupano

la stessa posizione

Per indicare che due punti

coincidono usa il simbolo ≡

Punto A

coincide con BA ≡ B

A

B

≡

Definizione di linea Definizione di linea geometricageometrica

Ente geometrico che si caratterizza Ente geometrico che si caratterizza per presentare una sola per presentare una sola dimensione: la lunghezzadimensione: la lunghezza

Come tutte le definizioni è una Come tutte le definizioni è una proposizione pertanto risulta proposizione pertanto risulta sufficientemente definito sufficientemente definito indipendentemente dalla sua indipendentemente dalla sua rappresentazione materialerappresentazione materiale

Per indicarla si usa una lettere Per indicarla si usa una lettere dell’alfabeto miniscolodell’alfabeto miniscoloa

Linea aA

B

I punti A e B si dicono estremi

della linea

Tipi di lineaTipi di linea Le linee possono essere semplici o Le linee possono essere semplici o

intrecciate; aperte o chiuseintrecciate; aperte o chiuse

A B

a

Linea aperta semplice

Una linea si dice rintracciata se si attraversa in uno o più punti

C

D

H

Linea aperta intrecciata

b

Linea chiusa semplice

K

Linea chiusa intrecciata

Una linea si dice chiusa se i suoi estremi coincidono

A≡B

La linea rettaLa linea retta

Si definisce retta Si definisce retta un’insieme infinito e un’insieme infinito e

illimitato di punti posti illimitato di punti posti uno dietro l’altro, senza uno dietro l’altro, senza soluzione di continuità, soluzione di continuità,

che mantengono che mantengono sempre la stessa sempre la stessa

direzionedirezione

Modello di rettaModello di retta

Per modello si retta possiamo Per modello si retta possiamo prendere in considerazione un filo prendere in considerazione un filo teso fra due puntiteso fra due punti

Un modello migliore può essere Un modello migliore può essere preso un raggio luminoso che preso un raggio luminoso che rispetto al precedente ha il pregio di rispetto al precedente ha il pregio di avere dimensioni decisamente più avere dimensioni decisamente più ridotteridotte

Retta e puntoRetta e punto Consideriamo una retta r e Consideriamo una retta r e

un punto P su di essaun punto P su di essa Se la retta è formata da un Se la retta è formata da un

numero infinito ed illimitato numero infinito ed illimitato di punti allora se inserisco un di punti allora se inserisco un punto di fatto la divido in due punto di fatto la divido in due partiparti

Si viene a formare un nuovo Si viene a formare un nuovo ente che necessita di nome e ente che necessita di nome e definizione (che dipenderà definizione (che dipenderà strettamente dall’operazione strettamente dall’operazione svolta)svolta)

SemirettaSemiretta

Si definisce semiretta ciascuna

delle due parti in cui una

retta è divisa da un suo punto

Caratteristiche della Caratteristiche della semirettasemiretta

In pratica una semiretta ha un punto In pratica una semiretta ha un punto di origine che la limita da una parte di origine che la limita da una parte mentre dell’altra essa risulta formata mentre dell’altra essa risulta formata da un numero infinito e illimitato di da un numero infinito e illimitato di punti che si susseguono uno dietro punti che si susseguono uno dietro l’altro, senza soluzione di continuità, l’altro, senza soluzione di continuità, mantenendo la stessa direzionemantenendo la stessa direzione

Il modello di semiretta è Il modello di semiretta è rappresentato da un laserrappresentato da un laser

La semiretta perciò ha un punto di inizio La semiretta perciò ha un punto di inizio che ne rappresenta l’origine e un verso che ne rappresenta l’origine e un verso che rappresenta la direzione verso la che rappresenta la direzione verso la quale si estende la semirettaquale si estende la semiretta

Due o più semirette che hanno un’origine Due o più semirette che hanno un’origine in comune condividono la stessa origine in comune condividono la stessa origine

P r verso

r

st

kH

semiretta

Semirette con origine in comune

PianoPiano Si definisce piano una Si definisce piano una

superficie infinita che mantiene superficie infinita che mantiene sempre la stessa pendenzasempre la stessa pendenza

Se ciò non si verificasse si avrebbe Se ciò non si verificasse si avrebbe una superficie curvauna superficie curva

Un caso particolare di piano è Un caso particolare di piano è quello orizzontale che ha quello orizzontale che ha pendenza nullapendenza nulla

Ha due dimensioni: lunghezza e Ha due dimensioni: lunghezza e larghezzalarghezza

Modello e rappresentazione Modello e rappresentazione del pianodel piano

Come modello di piano possiamo Come modello di piano possiamo prendere un foglio di cartaprendere un foglio di carta

Per rappresentarlo possiamo utilizzare Per rappresentarlo possiamo utilizzare un parallelogramma e per convenzione si un parallelogramma e per convenzione si utilizza, per indicarlo, una lettera utilizza, per indicarlo, una lettera dell’alfabeto greco minuscoladell’alfabeto greco minuscola

lunghezza larg

hezz

a

Piano e rettaPiano e retta

Piano e retta Piano e retta possono essere: possono essere:

ComplanariComplanari IncidenteIncidente ParalleloParallelo

r

complanari

r

r

incidente

parallelo

OsservazioniOsservazioni

Una retta r complanare ad un piano Una retta r complanare ad un piano ha tutti i suoi punti in comune col ha tutti i suoi punti in comune col pianopiano

In questo caso si dice che la retta r In questo caso si dice che la retta r giace sul piano giace sul piano

Essendo la sua lunghezza infinita noi Essendo la sua lunghezza infinita noi abbiamo che una retta che giace sul abbiamo che una retta che giace sul piano piano lo divide in due parti uguali lo divide in due parti uguali dette semipianidette semipiani

SemipianoSemipiano

Si definisce semipiano ciascuna delle parti in cui un pano risulta suddiviso da una retta complanare

Riguardiamo le

seguenti figure

r

complanari

r

incidente

r

paralleloCosa

succede de una retta ha

2 punti di contatto col

piano?

A quale caso può corrispondere?

Se una retta ha due punti di contatto

col piano è ad esso complanare

Retta e puntoRetta e punto

Per un punto passano infinite rette

Le infinite rette che passanoper un punto costituiscono un fascio proprio di rette

Il punto per cui passanole rette è detto

centro del fascio

Retta e due puntiRetta e due punti

Per due punti passa una ed una sola retta

Rette per tre punti

I tre punti non sono allineati

Passano 3 rette

I tre puntisono allineati

Passauna retta

Per tre punti non allineati

passano 3 rette

Per tre punti allineati passa

una ed una sola retta

Tre punti si diconoallineati se giacciono

su una stessa retta

Una volta costatato che per tre punti

allineati passa una sola retta quando 3

punti si dicono allineati?

Intersezione di pianiIntersezione di pianiConsideriamo i seguenti due piani

La loro intersezione sarà data da una retta r Posso

tracciare un altro piano

che contiene r?Quanti piani

conterranno la retta r?

Infiniti

Due piani che si intersecano danno origine

ad una retta

Per una retta passano infiniti piani

Un fascio di piani

è un insieme formato da

infiniti piani,aventi una

retta in comune

Piani per due puntiPiani per due punti

Quanti piani passano per 2 punti?Quanti piani passano per 2 punti? Questa domanda rimanda direttamente a Questa domanda rimanda direttamente a

quella di quante rette passano per due quella di quante rette passano per due punti?punti?

Secondo voi perché?Secondo voi perché? Per due punti passa una sola retta perciò Per due punti passa una sola retta perciò

….….

Per due punti passano infiniti piani

Piani per tre punti Piani per tre punti allineatiallineati

Vi ricordate la definizione di punti Vi ricordate la definizione di punti allineati?allineati?

Tre punti si dicono allineati se giacciono su una stessa retta

Allora quanti piani passano per tre punti allineati?Per tre

punti allineati

passano infiniti piani

Piani per tre punti non Piani per tre punti non allineatiallineati

Consideriamo 3 punti non Consideriamo 3 punti non allineatiallineati

Per due punti passa una retta e Per due punti passa una retta e perciò infiniti pianiperciò infiniti piani

Ma il terzo può appartenere Ma il terzo può appartenere contemporaneamente agli contemporaneamente agli infiniti piani?infiniti piani?

Se no può appartiene solo ad un Se no può appartiene solo ad un piano particolarepiano particolare

ma allora …..ma allora …..

A

B

C

r

La retta r appartiene

Al piano

Al piano

Agli infiniti piani a cui r è complanare

Il punto C appartiene ad un solo dei piani del fascio di piani passanti per r

Perciò per tre punti passa ….

Per tre punti non allineati passa uno

ed un solo piano

Gli elementi di EuclideGli elementi di Euclide

Gli Gli ElementiElementi di Euclide sono la più di Euclide sono la più importante opera matematica giuntaci importante opera matematica giuntaci dall’antica grecia. dall’antica grecia.

Composti tra il IV e III secolo a.c. Composti tra il IV e III secolo a.c. rappresentano un quadro completo e rappresentano un quadro completo e definito dei principi della geometria noti definito dei principi della geometria noti al tempo. al tempo.

L'opera consiste in 13 libri: i primi sei L'opera consiste in 13 libri: i primi sei riguardanti la geometria piana, i riguardanti la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tra grandezze successivi quattro i rapporti tra grandezze e gli ultimi tre la geometria solida. e gli ultimi tre la geometria solida.

Da wikipedia

Euclide basa, nel libro I, il suo lavoro su 23 Euclide basa, nel libro I, il suo lavoro su 23 definizioni, che trattano i concetti di punto, definizioni, che trattano i concetti di punto, linea e superficie, su 5 postulati e su 5 linea e superficie, su 5 postulati e su 5 nozioni comuninozioni comuni, quelle che ora sono dette , quelle che ora sono dette assiomi. assiomi.

Il postulato più famoso è il V che riguarda le Il postulato più famoso è il V che riguarda le rette parallele e i triangoli, il famoso rette parallele e i triangoli, il famoso postulato da cui si deduce che la somma degli postulato da cui si deduce che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°angoli interni di un triangolo è di 180°

««  In un piano, una retta che intersechi In un piano, una retta che intersechi due rette parallele forma con esse angoli due rette parallele forma con esse angoli alterni uguali fra loro, angoli esterni alterni uguali fra loro, angoli esterni uguali agli angoli interni e opposti, e uguali agli angoli interni e opposti, e dalla stessa parte angoli interni la cui dalla stessa parte angoli interni la cui somma è uguale a due retti. somma è uguale a due retti. »»

Le geometria non Le geometria non euclideeeuclidee

La negazione di questo postulato ha portato, nel XIX La negazione di questo postulato ha portato, nel XIX secolo, allo sviluppo delle geometrie non Euclidee secolo, allo sviluppo delle geometrie non Euclidee

In un tipo di geometria detta geometria iperbolica le In un tipo di geometria detta geometria iperbolica le rette divergono (è quindi possibile trovare molte rette rette divergono (è quindi possibile trovare molte rette che non si intersecano perciò) i segmenti divergono che non si intersecano perciò) i segmenti divergono anch’essianch’essi

Nelle geometrie ellittiche le rette convergono perciò Nelle geometrie ellittiche le rette convergono perciò non esistono rette parallele e i segmenti convergono non esistono rette parallele e i segmenti convergono anch’essianch’essi

I triangoli e le tre I triangoli e le tre geometriegeometrie

Triangolo iperbolico: la somma degli angoli è minore di 180°

Triangolo Euclideo: la somma degli angoli è di 180°

Triangolo ellittico: la somma degli angoli è maggiore di 180°

Immagine che riassume le tre diverse

geometrie