Capitolul 4p

Filtre analogice 30

4. Filtre active

4.1 Generalitãþi

La frecvenþe mari ( > 1MHz ) în general se utilizeazã filtrele realizate din

componente pasive: inductanþe, rezistenþe ºi capacitãþi. Acestea se mai numesc ºi filtre RLC.

În domeniul frecvenþelor mici ( 1 Hz – 1 MHz ), valoarea inductanþei devine foarte

mare, iar bobinele ajung sã fie voluminoase ceea ce duce la o realizare a acestora dificilã, în

special din motive economice. În aceste cazuri filtrele active devin importante. Filtrele active

sunt circuite care utilizeazã elemente amplificatoare, în special amplificatoare operaþionale în

combinaþie cu rezistenþe ºi capacitãþi în buclele de reacþie pentru a obþine caracteristicile de

filtrare dorite.

Filtrele active realizeazã aceleaºi funcþii ca ºi filtrele cu elemente pasive, dar sunt

capabile sã asigure o amplificare de putere supraunitarã ºi acoperã un domeniu de frecvenþe

mult mai larg, în special spre frecvenþe joase.

Realizarea filtrelor active cu amplificatoare operaþionale prezintã ºi avantajul unei

mai bune independenþe a caracteristicii de transfer ºi a parametrilor filtrelor de parametrii

elementelor active utilizate ºi implicit de variaþia acestora la modificãri ale mediului ambiant.

4.2 Proiectarea filtrelor active

4.2.1 Construcþia filtrelor trece jos ºi a fi ltrelor trece sus de ordinul unu

Filtrul trece jos de ordinul 1 îl putem realiza, aºa cum am arãtat în capitolul

precedent ºi cu elemente pasive RC. Amplificarea acestui filtru când nu avem sarcinã pe

ieºire este:

RCPpRCA

tω+=

+=

1

1

1

1

Fãcând o comparaþie cu ecuaþia

∏=

++= n

iii PbPa

AA

1

2

0

)1( (4.1)

Filtre analogice 31

obþinem o relaþie de calcul pentru RC:

tfa

RCπ2

1= .

Amplificarea componentei continue a tensiunii este A0 = 1.

Circuitul are un dezavantaj ºi anume în cazul în care se leagã o sarcinã la ieºire se

schimbã caracteristicile de filtrare ºi din acest motiv trebuie legat la ieºire un transformator

de impedanþã. Dacã amplificarea în tensiune a transformatorului este k avem posibilitatea de

a alege amplificarea componentei continue a tensiunii deoarece A0 = k. Un astfel de circuit

este reprezentat în figura urmãtoare.

Funcþia de transfer a circuitului este:

111)(

CRPk

PHtω+

=

În cazul în care dorim sã avem o amplificare egalã cu unitatea k = 1, amplificatorul

neinversor se reduce la un repetor de tensiune, totuºi în mod inerent asigurând o acurateþe

superioarã a amplificãrii.

Fig. 24 Filtru trece jos de ordinul 1 neinversor

Fig. 25 Filtru trece jos de ordinul 1 neinversor cu amplificare egalã cu unitatea

Filtre analogice 32

În mod analog putem gãsi ºi un filtru trece sus dacã în ecuaþia (4.1) facem

schimbarea de variabilã P

P1= . În circuit schimbãm între ele elementele R1 ºi C1.

Un alt circuit pentru realizarea filtrelor trece jos, respectiv a filtrelor trece sus se

poate obþine folosind amplificatorul operaþional în conexiune inversoare.


PCRRR

PHt 12

1

2

1)(

ω+

−=

Identificând coeficienþii ecuaþiei (4.1) gãsim:

1

20 R

RA =

121 CRa tω=

Semnul minus din funcþia de transfer indicã faptul cã amplificatorul inversor

genereaz o schimbare de faz cu 180º a tensiunii de ieºire faþã de tensiunea de intrare.

Pentru dimensionarea circuitului se alege frecvenþa de tãiere, capacitatea C1 ºi

amplificarea componentei continue a tensiunii A0. Astfel gãsim:

0

21

1

12

2

AR

R

Cfa

Rt

=

=π

Coeficientul a1 se ia din unul din tabelele cu coeficienþi din Anexa 1.

Fig. 26 Filtru trece jos de ordinul 1 inversor

Filtre analogice 33

Este de notat faptul cã toate tipurile de filtre de ordinul 1 sunt identice ºi a1=1.

Totuºi la filtrele de ordin superior, filtrul parþial de ordinul 1 are coeficientul a11 deoarece

frecvenþa de tãiere a filtrului parþial diferã de frecvenþa de tãiere a filtrului final.

Exemplul 4.1 Pentru realizarea unui filtru trece jos de ordinul 1 cu o amplificare

egalã cu unitatea care sã aibã o frecvenþã de tãiere ft = 1 kHz alegem o valoare a

condensatorului C1=47 nF ºi calculãm rezistenþa:

Ω=⋅⋅⋅

== − kFHzCf

aR

t

38,31047102

12 93

1

11 ππ

.

Un alt circuit reprezentând un filtru trece sus este ilustrat în figura 27.

Funcþia de transfer este:

PCR

RR

PH

t

111

)(

12

1

2

ω+

−=

Pentru dimensionare se gãsesc în mod analog relaþiile:

∞−=

=

ARR

CafR

t

12

111 2

1π

4.2.2 Construcþia filtrelor trece jos ºi a filtrelor trece sus de ordinul doi

Filtrele de ordin doi nu se pot realiza cu elemente simple pasive. Una din

posibilitãþile rezolvãrii construcþiei filtrelor de ordinul doi este folosirea inductivitãþilor. Un

astfel de filtru trece jos este prezentat în figura 28.

Fig. 27 Filtru trece sus de ordinul 1 inversor

Filtre analogice 34


LCPRCPPH

tt221

1)(

ωω ++=

ºi fãcând o comparaþie cu ecuaþia (4.1) gãsim urmãtoarele relaþii:

Cfa

Rtπ2

1= ºi Cf

bL

t22

1

4π= .

Pentru un filtru trece jos de ordinul doi de tip Butterworth coeficienþii ai ºi bi îi

gãsim în tabelul1 din Anexa 1 ºi au valorile a1=1,414 ºi b1=1. Dacã ft=10 Hz ºi capacitatea

C= 10 ìF atunci gãsim R=2,25 kÙ ºi L=25,3 H. Este evident cã un asemenea filtru este greu

de realizat datoritã inductivitãþii foarte mari. În loc de a se realiza efectiv aceastã

inductivitate se folosesc elemente RC active echivalente.

Pentru realizarea filtrelor de ordin doi existã douã topologii diferite: Sallen-Key

( structurã cu reacþie pozitivã multiplã ) ºi Rauch ( structurã cu reacþie negativã multiplã ).

Aceste structuri vor fi tratate pe larg în subcapitolul urmãtor.

În continuare se prezintã un filtru trece jos cu o singurã reacþie negativã.

Fig. 28 Filtru trece jos de ordinul 2 pasiv

Fig. 29 Filtru trece jos de ordinul 2 cu o singurã reacþie negativã

Filtre analogice 35


21222

121

1)(

CCRPRCPPH

tt ωω ++= .

Dacã facem o comparaþie a funcþiei de transfer cu ecuaþia (4.1) gãsim urmãtoarele

relaþii:

A0 = 1;

a1 = 2ùtRC1;

b1 = ùt²R²C1C2.

Deci amplificarea componentei continue este egalã cu unitatea. Valorile

coeficienþilor a1 ºi b1 le gãsim în tabelele din Anexa 1.

Pentru dimensionare alegem frecvenþa de tãiere ft, valoarea rezistenþelor R ºi

calculãm valorile capacitãþilor C1 ºi C2:

Rfa

Ctπ4

11 = ºi

1

12 Raf

bC

tπ= .

Dimensionarea este posibilã pentru toate valorile coeficienþilor a1 ºi b1 ºi astfel

putem realiza fiecare tip de filtru. Un dezavantaj al circuitului este acela cã piesele trebuie sã

aibã toleranþe cât mai mici.

4.2.3 Filtre trece jos ºi filtre trece sus de grad superior

Pentru a mari atenuarea, pentru a gãsi o caracteristicã cu o pantã cât mai abruptã

folosim filtre de grad superior care pot fi realizate prin legarea în serie a unor filtre de grad

unu ºi doi.

În figura 30 este ilustrat modul de înseriere al filtrelor pânã la ordinul sase. Se

observã cã un filtru de ordin par este alcãtuit numai din filtre de ordin doi, în timp ce filtrele

de ordin impar includ un filtru de ordin întâi la început.

La legarea în serie a filtrelor caracteristica de amplificare se înmulþeºte, de

exemplu prin legarea în serie a douã filtre de ordin doi de tip Butterworth nu obþinem un

filtru de tip Butterworth de ordin patru ci un filtru cu o caracteristicã diferitã.

Filtre analogice 36

Coeficienþii unor componente de filtru pot fi reglaþi astfel încât caracteristica

rezultantã sã fie cea doritã. Valorile acestor coeficienþi pot fi gãsiþi în tabelele 1-6 din Anexa

1 pentru fiecare tip de filtru în parte. Pentru dimensionarea circuitului trebuie sã înlocuim în

ecuaþiile funcþiilor de transfer a filtrelor parþiale valoarea frecvenþei de tãiere pe care vrem sã

o obþinem.

Teoretic este indiferentã ordinea în care legãm componentele filtrului superior unele

de altele, însã în practicã este indicat sã legãm filtrele în ordinea creºterii valorii

coeficientului de calitate Q [6]. Valorile lui Q pentru fiecare tip de filtru în parte sunt date în

Anexa 1, tabelele 1-6.

Un alt criteriu pentru alegerea succesiunii filtrelor legate în serie este zgomotul. În

acest caz pentru reducerea zgomotului întregului lanþ este indicat ca filtrul cu cea mai micã

frecvenþã de tãiere sã fie ultimul din lanþ [1].

Exemplul 4.2 Sã realizãm un filtru trece jos de ordin cinci de tip Butterworth cu o

frecvenþã de tãiere de 50 kHz. Mai întâi se iau valorile coeficienþilor din Anexa 1, tabelul 1:

Fig. 30. Etapele de înseriere pentru obþinerea unor filtre de ordin superior

Filtre analogice 37

ai bi

Filtrul 1 a1=1 b1=0

Filtrul 2 a2=1,618 b2=1

Filtrul3 a3=0,618 b3=1

Apoi, se dimensioneazã fiecare filtru parþial specificând valoarea capacitãþii ºi

calculând valoarea rezistenþei necesare.

Primul filtru:

Alegem C1 = 1 nF ºi

Ω=⋅⋅⋅⋅

== − kHzCf

aR

t

18,310110502

12 93

1

12 ππ

Cea mai apropiatã valoare este 3,16 kÙ.

Al doilea filtru:

Alegem C1 = 820 pF ºi C2 din condiþia:

nFFa

bCC 26,1

618,1

1410820

42

12

22

212 =⋅⋅⋅=≥ −

Fig. 31 Filtru trece jos de ordinul 1 cu amplificare egalã cu unitatea

Fig. 32 Filtru trece jos de ordinul 2 structurã Sallen-Key

Filtre analogice 38

Se ia C2 = 1,5 nF ºi se calculeazã valorile rezistenþelor cu relaþiile:

21

21222

2222

1 4

4

CCf

CCbCaCaR

tπ−−

= ºi 21

21222

2222

1 4

4

CCf

CCbCaCaR

tπ−+

=

ºi obþinem

( )Ω=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

=−−

−−−−

kR 87,1105,11082010504

105,11082014105,1618,1105,1618,19123

912299

1 π

( )Ω=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅

=−−

−−−−

kR 42,4105,11082010504

105,11082014105,1618,1105,1618,19123

912299

2 π

Al treilea filtru:

Calculele celui de-al treilea filtru sunt identice cu cele de la cel de-al doilea filtru cu

observaþia cã valorile coeficienþilor a2 ºi b2 sunt înlocuite cu valorile coeficienþilor a3 ºi b3

astfel obþinându-se alte valori pentru capacitãþi ºi rezistenþe. Alegem C1 = 330 pF ºi gãsim

nFFa

bCC 46,3

618,0

1410330

42

12

23

312 =⋅⋅⋅=≥ −

Se ia C2 = 3,47 nF ºi se calculeazã valorile rezistenþelor R1 ºi R2:

- pentru R1 gãsim prin calcul valoarea 1,45 kÙ ºi se ia din ºirul de valori normalizate

R1=1,47 kÙ

- pentru R2 gãsim prin calcul valoarea 4,51 kÙ ºi se ia R2=4,53 kÙ.

În figura 33 se prezintã circuitul final.

Fig. 33 Filtru trece jos de ordinul 5 cu amplificare egalã cu unitatea

Filtre analogice 39

4.2.4 Filtru trece bandã

Aºa cum am arãtat ºi în capitolul precedent, prin legarea în serie a unui filtru trece

jos cu un filtru trece sus obþinem un filtru care permite trecerea unei benzi de frecvenþã.

Caracteristica filtrului rezultant este obþinutã prin înmulþirea celor douã caracteristici

componente:

( )221 PbP

PaPH

++⋅= .

Datele principale ale unui filtru trece bandã sunt amplificarea A0 ataºatã frecvenþei

de rezonanþã ºi coeficientul de calitate Q.

Amplificarea se poate calcula la frecvenþa de rezonanþã dacã Ù = 1, adicã P = j.

astfel gãsim Ar = ba

.

Pentru calcularea coeficientului de calitate Q trebuie mai întâi determinatã lãþimea

benzii. Din prima relaþie obþinem douã valori pentru Ù:

22

2,1 422

2b

bb ++=Ω m .

Coeficientul Q se calculeazã prin raportul dintre frecvenþa de tãiere ºi lãþimea benzii

de trecere [1]:

1212

00 1Ω−Ω

=−

==ff

fBf

Q .

Luând în considerare cele douã valori obþinute pentru Ù, dupã un calcul scurt

ajungem la relaþia:

bQ

1= .

Fãcând înlocuirile corespunzãtoare în prima ecuaþie ajungem la relaþia:

( )21

1 PPQ

PQA

PH

rez

++= .

Filtre analogice 40

Pentru un filtru pasiv a = 1 ºi conform primei ecuaþii rezultã Q = 2

1. Aceasta este

valoarea maximã a coeficientului de calitate pe care îl putem obþine cu douã filtre pasive de

ordinul unu. Pentru a obþine o valoare mai mare a coeficientului de calitate se realizeazã filtre

active la care coeficienþii funcþiei de transfer pot fi aleºi liber. Cu aceste filtru trece bandã de

grad doi cu elemente active putem obþine chiar ºi Q = 100.

Amplificarea este:

4

2

2 21

1

)(

Ω+

−

ΩΩ+

Ω= Q

A

PH

r

În continuare se prezintã o schemã de filtru trece bandã cu o singurã reacþie

negativã.

Frecvenþa de rezonanþã a filtrului este RC

fπ2

10 = , iar amplificarea la aceastã

frecvenþã este ba

Ar = . Factorul de calitate are valoarea Q = b2

1.

Se observã în schemã cã pe lângã circuitul care realizeazã bucla de reacþie negativã

existã la intrarea amplificatorului operaþional ºi un circuit serie format din elementele aC ºi

Fig. 34 Filtru trece bandã cu o singurã reacþie negativã

Filtre analogice 41

R/a. Aceste elemente formeazã un circuit trece sus, iar elementele bC ºi R/b alcãtuiesc un

filtru trece jos. Panta caracteristicii de filtrare este crescutã ºi prin filtrul dublu T care este

montat în circuitul reacþiei negative. Pentru frecvenþa de rezonanþã reacþia se poate neglija

dar pentru frecvenþe diferite de f0 ea are un caracter pronunþat [1].


( )221

2)(

RCpbRCp

aRCpUU

PHi

o

++=−=

iar prin introducerea relaþiei frecvenþei de rezonanþã gãsim forma normalizatã a funcþiei de

transfer:

221

2)(

PbPaP

PH++

= .

Se poate observa cã frecvenþa de rezonanþã, coeficientul de calitate ºi amplificarea

la frecvenþa de rezonanþã pot fi alese independent unele de altele.

4.2.5 Filtru opreºte bandã

În cazul în care se doreºte sã se filtreze o frecvenþã bine determinatã avem nevoie

de un filtru opreºte bandã.

Forma generalã a funcþiei de transfer este

2

2

1

)1()(

PbPPa

PH++

+= .

Ca ºi la filtrele trece bandã datele principale pentru filtrul opreºte bandã sunt

amplificarea ºi coeficientul de calitate Q.

Din forma generalã a funcþiei de transfer se observã cã A0 = a pentru f<<f0 ºi f>>f0

adicã pentru P<<j ºi P>>j ºi amplificarea la frecvenþa de rezonanþã este Ar = 0 (P = j).

Pentru a calcula coeficientul de calitate avem nevoie de condiþia 2

)(a

PH = ºi de

aici gãsim frecvenþa hotar normalizatã:

42

1

22

2,1 ++=Ω bb

m

Cu aceasta coeficientul de calitate Q este:

Filtre analogice 42

bBf

Q11

12

0 =Ω−Ω

==

Înlocuind aceste relaþii în funcþia de transfer gãsim:

2

20

11

)1()(

PPQ

PAPH

++

+=

Pentru a se obþine un coeficient de calitate mai mare se folosesc filtre active la care

valorile A0 ºi Q pot fi alese independent.

În continuare se prezintã un filtru activ opreºte bandã de tip dublu T.

Schema circuitului este:

La frecvenþe mici ºi mari filtrul lasã sã treacã semnalul neschimbat. La frecvenþa de

rezonanþã tensiunea de ieºire este nulã, filtrul dublu T funcþionând ca ºi cum rezistenþa R/2 ar

fi legatã la masã.

Frecvenþa de rezonanþã este RC

fπ2

10 = , iar coeficientul de calitate ( )k

Q−

=22

1.

Dacã k = 2 atunci Q .

Condiþia de bunã funcþionare a filtrului este reglarea optimã a frecvenþei de

rezonanþã ºi a amplificãrii.

Fig. 35 Filtru opreºte bandã de tip dublu T

Filtre analogice 43

Un alt tip de filtru opreºte bandã este filtrul activ de tip punte Wien-Robinson.

Circuitul din figura 36 are funcþia de transfer:

( )2

2

1

31

11)(

PP

PPH

++

+

++−=

α

αβ

unde 3

2

RR

=α ºi 4

2

RR

=β .

Comparând funcþia de transfer a filtrului cu relaþia generalã

2

20

11

)1()(

PPQ

PAPH

++

+=

putem determina relaþiile de calcul a parametrilor filtrului :

- frecvenþa de rezonanþã RC

fπ2

10 =

- amplificarea α

β+

=1

0A

- coeficientul de calitate 3

1 α+=Q .

Pentru a calcula valorile individuale ale componentelor urmãm procedura de mai

jos:

Fig. 36 Filtru activ opreºte bandã de tip Wien-Robinson

Filtre analogice 44

- Definim f0 ºi C ºi calculãm R cu relaþia:

CfR

02

1

π=

- Specificãm Q ºi determinãm á:

13 −= Qα

- Specificãm A0 ºi determinãm â:

QA 30 ⋅=β

- Alegem R2 ºi calculãm R3 ºi R4 cu relaþiile:

α2

3

RR = ºi

β2

4

RR = .

În comparaþie cu filtrul activ dublu T, filtrul activ Wien-Robinson ne permite

modificarea amplificãrii în banda de trecere A0 fãrã a afecta coeficientul de calitate Q.

Dacã frecvenþa de rezonanþã nu este complet filtratã datoritã toleranþelor

rezistenþelor R ºi condensatoarelor C atunci este necesarã o finã reglare a rezistenþei 2R2.

4.3 Structuri de filtre active

4.3.1 Structura Rauch

Structura Rauch sau structura cu reacþie negativa multiplã este utilizatã în general la

filtre care au un coeficient de calitate Q mare ºi necesitã o amplificare mare.

Forma generalizatã a circuitului este prezentatã în figura 37 In care admitanþele Y

sunt realizate din rezistenþe simple sau capacitãþi.

Fig. 37 Circuitul generalizat Rauch

Filtre analogice 45

Pentru a gãsi funcþia de transfer a circuitului generalizat calculãm tensiunile UA ºi

UB [1].

UB = U- = U+ = 0

(UA-UB)Y3= -U0Y5 (1)

4321

23401 00

YYYYYYYUYU

U iA +++

⋅+⋅++= (2)

Rezultã:

503 YUYU A −= sau 3

50 Y

YUU A −= (1*)

4321

401

YYYYYUYU

U iA +++

+= (2*)

Din relaþiile (1*) ºi (2*) rezultã:

4321

401

3

50 YYYY

YUYUYY

U i

++++

=−

4321

40

4321

1

3

50 YYYY

YU

YYYYY

UYY

U i ++++

+++=−

Dupã calcule simple se obþine funcþia de transfer a circuitului:

( ) 5343215

310)(YYYYYYY

YYUU

PHi ++++

−==

Tipul de filtru dorit se obþine prin înlocuirea admitanþelor Yi cu rezistenþe ºi

capacitãþi conform tabelului de mai jos:

Tabelul 4.1

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Tipul de filtru

1 1/R1 pC2 1/R3 1/R4 pC5 F.T.J.

2 pC1 1/R2 pC3 pC4 1/R5 F.T.S.

3 1/R1 pC2 pC3 pC4 1/R5

4 (1/R2) F.T.B.

5 pC1 pC2 1/R3 1/R4 pC5

6 (1/R2) F.T.B.

Filtre analogice 46

Filtru trece jos

Schema circuitului corespunzãtor unui filtru trece jos realizat cu reacþie negativã

multiplã este prezentatã în figura 38.


23221

2

1

32321

1

2

1

)(

PRRCCPRRR

RRC

RR

PH

tt ωω +

+++

=

Prin comparaþie cu relaþia generalã

∏=

++= n

iii PbPa

AA

1

2

0

)1(

obþinem relaþiile:

32212

1

1

323211

1

20

RRCCb

R

RRRRCa

RR

A

t

t

ω

ω

=

++=

=

Dupã alegerea amplificãrii A0, a frecvenþei de tãiere ft ºi a valorilor capacitãþilor se

calculeazã rezistenþele cu relaþiile:

0

21

21

021122

2121

24

)1(4

AR

R

CCf

ACCbCaCaR

t

=

−−−=

π

Fig. 38 Filtru trece jos structurã Rauch

Filtre analogice 47

22122

13

4 RCCf

bR

tπ=

Pentru a se obþine valori reale ºi pozitive pentru rezistenþa R2 trebuie îndeplinitã

urmãtoarea condiþie:

21

0112

)1(4

a

AbCC

−≥

Filtrul astfel realizat nu este foarte sensibil la toleranþele pieselor ºi din acest motiv

are un coeficient de calitate mare.

Filtru trece sus

Dacã schimbãm între ele rezistenþele ºi condensatoarele din schema precedentã

obþinem o configuraþie de filtru trece sus.

Schema filtrului trece sus în structura cu reacþie negativã multiplã este prezentatã în

figura 39.

Funcþia de transfer a acestui circuitului este:

2

2132

2132

321

2

1

1111

)(

PRRCCPRCCCCC

CC

PH

tt

⋅+⋅++

+−=

ωω

Fãcând o comparaþie cu relaþia generalã a funcþiei de transfer pentru un filtru trece

sus

Fig. 39 Filtru trece sus structurã Rauch

Filtre analogice 48

∏

++

=

iii P

bP

aPH

2

111

1)(

gãsim urmãtoarele relaþii de calcul:

23221

1

132

3211

2

1

1

t

t

CCRRb

RCCCCC

a

CC

A

ω

ω

=

++=

−=∞

Pentru dimensionare alegem capacitãþile C1, C2 ºi C3, frecvenþa de tãiere ºi

rezolvând ecuaþiile de mai sus gãsim relaþiile de calcul pentru rezistenþele R1 ºi R2:

( )021

12

311

212

2

21

ACbfa

R

CafA

R

t

t

−=

−= ∞

π

π

Amplificarea în banda de trecere A a filtrului trece sus cu reacþie negativã multiplã

poate varia semnificativ datoritã toleranþelor mari ale capacitãþilor. Pentru a menþine aceastã

variaþie a amplificãrii la o valoare minimã este necesar sã utilizãm condensatoare cu valori

ale toleranþei mici.

Filtru trece bandã

Schema acestui filtru ilustratã în figura 40 corespunde liniei a patra din tabelul 4.1,

iar pentru a simplifica calculele valorile capacitãþilor s-au luat egale ( C3 = C4 = C ).

Fig. 40 Filtru trece bandã structurã Rauch

Filtre analogice 49


220

2

31

3210

31

31

0

31

32

21

)(PC

RR

RRRPC

RR

RR

PCRR

RR

PHωω

ω

++

++

+−

=

Prin comparaþie cu relaþia generalã a filtrului trece bandã

211

1

)(PP

Q

PQ

APH

r

++=

gãsim urmãtoarele relaþii:

- frecvenþa de rezonanþã: 321

310 2

1

RRRRR

Cf

+=

π

- amplificarea la frecvenþa de rezonanþã: 1

2

2RR

Ar =

- coeficientul de calitate: 02CfRQ π=

- lãþimea benzii de trecere: CR

B2

1

π= .

Se observã din nou cã la aceastã structurã de filtru se pot alege independent

coeficientul de calitate, amplificarea la rezonanþã ºi frecvenþa de rezonanþã. De asemenea

lãþimea benzii de trecere ºi amplificarea Ar nu depind de rezistenþa R3. Rezultã astfel cã

modificând valoarea rezistenþei R3 se poate modifica frecvenþa de rezonanþã ( în limite nu

foarte largi ) fãrã a modifica amplificarea Ar sau lãþimea de bandã B.

Pentru valori mici ale coeficientului Q, filtrul funcþioneazã ºi fãrã rezistenþa R3, dar

atunci coeficientul de calitate Q va depinde de amplificarea Ar:

22QAr =

Filtre analogice 50

4.2.2 Structura Sallen-Key

O altã structurã des utilizatã în realizarea filtrelor active este structura cu reacþii

pozitive multiple sau structura Sallen-Key aºa cum mai este numitã.

În figura 41 este prezentatã forma generalizatã a circuitului Sallen-Key în care

admitanþele Yi sunt realizate din elemente pasive, iar cu ajutorul rezistenþei R3 se realizeazã o

amplificare independentã de frecvenþã.

În continuare se calculeazã funcþia de transfer a circuitului [1]:

−+ = UU

kU

RkRR

UUUB0

33

30

)1(=

−+== +

321

3021

YYYYUYUYU

U BiA ++

++=

42)( YUYUU BBA =−

( )422 YYUYU BA +=

+=

2

41YY

UU BA

+=

++++

=2

4

321

3021 1YY

UYYY

YUYUYUU B

BiA

Fig. 41 Circuitul generalizat Sallen-Key

Filtre analogice 51

=++ 3021 YUYUYU Bi ( )3212

41 YYYYY

UB ++

+

( ) ( )3212

40321

0302

01 YYY

YY

kU

YYYk

UYUY

kU

YU i ++++++−−=

( )

++++

−−= 321

2

41301

11 YYY

kYY

kY

kYUYU i

De aici rezultã funcþia de transfer a circuitului:

( ) ( ) 32213214

210

1)(

YYkYYYYYYYY

kUU

PHi −++++

==

În tabelul de mai jos se dau elementele ce formeazã admitanþele Yi pentru

obþinerea filtrului dorit.

Tabelul 4.2

Y1 Y2 Y3 Y4 Tipul de filtru

1 1/R1 1/R2 pC3 pC4 F.T.J.

2 pC1 pC2 1/R3 1/R4 F.T.S.

Filtru trece jos

Schema filtru trece jos în structurã Sallen-Key este prezentatã în figura 42.

Fig. 42 Filtru trece jos structurã Sallen-Key

Filtre analogice 52

Rezistenþele R3 ºi (k-1)R3 realizeazã reacþia negativã ºi astfel putem realiza

amplificarea la valoarea fixã k. Reacþia pozitivã se realizeazã prin condensatorul C2.


( ) ( )[ ] 212122

21211 11)(

CCRRPCRkRRCPk

PHtt ωω +−+++

=

Pentru o mai uºoarã dimensionare a circuitului se pot pune unele condiþii

simplificatoare. O posibilitate de simplificare este sã facem k = 1, adicã sã avem o

amplificare egalã cu unitatea. Pentru aceastã valoare a amplificãrii rezultã (k-1)R3 = 0 ºi

astfel putem elimina cele douã rezistenþe legate la intrarea inversoare.

Funcþia de transfer în acest caz devine:

( ) 212122

2111

1)(

CCRRPRRCPPH

tt ωω +++=

Prin comparaþie cu forma generalã a filtrului trece jos gãsim:

( )2121

21

2111

0 1

CCRRb

RRCa

A

t

t

ω

ω

=

+==

Dacã alegem frecvenþa de tãiere ºi capacitãþile C1 ºi C2 gãsim valorile rezistenþelor

R1 ºi R2 calculate cu relaþia:

21

21122

2121

2,1 4

4

CCf

CCbCaCaR

tπ−

=m

Pentru a obþine valori reale ºi pozitive pentru rezistenþele R1 ºi R2 trebuie sã punem

condiþia:

Fig. 43 Filtru trece jos structurã Sallen-Key ºi amplificare unitate

Filtre analogice 53

21

112

4

a

bCC ≥

O altã posibilitate de simplificare este folosirea rezistenþelor ºi condensatoarelor de

valori egale: R1 = R2 = R ºi C1 = C2 = C. Funcþia de transfer devine astfel:

( ) 222231)(

CRPkRCPk

PHtt ωω +−+

= .

Prin compararea coeficienþilor gãsim:

( )222

1

1 3

CRb

kRCa

t

t

ω

ω

=

−=

Dupã alegerea valorii capacitãþii C se calculeazã valoarea rezistenþelor ºi a

amplificãrii cu relaþiile:

Cf

bR

tπ21= ºi

Qb

aA

133

1

10 −=−= .

Filtru trece sus

Dacã schimbãm între ele rezistenþele ºi condensatoarele din filtrul trece jos descris

înainte obþinem un filtru trece sus.


( ) ( )2121

222121

21212 11111

)(

CCRRPCCRRkCRCCR

P

kPH

tt ωω⋅+

−++⋅+

=

Fig. 44 Filtru trece sus structurã Sallen-Key

Filtre analogice 54

De asemenea, ºi la acest tip de filtru pot fi folosite ipoteze simplificatoare pentru

dimensionarea circuitului: C1 = C2 = C ºi k = 1.

Circuitul astfel obþinut este ilustrat în figura 45.

Funcþia de transfer a acestui circuit este:

221

221

11211

1)(

CRRPCRP

PH

tt ωω⋅+⋅+

=

Prin identificarea coeficienþilor gãsim:

221

21

1

1

1

2

1

CRRb

CRa

A

t

t

ω

ω

=

=

=∞

Valorile rezistenþelor R1 ºi R2 se calculeazã dupã alegerea valorii capacitãþii C cu

relaþiile:

1

12

1

1

4

1

Cbfa

R

CafR

t

t

π

π

=

=

O altã condiþie simplificatoare folositã ºi în cazul filtrelor trece jos este: R1 = R2 = R

ºi C1 = C2 = C ºi gãsim :

12

1

bfRC

tπ= ºi

1

13b

akA −==∞ .

Fig. 45 Filtru trece sus structurã Sallen-Key ºi amplificare unitate

Filtre analogice 55

Filtru trece bandã

Schema filtrului trece bandã este prezentatã în figura 46.


( ) 220

220

0

31)(

PCRPkRC

PkRCPH

ωωω

+−+=

Dupã identificarea coeficienþilor gãsim:

- frecvenþa de rezonanþã: RC

fπ2

10 =

- amplificarea la rezonanþã: k

kAr −

=3

- coeficientul de calitate: k

Q−

=3

1.

Avantajul acestui circuit este cã se poate modifica coeficientul de calitate Q fãrã a

afecta frecvenþa de rezonanþã. Un dezavantaj ar fi faptul cã factorul de calitate Q ºi

amplificarea Ar nu se pot alege independent.

Trebuie de asemenea avutã atenþie la valoarea lui k deoarece când aceasta se

apropie de valoarea 3, amplificarea devine infinitã ºi circuitul intrã în oscilaþie.

Fig. 46 Filtru trece bandã structurã Sallen-Key

Documents

Capitolul 4p