173
Capitolul 6 Fizică nucleară 6.1 Noţiuni fundamentale 6.1.1 Nomenclatura si constituentii nucleului Nucleul este constituit din protoni si neutroni. Protonul a fost descoperit în anul 1919 odată cu prima reactie nucleară realizată de Ruther-ford. Nucleele de azot au fost bombardate cu particule a si s-a obtinut un izotop al oxigenului si un proton: 14 N + 4 He ! 17 O + 1 H Având în vedere faptul că înainte de a se descoperi protonul fusese descoperit electronul în primul model al nucleului s-a presupus caă acesta este constituit din protoni si electroni. Acest model a prezentat o serie de deficiente care au fost rezolvate în anul 1932 când Chadwich a descoperit neutronul. Ulterior Ivancenco si Meisemberg (în mod independent) au propus modelele în care nucleul este format din protoni si neutroni (fără electroni). Se introduc notiunile: 1. Numărul de masa A care reprezintă numărul de nucleoni (protoni si neutroni) din care este contituit nucleul. 2. Numărul atomic Z care reprezintă numărul de protoni din nucleu; el este o maăsuraă a sarcinii cu care este încaărcat nucleul. 1

Capitolul 6

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Capitolul 6

Capitolul 6

Fizică nucleară

6.1 Noţiuni fundamentale

6.1.1 Nomenclatura si constituentii nucleului

Nucleul este constituit din protoni si neutroni. Protonul a fost descoperit în anul 1919 odată cu prima reactie nucleară realizată de Ruther-ford. Nucleele de azot au fost bombardate cu particule a si s-a obtinut un izotop al oxigenului si un proton:

14N +4 He !17 O +1 H

Având în vedere faptul că înainte de a se descoperi protonul fusese descoperit electronul în primul model al nucleului s-a presupus caă acesta este constituit din protoni si electroni. Acest model a prezentat o serie de deficiente care au fost rezolvate în anul 1932 când Chadwich a descoperit neutronul. Ulterior Ivancenco si Meisemberg (în mod independent) au propus modelele în care nucleul este format din protoni si neutroni (fără electroni). Se introduc notiunile:1. Numărul d e masa A care reprezintă numărul de nucleoni (protoni si neutroni) din care este contituit nucleul.2. Numărul atomic Z care reprezintă numărul de protoni din nucleu; el este o maăsuraă a sarcinii cu care este încaărcat nucleul.3. Numărul d e neutroni din nucleu este notat cu N. Între numerele A, Z si N exista o relatie simplă s i anume:

Z + N = A (6.1)

1

Page 2: Capitolul 6

2

Pentru denumirea speciilor nucleare se utilizează notaţia ^ElN

unde cu El am notat elementul chimic.4. Nuclidul reprezintă o specie nucleară si este caracterizat

de numărulde masă A si numărul atomic Z. In prezent sunt cunoscuti peste 1200nuclizi.

5. Izotopii sunt nuclizi care au acelasi număr atomic Z:

126Ra 144Ra

6. Izobarii sunt nuclizii care au acelasi număr de masă:

14C 14N 14O

7. Izotonii sunt nuclizii care au acelasi număr de neutroni:

8. Izomerii sunt nuclizii ce au acelasi număr de masă si acelasi număr atomic dar care se află în stări metastabile diferite. Stările metastabile sunt stările în care timpul de viată mediu este de 10~9 s.

9. Nuclizii oglinda sunt nuclizi în care numărul de neutroni ai unui nucleu este egal cu numărul atomic al celuilalt; de exemplu:

Referitor la rolul neutronilor în stabilitatea nucleară trebuie remarcat că în timp ce 5Li2 are un timp de viată de 10~21 s nuclizii 3Li3 si j{Li4 sunt stabili, 8Li5 are timpul de viată de 1, 24 s iar §Li6 are timpul de viată 0, 25 s. In stare liberă neutronii sunt instabili si timpul lor mediu de viată este de 16,9 minute. Ei sunt mai grei ca protonii. Masa neutronilor este mn = 1, 67252 x 10~27 kg = 1, 008665u unde u reprezintă unitatea atomică de masă. u = 1, 66043 x 10~27 kg si este echivalentă cu o energie egală cu E = 931,480 KeV. Masa protonului este m p = 1, 67252 x 10~27 kg = 1 , 007227u. Protonul si neutronul mai sunt numiti si nucleoni. In stare liberaă neutronul este neutru în timp ce protonul are sarcinaă pozitivaă egalaă în modul cu cea a electronului.

6.1.2 Raza nucleului

Page 3: Capitolul 6

3

Studiile efecuate prin împraă stiere cu electroni, nucleoni, deuteroni si particule a împreună cu consideratii de minim a energiei fac ca într-o

P î

Pmax

2

OR

Figura 6.1: Variaţia densităţii materiei nucleare funcţie de distanţa măsurată din centrul nucleului

primă aproximatie să se considere că nucleul poate fi privit ca având o structură sferică.

Cele mai aprofundate studii ale densitătii materiei nucleare în nucleu au fost făcute de Hafstaderr si colaboratorii de la Stanford University. Metoda utilizată a fost aceea a împrăstierii de electroni. Acestia au presupus caă densitatea de sarcinaă este de forma:

unde p1 este densitatea la dimensiuni mici ale razei, R este valoarea razei r la care p = p1/2 iar z1 este o măsură a grosimii stratului superficial al nuclelui. Se poate presupune caă si densitatea materiei nucleare urmeazaă o lege de acelasi tip. Aceasta arată că nucleele nu au o frontieră bine determinată. Astfel structura nucleului este descrisă cu ajutorul distributiei masei si a sarcinii nucleare a căror densitate scade continuu. Din acest motiv vom întelege prin raza nucleului R distan ta din centrul nucleului la punctul în care densitatea scade la jumătate (Fig. 6.1). S-a tras concluzia caă pentru nuclee raza acestora este:

R = roA1/3 (6.3)

unde A este numărul de masă al nucleului iar r0 = 1, 4 X 10~15 m. Legătura dintre R si A permite determinarea densitătii materiei nucleare

Page 4: Capitolul 6

4

Amp 3Amp 3m p 14 3

P0 —------ = ------T = ---^ — 10 g/cm1 0 V 4TTR3 4vrr3 S/

Densitatea materiei nucleare este constantă până în apropierea supra-fetei unde aceasta scade brusc. Acest fapt a permis să se facă o analogie între nucleu si o picaăturaă de lichid, pe baza caăreia s-a dezvoltat modelul picaăturii.

6.1.3 Masa nucleară şi energia de legătură

Nucleul contine în jur de 99,975% din masa unui atom. Tabelul cu masele nucleare poate fi obtinut prin scăderea maselor electronilor (luând în considerare si energiile de legătură a electronilor când se doreste obtinerea unor precizii foarte mari). Totusi cu exceptia unor particule ionizate (He, H) masa atomică este cea utilizată mai degrabă decât cea nuclearaă. Exista însaă si situa tii în care prezen ta electronilor nu mai poate i neglijataă ca de exemplu când ace stia iau parte direct la procesele nucleare (capturaă electronicaă, conversie internaă). Masa nuclearaă se obtine cu ajutorul formulei:

MNc2 = M (A, Z) c2 - (Zmec2 - Be) (6.4)

unde M ( A , Z ) este masa atomică, me este masa electronului, c este viteza lumini, MN este masa nucleului iar Be este energia de legaăturaă a electronilor. Energia de legaăturaă reprezintaă energia care ar trebui cedataă atomului pentru a desprinde de el to ti electronii si ai duce la o distantaă la care interact ia dintre ei s i nucleu să fie neglijabilă.

Mai mult, experimental s-a constatat caă masa nucleului este mai micaă decât suma maselor componentilor saăi. Aceasta se datoreazaă existentei unei energii de legaăturaă a nucleonilor în nucleu. Energia de legaăturaă reprezintaă în acest caz energia necesaraă pentru a rupe nucleul în con-stituen tii saăi. Ea este:

B = [Zmp + (A - Z)mn - MN] (6.5)

Expresia de mai sus se poate scrie ca:

B = [Z(mp + me) + (A - Z)mn - (MN + Zme)]c2 (6.6)

Page 5: Capitolul 6

5

Tinând cont că masa hidrogenului este MH ' mp + me iar masa atomicaă M (A, Z) = MN + Zme rela tia (6.6) devine (neglijând

energia de legaturaă a electronilor):2

50 100 150 200 250

Figura 6.2: Variaţia energiei de legătură pe nucleon funcţie de numărul de masă

B = [ Z M H + ( A - Z)mn - M ( A , Z )]c2

(6.7)

O semnificaţie mai importantă o are energia medie de legătură pe nucleon B/A arătată în Fig. 6.2 deoarece ea este direct legată de stabilitatea speciilor nucleare. Pentru nucleele cu A > 30 energia de legătură rămâne aproximativ constantă si anume 8 MeV/nucleon cu un maxim de 8, 8 MeV/nucleon în jurul lui A = 60 si apoi scade monoton până în jur de 7,5 MeV/nucleon când A = 240.

Această comportare furnizează informatii despre valoarea energiei ce apare în cazul în care are loc fisiunea nucleelor grele în nuclee mai usoare. Aceasta conduce la o maărire a energiei de legaăturaă per nucleon. Pentru A = 240 prin fisiune cresterea energiei de legătură este de aproximativ 8, 5 — 7, 5 = 1

Bl A t

Page 6: Capitolul 6

6

MeV/nucleon si corespunde unei energii eliberate de aproximativ AE ' 200 MeV.

6.1.4 Momentul cinetic

Protonii s i neutronii sunt particule al căror spin este s = 1/2. Dacă se consideraă caă în interiorul nucleului nucleonii se mi scaă în jurul centrului de masaă pe anumite orbite (modelul particulelor independente) ace stia sunt caracterizati si de momente cinetice orbitale care sunt determinate cu ajutorul unor numere cuantice întregi ca în izica atomicaă. Suma momentelor cinetice orbitale si de spin determinaă momentul cinetic total. Operatorul asociat pătratului momentului cinetic are valorile proprii J(J +1)~2. J numărul cuantic al momentului cinetic total este un număr întreg pentru nucleele cu A par si un numaăr semiîntreg pentru nucleele cu A impar. Numaărul cuantic J ce caracterizeazaă momentul cinetic total este adesea numit spin al nucleului.

Proiec tia momentului cinetic pe o axaă (de exemplu direc tia câmpului magnetic sau directia în care se deplaseazaă un fascicol de particule) poate lua valorile:

- J h , - ( J - 1) ~, (J - 1) ~, Jh

Rezultaă caă numaărul orientaărilor în spatiu a momentului cinetic este 2J + 1. Experimental s-a gaăsit caă nucleele cu Z par si A par (nuclee par-pare) în starea fundamentalaă au faăraă exceptie J = 0.

6.1.5 Paritatea

Paritatea este un concept extrem de important în izica atomicaă si nuclearaă, dar nu are un corespondent în izica clasicaă. Aceasta este o proprietate a func tiei de stare care descrie sistemul izic. Astfel, func tia de stare care descrie o singuraă particulaă este paraă dacaă nu- si schimbaă semnul când coordonatele particulei î si schimbaă semnul

#(x,y,z) = -y, -z) (6.8)

si imparaă dacaă aceasta î si schimbaă semnul prin aceastaă opera tie:

Page 7: Capitolul 6

7

y, z) = -y, -z) (6.9)

In primul caz spunem că paritatea funct iei de stare este P = 1, iar în al doilea că paritatea este P = —1.

O funcţie de stare ce descrie mai multe particule (care nu inter-actionează între ele) poate fi scrisă ca un produs de functii de stare individuale sau ca o sumă de astfel de produse. Paritatea întregului sistem este dată în acest caz de produsul paritătilor functiilor de stare individuale.

Rezultă că o stare nucleară este caracterizată în afară de numărul cuantic al momentului cinetic total si de paritatea stării respective, simbolismul fiind Jp (de exemplu 1~, 2+, ). In particular starea nucleelor par pare (care au un număr par de protoni si neutroni) este 0+. In continuare vom considera caă protonul si neutronul au aceia si paritate si anume una pozitivaă.

In procesele nucleare alaături de conservarea energiei totale, a momentului cinetic si a impulsul se conservă si paritatea. (Totusi există procese în care paritatea nu se mai conservaă si anume în procesele în care sunt implicate for tele nucleare slabe).

6.1.6 Momente magnetice nucleare

Unui electron cu sarcina —e si masa me care posedă un moment cinetic orbital L i se asociază un moment magnetic dat de relatia:

~L = - ^L (6.10)

In mod similar asociem spinului său S un moment magnetic intrinsec:

e

~S = - g s - — S

unde gS = 2 îl vom denumi factor giromagnetic de spin. Valoarea reală a momentului magnetic este definită de proiectia pe axa Oz, /XSz când electronul se află într-o stare în care proiectia spinului pe axă este mS = 1/2.

= -9 2mSz (6.12)

unde Sz = mS~, cu mS = ±1/2. Atunci cu mS = 1/2 se obtine pentru momentul magnetic expresia:

Page 8: Capitolul 6

8

= -1 g 2m~e = - 2 (6.13)

unde fiB = 9, 274 x 10~24 JT_1 este magnetonul Bohr.Toate particulele cu spin cu excep tia lui neutrino au un

moment magnetic intrinsec pentru care există relat ii analoage ca cele de mai sus. Astfel, operatorii moment magnetic pentru proton si neutron sunt definit i ca:

e -*~p = gp 2m~ Sp (6.14)

e

fin = gn Sn (6.15)

iar valorile lor sunt dependente de masa protonului si de diferit ii factori giromagnetici. Relat iile echivalente relatiei (6.13) pentru valorile momentelor magnetice sunt:

fip = 2 gp fiN (6.16)

fin = 2 gnfiN (6.17)

unde prin analogie cu magnetonul Bohr, magnetonul nuclear este deinit ca:

fin = — = 5,05078 x 10~27 JT"1 (6.18)2mp

Factorii giromagnetici corespunzători protonului s i neutronului sunt:

gp = 5,5856 si gn = -3,8262 (6.19)

Momentele magnetice ale protonului si neutronului sunt:

fip = 2,7928fiN si fip = -1.9131fiN (6.20)

Datoritaă dependen tei de masaă a valorii momentului magnetic rezultaă caă momentele magnetice nucleare sunt cu trei ordine de maărime mai mici decât momentul magnetic intrinsec al electronului. In plus ele diferaă mult de valorile prezise de teorie (ip = iN si in = 0). Aceasta este atribuitaă faptului caă spre deosebire de electron, nucleonii au o dimensiune initaă si o structuraă internaă complicataă.

Aceste momente magnetice precum si momentele magnetice orbitale ale protonilor din nucleu contribuie la momentul

Page 9: Capitolul 6

9

magnetic total al nucleului. Atunci, legătura dintre operatorul moment magnetic total si operatorul moment cinetic total este:

A, = gj 2^ S (6.21)

Momentele magnetice ale celor mai multe stări nucleare fundamentale si excitate au fost măsurate. Tehnicile includ măsurători de structură hiperfină, spectroscopie de microunde, rezonantă magnetică de spin, rezonantă paramagnetică. S-a găsit că momentele magnetice nucleare sunt cuprinse în intervalul — 2/xN , 6/xN.

6.1.7 Momentul electric de cuadripol

In discu tiile anterioare am presupus implicit caă nucleul are o formaă sfericaă. Anumite nuclee au într-adevaăr o formaă sfericaă dar multe dintre ele nu au o astfel de formă. Cantitativ măsura deviatiei de la forma sfericaă este dataă de momentul de cuadripol.

Momentul electric de dipol pentru un ansamblu de sarcini este deinit ca fiind:

p = j

r p d v (6.22)

unde p este densitatea de sarcină, din elementul de volum, iar integrala se efectueazaă peste întreg volumul sistemului încaărcat electric. Pentru nuclee momentul de dipol este nul în staările sta tionare. Aceastaă este o consecintă a simetriei nucleelor; cu alte cuvinte aceasta este o consecintă a paritaătii staărilor nucleare. O astfel de simetrie nu trebuie saă ie neapaărat sferică. Nimic nu împiedică să se presupună că nucleul are forma unui elipsoid de rotatie (oricum cele mai multe nuclee au o astfel de formă), deviatia de la forma sferică fiind caracterizată cu ajutorul momentului electric de cuadripol.

Pentru deinirea acestei maărimi se presupune caă potentialul electric V ( x , y , z ) este definit în jurul originii sistemului de coordonate unde se află o sarcină electrică p a cărei densitate depinde de pozitia p(x,y,z,) astfel caă centrul de sarcinaă a acesteia saă coincidaă cu originea sistemului de coordonate. Pentru a calcula energia potentialaă de interactie de naturaă electrostatică se dezvoltă potentialul V în serie Taylor în jurul originii:

Page 10: Capitolul 6

10

E p = j V ( x , y , z ) p d v = V0 j pdv

1 r )s2v\ r 2 . )d ,'v\ s 2 .

( @ V ^ / xypdv + ^ @ V ^2

+

+

+ /

© „ / zpdv (6.23)

E> o /zz2pdv] © Jyzpdvxzpdv

Page 11: Capitolul 6

11

Primul termen reprezintă energia de interacţiune cu câmpul electric a unei sarcini punctiforme. Următorii trei termeni reprezintă energia de interactiune dipolară cu câmpul electric. Considerând o distributie de sarcinaă simetricaă rezultaă caă momentele de dipol electric sunt nule iar această energie este nulă. Ultimii sase termeni reprezintă energia de interactie cuadripolară cu câmpul electric. Cele sase integrale definesc cele sase componente ale momentului de cuadripol. Datorită simetriei componentele cuadripolare în care apar produsele xy, yz, zx se anulează.

Mai mult, nici celelalte trei componente ale momentului de cuadripol nu sunt independente. Dacaă se consideraă ca axa Oz este axă de simetrie, integrala ce contine pe y daă acela si rezultat ca integrala ce con tine pe2x .

Atunci, energia de interactie cuadripolară devine:

0.

Page 12: Capitolul 6

12

^ 1f d 2 V \ f 2 , 1 (d2V d 2 V \

i

Din ecuatia lul Laplace rezultă:

d2V d2V d2V

+

x2 y2 Dar x2 + y2 = r2

— z2. Atunci:

E 2= 2 © ) /

z2pdv -

1) 0\

0 Z

pdv (6.24)

(6.25)

2 2

r2 x2

z 2

2

pdv

x 2 +

Page 13: Capitolul 6

13

sau:

0.

Page 14: Capitolul 6

14

Go=0e„>o

Page 15: Capitolul 6

15

Figura 6.3: Legătura dintre forma nucleului si momentul de cuadripol.

*=Ka/<-2=t(§a (6.26>

unde Qo este momentul de cuadripol.

Qo = 1 y (3z2 - r2)pdv (6.27>

Expresia de mai sus este o simplă mediere spatială a expresiei (3z2 — r2) relativ la distributia de sarcinaă astfel caă pentru un nucleu putem scrie:

Qo = Z (3 (z2> - (r2» (6.28)

unde Z este numărul de protoni din acesta. Dimensiunea lui Q se exprimă în m2. Din cauza dimensiunilor foarte mici ale nucleelor se utilizeazaă de obicei o altă unitate de măsură si anume barnul (1 barn=10~28 m2).

Deoarece (r2) = (x2) + (y2) + (z2) si cum pentru nucleele sferice ( x 2 ) = ( y 2 ) = (z2) rezultă că (z2) = (r2) /3. Astfel pentru o distibutie sfericaă de sarcinaă Qo = 0. Dacaă se consideraă un nucleu pentru care (z2) = (r2) /3 atunci există două posibilităti (Fig. 6.3):

a) (z2) > (r2) /3 când nucleul este alungit de-a lungul axei Oz si

Qo > 0

0.

Page 16: Capitolul 6

16

b) (z2) < (r2) /3 când nucleul este turtit de-a lungul axei Oz si Q0 <

Page 17: Capitolul 6

17

Discuţia anterioară este similară celei din mecanica clasică, o tratare a problemei în mecanica cuantică implicând de exemplu exprimarea densitătii de sarcină p prin modulul pătrat al functiei de stare nucleare. Pentru un nucleu cu numărul cuantic al momentului cinetic total egal cu J > 0 rezultă:

Q = 2T7TI)Qo <6.29>

In cazul J = 0 , Q = 0 deoarece nici o axă de simetrie nu poate fi definită. Deasemenea momentul de cuadripol se anulează când J = 1/2. Pentru valori mari ale lui J, Q ' Q0 . Au fost măsurate multe momente cuadripolare iar valorile lor au fost găsite ca apartinând intervalului 1 — 8 barn. Valori mari ale momentului de cuadripol au pământurile rare.

6.2 Forţe nucleare şi energia de interacţiune nucleară

Pentru ca nucleele saă ie stabile este necesar ca între nucleoni saă existe forte de interactiune care să-i tină apropiati unii de alti. Aceste forte trebuie saă ie suicient de puternice pentru a contracara ac tiunea for telor repulsive de natură electrostatică care există între protoni. Vom considera că aceste forte derivă dintr-o energie potentială cu simetrie radială:

0.

Figura 6.4: Forma energiei potenţiale de interacţie internucleonică

Page 18: Capitolul 6

18

V(6.30)

Page 19: Capitolul 6

19

Energia medie de legătură pe nucleon ( B / A ) este aproximativ con-stantaă pentru nucleele stabile si are valoarea de aproximativ 8 MeV. Aceasta arataă caă energia necesaraă pentru a îndepaărta un nucleon din nucleu este aproximativ independentaă de numaărul de nucleoni pe care acesta îi contine. Aceastaă constantaă a raportului B/A implicaă faptul caă energia potentialaă de interac tie dintre nucleoni nu are o razaă mare de ac tiune si dependen ta de r trebuie saă difere mult fa taă de 1 /r. Concluzia care poate i trasaă este aceea caă energia poten tialaă are razaă micaă de actiune iar în nucleu nucleonii sunt supu si unor for te atractive datorate vecinilor nucleonului respectiv (aceastaă proprietate poartaă numele de proprietatea de saturare a fortelor nucleare). Deoarece distan ta dintre doi nucleoni este în jur de 1,8x10"15 m =1,8 fm putem presupune caă for tele de interactiune dintre nucleoni se manifestaă pe o distan taă de 2 fm.

O altă proprietate a potentialului nuclear V rezultă din faptul că volumul nucleului este proportional cu numaărul de masaă A. Acestaă pro-por tionalitate implicaă faptul caă de si energia poten tialaă de interac tie de-terminaă for te atractive nu se ajunge la un colaps al nucleului. Acest fapt se datoreazaă existentei unei componente repulsive care are o razaă de actiune mult mai micaă decât raza de ac tiune a componentei atractive a for telor nucleare. Aceastaă componentaă tine la distan taă nucleonii unii fată de altii. Forma energiei potentiale de interactie este arătată în Fig.6.5:

6.2.1 Deuteronul

Informatii cu privire la energia potentială de interactie dintre nucleoni pot i ob tinute dacaă se studiazaă proprietaă tile unui sistem format din 2 nucleoni (deuteronul) care este format dintr-un proton si un neutron. Deuteronul mai este cunoscut si sub denumirea de hidrogen greu (2H). Pentru acesta s-au determinat experimental mai multe maărimi:

Page 20: Capitolul 6

20

/x = 0, 86/% /x = 0, 86/% P = 1

Figura 6.5: Forma energiei de interactie internucleonice

Page 21: Capitolul 6

21

Pentru determinarea teoretică a valorilor de mai sus este nevoie să se rezolve ecuatia Schrodinger făcând anumite presupuneri asupra energiei potentiale internucleonice. Pentru simplificare vom considera această energie de forma unei gropi de potential (Fig. 6.6).

Ecuatia care trebuie rezolvată este:

Page 22: Capitolul 6

22

r ~2 1------V2 + V ( r ) u ( r , 6 , < p ) = Eu ( r , 6 , < p )

unde r, 6, ' sunt coordonatele sferice, iar:

(6.31)

Page 23: Capitolul 6

23

(6.32)mn + mp

este masa redusaă a sistemului.Deoarece energia potentială are o simtrie sferică functia de

stare are forma u ( r , 6 , ' ) = R niY im ( 6 , ' ) unde Y\m ( 6 , ' ) sunt functiile sferice.

V(r î

Figura 6.6: Energia potentială considerată sub forma unei gropi de potential

6.2.2 Starea fundamentală a deuteronului

Energia staării fundamentale este micaă si deuteronul nu are staări excitate. Din acest motiv vom considera pentru functia de stare cele mai mici valori posibile ale numerelor cuantice: n = 1, l = 0, m = 0. Astfel starea fundamentală a deuteronului este o stare S (l = 0). Deoarece protonul s i neutronul au spini egali cu 1/2, există două posibilităt i pentru realizarea acestei staări:

a) Pentru J = 1 se realizează starea de triplet 3Si

b) Pentru J = 0 se realizează starea de singlet 1S0

Experien ta arataă caă starea care se realizeazaă este aceea de triplet. Această afirmat ie este confirmată de luarea în consideratie a momentului magnetic. In starea S nu existaă nici o contributie la momentul magnetic datoritaă mi scaării orbitale a protonului, astfel caă momentul magnetic rezultaă din momentele magnetice intrinseci ale neutronului si protonului. Cum în această stare J = 1 momentele de spin ale neutronului si pro-tonului sunt aliniate în acelas i sens. Rezultă că si momentele

m =

2mnm,p

Page 24: Capitolul 6

24

magnetice corespunzaătoare sunt aliniate în acelea si sens, astfel caă momentul magnetic total al deuteronului este:

/x = /xre + /Xp = 0, 88/xre(6.33)

valoare care este apropiataă de valoarea determinataă

experimental.

6.2.3 Energia stării fundamentale a deuteronului

Deoarece l = 0, m = 0, Y0O este o constantă. Rămâne de rezolvat ecuat ia radială satisfăcută de R10. Efectuăm substitut ia R10 = v/r. Din (6.31) rezultă ecuatia pentru v:

+ V (r) v = E10V

(6.34)2m dr2

Pentru starea fundamentală E10 este negativă si egală cu energia de legătură cu semn schimbat —B. Energia potentială V (r) este:

V (r) = { -Vopenitru r < a (6.35)[ 0 pentru r > a

In cazul r < a ecuatia (6.34) devine:

~2 d2v------------------------------------------ 1/ r\ - -

2 d 2 = (Vo " B) v (6.36)2m dr2

unde tinem cont că V0 si B sunt mărimi pozitive s i V) — B > 0. Solutia acestei ecuat ii este de forma:

v1 = A sin k1r + C cos k1r (6.37)

unde:

Page 25: Capitolul 6

25

'2m (Vo - B)

iar A si C sunt constate. Atunci:

k1 =

Page 26: Capitolul 6

26

R10 (r) = A—r------+ C—r— (6.39)

sin k^r . cos k1rDeoarece când r ! 0;-------------► k1, iar------------► 1 este necesar să

consideraăm C = 0. Astfel, solu tia ecua tiei (6.34) în acest cazeste:

v1 = A sin k1r (6.40)

In cazul r > a ecuatia (6.34) devine:

~2 d2v

= -Bv (6.41)care are solutia generală:

V2 = De-k2r + Fek2r (6.42)

unde:

/2mB f ,

k2 = )l -j~r (6.43)

Deoarece ek2r ! 1 când r ! 1, este necesar să alegem F = 0. Atunci:

V2 = De-k2 r (6.44)

Impunem apoi conditiile ca v si dv/dr să fie continue în r = a,

2m dr2

Page 27: Capitolul 6

27

vi (a) = v2 (a)

(6.45)

(6.46)

dv

1

dr

dv2

dr

Page 28: Capitolul 6

28

Rezultă:

A sin k1a = De-k2a (6.47)

k1 A cos k1a = -k2De-k2a (6.48)

Din împărtirea celor două relatii rezultă:

ctgk ia = - = -{V^B (6.49)

Aceastaă ecua tie con tine douaă necunoscute: laărgimea gropii de potential a si adâncimea ei V0. Deoarece B este relativ mic în comparatie cu energia medie de legătură dintre nucleoni într-o primă aproximatie îl putem neglija în comparatie cu V0 , astfel că ecuatia (6.49) se reduce la:

Page 29: Capitolul 6

29

ctgk1a = 0

(6.50)

Page 30: Capitolul 6

30

unde:

Page 31: Capitolul 6

31

v(r)t

Figura 6.7: Forma funcţiei v (r)

k i = (6-51)

Din ecuatia (6.50) rezultă k\a = 7r/2, 37T/2, 5TT/2.... Deoarece am considerat rezolvarea ecuaţiei în starea fundamentală vom considera doar cazul k\a = 7r/2. Atunci:

7T2~2

V0a2 '--------' 10~28 MeVm2 (6.52)4mp

6.2.4 Forma detaliată a energiei potenţiale internu-cleonice

Forma functiei de stare v (r) este reprezentată în Fig. 6.7Din forma functiei v (r) se deduce că sistemul celor doi

nucleoni se află în afara gropii de potential cam 40% din timp. Dacă presupunem că a = 2 fm din relatia (6.52) rezultă că V0 ' 25 MeV. Dacă se utilizează relatia mai exactă (6.49) rezultă V0 ' 35 MeV.

O altă observatie care poate fi făcută este aceea că energia de inte-ractie este dependentă de spin. Aceasta rezultă din faptul că deuteronul se află în starea de triplet cu J = 1 si nu se poate afla în starea de singlet cu J = 0. Aceasta înseamnă că energia de interactie dintre cei doi nucleoni este mult mai mică în starea de singlet decât energia de interac tie în starea de triplet.

Informatii asupra dependentei de spin a fortelor nucleare pot fi obtinute în procesele de împrăstiere a neutronilor de energi mici pe protoni. In acest caz trebuie luate în considerare doar undele S ( l = 0). Brown si Jackson au obtinut în anul 1976 următoarele rezultate:

Page 32: Capitolul 6

32

a) pentru starea de triplet (J = 1), V0t = 31, 3 MeV, at = 2, 21 fmb) pentru starea de singlet ( J = 0), V0s = 13, 4 MeV, a s = 2, 65 fm Aceastaă diferen taă între energiile poten tiale de triplet si singlet implicaă

existen ta operatorilor de spin ai celor doi nucleoni în expresia matematicaă a energiei:

(6.53)

unde f c reprezintă partea ce corespunde fortelor centrale, iar f S

reprezintă partea dependentă de spin. Operatorul s1s2 are valorile proprii ~2/4 în cazul în care J = 1 si — 3~2/4 în cazul în care J = 0, fapt ce determină diferen ta dintre energia de interac tie dintre cei doi nucleoni în starea de triplet si singlet.

Datorită faptului că momentul de cuadripol nu este nul (Q = 0), deuteronul nu are o simetrie perfect sferică. Forma lui este mai degrabă una elipsoidală. În starea 3S1 functia de stare nu posedă o dependent ă unghiulară s i atunci Q = 0. Aceasta înseamnă că functia de stare trebuie să prezinte o anumită dependent ă unghiulară adică ea trebuie să aibă si o altă componentă. Există trei posibilităti pentru componenta respectivă si anume să descrie stările: 3P1 ( S = 1, L = 1, J = 1), 1P1 ( S = 0, L = 1, J = 1), 3D1

( S = 1, L = 2, J =1). Primele două stări nu sunt acceptabile din cauză că au paritatea P = —1 în timp ce starea 3S1 are paritatea P = 1. Deoarece starea nuclearaă a deuteronului are paritatea unu, singura stare care poate i admisaă este 3D1. Atunci, func tia de stare este o combinatie între func tiile de stare corespunzaătoare staărilor 3S1 si 3D1. Ea este o stare mixtaă. Func tia de stare a deuteronului are forma:

(6.54)

unde p este probabilitatea ca deuteronul să se afle în starea 3D1. Din valoarea măsurată a momentului de cuadripol rezultă că p ~ 5 — 8%. Deoarece Q > 0 forma deuteronului este elipsoidală (Fig. 6.3). Componenta aditionalaă la energia de interac tie care determinaă o astfel de formaă pentru deuteron este cunoscutaă sub denumirea de componenta tensorialaă si are forma:

Page 33: Capitolul 6

33

(6.55)

VT = fr ( r ) ----r2---------S l S2

unde fr (r) este o functie ce dă dependenta radială a energiei respective.

In afară de acesti termeni există si alte contributii. Un fenomen interesant este acela de schimb. S-a făcut următoarea experientă: Neutroni cu energii de 500 KeV au fost împrăstiati pe protoni. Deoarece energia poten tialaă de interac tie este micaă în raport cu energia neutronilor ne-am i a steptat ca numai o micaă parte din energie saă ie transferataă protonului, iar neutronul saă-si continue drumul cu cea mai mare parte din en-ergie. De fapt s-a gaăsit caă protonul este împraă stiat înainte cu o energie foarte mare. Acest fenomen se petrece astfel: neutronul preia sarcina protonului transformându-se într-un proton în timp ce protonul original se transformaă într-un neutron.

O ultimaă observa tie care trebuie faăcutaă este aceea caă fortele internu-cleare sunt independente de sarcinaă. For ta de interac tie este aceia si între doi neutroni, între doi protoni, si între un neutron si un proton. Staările cu doi protoni si doi neutroni nu se realizeazaă datoritaă principiului de excluziune Pauli.

In concluzie despre for tele nucleare putem spune caă:- au razaă micaă de ac

6.3 Modele nucleare

6.3.1 Modelul picăturii de lichid

Modelul este bazat pe ideea caă nucleul se comportaă asemaănaător unei picaături de lichid. De exemplu în cazul lichidelor for tele intermoleculare sunt for te cu razaă scurtaă de ac tiune, astfel caă energia necesaraă vaporizaării unei mase de lichid dintr-o picaăturaă este independentaă de dimensiunea picaăturii ceea ce înseamnaă caă energia de legaăturaă a moleculelor în picaă-turaă este independentaă de maărimea acesteia. In acela si mod energia de legătură pe nucleon este

Page 34: Capitolul 6

34

Modelul picaăturii de lichid se aplicaă la nuclee grele pentru a calcula energia de legătură si a studia procesul de fisiune nucleară. El se aplică în general pentru nucleele cu A > 30.

Ideea de bază de la care se porneste este aceea că energia de legătură este dataă de suma mai multor termeni, forma acestor termeni iind determinată de considerente de natură fizică. Termenii depind de anumit i parametri care sunt determinat i din compararea datelor teoretice cu valorile experimentale. Pentru un nucleu cu numărul atomic Z si numărul de masaă A existaă urmaătorii termeni care contribuie la energia de legaăturaă a nucleului:

1. Energia d e volum. Aceasta reprezintă contribut ia fort elor atrac-tive care actioneazaă asupra iecaărui nucleon din partea nucleonilor vecini.Dacă fiecare nucleon contribuie cu energia av la energia de legăturăatunci:

Bv = av A (6.56)

2. Energia d e suprafaţa. Nucleonii de lângă suprafată interactioneazăcu mai put ini nucleoni fată de cei care sunt în interiorul nucleului. Deaceea energia de legaăturaă este mic sorataă cu o cantitate proportionalaăcu numărul de nucleoni aflat i la suprafat ă (fenomenul este analog cuexisten ta unei tensiuni supericiale pentru o picaăturaă de lichid). Deoarecenumaărul de nucleoni ala ti la suprafata nucleului este proportional cusuprafat a, el va fi proport ional si cu A2=3 deoarece raza nucleului esteproportională cu A1/3 conform relat iei 6.3. Rezultă:

Bs = -a sA2 /3 (6.57)

3. Energia d e interactie coulombiana. Nucleul are sarcina totală Zedistribuită în mod uniform în interiorul unei sfere de rază R.

Page 35: Capitolul 6

35

Energiapoten tialaă pentru o astfel de distribu tie de sarcinaă este:

E> = 5 43 (6.58)

Deoarece R ~ A1/3 contributia acesteia la energia de legătură este de forma:

Bc = -ac (6.59)

4. Energia d e asimetrie. Nucleele stabile usoare sunt caracterizateprin faptul că N ' Z , si A ' 2Z. Abaterea de la egalitatea A = 2Zduce la micsorarea energiei de legătură. Astfel trebuie introdus un termennegativ care să depindă de diferenta A — 2Z:

B as = ~aas (A ~A2Z) (6.60)

5. Energia d e împerechere. Experienta arată că nucleele cele maistabile sunt nucleele par-pare, nucleele impar-impare sunt cel mai putinstabile iar cele par-impare au o stabilitate intermediară. Efectul acestaeste considerat prin intermediul unui nou termen de forma

a0A~3/4, pentru nucleele par-pare5 ( A , Z) = ^ 0, pentru nucleele par -impare

(6.61)—a0A~3/4, pentru nucleele impar-impare

Valoarea pozitivă a lui 5 pentru nucleele par-pare indică cresterea energiei de legaăturaă.

Rezultă în final următoarea expresie a energiei de legătură:

B = avA - a sA2 /3 - ac - -aas (A + 5 (A, Z) (6.62)

Masa nucleului este:

MN = Zmp + (A - Z) mn - B (6.63)

Page 36: Capitolul 6

36

Comparând masele nucleare calculate cu expresia (6.63) cu cele determinate experimental rezultaă urmaătoarele valori pentru parametrii ce intră în relatia (6.62): av = 15, 76 MeV, a s

= 17, 81 MeV, ac = 0, 71 MeV, aas = 23, 70 MeV, a0 = 34 MeV.Cu ajutorul modelului picăturii se poate găsi relatia dintre A si

Z pentru toate nucleele stabile. Pentru aceasta se derivează relatia (6.62) la Z, se egaleazaă cu zero si se obtine:

Z = 1,97 + 0A 015A2/3 (6.64)

Formula permite calculul lui Z pentru izobarul (3 stabil pentru un număr de masă A dat. Trebuie remarcat că desi (6.62) permite calculul energiilor de legaăturaă, a maselor nucleare, modelul nu poate i utilizat pentru a explora în detaliu proprietaătile nucleare ca spinul, paritatea, momentul magnetic si nivelele de energie.

6.3.2 Modelul păturilor nucleare

Modelul care a permis în telegerea structurii nucleare este modelul paăturilor nucleare care ia în consideratie comportarea individualaă a nu-cleonilor în nucleu. Se poate considera următoarea comportare a unui neutron în interiorul nucleului. Asupra unui neutron care se mi scaă în interiorul nucleului forta medie care actioneazaă asupra lui este aproximativ zero atâta timp cât este departe de marginile nucleului, deoarece el este încojurat din toate părt ile de alt i nucleoni care- s i compensează reciproc actiunile. Atunci când nucleonul se apropie de suprafataă asupra lui vor începe saă actioneze for te de atrac tie fapt ce duce la o modiicare în energia sa potentialaă. Aceasta cre ste de la o valoare negativaă aproximativ constantaă (când nucleonul este în interiorul nucleului) la zero atunci când neutronul ajunge departe de nucleu si este în afara razei de actiune a fortelor internucleonice. Se pot aplica acelea si argumente la studiul mi scaării unui proton, cu excep tia faptului caă atunci când acesta se în-depaărteazaă de nucleu existaă forte de repulsie electrostaticaă care dau o contribu tie pozitivaă la energia poten tialaă de interac tie. Aceastaă energie este reprezentată în Fig. 6.8.

Considerând o particulaă într-o astfel de groapaă de potential prin rezolvarea ecuat iei Schrodinger rezultă o serie de nivele de energie. Este de a steptat ca nucleele în care nivelele energetice sunt complete saă prezinte o stabilitate deosebitaă.

Page 37: Capitolul 6

37

Numerele magice

A fost observat experimental caă nucleele ce au urmaătoarele valori pentru Z sau N, cunoscute sub denumirea de numere magice au o mare stabilitate. Numerele magice sunt:

2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

Anumite caracteristici ale acestor nuclee sunt prezentate mai jos:1. Comparând masele nucleare reale cu cele date de formula

(6.63) se găseşte că acestea sunt semnificativ mai mici când Z şi N sunt numere magice.

2. Nucleele care au pentru Z si N ca valori numerele magice posedă mai mult i izotopi stabili si mai murti izotoni stabili decât nucleele vecine. De exemplu pentru Z = 50 există 10 izotopi stabili în comparatie cu cei 4 izotopi stabili pentru celelalte nuclee. Pentru N = 20 există 5 izotoni stabili în timp ce pentru N = 19 nu există nici un izoton stabil iar pentru N = 21 există un singur izoton stabil.

3. Nucleele dublu magice sunt deosebit de stabile. Ca exemplu putem da nucleul de 4He (Z = 2, N = 2), de 16O (Z = 8, N = 8) s i nucleul de 206Pb (Z = 82, N = 126) care este cel mai greu nucleu stabil.

4. Heliul precum si nucleele având N = 50, 82, 126 prezintă o mare abunden taă în univers.

V(r) /̂ proton///" r

/

neutron_ _1""""""""" H

Figura 6.8: Energia potenţială medie pe care o are un neutron şi un proton în interiorul nucleului

Page 38: Capitolul 6

38

5. Primele staări excitate ale nucleelor cu un numaăr magic de protoni sau neutroni au energii mult mai mari decât în cazul nucleelor vecine.

6. Momentul de cuadripol este dependent de Z, fiind zero când Z este un numaăr magic (în acest caz forma nucleului este sfericaă).

Pentru a ob tine anumite rezultate cantitative trebuie saă ie faăcute presupuneri asupra adâncimii si laărgimii gropii de potential. Din studii de împrăstiere cu neutroni cu joasă energie rezultă: V0 ' 50 MeV.

Pentru determinarea nivelelor nucleare de energie trebuie rezolvataă ecuatia Schrodinger pentru un nucleon care se miscă într-un astfel de potential. Functiile proprii depind de numerele cuantice n, l, m i în timp ce valorile proprii care corespund energiei depind de numerele cuantice n si l. Ordinea nivelelor este arătată în Fig. 6.9 si este diferită făt ă de ordinea acestora în câmp coulombian.

Principiul lui Pauli permite ca pe un nivel cu numaărul cuantic l saă existe 2 (2l + 1) nucleoni. Rezultă că atunci când se ocupă nivelul 1s există 2 nucleoni, când se ocupă s i nivelul 1p numărul de nucleoni ajunge la 8, când se ocupă nivelul 1d se ajunge la 20 de nucleoni, restul numerelor magice nemaiiind posibil de ob tinut, dupaă ocuparea nivelului 1 / numărul de nucleoni ajungând la 34. Astfel, în anul 1948 Mayer si Jensen au sugerat că la energia potent ială V (r) trebuie adăugată si o energie poten tialaă datoritaă interac tiei spin-orbitaă:

Vso (r) = / (r) Ls (6.65)

unde L este momentul orbital al nucleonului, iar s este spinul

nucleonului:

/ (r) ~ 1 dV (6.66)r dr

Efectul acestei interact ii constă în despicarea nivelelor energetice Enl în douaă subnivele caracterizate de numerele cuantice corespunzaătoare momentului cinetic total j = l ± 1/2. Ca s i în cazul despicării nivelelor atomice AE este proport ional cu 2l + 1 s i este aproximativ:

Page 39: Capitolul 6

39

AE = Ei=i+1/2 - Ei=i_i/2 = 10 (2l + 1) A-2 /3 MeV (6.67)

Revenind la diagrama din Fig. 6.9 se observaă caă apar noi nivele pe fiecare din aceste nivele existând 2j + 1 nucleoni. Despicarea nivelelor cres te cu cre sterea lui l [l = 3 (/) , 4 (g) , 5 (h)].

Momentul cinetic şi paritatea

Modelul în paături nucleare permite saă se facaă predic tii asupra spinilor si paritaătilor staărilor fundamentale ale anumitor nuclee si anume acelea

Page 40: Capitolul 6

40

r-

4s

2g

3ff3/24?^Jl/

22&7/21*11/2

2g9/2H/23/>l/2 2/5

/2

Page 41: Capitolul 6

41

li ^2P — i„ . lz"i3/2 ------- 126

Page 42: Capitolul 6

42

3p,3/2

Page 43: Capitolul 6

43

2/ -;. . , 2/7

3* "------------- 1^11/282----------------- ::::: = w 3*,.

*3/2 1/22rf

ldsi2,1^7/2

Page 44: Capitolul 6

44

2^ ' ^ - _ lg 9/2 ----- 50

J9/2

1/5/'5/2----------~-----------2P3 /2

l f --------- I/7/2

28

Page 45: Capitolul 6

45

Id\dil2 ------ 20

■"1/2

Page 46: Capitolul 6

46

2*

1^5/2

lp _____________ ,

___l.Pl/2

~~~~ 1^3/2

1*1/2

Is

Page 47: Capitolul 6

47

Figura 6.9: Nivele de energie într-o groapă de potenţial. In partea stângă sunt prezentate nivelele fară a lua în consideratie interactia spin orbită, iar în dreapta sunt prezentate nivelele energetice când se ia în considerare interactia spin-orbitaă care au paăturile si subpaăturile complete precum si acele nuclee care au un nucleon în plus sau în minus fată de o pătură completă. Trebuie remarcat caă pe un nivel caracterizat de numaărul cuantic j pot exista 2j + 1 nucleoni a caăror componentaă pe axa Oz a momentului cinetic este caracterizată de numerele cuantice m = — j, — j + 1,j . Valoarea totalaă a componentei dupaă axa Oz a momentului cinetic al nucleonilor de pe paătura respectivaă este zero ( m = 0). Aceasta implicaă faptul caă si momentul cinetic total este nul. Astfel, nucleele la care toate subpaăturile sunt ocupate complet au momentul cinetic total nul J = 0. Deoarece j = l ± 1/2 este semiîntreg 2j + 1 este un număr par, astfel că nucleele de acest tip sunt nuclee par-pare. Predic tia pentru J este în concordantaă cu observat iile experimentale.

Deoarece paritaătile tuturor nucleonilor într-o subpaăturaă sunt acelea si s i P = (—1)1 rezultă că paritatea totală a nucleonilor de pe o pătură completă, care este produsul parităt ilor component ilor, este P = 1. Atunci paritatea totalaă a nucleului având paăturile complete este tot P = 1. Pentru astfel de nuclee JP = 0+. Cele mai multe nuclee din această categorie sunt nucleele dublu magice (|He, 16O, 8°8Pb) dar sunt si altele ca 62C (subpăturile 1s1/2 s i 1pi/2 sunt complete).

Să considerăm cazul nucleelor cu un nucleon în plus fat a de situatia în care J = 0+. Atunci, momentul cinetic total s i paritatea sunt determinate de nucleonul în plus. De exemplu 1O are un neutron în plus în starea 1d5/2 pentru care j = 5/2, l = 2 si P = (—1)1 = 1. Atunci starea în care se află nucleul este JP = 5+ în concordantă cu datele experimentale. În cazul 2oCa nucleonul impar este în starea 1 /7/2 iar starea nucleului este JP = 2 , din nou în concordant ă cu datele experimentale.

Rezultate similare se obtin în cazul în care unei paături îi lipse ste un nucleon. O paăturaă cu un nucleon în minus are acela si moment cinetic cu cel al nucleonului lipsaă deoarece momentul cinetic total combinat cu momentul cinetic al nucleonului lipsaă trebuie saă ie egal cu zero. Astfel, nucleul 75N care are un gol în subpătura 1po/2 se află în starea JP = 0 . Nucleul 2°7Pb are un gol

Page 48: Capitolul 6

48

în subpătura 3po/2 astfel că J p = 0 . Ambele predic tii sunt în concordantaă cu experien ta.

Pentru alte tipuri de nuclee trebuie faăcute alte considera tii. Modelul paăturilor nucleare este un model aproximativ în sensul caă interactia dintre nucleoni este aproximataă cu o energie potentialaă V (r) precum si cu o energie poten tialaă legataă de interac tia spin-orbitaă pentru o singuraă particulaă. Astfel, trebuie saă existe o interac tie rezidualaă care reprezintaă difer-en ta dintre interac tia efectivaă si cea aproximativaă pe care am considerat-o pânaă acum.

Energia poten tialaă internucleonicaă determinaă o for taă atractivaă între perechile de nucleoni. Aceasta înseamnă că starea cu energia cea mai joasă este una în care fiecare pereche de nucleoni se află la o distant ă cât mai micaă pentru ca fortele de atrac tie saă ie cât mai mari. Dar, conform principiului lui Pauli doi nucleoni nu pot i în aceia si stare cu acela si set de numere cuantice. Astfel, cea mai joasaă energie pentru 2 nucleoni aflat i pe subpătura j trebuie să aibă numerele cuantice corespunzătoare proiectiei momentului cinetic pe axa Oz m si —m. Aceasta înseamnă caă momentul cinetic al unui nucleon dintr-o pereche este de sens opus celuilalt nucleon din pereche. Momentul total al unei perechi este zero.

Acceptând existen ta efectului de împerechere rezultaă caă toate nuclele par-pare sunt în starea JP = 0+, cum a fost gaăsit experimental, deoarece nucleonii se împerecheazaă doi câte doi având un moment cinetic total nul. Mai mult, orice nucleu par-impar provine dintr-un nucleu par-par la care s-a adaăugat un nucleon. Rezultaă caă momentul cinetic total si paritatea sunt egale cu valorile acestor maărimi pentru nucleonului adi tional. Existaă except ii de la aceste reguli. Astfel, pentru °°6Ag este asteptat ca să existe 7 protoni pe nivelul energetic 1g0/2 astfel că starea nucleului trebuie să fie |+. Experimental se găse ste că starea nucleului este 0 . Aceasta rezultaă din faptul caă dacaă se face un calcul mai exact, din punct de vedere energetic este mai favorabilă configurat ia ca să existe 8 protoni pe nivelul 1g0/2 si un singur proton pe nivelul 2p0/2. Protonul impar se află astfel pe nivelul 2p0/2 s i el este nucleonul care determină momentul nucleului si paritatea nucleului. În cazul nucleelor impar-impare modelul nu daă rezultate satisfaăcaătoare.

Page 49: Capitolul 6

49

Momente magnetice şi momentul de cuadripol

În cazul unui nucleu cu momentul cinetic total J , momentul magnetic este:

p - j =gj 2>mp j (6.68)

Aceasta înseamnaă caă pentru nucleele par-pare care au J = 0 în starea fundamentalaă nu existaă momente magnetice.

Page 50: Capitolul 6

50

În schimb pentru nucleele par-impare care au un moment cinetic caracterizat de un numaăr cuantic J semiîntreg ne a steptaăm ca acestea saă aibaă momente magnetice. În acest model momentul magnetic al nucleului este dat de ultimul nucleon a caărui stare este caracterizataă de numerele cuantice l, si j. Existaă douaă contribu tii la momentul magnetic: una datorataă spinului nucleonului, iar alta datorataă mi scaării orbitale. Pentru un singur nucleon operatorul moment magnetic poate i scris ca:

Page 51: Capitolul 6

51

e2mp

(6.69)

Page 52: Capitolul 6

52

unde gL si gs sunt factorii giromagnetici. gL are valoarea 1 pentru proton s i 0 pentru neutron (acesta nu are sarcină electrică), gs = 5, 5856 pentru proton s i gn = —3, 8262 pentru neutron. Din relatiile (6.68) s i (6.69) se ob tine:

Page 53: Capitolul 6

53

g j J = giL +

gss Multiplicând cu J relat ia (6.70)

se obtine:

(6.70)

Page 54: Capitolul 6

54

gj J = g LL J + gssJ

(6.71)

Page 55: Capitolul 6

55

Cum

JJ = LJ + Js

rezultaă Js = J LJ si LJ = J Js. De aici rezultaă

Page 56: Capitolul 6

56

LJ J

Js J

J2 + LJ2

2

J2 + - L2

(6.72

)

(6.73

)

2

2

Page 57: Capitolul 6

57

Atunci rela tia (6.71) devine:

Page 58: Capitolul 6

58

gjJJ2 = 1

2gL JJ2 + LJ2

+ gs ( J + s2 - L

2 (6.74)

2

Page 59: Capitolul 6

59

Ecua tia de mai sus este o ecua tie pentru operatori. Înlocuind apoi paătratul iecaărui operator unghiular prin valorile proprii corespunzaătoare se ob tine: fij = 9 j J = 2 J 9 L + 9 s + ( 9 L - 9 s ) 1

(J+ 13)=4 (6.75)

Dacă se utilizează această ecuaţie si valorile factorilor giromagnetici 9, momentele magnetice ale protonului sau neutronului impar se determină usor în două cazuri si anume când J = l ± 1/2. Rezultatele obtinute cu ajutorul modelului nu duc la predictii în conformitate cu datele experimentale. Pentru a realiza o concordanta bună trebuie utilizate modele mai sofisticate.

Se observă că numai nucleele cu J > 1/2 au valori diferite de zero pentru momentul de cuadripol Q. Ne vom referi doar la nucleele par-impare cu un proton impar. In acest ultim caz utilizând modelul păturilor nucleare Q va fi determinat doar de nucleonul impar si:

Q = (3 <z2> - <r2» (6.76)

unde Z a fost luat egal cu 1 (un singur proton) iar media va fi făcută peste orbita protonului. Mediile variază de la 10~30 m2

pentru nucleele usoare la 6 X 10~27 m2 pentru nucleele grele. In cazul nucleelor cu un neutron impar Q = 0 deoarece neutronul nu are sarcină. Din punct de vedere experimental situa tia este diferitaă. Prima dataă trebuie remarcat caă nu existaă o mare diferen taă între valorile lui Q pentru nucleele care au un proton impar si nucleele care au un neutron impar. In al doilea rând valorile gaăsite pentru Q pentru anumite nuclee sunt de 10 ori mai mari decât cele calculate. Astfel de nepotriviri pot fi explicate de o miscare colectivaă a nucleonilor în nuclee.

Stări excitate

In cazul nucleelor cu A impar, adică a nucleelor par-impare stările excitate rezultă din excitarea nucleonului neîmperecheat pe stările energetice superioare. De exemplu 17 O are un neutron pe nivelul 1d5=2 iar imediat deasupra acestui nivel se află nivelele 2s1=2 si 1d3=2. Referindu-ne la diagrama nivelelor energetice din Fig. 6.9 într-adevăr prima stare excitată este o stare |+ si poate fi interpretată ca apărând din trecerea neutronului pe nivelul energetic 2s1=2 iar starea 3 poate fi interpretată ca apărând din trecerea neutronului pe nivelul energetic 1d3=2.

Page 60: Capitolul 6

60

În cazul nuceleelor par-pare ob tinerea unei staări excitate se face prin ruperea unei perechi de nucleoni fapt ce complicaă mult lucrurile.

Modelul simplu al paăturilor nucleare este în maăsuraă saă explice numerele magice, momentele cinetice ale nucleelor, ordinul de maărime al momentelor magnetice, existen ta staărilor excitate pentru nucleele care au un nucleon în plus sau în minus fataă de o paăturaă completaă.

O ipotezaă a acestui model este caă nucleonii se mi scaă faăraă ca ei saă interac tioneze între ei. Acest fapt pare a nu i în concordantaă cu realitatea datoritaă faptului caă între nucleoni existaă forte de interactie.

6.4 Reactii nucleare

O reactie nuclearaă este initiataă prin bombardarea unor nuclee tintaă cu un fascicol de nucleoni sau nuclee. La începutul dezvoltării fizicii nucleare erau folosite particulele a care proveneau din dezintegrări radiaoctive. În zilele noastre particulele sunt accelerate în acceleratoare de particule. Existaă douaă obiective majore în experien tele în care se studiazaă reactiile nucleare:

1. Datele experimentale ob tinute pot i comparate cu predictiile ce se fac asupra reac tiilor respective, în acest mod veriicându-se modelele propuse pentru structura nucleului si a reactiilor însaă si.

2. React iile nucleare sunt utilizate în spectroscopia nucleară pentru a se obtine informa tii asupra nivelelor nucleare.

6.4.1 Energetica reactiilor nucleare

O reac tie nuclearaă este în general scrisaă astfel:

Page 61: Capitolul 6

61

A + a ! B + b (6.77)

Page 62: Capitolul 6

62

unde A este nucleul t intă, a este particula proiectil care ajunge pe nucleul t intă, B este nucleul care se formează după react ia lor iar b este particula care rezultaă în urma acestei reac tii. O reac tie poate i scrisaă simpliicat astfel: A (a, b) B. Ca exemplu putem da reac tia:

(6.78)

Reac tia nuclearaă poate i mai complicataă în sensul caă pot existaă mai multi produsi de reactie. In continuare ne vom linita la situatia în care existaă doar doi produ si de reac tie.

Reac tiile nucleare sunt guvernate de legile de conservare obi snuite: a impulsului, a energiei, a sarcinii si a numaărului total de nucleoni.

Din punct de vedere energetic importantaă este energia de reac tie Q care reprezintaă diferen ta dintre energia de repaus a particulelor în starea initialaă si energia de repaus în starea inalaă:

Q = [ ( m a + M A ) - (mb + MB)] c2 (6.79)

O altaă expresie a lui Q se poate obtine utilizând legea conservaării energiei. Considerăm că energia cinetică a particulei a în sistemul laboratorului este Ta iar nucleul tintă se află în repaus. Atunci:

mac2 + MAC2 + Ta = MB c2 + TB + mbc2 + T (6.80)

unde TB s i Tb sunt energiile cinetice ale produsilor de react ie.

Rezultă:

Q = TB + Tb - Ta (6.81)

Există două situat ii:a) Q > 0, când reac tia este înso titaă de eliberare de energie.

In acest caz spunem caă reac tia este exoenergeticaă.b) Q < 0, când react ia este însot ită de cresterea energiei de

repaus pe seama energiei cinetice. Spunem caă reac tia este endoenergeticaă.

Q se măsoară în general în MeV si ea poate fi determinată utilizând ecuat ia (6.79). Astfel, pentru react ia (6.78) avem M (|

Page 63: Capitolul 6

63

He) = 4, 002604u, M (|Be) = 9, 01219u, M (62C) = 12, 00000u, M (0n) = 1, 00867u. Astfel se obt ine Q = 6,12 X 10~3«c2 unde c = 3 X 108 m/s este viteza luminii în vid. Dar cum uc2 =931,19 MeV rezultă energia de react ie Q = 5, 7 MeV. Câteva valori ale lui Q pentru diverse reac tii sunt prezentate maijos:

Page 64: Capitolul 6

64

2D(2D, n)3He 12B(p, n)12C 12B(p, 3H)10B27 Al(7, p)26Mg

Q = 3, 3 MeV Q = 12,6 MeV Q = -6, 3 MeV Q = -8, 3 MeV

Page 65: Capitolul 6

65

6.4.2 Sistemul centrului de masă

Dacă Q < 0, legea conservării energiei cere ca în sistemul laboratorului energia cinetică a proiectilului să fie mai mare decât |Q| deoarece conservarea impulsului interzice ca produsii de reactie în starea finală să fie în repaus. Pentru a studia acest fapt vom discuta reactia în sistemul centrului de masă. Conform legii conservării impulsului avem:

mava + MAVA = 0 (6.82)

de unde

V A = ~ MAVa (6.83)

In sistemul centrului de masă energia totală este:

T = 2mav2a + 2MAVA = 2mav2a (1 + M^) (6.84)

In sistemul laboratorului nucleul tintă este în repaus si doar particula a se miscă. Atunci energia cinetică este:

T' = 2 m^a2 (6.85)

unde va este viteza relativă a particulei a fată de nucleul A.

MA

Inlocuind în (6.85) relatia (6.86) rezultaă:

Tinând cont de conditia ca saă se producaă o reac tie endoenergeticaă în sistemul centrului de masă T > |Q|. Atunci:

r ■> IQ

|( I + M^) (6.88)

Cantitatea 1 + M~~^ reprezintă energia de prag pentru

care are loc reac tia nuclearaă.

V'a = Va ~ V a = 1 + (6.86)

Page 66: Capitolul 6

66

6.4.3 Reacţiile nucleare si secţiunile eficace

Să considerăm un fascicol ce cade pe o tintă constând din obiecte sferice de rază R (Fig. 6.10). Fiecare sferă are aria sectiunii a = iR2, iar fiecare particulă ajungând în interiorul acestei arii loveste sfera respectivă. Dacă particulele incidente sunt si ele sfere de rază r aria de interactie va creste la valoarea i (r + R)2. Probabilitatea de ciocnire cre ste cu cre sterea ariei de interactie a.

Intorcându-ne la reac tiile nucleare, trebuie remarcat caă nucleele nu sunt sfere bine deinite, deoarece densitatea lor variazaă cu raza. In plus, datoritaă razei inite de ac tiune a for telor nucleare, nu este nevoie ca saă existe un contact direct între particulele care interactionează. Astfel, vom considera ca maăsuraă pentru probabilitatea de reac tie o sec tiune pe care o vom nota tot cu a si pe care o vom denumi sec tiune eicace. a poate fi privită ca o sectiune totală de interactie (aT) care este legată de probabilitatea ca saă se petreacaă ceva când particulele incidente si tinta interactioneazaă, sau poate i privitaă ca o sec tiune eicace par tialaă de interac tie când ea este legataă de probabilitatea ca o anumitaă reactie să aibă loc. Evident:

ar = J2 a i (6.89)

De si a nu reprezintaă sectiunea nucleului care nu poate i precis deinitaă ne a steptaăm ca aceasta saă ie de acela si ordin de maărime cu sec tiunea sfericaă a nucleului. Deoarece raza nuclearaă este cuprinsaă în intervalul 2 si 7 fm atunci 7rR2 va fi cuprinsă în intervalul 5 X 10 29 m2 - 1, 5 X 10 27 m2. Uzual

Figura 6.10: a) Interactia dintre un fascicol de particule cu o tintă constând din sfere rigide. b) Particule punctiforme care se ciocnesc de sfere de raze R. c) Particule de raze r care se ciocnesc de sfere de raze R.

Page 67: Capitolul 6

67

sectiunile eficace se exprimă în fizica nucleară în barni (1 barn = 1b = 10-28 m2)

Vom demonstra în continuare că atenuarea unui fascicol de particule ce trece printr-o tintă este legată de a. Fie o tintă de arie A, grosime dz care contine n nuclee pe unitatea de volum, astfel încât în fiecare secundă pe aria A să ajungă N particule. Dacă sectiunea eficace a fiecărui nucleu este a avem:

-numaărul total de nuclee din tintaă = nAdz-sec tiunea eicace corespunzaătoare tuturor nucleelor = naAdzAtunci, numărul de particule din fascicolul incident care

interactionează cu nucleele tintă în unitatea de timp = (numărul de particule ce ajung pe unitatea de arie) X (sectinea eficace corespunzătoare tuturor nucleelor):

N—anAdz = Nandz

AAcesta este numaărul de particule care este îndepaărtat din

fascicolul incident. Notând cu dN variatia numărului de particule din fascicolul incident prin reactia nucleară (dN < 0) atunci:

dN = -Nandz

(6.90)

Pentru o tintă de dimensiuni finite vom obtine atenuarea totală prin integrarea pe distan ta z :

f N d N r z

I — = - nadz (6.91)No N 7c ^ '

unde Nc este o măsură a intensităţi fascicolului incident iar N este o măsură a intensităţii fascicolului transmis. Rezultă:

N = Nc exp (-naz) = Nc exp (-/xz)

(6.92)

unde /i = na este cunoscut sub denumirea de coeficient de atenuare. Inversul 1/na are dimensiunea unei lungimi si

J

Page 68: Capitolul 6

68

reprezintă distanta pe care fascicolul este atenuat cu un factor 1/e.

In final vom introduce conceptul de sectiune eficace diferentială. Situa tia este ilustrataă în Fig. 6.11 unde produsul de reac tie este araătat ca împrăstiindu-se sub unghiurile polare 9 si ' în interiorul unghiului solid dQ = sin 9d9d'

Pentru o anumitaă reactie nuclearaă, a este legat de probabilitatea ca reac tia saă aibaă loc iar produ sii de reac tie saă se deplaseaze în toate di-rectiile posibile.

Mărimea da/dQ este legată de probabilitatea ca produsii de reactie să se găsească într-un unghi solid dQ în jurul directiei caracterizate de unghiurile 6 s i da/dQ este functie de unghiurile 6 si ' si se nume ste sec tiune diferen tialaă. Dacaă particulele din fascicolul incident si nucleele t intei au spinii orientati haotic atunci da/dQ va fi independent de

Dacă se integrează sectiunea diferent ială pe unghiul solid 4i se obtine sec tiunea eicace a:

a = — d Q (6.93)Jo d Q

Dacă da/dQ este indepent de unghiul ' se obtine:

a = 2i d^ sin 6d6 (6.94)Jo d Q

6.4.4 Tipuri de reacţii nucleare

Page 69: Capitolul 6

69

Fie o particulaă încaărcataă care se apropie de un nucleu. Prima inte-rac tie va i cea electrostaticaă iar dacaă particula are o energie micaă ea va i împraă stiataă pe un potential de tip coulombian. Ea va suferi o împraă stiere elasticaă faăraă ca ea saă atingaă nucleul. Modul în care are loc împraă stierea depinde de forma si maărimea nucleului si de poten tialul asociat acestuia. Un astfel de proces va i simbolizat astfel:

A + a ! A + a (6.95)

Dacaă energia particulei este suicient de mare este posibil ca particula încaărcataă saă traverseze bariera de poten tial si saă ajungaă în regiunea în care se fac simtite fortele nucleare iar particula atinge practic nucleul. Există mai multe posibilităti. Un nucleon poate fi excitat pe un nivel energetic superior în timp ce particula incidentaă paăraăse ste nucleul cu o energie mai micaă. Un astfel de proces poartaă numele de ciocnire inelasticaă si în urma lui nucleul rămâne într-o stare excitată. O altă posibilitate este ca particula incidentaă saă excite un mod colectiv de vibratie sau rota tie. Un astfel de proces este simbolizat prin:

A + a ! A* + a (6.96)

unde A* are semnificatia unei stări excitate a nucleului A.Dacaă energia particulei incidente este si mai mare atunci în

urma interact iei nucleul poate suferi o transformare. Există două posibilităti dependente de energia pe care o are particula incidentaă si de câtaă energie este pierdutaă de particula incidentaă. Astfel, dacaă particula a are sui-cientaă energie ea poate saă paăraăseascaă nucleul determinând apar tia unui nucleon. Acest proces se scrie ca:

A + a ! B + a + b (6.97)

unde B este nucleul rezidual iar b este nucleonul scos afară din nucleu dupaă ciocnire. Dacaă particula incidentaă pierde foarte multaă energie în cursul reac tiei ea nu va mai avea suicientaă energie saă paăraăseascaă nucleul si va raămâne în interiorul nucleului:

A + a ! B' + b (6.98)

Aceste tipuri de reactii poartaă numele de reac tii directe deoarece in-terac tiunea are loc mai degrabaă doar cu un singur

Page 70: Capitolul 6

70

nucleon decât cu nucleul ca un întreg. Alte variante ale aceestui tip de reactii sunt cele de stripping s i pick-up. In primul tip de react ie particula incidentă (de obicei deuteronul) pierde unul din nucleoni care raămâne în interiorul tintei în timp ce celaălalt iese din aceasta. In al doilea tip de reac tie particula

Figura 6.12: a) Exemple de reacţii directe b) Reacţie stripping c) Reacţie pick-up

incidenţă loveşte un nucleon din ţintă căruia îi transmite suficientă energie pentru a ieşi din aceasta. Aceste posibilităţi sunt arătate în Fig. 6.12.

O altă posibilitate este aceea în care particula incidenţă cade pe un nucleu din care nu are suficientă energie să iasă. In interiorul nucleului particula va suferi diverse ciocniri până ce energia va fi concentrată pe una sau mai multe particule care pot paăraăsi nucleul. Este posibil si ca nucleul saă piardaă excesul de energie prin emisie de radia tie electromagnetică (emisie gama). Starea nucleului după ce acesta a captat particula incidentaă poartaă numele de nucleu compus.

In cazul unei reacţii directe pentru o particulă cu energia de câţiva MeV reacţia are loc într-un interval de timp egal ca ordin de mărime cu timpul în care aceasta traversează nucleul (ft R/c ' 1CF22 s). In cazul reac tiilor cu formare de nucleu compus intervalul de timp este mult mai mare (1CF14 — 1CF20 s). Un

c)

Page 71: Capitolul 6

71

proces în care apare un nucleu compus poate i considerat în urmaătoarele etape: a) formarea nucleului compus b) dezintegrarea nucleului compus:

A + a ! C* = B + b (6.99)

In final vom aminti despre modelul optic care a fost dezvoltat de Fes-hbach, Porter and Weisskpof în anul 1954 si care este util în întelegerea react iilor nucleare. El se bazează pe ideea că potent ialului tip groapă de poten tial (din modelul cu paături) i se adaugaă o componentaă imaginaraă:

V + iW (6.100)

Ultimul termen este introdus pentru a lua în considerat ie că particula incidentă poate fi absorbită în react ie. Numele vine din analogia cu optica unde termenul complex adăugat indicelui de refract ie este introdus pentru a lua în considerare absorbtia. Astfel, particula care interact ionează cu nucleul poate i sau nu absorbitaă.

6.4.5 Împrăştiere şi absorbţie

Vom considera interactia unei particule cu câmpul electrostatic al nucleului si cu poten tialul optic (care ia în consideratie posibilitatea ca particula saă ie absorbitaă). Ne vom concentra numai asupra a ceea ce se întâmplaă cu particula incidentaă si nu vom considera nici un detaliu referitor la posibilele reactii nucleare.

Împrăştierea columbiană

Fie o particulă încărcată cu sarcina ze care se apropie de un nucleu cu sarcina Ze. Energia de interact ie dintre cele două particule este:

VC = Ze- (6.101)4TV£0T

unde - este distanta măsurată din centrul nucleului. Atunci când particula ajunge în raza de ac tiune a for telor nucleare energia poten tialaă de interac tie se modiicaă în mod radical ca în Fig. 6.13 unde am prezentat simbolic energia poten tialului optic.

Page 72: Capitolul 6

72

Aici efectul de interac tie al particulei cu nucleul prin intermediul fortelor nucleare este reprezentat de potent ialul optic V + iW . Bariera de poten tial poate i depaă sitaă dacaă

particula incidentaă are energia

VB = £S (6.102)

unde R este raza nucleară. Valori tipice pentru VB în cazul unui proton incident când z = 1 sunt:

Carbon ( Z = 50) VB ' 3 MeV Argint (Z = 47) VB ' 12 MeV Plumb (Z = 82) VB ' 17 MeV

Desi în mecanica clasică, o particulă incidentă nu poate trece peste o barieră de potential decât dacă energia ei este mai mare ca VB, conform mecanicii cuantice chiar dacă energia acesteia este mai mică dacât înăhtimea barierei de potential ea poate penetra bariera (efectul tunel). Dacă însă energia particulei este mult mai mică decât înăltimea barierei efectul este neglijabil, iar particula va suferi o împrăstiere. Pentru a determina distanta minimă la care particula ajunge se pune condhtia ca energia cinetică să fie egală cu energia potentială la distanta dc. Se obtine:

dc = 4 1? _ (6.103)

unde cu T am notat energia cinetică a particulei incidente. Imprăstierea coulombiană este prezentată în Fig. 6.14.

V(r)f< ►/

r~ R\V + iW

Figura 6.13: Energia potenţială a unei particule în vecinătatea nucelului

Page 73: Capitolul 6

73

Figura 6.14: Imprăştierea unor particule încărcate în câmp coulombian

Un calcul detaliat arată că traiectoriile particulelor şunt hiperbole iar secţiunea diferentială eşte de forma:

da d 2 ,dn = IăŞ^ (6.104)

In Fig. 6.15 eşte reprezentată şectiunea diferentială de interactie într-un aşfel de caz.

Imprăştiere şi absorbţie pe potenţialul nuclear

Să considerăm şituatia în care energia particulei eşte suficient de mare aştfel încât diştanta minimă de apropiere dC şă cadă în interiorul razei de actiune a potentialului optic. Pentru energii înalte ne aşteptăm ca da/dQ şă difere de valorile date de ecuatia (6.104) pentru valori mari ale unghiului 9. Aceşt lucru eşte iluştrat în cazul protonilor de 30 MeV care şunt împrăştiati pe nuclee de 208Pb (Fig. 6.16).

Fluctuatiile şectiunii diferentiale pot fi conşiderate ca fiind aşemănă-toare intenşitătii luminoaşe obtinute prin difractie Fraunhoffer pe o şferă abşorbantă. Abşorbtia protonilor eşte luată în conşiderare prin partea imaginară a potentialului optic iW. Pornind de la aceşta şi de la diş-tantele dintre maxime şe poate determina valoarea R a gropii de potential. Rezultă R = (1,4 - 1, 5) A1/3 fm. Aşa cum era de a şteptat expreşia lui R

Page 74: Capitolul 6

74

IO7dQ (mb/sr)

\Q6

10

3

IO

4

IO

3

Page 75: Capitolul 6

75

90° 180 o

6

Page 76: Capitolul 6

76

Figura 6.15: Sectiunea diferentială de împrăstiere a particulelor a de 7,68 MeV pe nuclee de 197Au

Page 77: Capitolul 6

77

dadQ.

1

a.u0,80,60,40,2

Y/V

Page 78: Capitolul 6

78

60° 120° 180 o

e

Page 79: Capitolul 6

79

Figura 6.16: Sectiunea diferentială de împrăstiere a protonilor de 30 MeV pe208pb

este de acelasi tip ca cea dată de ecuatia (6.3) având o valoare mai mare datorită razei de actiune a fortelor nucleare. Pentru ca datele obtinute să fie în concordantă cu cele prezise de teorie este necesar ca V = 50 MeV, iar W = 5 MeV.

O altă caracteristică descrisă de modelul optic este modul în care sectiunea totală de interactie (de absorbie si împrăstiere) aT

variază în functie de dimensiunea nucleară. aT variază lent cu energia pentru fiecare nucleu existând maxime largi. Aceste maxime pot fi întelese ca niste rezonante care apar atunci când lungimea de undaă a particulei incidente este cuprinsaă de un numaăr întreg de ori în laărgimea gropii de poten tial. Deoarece timpul de împrăstiere este de ordinul a At ~ 10~22 s există o incertitudine în energie AE ~ h/At ~ 10 MeV. Spunem ca starea are lărgimea T = 10 MeV.

6.4.6 Reacţii directe

Reactiile directe sunt caracterizate de o singură ciocnire pe care o suferaă particula incidentaă cu un nucleon din interiorul nucleului. Ciocnirea are loc normal la suprafa ta nucleului, deoarece dacaă particula ar paătrunde mai mult în interiorul nucleului va suferi ciocniri multiple, fapt ce ar duce la formarea nucleului compus. Nucleonul excitat pe un nivel energetic superior (ciocnire inelastică) poate suferi reactie de tip pick-up (p, d). O altă posibilitate este aceea că un nucleon din particula incidentă poate fi captat pe o stare energetică (d, n). In orice formă reactia duce la popularea nivelelor slab excitate ale nucleului. Implicând o singură ciocnire cu un singur nucleon astfel de reactii pot i tratate teoretic cu ajutorul modelului în paături al nucleului. Principala sursaă de informatii în acest caz este dată de variatia sectiunii de împrăstiere da/dQ în functie de unghiul de împrăstiere 9.

Fie o particulă incidentă cu impulsul p i care interactionează cu un nucleu din care rezultă o particulă cu impulsul qf/ care face unghiul 9 cu directia de miscare a particulei incidente. Fie q impulsul transferat nucleului (Fig. 6.17).

Page 80: Capitolul 6

80

Mărimea lui q este dependentă de unghiul de împrăstiere 9:

q2 = p2 + pf - cos 9 (6.105)

Momentul cinetic transferat este cuantiicat si nu poate lua

decât

Page 81: Capitolul 6

81

Pi

Page 82: Capitolul 6

82

Figura 6.17: Interactia directă în urma căreia nucleului i şe tranşferă impulşul ~ = ~i - p/

valorile [l (l + 1)] = ~ unde l eşte numărul cuantic orbital. Când nucleuleşte excitat conşervarea momentului cintetic reştric tioneazaă valorile pecare le poate lua /. O altă limitare eşte impuşă de conşevarea paritătii,care impune ca diferenta dintre paritătile celor două ştări şă fie .

6.4.7 Reacţii cu formare de nucleu compus

Aceşt tip de reac tii şunt caracterizate de faptul caă are loc captura particulei incidente de caătre nucleul tintaă. Particula care paătrunde în interiorul nucleului şuferaă mai multe ciocniri, dupaă care nucleul compuş şe dezintegreazaă prin emiterea unei particule. Un exemplu tipic pentru aceşt tip de reac tie eşte urmaătorul proceş:

27Al+p ! 27Al+p ! 27Al*+p ! 24Mg+4He ! 27Si+n ! 28Si+7

Diferitele moduri de dezintegrare poartă numele de canale de dezintegrare şi includ împraă ştiere elaşticaă, împraă ştierea inelaşticaă precum şi dezintegraări radioactive.

Energia de excitare a nucleului compuş eşte egală cu şuma dintre energia de legătură Eb şi energia cinetică a particulei incidente Ec (datorită maşei mari a nucleului tintă şe poate neglija energia cinetică pe care nucleul tintaă o prime şte de la nucleonul incident). Energia de legaăturaă i

60 '53

1

Page 83: Capitolul 6

83

g

\ J II, L A J L /AEnergia particulei (MeV)

Figura 6.18: Rezonanţe în nucleul compus

este de aproximativ 8 MeV iar energia cinetică poate lua orice valoare. In reactiile nucleare cu neutroni această energie poate fi aproximativ egală cu zero deoarece nu există nici o barieră coulombiană. In reactiile nucleare cu particule încărcate Ec

trebuie să fie suficient de mare pentru ca particula să poată trece bariera de potential.

Măsurarea sectiunilor eficace pentru reactii în care energia neutronilor incidenti este de câtiva MeV prezintă foarte multe rezonante înguste (Fig.6.18).

Rezonantele apar atunci când energia particulei incidente corespunde staărilor excitate ale nucleului compus.

Dacă notăm cu E energia particulei incidente, cu ER energia rezonantei, s-a găsit că în vecinătătea rezonantei sectiunea eficace pentru o reactie particulară (i) depinde de energia particulei incidente după expresia:

a ( E ) = ^g--------TcT2 1 (6.106)

unde A este lungimea de undă de Broglie a particulei incidente, g este un factor statistic care depinde de spinii particulelor, V este lărgimea la semi-înăltime. Tc este proportională cu probabilitatea pentru formarea nucleului compus când particula incidentaă interac tioneazaă cu nucleul tintaă, iar Ti este proportional cu probabilitatea ca nucleul să se dezintegreze pe canalul i. Spunem că Y i este lărgimea partială pentru realizarea canalului i. Lărgimea totală a rezonantei este V si este egală cu suma lărgimilor par tiale:

Page 84: Capitolul 6

84

r(6.107)

Page 85: Capitolul 6

85

Expresia (6.106) a dependentei sectiunii eficace de energia particulei incidente este cunoscută ca formula Breit-Wigner. Trebuie remarcat că dependenta lui a de Ti implică faptul că sectiunea eficace pentru diverse canale de reac tie este independentaă de modul de formare a nucleului compus. O altă caracteristică interesantă este că pentru E = ER , a este de ordinul de mărime al lui A . Dar A ~ 1/p2 ~ 1/E astfel că aceasta poate fi mult mai mare decât 7rR2 unde R este raza nucleară. Astfel a poate avea valori foarte mari. Experimental s-a determinat că Ti poate avea valori în intervalul 0,1 eV - 103 eV. Aceste nedeterminări în valorile energiei duc la incertitudini în timpul de via taă al staării nucleului compus care se situează în intervalul 10~14 la 10~20 secunde.

6.4.8 Fisiunea

Fisiunea este un proces în care un nucleu greu (din regiunea uraniului) se dezintegreazaă în douaă nuclee mai u soare cu eliberarea a doi trei neutroni cu energii foarte mari. Ea a fost descoperită de Hahn si Strassmann.

Dacă ne referim la energia de legătură pe nucleon B/A reprezentată în Fig. 6.2 se observă că dacă în regiunea în care A ' 240, B/A = 7, 6 MeV, pentru A ' 120, B/A = 8, 5 MeV. Aceasta înseamnă că dacă un nucleu cu numaărul de masaă A = 240 se divide în douaă nuclee energia de legătură a fiecărui nucleon creste cu 0, 9 MeV. Astfel este eliberată o energie egală cu 216 MeV. Această energie este de 106 mai mare decât energia eliberataă în procesele chimice.

Trebuie remarcat caă pe maăsuraă ce A cre ste, propor tia de neutroni în nucleele stabile cre ste. De exemplu cel mai stabil nucleu are A = 120 si este jjjfSn cu N/A = 0, 58 în timp ce pentru A = 240 cel mai stabil nucleu 9°4Pu are N/A = 0, 61. Acest efect este datorat cresterii energiei repulsive de tip electrostatic dintre protoni. Astfel, când are loc un proces

Page 86: Capitolul 6

86

Neutroni promţi

Figura 6.19: Reprezentarea schematică a procesului de fisiune

de fisiune există un exces de neutroni în sistem. Unii neutroni sunt emisi chiar în timpul procesului de isiune (neutroni promp ti) iar altii sunt emi si mai târziu (neutronii întârziati).

Energia eliberataă în procesul de isiune se distribuie astfel:

Page 87: Capitolul 6

87

Energia cineticaă a nucleelor ob tinute prin isiune Energia radiatiilor 7 emise în procesul de fisiune Energia cineticaă a neutronilorEnergia particulelor (3 emise în procesul de fisiuneRadiatiile 7 a produsilor de fisiuneEnergia netronilor emi si de produ sii de isiuneTotal

165 ± 5 MeV 7 ± 1 MeV5 ± 1 MeV 7 ± 1 MeV6 ± 1 MeV

10 MeV 216 MeV

Page 88: Capitolul 6

88

Mecanismul procesului de isiune se poate explica intuitiv considerând nucleul ca o picaăturaă de lichid.

Nucleul (Fig. 6.19) are initial o formă sferică, apoi el se deformează pânaă ce are loc ruperea acestuia în douaă fragmente, când apar si neutroni promp ti. Pentru un prim studiu calitativ al procesului de isune se utilizează modelul picătură al nucleului. In acest caz sunt importanti termenii care sunt legati de energia de suprafată si energia de interactie coulombianaă:

Page 89: Capitolul 6

89

E = asA2/3 + ac

Z 2

A1/32

+a

c

R

(6.108)

a's

R

Page 90: Capitolul 6

90

Deformare-separare

Figura 6.20: Energia potenţială de deformare funcţie de distanţa de deformare - separare

Dacă nucleul este deformat energia de suprafaţă creste în timp ce energia datorată interactiei coulombiene scade deoarece sarcinile electrice se îndepărtează unele de altele. Suma celor doi termeni creste sau descreşte în functie de valoarea Z2/ R sau Z2 /A. Bohr si Wheeler au găsit că pentru Z2/A > 47, 8 suma descreste prin deformarea nucleului. Astfel, nu există nici o fortă care să se opună deformatiei din ce în ce mai accentuate a nucleului si în final a ruperii acestuia în două fragmente.

Dacă Z2/A < 47, 8 cresterea energiei superficiale este mai mare decât scăderea datorată micsorării energiei potentiale electrostatice. Nucleul rezistaă astfel deformaării. Aceastaă rezistentaă trebuie saă aibaă caracterul unei bariere de poten tial, deoarece dupaă separare cele douaă fragmente ajung într-o state de energie mai mică.

In Fig. 6.20 este reprezentată energia potentială în cazul procesului de fisiune pentru un nucleu cu A = 240 conform modelului picăturii.

Se observaă caă pe maăsuraă ce deformarea cre ste, cre ste si energia poten tialaă datorataă lucrului mecanic efectuat împotriva fortelor de atrac tie. Dacaă deformarea cre ste în continuare energia potentialaă nu mai cre ste datoritaă faptului că fortele nucleare au o rază scurtă de actiune; prin separarea celor douaă fragmente si eliberarea neutronilor promp ti energia poten tialaă a sistemului se reduce cu 216 MeV. Bariera care trebuie surmontată de cele două fragmente este de aproximativ 6 MeV. Dacă această

216

Page 91: Capitolul 6

91

barieră este penetrată are loc fisiunea spontană. Timpul de viata este foarte lung pentru nucleele cu A < 250 (pentru fi^U, r ' 1016ani) dacă nucleul nu este într-o stare excitataă.

Mult mai interesant este procesul de isiune indusaă care are loc prin captura unui neutron. Existaă douaă posibilitaă ti ilustrate în cazul bombardamentului cu neutroni a uraniului natural (99,3 % 238U si 0,7% 235U).

Când are loc procesul:

238U+n !239 U* (6.109)

cu neutroni cu energie nulă nucleul compus se află într-o stare excitată cu energia de 5 MeV. Aceastaă energie este cu 1 MeV sub pragul barierei de potential. Din acest motiv sunt necesari neutroni rapizi cu energia de 1 MeV pentru ca nucleul compus să ajungă pe o stare excitată de 6 MeV astfel încât bariera de poten tial saă ie penetrataă de fragmentele de isiune.

Din contraă în cazul procesului:

235U+n !236 U* ! X+Y+vn (6.110)

unde cu X si Y am notat produsii de de fisiune iar v = 2, 47 reprezintă numaărul mediu de neutroni rapizi care se ob tin prin isiune, nucleul compus ajunge într-o stare excitataă de aproximativ 6,4 MeV. Aceastaă energie este suicientaă ca bariera de poten tial saă ie depaă sitaă în cursul procesului de isiune. Atunci procesul de isiune poate i indus de neutroni len ti. Când se produce isiunea cele douaă fragmente nu sunt egale. Astfel, pentru uraniu masele produ s ilor de react ie variază în jurul lui A ' 95 s i A ' 135. De exemplu:

92U !52 Te+4°Zn (6.111)

92U !56 Ba+36Kr (6.112)

Reacţiile nucleare în lanţ si reactorii nucleari

O reac tie în lant apare atunci când cei doi sau trei neutroni promp ti emi si în procesul de isiune pot saă inducaă o nouaă isiune. In cazul unui bloc de uraniu, reactia poate i sus tinutaă dacaă cel pu tin un neutron provenit din procesul de isiune induce o altaă

Page 92: Capitolul 6

92

isiune. In acest caz ansamblul este critic si rezultă o explozie nucleară; dacă în cursul reactiei nucleare numaărul de neutroni raămâne constant avem de-a face cu o reactie nuclearaă controlataă care se utilizeazaă în reactorii nucleari. Dacaă acest lucru nu se petrece, atunci ansamblul este unul subcritic.

In cazul armelor nucleare douaă mase de uraniu subcritice se unesc într-una criticaă.

Existaă douaă tipuri de reactori: cu neutroni termici si neutroni rapizi.In reactorii cu neutroni termici se utilizează un procent de 0,7%

de 235U din uraniul natural datorită faptului că sectiunea eficace de reactie pentru neutronii termici (avînd energia 0,025 eV) este foarte mare si anume de 550 b. Neutronii de fisiune au însă energii mari (în jur de 1 MeV) si trebuie încetini ti pentru a ajunge la energii mici si saă devinaă neutroni termici. Energia acestor neutroni este mic sorataă prin ciocnirile pe care le suferaă ace stia în interiorul unei substante numitaă moderator a caărui masaă molecularaă este apropiataă de cea a neutronilor (hidrogen, deuteriu, carbon). Apa, de si are un procent mare de hidrogen, are dezavantajul de a capta neutronul într-o reac tie de tipul

n+p !2 D + 7 (6.113)

si poate i utilizataă numai dacaă combustibilul nuclear este puternic îm-bogătit în 235U. Alti moderatori folositi sunt apa grea (D2O) si grafitul (carbon). Este esential ca procesul de isiune saă ie controlat. Aceasta se realizeazaă cu ajutorul unor bare de control (în mod uzual realizate din bor si cadmiu a caăror sectiune eicace de capturaă pentru neutronii termici este foarte mare). Aceste bare sunt introduse sau scoase din interiorul reactorului astfel încât saă se controleze numaărul de neutroni care pot induce fenomenul de isiune.

Energia produsaă (datoritaă energiei cinetice a fragmentelor de isiune) este preluataă de un agent de raăcire care circulaă în interiorul reactorului (bioxid de carbon sau apă sub presiune). In reactorii termici 238U nu fisionează ci captează neutronii, apoi emite o radiat ie /3~ s i se transformă în 239Pu

238U + n !239 U + 7

Page 93: Capitolul 6

93

229U -939 Np+,3-

9f Np Pu+3-

Plutoniul 949Pu împreună cu 238U este utilizat în reactorii cu neutroni rapizi. In acest tip de reactori nu este nevoie de moderatori deoarece se utilizeazaă neutroni cu energii de 1 MeV iar miezul reactorului este mult mai compact. Producerea de energie este atât de mare încât ca agent de răcire trebuie utilizat natriul topit.

6.4.9 Fuziunea

Fuziunea este procesul prin care douaă nuclee u soare se unesc si este eliberată o cantitate de energie. Din diagrama B/A în functie de numărul de masaă se observaă caă fuziunea implicaă nuclee u soare care prin acest proces duc la nuclee mai grele în final obtinându-se 4He a cărui energie de legaăturaă este foarte mare.

Reac tiile de fuziune responsabile pentru arderea hidrogenului sau ciclul hidrogenului în stele sunt:

p+p=d+3++v+0,42 MeV (6.114)

d+p=3He+7+5,49 MeV (6.115)

3He+3He=4He+p+p+12,86 MeV (6.116)

unde (3+ este pozitronul (o particulă cu aceiasi masă ca a electronului dar cu sarcinaă pozitivaă) si v este neutrino o particulaă cu masaă foarte micaă apropiataă de zero.

Intr-un astfel de proces patru protoni sunt converti ti într-un nucleu de heliu. Energia care rezultaă în urma acestor reac tii este:

E = [ 4 m p - M (4He) - 2me] c2 = 24,7 MeV (6.117)

In (6.117) nu am luat în considerare si masa neutrinului deoarece aceasta este apropiataă de zero.

Prima reactie (6.114) implică un proces de dezintegrare beta, o reactie de tipul p+p!2He+7 fiind interzisă deoarece 2He nu este un nucleu stabil. Această reactie este o reactie cu sect iune eficace mică. In plus protonii trebuie saă escaladeze o barieraă de potential

Page 94: Capitolul 6

94

de aproximativ 1 MeV pentru a interac tiona. Astfel, temperatura în interiorul unei stele trebuie să fie de aproximativ 107 K pentru că energia medie a unui proton saă ie în jur de 1 MeV. Datoritaă distributiei Boltzmann dupaă energie si probabilităt ii mici de penetrare a barierei de potential a protonilor cu energii joase reac tia se produce la temperatura stelaraă numai cu o rataă foarte micaă. Pentru a se obtine o reac tie nuclearaă într-un reactor nuclear ar i nevoie de aproximativ 108 K.

In stele au loc si alte reactii de fuziune care duc la formarea altor elemente. Astfel, două nucleee de 4He fuzionează formând un nucleu de 8Be care împreună cu un alt nucleu de 4He duc la formarea unui nucleu de 12C. Ultimul nucleu joacă un rol important în producerea energiei în anumite stele printr-un alt ciclu de reac tii nucleare numit ciclul carbonului:

12C+p !13 N+7+1,94 MeV

13N !13 C+e++z/+1,20 MeV

13C+p !14 N+7+7,55 MeV

14N+p !15 O+7+7,29 MeV 15O

!15 N+e++z/+1,73 MeV

15N+p !12 C+4He+4,96 MeV

6.5 Radioactivitatea

Radioactivitatea naturală a fost descoperită accidental de Henry Be-querell în anul 1896. Bequerell a lăsat o substant ă ce continea uraniu lângaă o placaă fotograicaă învelitaă în hârtie neagraă. Dupaă ce a developat-o, pe placă a apărut imaginea cristalelor ce contineau uraniul. Intensele cercetaări efectuate de Bequerell, Curie si Rutherford au dus la descoperirea si a altor radionuclizi. Au fost găsite trei feluri de radiat ii: alfa, beta, gama. S-a constatat că radiat ia a constă din nuclee de heliu, radiat ia /3 din electroni (fi~) sau pozitroni (/3+) , iar radiatia 7 este de natură electromagneticaă.

In emisia a, numărul de masă A se micsorează cu 4 unităt i iar Z se mic soreazaă cu douaă unitaăti, în emisia / numaărul de masaă nu se schimbaă, în schimb Z si N variază cu o unitate. In emisia 7,

Page 95: Capitolul 6

95

nu se schimbă nici Z nici N. O astfel de transformare suferită de nucleu poartă numele de dezintegrare radioactivă.

Probabilitatea de dezintegrare dP a nucleului în intervalul de timp dt este dată de relatia:

dP = Adt (6.118)

unde A poartă numele de constantă de dezintegrare. Ipoteza care este fă-cutaă în cazul acestui proces este aceeea caă procesul este probabilistic si caă el este independent de evolutia nucleului până în momentul dezintegrării.

In cazul unui compus cu N nuclee radioactive în timpul dt numaărul de dezintegrări va fi NdP. Atunci, tinând cont de (6.118):

-dN = ANdt (6.119)

unde dN reprezintă variatia numărului de nuclee. Semnul minus apare deoarece numaărul de nuclee nedezintegrate scade. Integrarea ecua tiei diferentiale (6.119) se face considerând că la momentul t = 0 numărul total de nuclee este N0, iar la momentul t numărul de nuclee este N. Se ob tine:

N = N0e-Xt (6.120)

O maărime importantaă în cazul radioactivitaă tii este activitatea unei substante care se deine ste ca numaărul de dezintegraări care au loc în unitatea de timp.

AN0e"At = AN = Ae~At (6.121)

Astfel, activitatea unei surse radioactive scade exponential cu timpul. Ca unitate de măsură pentru activitate se utilizează Bequerellul care reprezintaă o dezintegrare pe secundaă. O altaă unitate de maăsuraă folositaă este Curiul (Ci), 1 Ci =3, 7 x 1010 Bq.

Vor fi definite în continuare notiunile de timp mediu de viată al unei substante radioactive si timpul de înjumătătire.

Timpul mediu de viată este media timpilor de viată ai nucleelor sub-stantei radioactive. Nucleele care se dezintegrează în intervalul de timp t, t + dt au timpul de viată cuprins în intervalul t si t + dt. Numărul acestor nuclee este: jdN j = Adt = XN0e-x tdt (6.122)

Atunci:

dN

Page 96: Capitolul 6

96

1 f'° 1 f1 1T = — / t IdNI = — / Xte~Atdt = - (6.123)

NOJNO NOJ0 X K J

Ecuatia (6.120) poate fi scrisă sub forma:

N (t) = N0e- t / r (6.124)

Timpul mediu de viată poate fi interpretat ca timpul în care activitatea probei scade la 1/e din valoarea initială.

Timpul de înjumătătire este perioada de timp t1/2 în care activitatea se micsorează la jumătate din valoarea sa initială sau perioada în care numărul de nuclee initiale scade la jumătate. Astfel:

N = 1N0 = N0 e"Atl=2 (6.125)2

de unde:

ln2 0,693ti=2 = — = -H— = 0, 693T (6.126)

Valorile observate pentru timpul de viată T variază într-o gamă extrem de largă. Timpii de viată pentru anumiti emitători a sunt de ordinul a 1010 ani. Timpii de viată pentru emitătorii f3 sunt în intervalul 10~3s la 106 ani. Timpi de viată foarte scurti se întâlnesc la emitătorii 7 care pot ajunge la 10~15 s. Timpi de viată mai scurti sunt observati pentru nucleul compus (10~21 s).

De multe ori în loc să se discute despre timpul de viată se utilizează notiunea de lărgime V a stării. Aceasta este legată de incertitudinea în timpul de viată. Deoarece At ~ T din relatiile de incertitudine ale lui Heisenberg rezultă nedeterminarea în energia stării:

AE = ~/At ' ~/T (6.127)

Pentru nucleele stabile T ! 00 iar T = 0, în timp ce în cazul în care T = 10~21 s rezultă T = 0,1 MeV.

6.5.1 Măsurarea timpilor de viaţa

Page 97: Capitolul 6

97

Modalitatea cea mai simplă pentru determinarea timpilor de viată este măsurarea activităţii A în functie de timp. Apoi prin logaritmarea ecuatiei (6.121) rezultă:

ln A = ln AN0 - At (6.128)

Se reprezintă grafic ln A în functie de timp. Rezultă o dreaptă a cărei pantă este —A = — 1/r. Acest procedeu este potrivit dacă timpii de via taă sunt cuprin si în intervalul minute - ani. Pe maăsuraă ce timpii de via taă scad sunt utilizate tehnici de maăsuraă din ce în ce mai complicate. Pentru timpi de viataă lungi:

A = N » N(t) (6.129)r r

astfel caă dacaă se cunoa ste cantitatea de substan taă radioactivaă si activitatea sa, r poate i determinat u sor. In multe din aceste cazuri activitatea se maăsoaraă indirect prin maăsurarea cantitaătii produ silor de reac tie.

6.6 Dezintegrarea alfa

Dezintegrarea alfa constă în eliberarea de către nucleu a unui nucleu de heliu. Ea diferă esent ial de dezintegrările // si 7 care duc la aparit ia unor particule ce nu sunt prezente în nuclee (electroni, neutrini, fotoni).

Ea apare mai ales la nucleele grele. Explica tia acestui fapt este următoarea. Energia totală de legătură a particulei a este 28,3 MeV. Dar în nucleele grele energia de legătură pe nucleon este de 7 MeV. Astfel, energia de legaăturaă a ultimilor nucleoni (2 protoni si 2 neutroni) este doar de 28 MeV iar dacaă în interiorul nucleului se combinaă 2 protoni cu 2 neutroni pentru a forma o particulaă a este eliberataă o energie de 28,3 MeV mai mare decât energia de legaăturaă a celor patru nucleoni individuali în nucleu (28 MeV). Din acest motiv rezultaă caă este posibil din punct de vedere energetic ca o particulaă a saă ie eliberataă din nucleu.

Energia totalaă eliberataă într-o dezintegrare a este:

Q = [M(Z, A) - M(Z - 2, A - 4) - M(4He)]c2 (6.130)

Deoarece numărul de neutroni s i protoni nu se schimbă, energia Q dataă de relatia 6.130 poate i exprimataă si în func tie de

Page 98: Capitolul 6

98

energiile de legaăturaă ale nucleului ini tial, nucleului inal si a particulei a.

Q = B(4He) + B(Z - 2, A - 4) - B(Z, A) (6.131)

Pentru a evalua valoarea lui Q vom utiliza modelul picaăturii de lichid. Vom exprima pentru început diferen ta dintre energiile de legaăturaă:

B(Z-2.A - 4) - B(Z,A) = -AZ + @A*A = -2@Z - 4@A (6.132)

Considerând cunoscutaă energia de legaăturaă a nucleului de heliu B(4He) 28, 3 MeV:

Q =

28, 3 - +

3

A

^ + 3

AIT^ ^ "

3

^J " 1 "

2A

) (6.133)

Substituind în expresia de mai sus valori pentru A si Z se ob tin valori pozitive pentru energia Q când A > 150. De fapt pentru valori ale numărului de masă A cuprinse între valorile 150 (Sm) si 210 (Pb) au fost gaăsite doar câteva tipuri de nuclee radioactive a care au timpii de înjumătăt ire mai mari de 1016 ani. Aceasta se datorează energiilor mici Qa, care reduc foarte mult posibilitatea ca particulele a să părăsească nucleul. Pentru A > 210 energiile tind să devină mai mari si astfel multe dintre nuclee se pot dezintegra a.

To t i emitătorii a au timpi de înjumătătire (10~6 4- 1017s) mult mai mari în comparat ie cu timpul necesar unei particule pentru a traversa nucleul (10~21s). Trebuie remarcat că există diferente enorme între timpii de înjumătăt ire. Astfel:

213Po emite a cu Ea = 8, 336 MeV si t1/2 = 4, 2 x 10~6 s= 1, 33 x 10~13

ani232Th emite a cu Ea = 3, 98 MeV cu t1/2 = 1, 39 x 1010 ani In tabelul de mai jos sunt prezentate câteva exemple din care se observă că variiat iilor enorme ale timpilor de înjumătăt ire le corespund

Page 99: Capitolul 6

99

variatii mult mai mici în energia particulelor a:

Page 100: Capitolul 6

100

Emitător a E (MeV)212Po 8, 8214Po 7,7210Po 5,3226Ra 4,7238U 4,1

T3 x 10~7 s 1, 6 x 10~4 s 1, 38 x 102 zile 1,62 x 103

ani 4, 5 x 109

ani

Page 101: Capitolul 6

101

Geiger si Nuttall au măsurat constantele de dezintegrare si parcursul Ra în aer ale particulelor a. Ei au propus o relat ie simplă între log A si

log A = a + b log Ra (6.134)

O altă relat ie emipirică găsită a fost aceea care leagă direct constanta de dezintegrare de energia particulei a:

log A = C - D/\JE (6.135)

unde C si D variază lent în functire de Z si nu depinde de N.O primă teorie a procesului dezintegrării a a fost dată în anul

1929 de Gamow, Condon si Gurney. Ei au presupus că particula a se formează în interiorul nucleului datoritaă for telor atractive nucleare.

Datorită simetriei radiale vom scrie ecuat ia Schrodinger în coordonate sferice:

2T?7A* +------ (ET - V) * = 0 (6.136)

unde operatorul Laplacian are forma:

r2 @r \ dr) r2 sin 0 @0 \ @0 / r2 sin2 0 @'2

Atunci, functia de stare se poate scrie ca un produs între o parte radialaă care depinde de distanta r si o parte unghiularaă care depinde de unghiurile 0 s i ' si care este dată de funct iile sferice Ytm (0, ') .

Page 102: Capitolul 6

102

* = f (r) Y lm

(0,')(6.138)

Page 103: Capitolul 6

103

Introducând (6.138) în (6.136) ecuatia satisfăcută de partea radială a functiei de stare este:

Page 104: Capitolul 6

104

1 dr2 dr

Z(Z + 1) 2mr2

h2 /(r) = 0 (6.139)

Page 105: Capitolul 6

105

Făcând substitutia:

Page 106: Capitolul 6

106

u = r/ (6.140)

Page 107: Capitolul 6

107

ecuatia (6.139) devine:

d2u 2m

dr2 h2

d2u 2m

dr2 h2 (6.141)

Ecuatia (6.141) este similară ecuatiei Schrodinger unidimensionale în care energia potentială este înlocuită cu expresia:

(6.142)

/(/ + 1)h2"

2mr2

u= 0(ET - V)

)ET - (V +

2mr

Page 108: Capitolul 6

Termenul

1(1 + 1)h2

2mr2

are dimensiunea unei energii. Numitorul este un

Page 109: Capitolul 6

moment de inertie iar numărătorul este un moment cinetic la pătrat. El poate fi considerat ca o energie de rotatie asociată cu miscarea particulelor în jurul centrului lor de masaă. Acest termen poartaă numele de potential centrifugal si are ca efect cresterea barierei potentiale a nucleului. Pentru particulele încaărcate care ciocnesc nucleul energia centrifugalaă actionează în sensul diminuării probabilităţţii de penetrare si în cazul in-terac tiei care implicaă momente orbitale mari efectul ei poate i apreciabil. In cazul dezintegrării a efectul barierei centrifugale este mic. In Fig. 6.21 este prezentataă forma barierei de poten tial pe care particula a trebuie saă o traverseze.

Astfel, luând Z ' 90 si R0 ' 10~14 m:

Page 110: Capitolul 6

110

"h21(1 +1)"

"zZe2

"R0

0, 0021(1 + 1)

Page 111: Capitolul 6

111

Din acest motiv vom limita discu tia la situa tia în care 1 = 0 caz în care bariera de potential se reduce la bariera de potential coulombianaă.

Page 112: Capitolul 6

112

^^^Bariera de potenţial columbiană

R \ b

r

Bariera de potenţial centrifugală

Figura 6.21: Bariera de potential în cazul dezintegrării a

E

Page 113: Capitolul 6

113

Pentru un nucleu cu raza R înăltimea barierei de potential pentru o particulaă încaărcataă este:

V = ^M 4TTCOR

unde ze este sarcina particulei considerate.Astfel, pentru un proton incident pe 238 U înăhţ imea barierei de

poten t ial este Vm = 13, 02 MeV în timp ce pentru o particulă a înătimea barierei este Vc = 23, 97 MeV

Vom calcula transparenta barierei de poten tial cu formulaă

T = exp<J ~ l [2m (V - E)]1 dr }> (6.143)IRunde V este înăhţ imea acesteia, integrala realizându-se între limitele R si b, marcate în Fig. 6.21. Integrala de la exponent poartă numele de factorul Gamow si se notează cu G:

G

=(£)2

/: (s - E

)2

dr

=(2zze2m

)2

/: (1

- E

s )2

dr

= ("ISOSH Pcos(,T ) HT " (6.144)

unde

b = Zze21 (6.145)

Expresia lui G se simplifică pentru E <C Vn si pentru b ^> R

[—(R

)2

- (R

- S) 1 - \-(R

)2

(6.146)

Atunci G ' A — BR2, unde

A = (-2"0Sr) (6.147)

= ( -^sr) (6.148)

j- h I [2m (V - E)]2 drj

Page 114: Capitolul 6

114

Dacaă nu se tine cont de dependenta de raza nucleului în (6.144) termenul din paranteza dreaptaă este egal cu 1. Atunci:

G = ( -^fr ) (6.149)

In acest fel G este determinat cu o aproximatie de 30% . Numeric acest factor este (cu b în cm)

G ' 4,7 x 106(Zb)2 (6.150)

Vom încerca să găsim o legătură între X si T în cazul dezintegrării a. Probabilitatea caă dupaă o ciocnire particula saă raămânaă în interiorul nucleului este (1 — T) . După n ciocniri această probabilitate este

Pn = (1 - T)n = enln(1-T) (6.151)

Deoarece T este mic:

ln (1 - T) ' —T

Atunci:

Pn = e~nT (6.152)Timpul mediu de traversare a nucleului este:

2Rt0 = —

v

unde v este viteza particulei a. Astfel în timpul t au loc n ciocniri:

t v

t0 aR

siPn = e-(v/2R)Tt (6.153)

Dacaă N0 este numaărul total de nuclee la momentul intial atunci dupaă timpul t numaărul de nuclee nedezintegrate este:

NP = N0 exp (- 2RTt)

Notaăm cu N = N0Pn numaărul de nuclee care nu se dezintegreazaă. Astfel:

Page 115: Capitolul 6

115

N = N0e-(v/2R)Tt (6.154)

Comparând relatiile (6.120) s i (6.154) rezultă:

v2R 0

(De exemplu în timpul mediu de viata al lui 238U, T = 6, 5 x 1019 ani, numărul de ciocniri a particulei a este n ' 1038). Atunci, tinând cont de (6.121) rezultaă:

X = ' 1021 exp -------------— (6.155)1 V vr^f2 )

Atunci X depinde de b deci si de energia cinetică E. Logaritmând:

log10 X = 21 - V2mZe-----------^ = 21 - 1, 0941 -4= (6.156)

Astfel se regaăse ste rela tia 6.135.O altă caracteristică a dezintegrării a este că particulele a emise

de nuclee nu sunt monoenergetice. In cele mai multe din cazuri ele seconstituie în grupuri cu energii bine determinate. Din formula (6.156) rezultaă caă probabilitatea de dezintegrare a cre ste cu cre

tV2 = 24360 ani| 239Pu0,051 MeV /a20,013 MeV /a30

Figura 6.22: Schema de dezintegrare a 239Pu

Page 116: Capitolul 6

116

sterea energiei. Ne asteptăm ca particulele cu energii mari să treacă mai usor prin bariera de potential. Ca exemplu vom prezenta schema de dezintegrare a a nucleului de 239Pu în 235U. Timpul de înjumătăt ire este 24360 ani.

Tranzit ia Energia particulei a (MeV) Intensitatea relativăai 5,147 72,5%a2 5,134 16,8%a2 5,096 10,7%

Schema de dezintegrare este prezentataă în Fig. 6.22

6.7 Dezintegrarea beta

6.7.1 Moduri de dezintegrare beta

Termenul de dezintegrare // cuprinde toate modurile de dezintegrare în care numaărul atomic Z se schimbaă cu o unitate, în timp ce numaărul de masă rămâne constant. O astfel de transformare cuprinde nu numai dezintegrarea // + s i //~, dar s i captura electronică.

Page 117: Capitolul 6

117

z z z

Page 118: Capitolul 6

118

Z-l

Figura 6.23: Reprezentarea schematică a procesului de dezintegrare ///. a) dezintegrarea /3_, b) dezintegrarea ///+, c) captură electronică

In dezintegrarea (3~, un electron este emis de nucleu si sarcina nucleului se schimbă de la Ze la (Z + 1)e. In cazul unei astfel de dezintegrări, elementul este deplasat cu o poziţie în dreapta sistemului periodic.

In dezintegrarea (3 + este emis un pozitron si sarcina nucleului scade de la Ze la (Z — 1)e, iar elementul este deplasat cu o pozitie în stânga în sistemul periodic.

In cazul capturii electronice nucleul absoarbe unul din electronii de pe o pătura electronică si astfel sarcina sa se modifică de la valoarea Ze la valoarea (Z — 1)e. Atomul rămâne neutru, dar va fi într-o stare excitată, deoarece are un electron lipsă în pătura electronică. Captura electronică cea mai probabilă este aceea de pe patura K, deoarece un electron de pe o astfel de paăturaă este mult mai aproape de nucleu fataă de cazul în care s-ar afla pe pătura L sau M. Golul care apare în pătura elec-tonică datorită capturii determină emisia unei radiatii X caracteristice elementului respectiv.

Spectrul energetic al radiatiei (3 este continuu si se termină la o valoare maximă. Valoarea maximă a energiei reprezintă energia ce se eliberează în dezintegrarea /3.

Cele trei moduri de dezintegrare /3 sunt arătate în Fig. 6.23.

In dezintegrarea 3~, masa nucleului initial M(Z, A ) — Zme

se descompune în masa nucleului ce se obtine M(Z + 1, A) — ( Z + 1)me si masa particulei // (electronului). Energia degajată este:

Z + l Z-l

CE

Page 119: Capitolul 6

119

= f[M(Z, A) - Zme] - [M(Z + 1, A) - (Z + 1)me + me]} c2

= [M(Z,A) - M(Z + 1,A)] c2 (6.157)

În dezintegrarea //+, această relatie nu se aplică, deoarece dacă sarcina nucleară creste cu o unitate, un electron trebuie să fie emis pentru a păstra neutralitatea atomului. Masa nucleului initial M(Z, A) — Zme se descompune în masa nucleului rezultat M(Z — 1, A) — (Z — 1)me si a unui pozitron de masă me. Energia degajată este:

QŞ+ = f[M(Z, A) - Zme] - [M(Z - 1, A) - (Z - 1)me + me]} c2

adicaă:

QŞ+ = [M(Z, A) - M(Z - 1, A) - 2me] c2 (6.158)

În captura electronica (CE) masa nucleului initial M(Z, A) — Zme s i a electronului captat determinaă masa nuclelui rezultat.

QCE = f[M(Z, A) - Zme + me] - [M(Z - 1, A) - (Z - 1)me]}c2

QCE =[M(Z, A) - M(Z - 1,A)] c2 (6.159)

Toate aceste trei procese au loc dacă Q este pozitiv. Această conditie este îndeplinită în cazul dezintegrării //~~ si a capturii electronice când masa atomului ini tial depaă se ste masa atomului inal. Pentru a avea loc o dezintegrare /3+ diferent a dintre masele celor doi atomi trebuie să fie mai mare decât 2me.

6.7.2 Spectrul de energie al particulei // emise

A sa cum este prezentataă în Fig. 6.24 spectrul energetic al particulelor // emise este continuu si se termină la o energie maximă Em care este foarte apropiată de energia de react ie Q.

dN

Page 120: Capitolul 6

120

Energie

Figura 6.24: Distribuţia numărului de particule f3 în funcţie de energie

Faptul că particulele /3 sunt emise cu un spectru continuu de energii a reprezentat o mare dificultate în întelegerea si explicarea procesului de dezintegrare (3 luându-se în considerare chiar abandonarea legii conservării energiei.

O modalitate de a depăsi impasul a fost prima dată făcută de Pauli. Deoarece nu s-a putut da o explica tie corespunzaătoare spectrului de energie al particulelor (3, Pauli a presupus că în cursul dezintegrării apare o a treia particulă electric neutră, cu masă si momentul magnetic foarte mic. Această particulă poartă numele de neutrino si ea preia diferenta de energie Em — E , unde E este energia particulei /3.

6.7.3 Neutrino

Dacaă un neutrino este emis simultan cu particulele 3 în dezintegrarea /3 si are o anumită energie, iar masa este egală cu zero, viteza trebuie sa fie egală cu cea a luminii. Experimental s-a demonstrat că masa de repaus a neutrinului este foarte mică: mv

c2 < 250 eV (adică masa neutrinului este mai mică decât 0, 05% din masa electronului).

Deoarece experimentele calorimetrice si altele au e suat în demonstrarea faptului caă dezintegrarea 3 este acompaniataă de o altaă particulaă, se poate trage concluzia caă dacaă particula existaă, ea poate avea doar o interac tie extrem de slabaă cu materia.

Presupunând caă legea de conservare a momentului cinetic este valabilă, s-a stabilit că spinul neutrinului este s = 1/2. In dezintegrarea

//, numărul de masă A nu se schimbă. Atunci, numărul cuantic al momentului cinetic al întregului nucleu nu se schimbaă de la un întreg la un semiîntreg s i viceversa. Deoarece particula // are spinul 1/2 rezultă că si neutrino trebuie saă aibaă un spin

Page 121: Capitolul 6

121

semîintreg. Studiul dezintegraărilor / arată că numai valoarea 1/2 este permisă. Un exemplu al unui astfel de proces este:

C ! N + /r + e Spin 1 1/2 1/2

Trebuie remarcat faptul caă neutrino si fotonul au masa nulaă si momentul magnetic nul. Ei diferaă prin spin si deci prin tipul de statisticaă cuanticaă care descrie comportarea lor. Neutrinii având spinul semîntreg sunt fermioni, iar fotonii, având spinul 1, sunt bozoni.

Existaă însaă douaă tipuri de neutrino (iecare având antiparticula re-spectivaă).

-beta-neutrino ve emis în dezintegrarea // +:

p ! n + // + + v e -beta-

antineutrino emis în dezintegrarea //~:

n ! p + //~ + e e

-miu-neutrino emis în dezintegrarea 7r+ !

-miu-antineutrino emis în dezintegrarea 7r~ ! /x~:

Procesul de dezintegrare / în care ei apar poate i privit ca o transformare a protonului în neutron sau invers, procesele având loc în interiorul nucleului. Timpul de via taă al unui neutron legat în interiorul nucleului nu are nici o legătură cu timpul mediu de viat ă al unui neutron liber. (r = 1, 01 X 103 s). În concordant ă cu teoria Heisenberg-Yukawa, neutronii lega ti î si petrec o parte din timp ca protoni si nu sunt susceptibili a se dezintegra ca neutroni liberi. Nu existaă nici o legaturaă între timpii de via taă ai nucleelor ce suferaă dezintegrarea / si timpul de via taă al neu-tronilor liberi.

6.7.4 Metodele de punere în evidenţă a neutrinilor

Chiar metodele indirecte de punere în evidentaă a neutrinilor sunt complicate s i dificil de realizat. Detectarea unor particule fără masă, fără moment magnetic si care intraă în reac tii

Page 122: Capitolul 6

122

datoritaă unei interac tii extrem de slabe, pune probleme deosebite.

Metoda energiei de recul Metoda constă în punerea în evident ă a energiei de recul a nucleului care se ob tine în urma capturii electronice. Dacaă nu ar mai i emisaă nici o particulaă nucleul nu ar trebui saă aibaă nici o energie de recul. Dacaă se emite un neutrino atunci energia de recul a nucleului este dataă de rela tia:

ER = -̂ r— = ° o (6.160)R 2Amn 2Amnc2 v '

unde pv = E0/c este impulsul relativist al neutrinului, E0 este energia neutrinului, A este numărul de masă iar mn este masa unui nucleon. Pentru obtinerea unei energii de recul mai mari este necesar ca numărul de masă să fie cât mai mic. S-a pus în evident ă energia de recul a nucleului în procesul de capturaă:

38Ar ! 37Cl + ee + 0,814 eV (6.161)

Energia de recul este 9,6 eV. React ia de mai sus are avantajul că utilizeazaă o sursaă gazoasaă, iar produsul inal se ob tine în starea funda-mentalaă. Viteza ionilor a fost determinataă prin metoda timpului de zbor si s-a gaăsit caă viteza acestora este în concordantaă cu predic tia teoreticaă faăcutaă pe baza existen tei neutrinului.

Metoda reacţiei inverse Metoda constă în punerea în evident ă a reac tiei inverse:

p+ + ee ! n + //+ (6.162)

Aceasta este o react ie ce poate fi initiată numai de antineutrini liberi, sect iunea eficace de interact ie fiind de ordinul a 10~43 cm2. Pentru ca această reactie să se producă este nevoie de un flux foarte puternic de antineutrini (1013 ee cm_2s_1). O astfel de experientă a fost realizată la reactorul Savannah River unde neutrinii au caăzut asupra a douaă vase cu apă (ce contineau 3 X 1026 tinte) în care a fost dizolvat CdCl. Intr-un astfel de experiment au avut loc trei fenomene:

a) crearea unei particule /3 + care este încetinită s i care se combină cu un electron dintr-o paăturaă a unui atom.

Page 123: Capitolul 6

123

b) emiterea a două cuante 7 fiecare cu 0, 511 MeV care traversează t inta în directii opuse s i sunt înregistrate prin coincident ă cu ajutorul a doi detectori cu scintilatie asezat i de o parte si de alta a t intei.

c) producerea unui neutron ce se mi scaă lent si care produce o ionizare puternicaă si care dupaă mai multe ciocniri este captat de Cd (la aproximativ 10 de la producerea sa). Captarea neutronului în Cd duce la excitarea nucleului si la emisia unor cuante 7. Astfel, au fost puse în evident ă mai multe cuante 7 (a căror energie totală este 9,1 MeV) după 10 /xs de la apartia celor două cuante 7 emise prin anihilarea pozitronului. Sect iunea eficace de interact ie găsită experimental a fost:

<rexp = (0, 94 ± 0,13) X 10~43 cm2

în concordan taă cu valoarea calculataă:

a th = (1, 07 ± 0, 07) X 10~43 cm2

6.7.5 Teoria dezintegrării (/

Teoria a fost fundamentată de Fermi, care a pornit de la analogia cu emisia unei radia tii electromagnetice, ca urmare a unei tranzi tii a unui electron din norul electronic de pe un nivel pe altul. Emisia radia tiei 7 este tratată cu ajutorul teoriei perturbat iilor în termenii unei pro-babilităt i de tranzitie în unitatea de timp din starea init ială în starea inalaă. Fotonul nu este un constituent gata produs al atomului, el apare în momentul tranzi tiei electronului de pe un nivel energetic pe altul. El apare datoritaă interactiei atomului cu câmpul electromagnetic. Matematic această interact ie este descrisă cu ajutorul unui operator Hamilton care caracterizeazaă tranzi tia atomului din starea ini tialaă în cea inalaă.

Intr-un mod similar dezintegrarea 3 :

n ! p+ + 3 ~ +

e p+ ! n + 3 +

+ v

poate fi reprezentată prin crearea de leptoni (electoni, pozitroni, neutrini s i antineutrini). Procesul de dezintegrare 3 este considerat ca rezultat al unei interactii a nucleonilor nucleului cu câmpul electroneutrinic: nucle-onul trece în cealaltă stare (din proton în neutron si invers) cu generarea unui electron (pozitron)

Page 124: Capitolul 6

124

si antineutrino (neutrino). Interactia aceasta poartă numele de interactie slabă.

Hamiltonianul de interactie H (în forma unui operator de energie) duce sistemul din starea iniţiala i într-una din mai multele stări finale posibile prin creare de leptoni (electroni si neutrini) prin intermediul in-teractiei slabe. Tăria acestei interactii este dată de elementul de matrice:

H f i = j dft (6.163)

Notăm cu p (E/) densitatea stărilor accesibile sistemului după ce are loc dezintegrarea:

dnP(E/) = (6.164)

Atunci probabilitatea de tranzitie în unitatea de timp este, conform regulii de aur a mecanicii cuantice:

W /i = ^ p ( E / ) |H/i|2 (6.165)

Astfel, problema determinării probabilitătii de tranzitie se reduce la calculul densitaă tii de staări si a elementului de matrice H /i.

Densitatea d e stariVom determina mai întâi densitatea de stări. Dacă impulsul

electronilor emisi corespunzători intervalului energetic dE0 din vecinătatea E/ este în intervalul p,p + d p , rezultă că W/i

exprimă probabilitatea ca particulele f3 emise în unitatea de timp să aibă impulsul în intervalul amintit. Atunci formula (6.165) poate i scrisaă în termenii unei functii de distibutie după impulsuri N ( p ) d p :

N (p )d p = îd| lH0il2 (6.166)

Din punct de vedere izic, ne imaginaăm procesul ca unul în care nucleul (aflat în starea i ) se transformă sub actiunea unei perturbatii slabe într-un alt nucleu plus un electron si un neutrino care reprezintă cîm-pul electo-neutrinic. Nucleul inal va avea o energie de recul, energia rămasă fiind împărtită între electron si neutrino în diverse moduri. Conform principiului Heisenberg între nedeterminarea în pozitia pe axa Ox si nedeterminarea în componenta impulsului pe această direcţie există relatia:

Page 125: Capitolul 6

125

AxApx ' h

(6.167)

Există relatii similare si pentru componentele dupa axele Oy si Oz. Astfel, în spatiul fazelor cu sase dimensiuni determinat de (x, y , z , p x , p y , p z ) un electron se poate afla în elementul de volum:

d x d y d z d p x d p y dp z ' h3

(6.168)

Acest volum este volumul minim din spatiul fazelor care poate fi ocupat de un electron. Presupunem că electronul este localizat în volumul din spatiul tridimensional V si are impulsul în intervalul (p,p + d p ) . Deoarece în spatiul fazelor electronul ocupă un volum h3 numărul de stări pe care acesta le poate ocupa este:

dne = V ^(6.169)

h3

In mod analog se poate calcula numărul de stări ale neutrinilor:

dn„ = V (6.170)h3

Numărul de stări din spatiul câmpului electroneutrinic va fi:

dn = dnednv (6.171)

Densitatea de staări este:

dn 16TT2V2 2 2 dpv

dE0 h6 r r v dE0 In rela tia (6.172)

impulsul neutrinului este:

V v = — (6.173)c

Neglijând energia de recul a nucleului obtinut, energia de dezintegrare EQ se împarte între electron si neutrino:

p'p l^ d p (6.172)

Page 126: Capitolul 6

126

EQ = E

+ Ev

(6.174)

Page 127: Capitolul 6

127

Relaţia (6.173) devine:

Page 128: Capitolul 6

128

P u = - ( E o ~ E )

iar:= - ( E o - E)2

asţfel că relaţia (6.172) se scrie:

dn 16%2V [

p2(E0

- E)2dp

(6.175)

(6.176

)

(6.177

)

1d p u

dE0 c

dE0 c3h6

Page 129: Capitolul 6

129

Elementul d e matrice Elementul de matrice esţe:

H f i = J(6.178)

Page 130: Capitolul 6

\&i esţe funcţia de sţare a sţării iniţiale a sistemului. Ea esţe chiar funcţia de sţare a nucleului iniţial pe care o vom noţa cu w/v \I/f esţe funcţia de sţare a sţării finale. Ea esţe un produs dinţre funcţia de sţare a nucleului

Page 131: Capitolul 6

131

final f i funcţiile de sţare a neuţrinului 'u (~) si elecţronului 'e

s

Page 132: Capitolul 6

132

(6.179)

Elemenţul de maţrice daţ de (6.178) se poaţe exprima ca:

Page 133: Capitolul 6

133

MWidn

(6.180)

Page 134: Capitolul 6

134

unde 9 esţe o consţanţă fundamenţală empirică numiţă consţanţă de cuplare Fermi si care are valoarea 9 = 1, 41 X 10~49 erg cm3 = 0, 9 X 10~4 MeV fm3, iar M esţe un operaţor adimensional care provine din operatorul Hamilţon.

Consţanţa de cuplare Fermi exprimă puţerea de inţeracţie a radiaţiei 3. Caracterul ei aminţesţe de consţanţa graviţaţională si de consţanţa de sţrucţuraă inaă.

Vom simplifica elemenţul de maţrice Hfi. Deoarece inţeracţia dinţre nucleu si lepţoni esţe foarţe micaă, undele asociaţe lepţonilor sunţ nedisţor-sionaţe daţoriţă câmpului nuclear si puţem să le considerăm unde plane(Se neglijează efectul câmpului coulombian al nucleului). Atunci:

' e (~) = Nee iKe !

(6.181)

'v ( r ) = Nve iK !

(6.182)

unde Ke si Kv reprezintă vectorii de undă. Dacă normăm functiile de stare în interiorul volumului V se gaăse ste caă:

Ne = Nv = V-1/2 (6.183)

Funct iile de stare t p i s i i p f sunt diferite de zero numai în interiorul nucleului. Din acest motiv integrala se extinde numai peste volumul nucleului V . Deoarece extinderea nucleului este micaă în compara tie cu volumul în care leptonii pot fi localizat i, dezvoltăm functile de unde 'e(r ) si ' v( r ) în jurul originii r = 0:

' e(?) = V-1/2 \ l + i(Ker ) + ...}

(6.184)

'v) = V-1/2 \ l + i ( K vr ) + ...........1

.........................................................................(6.185)

Este suicient saă consideraăm doar primul termen în iecare serie:

'e ( 0 ) = 'v ( 0 ) = V-112 (6.186)

Page 135: Capitolul 6

135

deoarece urmaătorul termen este de 50 de ori mai mic. Astfel:

Hf i = g'e ( 0 ) 1 ( 0 ) j rf M t p i d Q = g'e ( 0 ) 1 ( 0 ) Uf ,

(6.187) Atunci:

H f i = VgM f i (6.188)

unde cantităt ile necunoscute i p e , U si tp t au fost grupate într-un element de matrice U f i . Acest element este o integrală în care intervine funct ia de stare a nucleului init ial si functia de stare a nucleului final. In cazul unei tranzi tii permise el este aproximativ 1 si este independent de energia electronului, în timp ce pentru tranzi tiile interzise este egal cu zero.

Substituind în (6.166) densitatea de stări (6.177) si elementul H f i în inal se ajunge la:

N ( p ) d p = 2S(?K 7 J U f i l 2 ( E Q ~ E ) 2 p 2 d p (6.189)

Acestei formule trebuie să i se adauge un factor de corecţie pentru a lua în consideratie interactiunea coulombiană dintre particula /// si nucleu. Datorită interactiei coulombiene cu nucleul, viteza si deci si energia particulei ///~ este micsorată, în timp ce pentru particula /// + viteza si energia cresc. Acest fapt afecteazaă forma spectrului de energie precum si probabilitatea de dezintegrare. Comparând situatia unei dezintegrări f/~ cu o dezintegrare /// + apare paradoxal faptul că efectul interactiei coulombiene serveste la stimularea emisiei /3~si nu stimulează emisia /3+. Această influentă este caracterizată cu ajutorul functiei Fermi F ( E , Z )

N ( p ) d p = ţ̂c w |M/i|2 F(E, Z)(Eo - E) 2 p 2 d p (6.190)

Astfel, atunci când se studiază spectrul de energie al particulelor /3+ si impulsul si energia acestora sunt altele decât la momentul init ial. Astfel, pentru particulele /3 + impulsul este mai mic la creare, si atunci densitatea de staări este mai micaă fapt ce face ca probabilitatea de tranzitie să fie mai mică.

Schimbarea impulsului particulelor /// datorită câmpului coulombianeste mai mare când particula are impuls mic. In consecintă, influentainterac tiei coulombiene este mai mare la începutul spectrului de

Page 136: Capitolul 6

136

energie.Putem considera că această perturbare schimbă funct ia de stare a elec-tronului. Aceasta face necesară modificarea elementului |Hf^\2

astfelîncât acesta să cont ină funct ia de stare a electronului |'e(0)|^ modifi-cată de sarcina nucleară. Astfel, noul element de matrice se scrieca:

\ H f i \ 2 = g2 |'C(0)|Z |'„(0)|2 \ M f i \ 2 (6.191)

In acest fel factorul de corectie F (E, Z) poate i deinit astfel:

Page 137: Capitolul 6

137

(6.192)

F (E,Z)

Page 138: Capitolul 6

138

Func tia Fermi ia valorile:

F > 1, pentru emisia ///_

F < 1, pentru

emisia /+

Expresia explicită a lui F este complicată existând formule si tabele pentru diverse energii.

6.7.6 Constanta de dezintegrare (

Constanta de dezintegrare A este egală cu probabilitatea de emisie a unei particule ( cu o energie între 0 si EQ care corespunde impulsului maxim pm:

A = j N ( p ) d p = 2̂ 7 J \U f i \ 2 F( E , Z ) ( E Q - E ) 2 p 2 d p (6.193)

Este convenabil ca aceastaă integralaă saă ie faăcutaă referindu-ne la energia totală a particulei ( raportată la energia de repaus a acesteia. Astfel se introduc maărimile:

Page 139: Capitolul 6

139

W =

WQ =

E +

mec2

mec2

EQ +

mec2

mec2

(6.19

4)

(6.19

5)

Page 140: Capitolul 6

140

Atunci (6.193) devine:

Page 141: Capitolul 6

141

A = m5g2c4 \U i f \2 i-Wo

Wo F ( Z , W ) ( W 2 - 1 ) 1 / 2 ( W - WQ) 2 WdW/

(6.196)

Page 142: Capitolul 6

142

sau:

(6.197)

T Q

unde:

f ( E Q , Z ) = J F ( Z , W ) ( W 2 - 1 )1 /2(W - W Q ) 2 WdW

a fost evaluată numeric de Feenberg si Trigg pentru diverse valori ale lui Z si EQ, iar:

T Q = ^TT~2 = 7000 s (6.198)

poartă numele de constanta universală de timp a dezintegrării (3.

conservam parităţii

In izica macroscopicaă existaă o serie de legi de conservare care sunt respectate: legea conservaării energiei, legea de conservare a momentului cinetic, legea de conservare a impulsului. In izica atomicaă si nuclearaă alături de aceste legi funct ionează si legea conservării parităt ii. Aceasta este o consecintaă a faptului caă poten tialele care sunt implicate în izica atomicaă si nuclearaă sunt invariante la operatia de oglindire. Aceasta face ca operatorul Hamilton asociat acestor interact ii să fie invariant la reflexia coordonatelor spat iale fata de origine. Această operat ie este notată simbolic cu r ! —~. Operat ia de reflexie fat ă de origine este echivalentă cu o serie de reflexii succesive fat ă de planele xOy, xOz, yOz. Pentru simpliicare în continuare vom considera efectul relexiei doar într-un plan ca într-o oglindaă planaă. Astfel:

(6.199)

Spunem că H este un scalar. O astfel de mărime se deosebeste de un pseudoscalar care- s i schimbă semnul după operat ia de reflexie. Invarianta discutataă mai sus face ca func tiile proprii asociate operatorului Hamilton saă aibaă o paritate

Page 143: Capitolul 6

143

bine determinataă iar paritatea totalaă ini tialaă si inalaă este aceia s i (paritatea se conservă).

Dacaă un sistem are o paritate bine determinataă el este identic cu imaginea sa în oglindaă. Dacaă paritatea se conservaă imaginea unui experiment real apare în oglindaă.

In lumea macroscopicaă în general sistemele nu sunt invariante la ope-ratia de oglindire. O elice nu coincide cu imaginea sa în oglindaă si spunem caă are o elicitate bine determinataă. Chiar sisteme extrem de mici precum moleculele organice posedaă o elicitate bine deinitaă.

Un exemplu este prezentat în Fig. 6.25 în care un ac magnetic este deviat cu ajutorul unui câmp magnetic creat de un curent liniar. In experimentul real polul nord este deviat înspre cititor. In cazul experimentului relectat polul nord ar trebui deviat în sens invers. Astfel, acest experiment pare a viola legea conservării parităt ii deoarece în experimentul din oglindaă acul magnetic ar trebui saă devieze dinspre cititor (în sens invers experimentului real).

Dacaă studiem experimentul la scaraă microscopicaă trebuie saă tinem cont de curen tii moleculari care produc câmpul magnetic. In oglindaă sensul acestor curenti este invers sensului curentilor din acul magnetic

Figura 6.25: a) Imaginea în oglindă a unui magnet când nu se iau în consideraţie curenţii moleculari din interiorul său b) Imaginea în oglindă a unui magnet când se iau în consideraţie curenţii moleculari din interiorul său

a)b)

Page 144: Capitolul 6

144

real, astfel că în oglindă polii acului magentic se schimbă. Atunci imaginea experimentului în oglindă poate fi realizată în practică. Rezultă astfel că la nivel microscopic legea de conservare a paritătii este valabilă.

Vreme îndelungată legea conservării paritătii a fost considerată valabilă. Pentru interactiunile electromagnetice si interactiunile tari legea a fost demonstrată experimental. Totusi în 1956 studiindu-se dezintegrarea mezonilor K s-a observat că acestia în unele scheme de dezintegrare se comportaă ca particule pare iar în alte scheme se comportaă ca particule impare. Tot în 1956 Lee si Young au arătat că se poate elabora o teorie a dezintegrării (3 fără a se lua în consideratie conservarea paritătii în cazul interactiilor slabe (Lee T. D, Young C. N. , Phys Rev. 104 p 254, 1956). Lee si Young au sugerat caă punerea în evidentaă a neconservaării paritaătii se poate face în studiul dezintegraării 3 a unor nuclee polarizate.

In celebrul experiment al lui Wu din 1957 a fost măsurată distributia unghiulară a electronilor emisi de nucleele polarizate de 60Co. In Fig. 6.26 este araătat experimentul real si cel oglindit.

Proba utilizataă a fost un nitrat de cobalt în care s-a realizat o orientare a momentelor cinetice nucleare cu ajutorul unui câmp magnetic. S-a observat experimental că mai multi electroni au fost emisi în directieopusaă vectorului moment cinetic al nucleelor. In oglindaă se observaă caă electronii sunt emi si în direc tia momentului cinetic. Experimentul oglindit nu poate i realizat deoarece rezultatul saău

Figura 6.26: Emisia beta în cazul experimentului real si a celui oglindit

Page 145: Capitolul 6

145

ar i în contradic tie cu rezultatele experimentului real. Astfel, observarea acestei asimetrii în experimentul real, constituie o demostratie caă legea conservaării paritaătii nu este valabilaă. Experimentul a fost diicil de realizat din douaă motive: a) sunt necesare câmpuri magnetice foarte mari 105 Oe b) sunt necesare temperaturi extrem de mici (~ 0,1 K). Câmpurile magnetice mari si temperaturile foarte mici sunt necesare pentru ca energia de interactie a nucleului cu câmpul magnetic saă ie cel putin egalaă cu energia de agitatie termicaă. In acea vreme nu s-au putut obtine direct câmpuri de o astfel de valoare (astaăzi ele sunt ob tinute cu ajutorul supraconductorilor). Din acest motiv s-au folosit substante paramagnetice deoarece electronii acestora creazaă în zona nucleului câmpuri de 105 Oe. Aceste câmpuri vor i orientate paralel dacaă se polarizeazaă momentele magnetice ale electronilor atomici (lucru care se realizeazaă cu ajutorul unor câmpuri în jur de 100 Oe). Raăcirea se poate face pânaă la 4,2 K cu ajutorul heliului lichid, apoi pânaă la 0,01 K prin metoda demagnetizaării adiabatice. Rezultatele experimentului sunt araătate în Fig. 6.27.

Pentru măsurarea gradului de asimetie s-au folosit doi contori 7 cu

Page 146: Capitolul 6

146

& 1,2Sens contrar momentului cinetic

1

Page 147: Capitolul 6

147

S 1,1

Page 148: Capitolul 6

148

a-8

I

fi■8 0,9

=50,8

Sensul momentului cinetic

1

Page 149: Capitolul 6

149

8 10 12 14

16 timp (minute)

Figura 6.27: Rezultatul experimentului lui Wu cu privire al emisia particulelor beta provenite din nuclee polarizate

cristal de Nai. Din Fig. 6.27 se observă că electronii sunt emisi pre-ponderent în directia opusă momentului cinetic al nucleului. Mărimea asimetriei scade treptat în timp (8 minute) fapt datorat micşorării gradului de polarizare al nucleelor pe maăsura încaălzirii probei datorataă caăldurii provenite din mediul exterior si celei datorate dezintegrării (3. Distributia unghiulară a electronilor emisi a fost caracterizată cu ajutorul functiei:

f (9) = A (1 + cos 9 ) (6.200)

Din punct de vedere matematic această neconservare a paritătii înseamnă caă hamiltonianul care corespunde interac tiei slabe are douaă componente: una scalară Hgs si una pseudoscalară Hpp:

H = H Ps + HPp (6.201)

6.8 Dezintegrarea gama

6.8.1 Tranziţii de dipol şi tranziţii multipolare

Nucleele prezintaă o mul time de staări excitate caracterizate de energia E, momentul cinetic (prin intermediul numărului cuantic J) si paritatea P = ±1. El poate ajunge într-o astfel de stare dacă are loc o dezintegrare

Figura 6.28: a) Emisia unui foton b) Absorbtia unui foton

a)

b)

Page 150: Capitolul 6

150

alfa sau beta. Apoi nucleul se dezexcitaă în starea fundamentalaă prin emisia unui foton. Procesul poartaă numele de dezintegrare gama. El este analog cu cel al emisiei radia tiei de caătre un atom. Dar cum intervalul dintre nivelele energetice ale nucleului este mult mai mare decât cel din atom lungimile de undaă corespunzaătoare celor douaă situatii vor diferi foarte mult (A ~ 10~7 m pentru atom si A ~ 10~12 — 10~13 m pentru nucleu). Lungimea de undă poate fi comparată cu raza atomică ( R atom ' 10~10 m) si raza nucleară (Rnucleu ' 10~14 m):

(R) = w" si (R) =10-1 -10-3

\ / atom \ / nucleu

Diferenta dintre aceste rapoarte are implica tii profunde în sensul caă pentru atomi trebuie considerataă în general doar emisia de dipol în timp ce pentru nucleu apar mai multe tipuri de radiatii multipolare.

Radiat ia de tip electric dipolar (notată cu E1 în fizica nucleară) reprezintaă echivalentul cuantic al radia tiei produse în mod clasic de un dipol oscilant. Pentru o particulă cu sarcină e având vectorul de po-zitie r , momentul electric de dipol este er, iar probabilitatea cuantică de tranzi tie dipolaraă între douaă staări este legataă de elementul de matrice:

M i f = J u * e r u f dv (6.202)

Formula de mai sus se aplicaă de exemplu pentru tranzi tia unui proton între două stări. Tranzit ia este reprezentată în Fig. 6.28a; în Fig. 6.28b este prezentataă absorb tia unui foton.

Se calculează probabilitatea de tranzit ie T care este proport ională cu Mi f si se obtine:

1 f E \ 3

T ( E 1) ~ - - - j M i f I2 (6.203)

Deoarece elementul de matrice este de ordinul lui eR unde R este raza nucleului iar E7 = hc/A atunci:

T (E1) ~ R (6.204)

1

Page 151: Capitolul 6

151

Cum timpul mediu de viată al stării este invers proportional cu probabilitatea de tranzitie atunci acesta este proportional cu A3 sau E~3.

O altă posibilitate de a se obtine radiatie gama este emisia de cuadripol. Probabilitatea unei astfel de tranzitii este proportională cu elementul de matrice dintre cele douaă staări pentru operatorul moment de cuadripol. Acesta are ordinul de mărime eR2. Astfel probabilitatea de tranzitie este:

T (E2) ~ -—- R4 ~ R5 (6.205)

In mod analog probalitatea de tranzitie pentru celelalte momente multipolare are forma:

T ( E L ) ^ R2L ~ -RRZ-1 (6.206)v 1 4^£0 h \ h c ) A2i+1

Dacaă se porne ste de la expresiile de mai sus putem evalua raportul:

Page 152: Capitolul 6

152

T (EL + 1)

/R T (EL)

V A

(6.207)(

R

):

Page 153: Capitolul 6

153

In cazul nucleului acest raport este de ordinul 10~2 — 10~4 în com-paratie cu 10~6 pentru atom. De aici rezultă faptul că în fizica atomică radiatia multipolaraă are o importan taă foarte micaă.

In afară de radiatia datorată tranziţiilor de multipol există o radiatie ce apare datoritaă oscilatiilor multipolilor magnetici. In mecanica cuanticaă probabilitatea de tranzitie depinde de elementele de matrice care implicaă mai degrabă curemti decât sarcini elementare. Considerând j = ev unde v este viteza unui nucleon în nucleu, ordinul de mărime al elementului de matrice poate i estimat înlocuind pe e cu ev/c în expresiile care dau probabilităttile de tranzitie. Pentru evaluarea acestei expresii vom utiliza

Page 154: Capitolul 6

154

X M5

^M2K^

^Ml^^0,02 0,05 0.1 0,2 0,5

1 2 5

E1 (MeV)

Figura 6.29: Diagrama Weisskopf a timpilor de înjumătătire funcţie de energia radiaţiei gama pentru tranziţii de diverşi multipoli în cazul unui nucleu cu A = 100

relatia de incertitudine a lui Heisenberg ApAx ' ~ unde Ap ' mpv iar Ax ' R. Atunci v/c ' ~/mpRc. Există în plus şi o contributie datorată momentelor magnetice intrinseci ale nucleonilor. Din acest motiv probabilitătile de tranzitie multipolare electrice si magnetice sunt legate printr-o rela tie de forma:

T ( M L ) = 10 (—^—^ T ( E L )(6.208)

\mpRc )

Ecuatia (6.208) a fost obtinută în anul 1950 de Weisskoff care a adăugat o constantă multiplicativă care depinde de L. Având în vedere legătura dintre probabilitătile de tranzitie si timpii de înjumătătire t \ j 2 = ln2/T pot fi trasate curbele care dau timpii de înjumătătire pentru diverse tranzitii multipolare în functie de energia radiatiilor 7 emise (Fig.6.29).

6.8.2 Reguli de selectie

Pentru a se obtine însă o radiatie multipolară este necesar ca elementul de matrice care intervine în expresia probabilitaă tii de tranzitie saă nu ie nul. Aceasta depinde de natura func tiei de stare si de simetria operatorului respectiv. De exemplu pentru tranzi tia M1 operatorul este er. Acesta are o paritate egală cu -1. Este de asteptat ca radiatia emisă să reflecte această

io™

io15

io10

io5

hi2

i -\

10

10

Page 155: Capitolul 6

155

proprietate de simetrie si să fie caracterizată de un moment cinetic al caărui numaăr cuantic saă ie L = 1 si saă aibaă o paritate egală cu —1. De altfel se observă că pe directia Oz componenta lui er este ez = er cos 9 ~ erY10 (cos 9) care este o functie proprie a operatorului moment cinetic cu L = 1 si are paritatea egală cu —1. Este emis un foton 1~. In plus momentul cinetic si paritatea trebuie să se conserve în aceste tranzitii. Astfel, pentru ca tranzi tia de dipol saă aibaă loc este necesar ca AJ = ±1. Este interzisă tranzit ia dintre două stări pentru care numaărul cuantic J corespunzaător momentului cinetic este nul datoritaă faptului că radiat ia emisă are un moment cinetic al cărui număr cuantic este L = 1. Deoarece paritatea fotonului emis este —1 atunci P f = —Pi. Acestea sunt regulile de select ie în cazul tranzit iei de dipol electric.

Pentru tranzi tia de dipol magnetic deoarece operatorul moment magnetic este legat de operatorul moment cinetic ~ X ~ fotonul emis are paritatea +1 (operatorul este un operator par adicaă el nu se schimba la trecerea ~ ! —r). Din acest motiv fat ă de cazul tranzit iei de dipol electric singura schimbare constaă în faptul caă Pf = Pi.

In cazul tranzit iei electrice de multipol intervine operatorul 3z2 — r2 ~ r2Y20, astfel că paritatea fotonului emis este P = +1. Mai mult momentului cinetic al acestuia îi corespunde numaărul cuantic L = 2, astfel că este emis un foton 2+ într-o astfel de tranzit ie. Regula de selectie pentru numaărul cuantic J este AJ = ±2. Si în acest caz Pf = Pi.

Legătura dintre timpii de înjumătăt ire si energia radiat ei 7 emisă urmeazaă în general predic tiile teoretice. Dacaă o stare se poate dezintegra printr-o radia tie de multipol de ordin mare timpii de înjumaătaă tire sunt foate mari. De exemplu timpul de înjumătăt ire al stări 11/2- a 131Xe care se dezintegrează în starea fundamentală 3/2+ printr-o tranzitie M4 este de 11,8 zile. Spunem despre astfel de staări (al caăror timp de înjumaătaătire este mai mare de 1 s) ca iind staări izomere. Ele apar în regiunile în care stările excitate de energie mică au momente cinetice mari; revenirea în starea fundamentalaă iind posibilaă doar prin tranzitii de multipol de ordin înalt. Este de remarcat ca multe tranzhtii E2 au timpi de viată mult mai scurti decât cei prezisi cu ajutorul modeului în pături uniparticulă. Un exemplu este cazul 180Hf pentru care timpii de înjumătătire sunt de două ori mai mici decât cei prezi si. Acest lucru nu poate i în teles decât dacaă se

Page 156: Capitolul 6

156

consideraă contribu tia proceselor colective la probabilitatea de tranzi tie.

6.8.3 Conversia internă

In mod frecvent în procesul de dezintegrare 7 sunt observati electroni emi si cu energia:

E = E7 - W i (6.209)

unde E7 este energia fotonilor emisi, iar Wi se referă la energia de legătură a electronilor de pe pătura i ( K , L, M , . . . ) ai atomului din care face parte nucleul. Acest fenomen poate i privit ca un efect fotoelectric intern. De si acest proces se poate petrece el are loc cu o probabilitate foarte micaă. Explica tia fenomenului constaă în faptul caă energia de tranzitie este transferataă direct electronului prin interac tii electromagnetice de la nucleu. Acest proces poartaă numele de conversie internaă si este un alt mod de dezexcitare nuclearaă. Probabilitatea de tranzi tie T dintr-o stare excitataă în altaă stare are forma:

T = T7 + Tc (6.210)

unde T7 este probabilitatea de dezintegrare prin emisia unui foton iar Tc este probabilitatea de dezintegrare prin conversie internă. Se poate defini un coeicient de conversie internaă:

T Na = T = N (6.211)

unde Nc si N7 sunt numaărul de electroni, respectiv numaărul de particule gama emise în unitatea de timp. Mentionăm că a depinde de ordinul de multipol al tranzi tiei.

Existaă si o altaă formaă a conversiei interne si anume aceea a producerii de perechi electron - pozitron. Acest fenomen se produce când energia de dezintegrare este mai mare decât 2mec2 = 1, 02 MeV. Un exemplu este dezintegrarea 16O din starea 6, 06 MeV (0+) în starea fundamentală (0+). Regulile de selectie interzic apartia unei tranzitii în care să apară un foton. Tranzitiile 0+ ! 0+ nu pot avea loc decât printr-un proces de conversie internaă sau dacaă energia este suicientaă pentru aparitia unei perechi electron-pozitron. Pentru tranzitia 0 ! 0 cu

Page 157: Capitolul 6

157

schimbarea paritătii cel mai probabil mod de realizare este acela în care are loc emisia a douaă particule 7, Ei si Mi.