Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

Embed Size (px)

Citation preview

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    1/78

    7. PROPAGAREA CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC

    Sub acest titlu mai general, prezentul capitol va trata câteva teme legate de câmpurileelectromagnetice variabile în timp (t ) şi spaţiu, descris de mărimile de stare de forma  ,t)r (   E sau ),(   t  P  E   şi ),(   t r  H   sau ),(   t  P  H   –unde r   este raza vectoare a unui punct  P  (oricare)din domeniul Ω  de existenţă a câmpului electromagnetic– teme ca ecuaţia undelor, undeelectromagnetice, radiaţia oscilatoarelor, propagarea undelor plane în diferite medii, difracţiaundelor electromagnetice, g!iduri de unde, cavităţi rezonante, repartiţia câmpului electromagneticîn conductoare masive, efectul pelicular, curenţii turbionari, pierderile în fier, precum şi câtevaaplicaţii diverse"

    7.1. Unde electromagnetice

    #a modul cel mai general, noţiunea de undă poate fi definită în felul următor prin  und seînţelege un fenomen (o manifestare naturală) variabil în timp care se propagă din aproape înaproape într$o regiune dată a spaţiului" %cest fapt –prin modelare– se poate defini şi astfel îndomeniul Ω se propagă o undă a mărimii de stare u dacă o perturbare a lui u, existentă în punctul P  în momentul t  se regăseşte în momentul t+∆t  în diverse puncte P’  din vecinătatea lui P "

    &n legătură directă cu această definiţie se introduc noţiunile front de undă şi vitezafrontului"

    'rin !rontul undei se înţelege suprafaţa ce separă, la un moment dat, regiunea perturbatăde cea neperturbată ea evoluează atât în timp cât şi în spaţiu, ceea ce implică fenomenul de

    "ro"agare a undei în domeniul Ω"#ite$a de "ro"agare a !rontului  (ceea ce este tot una cu %ite$a de "ro"agare a undei) se

    defineşte ca fiind limita dintre distanţa  PP   pe care o parcurge un punct  P’  al frontului de undă(faţă de punctul P  din punctul de perturbaţie) în intervalul de timp ∆t  şi acest interval de timp,atunci când ∆t  tinde către zero, adică

     P  P w

     D

    d

    dlim

    *=

    ∆′

    =→∆

     , (+")

    care este totdeauna finită" %ceasta corespunde faptului esenţial că în concepţia actuală a -izicii nuexistă decât efecte care se propaga prin .acţiuni din aproape în aproape/ (cunoscuta teorie acontiguităţii) şi cu viteză finită" 0e fapt, această concepţie (având totuşi o origine mai vec!e anul123, când 4" -arada5 a introdus termenii de câmp şi de contiguitate) stă la baza teorieimacroscopice clasice a fenomenelor electromagnetice ale lui 4ax6ell" 7eoria contiguităţiiconsideră că purtătorul acţiunilor electrice şi magnetice dintre corpurile electrizate şi magnetizateeste câmpul electromagnetic care le transmite prin contiguitate (adică din aproape în aproape înspaţiu şi timp) cu o anumită viteză finită (dar foarte mare), astfel că ele au nevoie de un anumittimp spre a se propaga" %cţiunile prin contiguitate depind numai de evoluţia pe care stările fiziceau avut-o într-un timp orict !e scurt (care tocmai a trecut") la o !istanţă orict !e mică !in #urul  porţiunii !e corp asupra căreia se e$ercită,  de aici rezultând imediat noţiunea de undeelectromagnetice, în forma din definiţia dată la început"

    8+

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    2/78

    7.1.1 Cla&i!icarea 'i re"re$entarea undelor

    9xistă diferite criterii de clasificare a undelor" %stfel, după natura fizică a mărimii de stareu considerată, se disting undele elastice, pentru care u este o deplasare sau o tensiune mecanică,ori o presiune etc" (din această categorie fac parte, de exemplu, undele seismice, undele!idraulice, undele sonore ş"a"), gravifice, magneto!idrodinamice, electromagnetice (la caremărimile de stare sunt, în principal, intensitatea câmpului electric  E    şi intensitatea câmpuluimagnetic  H  ) etc"

    :ată două exemple de unde$ undele superficiale care apar pe suprafaţa unui lac adânc când, această suprafaţă fiind perfect plană, într$un punct  P   al ei cade un obiect greu (o piatră)" %cest eveniment duce laformarea pe suprafaţa apei a unor cercuri concentrice, care îşi măresc din ce în ce raza şi care au

    centrul în punctul ' în care a căzutobiectul greu" 0acă se reprezintăsuprafaţa apei în câteva momentesuccesive din figura +", realizate înmomentele  t % , t &'t %  i t 't & , se vedecă aceste .ondulaţii/ superficiale se propagă sub forma cercurilor din

    figura +", până când a;ung la malulapei" &n figura +"< este reprezentatăo .secţiune/ verticală prin apalacului, la momentul t %  din carerezultă că perturbaţia produsă deobiectul căzut în punctul  P   setransmite în punctul  P’ , prinmodificarea nivelului *( P ( t ) al apei,faţă de fundul lacului, datoritămişcărilor moleculelor apei, subinfluenţa şocului dat de obiectulcăzut, al energiei primite prin acestşoc de molecule şi al frecării dintremoleculele de apă etc"

    ) undele electromagnetice pot fi produse aşa ca în figura +"3,de o sursă de energie electrică cu

    t"e"m" e alternativă (un oscilator electric – v" cursul .0ispozitive şi circuite electronice/) careîncarcă şi descarcă alternativ, cu sarcini electrice de nume contrar, două sfere metalice (v" fig" +"3)

    81

    -ig" +"

    -ig" +"<

    -ig" +"3

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    3/78

    situate la o distanţă l   foarte mică în raport cu un punct  P’ (   r  ) unde se analizează câmpulelectromagnetic produs de cele două sfere prin mărimile lui de stare  E    şi  H   (v" = +"">)" &nrepartiţia lor instantanee, sarcinile electrice determină un câmp electric care variază în timp

    ),(   t  P  E  = " ?onform legii circuitului magnetic ("11), un câmp electric care variază în timp

     produce un câmp magnetic, care –datorită faptului că *@

    ≠∂∂⋅

    =∂

    ∂t 

     E 

     D – va varia şi el,

    intensitatea lui fiind ),(   t  P  H   = " 0eoarece şi câmpul magnetic variază în timp, va produce – 

    conform legii inducţiei electromagnetice ("1

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    4/78

    0upă caz, se pot folosi numeroase tipuri geometrice de undă, dar cele mai importante sunttotuşi undele plane şi sferice cele plane pentru faptul că pe o porţiune suficient de mică dinspaţiu, orice undă ∆Σ poate fi aproximată ca fiind plană (ceea ce simplifică studiul), iar undelesferice prezintă interes deoarece –conform principiului lui Eu5gens (v"=+""1)– orice punct de peo suprafaţă de undă poate fi considerat ca o sursă a unei unde sferice"

    Cndele se mai pot clasifica şi după felul cum variază în timp mărimea de stare u" 0upă cums$a mai arătat în general această mărime este o funcţie de punct,  P  sau r  ⇒ P ( )r  , şi de timp t u( P, t ) sau u ( )t r , " &n unele din exemplele date până în prezent (cele ilustrate în figurile +", +"<

    şi +"2), undele se datorau faptului că perturbaţia era de forma unei funcţii treaptă (de şoc), adicăla un moment dat, în punctul r   (sau P ) apărea brusc o perturbaţie, care se propaga mai departe în punctele vecine, r   (sau P F), fără a mai reveni (să zicem periodic)" &n astfel de cazuri, unda senumeşte un!ă !e oc"

    0ar există şi multe situaţii (ca aceea din figura +"3, unde sursa de perturbaţii este o t"e"m" ealternativă), în care fenomenul perturbator revine periodic în timp şi –în acest fel– produce ovariaţie periodică a mărimii de stare, adică

    ( ) ( )/ t r ut r u   +=   ,,   ,*≠⇒ / ceea ce înseamnă a spune că prin r   trece o un!ă perio!ică în timp, de perioadă / " Aevenindu$sela exemplul mai simplu de intuit şi reprezentat, al undelor superficiale ce apar pe luciul unui lac

    atunci când într$un punct fix P  obiectul greu loveşte periodic apa, la intervale de timp /  (perioadade repetiţie), se va constata că aspectul suprafeţei lacului (văzută de sus) este cel indicat în figura+">, adică nişte grupuri de cercuri care se succed în timp cu perioada /   şi pe direcţia razeicercurilor cu intervalul λ" %cest interval λ după care perturbaţiile se reiau se numeşte lunime !e

    un!ă (v" = +""3) şi ea reprezintă în fapt distanţa la care se propagă unda (frontul undei) în timpulunei perioade / " 0acă propagarea undei se face cu viteza w , atunci λG w /0  0eci, unei perturbaţii periodice în timp îi corespunde o undă periodică în timp şi în spaţiu" %cest caz estefoarte utilizat în te!nica comunicaţiilor prin unde electromagnetice el a fost numai prezentat ca

    exemplu în figura +"3, dar asupra lui se va reveni în toate paragrafele ce vor urma"Cn alt caz este acela în care în modelul mărimii de stare u, variabilele r   şi t  apar separate,în forma

    ( ) ( ) ( )t r t r u   HI,   = ,care reprezintă modelul tipic al coardei vibrante" Jibraţiile coardei sunt produse mecanic, de odoză D comandată periodic de un oscilator mecanic 1, aşa cum se arată în figura +"+" &n funcţie detensiunea mecanică prin care este .întinsă/ coarda, apare un anumit număr de .maxime/ ( 2 ) şi de.minime/ (m) care nu se deplasează în timp în lungul coardei acest tip de undă se numeşte un!ă staţionară" &n opoziţie cu acestea, undele la care se constată o propagare a perturbaţiilor senumesc un!e proresive"

    **

    -ig" +"> -ig" +"+

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    5/78

    %vându$se în vedere definiţia undelor, deoarece în cazul undelor staţionare nu se observă odeplasare a perturbaţiilor, vibraţiile care apar nu pot fi incluse în categoria undelor" 9le prezintătotuşi interes în teoria undelor deoarece analiza fenomenelor vibratorii arată că –în general– undele staţionare pot fi considerate ca o suprapunere de unde progresive (v"=+""3)"

    Re"re$entarea gra!ic a undelor

    Aeprezentarea grafică a proceselor ondulatorii trebuie să redea într$o formă cantitativă

    modul cum este repartizată pe Ω mărimea de stare u(P,t) sau u( )t r ,

     –cu( )   Ω∈r  P 

     – astfel încâtsă rezulte esenţa proprietăţilor specifice undelor analizate" -olosindu$se performanţele de graficăinteractivă, de reprezentare în 30 (simulând spaţiul tridimensional) şi facilităţile actuale alete!nicilor de calcul automat, reprezentarea diverselor tipuri de unde devine foarte simplă, putândreda –prin animaţie– şi evoluţia în timp"

    &n principiu (c!ir şi atunci când se utilizează reprezentarea prin animaţie), redarea grafică a propagării undelor se face în două moduri o se reprezintă starea domeniului în care se propagăunda (în nodurile unei reţele de discretizare care se aplică domeniului Ω, în 30 sau –dacă existăsimetrii– în

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    6/78

    9xemple tipice de medii dispersive sunt (pentru undele electromagnetice) ionosfera şi g!idurile deundă (v"=+""8)"

    4ediile în care undelor ce se propagă li se micşorează amplitudinea în funcţie de distanţastrăbătută (v" = +"

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    7/78

    eliptice şi al celei circulare, sunt posibile două situaţii determinate de modul cum variază în timpvectorul u cu succesiune în sensul acelor de ceas (care reprezintă  polarizarea !e !reapta) sau însensul trigonometric (aceasta fiind polarizarea !e stna), situaţii care se pot reprezenta grafic aşacum se arată în figura +"1a"P reprezentare care să indice polarizarea circulară de variaţie a vectorului ( )t  P u   , , atât în timp(după un cerc) cât şi în spaţiu (redând procesul de propagare) este arătată în figura +"8"

    7.1.+. Ecua*ia undelor electromagnetice

    'entru descrierea particularităţilor undelor electromagnetice se foloseşte un model care sădetermine relaţia existentă între mărimile de stare caracteristice câmpului electromagnetic, şianume intensitatea câmpului electric –vectorul  E    şi intensitatea câmpului magnetic  H (specifice celor două aspecte ale acestui câmp), precum şi modul de propagare a câmpuluielectromagnetic prin unde, modelul indicând şi dependenţa de punct şi de timp ale acestor vectoride stare"

    &n acest scop se folosesc legile generale ale teoriei macroscopice a câmpuluielectromagnetic sub forma lor locală (de punct) exprimată de ecuaţiile de bază ale lui 4ax6ell("*D4)Q("*D42) şi ecuaţiile de material ("*>4D)Q("*>4+), care se referă laelectrodinamica macroscopică a mediilor continue, netede (în care funcţiile sunt continue şiderivabile) şi imobile, adică în cazul unor medii în repaus (cu viteza   *=w ), liniare, omogene şiizotrope, fără polarizaţie electrică permanentă (   *= p P  ), fără magnetizaţie permanentă( )*= p 2   şi fără câmp imprimat ( )*=i E  " 0eşi un astfel de domeniu este un caz particular, cumulte restricţii, a fost ales pentru că reprezintă situaţia cea mai răspândită în practica propagăriiundelor electromagnetice radio, în aer sau în vid (în .eter/), atât de utilizate în telecomunicaţii"?azurile de discontinuitate, neuniformitate, anizotropie etc", care generează efecte secundare, sunttratate aparte în condiţiile date (reflexie, refracţie, difracţie, radiaţii –atunci când *≠ p  sau B şi

    *≠m , efectul 0oppler$-izeau atunci când există viteze relative între sursele de radiaţii,observator, mediu etc"– deci când *≠w , atenuarea undelor în mediile disipative etc")"

    Aeamintindu$se ecuaţiile de bază ale lui 4ax6ell (prezentate în = "2") şi ecuaţiile dematerial (din = "2") şi respectiv (4+),în relaţiile (4)Q(42), în condiţiile în care mediul este neîncărcat electric (adică 6v T?Bm3UG*),se obţin ecuaţiile numai cu variabilele  E   şi  H   ale mărimilor de stare ale undelor

    *div   = E  , (C)*div   = H  , (C

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    8/78

    ii) folosindu$se aceste noi expresii (C)Q(C2), se pot determina ecuaţiile (cu derivate parţiale) pe care le satisfac, în orice punct al mediului de propagare, mărimile de stare  E   şi  H ale undelor electromagnetice, prin aplicarea operatorului rotor relaţiei (C3)

    (CD)   H t t 

     H  E    rotRRrotrotrot

    ∂∂−=   

      

     ∂

    ∂−= ,

    din care, înlocuindu$se  H rot  cu expresia lui (C2), rezultă

       

      

     ∂

    ∂+

    ∂∂

    −=t 

     E  E 

    t  E    @SRrotrot ,

    adică

    (C>)<

    <

    R@Rrotrott 

     E 

     E  E 

    ∂−

    ∂∂

    −=

    iii) ştiindu$se că  E  E  E    ∆−=   divgradrotrot  (v" = 8""

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    9/78

     polarizaţie electrică permanentă, fără magnetizaţie permanentă şi fără câmp imprimat, însădisipativ – datorită prezenţei parametrului de material γ GBρ)" 0e la 4atematică se ştie că,asociindu$se cu ecuaţia (+"2) condiţii iniţiale şi la limită adecvate problemei studiate, se obţine osoluţie în ( )t  P  E    ,   şi ( )t  P  H    ,  care –în general– este o soluţie ondulatorie" Soluţiile obţinute pentru ecuaţia (+"2) nu sunt independente, deoarece între vectorii  E    şi  H   există întotdeaunarelaţii de legătură (C3) şi (C2), astfel încât se obţin o undă electrică şi una magnetică strâns legateîntre ele şi care se condiţionează reciproc într$o undă unică (rezultantă) unda electromagnetică"

    Ecua*ia undei electromagnetice ,n medii i$olante

    &n cazul particular al mediilor izolante, pentru care practic conductivitatea electrică esteγ G*, ecuaţia (+"2) ia forma specifică acestor medii şi anume

    Ω∈∀=⇐=

    ∂−

    ∆   P 

     H 

     E 

    t  H 

     E ,*S*@R

    <

    <

    " (+"D)

    0eoarece conform relaţiei ("D2), a lui 4ax6ell (v" = ""2"D), εµGBc

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    10/78

    electromagnetic se poate realiza mai simplu prin introducerea "oten*ialelor electrodinamice (v" =+""2), ca potenţiale (7  şi  8 ) ale undelor electromagnetice care permit şi analiza fenomenelor deradiaţie electrică (v" = +"">) şi magnetică (v" = +""+)" %ceste mărimi se pot introduce în virtuteaneunivocităţii potenţialelor (v" = +""2)"

    0upă cum se ştie, din legile circuitului magnetic (4) şi fluxului magnetic (42) –indicatorifolosiţi în paragraful +"" valoriBcomponente scalare), trebuie determinate numai 2 valoriBcomponente scalare 3 pentru potenţialul electrodinamic vector  8  şi una pentru potenţialul electrodinamic scalar 7 "

    -olosindu$se aceste potenţiale electrodinamice, ecuaţiile undei electromagnetice devin$ se introduc relaţiile ('9

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    11/78

    capitolul D s$a considerat div  8 G*)" &n acest caz, cel mai potrivit –din punctul de vedere almodelării– este ca div  8  să se etaloneze prin con!iţia lui 9orentz, adică

    ct 

    7  8

    ∂∂

    −=∂

    ∂−=

    <

    @Rdiv , (+"+)

    etalonare ce simplifică mult modelul ('9+)$ prin condiţia de etalonare #orentz (+"+) a potenţialului electrodinamic vector  8 ,

    ecuaţia ('9+) devine

     5 t 

     8

     8   R@R <

    <

    −=∂

    −∆ , (+"1)adică

     5  8t c

    R

    <

    <

    <  −=

    ∂−∆ , (+"1F)

    sauV   5  8   R−= , (+"1/)

    care reprezintă o nouă formă a ecuaţiei undelor electromagnetice în medii unde există puncte încare densitatea de curent este diferită de zero

    $ se introduce, în continuare, relaţia ('92) în legea fluxului electric –sub formă locală

    (43) din = +""

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    12/78

    care au fost scrise sub forma unui sistem, deoarece în (+"*) –cele două soluţii 7  şi  8  nu suntindependente pentru că ele sunt legate prin condiţia lui #orentz (+"+), iar termenii din membruldrept sunt legaţi între ei prin legea conservării sarcinii electrice ("8

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    13/78

    ,*XYB< =∂⋅∂∂   f     (C'"D)care − prin integrare după X– conduce la

    ),Y(YB   -   f     =∂∂   (C'">)unde ( Y ) este o funcţie arbitrară" :ntegrându –se încă odată, după Y, ecuaţia (C'">) se va găsi

     f< f ( X )+f 

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    14/78

     prezenţa unui câmp electric longitudinal constant  E  3Gconst" 0eoarece un astfel de câmp nuaparţine undei electromagnetice, se poate spune că  8 3  G*" %şadar,  potenţialul electro!inamicvector al unei un!e plane poate fi ales tot!eauna perpen!icular pe a$a 3, a!ică pe !irecţia !e propaare a acestei un!e0 

    0acă se consideră o undă plană care se propagă în sensul pozitiv al axei  3 (unda directă), – atunci în această undă– toate mărimile f (în particular şi  8 ) sunt funcţii numai de t-3;c, conformsoluţiei (+">)" 0in formulele

     8

    c

     E 

    ∂−=    şi  8 H    rot=  ,

    care provin din relaţia ('92) din paragraful +""< cu condiţia 7 G*, se obţine

    (+"1)   ,

    )B(,

     8nc

     8c 3t  8 H  8c

     E    ×=⋅−×∇=×∇==  

    unde accentul înseamnă diferenţierea după t-3;c, iar n   este versorul de$a lungul direcţiei de propagare a undei electromagnetice(   4 n = )" &ntroducându$se prima relaţie (+"1) în ultima seobţine(+"8)   , E n H    ×=  care arată că în cazul undei electromagnetice plane, câmpul electric  E    şi magnetic  H    suntorientate perpendicular pe direcţia de propagare a undei (a lui  3)" 0in acest motiv undeleelectromagnetice plane se numesc transversale" 0in relaţia (+"8) rezultă, mai departe, că pentruunda plană, câmpurile electric şi magnetic sunt perpendiculare între ele şi egale în mărimeabsolută (de exemplu, E  z cu H  $ şi E  $ cu H  z )" %cest lucru se mai poate arăta si astfel

    i) în cazul (+"2) al undelor plane, rotorul şi divergenţa funcţiei f  sunt(C'")

    ,BB

    BBBBBBBBBrot

     3  f  4  3  f  i

     3  f  4  $  f    # z   f  i $  f  4  z   f    # 3  f  i

      f    f    f  

     z  3 $

    4   #i

      f  

     $ z 

     $ z  3 3 $ z 

     z  3 $

    ∂∂−∂∂=

    ∂∂−∂∂−∂∂−∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂=

    deoarece f  depinde de o singură coordonată spaţială 3 si deci

    ,*B,*B,*B,*B),(   =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂⇒=   $ f  z f  $ f  z f t  3 f  f  z 3 3 $

    iar

    (C'"

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    15/78

    ,BRBşiBR*,BRB   t  H  3 E t  H t  H  3 E  z $ 3 $ z

      ∂∂=∂∂∂∂=∂∂−=∂∂   (C'"3) precum şi

    ,B@B@B@BB*S

    B@Srot

    t  E 4 t  E  #t  E i 3 H 4  3 H i

    t  E  E  H  z 3 $ $ z

      ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂−∂∂⇒

    =

    ∂∂+=

    ceea ce înseamnă

    BBşiB*,B@B   t  E  3 H t  E t  E  3 H  z $ 3 $ z

      ∂∂⋅=∂∂−∂∂⋅=∂∂=∂∂   ε ε  (C'"2)iii) comparându$se între ele ecuaţiile (CB= +""), ceea ce înseamnă că elereprezintă o !istri.uţie statică uniformă, neleată cauzal !e procesul !e propaare0  %ceasta maiînseamnă că se pot lăsa de$o parte componentele E  3 şi H  3 , rămânând numai componentele E  z cu H  $ – legate prin prima ecuaţie din relaţiile (C'"2), rezultând că vectorii  E    şi  H    sunt

     perpendiculari pe direcţia axei 3, fapt arătat şi de relaţia (+"8) ;;) legătura dintre componente  E  z  cu  H  $  (aşa ca în figura +"*) şi  E  $  cu  H  z  arată că în procesul de propagare al undelor electromagnetice plane apar două unde transversaleindependente, una directă şi alta inversă, care potfi analizate separat, fapt precizat şi anterior pinsoluţiile (+">)

     ;;;) derivându$se prima ecuaţie din (C'"3)în raport cu  3  şi ultima ecuaţie din (C'"2) înraport cu t , se poate elimina termenul ^

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    16/78

     ;v) pentru determinarea componentei  H  $ se va proceda la fel, adică se va deriva primaecuaţie din (C'"3) însă în raport cu t  şi ultima ecuaţie din (C'"2 ) în raport cu 3

    ^

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    17/78

    (+"

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    18/78

    Aelaţia (+"3

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    19/78

    &n continuare se va analiza acest proces al retardării potenţialelor electrodinamice"4ai întâi se vor soluţiona ecuaţiile undelor electromagnetice în medii cu sarcini de câmp

    (6v  şi  5  ), adică ecuaţiile (+"1) şi (+"8) încondiţiile unui mediu omogen şi infinit extinsfolosindu$se notaţiile din figura +"3" 'rin procedeele clasice ale 7eoriei ecuaţiilor fiziciimatematice, se determină soluţia ecuaţiei (+"1) – adică   5  8   ⋅−=   R    sub forma

    ,dUB)B,(TN2R),(   v c t r  5 t r  8

    v −= ∫ Ω(+"33)

    în care 1P r  =  şi vI este volumul domeniului în care sunt distribuite sursele de câmpelectromagnetic  5    (densitatea de curent) şi 6v(densitatea de volum a sarcinii electrice), ambeleca funcţii de r   (de punct) şi de timp t  (v" fig" +"3)"

    Soluţia ecuaţiei (+"8) –adică 7 G $ 6v ; @– este de forma

    v c t r 6t r 7 v

      v   dUB)B,(T

    N@2

    ),(   −= ∫ 

     " (+"32)

    &n expresiile precedente, (+"33) şi (+"32), mărimile 6v şi  5  sunt mărimi retar!ate , fapt care−de obicei– se indică prin scrierea lor între paranteze drepte astfel

    UT)B,(   5 c t r  5    =−   şi [ ]vv   6c t r 6   =−   )B,( "9ste de remarcat (v"cap"D şi cap"

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    20/78

    ,*

    sau*@R<

      =∂∂

    ⋅+∇=∂∂+∇

    7  8

    t 7  8

    catunci se ;ustifică imediat definirea potenţialului vector a lui Eertz, Π , din care derivă  8  şi 7  prin relaţiile

    (+"3>F)t 

     8t 

     8

    c   ∂Π∂

    ⋅=∂Π∂

    =<

    sauR@  

    şi(+"3>FF)   ,divadică   Π−=Π⋅−∇=   7 7   unde Π  verifică ecuaţia neomogenă an undelor

    (+"3+)     ,@

     P −=Π  

    în care  P   este vectorul polarizaţiei temporare"&ntr$adevăr, conform ecuaţiei (+"1FF)   5  8   R−=  şi atunci, înlocuindu$se  8  prin definiţi

    lui Π (+"3>F) rezulta

    (E)     5 t 

    RR@ *   −=∂Π∂  

    0ar, aşa cum s$a arătat în subcapitolul 2"

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    21/78

    0eoarece, conform legii inducţiei electromagnetice, t  + E    ∂−∂=   Brot şi conform definiţiei potenţialului vector  8 +   rot=   se scrie şi  8 +   ×∇= , rezultă ,B   t  8 E    ∂′×∇−∂=×∇

    adică "*)B(   =∂′∂+×∇   t  8 E   ?âmpul t  8 E    ∂′∂+   B  fiind irotaţional, poate fi exprimat ca uncâmp de gradient şi –ca urmare– vectorul intensităţii câmpului electric  E   poate fi scris în forma

    ")

    $atunci, din relaţia (E>) combinată cu (ED) reiese ),()(   Π′×∇×∇=Π′∆−Π′×∇∇= E    (E+)

    căci R@divgradBgrad<

    Π′∂∂

    −Π′=∂−∂−=t 

    t  87  E 

    $dar  D E  2  H  +t  + E    @rotiar )(RşiBrot   =+=∂−∂= ceea ce însemnă , din relaţia(E+) că se poate scrie

    Π G   t  2 

    ∂∂−

    R

    ,

    adică relaţia (+"38)" 0imensional, se constată că atât relaţia (+"3+) cât şi relaţia (+"38) au aceleaşi

    dimensiuni şi anume [ ][ ]   UJBmTsau−

     9C  "

    7.1.3. Radia*ia o&cilatorului electric elementar

    0acă într$un domeniu Ω   (fig"+"2), considerat liniar, uniform (omogen şi izotrop) şi

    infinit extins, într$un punct Ω∈o  există un oscilator electric elementar sub forma unui dipolelectric 6666

    +=→−=   < , ce are momentul electric l 6  p  =  (v"fig"+"2) care variază în timp, de

    exemplu alternativ   ),()(   4/ t  pt  p   += atunci se formează un oscilator electric elementar (cu l foarte mic ) –de tipul celui din figura +"3– care produce în Ω  un câmp electromagnetic radiant cese propagă în Ω  sub forma unor unde sferice (v" = +"" şi fig"+"Dc)" 'roblema care se pune este,evident, aceea a determinării acestui câmp electromagnetic radiat în Ω  de   p , prin calculareamărimilor de stare ale câmpului )( P  E   şi )( P  H   într$un punct Ω∈ P    situat la o distanţă r faţă de dipol, mult mai mare decât lungimea l a acestuia (rWWl), ceea ce se face prin determinarea –mai întâi– a potenţialelor electrodinamice"

    +

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    22/78

    0in cauza simetriei şi uniformităţi, în toate puntele  P  situate pe o suprafaţă sferică Ω∈Σ ,aflate deci la aceeaşi distanţă r(P)  de 1 (adică de p), conform sc!iţei din figura +"2, câmpulelectromagnetic va avea intensităţile câmpului electric (pe de o parte)şi a celui magnetic (pe dealtă parte), de aceeaşi valoare absolută Ω⊂Σ∈∀⇒==   P  P  H  P  E    "const)(şi"const)( "

    Poten*ialele electrodinamice

    %plicându$se relaţia (+"32), prin care se determină potenţialul electrodinamic scalar retardat

    7 , se va obţine pentru cazul din figura +"2

    (AP9)

    [ ]   [ ] [ ],

    N@2

    d

    N@2

    ),(

    <

    <

       

      

     +== ∫ 

    Σ   r 

    6

    6v

     

    6t  P 7 

    v

    v D

    în care Σv este volumul înc!is de suprafaţa sferică Ω∈Σ  (luate astfel încât să cuprindă întregdipolul   p ), iar [ ] [ ],   66v  şi [ ]

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    23/78

    (pentru că jcosjcos   l r 

    r l 

    r l    ==⋅ ) şi introducându$se relaţia (AP92) în (AP93) şi apoi

    rezultatul în (AP9) se va obţine

    ( )   ,

    N@2N@2

    ),(

    <

    <

    <

    <

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    24/78

     ;) primul termen (adică derivata potenţialului electrodinamic vector retardat  8  în raport cutimpul t ) este derivata în raport cu timpul a relaţiei (+"2)

    (AP9+)   [ ]   [ ] ,N2

    RB

    N2

    RB

     pr  p

    t t  8

    •••

    ⋅=   

      

     ⋅

    ∂∂

    =∂∂  

    în care<

    <

     p p ∂∂=

     •• (derivata a doua în raport cu timpul t  a momentului electric   p )

     ;;) la doilea termen este grad 7 , adică 7 ∇  aplicat relaţiei (+"2*)(AP91)

    [ ] [ ] [ ] [ ]( )   ,<

    3

    N@2

    N@2

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    25/78

     ;v) revenindu$se (AP9+) cu (AP9) se obţine expresia intensităţii câmpului electric,adică

    [ ]( ) [ ]"

    33

    N@2

    ,

    gradN@2

    ,gradR@

    N@2

    ,grad

    N2

    R

    32) şi respectiv (3">>F)"

    C4m"ul magnetic. 9xpresia intensităţii câmpului magnetic pentru cazul din figura +"2 seobţine utilizând relaţia ('9

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    26/78

     8 H    rotR

    = " (AP9

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    27/78

    mari (atât de mari încât să a;ungă în zona undelor din Ω ), câmpul electromagnetic estedeterminat în mod semnificativ numai de termenii de ordinul doi (notaţi cu

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    28/78

    (+"23FF)

    "jsin

    N2

    ,

    <

    cr

     p

     H 

    ⋅=

    ••

     

    ?u aceste valori se pot determina, imediat, impedanţa de undă a mediului

    @R

    R

    ,@

    ,@,

    jsin

    N2

    ,

    jsin

    N@2

    ,

    e<

    <

    < ===

    == ••

    ••

    ε 

    c

    cr p

    rc

     p

     H  E ,

    adică exact definiţia (+")"

    Puterea radiat

    #a valori mari ale lui r (adică în zona undelor), radiaţia electromagnetică se face cu untransfer superficial de putere, în UTfBm< , dat de vectorul 'o5ting (definit, după cum se ştie, prin

     H  E F    ×= ), care se calculează –în această zonă– prin produsul dintre vectorii

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    29/78

    un vector cu valoare absolută

    ,jsin

    )UT

    (@N

    3

    <

    <

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    30/78

    ,d

    d)(

    d

    ddecişidBd   li

    6l 6l 

    t  pit 66   ====••

      (A%2)

    rezultă că se poate scrie

    t l t l lit 

     p p   Mcos)t l t   t l t t 

     p

     p

     p   Msin

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    31/78

    [ >>l  , adică la frecvenţe înalte   [ Bc  f    =  (cu [  mic)" 0ar dacă l  (lungimea antenei de emisie)este mare, atunci antena nu mai poate fii considerată un dipol (pentru că, prin definiţie,

    *→⇒⋅=   l l 6 p  şi  →∝6 )" &n Pre!a, 2 0a (%JKA) se dă următorul exemplu de$a lungul uneiantene liniare cu înălţime *, alimentată în curent sinusoidal de înaltă frecvenţă, valoare efectivă acurentului variază în lungul antenei, adică  ( $), aşa ca în figura +">"

    %ntena din figura +"> poate fi descompusă într$un şir de dipoli elementarii cu lungimea d $şi valoarea instantanee a curentului i($)" %tunci, câmpul electromagnetic total, radiat de antenă, seobţine prin suprapunerea câmpurilor elementare produse de fiecare dipol elementar component"-igura +"> mai arată că la antena reală trebuie să se ţină seama şi de imaginea ei faţă de suprafaţa pământului (partea desenată cu linie întreruptă în figura +">), care trebuie adăugată şi ea"

    7.1.7. Radia*ia o&cilatorului magnetic elementar

    &ntr$un domeniu Ω , liniar, uniform (onogen şi izotrop), extins la infinit şi lipsit de sarcinielectrice (având deci *=v6 , în 3?Bm , în orice punct Ω∈ P  ), se presupune că există o buclăde curent (v" = ""

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    32/78

    'entru aA, deoarece r  a   =+ , se poate considera r

    Rd   <

    3<

    ••

    Σ =⋅= ∫   m

    c 8F  p

     

    0acă prin spiră curentul este sinusoidal, cu valoarea instantanee ,Msin<"

    t   i =   unde

    ,N<

    N

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    33/78

    deoarece ,dMN<

    iar ,)sin

    R  <

    *

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    34/78

    să aibă variaţii mici în comparaţie cu ceilalţi termeni care dau faza undei) se poate scrie căelementul de arie al fantei este d f G . $d z"

    Cnda totală care se obţine la o distanţă r  faţă de elementul de fantă d f  este

    ,d)

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    35/78

    mai înaltă sau lungimea de undă λ G cB f  este mai mică (aşa cum se arată în figura +"

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    36/78

    magnetic ce determină câmpul electromagnetic în domeniul Ω şi care variază sinusoidal în timp(v" = 8"3)"

    'e suprafeţele plane ce limitează pe Ω, notate generic cu Σ, (Σ G -r Ω) se dau componentelenormale ale acestor vectori" Cn alt câmp electromagnetic posibil în Ω ar fi   ,   H  H  E  E    ++  dacăar avea aceleaşi componente normale pe Σ" &n acest caz, în Ω  ţinându$se seama de liniaritateaecuaţiilor, se poate scrie (utilizându$se formele locale ale legilor circuitului magnetic şi inducţieielectromagnetice)

    ,

     ;MS   E B E  H t 

     D 5  H    +=×∇⇒

    ∂+=×∇ , ()

    ,,

    ,

    ,

     ;M   H   E t 

     + E    −=×∇⇒

    ∂∂

    −=×∇ " (

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    37/78

    (D)

    "dd))((d)U(T

    d)U(Td)(d))((d)(

    l t l m4  84 

     84  84  8n 8n H  E 

    M M L

    LLLL

    ⋅ϕ∇=⋅×ϕ∇=⋅ϕ×∇∇=

    =⋅∇ϕ×∇=ϕ∇ϕ∇×=⋅ϕ∇ϕ∇=⋅×

    −−−−

    −−−−

    ∫ ∫ ∫ 

    ∫ ∫ ∫ ∫ 

    unde l d  este elementul de curbă M  orientat (adică l t l    dd   ⋅=−

    )"

    0ar produsul

    ⋅ t  E 

     (adică componenta tangenţială la M ) este nul şi –ca urmare– expresia(D) este egală cu zero, adică primul termen al ecuaţiei (2) este nul (aşa cum s$a afirmat iniţial)"

    %tunci ecuaţia (2) rămâşne în doi termeni, unul real şi altul imaginar, care –fiecare în parte– trebuie să fie egal cu zero, aşa cum arată ecuaţia (2) rezultă

    *dS

    =⋅∫ Ω

    v E  E 

    şi cum γ W*, înseamnă că * = E    atunci şi * ≡ H  , pentru că atât γ W* cât şi µW*" &n acest felrezultă că nu este posibil (aşa cum s$a admis iniţial) să mai existe, adiţional, şi un câmp ,,    H  E în Ω ceea ce înseamnă că teorema de unicitate este demonstrată, pentru cazul secţiunilor ⊂Ω cuconexiune simplă"

    &n cazul în care L este cu conexiune multiplă, de exemplu dublă, înseamnă că suprafaţa Lva fi limitată de două contururi M i (în interior) şi M e$ (în exterior)" Aaţionamentul aplicat în cazullui L simplu conex, va fi valabil şi dacă L este dublu conex (sau multiplu conex), dacă se va puteaarăta că funcţiile ϕ şi ψ  sunt monodrome (adică uniforme, în accepţiunea teoriei suprafeţelor deacoperire şi în teoria funcţiilor analitice cu valori în spaţii wanac! complexe)" -uncţia ϕ satisface

    această condiţie, deoarece componenta tangenţială a lui ) E   fiind nulă pe M i (adică * =⋅−

     E t i

    ),

    circulaţia ei pe acest contur este nulă" 0ar şi funcţia ψ  este monotonă, deoarece –conform legii

    circuitului magnetic–Lc

    t  Dil  H 

    i

       

       ∂∂+=⋅   ∑∫ 

      −

    −Bd este nulă căci ∑i L G* şi t  D   ∂∂

      −

    B   L G*

     prin ipoteza teoremei"Conclu$iile teoremei lui ario Gra!!i. 0in această teoremă de unicitate rezultă că într-un

     *i! !e un!e cu secţiune transversală simplu cone$ă e$istă numai un!e transversal-electrice(notate generic cu /E ), caracterizate prin E  zG* şi H  z≠*, sau un!e transversal-manetice (notate cu/2 ) carcterizate prin H  zG* şi E  z≠*" Qn cazul secţiunilor multiplu cone$e, cum este –de exemplu– un cablu coaxial (cu un conductor central izolat şi încon;urat de o tresă cilindrică conductoare), pot e$ista i un!e /E2 (adică  transversal-electromanetice), caracterizate prin E  zG* şi H  zG*" Qntoate cazurile, a$a z coinci!e cu a$a *i!ului !e un!e0

    7eorema lui raffi mai arată că într$un g!id de undă cu dielectric cu pierderi, câmpul este

    determinat de componentele paralele cu versorul

    4    al axei  z, în două plane normale pe axag!idului"

    &n principiu, se pot da  E  z  şi  H  z  , cazul general (  E  z≠* şi  H  z≠*) obţinîndu$se dinsuprapunerea câmpurilor ce corespund modurilor /E şi /2 "

    Pro"agarea undelor electromagnetice ,n g6iduri

    'rocesul de propagare al undelor electromagnetice în g!idurile de undă se face prinintegrarea ecuaţiei undelor, scrisă sub forma (+"D%), considerîndu$se legile de material ca fiindliniare

    33

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    38/78

    ,@−−

    =   E  D  −−

    =   H  +   R   şi { }   ",constSR,@,S   =⇒=  −−

     E  5 

    adică un mediu uniform şi liniar, iar condiţiile pe frontieră presupunîndu$se g!idul alcătuit dintr$un conductor perfect astfel că aceste condiţii pe suprafaţa interioară ∑ a g!idului capătă forma

    *=× −−

    n E    şi ,*=⋅  −−

    n H    (>)

    unde n   este versorul normalei la (condiţii care înseamnă  E t   G* şi  H n  G*, adică câmpulelectromagnetic are componentele tangenţială a intensităţii câmpului electric şi normală aintensităţii câmpului magnetic nule)"

    0acă dielectricul din interiorul g!idului de unde nu este perfect (adică are pierderi), selucrează cu permitivitatea absolută complexă" ?onsiderîndu$se, totuşi, γ G* şi noîndu$se

    componentele câmpului electromagnetic cu−

      f   , adică

    { } z  3 $ z  3 $

      H  H  H  E  E  E   f     ,,,,,= ,ecuaţia undelor (+"D"%) se scrie sub forma   *=  f   , ceea ce înseamnă că fiecare componentă afiecărui vector al câmpului electromagnetic satisface –în condiţiile date– ecuaţia undelor (+"D"%)"

    &n continuare se vor cerceta numai undele /2 , ce sunt caracterizate prin aceea că pretutindeni în g!id H  zG*, celelate unde (/E  şi /E2 ) studiindu$se în acelaşi mod"

    'entru a se putea stabili o proprietate esenţială a g!idurilor de unde în mod /2  (caz în care

     E  z≠*) este necesar să se pornească de la ecuaţia undelor referitoare la componenta  E  z, adică de la   ,*

    *

    <

    <

    <  =

    ∂∂

    −∆→=  z  z  z  z 

      E t w

     E  E    (+)

    unde w  este viteza de propagare a undelor /2   pe direcţia axei g!idului, adică a axei  z" &ninteriorul g!idului există un câmp ce variază sinusoidal în timp, cu pulasţia ω, care propagîndu$seîn g!id are soluţia (în raport cu un sistem de referinţă cartezian 1$3z) de forma (v" şi = 8""3)

    (1)   )yM( ;expAe 

     z t  E  E  z  z    −= ,

    unde Ae este operatorul ce exprimă partea reală a reprezentării în planul complex,  z  E  este fazorulcomponentei după axa  z  a intensităţii câmpului magnetic din g!idul de unde (v" = 8""3), ; – 

    unitatea imaginară (;

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    39/78

    'entru a exista un transport de energie în interiorul g!idului de unde este necesar ca α să fiereal" %ceasta înseamnă că g!idul se comportă ca un filtru trece sus, neavînd loc la o transmitere de putere decât pentru MWw*m" ?oncluzia este că *i!urile !e un!ă e$citate în mo! /2 se comportăca un filtru trece sus, in!iferent !e forma secţiunii, pentru care frecvenţa(+"D2)  f cr Gw*mB()

    9xpresia componentei  $ H 

      rezultă din relaţiile (D) în care se înlocuieşte  3 E 

      cutermenul drept al egalităţii (+"D>), adică

     $ H  Gy

    M@ 3 E   sau  $ H  G–;( 6

    M@)∂   z  E  B∂5, (+"D+)

    iar din relaţia (2), în care se înlocuieşte cu termenul drept al primei egalităţi (+"DD), rezultăexpresia lui  3 H   şi anume

     $ 3   E  H y

    M@−=  sau "B

    M@ ;   $ E 

    6 H   z  3   ∂∂  

     

      

     −= (+"D1)

    Se constată, deci, că expresia lui  z  E    –dată de relaţiile (1) şi (*F), împreună cu

    formulele (+"DD)Q(+"D1)– permit să se determine toate componentele câmpului electromagneticdin g!idul de unde, cu precizarea că ele trebuie să verifice condiţiile la limită (>)" &nsă, dincontextul studiului, nu rezultă nici o situaţie în care (+"DD)Q(+"D1) satisfac condiţiile (>), mai

    ales se ştie că nu în orice secţiune pot exista unde /E m,n sau /2 m,n , pentru orice versori−

    m ( $, 3)

    şi−

    n  (normalei la suprafeţele plane Σ ce limitează domeniul g!idului de unde)"

    &n tratatul Gicolau, E!m0, %JO&, se arată o condiţie suficientă care conduce la soluţii  E   şi H   (ce pot exista în g!idurile de undă), în secţiuni generale în care să fie posibilă existenţa unor unde de tip /E m,n sau /2 m,n" &n acest scop se utilizează aşa$numitele potenţiale ale lui ornis (v" Gicolau, E!m0,%JO&) cu a;utorul cărora se a;unge la următoarea condiţie suficientă decompatibilitate cu condiţiile pe frontieră (>)

    3D

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    40/78

    .într$un g!id de undă la care secţiunea transversală (normală pe axa  z  a g!idului) este

    limitată prin curbele M  # şi M 4  (la care versorii−

      #  şi−

    4   sunt normali) o condiţie suficientă pentru

    existenţa în g!id a modurilor de undă /2  este ca funcţia potenţialelor lui wrognis să fie separabilăşi pe frontieră trebuind ca potenţialele wrognis să fie nule (pe curbele M  # şi M 4 )/"

    Soluţiile (+"DD)"""(+"D1) pentru undele /2 , la un g!id de undă cu * dat, cu dimensiunea T 9U$,viteza de fază α, cu dimensiunea TradB 9U, este nulă pentru frecvenţa critică

    *

    @R<

      <=⇐=   α 

    π 

    *  f  cr  " (+"D8)

    %celeaşi soluţii arată că pentru undele /2  g!idul de undă cu secţiune transversală circulară(la o arie a secţiunii dată) conduce la o frecvenţă critică minimă"

    7.1.19. Ca%it*i re$onante

    'rin cavitate rezonantă  (numită şi en!ovi.ratoar , rezonator   sau –încă– rum.atron)  seînţelege orice incintă ce înc!id un domeniu simplu sau multiplu convex, mărginită de un învelişconductor, în care se pot întreţine oscilaţii electromagnetice sub formă de unde spaţiale staţionare"

    Caracteri&tici generale

    4ediul din interiorul endovibratorului (în general aerul) fiind un foarte bun izolant, pierderile de energie ale undelor electromagnetice staţionare se datoresc exclusiv conductivităţiifinite a pereţilor şi sunt foarte mici" 0e aceea, cavitatea poate fi sediul unor oscilaţii întreţinutesuficient de intense numai pentru frecvenţe foarte apropiate de anumite frecvenţe de rezonanţă, practic egale cu frecvenţele proprii ale oscilaţiilor libere (mecanice) ale incintei"

    &ntr$o cavitate dată pot exista mai multe .configuraţii/ ale câmpului electric şi magnetic(mai multe .moduri/ de oscilaţii – unde %AA, A%A, AA% etc") fiecăreia corespunzîndu$i o anumităfrecvenţă proprie" 4ulţimea frecvenţelor proprii alcătuieşte un spectru discret, mărginit inferior deo frecvenţă limită f A ( frecvenţa fundamentală), fără ca frecvenţele ce alcătuiesc acest spectru săfie neapărat multiple întregi ale frecvenţei fundamentale" 'entru forme simple ale cavităţii,

    frecvenţele proprii (sauBşi lungimea de undă, λ, corespunzătoare) se pot calcula cu mare precizie, presupunînd însă pereţii perfect conductori şi căutând soluţiile armonice în timp ale ecuaţiilor lui4ax6ell care satisfac condiţiile la limită pe faţa interioară a pereţilor (adică anularea componenteitangenţiale a intensităţii câmpului electric şi a componentei normale a intensităţii câmpuluimagnetic)"

     Kotarea modurilor de oscilaţii se face, de obicei, cu trei indici, fiecare dintre aceştiaindicând numărul de semiunde staţionare care există în lungul curbei de coordonatecorespunzătoare" 0e exemplu, modul fundamental este %AA, A%A sau AA%0

    'entru întreţinerea oscilaţiilor cavităţii, aceasta se excită din exterior prin circuite electrice pulsatorii, linii sau g!iduri de unde, prin fluxuri de electroni etc"

    eterminarea c4m"urilor :electric 'i magnetic; din ca%it*ile re$onante

    Se presupune că endovibratorul este delimitat de pereţi conductori, iar spaţiul interior este.umplut/ cu un material de permitivitate absolută ε şi permeabilitate absolută µ constante (care nudepind nici de punct şi nici de timp)" &n plus, se mai consideră că mediul este izotrop, cuconductivitate electrică nulă (γ  G *), lipsit de viscozitate electrică şi de proprietăţi ereditare (seconsideră că polarizaţia electrică şi magnetizaţia temporare sunt liniare în raport cu intensităţilecâmpului electric şi –respectiv– magnetic)" Pscilaţiile (.vibraţiile/) câmpului electromagnetic dincavitate sunt considerate pur sinusoidale (armonice)"

    3>

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    41/78

    &n aceste condiţii, fiecare componentă a intensităţii câmpului electric şi a intensităţiicâmpului magnetic (într$un sistem de coordonate trirectangulare), considerate ca elemente aleunei mulţimi  f , satisface ecuaţia undelor (+"D%) şi anume  f G*" %stfel, în coordonatetrirectangulare ( u%, u&, u), ecuaţiile câmpului electromagnetic iau forma cunoscută din paragraful"2"3" – ecuaţiile ("*D)

    ( )   ( )   *3

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    42/78

    0in relaţia (+">*) rezultă că în cavităţile rezonante cilindrice (aşa cum s$a considerat prinipoteză) pot exista câmpuri electromagnetice ale căror componente electrice se reduc la unasingură –şi anume la  E   luată de$a lungul axului cilindrului– şi ale căror componente magnetice

    se reduc la două *), cu

    condiţia pe frontieră (la limită) "*)(   Σ∈∀⇐=   P  P  E    ?âmpul magnetic,3<

      H  # H i H −−

    +=

    (unde versorii R şi   #  formează un plan perpendicular pe axa cilindrului rezonant), se deduce din

     E   prin formulele (?A*), în care ),,( 3*) şi (?A

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    43/78

     punct al volumului înc!is de cavitate, o relaţie de ortogonalitate care se poate exprima prinurmătoarele modele cu produse scalare

    (?A>)   ,*d   nmv E  E  nm   ≠⇒=⋅∫ Ω

     

    (?A+)   nmv H  H  nm   ≠⇒=⋅∫ Ω

    *d  

    şi –în anumite situaţii– există ortogonalitate şi între cele două câmpuri, exprimabilă prin

    (?A1)   ,*d   nmv H  E  nm   ≠⇒=⋅∫ Ω

     

    indicii m şi n arătând ce pulsaţii au câmpurile cu aceiaşi indici"'entru cavităţile la care forma lor este astfel încât să aibă o pulsaţie proprie de rezonanţă

    Mm, starea electrică şi magnetică a mediului este descrisă de forma locală a legilor inducţieielectromagnetice şi ale circuitului magnetic, scrie sub forma reprezentării în planul complex(?A8)   ,E ;M mm E    µ −=×∇  

    (?A*)   , ;M   mm   E  H    γ  =×∇   pentru situaţia în care mediul este izotrop şi nedisipativ" 0acă mediul este şi omogen, se poatesepara câmpul electric de cel magnetic, rezultând(?A)   ,< mmm   E 4  E    =×∇×∇  

    (?A

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    44/78

    "dRM

    @Md

    RMM

    @RM

    d)(RMM

    d)(

    RMM

    d

    <

    <

    <

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    45/78

    &n aplicaţiile practice, cavităţile rezonante se folosesc ca circuite oscilante la frecvenţefoarte înalte (mii de giga!erţi – unde decimetrice sau mai scurte, la frecvenţe mai ;oasedimensiunile minime ale cavităţii –corespunzătoare frecvenţei fundamentale– fiind prea mari),unde prezintă avanta;e faţă de alte circuite (de exemplu circuite oscilante  ,9,M , cu bobine şicondensatoare – v" = 1"1"

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    46/78

    zona adânciturilor, iar cea mai mare parte a câmpului magnetic este repartizată în restulrezonatorului (încon;urând adânciturile)" 0atorită concentrării energiei electrice şi –separat– acelei magnetic în porţiuni diferite ale cavităţii, rezonatorul toroidal se apropie cel mai mult decircuitele oscilante cu parametri concentraţi ( ,9,M ) dar având un factor de calitate, T, mult maimare (peste D***), care este totuşi mai mic decât al altor forme de cavităţi rezonante"

    &n tabelul +" sunt indicate caracteristicoile câtorva forme de cavităţi rezonante, în care Ieste rezistivitatea stratului interior al învelişului ( de multe ori din argint), MG

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    47/78

    #a frecvenţe mai mari se utilizează cupla;ul cu un g!id de unde (prin difracţie – v" = +"1),care se realizează cu a;utorul unei fante % prin care g!idul & comunică cu interiorul rezonantului (fig" +"

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    48/78

    %stfel, considerându$se exemplul din figura +"

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    49/78

    0e aici şi din faptul că  E  D   ⋅= @  (legea polarizaţiei electrice temporare), în care @ este un parametru real invariabil în timp (prin ipoteza admisă iniţial), rezultă că şi inducţia electrică este –în acest caz– un vector variabil în timp sub formă sinusoidală (armonică), putând fi reprezentatîn planul complex şi putându$se scrie(?9? >)   E  D   ⋅= @  "0eoarece, prin definiţie, intensitatea curentului electric este fluxul vectorului densitate de curent,

     5  , adică  8 5 i   d⋅= ∫ Σ , atunci dacă i este de formă armonică reprezentabilă în planul complex

     prin (?9? )

    sau, folosindu$se notaţiaR ;M

    <γ  σ    =  avem *< =⋅−∆   V  V    σ    (+">F)

    adică o ecuaţie de tip Eelm!oltz"&n acelaşi mod se arată, pentru intensitatea câmpului electric  E    ( în regim armonic

     permanent), că*R ;M   =⋅−=∆   X  X    γ     (+">

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    50/78

     presupus în acest subcapitol (conductori masivi liniari şi omogeni situaţi în câmp electro$magneticîn regim armonic permanent)

    *R ;M   =

     V 

     X 

     V 

     X γ   , (+">3)

     sau (dacă R ;M< γ  σ  D

    =  )

    (+">3)   *< =

     V 

     X 

     V 

     X σ  ,

    care –pe suprafeţele de discontinuitate le mediului– respectă teoremele de conservare alecomponentelor câmpului electromagnetic, adică(+">2)

     

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    51/78

    (''? >)

    în care

    B)MR( ;BR ;M

    „   ===   γ   ,

    unde (se reaminteşte) ; este unitatea imaginară ;D) şi (+">>) arată că pătrunderea câmpului magnetic variabil în timp, în regim

    armonic permanent, într$un mediu conductor masiv duce la crearea, în conductor, a unui câmpelectromagnetic cu variaţie în timp de asemenea armonică, descris de două componente, în câmpelectric E  z şi câmp magnetic H  $, ortonormale între ele"

    'entru detalierea modelelor acestor soluţii, termenul complex σ    –denumit  constantă !e propaare – se poate scrie precum urmează

    2+

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    52/78

    ), ;() ;()

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    53/78

     în care valoarea efectivă a câmpului electric este

    ***

    <

    B)MR(   V  V  X    γ  == "

    'rin urmare şi câmpul electric produs şi propagatîn masivul conductor disipant este o undă directă (cuvariaţie în timp sinusoidală), atenuată şi normală peunda câmpului magnetic" Aeprezentarea în sistemul(A$3z) a valorilor instantanee ale câmpului magnetic

    (+">8) şi a celui electric (+"+

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    54/78

    (+"+2)   3 3 z    V  V  5    ⋅−⋅− ⋅=⋅=   σ σ  e

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    55/78

    yBS

    y

    S

    <

    *

    <

    *   =∴=   p zl  V l  V  p

     z  ('?? *)

    şi deoarece –prin definiţia (+">+)– ⇒=   )

    care arată că adâncimea de pătrundere este o caracteristică a materialului (prin parametrii şi R), acărei valoare este invers proporţională cu rădăcina pătrată a frecvenţei  f "0eoarece R G R* ` Rr  G2`N`*$+`Rr  TEBmU şi determinându$se valoarea adâncimii de pătrundere

     p în metri, din expresia (+"+>) mi rezultă şi următoarea formulă (utilizată adesea în practică)

    r r    f    f   p   RBI33,D*SRB33,D*   ⋅=⋅= (+"++)în care f  se introduce în TEzU, conductivitatea în TSBmU sau rezistivitatea I în T`mU"

    &n tabelul +"< se dau câteva valori ale adâncimii de pătrundere în diverse materiale şi lacâteva frecvenţe"

    7abelul +"< 8!ncimi !e pătrun!ere

    4aterialul

    Aezistivitatea I

    TRcmUsau ρ×*$1

    în TΩmU

    E T%BcmU R r 

    'ătrunderea p TmmU

     f GD* Ez  f G* Ez  f G** Ez  f G 4Ez

    Pţel cald (sub+1*†?)

    2*2*

    2**2***

    D**2*D

    $*,2*,D*,2

    *,*22*,>*,22

    *,*2*,*D**,2

    Pţel cald(peste +1*†?)

    *,

    %lamă + $ $ ,3 *,2< *,*3

    rafit 1** $ $ 2,

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    56/78

    &n cazul e!ectului "elicular net  dintr$un conductor cilindric drept şi uniform (ceea ceînseamnă că secţiunea transversală prin conductor are un contur circular cu raza r  aceeaşi în oricesecţiune), adâncimea de pătrundere se poate calcula direct cu expresia generală (+"+>), iar rezistenţa conductorului (care în curent continuu este

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    57/78

    un cuplu mecanic rezistent, de forţe de tip #aplace (v" = D">"2), ce creşte odată cu viteza de rotaţiea discului, frânându$l sau reglându$i viteza)" Cn exemplu, mai la îndemână îl constituie discurilede amortizare magnetică al unor aparate analogice mai vec!i de măsurat (printre care şi contorulde inducţie pentru măsurarea energiei electrice)"

    ?urenţii turbionari apar, în mod nedorit (deoarece produc aşa$numitele pierderi în fier princurenţi -oucault – v"= +"3"), în miezul feromagnetic al maşinilor electrice (un exemplu tipic îlconstituie pierderile în miezul transformatoarelor electrice $ aparate de adaptare foarte răspăndite)"

    7oate aceste exemple arată importanţa analizării şi determinării curenţilor turbionari în atâtde diversele cazuri practice (fiecare cu particularităţi importante)" %ceasta cu atât mai mult cu câtcurenţii turbionari mai au şi efectul de a produce un câmp magnetic propriu care modificădistribuţia câmpului magnetic global din conductor" &n principiu, procedeele de determinare acurenţilor turbionari –în cazuri concrete date– constau în rezolvarea unor probleme cu condiţii lalimită în care intervin ecuaţii cu derivate parţiale de tip Eelm!oltz, aşa cum sunt ecuaţiile (+">)B(+">) şi (+">

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    58/78

    )()(),()(),()(   / t t / t  Wt  W/ t  V t  V    +ϕ=ϕ+=+= , perioada de repetiţie fiind determinată de pulsaţia curentului de excitaţie )MBN>) şi (+"+2Š) pentru cazul din figura +"3< rezultă

     X  5    S= şi  3 V 4  X  V  X   $   dBd

    rot

    −=⇒=  sau )( 3 X 4  X   z =  

    )(   3 X 4  5   z =  sau ),( 3 5 4  5   z =  adică o densitate de curent normală pe vectorul intensităţii câmpului magnetic )(   V  5   ⊥  şi dacă

     $ V i V   =  atunci "e)(

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    59/78

    miezul, atunci −datorită efectului pelicular − valoarea curentului -oucault efectiv ar fi principial    G H  $(3), completată cucondiţiile la limită impuse de cazul tolei dinfigura +"33 şi ştiindu$se că  V   este orientat după axa 1$ (v" fig" +"33), fiind − prin urmare− ofuncţie numai de z şi de t " &n acest caz, ecuaţia Eelm!oltz (+">) devine

    *R ;MdBd 

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    60/78

    4ai departe, negli;ându$se efectul magnetic al curenţilor turbionari (din motivele arătateanterior, adică ~l şi „a) se poate considera că tola se află într$un câmp magnetic uniform (v"fig" +"33) cu inducţia exprimată în complex('- 2)   Wi W   ⋅=  şi din aceleaşi considerente (tolă foarte subţire) se poate considera că intensitatea câmpuluielectric din tolă (responsabilă cu producerea curenţilor turbionari) este, în exprimare complexă('- D)   )( z  X  5  X   3⋅=  şi deci

    ('- >)   )()(S)(SS   z  5   # z  X   # z  X   # 5  3 3 3   ===Ε ⋅=  ,

    %tunci, aplicându$se relaţia (?9? D)Bsubcap"+"

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    61/78

    (+"1)   ,>B~SN   "

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    62/78

    ),(ddd)*

    *max

    maxmax

    max

    +−

    ++

    −+=+== ∫ ∫ ∫    aa H  + H 

     H  H 

     H ma

      F F 4 4  V  W(V) V  W(V) V  W(V w ('E

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    63/78

    0acă se cunoaşte w*, definit prin (+"13) sau măsurat, atunci pierderile în fier prin !isterezis,exprimate ca densitatea de volum (sau masică) a puterii pierdute,  p*  în Bm3  (sau Bg) sedetermină din expresia(+"12)  p* < d w* Bdt < w* B/  G f w* G 4fF * ,care sunt deci proporţionale cu frecvenţa  f   a regimului electromagnetic armonic permanent,deoarece –evident– într$o unitate de timp (secundă) se produc f  cicluri de !isterezis"

    &n practică, pentru unitatea de greutate, pierderile p* se calculează cu formula empirică(+"1D)   α max  f+4  p **  =

    unde 4 * este un coeficient de proporţionalitate (care depinde de materialul magnetic), iar y arevalori cuprinse între ,> şi < (în funcţie de amplitudinea ma$ a inducţiei magnetice)"9xpresia (+"12) a pierderilor prin !isterezis ;ustifică faptul că aparatele şi maşinile electrice

    de curent alternativ folosesc materiale feromagnetice de tip moale (vezi subcapitolul >" 7 şi H c Ž 2* %Bm)"

    0in aceste două paragrafe (+"3" şi +"3"

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    64/78

    A"lica*ia 7.1. Fă se !etermine viteza !e propaare a fazei, în cazul unei un!eelectromanetice plane în reim armonic, cu pulsaţia M"

    0in expresiile câmpurilor  E  ( 3,t ) şi  H  ( 3,t ) –v" = +""3– se poate deduce viteza de propagare a fazei, care în cazul unei variaţii armonice are expresia (Mt  – ‚ 3), conform relaţiei

    Mt  – ‚ 3 G const" "   ⇒β−=∴   "const

    M‚

    t  3 v f  G d 3Bdt  G MB‚,

    unde v f   este viteza de propagare a fazei, M – pulsaţia câmpului electromagnetic şi ‚ un termen cemăsoară !efaza#ul !atorat propaării0 &n lucrarea Gicolau, E!m0,%JO&,se arată că ‚ are expresia

    "@M

    S

    <

    @RM

    <

    <

      

     

     

     

      +   

      +=β

    %tunci, ştiindu$se că B   **R@ G c  (viteza de propagare în vid a luminii), viteza de propagare v f  G MB‚ capătă expresia

    (+"1+)<

    <

    R@  −

      

      

     =   8cv   r r 

      f   în care  8

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    65/78

    <

    <

    @R

    S

    <

    @RMy

       

     

     

     

     −  

     

      

     += "

    Spre exemplificare, în tabelul +"2 sunt indicate câteva date privind propagarea undelor electromagnetice radio (cu diferite lungimi de undă) în două medii caracteristice pentruradiote!nică (după Gicolau, E!m0,%JO&)"

    7abelul +"2 Propaare un!elor ra!io

    4ediul r  •TsBmU [TmU yTBmU ! TmU 7  f TmBsU

    Sol uscat 2 *$>

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    66/78

    P undă electromagnetică care s$a format în mediul (% şi se îndreaptă către mediul &, numităun!ă inci!entă  şi având direcţia de propagare dată de versorul *n (ce face cu vesrsorul n ,

    normalei la planul de separaţie, ung!iul *j  – numit un*i !e inci!enţă), a;ungând la planul PP ’  se poate reîntoarce înapoi în mediul %, această undă numindu$se un!a reflectată, după o direcţieavând versorul   n , ca face cu n ung!iul j , numit un*i !e refle$ie  acest fenomen poartănumele de refle$ia un!ei" 0acă unda incidentă se propagă şi în mediul &, penetrând planul deseparaţie, atunci (mediul & fiind diferit de mediul %, prin proprietăţile de material) unda incidentăîşi sc!imbă direcţia după care se propagă în mediul &, fiind după un versor   

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    67/78

    :ntroducându$se expresia produselor scalare în (+"8*) se va obţine(+"2–2)   ),cos(),cos(),cos(  

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    68/78

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    69/78

    (+"8Do)   ))((B   *   oooo   .a.a E  E    +−=  şi ),B(

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    70/78

      / <

    <

    tn)

       D<

    <

    ) se pot calcula raporturile     B  şi   /   B , denumite coe!icien*iilui ), rezultă

      /   B  G * **   8*=θ⇒ $ caz neinteresant în practică,

    )"jcos@jcos@()jcos@jcos@(*B <<*

    <<

    <>

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    71/78

     poate fi considerată ca fiind viteza cu care s$ar propaga într$un mediu numai înfăşurarea de ;oasăfrecvenţă, din cazul unei unde purtătoare armonice, modulată în amplitudine)

    $ viteza !e transport a eneriei electromanetice$ viteza !e semnal , în legătură cu propagarea unui impuls (o perturbare bruscă care apare

    într$un mediu dispersiv)"A"lica*ia 7.7. 7iteza !e fază0upă cum se ştie (v" = +""3), o undă plană este de forma

    ),(),(   vt  3  f  t r   f     −=  

    considerându$se că propagarea undei se face după direcţia exei  3" 'rin definiţie, faza acestuisemnal este G 3 – vt  şi dacă se dă lui o anumită valoare constantă, de exemplu G *, rezultă cătoate perec!ile de valori ( 3,t ) care satisfac relaţia(+"+$) d 3 – v dt  G *corespund unei faze de valoare constantă, deoarece, dacă G * G const", rezultă că perec!eadiferenţială (d 3,dt )\d G d* G *, pentru că d* G *" %ceasta înseamnă că, dacă perec!ea devalori ( 3*, t *) corespunde unui câmp  f *  G  f ( 3*  – vt *), valoarea  f *  se va regăsi şi în punctul

     3 3 3   d* +=  însă la momentul t G t * Zdt , unde –aşa cum reiese din condiţia (+"+$)– d t  G d 3Bv, v

    fiind interpretată atunci ca o viteză !e propaare a fazei"&n cazul mediilor izolante perfecte şi nedispersive (v" aplicaţia +") viteza de fază are

    expresia cunoscută v  G B   @R "A"lica*ia 7.5. 7iteza !e rup%ceastă noţiune apare numai în cazul

    grupurilor de undă, adică a undelor în care suntimplicate mai multe semnale cu frecvenţe diferite"

    ?azul cel mai simplu este acela în care într$un madiu dispersiv (v" aplicaţia +") se propagăsimultan două semnale,  s şi  s

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    72/78

    -ormula (+"81), a vitezei de grup, s$a dedus pentru cazul particular al unui semnal avândspectrul format numai din două frecvenţe" ?azul general, al unui semnal cu un spectru larg defrecvenţe, poate fi analizat considerându$se un semnal impuls, de tip 0irac (v" cursul Semnale,circuite şi sisteme), de forma

    ,de)(),(   )M( ; 4 4  8t  3 s   43t ∫ ∞

    ∞−

    −=   (+"1$3)

    în care 8(4 ) are valori negli;abile în afara intervalului T4 * – |4 , 4 * Z|4 U şi M G M(4 )"'entru mediile care nu sunt puternic dispersive rezultă

    M(4 ) G M(

    4 A) Z (dMBd

    4 )

    *

     (4  –

    4 A ),astfel că pentru argumentul exponenţialei (+"1$3) se poate scrie

    43t 4 4 4 t    −−+=−   ))(dMMB()M( 5Mt***  "

    0e aici, notându$se M(4 ) G M* , rezultă

    "de)(e),(*

    *

    ***   U)BdM)(T( ;) ;(M 4 4  8t  3 s

     s4 4 

     s4 4 

     3t !4 4 4  34 t o ∫ +

    −−−=

    %ceastă integrală va avea o valoare maximă atunci când toate componentele vor fi în fază,ceea ce se produce când se respectă condiţia

     (dMBd4 )*t  – 5 G const" (+"1$2)'rin diferenţiere aplicată condiţiei (+"1$2) rezultă că maximul amplitudinii semnalului (+"1$

    3) se propagă cu viteza de grupv   G d 3Bdt  G dMBd4 *" (+"88)

    Aelaţia (+"88) este valabilă numai pentru mediul de propagare ce nu este prea puternicdispersiv, astfel încât în dezvolterea lui M(4 ) în serie 7a5lor să se poată negli;a, fără erori mari,termenii de rang superior" Se reaminteşte că termenul 4   reprezintă constanta de propagare a

    mediului la o anumită pulsaţie M, fiind definită (după cum se ştie) prin @RM

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    73/78

    P undă care vine după direcţia 3 la suprafaţa de separaţie produce o undă reflectată (care sereîntoarce în primul mediu, %) şi o undă refractată (care pătrunde în cel de$al doilea mediu, &)"'entru simplificarea scrierii, se va nota cu F unda refractată şi cu / unda reflectată, vitezele de propagare fiind v în mediul % şi v’  în mediul & (din dreapta planului $13)" #a unda reflectată, fazavariază invers proporţional cu 3 (dat fiind sensul de propagare, înapoi în stânga planului  $1z)" 0easemenea, deoarece vectorul  E  / (reflectat) s$a luat pozitiv şi deoarece sistemul  E  /,  H  /, F  /(v" fig" +"38) formează totdeauna un triedru drept (pentru că energia se propagă aici înspre 5descrescător), rezultă că este necesar să se ia amplitudinea lui  H  / negativă (v" fig" +")"

    'e suprafaţa de separare a celor două medii, în virtutea teoremei de conservare acomponentelor tangenţiale la această suprafaţă a intensităţii câmpurilor electric şi magnetic,câmpul electric şi magnetic tangent la planul  $1z  în stânga lui, trebuie să fie egal cu câmpulelectric –respectiv– magnetic din dreapta acestui plan" %ceasta înseamnă că se poate scrie (v" fig"+"38)

     E  Z   ″  E  G   ′ E   şi  H  –    ″  H  G   ′ H  "inându$se seama de legătura dintre câmpurile  E    şi  H  , relaţia relativă la câmpul

    magnetic (ultima egalitate scrisă anterior) devine

    ,RB @)m(RB @ 8

    -ig" +"38

    -ig" +"2*

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    74/78

    acest scop, fie un condensator plan suficient de mare, din care se va .decupa/ un element paralelipipedic cu baza de arie unitară (fig" +"2*)

    Se consideră o arie delimitată de bază, feţele laterale şi suprafaţa !aşurată (v" fig" +"2*)rezultă că pe unitatea de arie a armăturilor condensatorului se află o densitate de sarcină egală cuinducţia electrică  D, ceea ce se explică prin legea fluxului electric (v" = "3")" &n interiorulcondensatorului intensitatea câmpului electric fiind  E  , o variaţie a sarcinii electrice de pe plăcise poate face numai prin exercitarea unui lucru mecanic, care –la trecerea capacităţii electrice dela starea * la starea – este

    ,d*

    *

    d d  D E  9   −=⋅= ∫    (+"8$3) presupunându$se că evoluţia enrgetică a condensatorului se face adiabatic" %stfel, de exemplu,dacă se consideră o variaţie armonică în timp a mărimilor de stare  E   şi  D , adică

     E  G  E  *sin Mt şi  D  G @  E   G @(M)  E  * sin Mt,în care @ G @(M) deoarece mediul este dispersiv, atunci luând integrala intre momentele t oG

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    75/78

    Ctilizându$se expresiile (+"8$D) """ (+"8$1), integrala (+"8$3) a lui  D E    d⋅   efectuată întrelimitele t * G * (atunci când câmpul este nul ) şi t  G

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    76/78

    "M

    lgM

    M

    M

    M

    M

    ∂−=

    ∂∂

    ⋅−=∂

    ∂=

      v

    v

    v

    vv

    v

    v , 

      (+"*)

    0eoarece viteza de fază @RB=v , rezultă că viteza de transport a energiei este egală cuviteza de grup în cazul mediilor slab dispersive (pentru că în acest caz @@ → şi *MB   →∂∂v )"0acă dispersia este puternică, atunci )@(M@ =  şi –ca urmare−  )M(vv = , ceea ce face ca înaceste medii vitezele v, ve  şi v    să difere între ele"

    A"lica*ia 7.19. 7iteza !e semnal Jiteza de semnal este legată de propagarea unui inpuls într$un mediu dispersiv şi măsoară – 

    într$un anume fel– viteza de propagare a frontului impulsului" S$a folosit aprecierea de .într$unanume fel/, deoarece noţiunea de front al unui impuls nu este precis determinată (mai ales dacă seare în vedere funcţia impuls 0irac), ceea ce face ca şi viteza de semnal –definită aşa ca maiînainte– să aibă o anumită imprecizie" ?!iar aşa definită, noţiunea de viteză de semnal scoate înevidenţă o serie de fenomene importante în legătură cu propagarea undelor în medii dispersiv,

    necesare a fi cunoscute în radiocomunicaţii, undesemnalele au un spectru larg de frecvenţe"

    0in studiile făcute, rezultă că în cazul unei perturbaţii care produce o undă impuls ce se

     propagă pe direcţia  3, deoarece pentru t  3Bc  nuapar perturbaţii în mediu, reiese că viteza de propagare a semnalului treaptă în mediu esteîntotdeauna c" %ceasta se datorează frecvenţelor înalte, care se propagă prin mediu fără a$l perturba(se spune că mediul este transparent pentrufrecvenţele înalte)"

    0acă semnalul impuls se reprezintă printransformarea -ourier (v" cursul Semnale, circuiteşi sisteme) se constată că amplitudinea maximăcorespunde frecvenţei de excitaţie" 9liminându$se

    această componentă, semnalul (notat cu  f &  pentrucă se propagă pe direcţia 3) este de forma -ourier

    ),(cu,dMM)e(),(  ;

    <  ωϕ=ϕ= ∫    ϕ 8t  3  f  

    unde se consideră că 8(M) G * pentru un domeniucentrat pe frecvenţa M* a semnalului iniţial"

    0acă are o variaţie rapidă cu M, valoarea integralei f & este negli;abilă" 0acă însă există o

     pulsaţie M astfel ca în ;urul ei faza să fie staţionară, adică (   *)MBω=ω

    =∂ϕ∂ , atunci în ;urulacestei pulsaţii componentele (de amplitudine mică) se vor aduna, producând aşa numiţii (înradiote!nică)  precursori" %stfel, într$un punct din mediu .sosesc/, ai întâi precursorii şi apoi

    frontul semnalului" Jiteza precursorilor, şi anume ,MMBM  

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    77/78

    A"lica*ia 7.11. Dispersia un!elor ?aracteristic pentru un!ele plane studiate până în prezent şi care se propaă în !ielectricii

     perfecţi  este faptul că toate undele se propagă cu aceeai viteză, in!iferent !e !irecţia lor !e propaare i !e forma un!ei0  &n dielectricii perfecţi, producându$se un impuls de undă (o perturbaţie), se produce un fenomen ondulatoriu – adică unde, care dacă sunt reprezentate printr$omărime de stare notată –generic (aşa ca în = +"")– cu simbolul u pot fi descrise de modelul

    (+"$)   ,*@R<

    <

    =∂∂

    ⋅−∆   ut 

    u  

    ce reprezintă bine$cunoscuta ecuaţie a undelor şi a cărei soluţie arată că unda se propagă înmediul descris de mărimile de stare @ şi R (constante în timp şi spaţiu) şi izotrop cu aceeaşi formăşi aceeaşi viteză (   @RB=v ), care nu sunt afectate de propagare"

    9xistă situaţii, datorate fie mediului, fie formei de undă (fie ambelor), în care ecuaţiaundelor –.clasifică/ (+"$)– nu mai este valabilă" &n aceste situaţii modelul cel mai potrivit pentru descrierea propagării undelor este

    (+"$

  • 8/15/2019 Capitolul 7. Propagarea Campului Electromagnetic

    78/78

    0eoarece forma undei satisface ecuaţia (+"$2), atunci undele se vor propaga de$a lungulaxei $ cu viteze diferite

    vF G .FBaF şi v/ G ./Ba/"

    ?ele două unde propagându$se cu viteze diferite şi fiecare având o aceeaşi formă, rezultantava varia în timp"

    'entru a se înţelege mai bine sensul fizic al fenomenului de dispersie, se va integra ecuaţia(+"$D) pentru a se obţine explicit forma undei va rezulta direct

     f  G M  e

    !(a$-.t )

     Z ?)0eoarece unda trebuie să rămână finită în orice moment şi în orice punct din spaţiu n  – dimensional, argumentele exponenţialelor trebuie să fie pur imaginare, ceea ce înseamnă –în primul rând– că singurele soluţii mărginite ale ecuaţiei (+"$