CAPITOLUL 9 CALCUL INTEGRAL - ?· CAPITOLUL 9 CALCUL INTEGRAL 9.1. INTEGRALE GENERALIZATE 9.1.1. INTEGRALE CU LIMITE INFINITE BREVIAR TEORETIC Definiţie. Fie f

  • Published on
    03-Feb-2018

  • View
    221

  • Download
    4

Embed Size (px)

Transcript

  • CAPITOLUL 9 CALCUL INTEGRAL

    9.1. INTEGRALE GENERALIZATE

    9.1.1. INTEGRALE CU LIMITE INFINITE BREVIAR TEORETIC

    Definiie. Fie Raf ),[: o funcie integrabil pe orice interval

    compact acca >],,[ . Dac

    c

    acdxxf )(lim exist i este finit,

    spunem c

    adxxf )( este convergent i vom nota

    =

    c

    acadxxfdxxf )(lim)( .

    Criteriu de convergen. Fie 0)(,0,),[: >> xfaRaf ,

    ),[ ax . Dac RLxfxx

    =

    )(lim , atunci:

    1) pentru 1> , rezult c

    adxxf )( este convergent.

    2) pentru 1 i 0L , rezult c

    adxxf )( este divergent.

  • PROBLEME REZOLVATE 1. Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor integrale i n caz de convergen s se determine valoarea acestora:

    )a

    =a

    kx RkdxeI ,1 ; )b dxx

    I +

    =0

    22 21 ;

    )c dxxx

    I

    ++=

    1261

    23; )d Rdx

    xI =

    ,1

    14 ;

    )e

    =0

    5 cos xdxxI ; )f dxxxI

    ++=

    126 65

    1 .

    Rezolvare: )a Vom aplica definiia din breviarul teoretic.

    Funcia kxexfRaf = )(,),[: este integrabil pe orice interval compact acca >],,[ . Studiem existena i valoarea limitei:

    ( ) kcc

    kakakc

    c

    c

    a

    kxc

    ekk

    eeek

    dxeL

    === lim

    11limlim ,

    pentru 0k .

    Pentru 0>k avem kakcc

    ek

    Le

    ==10lim , prin urmare

    integrala este convergent i kaa

    kx ek

    dxe

    =1 .

    Pentru 0

  • )b Aplicm definiia. Funcia 2

    1)(,]0,(:2 +

    =x

    xfRf

    este integrabil pe orice interval compact 0],0,[ > cc . Vom studia limita:

    =

    ++=

    +=

    2ln2lnlim

    2

    1lim0

    20

    2 ccccxxdx

    xL

    2ln2

    2lnlim2ln2lnlim2

    2 =++

    =

    ++

    cccc

    cc,

    prin urmare integrala 2I este convergent i 2ln2

    10

    2=

    +

    dxx

    .

    )c Funcia 126

    1)(,: 2 ++=

    xxxfRRf este integrabil pe

    orice interval compact 0],,[ > ccc . Vom studia limita:

    =+

    =++

    =++

    =

    3

    33

    1lim3)3(

    1lim126

    1lim 22xarctgdx

    xdx

    xxL

    c

    c

    cc

    c

    cc

    32231

    33

    33lim

    31

    =

    +=

    +

    +=

    carctgcarctgc

    , rezult

    c integrala 3I este convergent i 31261

    23

    =++

    =

    dxxx

    I .

    )d Funcia xxfRf 1)(,),1[: = este integrabil pe orice

    interval compact 1],,1[ >cc . Studiem existena i valoarea limitei:

    =c

    cdx

    xL

    1

    1lim . Pentru 1 avem:

  • +

    =

    +== 1

    1

    1

    1

    lim1

    11

    11

    lim1lim cxdxx

    Lc

    c

    c

    c

    c;

    Dac =< L1 , rezult c integrala este divergent.

    Dac 1

    11

    =>

    L , deci integrala este convergent.

    Dac ==== cdxxL c

    c

    clnlim1lim1

    1

    , prin urmare

    integrala este divergent.

    )e Aplicm definiia. Funcia xxxfRf cos)(,]0,(: = este integrabil pe orice interval compact 0],0,[ > cc . Vom studia limita:

    =

    ===

    00

    00

    sinsinlim)'(sinlimcoslimc

    ccc

    cc

    cxdxxxdxxxxdxxL

    ( ) )(limcos1sinlimcos1sinlim cfc

    cc

    cccccccc

    =

    +=+= ;

    pentru =+=

    )(lim2 2 nnn xfnx ;

    pentru ==

    )(lim2 '2'

    nnnxfnx , prin urmare nu exist

    0

    coslimc

    cxdxx , deci integrala

    =0

    5 cos xdxxI este divergent.

  • )f Funcia 65

    1)(,),1[: 2 ++=

    xxxfRf este integrabil

    pe orice interval compact 1],,1[ > cc . Studiem limita:

    =+

    =++

    =

    c

    c

    c

    cdx

    xdx

    xxL

    12

    212

    25

    12 )()(

    1lim65

    1lim

    2ln21ln

    32lnlim

    32lnlim

    1=

    ++

    =++

    = c

    cxx

    c

    c

    c, prin urmare

    integrala 6I este convergent i 2ln651

    126 =++

    =

    dxxx

    I .

    2. Utiliznd criteriul de convergen, s se studieze natura urmtoarelor integrale, iar n caz de convergen s se afle valoarea acestora:

    )a

    +=

    06

    2

    1 1dx

    xxI ; )b

    ++

    =1

    32 3243 dx

    xxxI ; )c

    1

    2 dxxarctgx .

    Rezolvare:

    )a Funcia 62

    1)(,),0[:

    xxxfRf+

    = , are proprietatea c

    ),0[,0)( > xxf . Deoarece 11

    lim 62

    =+ xxx

    x

    , pentru

    14 >= rezult, conform criteriului de convergen enunat n breviarul teoretic, c integrala este convergent. Valoarea integralei este:

    ==

    =

    +=

    c

    c

    c

    ccarctgcarctgxdx

    xxI

    0

    3

    0

    36

    2

    631lim

    31lim

    1lim .

  • )b Funcia 3 32

    43)(,),1[:+

    +=

    xxxxfRf , are proprietatea

    c ),1[,0)( > xxf . Deoarece 33 23

    3243lim =+

    +

    xxxx

    x

    ,

    pentru 131 ,1,0)( xxf . Deoarece 22lim =

    xarctgxx

    x pentru

    12 >= rezult, conform criteriului de convergen, c integrala este convergent. Valoarea integralei este:

    ( ) ( ) =

    ++==

    c cc

    cxc xxdxarctgx

    xdxarctgxI

    1 121

    '1

    11limlim .

    ( ) ( ) =++=++= 2

    121

    41

    2221

    4 1lim

    12lim

    c

    c

    c

    c ttdt

    xxxdx

    2ln2ln1

    lnlim 21

    421

    2

    2

    21

    4 +=+++=

    cc

    c.

    3. S se studieze natura integralei: Rmdxxx

    xIm

    +

    =

    ,1422

    2 .

    Rezolvare:

    Funcia 142

    )(,),2[: 2 +=

    xxxxfRf

    m

    , are proprietatea c

    ),2[,0)( > xxf .

  • Avem c 21

    142lim 2 =+

    xx

    xxm

    x

    dac i numai dac

    mm ==+ 22 . Rezult c:

    Pentru 112 = mm , integrala este convergent.

    Pentru 112 = mm , integrala este divergent.

    4. S se determine valorile parametrului Rn pentru care

    integrala dxx

    xI

    n

    +=

    0 11 35

    12

    825 este convergent.

    Rezolvare:

    Funcia 11 35

    1

    825)(,),0[:

    2

    +=

    x

    xxfRfn

    , are proprietatea c

    ),0[,0)( > xxf .

    1111 35

    12

    251

    825lim =

    +

    x

    xx

    n

    x

    dac i numai dac

    21146

    11351

    2nn

    ==+ .

    Ca urmare a aplicrii criteriului de convergen, avem c integrala

    este convergent dac i numai dac 11701

    21146

    = nn .

  • PROBLEME PROPUSE Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor integrale i n caz de convergen s se determine valoarea acestora (notat I ):

    1. Radxxe ax

    ,0

    R: divergent dac 0a ; convergent

    dac 0>a i 21aI = .

    2.

    +02 42

    1xx

    R: convergent, 932=I .

    3.

    0

    sin xdx R: divergent.

    4. dxx +

    0

    2 4

    1 ; R: divergent.

    5. dxxx

    x

    ++

    +

    32 34

    12 R: divergent.

    6. Zdxx

    ,1

    1 R: divergent pentru 1 , convergent

    pentru 1> i ( )

    = 1

    1 1I .

    7.

    dxx sin R: divergent.

    8. 0,1

    >

    adxxa x R: convergent pentru ( )1,0a i

    aaaI 2ln

    1ln = ; divergent pentru 1a .

  • 9.

    0

    2cos xdx R: divergent.

    10. dxx

    2

    2 1

    1 R: divergent.

    11. dxxxe

    3ln

    1 R: convergent i 2=I .

    12. dxxx

    +

    13 1

    12 R: convergent i 2ln9

    3+=

    I .

    13. dxx

    +11

    4 R: convergent i

    22

    =I .

    14. Radxxe ax

    ,cos1

    R: divergent dac 0a ; convergent

    dac 0>a i 12 +

    =a

    aI .

    15. dxxarctgx

    +12 1

    R: convergent i 32

    3 2=I .

    16. Rdxx

    x

    ,ln

    1

    R: divergent dac 1 ; convergent

    dac 1> i ( )21

    1

    =

    I .

    Utiliznd criteriul de convergen pentru funcii pozitive, s se studieze natura integralelor urmtoare i, dac este posibil, s se determine valoarea lor.

    17.

    1

    dxx

    arctgx R: divergent.

  • 18.

    +

    +

    13 65

    32 dxxx

    x R: divergent.

    19.

    14 dxx

    arctgx R: convergent i 2ln61

    61

    12 +=I .

    20.

    +

    12 135

    1 dxxx

    R: convergent i 2734=I .

    21.

    +

    +

    1 3 5

    2

    32

    43 dxxx

    x R: divergent.

    22. dxx

    23 11 R: convergent i 3ln6

    118

    3 = I .

    23.

    +++

    12

    5

    4253 dx

    xxx . R: convergent.

    S se studieze natura integralelor:

    24. Rmdxxx

    xm

    ++

    ,422

    2 .

    R: convergent dac 1m .

  • 26. 2,,34)23(

    12

    1

    7

    +

    mNmdxxx

    xm

    R: convergent dac 7

  • 9.1.2. INTEGRALE DIN FUNCII NEMRGINITE

    BREVIAR TEORETIC Definiie. Fie Rbaf ],(: o funcie integrabil pe orice interval

    compact ],(],[ babc i =

    )(lim xfax

    . Dac dxxfb

    a+>

    )(lim

    00

    exist i este finit, vom spune c b

    adxxf )( este convergent i

    vom nota dxxfdxxfb

    a

    b

    a+>

    =

    )(lim)(

    00

    .

    Criteriu de convergen. Fie ],(,0)(,],(: baxxfRbaf > i =

    )(lim xf

    ax.

    1) Dac RAxfax

    axax

    =

    >

    )()(lim , pentru 1

    , pentru 1 atunci

    b

    adxxf )( este divergent.

  • PROBLEME REZOLVATE 1. Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor integrale i n caz de convergen s se determine valoarea acestora:

    )a

    =0

    321 9

    1 dxx

    I ; )b +

    =2

    122 86

    1 dxxx

    I ;

    )c ( )

    Rpdxax

    Ib

    ap

    = ,1

    3 ; )d =e

    dxxx

    I1

    4 ln1 ;

    Rezolvare:

    )a Fie 29

    1)(,]0,3(:x

    xfRf

    = . Cum

    +=> 233 91lim

    xxx,

    rezult c funcia este nemrginit n unul din punctele domeniului de integrare. Avem c f este continu, deci integrabil pe orice interval compact

    ]0,3(]0,[ c . Studiem existena i valoarea limitei:

    233arcsin0lim

    3arcsinlim

    x-91lim

    00

    0

    300

    0

    32

    00

    =

    +==

    >

    +>

    +>

    xdx ,

    deci integrala este convergent i 29

    10

    321

    =

    =

    dxx

    I .

    )b Fie 86

    1)(,)2,1[: 2 +=

    xxxfRf . Cum +=

    >

    >

    2

    100

    2

    12

    00

    2

    12

    00 2

    4ln21lim

    1)3(1lim

    861lim

    xxdx

    xdx

    xx

    =

    +=

    > 3

    5ln2lnlim21

    00

    , deci integrala este divergent.

    )c Funcia ( )pax

    xfRbaf

    =1)(,],(: este nemrginit i

    integrabil pe orice interval compact ],(],[ babc . Studiem limita:

    ( )( ) =

    =

    =

    +

    >+>

    b

    ap

    b

    ap

    axp

    dxax

    L

    1

    00

    00

    lim1

    11lim

    ( )

    =

    >

    ppabp

    1

    00

    1 lim1

    1

    , pentru 1p .

    Dac 1

    p avem =L , deci integrala este divergent. pentru 1=p avem

    ( ) +===

    =>+

    >

    +>

    lnlimlnlnlim1lim00

    00

    00

    abaxdxax

    Lb

    a

    b

    a

    ,

    prin urmare integrala este divergent.

  • )d Fie xx

    xfRefln1)(,],1(: = . Cum +=

    >

    )(lim

    11

    xf

    xx

    ,

    rezult c funcia este nemrginit n unul din punctele domeniului de integrare. Funcia f este continu, deci integrabil pe orice interval compact

    ],1(],[ eec . Studiem existena i valoarea limitei:

    =+==

    >+

    >+>

    ))1ln(ln(lim)ln(lnlimln

    1lim

    001

    0010

    0

    ee xdxxx

    , deci

    integrala este divergent. 2. Folosind criteriul de convergen pentru funcii pozitive s se studieze natura urmtoaelor integrale i, dac este posibil, s se determine valoarea acestora:

    )a

    2

    024

    1 dxx

    ; )b +

    4

    13 23

    1 dxxx

    ;

    )c badxxbax

    b

    a

    > )2()1(

    1lim23

    1lim 2113

    11 xxxx

    xx

    xx

    . Avem c

    ]4,1(,0)( > xxf i.

    ( ) 1)2()1(

    1lim2

    11

    =+

    > xx

    x

    xx

    pentru 12 >= , deci, conform criteriului

    de convergen, rezult c integrala este divergent.

    )c Fie ))((

    1)(,),(:xbax

    xfRbaf

    = . Scriem

    21))((1 IIdx

    xbax

    b

    a+=

    , unde

    =

    c

    adx

    xbaxI

    ))((1

    1 i

    =b

    cdx

    xbaxI

    ))((1

    2 , bca ))((

    1limxbax

    axax

    i ],(,0)( caxxf > ;

  • abxbaxax

    axax

    =

    >

    1))((

    1)(lim pentru 121 ;

    abxbaxxb

    bxbx

    =

    dtttabttab

    ab

    ab

    cossin)(2cossin)(

    1limarccos

    arcsin 22200

    ===

    >

    >

    abab

    ab

    ab

    tdt arccosarcsin

    00

    arccos

    arcsin00

    2lim2lim .

  • PROBLEME PROPUSE Folosind definiia, s se studieze natura urmtoarelor integrale i n caz de convergen s se determine valoarea acestora (notat I ):

    1.

    =0

    1 21

    1

    1 dxx

    I . R: convergent i 2=I .

    2. +

    =3

    122 158

    1 dxxx

    I . R: divergent.

    3. ( )

    Rmdxxb

    Ib

    am

    = ,1

    3 . R: convergent i

    ( )m

    abIm

    =

    1

    1 dac 1

  • S se studieze natura integralelor:

    9. e

    dxxx

    1

    0ln1 . R: divergent.

    10.

    1

    32 1

    1 dxx

    . R: convergent i ( )223ln =I .

    Utiliznd criteriul de convergen pentru funcii pozitive s se studieze natura integralelor, i, n caz de convergen, s se determine valoarea lor:

    11. ( ) +

    1

    0 31 dx

    xx. R: convergent i 9

    3=I .

    12. 3

    0 )3(1 dx

    xx. R: convergent i =I .

    13. +

    3

    22 23

    1 dxxx

    . R: divergent.

    S se precizeze mulimea valorilor parametrilor reali pnm ,, pentru care urmtoarele integrale sunt convergente:

    14. dxxx

    n+1

    02

    5 4 12 . R: 21

  • 9.1.3. INTEGRALE EULERIENE BREVIAR TEORETIC

    Integrala gamma: ( )

    >=0

    1 0; adxexa xa .

    Proprieti: 1) ( ) 11 = . 2) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,11 >= aaaa . 3) ( ) ( ) ( ) Nnnn = ,!1 .

    4) =

    21 .

    Integrala beta: ( ) ( ) >>= 1

    0

    11 0,0;1, badxxxba ba

    Proprieti: 1) ( ) ( ) 0,,,, >= baabba 2) ( ) ( ) ( )( ) 0,,, >+

    = ba

    bababa .

    2) ( )( )

    +

    +=

    0

    1

    1, dx

    xxba ba

    a .

    3) Dac 1=+ ba , atunci ( )a

    basin

    ),( = .

  • PROBLEME REZOLVATE S se calculeze urmtoarele integrale:

    1. +

    +=1

    11 dxexI x .

    Rezolvare: Folosim schimbarea de variabil dtdxtxtx ===+ 11 . Intervalul de integrare se modific dup cum rezult din tabelul de mai jos: x 1 t 0

    Obinem: dtetI t

    =0

    21

    . Prin identificare cu formula de definiie a

    integralei gamma, rezult 23

    211 == aa , prin urmare

    ( ) ( ) 21212123 ===I .

    2. +

    =0

    25 dxexI x .

    Rezolvare: Folosim schimbarea de variabil dtdxtxtx 2

    1212 === .

    x 0 t 0

    Obinem: ( )8

    152

    !5621

    21

    21

    2 6605

    60

    5====

    =

    dtetdtetI tt .

    3. +

    = dxexI x26 .

  • Rezolvare: Deoarece funcia care trebuie integrat este par, rezult c

    +

    =0

    6 22 dxexI x .

    Folosim schimbarea de variabil: dttdxtxtx 21

    21

    212 === .

    x 0 t 0

    8

    1521

    21

    23

    25

    272

    00213 2521 =

    =

    ===

    +

    + dtetdttetI tt .

    4. xdxxI 31

    0ln= .

    Rezolvare: Folosim schimbarea de variabil: dtedxextx tt ===ln x 0 1 t 0

    ==0

    30

    3 232 dtetdteteItt t

    Facem transformarea: dydtytyt 32

    32

    23 ===

    t 0 y 0

    ( ) ( ) ( )27324

    8116

    81160

    0

    3323

    32 ====

    dyeydyeyI yy .

  • 5.

    =0

    2

    dxeI x (integrala Euler-Poisson).

    Rezolvare: Folosim schimbarea de variabil: dttdxtxtx 2

    121

    212 === .

    x 0 t 0

    221

    21

    021

    021 2121 =

    ===

    dtetdtteI tt .

    6. 1,ln

    1>

    adx

    xx

    a .

    Rezolvare: Folosim schimbarea de variabil: dtedxextx tt ===ln . x 1 t 0

    ( )

    ==0

    1

    0dtetdteetI tatat .

    Folosim schimbarea de variabil: ( ) dydtytyta aa 1

    11

    11

    === .

    t 0 y 0

    ( ) ( )( )

    ( )222 11

    11

    011 2

    === aa

    ya

    dyeyI .

  • 7. Integrala dxeI xx

    +=1

    15,0 2 are forma b

    ake

    2 . S se

    determine valorile parametrilor reali k , a i b . Rezolvare:

    Avem c: ===

    + +

    11

    1 2 1222

    21

    dxedxeIxxxx

    +

    +++

    ==

    1

    21

    1

    23

    212

    2

    23

    2

    dxeedxexxx

    . Folosim schimbarea de variabil:

    dtdxtxtx 21221

    ===+ .

    x 1 t 0

    =0

    22

    23

    dteeI t . Folosind faptul c 20

    2 =

    dte t (integrala

    Euler-Poisson), obinem c 21

    23

    23

    222

    == eeI , prin urmare

    valorile cutate ale celor trei parametri sunt: 21,

    23,1 === bak .

    S se calculeze urmtoarele integrale:

    8. ( )

    =1

    0 3 2 1 xx

    dxI .

  • Rezolvare:

    ( )( ) =

    =

    1

    0

    1

    0 3 231

    32

    11

    dxxxxx

    dxI . Prin identificare cu formula

    de definiie a integralei beta, obinem:

    31

    321 == aa ; 3

    2311 == bb , prin urmare, avnd n

    vedere definiia i proprietatea 3 pentru inte

Recommended

View more >