Capitulo 08 Intersección Recta Poliedro

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    GEOMETRA

    DESCRIPTIVA

    Segunda Edicin

    Geometra

    Descriptiva

    Autor:

    Vctor Vidal Barrena

    Universidad

    Nacional de Ingeniera

    CAPTULO

    2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    8Interseccinde Recta con

    Poliedro ySuperficie

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    2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETR A DESCRIPTIVASegunda

    Edicin

    Vctor Vidal Barrena

    7 - 2

    INTERSECCION DE

    RECTA CONPOLIEDRO

    INTERSECCIN DE RECTA CON POLIEDRO.

    S

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    GEOMETR A DESCRIPTIVASegunda

    Edicin

    Vctor Vidal Barrena

    7 - 3

    LA INTERSECCION ENTRE DOS SLIDOS SE CONOCE

    COMO UNA FIGURA DE INTERSECCION. TALESINTERSECCIONES SON COMUNES EN LASCONSTRUCCION SE EDIFICIOS, METALISTERIA,CONSTRUCCION DE MAQUINAS Y EN CUALQUIERCAMPO DE LA INGENIERIA. PARA LOS SLIDOSLIMITADOS POR SUPERFICIES PLANAS, LAINTERSECCION CONSISTE EN SEGMENTOS SUCESIVOSDE RECTAS DE INTERSECCION DEL PLANO CON LASUPERFICIE PLANA DEL SLIDO, LA RECTA DE

    INTERSECCION DE DOS POLIEDROS ES UNA SERIE DERECTAS UNIDAS, QUE FORMA UN POLIGONOIRREGULAR.

    8.1 INTRODUCCIN.-

    SE

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    Edicin

    Vctor Vidal Barrena

    7 - 4

    SE LLAMA POLIEDRO, A LOS CUERPOS GEOMETRICOS CUYA PORCION DEESPACIO ES TOTALMENTE LIMITADA, POR POLIGONOS PLANOS NOCOPLANARES.

    H

    E

    A

    G

    F

    C

    D

    B

    ARISTA

    CARA

    VERTICE

    DIAGONAL

    8.2 POLIEDROS: SU REPRESENTACIN.

    SE

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    Edicin

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    a).- LAS CARAS: formadas por polgonos que limitan el poliedro

    b).- LAS ARISTAS: que son los lados del polgono

    c).- LOS VRTICES: que son los extremos de las aristas

    d).- LAS DIAGONALES: aristas que unen dos vrtices opuestos

    e).- LOS DIEDROS: formados por dos caras consecutivas

    f).- ANGULOS POLIEDRICOS:formados por aristas que concurren enun vrtice.

    8.3 ELEMENTOS DE UN POLIEDRO.

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    Edicin

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    1).- POLIEDROS REGULARES: Son los poliedros que tienen todas sus carasy ngulos iguales. Ejemplo:

    8.4 CLASIFICACIN DE LOS POLIEDROS.

    C

    TETRAEDRO

    A

    B

    D

    H

    E

    F

    HEXAEDRO

    A

    D

    B

    G

    C

    OCTAEDRO

    E

    A

    C

    F

    D B

    SE

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    Edicin

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    2) POLIEDROS IRREGULARES: Es aquel cuya cuyas caras es un polgono cualquieray las dems caras son paralelogramos (prismas) o tringulos (pirmides) entre losprincipales tenemos los prismas y las pirmides. Ejemplo:

    D

    F

    E

    L

    K

    J

    A

    C

    B

    I

    HI

    H

    KM

    E

    B

    F

    D

    C A

    PRISMA

    TRIANGULAR

    TRUNCADO

    PRISMA

    HEXAGONAL

    OBLICUO

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    H

    I

    JK

    LM

    PRISMA

    HEXAGONAL

    RECTO

    8.4 CLASIFICACIN DE LOS POLIEDROS.

    GEOMETR A DESCRIPTIVASE

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    Edicin

    Vctor Vidal Barrena

    7 - 8

    1) PRISMAS: Es un slido geomtrico determinado por una superficieengendrada por una recta generatriz que se desliza paralela por una lneapoligonal o directriz

    PRISMA

    HEXAGONAL

    D

    F

    E

    C

    A

    B

    F

    E

    K

    D

    A

    B

    C

    L G

    J

    H

    I

    H

    PRISMA

    CUADRADO

    E

    F

    G

    CA

    B

    D

    PRISMA

    TRIANGULAR

    8.5 CLASIFICACIN DE LOS POLIEDROS REGULARES.

    GEOMETR A DESCRIPTIVASE

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    Edicin

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    2) PIRAMIDE: Es un slido geomtrico determinado por una superficie engendradapor una recta generatriz que esta unida a un punto fijo llamado vrtice, a la vez quese desliza por una lnea poligonal o directriz.

    PIRAMIDE

    TRIANGULAR

    B

    CA

    VV

    PIRAMIDE DEBASE

    CUADRADA

    A

    D

    B

    CE

    PIRAMIDEHEXAGONAL

    B

    F A

    DC

    V

    8.5 CLASIFICACIN DE LOS POLIEDROS REGULARES.

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    GEOMETR A DESCRIPTIVASe

    Ed

    V t Vid l B

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    dicin

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    7 - 11

    Hallar la interseccin de la recta

    MN con el prisma ABCD-EFGH.Mostrar la visibilidad de lainterseccin.

    PROBLEMA N 8.1:

    M(4, 8, 19), N(12, 4, 13) ,A(10, 9, 17) , B(13, 7, 16), C(12, 5, 19),D(9, 7, 20),

    E(3,5,12), F(6, 3, 11), G(5, 1, 14),H(2, 3, 15).

    GEOMETR A DESCRIPTIVASe

    Ed

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    dicin

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    SOLUCION 8.1:

    HG

    HH

    EF

    EH

    G

    F

    F

    F

    FM

    FH

    F

    DF

    A

    M

    HH

    H

    DH

    N

    FC

    FN

    H

    BF

    AH

    CH

    HB

    grafico de los

    puntos

    32 5 64 9 1310 12

    14

    3

    4

    1

    13

    12

    5

    7

    11

    9

    8

    15

    19

    17

    20

    16

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    GEOMETR A DESCRIPTIVASe

    Ed

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    dicin

    Vctor Vidal Barrena

    7 - 14

    Hallar la interseccin de la recta

    MN con la pirmide V ABCD.Mostrar la visibilidad de lainterseccin.

    PROBLEMA N 8.2:

    M(7.5, 9, 19), N(7.5, 2, 11) ,A(6.5, 5, 18) , B(11, 3, 15), C(9.5, 7, 12),

    D(5, 9, 15); V(1, 4.5, 13)

    GEOMETR A DESCRIPTIVASe

    Ed

    Vctor Vidal Barrena

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    dicin

    Vctor Vidal Barrena

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    PASO 1: GRAFICAR LAS COORDENADAS.

    V

    D

    VF

    H

    FB

    MFF

    NH

    HC

    A

    HD

    H

    HM

    HB GRAFICO DE

    LAS

    COORDENADAS

    FC

    NF

    FA

    4.5

    2

    3

    1

    11

    9

    7

    5

    12

    13

    7.55 6.5 119.5

    15

    18

    19

    GEOMETR A DESCRIPTIVASeg

    Ed Vctor Vidal Barrena

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    GEOMETR A DESCRIPTIVAgunda

    icin

    Vctor Vidal Barrena

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    PROBLEMA N 2: SOLUCION.

    HV

    VF

    AH

    AF

    BH

    BF

    CH

    CF

    DH

    DF

    H

    HN

    FM

    NF

    2

    1

    2

    1

    1BVCMN - ++-+ +

    +MN + -ABCD + 2- +

    FHRECTA FHPLANO HF INT

    9.5 11

    3

    7

    13

    4.5

    1 6.5

    5

    18

    15

    5

    12

    9

    19

    7.5

    11

    2

    PC

    -1

    GEOMETR A DESCRIPTIVASeg

    Edi Vctor Vidal Barrena

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    icin

    Vctor Vidal Barrena

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    SOLUCION SOMBREADA:

    D

    DF

    H

    FA

    BF

    C

    C

    MF

    NH

    F

    H

    HB

    HA

    2

    1

    2

    1

    SOLUCION

    SOMBREADA

    VF

    HV

    NF

    H

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    GEOMETR A DESCRIPTIVASeg

    Edic Vctor Vidal Barrena

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    GEOMETR A DESCRIPTIVAgunda

    cin

    7 - 20

    PROBLEMA N 8.3: SOLUCION:

    HA

    FA

    HB

    FB

    CF

    HC

    DH

    DF

    HE

    EF

    FH

    FF

    GH

    GF

    HH

    HF

    HM

    FM

    FN

    b

    HN

    1

    2

    1

    2

    + +

    ++

    + -

    - +

    -+

    - +9

    10

    5

    19

    12

    65

    14

    2

    15

    8

    16

    11

    1

    20

    9

    17

    12 13

    3

    3

    7

    RECTA PLANO INTH F FH H F

    MN

    AEDH

    BFCG

    1

    2

    MN

    TABLA DE VIS

    PC-1

    PC-2

    GEOMETR A DESCRIPTIVASeg

    Edic Vctor Vidal Barrena

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    cin

    7 - 21

    PROBLEMA N 8.3: SOLUCION SOMBREADA

    HF

    HH

    C

    1

    GF

    EF

    FF

    NF

    2

    M

    H

    E

    HF

    GH

    AF

    DF

    HN

    F

    2

    FB

    F

    C

    M D

    1

    H H

    HA

    HB

    H

    SOLUCION

    SOMBREADA

    GEOMETR A DESCRIPTIVASeg

    Edic Vctor Vidal Barrena

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    GEOMETR A DESCRIPTIVAunda

    cin PROBLEMA N 8.4

    Si el poliedro tiene

    seccin transversal

    convexa, la recta lo

    interseca en dos

    puntos; en cambio, si

    es cncava, es posibleque la recta interseque

    en ms de dos puntos.

    7 - 22

    GEOMETR A DESCRIPTIVASegu

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    cin

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    Hallar la interseccin de la recta

    MN con el prisma ABCD-EFGH.Mostrar la visibilidad de lainterseccin.

    PROBLEMA N 8.5:

    GEOMETR A DESCRIPTIVASegu

    Edic Vctor Vidal Barrena

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    GEOMETR A DESCRIPTIVAunda

    cin PROBLEMA N 8.5

    7 - 24

    GEOMETR A DESCRIPTIVASegu

    Edic

    Vctor Vidal Barrena

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    GEOMETR A DESCRIPTIVAunda

    in

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    Hallar la interseccin de la recta

    MN con la Pirmide V-ABCD.Mostrar la visibilidad de lainterseccin.

    PROBLEMA N 8.6:

    GEOMETR A DESCRIPTIVASegu

    Edici

    Vctor Vidal Barrena

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    GEOMETR A DESCRIPTIVAunda

    in PROBLEMA N 8.6

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    GEOMETR A DESCRIPTIVASegu

    Edici

    Vctor Vidal Barrena

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    GEOMETR A DESCRIPTIVAnda

    n 8.6 Superficies: Cono Cilindro.

    11 - 28

    CONO.-Es una superficie generada por una rectallamada generatriz, que se desplaza apoyada

    sobre una curva(directriz) y pasando siempre porun punto (vrtice).

    CILINDRO.-Es una superficie generada por unarecta (generatriz) al desplazarse paralelamente as misma y apoyada sobre una curva(directriz).

    GEOMETR A DESCRIPTIVASegun

    Edici

    Vctor Vidal Barrena

    8 6 S fi i C Cili d

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    2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETR A DESCRIPTIVAnda

    n 8.6 Superficies: Cono Cilindro.

    11 - 29

    a) Cono b) Cilindro c) Esfera

    GEOMETR A DESCRIPTIVASegun

    Edici

    Vctor Vidal Barrena

    8 7 REGLAS DE VISIBILIDAD

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    GEOMETR A DESCRIPTIVAnda

    n 8.7 REGLAS DE VISIBILIDAD

    1. Si son visibles dos generatrices que se interceptan, su punto de

    interseccin es visible.

    2. De dos generatrices que se interceptan, una o ambas estn ocultas, elpunto de interseccin es invisible.

    3. Si dos crculos o sus porciones que se interceptan son visibles, el punto

    de interseccin es visible.

    4. De dos crculos o sus porciones que se interceptan, una o ambas estnocultas, el punto de interseccin es invisible.

    Antes de aplicar estas reglas de visibilidad, analizar la visibilidad de las

    generatrices, utilizando las reglas de visibilidad:

    1. Considerar al signo (+) como visible y el signo (-) como invisible.2. No se plica la regla de los signos.

    11- 30

    GEOMETR A DESCRIPTIVASegun

    Edici

    Vctor Vidal Barrena

    8 8 R t i d S fi i

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    nda

    n 8.8 Representacin de Superficies.

    El cono est engendrado por el movimiento de una lnea recta

    llamada generatriz, que se desplaza sobre una curva directriz y quepasa siempre por un punto fijo llamado vrtice; vase la figura 11.2.

    11 - 31

    8.8.1 REPRESENTACIN DE CONOS

    Fig. 10.2Representacin de conos.

    http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/ResisTMater/Beer/Teor%C3%ADa/Capitulo%205/contents.ppt
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    GEOMETR A DESCRIPTIVASegun

    Edici

    Vctor Vidal BarrenaINTERSECCI{ON DE RECTA CON SUPERFICIE

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    nda

    n INTERSECCI{ON DE RECTA CON SUPERFICIE

    PROBLEMASRESUELTOS

    7 - 33

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    GEOMETR A DESCRIPTIVASegund

    Edicin

    Vctor Vidal Barrena

    SOLUCION

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    2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    da

    n SOLUCION

    1.5

    3

    6

    7

    12

    13

    13.5

    V

    5

    MF

    8

    OF

    13

    N F

    HO

    HN

    F

    16

    17 H

    MH

    V

    grafico de los

    puntos

    11- 35

    GEOMETR A DESCRIPTIVAS

    egund

    E

    dicin

    Vctor Vidal Barrena

    SOLUCION

    http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/ResisTMater/Beer/Teor%C3%ADa/Capitulo%205/contents.ppt
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    da

    n SOLUCION

    FN

    1.5

    5 13

    OF

    8 13.5

    13

    3

    6

    7

    MF

    12

    17

    16 H

    M

    NH

    VF

    O H

    HV

    solucion finalEH F H

    AH

    HB

    FBA

    F E F FF

    12

    1

    2

    M'F

    M'H

    MN + + FV -+- 2 +

    GENER

    MN

    RECTA

    + +

    H F

    EV +

    H

    ++

    H F

    1

    INT

    +

    F

    11- 36

    GEOMETR A DESCRIPTIVAS

    egund

    E

    dicin

    Vctor Vidal BarrenaPROBLEMA 8 2:

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    da

    n

    AB es el eje de un cilindro de bases

    horizontales de 5cm de dimetro.Determinar la interseccin y mostrarla visibilidad de la recta MN con el

    cilindro dado. Cortar al cilindro porel extremo B.

    11- 37

    PROBLEMA 8.2:

    A(7, 2.5, 15), B(12, 8.5, 19.5) ,M(8.5, 1, 21) , N(8.5, 10, 12).

    GEOMETR A DESCRIPTIVAS

    egund

    E

    dicin

    Vctor Vidal Barrena

    SOLUCION

    http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/ResisTMater/Beer/Teor%C3%ADa/Capitulo%205/contents.ppt
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    da

    n SOLUCION

    2.5

    1

    10

    8.5

    12

    A

    4 8.57

    F

    MF

    N

    N

    F

    H

    21

    19.5

    15

    HA

    MH

    12

    FB

    BH

    GRAFICO DE LOS

    PUNTOS

    11- 38

    GEOMETR A DESCRIPTIVAS

    egund

    E

    dicin

    Vctor Vidal Barrena

    SOLUCION

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    da

    n SOLUCION

    12

    7

    2.5

    15

    FA

    AH

    19.5

    8.5

    BH

    FB

    12

    10

    1

    21

    MF

    HM

    NH

    NF

    FX

    XH

    HM'

    FM'

    YF

    HY1

    2

    Z

    S

    S Z

    2

    1

    8.5

    GENERHRECTA

    MN

    MN +

    +

    Z1

    F

    +

    +

    S2 +

    -

    H F

    -

    +

    INT

    2

    1

    FH

    -

    +

    -

    +

    H

    H

    F F

    solucion final

    11- 39

    GEOMETR A DESCRIPTIVAS

    egund

    E

    dicin

    Vctor Vidal BarrenaProblema 11.3:

    PROBLEMA 8.3:

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    a

    HALLAR LA INTERSECCION DE LARECTA AB CON EL CONO DE VERTICEV. VISIBILIDAD.

    GEOMETR A DESCRIPTIVAS

    egunda

    E

    dicin

    Vctor Vidal BarrenaSOLUCION:

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    a SOLUCION:

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