35
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Segunda Edición Geometría Descriptiva Autor: Víctor Vidal Barrena Universidad Nacional de Ingeniería CAPÍTULO © 2014 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 10 Intersección Entre Superficies

Capitulo 12 Intersección Entre Superficies

Embed Size (px)

DESCRIPTION

geometria descriptiva

Citation preview

  • GEOMETRA

    DESCRIPTIVA

    Segunda Edicin

    Geometra

    Descriptiva

    Autor:

    Vctor Vidal Barrena

    Universidad

    Nacional de Ingeniera

    CAPTULO

    2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    10 Interseccin

    Entre

    Superficies

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    12.1 Superficies: Cono Cilindro.

    11 - 2

    Las intersecciones comunes que se presentan, son tales como dos tuberas, la proa de un barco y el ala de un avin con su fuselaje. De dos superficies solamente una corta a la otra.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    12.2 REGLAS DE VISIBILIDAD

    1. Si son visibles dos generatrices que se interceptan, su punto de

    interseccin es visible.

    2. De dos generatrices que se interceptan, una o ambas estn ocultas, el

    punto de interseccin es invisible.

    3. Si dos crculos o sus porciones que se interceptan son visibles, el punto

    de interseccin es visible.

    4. De dos crculos o sus porciones que se interceptan, una o ambas estn

    ocultas, el punto de interseccin es invisible.

    Antes de aplicar estas reglas de visibilidad, analizar la visibilidad de las

    generatrices, utilizando las reglas de visibilidad:

    1. Considerar al signo (+) como visible y el signo (-) como invisible.

    2. No se plica la regla de los signos.

    11- 3

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    12.3 INTERSECCIN DE DOS CONOS.

    1. MORDEDURA.

    Cuando la introduccin es parcial de uno de los

    conos con respecto al otro y la lnea de

    interseccin ser una lnea curva continua. Se

    numeran consecutivamente los puntos tangentes y

    secantes definidos por los planos de corte en

    ambas bases, de acuerdo con el sistema de

    numeracin establecido. En la figura 14.1 se

    muestra un ejemplo de sistema de numeracin.

    11 - 4

    12.3.1 TIPOS DE INTERSECCIONES.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    1. MORDEDURA

    11 - 5

    Fig. 12.1 Interseccin por mordedura

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    12.3 INTERSECCIN DE DOS CONOS.

    2. PENETRACIN.

    Cuando uno de los conos est introducido

    totalmente en el otro, formndose dos curvas

    separadas de interseccin. En la figura 14.2 se

    muestra un ejemplo, en el cual se numeran

    consecutivamente los puntos tangentes y secantes

    definidos por los planos de corte en ambas bases,

    de acuerdo con el sistema de numeracin

    establecido.

    11 - 6

    12.3.1 TIPOS DE INTERSECCIONES.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    2. PENETRACIN

    11 - 7

    Fig. 12.1 Interseccin por penetracin.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    CUYAS BASES ESTN EN EL MISMO PLANO HORIZONTAL

    11- 8

    12.4 INTERSECCIN DE DOS CONOS

    En la figura 14.8 se ilustra

    dos conos que se

    interceptan, cuyos vrtices

    son V y P respectivamente.

    Fig. 12.1 Interseccin de dos conos.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    SOLUCION

    11- 9

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    PROCEDIMIENTO:

    11- 10

    En la vista frontal, desde el vrtice V se traza una lnea recta que pase por el vrtice P, que se prolonga hasta cortar al plano

    de las bases en el punto X.

    Luego proyectar el punto X a la vista horizontal y en la interseccin de la recta que parte desde el vrtice V y que pasa

    por el vrtice P determinan la proyeccin horizontal del punto

    X.

    Desde el punto X se trazan los necesarios planos cortantes tangentes o secantes a las bases de los slidos, se aplican las

    reglas del sistema de numeracin que nos predice el tipo de

    interseccin a resultar. Por ejemplo el PCI define los puntos

    1,7 y que al interceptarse con generatrices del mismo nmero

    determinan los puntos de interseccin buscados.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    TABLA DE VISIBILIDAD

    3 - 11

    CONO

    V

    CONO

    P INT VIS

    CONO

    V

    CONO

    P INT VIS

    H F H F H F H F H F H F

    + + + + 1 + + + - + + 7 + -

    - + - - 2 - - + - - - 8 - -

    - - - - 3 - - + - - - 9 - -

    - - - - 4 - - + - - - 10 - -

    - - + + 5 - - + - + + 11 + -

    - + + + 6 - + + - + + 12 + -

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    12.5.1 TIPOS DE INTERSECCIONES Y SISTEMA DE NUMERACIN.

    11- 12

    12.5 INTERSECCIN DE DOS CILINDROS.

    1. MORDEDURA.

    Cuando los planos cortantes tangentes estn en distintas

    bases, la introduccin es parcial de uno de los cilindros con

    respecto al otro y la lnea de interseccin resultante ser una lnea

    curva continua, como se muestra en la figura adjunta. Se observa

    que los dos cilindros son mutuamente tangentes en la parte

    comn, teniendo adems un plano cortante tangente a ambas

    bases, siendo la curva de interseccin continua y cruzndose en el

    punto de tangencia, formndose una especie de nmero ocho.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    1. MORDEDURA.

    11- 13

    2. PENETRACIN.

    Cuando los planos cortantes tangentes estn en una misma base, la

    introduccin es total, formndose de ese modo dos curvas separadas de

    interseccin, como se muestra en la figura 14.14 (a). En la figura 14.14 (b)

    los dos cilindros tienen el mismo dimetro y son mutuamente tangentes en

    las superficies extremas, teniendo adems los planos cortantes tangentes a

    ambas bases, siendo la curva de interseccin dos elipses continuas que se

    cruzan en los puntos de tangencia.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    2. PENETRACIN.

    11- 14

    12.6 MTODO DEL PLANO CORTANTE.

    Para encontrar la interseccin de dos cilindros oblicuos, mostrada en

    la figura de la pgina 15, los planos cortantes que se usan deben ser

    paralelos al eje de cada uno de ellos, y que corten a la base comn

    horizontal de modo que determinen generatrices sobre ellas, cuyas

    intersecciones establecern los diferentes puntos de interseccin de la curva

    buscada.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    Problema 11.3: 12.6.1 MTODO DEL PLANO CORTANTE

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    SOLUCION:

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    PROCEDIMIENTO:

    1. Se asume un punto X en la plano frontal, y desde ese punto se

    traza XM paralela al eje del cilindro AB (el punto M se

    encuentra en el plano de base).

    2. En el plano frontal y desde el mismo punto X se traza XN

    paralela al eje del cilindro CD (el punto N se encuentra en el

    plano de base).

    3. En el plano horizontal asumir el punto X y trazamos XM y

    XN paralela a los ejes AB y CD respectivamente, hasta

    encontrar a las lneas de referencia de M y N.

    4. Las rectas XM y XN determinan el plano maestro MXN.

    5. Trazar los planos cortantes paralela a la recta MN, en la figura

    14.16 se observan dos planos cortantes tangentes y dos planos

    cortantes secantes; que determinan 12 puntos

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    PROCEDIMIENTO:

    6. Como los dos planos cortantes tangentes estn en bases

    diferentes, la interseccin entre estas dos superficies es por

    mordedura.

    7. Trazar en la vista horizontal las generatrices del mismo

    nmero desde la bases A y B, la interseccin de estas

    generatrices determinan los puntos de interseccin 1, 2, hasta

    encontrar al punto 12.

    8. En la vista horizontal en donde las bases se muestran en

    dimensin verdadera, determinar la visibilidad de las

    generatrices en las vistas horizontal y frontal; este rango de

    las visibilidades nos permite hacer la tabla de visibilidad.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    12.4.2 CON BASES EN DIFERENTES PLANOS.

    Para encontrar la interseccin, los planos cortantes oblicuos que se usan

    deben ser paralelos a los ejes de ambos cilindros, y que corten a las bases de

    cada uno de ellos, de modo que determinen generatrices cuyas

    intersecciones determinarn los diferentes puntos de interseccin de la

    curva buscada.

    PROCEDIMIENTO:

    1. En la vista frontal y desde un punto arbitrario X, se traza XM

    paralela al eje del cilindro AB (el punto M se encuentra en el

    plano de base del cilindro AB).

    2. Desde el mismo punto X se traza XN paralela al eje del cilindro

    CD (el punto N se encuentra en el plano de base del cilindro CD).

    3. Los planos de bases de los cilindros AB y CD se cortan en KG,

    formndose con las rectas XM y XN el plano de prueba

    MXNKG.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    SOLUCION:

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    PROCEDIMIENTO:

    4. En la vista horizontal trazamos los planos cortantes para la

    base del cilindro AB paralela a la recta MK y para la base

    del cilindro CD paralela a la recta KN.

    5. Como se tiene que determinar la interseccin de este plano

    de prueba con cada uno de los planos de las bases, es

    necesario conocer dos puntos en cada base; para lo cual

    seleccionamos el punto Y contenida en la recta XM, luego

    trazamos YP paralela a XN.

    6. Se une N con P y se prolonga hasta su encuentro con el

    plano inclinado en el punto K. El plano MXN corta a las

    bases segn las rectas MK y NK al que sern paralelos los

    planos cortantes.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    12.6 INTERSECCIN CONO CILINDRO.

    1. MORDEDURA:

    Cuando la introduccin es parcial del cilindro con respecto al cono o

    viceversa y la lnea de interseccin resultante ser una lnea curva continua,

    los planos de corte limitadores son tangentes y secantes a ambas bases,

    como se muestra en la figura. En esta figura los planos de corte limitadores

    son tangentes a ambas bases, formndose dos curvas de interseccin

    separadas que se cruzan una a otra en dos puntos de tangencia del cilindro y

    cono.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    2. PENETRACIN:

    Cuando el cilindro est introducido totalmente en el cono o viceversa,

    formndose dos curvas separadas de interseccin. En la figura siguiente los

    planos de corte limitadores son ambos tangentes a una base y secantes a la

    otra, formndose dos curvas de interseccin separadas, igualmente sucede

    en la figura en la otra figura dada.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    12.6.1 MTODO DEL PLANO CORTANTE.

    Cuando un cono y un cilindro oblicuo se interceptan todos los planos de corte estn

    articulados en un punto. Para encontrar este punto, trazar desde el vrtice del cono una

    recta paralela al eje del cilindro hasta cortar al plano de base de estas superficies en un

    punto que denominaremos punto de articulacin.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    12.6.1 MTODO DEL PLANO CORTANTE.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    PROCEDIMIENTO:

    1. En el plano frontal y desde el vrtice V del cono se traza una recta

    paralela al eje del cilindro AB y se prolonga esta recta hasta cortar

    al plano de base de estas superficies en el punto X.

    2. Luego, desde este punto X hallado se proyecta a la vista

    horizontal, y en la interseccin de la recta que parte desde el

    vrtice V del cono y paralela al eje del cilindro, se determina la

    proyeccin horizontal del punto X.

    3. Desde la proyeccin horizontal del punto X, se trazan los

    necesarios planos cortantes tangentes y secantes a las bases de los

    slidos.

    4. En la figura 14.25 se muestran 5 planos cortantes, en donde se

    observa que los planos cortantes I y V son tangentes a la base del

    cono y secantes a la base del cilindro; que corresponde a una

    interseccin por penetracin

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    PROCEDIMIENTO::

    5. Se numeran los puntos tangentes y secantes definidos por los planos

    cortantes en ambas bases, en orden progresivo, de acuerdo con el sistema

    de numeracin establecido.

    6. Por ejemplo el PC-3 define los puntos 3,11 y 7,15 tanto en el cilindro como

    en el cono, y que al interceptarse generatrices del mismo nmero

    determinan los puntos de interseccin buscados. La visibilidad de estos

    puntos hallados depende de las que tengan las generatrices que las

    determinaron.

    7. Los puntos numerados en la base del cono y del cilindro en el plano

    horizontal, se proyectan al plano frontal e interceptamos generatrices del

    mismo nmero.

    8. La visibilidad de los puntos de interseccin depende de la visibilidad que

    tengan las generatrices que determinaron estos puntos de interseccin; tal

    como se observa en la figura 14.25.

    9. En la tabla de visibilidad se observa la visibilidad de las generatrices del

    cono y del cilindro en los planos horizontal y frontal.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    PROBLEMAS RESUELTOS.

    PROBLEMA 12.1: D es el centro de un cilindro cuya base es un crculo

    frontal de 3cm de dimetro, siendo CD el eje del cilindro. V es el vrtice y

    O es el centro de la base horizontal de 4.6cm de dimetro de un cono

    oblicuo. Hallar la interseccin de las superficies, mostrando completamente

    la visibilidad del conjunto. Hacer la tabla de visibilidad. Utilizar cinco

    planos cortantes.

    CONO CIL

    INT

    VIS CONO CIL

    INT

    VIS

    H F H F H F H F H F H F

    + - - + 1 - - + - + - 9 + -

    + + - + 2 - + - - + - 10 - -

    + + - + 3 - + - - + + 11 - -

    + + - + 4 - + - - + + 12 - -

    + + - + 5 - + - + - + 13 - +

    + + + + 6 + + - - - + 14 - -

    + + + + 7 + + - - - + 15 - -

    + + + - 8 + - - - - + 16 - -

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    PROBLEMA 14.1: SOLUCIN

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    PROBLEMA 12.2.

    OB es el eje de un cilindro de base horizontal en O de 2.5cm de radio. CD

    es el eje de otro cilindro de base frontal en C de 4 cm de dimetro. Hallar la

    interseccin de las superficies, mostrando completamente la visibilidad del

    conjunto. Hacer la tabla de visibilidad. Utilizar cuatro planos cortantes.

    CIL A CIL B

    INT

    VIS CIL A CIL B

    INT

    VIS

    H F H F H F H F H F H F

    + - + - 1 + - - - + - 7 - -

    + + + - 2 + - - - + + 8 - -

    + + - - 3 - - - + + + 9 - +

    - + - - 4 - - - + + + 10 - +

    - + - - 5 - - + + + + 11 + +

    - - - - 6 - - + + + + 12 + +

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    PROBLEMA 12.2: SOLUCIN.

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    PROBLEMA 12,3:

    C es el centro de un cilindro cuya base es un crculo horizontal de 4cm de

    dimetro, siendo CD el eje del cilindro oblicuo. V es el vrtice de un cono

    oblicuo y O es el centro de su base que es un crculo frontal de 5cm de

    dimetro. Hallar la interseccin de las superficies, mostrando completamente

    la visibilidad del conjunto. Hacer la tabla de visibilidad. Utilizar cinco

    planos cortantes.

    CONO CIL INT

    VIS CONO CIL INT

    VIS

    H F H F H F H F H F H F

    - - - - 1 - - - - + - 9 - -

    - - - + 2 - - - - + - 10 - -

    - + - + 3 - + - + + - 11 - -

    + + + + 4 + + + + + - 12 + -

    + + + + 5 + + + + + - 13 + -

    + + + + 6 + + + + + - 14 + -

    - - - + 7 - - + - + - 15 + -

    + - - + 8 - - + - + - 16 + -

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    2. PENETRACIN:

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    PROBLEMA 12.4:

    Hallar la interseccin de las superficies, mostrando completamente la

    visibilidad del conjunto. Hacer la tabla de visibilidad. Utilizar cinco

    planos cortantes.

    CIL AB CIL CD INT

    VIS CIL AB CIL CD INT

    VIS

    H F H F H F H F H F H F

    - - - - 1 - - - - + - 9 - -

    - - - + 2 - - - - + - 10 - -

    - + - + 3 - + - + + - 11 - -

    + + + + 4 + + + + + - 12 + -

    + + + + 5 + + + + + - 13 + -

    + + + + 6 + + + + + - 14 + -

    - - - + 7 - - + - + - 15 + -

    + - - + 8 - - + - + - 16 + -

  • 2014 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

    GEOMETRA DESCRIPTIVA

    Se

    gu

    nd

    a

    Ed

    ici

    n

    Vctor Vidal Barrena

    PROBLEMA 12.4: SOLUCIN-