Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn
CAPITULO 2. Movimiento rectilneoDEFINICIN DE PARTCULA. El Punto
Material Es una idealizacin de los cuerpos que existen en la
naturaleza y que llamamos punto material. Es un cuerpo cuyas
dimensiones son despreciables al compararlas con las otras
dimensiones que intervienen en el movimiento. La Mecnica comienza
con el estudio de los puntos materiales y despus extiende estos
estudios a los sistemas de puntos materiales, incluyendo cuerpos
rgidos y deformables. El punto material, a diferencia de un punto
geomtrico, est asociado a una masa inercial; esta propiedad est
ntimamente ligada al movimiento de los cuerpos, como podemos ver
cuando tratamos de entender cmo se mueven los cuerpos. CONCEPTO DE
MOVIMIENTO El movimiento es un fenmeno fsico que se define como
todo cambio de posicin que experimentan los cuerpos en el espacio,
con respecto al tiempo y a un punto de referencia, variando la
distancia de dicho cuerpo con respecto a ese punto o sistema de
referencia, describiendo una trayectoria. Para producir movimiento
es necesaria una intensidad de interaccin o intercambio de energa
que sobrepase un determinado umbral. La parte de la fsica que se
encarga del estudio del movimiento es la cinemtica. CLASIFICACIN
DEL MOVIMIENTO Segn se mueva un punto o un slido pueden
distinguirse distintos tipos de movimiento: Segn la trayectoria del
punto: Rectilneo y curvilneo Movimiento rectilneo: La trayectoria
que describe el punto es una lnea recta. Movimiento curvilneo: El
punto describe una curva cambiando su direccin a medida que se
desplaza. Casos particulares del movimiento curvilneo son la
rotacin describiendo un crculo en torno a un punto fijo, y las
trayectorias elpticas y parablicas. Segn la trayectoria del slido:
Traslacin y rotacin. Traslacin: Todos los puntos del slido
describen trayectorias iguales, no necesariamente rectas. Rotacin:
Todos los puntos del slido describen trayectorias circulares
concntricas. Segn la direccin del movimiento: Alternativo y
pendular. Alternativo: Si la direccin del movimiento cambia, el
movimiento descrito se denomina alternativo si es sobre una
trayectoria rectilnea o pendular. Pendular: Si lo es sobre una
trayectoria circular (un arco de circunferencia). Segn la
velocidad: Uniforme y uniformemente variado. Movimiento uniforme:
La velocidad de movimiento es constante Movimiento uniformemente
variado: La aceleracin es constante, como es el caso de los cuerpos
en cada libre sometidos a la aceleracin de de la gravedad. SISTEMAS
DE REFERENCIA. POSICIN Y DESPLAZAMIENTO. El movimiento es una nocin
esencialmente relativa. As resulta que el movimiento como el reposo
son hechos relativos, no se puede decir que algo se mueve o que est
en reposo sin aadir respecto a qu. En consecuencia necesitamos un
sistema de referencia para descubrir el movimiento. Sistemas de
referencia. Desde el punto de vista estrictamente matemtico, un
sistema de referencia en un espacio vectorial de dimensin n est
formado por n vectores linealmente independientes, formando una
base del espacio, y por un punto, definido por n coordenadas, que
suele llamarse origen del sistema de referencia. En el dominio de
la fsica, el espacio suele ser la
j base ms habitual la llamada ortonormal ( i , , k ), y el
origen se sita a conveniencia delobservador. Los vectores de la
base son
i = (1,0,0), = (0,1,0) y k = (0,0,1). j
Atendiendo a su posible estado de reposo o movimiento, los
sistemas de referencia pueden ser clasificados siempre y cuando
hablemos de su relacin respecto a otro sistema de referencia que
arbitrariamente supongamos inmvil. En efecto, debe tenerse en
cuenta que cualquier sistema de referencia est movindose respecto a
otro (este papel gira y se traslada con la Tierra alrededor del
Sol, el cual a su vez se desplaza en la galaxia, que a su vez se
expande en el Universo...), por lo que no cabe hablar de un sistema
de referencia absoluto. De acuerdo con lo anterior, un sistema de
referencia puede estar: a) en reposo respecto a otro
b) movindose con velocidad constante al supuestamente fijo c)
con una aceleracin respecto al fijo.
v respecto
Un buen ejemplo del primer caso podemos encontrarlo en un
sistema de referencia como la pizarra, que se encuentra en reposo
relativo respecto a las paredes del aula (en condiciones normales).
Un ejemplo de sistema de referencia inercial podemos encontrarlo en
un tren que se mueve en un tramo de va rectilneo con una velocidad
sensiblemente constante. 1
Movimiento rectilneo Y por ltimo, la propia Tierra constituye un
sistema de referencia no inercial, ya que gira con una aceleracin
normal, que si bien es pequea, en ciertos fenmenos se observa con
claridad. Vector Posicin.- Para fijar la posicin de un punto en el
espacio respecto a un origen de coordenadas bastan tres nmeros que
pueden ser las proyecciones sobre los ejes de un sistema cartesiano
ortogonal.
Hugo Medina Guzmn una recta, circunferencia, espiral, parbola o
curvas tan complicadas como se nos ocurra. La trayectoria no define
el movimiento, pues no sabemos en que instante de tiempo ocup cada
punto. Sabemos dnde estuvo, pero no cuando y si estuvo varias veces
en cada punto o no. Hace falta la ecuacin horaria. Para encontrar
la ecuacin horaria debemos medir las distancias en funcin del
tiempo.
El vector posicin del punto P es:
OP = r
En la figura P0 es un origen fijo sobre la curva (C) que porta
la trayectoria. Sea P la posicin de la partcula en el instante t
sobre la trayectoria definida por el arco
El movimiento quedar especificado si conocemos el vector posicin
para cada instante, es decir:
P0 P = SLa ecuacin horaria del movimiento de la partcula P
es
r = r (t )
Esto se conoce como ley de movimiento. El vector posicin puede
ser expresado a travs de las ecuaciones paramtricas de sus
componentes en funcin del tiempo: x = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t
)
S = S (t )
r = x(t )i + y (t ) + z (t )k j
Desplazamiento. La figura muestra una partcula que se est
moviendo a lo largo de la trayectoria curvilnea C.
Ejemplo experimental. Estudio del movimiento de la cada libre de
un cuerpo. Solucin Si dejamos caer un objeto, obtenemos que la
trayectoria sea una recta vertical. Para encontrar la ley del
movimiento podemos intentar medir a partir de dnde la dejamos caer,
distancias sucesivas para diferentes tiempos. Una forma
experimental es usando una pelcula fotogrfica y una flash
electrnico que se encienda por ejemplo cada 1/30 de segundo. En una
habitacin oscura dispondremos el cuerpo, la pelcula y un disparador
que deje caer el cuerpo y simultneamente accione el flash.
Paralelamente a la trayectoria a seguir por el objeto se fija una
regla.
Sean P1 y P2 las posiciones de la partcula en los instantes t1 y
t 2 = t1 + t . Los vectores posicin correspondientes son
OP 1 y OP 2 = r 2 = r 1 + r .Siendo r el vector desplazamiento y
describe el desplazamiento de la partcula de la posicin P1 a la
posicin P2. Trayectoria y Ecuacin Horaria del Movimiento.Se llama
trayectoria de una partcula en movimiento al lugar geomtrico de las
posiciones efectivamente ocupadas por la partcula en el transcurso
del tiempo. De acuerdo al tipo de movimiento podr ser
2
Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn
r = kt 2 k
Las ecuaciones paramtricas son
x = 0 , y = 0 y z = kt 2En esencia para cualquier movimiento
debemos ingeniarnos para obtener la ecuacin horaria y conocida su
trayectoria, queda determinado el movimiento. VELOCIDAD Y RAPIDEZ
La fotografa mostrada permite conocer las cotas de la foto en los
diferentes instantes bien determinados. La tabla muestra los
resultados de la fotografa: Tiempo t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t1 t
10 Cota(m) 0,2480 0,3250 0,4130 0,5130 0,6235 0,7450 0,8875 1,0215
1,1760 1,3405 1,5155 Rapidez.- La rapidez (que en el lenguaje comn
se denomina simplemente velocidad) se define como el cociente entre
la distancia recorrida y el tiempo transcurrido. La distancia s
recorrida a lo largo de una trayectoria es una magnitud escalar,
independiente de la direccin. Como el tiempo tambin es un escalar,
la rapidez es tambin un escalar. La rapidez se designa mediante el
smbolo v y sus dimensiones son:
[v] = LT -1
La unidad en el sistema SI es el metro por segundo (m/s). La
figura muestra una partcula que se est moviendo a lo largo de la
trayectoria curva C. En el instante t1 esta en P1, a una distancia
S1 de un punto P0 de referencia. En el instante t 2 est en P2 a una
distancia S 2 del punto de referencia.
Tracemos la curva representativa del la funcin
z = f (t )
En el tiempo que transcurre entre t1 y t 2 ,
t = t 2 t1 , la partcula ha recorrido una distancia S es la
diferencia entre S 2 y S1 , esto es S = S 2 S1 .Se define como
rapidez media dentro de este intervalo Esta curva corresponde a una
parbola y su expresin matemtica es
z = kt 2 z est en segundos m Donde k = 4,9 2 s t est en segundos
Luego la ecuacin horaria es
s = kt 2Si fijamos el origen del movimiento en z = 0, la ley del
movimiento es
magnitud fsica. Si la rapidez de la partcula vara a lo largo de
la trayectoria, para conocer con mejor precisin el movimiento
debemos hacer los intervalos S ms pequeos y tomar la rapidez media
de cada uno de ellos. La figura a continuacin nos muestra el grfico
distancia recorrida versus tiempo, observen que cuando t 2 tiende a
t1 , t tiende a cero. Mediante este proceso llamamos a la rapidez
instantnea v en el instante t. Este proceso se expresa
matemticamente como 3
S 2 S 1 S = t 2 t1 t El smbolo (delta) significa un incremento
de una vm =
Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn En el intervalo de tiempo de t hasta t + t la
partcula que se mueve: S = S (t + t ) S (t ) =
v = lim
S dS = t 0 t dt
Asen (t + t ) Asent = Asent cos(t ) + Acostsen(t ) Asent
La rapidez en un instante t cualquiera es
v=
dS La cantidad se llama derivada de S con dt respecto a t y el
proceso de encontrarla se llama derivacin o diferenciacin. La
notacin dS , dt ,expresa incrementos infinitesimalmente pequeos que
se conocen como diferenciales. Ejemplo 1. a) Hallar una expresin
para la rapidez de una partcula que se mueve de acuerdo a la ley
horaria
t 0
lim
v = A cos t
Asent cos (t ) + Acostsen (t ) Asent t
dS = dt
El proceso desarrollado en los dos ejemplos anteriores se hace
simple con la prctica. Hay muchas reglas o frmulas para derivar
diferentes tipos de funciones. Estas pueden memorizarse o
encontrarse en tablas. La tabla siguiente es una pequea muestra de
estas. Derivadas de algunas funciones Funcin Derivada
S = At 2b) Si A = 1,4 m/s , hallar la distancia a la que se
encuentra la partcula y su rapidez para 10 segundos despus de
iniciado su movimiento. Solucin a) Si en el tiempo t 0 est en S 0
:2 S 0 = At 0
2
S =t
n
S =c S = cu
Transcurrido un tiempo t , el tiempo ser t1 = t 0 + t , la
partcula estar en S12
2 S1 = A(t 0 + t ) = At 0 + 2 At 0 t + A(t ) , 2 2
S =u+v S = uvS = Asent
Como
2 2 S = S1 S 0 = At 0 + 2 At 0 t + A(t ) At 0
= 2 At 0 t + A(t )
2
2 At 0 t + A(t ) = 2 At 0 t 0 t b) Si hacemos t 0 = 0 , la
distancia de la partcula al origen para t = 10 es m 2 S (10 ) = 1,4
2 (10s ) = 140 m s v(t ) = lim2
La rapidez en el instante t es:
S = Acost
dS dt dS dt dS dt dS dt dS dt dS dt dS dt
= nt n 1 =0du dt du dv = + dt dt du dv =v +u dt dt
=c
= Acost = Asent
Ejemplo 3. Hacer los dos ejemplos anteriores usando frmulas de
la tabla anterior. Siendo S = At Tenemos que:2
y su rapidez es
m m 2 v(10) = 21,4 2 (10s ) = 28 2 s s Ejemplo 2. Hallar una
expresin para la rapidez de una partcula que se mueve segn la
ecuacin horaria
v=
dS d At 2 dt 2 = =A = 2 At dt dt dt
( )
Ejemplo 4. Siendo S (t ) = Asen (t ) Tenemos que
S (t ) = Asen (t )
v=
dS d ( Asent ) dsent = =A = A cos t dt dt dt
Solucin:
4
Movimiento rectilneo Velocidad. La velocidad (que ms
apropiadamente sera vector velocidad), a diferencia de la rapidez
debemos incluir el concepto de direccin en nuestro estudio; para
esto debemos emplear vectores. La figura muestra una partcula que
se est moviendo a lo largo de la trayectoria curvilnea C.
Hugo Medina Guzmn
Sean P1 y P2 las posiciones de la partcula en los instantes t1 y
t 2 = t1 + t . Los vectores posicin correspondientes son OP 1 = r 1
y
Cuando la pendiente es positiva, el objeto se est moviendo a la
derecha. Cuando la pendiente es negativa, el objeto se est moviendo
a la izquierda. Cuando la pendiente es cero, el objeto se detiene.
Ejemplo 5. Entre dos observadores hay una distancia de 1050 m, uno
de ellos dispara un arma de fuego y el otro cuenta el tiempo que
transcurre desde que ve el fogonazo hasta que oye el sonido,
obteniendo un valor de 3 s. Despreciando el tiempo empleado por la
luz en hacer tal recorrido, calcular la velocidad de propagacin del
sonido.
OP 2 = r 2 = r 1 + r . Siendo r el vectordesplazamiento y
describe el desplazamiento de la partcula de la posicin P 1 a la
posicin P 2 . Velocidad media. El cociente entre el vector
desplazamiento r y el intervalo de tiempo t es el vector velocidad
media.
r vm = t
Como el desplazamiento es un vector y el tiempo es un escalar
positivo, la velocidad es una magnitud vectorial que tiene la misma
direccin y sentido que el desplazamiento. Esto significa que si una
partcula sufre un desplazamiento negativo, su velocidad ser tambin
negativa. Velocidad instantnea. Como en el caso de la
Solucin La velocidad es: c = s/t = 1050/3 = 350 m/s Ejemplo 6.
Nos encontramos en una batalla naval, en un buque situado entre el
enemigo y los acantilados de la costa. A los 3 s de ver un fogonazo
omos el disparo del can, y a los 11 s del fogonazo percibimos el
eco. Calcular la distancia a que estn de nosotros el enemigo y la
costa. Velocidad del sonido, 340 m/s.
rapidez obtendremos la velocidad instantnea v tomando la
velocidad media en un intervalo de tiempo cada vez menor t medido
desde un cierto tiempo t1 . En el lmite, cuando t tiende a
cero:
r d r r 2 r1 = lim = v (t1 ) = lim t 2 t1 t 0 t t dt
La direccin de este vector es la direccin lmite del vector
cuando t 0 de la figura anterior. Es evidente que en este lmite la
direccin de r es la de la tangente la trayectoria en P1.
La magnitud del vector velocidad instantnea, v , es decir v o
simplemente v es igual a la rapidez instantnea en ese punto. La
velocidad es la pendiente del grfico de x versus t, como se muestra
en la figura.
Solucin Despreciando el tiempo empleado por la luz en su
recorrido, la distancia a que se encuentra el enemigo es: S = 340 x
3 = 1020 m El sonido emplea para ir y volver a la costa, desde
nuestra posicin, un tiempo que es: t = 11 - 3 = 8 s 2S= 340 x 8 S =
1360 m Ejemplo 7. La posicin de una partcula en coordenadas
cartesianas est dada por la ecuacin
r
r (t ) = x(t )i + y (t ) + z (t )k j
donde 5
Movimiento rectilneo
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x(t ) = 5 + 6t 2 , y (t ) = 3t , z (t ) = 6t en segundos, x, y,
z en metros. a) Determinar el desplazamiento entre t = 0 y t = 1 s.
b) Determinar la velocidad media c) Determinar la velocidad y la
rapidez para t = 1 s. Solucin a) para t = 0 s, x = 5m, y = 0m, z =
6m
= (4,80)(10) (0,360)(10) 2 = 12,0 c) el auto est en reposo
cuando v x = 0 .iii) v x (10) Por consiguiente ( 4,80)t (0,360)t
encuentra en reposo es t2
= 0.
El nico tiempo despus de t = 0 en que el auto se
=
4 ,80 m s 2 0 , 360 m s 3
= 13,3 s
r 0 = 5i + 6k
Para t = 1s, x = 11m, y =3m, z = 6m
r 1 = 11i + 3 + 6k j
El desplazamiento es
r = r 1 r 0 = (11 5)i + (3 0) + (6 6 )k j = 6i + 3 jb) la
velocidad media es
r 6i + 3 j vm = = = 6i + 3 j 1 0 tc) la velocidad instantnea
es
d r d 5 + 6t 2 i + et + 6k j v= = = 12ti + 3 j dt dt
[(
)
]
La magnitud de v es
v = 12 2 + 3 2 = 153 = 12,4 m svalor que corresponde a la
rapidez instantnea para t = 1s. Ejemplo 8. Un auto est parado ante
un semforo. Despus viaja en lnea recta y su distancia respecto al
semforo est dada por x(t) = bt2 - ct3 , donde b = 2,40 m/s2 y c =
0,120 m/s3. a) Calcule la velocidad media del auto entre t = 0 y t
= 10,0 s. b) Calcule la velocidad instantnea en i) t = 0; ii) t =
5,0 s; iii) t = 10,0 s. c) Cunto tiempo despus de arrancar vuelve a
estar parado el auto? Solucin: a) En t1 = 0, x1 = 0 , tal que la
ecuacin
stotal ssubida + sbajada = ttotal ttotal 2v1v 2 2s = = 8 km / h
= s s v1 + v 2 + v1 v 2 v t + v2t v1 + v2 b) vm = 1 = 12,5 km/h =
2t 2 2 5 + 20 v 2t + v2t 2v1 + v2 c) vm = 1 = = 3t 3 3a) vm =
Ejemplo 9. Un ciclista marcha por una regin donde hay muchas
subidas y bajadas En las cuestas arriba lleva una rapidez constante
de 5 km/h y en las cuestas abajo 20 km/h. Calcular: a) Cul es su
rapidez media si las subidas y bajadas tienen la misma longitud? b)
Cul es su rapidez media si emplea el mismo tiempo en las subidas
que en las bajadas? c) Cul es su rapidez media si emplea doble
tiempo en las subidas que en las bajadas? Solucin
= 10 km/h (Obsrvese que la rapidez media es la media aritmtica
de las rapideces uniformes nicamente en el caso de que el tiempo
que duran los distintos recorridos sea el mismo). ACELERACIN En el
lenguaje ordinario el trmino aceleracin se refiere slo a
incrementos del mdulo de la velocidad (rapidez), pero en Fsica se
utiliza con un sentido ms amplio para designar un cambio del vector
velocidad. En Fsica se dice que un cuerpo est siendo acelerado no
slo cuando aumenta su velocidad sino tambin cuando disminuye o
cambia de direccin. Se llama aceleracin al cambio de la velocidad
(vector velocidad) en el tiempo. Aceleracin Media.
vm =
(2,4)(10) (0,120)(10) x vm = 2 = t2 (10)2
x 2 x1 x = t 2 t1 t
3
= 12,0 m/s
b) de la ecuacin v x = lim
x dx = , la velocidad t 0 t dt
instantnea en funcin del tiempo es
v x = 2bt 3ct 2 = (4,80)t (0,360)t 2tal que i) v x (0) ii) v x
(5)
= 0, = (4,80 )(5) (0,360)(5) 2 = 15,0 y6
Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn Cuando la velocidad y la aceleracin ambas
tienen el mismo signo, el objeto aumenta su velocidad. Cuando la
velocidad y la aceleracin tienen signos opuestos, el objeto
disminuye su velocidad. Los grficos de la figura siguiente ilustran
el desplazamiento, la velocidad, y la aceleracin para un objeto en
movimiento.
La razn en la cual la velocidad cambia se mide por la
aceleracin. As si un objeto tiene la velocidad
v 1 en el t1 del tiempo y velocidad v 2 en el t 2 , suaceleracin
media es
v 2 v 1 v v am = i = = t 2 t1 t t
Supongamos que una partcula que se mueve en la trayectoria C de
la figura anterior en el instante t1 est en P1 con una velocidad v1
y en el instante
t 2 = t1 + t est en P2 con una velocidad v 2 . Pordefinicin el
vector aceleracin media de la partcula entre los instantes es t1 y
t 2 es
Ejemplo 10. Una partcula se mueve a lo largo de una lnea
curva
v 2 v1 v am = = t2 t1 t
r (t ) = t 2 + t i + (2t 1) + t 3 2t 2 k j
(
)
(
)
Las dimensiones de la aceleracin son a = LT La unidad de la
aceleracin en el sistema SI est en metros / segundo por
segundo:
[]
2
ms m = 2 s sAceleracin Instantnea o simplemente aceleracin.
Cuando t 2 t1 o t 0 llegaremos al valor de la aceleracin en el
instante t1 . Este proceso para el lmite se expresa matemticamente
como
Encontrar: a) La velocidad para t = 1s y para t = 3s . b) La
aceleracin media entre t = 1s y t = 3s . c) La aceleracin y su
magnitud para t = 1s . Solucin a) Las ecuaciones paramtricas son:
Las componentes de la velocidad son:
x(t ) = t 2 + 1 , y (t ) = 2t 1 , z (t ) = t 3 2t 2
dx dy = 2t + 1 , v y = = 2. dt dt dz vz = = 3t 2 + 4t dt vx =La
velocidad es:
a (t1 )
v d v v 2 v1 = lim = lim = t 2 t1 t t t 0 t dt 2 1
v (t ) = (2t + 1)i + 2 + 3t 2 4t k j
(
)
Para t = 1s : v (1) Para t = 3s . v (3 )
= 3i + 2 k j
Como v =
dr , tenemos: dt d v d d r d2 r = a= = dt dt dt dt 2
= 7i + 2 + 15k j b) La aceleracin media entre t = 1s y t = 3s .
v v (3) v (1) am = = = t 3 1 (7 3)i + (2 2) + (15 + 1)k j 2
Es mejor evitar el uso de la palabra comn desaceleracin.
Describa la aceleracin simplemente como positiva o negativa.
Observe que la aceleracin negativa no significa necesariamente
bajar la velocidad. 7
a m = 2i + 8k
c) la aceleracin instantnea es
Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn Para que un movimiento sea rectilneo uniforme
su velocidad debe ser constante, es decir, que la aceleracin sea
siempre igual a cero. Estudio del Movimiento Como el movimiento es
uniforme v m = v , y considerando que su trayectoria est en el eje
x
a (t )
4 )k para t = 1s
= 2i + (6t
dv d (2t + 1)i + 2 + 3t 2 4t k = = j dt dt
[
(
)]
a (1) = 2i + 2k
la magnitud de la aceleracin es
a(1) = 2 2 + 2 2 = 2 2 m s 2Ejemplo 11. Una persona que se asoma
por la ventana de un edificio alto de oficinas observa lo que
sospecha es un ovni. La persona registra la posicin del objeto en
funcin del tiempo y determina que est dada por
r = x i = x x 0 i v = vi = t t0 t t x x x0 v= = = tan t t0 t
Diagrama velocidad-tiempo
[
r (t ) = (5,0m / s )ti + (10,0m / s )t + j 2 2 (7,0m / s )t 3,0m
/ s t k
(
) ]
a) Obtenga los vectores de: desplazamiento, velocidad y
aceleracin del objeto en t = 5,0 s. b) Hay algn tiempo en que la
velocidad del objeto sea cero? c) La aceleracin del objeto es
constante o cambia con el tiempo? Solucin: a) El vector
desplazamiento es:
El grfico velocidad-tiempo del movimiento uniforme es una recta
paralela al eje del tiempo. De v
r r(t ) = (5,0 )ti + (10,0)t + (7,0 )t (3,0 )t 2 k jr d r (t ) =
(5.0 )i + (10,0 ) + [7,0 2(3,0 )t ]k j dt
[
]
El vector velocidad es la derivada del vector
desplazamiento:
x x0 x = x 0 + v(t t 0 ) t t0 Si el instante inicial t 0 = 0 ,
tenemos x = x0 + vt
=
Diagrama espacio-tiempo
y el vector aceleracin es la derivada del vector velocidad:
r d 2 r (t ) = 6,0k dt 2
en t = 5,0 s:
r r (t ) = (5,0)(5,0 )i + (10,0 )(5,0 ) j + ((7,0 )(5,0 ) (3,0
)(25,0) ) k = (25,0)i + (50,0 ) (40,0 )k j = (5,0)i + (10,0) (23,0
)k j r d 2 r (t ) = 6,0k dt 2r dr (t ) = ( 5,0 )i + (10,0 ) + [(7,0
) (6,0 )(5,0 )]k j dt
El grfico indica las posiciones instantneas del mvil en cada
instante
MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO. Para que un
movimiento sea rectilneo uniformemente variado su aceleracin debe
ser constante y diferente de cero. Estudio del Movimiento
b) la velocidad en ambas direcciones x e y es constante y
diferente de cero, luego la velocidad nunca puede ser cero c) La
aceleracin del objeto es constante, ya que t no aparece en el
vector aceleracin. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME.
Como la aceleracin es constante, a m
a=
dv v = = constante dt t
=a
v = v i a = ai = t t
8
Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn
v v v0 = t t t 0 v v 0 = a(t t 0 ) a=Si el tiempo inicial t
0
=0
v = v0 + atDiagrama velocidad-tiempo
Ejemplo 12. Demostrar que el rea encerrada bajo la curva de la
velocidad del diagrama velocidad-tiempo es igual al mdulo del
desplazamiento x = x x 0 .
a=
v v v 0 = = tan t t t 0
La velocidad media:
Si la posicin en t 0 es r 0 = x 0 i y la posicin en tes r
= xi , la velocidad media en este intervalo es x x x0 vm = = t t
t0
Solucin. El rea encerrada es igual al rea de un trapecio cuyas
bases son b1 = v y b2 = v 0 con altura h
= (t t 0 ) .
x x0 = vm (t t0 ) y x = x0 + vm (t t0 )Por otra parte como la
velocidad es una funcin lineal, la velocidad media v m es
La posicin. De lo anterior:
v + v0 2 y como v = v 0 + a(t t 0 ) vm =resulta
h 2 (v + v0 ) (t t 0 ) = 2 1 = v 0 (t t 0 ) + (v v 0 )(t t 0 ) 2
(v v0 ) Pero como a = tan = (t t 0 ) (v v0 ) = a(t t 0 )Luego
Area del trapecio =
(b1 + b2 )
vm =
v 0 + [v 0 + a (t t 0 )] a(t t 0 ) = v0 + 2 2
Area del trapecio = v0 (t t 0 ) +
1 2 a(t t 0 ) 2
finalmente
a(t t 0 ) (t t 0 ) x = x 0 + v 0 + 2 1 2 x = x 0 + v0 (t t 0 ) +
a(t t 0 ) 2
Valor que precisamente corresponde al desplazamiento x = x x 0 .
LA ECUACIN DE TORRICELLI. Podemos obtener una relacin muy til
eliminando el tiempo como variable en la ecuacin
Si el tiempo inicial t 0
=0
x = x 0 + v0 (t t 0 ) +Como a =
x = x0 + v0 t +
1 2 at 2
(v v0 ) (v v0 ) (t t 0 ) = (t t 0 ) a
1 2 a(t t 0 ) 2
Diagrama espacio -tiempo 9
Sustituyendo
Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn
x = x0 + v0
(v v0 )a
De donde se puede despejar:2 v 2 = v 0 + 2a( x x 0 )
1 (v v0 ) + a 2 a2
2
Los diagramas aceleracin-tiempo, velocidadtiempo y
espacio-tiempo correspondientes son los siguientes:
Conocida como la ecuacin de Torricheli. Descripcin del
movimiento de una partcula con aceleracin constante. Consideramos
una aceleracin constante a > 0 en el sentido positivo de la
trayectoria. 1er Caso: la partcula tiene una velocidad inicial
v0
a 0 = constante
0.v = v 0 + at
La partcula se desplaza de P 0 al infinito con un sentido
constante y aumentando su velocidad.
Los diagramas aceleracin-tiempo, velocidadtiempo y
espacio-tiempo correspondientes son los siguientes:
x = x0 + v0 t + a 0 = constante
1 a0 t 2 2
v = v 0 + at
x = x0 + v0 t +
1 a0 t 2 2
Ejemplo 13. Una tortuga camina en lnea recta sobre lo que
llamaremos eje x con la direccin positiva hacia la derecha. La
ecuacin de la posicin de la tortuga en funcin del tiempo es x(t) =
50,0 cm + (2,00 cm/s)t - (0,0625 cm/s2)t2 . a) Determine la
velocidad inicial, posicin inicial y aceleracin inicial de la
tortuga. b) En qu instante t la tortuga tiene velocidad cero? c)
Cunto tiempo despus de ponerse en marcha regresa la tortuga al
punto de partida? d) En qu instantes t la tortuga est a una
distancia de 10,0 m de su punto de partida? Que velocidad (magnitud
y direccin) tiene la tortuga en cada uno de esos instantes? e)
Dibuje las grficas: x-t, vx-t y ax-t para el intervalo de t = 0 a t
= 40,0 s. Solucin:
2do. Caso: La partcula tiene una velocidad inicial v 0
< 0.
La partcula se desplaza de P 0 en sentido negativo con
movimiento retardado (desacelerado) hasta detenerse en P 1 y cambia
de sentido. A partir de ese instante la velocidad aumenta
constantemente (acelerado) y se desplaza al infinito con un sentido
constante.
dx = 2,00 cm s (0,125 cm s 2 )t dt dv ax = x = 0,125 cm s 2 dt
a) En t = 0, x = 50,0 cm, v x = 2,00 cm s , vx = a x = 0,125 cm s 2
.b) Hagamos vx = 0 y resolvamos para t: t = 16,0 s c) Hagamos x =
50,0 cm y resolvamos para t. Esto da: t = 0 y t = 32,0 s .
10
Movimiento rectilneo La tortuga regresa al punto de partida
despus de 32,0 s. d) La tortuga est a 10,0 cm del punto de partida
cuando x = 60,0 cm o x = 40,0 cm. Hagamos x = 60,0 cm y resolvamos
para t: t = 6,20 s y t = 25,8 s En t = 6,20 s, vx = + 1,23 cm/s. En
t = 25,8 s, vx = - 1,23 cm/s. Hagamos x = 40,0 cm y resolvamos para
t :
Hugo Medina Guzmn
b) v B
= 2aAB2 vB 400 = = 20cm 2a 20
AB =c)
v B = at 20 =2 s t= 20 = 10t 10d) Ser la suma de los tiempos
parciales: t = 2 + 3 +1 = 6 s MOVIMIENTO VERTICAL CON ACELERACIN DE
LA GRAVEDAD. La variacin de la magnitud de la aceleracin g debido a
la gravedad en la superficie de la tierra con la latitud est dada
por la frmula internacional de la gravedad adoptada en 1930 por el
Congreso Geofsico Internacional:
t = 36,4 s(la otra raz de la ecuacin cuadrtica es negativa y por
lo tanto sin significado fsico). En t = 36,4 s, vx = - 2,55 cm/s.
e)
g = 978,049000 (1 + 0,0052884 sen 2 - 0,0000059 sen 2 )2
g en cm/s ,
2
en grados
Ejemplo 14. Un mvil parte del reposo y de un punto A, con
movimiento rectilneo y uniformemente acelerado (a =10 cm/s2); tarda
en recorrer una distancia BC = 105 cm un tiempo de 3 s, y,
finalmente, llega al punto D (CD = 55 cm). Calcular: a) La
velocidad del mvil en los puntos B, C y D. b) La distancia AB. c)
El tiempo invertido en el recorrido AB y en el CD. d) El tiempo
total en el recorrido AD.
Donde es la latitud de la tierra medida en el ecuador Para = 0
(ecuador), g 0 = 978,0490 Para
= 90 (polos), g 90 = 983,2213
La variacin de la aceleracin gravitacional con la altura sobre
el nivel del mar es aproximadamente
g = g 0,000002860hh en metros y g en m/s Donde h2
40 000 m
Cerca de la superficie de la tierra la magnitud de la aceleracin
debido a la gravedad vara muy poco con la altura y en los clculos
tcnicos ordinarios se toma g = 9,81 m/s2 (dirigido verticalmente
hacia abajo). Un cuerpo que se deja caer est sometido a la
aceleracin de la gravedad y su movimiento corresponde a un
movimiento rectilneo uniformemente variado en el eje vertical
perpendicular a la tierra,
Solucin a)
1 2 at 2 vB =20 cm/s 1 2 105 = v B 3 + 10 3 2 vC = v B + at = 20
+ 30 = 50 cm/sBC = v B t +
y = y 0 + v0 t + v = v 0 + at a = ga) Cada libre
1 2 at 2
1 CD = vC t + at 2 2 1 2 55 = 50t + 10t 2 t2 +10t -11 = 0 t = 1
s v D = vC + at = 50 + 10 = 60 cm/s11
Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn
2v 1 h = h + v0 t + gt 2 t P = 0 y por 2 g supuesto t P = 0 ,
que corresponde al tiempo inicial. Observamos que t P = 2t mLa
velocidad es Si se deja caer un cuerpo desde una altura h sobre el
nivel del piso y consideramos despreciable la resistencia del aire.
En este caso y 0 = h , v 0 = 0 , luego:
y =hv = gt a = g
1 2 gt 2
2v v P = v0 g 0 = v0 2v0 = v0 g Finalmente toca piso cuando y =
0 2v 1 2h h + v 0 t gt 2 = 0 t 2 0 t =0 g 2 gcuya solucin es2 v 0 +
2h v0 t= g g
El cuerpo toca tierra cuando y = 0
toca el piso al tiempo
1 2 Luego h gt = 0 t = 2y la velocidad es v =
2h g
2 gh
2 v 0 + 2h v0 + t= g g
con una velocidad2 v = v0 + 2 gh
b) Lanzamiento hacia arriba Si el mismo cuerpo desde la misma
altura h se lanza hacia arriba con velocidad v 0 , se mueve con un
movimiento rectilneo uniformemente retardado (desacelerado).
c) Lanzamiento hacia abajo Si el mismo cuerpo desde la misma
altura h se lanza hacia abajo con una velocidad v 0 , el cuerpo se
mueve en un movimiento rectilneo uniformemente acelerado.
1 y = h + v 0 t + gt 2 2 v = v0 gt a = gEl cuerpo sube hasta que
alcanza la altura mxima y m . Esta corresponde a cuando la
velocidad disminuye a cero.
y = h v0 t v = v0 gt a = g
1 2 gt 2
El cuerpo alcanza el piso cuando
v0 gt = 0 t m =De aqu
v0 g 1 v + + g 0 2 g 2
y = 0. 2v 1 2h h v0 t gt 2 = 0 t 2 + 0 t =0 g 2 g
v y m = h + v0 0 g =
cuya solucin es2 v 0 + 2h v0 t= g g
h+
2 v0 2
toca el piso al tiempo
Cuando el cuerpo pasa por el punto de lanzamiento
y=h
t=
v 2 + 2h v0 + 0 g g
con una velocidad 12
Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn y2 = h - 30(t - 2) - 5(t - 2)2 = 0 De aqu t =
4 s; h = 80m Ejemplo 19. Desde el piso, se lanza hacia arriba una
pelota con una rapidez de 40 m/s. Calcule: a) El tiempo
transcurrido entre los dos instantes en que su velocidad tiene una
magnitud de 2,5 m/s. b) La distancia respecto al piso que se
encuentra la pelota en ese instante. Solucin:
2 v = v0 + 2 gh
Ejemplo 15. Desde lo alto de un edificio, se lanza verticalmente
hacia arriba una pelota con una rapidez de 12,5 m/s. La pelota
llega a tierra 4,25 s, despus. Determine: a) La altura que alcanz
la pelota respecto del edificio. b) La rapidez de la pelota al
llegar al suelo. Solucin: La altura en funcin del tiempo ser
Con g = 10m/s2, v0 = 12,5 m/s y = h + 12,5t - 5t2 a) Al tiempo t
= 4,25 s, y = 0, luego: h + 12,5(4,25) - 5(4,25)2 = 0, h = 37,19 m
b) vy = 12,5 - 10t = 12,5 - 10(4,25) = -30,0 m/s Ejemplo 16. Se
deja caer un cuerpo desde una altura de y0 = 33 m, y simultneamente
se lanza hacia abajo otro cuerpo con una rapidez inicial de 1 m/s.
Encontrar el instante en que la distancia entre ellos es de 18 m.
Solucin. y1 = 33 - 5t2 y2 = 33 - t - 5t2 y1 - y2 = t Entonces la
distancia entre ellos es 18m a los 18 s Ejemplo 17. Un cuerpo que
cae, recorre en el ltimo segundo 68,3 m. Encontrar La altura desde
donde cae. Solucin. Suponiendo que se solt del reposo y = h - 5t2
El tiempo en que llega al suelo es
1 y = h + v0 t gt 2 2
1 2 gt (1) 2 v y = v0 gt ( 2) y = v0t a) De la ecuacin (2):
v y = v0 gt1 = 2,5 v y = v0 gt 2 = 2,5
Restando obtenemos:
t = t2 t1 =
5 = 0,5s g
b) De la ecuacin (2):
v y = v0 gt1 = 2,5
40 gt1 = 2,5 37,5 t1 = = 3,83 s. 9,8Con t1 en (1):
h = 40(3,83)
1 2 g (3,83) = 81,41 m. 2
Con t2 se obtiene la misma altura, porque es cuando la pelota
est de bajada. Ejemplo 20. Una roca cae libremente recorriendo la
segunda mitad de la distancia de cada en 3(s). Encuentre a) la
altura desde la cual se solt. b) El tiempo total de cada.
Solucin:
t=
h 5
La distancia recorrida en el ltimo segundo ser
h h y 1 y 5 = 5
y =h2
h h 5 5 1 = 68,2 5 5 h = 268,6 mEjemplo 18. Desde lo alto de un
acantilado, se deja caer una piedra, desde la misma altura se lanza
una segunda piedra 2 s ms tarde con una rapidez de 30 m/s. Si ambas
golpean el piso simultneamente. Encuentre: La altura del
acantilado. Solucin. y1 = h - 5t2 y2 = h - 30(t - 2) - 5(t - 2)2
Siendo al mismo tiempo y1 = h - 5t2 = 0 13
2
1 2 gt 2 t1 = h y el g
El tiempo en que alcanza h/2 es tiempo en que h = 0 es
t2 =
2h g
a) por lo tanto el tiempo empleado en la segunda parte de
recorrido es
2h gb)
h = 3 h = 524,6 m g 2h 524,6 = = 10,2 s g 5
t=
Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn
Ejemplo 21. Se deja caer una piedra desde un globo que asciende
con una velocidad de 3 m/s; si llega al suelo a los 3 s, calcular:
a) Altura a que se encontraba el globo cuando se solt la piedra. b)
Distancia globo-piedra a los 2 s del lanzamiento.
Solucin. Primer mtodo: En el instante en que empieza a caer el
cuerpo el ascensor lleva una velocidad vertical hacia arriba v. El
espacio vertical y hacia abajo que debe recorrer la lmpara es:
Solucin. Tomaremos el origen de coordenadas en el punto en que se
suelta la piedra. Magnitudes positivas son las que tienen direcci6n
hacia arriba. a)
v0 = 3m / s 1 g 10m / s 2 h = v0 t + gt 2 2 t = 3s 1 2 h = 3 3 +
10 3 2= -36 m b) t = 2 s. h1: distancia al origen del globo en t'.
h2: distancia al origen de la piedra en t'.h1 = v 0 t ' = 3 2 = 6m
1 2 1 h2 = v 0 t '+ gt ' = 3 2 10 40 14m 2 2
(h = altura del ascensor) y (vt + at2/2) ascenso del suelo de
ste. La lmpara al desprenderse lleva una velocidad inicial hacia
arriba v. Aplicando la ecuacin:
1 h vt + at 2 2
s = vt +
1 2 at 2
Siendo positivas las magnitudes hacia arriba y negativas las
descendentes, tendremos:
h + vt + t=
1 2 1 at = vt gt 2 2 2 2h 23 = 0,74 s = g+a 9,8 + 1
Segundo mtodo: La aceleracin de la lmpara respecto al ascensor,
considerando magnitudes positivas hacia abajo, es: aBA = aB - aA =
9,8 (-1) = 10, 8 m/s2
d = 6 + 14= 20 m
Ejemplo 22. La cabina de un ascensor de altura 3 m asciende con
una aceleracin de 1 m/s2. Cuando el ascensor se encuentra a una
cierta altura del suelo, se desprende la lmpara del techo. Calcular
el tiempo que tarda la lmpara en chocar con el suelo del
ascensor.
1 a BA t 2 2 2h 23 t= = = 0,74 s a BA 10,8 h=Ejemplo 23. Una
bola es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20
m/s de la parte alta de una torre que tiene una altura de 50 m. En
su vuelta pasa rozando la torre y finalmente toca la tierra. a) Qu
tiempo t1 transcurre a partir del instante en que la bola fue
lanzada hasta que pasa por el borde de la torre? Qu velocidad v1
tiene en este tiempo? b) Qu tiempo total t 2 se requiere para que
la bola llegue al piso? Cul es la velocidad v 2 , con la que toca
el piso? 14
Movimiento rectilneo c) Cul es la mxima altura sobre el suelo
alcanzada por la bola? d) Los puntos P1 y P2 estn a 15 y 30 m,
respectivamente, por debajo del techo de la torre. Qu tiempo se
requiere para que la bola viaje de P1 a P2? e) Se desea que despus
de pasar el borde, la bola alcance la tierra en 3s, con qu
velocidad se debe lanzar hacia arriba de la azotea?
Hugo Medina Guzmn Ejemplo 24. Una maceta con flores cae del
borde de una ventana y pasa frente a la ventana de abajo. Se puede
despreciar la resistencia del aire. La maceta tarda 0,420 s en
pasar por esta ventana, cuya altura es de 1,90 m. A qu distancia
debajo del punto desde el cual cay la maceta est el borde superior
de la ventana de abajo? Solucin. Si la velocidad de la maceta en la
parte superior de la ventana es v 0 , podemos encontrarla en funcin
de la altura h de la ventana y el tiempo que tarda en pasarla::
1 2 2h gt 2 gt v 0 = 2 2t 2 2(1,90 ) (9,8)(0,42) m Luego: v 0 =
= 2,47 2(0,42) s La distancia y desde la azotea al borde superior
de h = v0 t +la ventana es: Solucin. a) Para el sistema de
coordenadas mostrado en la figura, y = v 0 t +
y=
1 2 at . 2
2 v0 2,47 2 = = 0,311 m 2 g 2(9,8)
Pero en el borde del techo y = 0, luego
0 = v0 t1 +
1 2 at1 , 2
Otra forma de encontrar la distancia es: como t = 0,420 s es la
diferencia entre los tiempos tomados en caer la las alturas ( y + h
) e y , tenemos
De la cual t1 = 0, indica el instante en el cual la bola es
lanzada, y tambin t1 = 4,08 s, la cual es el tiempo en que la bola
retorna al borde. Luego, de v = v 0 + at
t=
2( y + h) g
2y g
v1 = 20 + ( 9,8)(4,08) = 20m / s , que es el
gt 2 + y= 2
y+h
negativo de la velocidad inicial.
Elevando al cuadrado
1 2 b) 50 = 20t2 + ( 9,8)t2 t 2 = 5,8s 2 v 2 = 20 + ( 9,8)(5,8)
= 37 m / s c) Mxima altura sobre tierra: h = y max + 50 .De v 0 +
2ay max = 0 , 2 2
gt 2 + 2 gyt 2 + y = y + h 2 gt 2 + 2 gyt 2 = h 2 Resolviendo
para y :1 2h gt 2 y= 2 g 2t Con los datos2 1 2(1,9) (9,8)(0,42) y=
= 0,311 m 2(9,8) 2(0,42) 2
y max =
(20) = 20,4m 2(9,8)
2
Luego, h = 70,4 m. d) Si t1 y t2 son los tiempos para alcanzar
P1 y P2, respectivamente,2 15 = 20t1 4,9t12 y 30 = 20t 2 4,9t 2
Resolviendo, t1 = 4,723 s, t2 = 5,248 s, y el tiempo de P1 a P2
es (t2 - tl) = 0,525 s. e) Si v0 es la velocidad inicial deseada,
entonces v0 es la velocidad cuando pasa el borde. Luego aplicando y
= v 0 t +
1 2 at al viaje hacia abajo de 2
la torre, encontramos: -50 = (- v0)(3) 4,9(3)2, v0 = 1,96
m/s.
Ejemplo 25. Malabarismo. Un malabarista acta en un recinto cuyo
cielorraso est 3,0 m arriba del nivel de las manos. Lanza una
pelota hacia arriba de modo que apenas llega al techo. a) Qu
velocidad inicial tiene la pelota? b) Cunto tiempo tarda la pelota
en llegar al techo? En el instante en que la primera pelota est en
el cielorraso, el malabarista lanza una segunda pelota hacia arriba
con dos terceras parte de la velocidad inicial de la primera.
15
Movimiento rectilneo c) Cunto tiempo despus de lanzada la
segunda pelota se cruzan las dos pelotas en el aire? d) A qu altura
sobre la mano del malabarista se cruzan las dos pelotas Solucin. a)
Tomemos el sentido positivo hacia arriba. Tenemos que v y = v 0 y 2
g ( y y 0 )2 2 2
Hugo Medina Guzmn
Luego: 0 = v 0 y 2(9,8)(3) v 0 y = 7,7 m s . b) Tambin tenemos:
v y = v0 y gt = 0 = 7,7 9,8t
En el cielorraso, v y = 0 , y y 0 = 3,0 m .
t = 0,78 s . c) Tomemos el sentido positivo hacia abajo. La
primera bola viaja hacia abajo una distancia d en el tiempo t .
Como comienza desde su mxima altura, v0 y = 0.d = v0 y t + 1 gt 2 d
= (4,9 m s 2 )t 2 2La segunda bola tiene
Ejemplo 27. En el salto vertical, un atleta se agazapa y salta
hacia arriba tratando de alcanzar la mayor altura posible. Ni los
campeones pasan mucho ms de 1,00 s en el aire (tiempo de
suspensin). Trate al atleta como partcula y sea y mx su altura
mxima sobre el suelo. Para explicar por qu parece estar suspendido
en el aire, calcule la razn del tiempo que est sobre y mx / 2 al
tiempo que tarda en llegar del suelo a esa altura. Desprecie la
resistencia del aire. Solucin. El tiempo al caer para alcanzar y mx
es:
v' 0 y = 1 (7,7 m s) = 5,1 m s . 3 En el tiempo t habr viajado
hacia arriba (3,0 m d ) y estar en el mismo lugar que la 2 primera
bola. (3 d ) = v' 0 y t 1 gt 2
(3 d ) = 5,1t 4,9t 2
Tenemos dos ecuaciones con dos incgnitas. Resolvindolas
obtenemos: t = 0,59 s y d = 1,7 m. d) 3,0 m d = 1,3 m Ejemplo 26.
Una manzana cae libremente de un rbol, estando originalmente en
reposo a una altura H sobre un csped crecido cuyas hojas miden h.
Cuando la manzana llega al csped, se frena con razn constante de
modo que su rapidez es 0 al llegar al suelo, a) Obtenga la rapidez
de la manzana justo antes de tocar el csped. b) Obtenga la
aceleracin de la manzana ya dentro del csped. c) Dibuje las
grficas: v-t y a-t para el movimiento de la manzana. Solucin. a) La
rapidez de un objeto que cae una distancia H en cada libre una
distancia H h es:
t1 =
2 y mx =1 s . g 2 y mx / 2 = g
El tiempo al caer para alcanzar y mx / 2 es:
y mx t 1 = 1 = s. g 2 2 1 El tiempo debajo de y mx / 2 es 1 , de
tal 2 t2 =manera que la razn entre el tiempo que est sobre la mitad
de la altura mxima y el tiempo que est por debajo de la altura
mxima es.
1/ 2 1 1/ 2
=
1 2 1
= 2,4.
Esto explica porque el atleta parece estar suspendido en el
aire. Ejemplo 28. Un excursionista despierto ve caer un peasco
desde un risco lejano y observa que tarda 1,30 s en caer el ltimo
tercio de la distancia. Puede despreciarse la resistencia del aire.
a) Qu altura (en m) tiene el risco? b) Si en (a) obtiene dos
soluciones de una ecuacin cuadrtica y usa una para su respuesta, qu
representa la otra? Solucin. a) Sea h la altura y toma un tiempo t
en caer:
v = 2 g ( H h).b) La aceleracin para llevar a un objeto desde la
rapidez v al reposo sobre una distancia h es:
2 g ( H h) v2 H a= = = g 1. 2h 2h h c)
h = 1 gt 2 216
Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn
Si tarda 1,30 s en caer el ltimo tercio h :2 3
h = 1 g (t 1,3) 2 2 gt 2 = 1 g (t 1,3) 2 2t = 7,08s t = 3,9 3,18
1 t 2 = 0,73s
Eliminando h de estas dos ecuaciones obtenemos:
t 7,8t + 5,07 = 0Resolviendo
1 3 2
Ejemplo 30. Una piedra que cae libremente pasa a las 10 horas
frente a un observador situado a 300 m sobre el suelo, y a las 10
horas 2 segundos frente a un observador situado a 200 m sobre el
suelo. Se pide calcular: a) La altura desde la que cae. b) En qu
momento llegar al suelo. c) La velocidad con que llegar al
suelo.
La primera es la solucin correcta porque es mayor que 1,30
s,
h=
1 2
(9,8)(7,08)2 = 245,6 m
b) Con la segunda solucin para t encontramos h = 2,6 m. Esto
correspondera a un objeto que estaba inicialmente cerca del fondo
de este "acantilado" que era lanzado hacia arriba y tomando 1,30 s
la subida a la cima y la cada al fondo. Aunque fsicamente es
posible, las condiciones del problema imposibilitan esta respuesta.
Ejemplo 29. Desde la cornisa de un edificio de 60 m de alto se
lanza verticalmente hacia abajo un proyectil con una velocidad de
10 m/s. Calcular: a) Velocidad con que llega al suelo. b) Tiempo
que tarda en llegar al suelo. c) Velocidad cuando se encuentra en
la mitad de su recorrido. d) Tiempo que tarda en alcanzar la
velocidad del apartado c).
Solucin:
h1 = 300m h2 = 200m h3 = 100m
t1 = 2 s g 10m/s 2
a)
v2 = v1 + gt1 v2 = v1 + 10 2 1 2 1 gt1 100 = 2v1 + 10 4 2 2 2 2
v v h4 = 2 h4 = 2 2g 2 10 H = h2 + h4 h3 = v1t1 +
Solucin Tomamos corno origen de coordenadas el punto de
lanzamiento y como sentido positivo el del eje vertical
descendente. Las ecuaciones de este movimiento sern:
v1 = 40m/s De aqu se obtiene v2 = 60m/s , h = 180m 4 Finalmente
H = 200 + 180 = 380 mb) Llamando t2 al tiempo que tarda en recorrer
hl:
v = v 0 + gt s = v0 t +
1 2 gt g 10m/s 2 2
v0 = 10 m/s
h1 = v1t 2 +
1 2 gt 2 2
a) y b) h = 60 m
v = 10 + 10t t = 2,6 s 1 2 60 = 10t + 10t v = 36m/s 2
1 2 300 = 40t 2 + 10t 2 2 t 2 = 5sLuego llega al suelo a las 10
horas 5 segundos c)
c) y d) h = 30 m
v' = 10 + 10t ' t ' = 1,65 s 1 2 v' = 26,5m/s 30 = 10t '+ 10t '
217
v = 2 gH == 87 m/s
2 10 380
Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn El desplazamiento total para el intervalo (t t
0 ) es la suma de todas las reas de todos los rectngulos de tal
modo que:
PROBLEMA INVERSO - CLCULO INTEGRAL Conociendo la ley del
movimiento x = x (t ) es
posible sin mayores dificultades calcular v(t ) y
a (t ) tal como fue mostrado
x = v m (t i )ti
x(t ) v(t ) =
dx(t ) dv(t ) d 2 x(t ) a(t ) = = dt dt dt 2
La regla para los tiempos es que t i +1 = t i + t . La distancia
que obtenemos con este mtodo no ser la correcta porque la velocidad
cambia durante el tiempo del intervalo t . Si tomamos los
intervalos muy pequeos la suma tiene mayor precisin. As es que los
hacemos tan pequeos a fin de tener una buena aproximacin.
Obtendremos la distancia real en el lmite:
Como hemos visto, el clculo diferencial proporciona la
herramienta para determinar la velocidad y aceleracin en cualquier
instante del tiempo. En esta seccin veremos cmo el clculo integral,
que es el inverso del clculo diferencial, puede utilizarse para
deducir las frmulas que ya hemos visto. Por ejemplo, hallar la
posicin de una partcula en un instante cualquiera, dado su
velocidad inicial y su aceleracin conocida. Ya hemos demostramos
que el rea encerrada bajo la curva de la velocidad del diagrama
velocidadtiempo es igual al desplazamiento.
x = lim v(t i )tt 0
i
Obsrvese que hemos reemplazado la velocidad promedio v m por la
velocidad instantnea v , porque en el lmite esta aproximacin es
vlida. Los matemticos han inventado un smbolo para este lmite,
anlogo al smbolo para la diferencial. El smbolo se convierte en d ,
v(t i ) se llama v(t ) y el smbolo sumatoria se escribe como una "s
grande la cual se conoce el signo integral Luego escribimos
Area del trapecio = v0 (t t 0 ) + x x 0 = v0 (t t 0 ) + 1 2 a(t
t 0 ) 2
1 2 a(t t 0 ) 2
En el caso de un movimiento con velocidad constante el
desplazamiento entre los tiempos t y
x = v(t )dtt t0
t 0 es x x 0 = v0 (t t 0 ) o x = v 0 (t t 0 )Para un movimiento
cualquiera con aceleracin variable el diagrama velocidad-tiempo ser
el mostrado en la figura siguiente
El proceso de integracin es el inverso del proceso de derivacin.
Con un diferencial obtenemos una frmula integral si la invertimos.
Ejemplo 31. Encontrar la velocidad de un mvil a partir de la
aceleracin
a=
dv dv = adt dtv v0
dv = adt = a dtt0 t0
t
t
Integrando obtenemos
v v0 = a(t t0 ) v = v0 + a(t t0 ) dx dx = vdt dt
Para encontrar la posicin
v= Si descomponemos el tiempo total desde t 0 asta t en
segmentos pequeos t , entonces cada tramo vertical que baja desde
la curva de velocidades hasta el eje de absisas tiene un rea
x
x0 x
dx = vdtt0 t
t
x0
dx = [v0 + a(t t0 )]dtt0
Integrando obtenemos
A = v m t Donde v m es la velocidad media del intervalo. Estarea
corresponde al desplazamiento en ese intervalo que como se puede
observar el rea faltante se complementa con el excedente del otro
lado.
1 2 x x0 = v0 (t t0 ) + a(t t0 ) 2 1 2 x = x0 + v0 (t t0 ) + a(t
t0 ) 2Tambin se puede encontrar la ecuacin del movimiento
expresando la integral de la siguiente manera: 18
Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn
v = adt + C1 , x = vdt + C2Los valores de C1 y C2 dependen de
las condiciones iniciales del movimiento. Pequea Tabla de
Integrales
dx = xx n +1 x dx = n + 1(n 1) dx x = lnx e ax e ax dx = a
cos(ax ) sen(ax ) = a (u + v )dx = udx + vdxn
1 2 at at 0 t + C 2 2 Como para t = t 0 se tiene x = x 0 ,
tenemos 1 2 2 x0 = v0 t 0 + at 0 at 0 + C 2 2 1 2 C 2 = x0 v0 t 0 +
at 0 2 Reemplazando el valor de C 2 obtenemos 1 1 2 x = v0 t + at 2
at 0 t + x0 v0 t 0 + at 0 2 2 1 2 x = x0 + v0 (t t0 ) + a(t t0 )
2
x = v0 t +
Ejemplo 33. La aceleracin de una motocicleta est dada por a (t )
= 1,5t 0,12t , con t en s m/s3. La moto est en reposo en el origen
en t = 0. a) Obtenga su posicin y velocidad en funcin de t. b)
Calcule la velocidad mxima que alcanza. Solucin. a) Para encontrar
v(t ) .2
Ejemplo 32. Encontrar las ecuaciones del movimiento para una
partcula que se mueve con
aceleracin constante inicial
a = ai y que para el tiempo
dv dv = adt = (1,5t 0,12t 2 )dt dt Integrando con v0 = 0 y t 0 =
0 : a=Para encontrar x(t ) .
t 0 se encontraba en r 0 = x 0 i y tena una
v = 1,5t 0,12t 2 dt = 0,75t 2 0,40t 30
t
(
)
velocidad inicial v 0 = v 0 i .Solucin. El movimiento es en el
eje x . La aceleracin es
a=
dv dt
dx = 0,75t 2 0,40t 3 dt dx = (0,75t 2 0,40t 3 )dt Integrando con
x0 = 0 y t 0 = 0 : v=x = 0,75t 2 0,40t 3 dt = 0,25t 3 0,10t 40t
La velocidad se puede encontrar en trminos de una integral
como
(
)
t = t 0 se tiene v = v0 , tenemos v0 = at 0 + C1 C1 = v0 at 0
Reemplazando el valor de C1 obtendremos laComo para ecuacin de la
velocidad:
v = adt + C1 v = at + C1
b) Para que la velocidad sea mxima la aceleracin debe ser
cero,
t = 0 a(t ) = 1,5t 0,12t 2 = 0 1,5 t = 0,12 = 12,5s Para t = 0
la velocidad es mnima Para t = 12,5 la velocidad2 3
v = v0 + a(t t 0 ) dx dt
v = 0,75(12,5) 0,40(12,5) = 39,1 m/s
Ahora consideremos la definicin de la velocidad
v=
Tambin se puede escribir en forma integral
x = vdt + C2Reemplazando el valor de v : Integrando:
x = [v0 + a(t t 0 )]dt + C 219
Ejemplo 34. Salto volador de la pulga. Una pelcula tomada a alta
velocidad por M. Rothschild, Y. Schlein. K. Parker, C. Neville y S.
Sternberg (3500 cuadros por segundo, The Flying Leap of the Flea,
en el ScientificAmerican de noviembre de 1973) de una pulga
saltarina de 210 g produjo los datos que se usaron para dibujar la
grfica de la figura. La pulga tena una longitud aproximada de 2 mm
y salt con un ngulo de despegue casi vertical. Use la grfica para
contestar estas preguntas.
Movimiento rectilneo a) La aceleracin de la pulga es cero en
algn momento? Si lo es, cundo? Justifique su respuesta. b) Calcule
la altura mxima que la pulga alcanz en los primeros 2,5 ms. c)
Determine la aceleracin de la pulga a los: 0,5 ms, 1,0 ms y 1,5 ms.
d) Calcule la altura de la pulga a los: 0,5 ms, 1,0 ms y 1,5
ms.
Hugo Medina Guzmn Ejemplo 35. La grfica de la figura describe,
en funcin del tiempo, la aceleracin de una piedra que baja rodando
por una ladera, habiendo partido del reposo. a) Determine el cambio
de velocidad de la piedra entre t = 2,5 s y t = 7,5 s. b) Dibuje
una grfica de la velocidad de la piedra en funcin del tiempo.
Solucin. Solucin. a) Pendiente de a = 0 para t 1,3 ms b) La
altura mxima corresponde al recorrido hasta cuando la aceleracin se
hace cero y llega al tiempo t = 2,5 ms., y es el rea bajo la curva
v versus t. (Dibujado aproximndolo a Un tringulo y un
rectngulo).
dv dv = adt dt Como a (t ) es la ecuacin de la recta: 84 a2 = =
0,8 a = 0,8t + 2 t 0 7,5 2,5 dv = (0,8t + 2 )dta)
a=
Integrando:
hmax = rea bajo (v t ) ATringulo + ARectngulo 1 [(1,3)(133) +
(2,5 1,3)(133)]10 3 2 0,25 cm
2 v v0 = 0,4(t t 0 ) + 2(t t 0 ) Con t 0 = 2,5s , t = 7,5s , y v
= v v0 : 2
v
v0
dv = (0,8t + 2)dtt t0
v = 0,4(7,52 2,52 ) + 2(7,5 2,5) cm = 30 s
c) a = pendiente del grfico v t.
a (0,5 ms) a (1,0 ms) 133 2 = 1,0 105 cm s 1,3 10-3 a (1,5 ms) =
0 porque la pendiente es cero.
Otra manera de encontrar el cambio de velocidad es encontrando
el rea bajo la curva a versus t, entre las lneas en t = 2,5 s y t =
7,5 s. El rea es:1 2
(4 + 8)(7,5 2,5) = 30
cm s
d) h = rea bajo el grfico v t.
Como la aceleracin es positiva, el cambio de velocidad es
positivo. b)
h (0,5) ATringulo =
1 (0,5 10 -3 )(33) 2 = 8,3 10 3 cm 1 h (1,0) ATringulo = (1,0 10
-3 )(100) 2 = 5,0 10 2 cm h (1,5) ATringulo + ARectngulo=
= 0,11 cm
1 (1,3 10-3 )(133) + (0,2 10-3 )(133) 2
Ejemplo 36. La velocidad de un punto que se mueve en trayectoria
recta queda expresada, en el si por la ecuacin: v = 40 - 8t. Para,
t = 2 s el punto dista del origen 80 m. Determinar: a) La expresin
general de la distancia al origen. b) El espacio inicial. c) La
aceleracin. d) En qu instante tiene el mvil velocidad nula? 20
Movimiento rectilneo e) Cunto dista del origen en tal instante?
f) Distancia al origen y espacio recorrido sobre la trayectoria a
partir de t = 0, cuando t = 10 s y t = 15 s. Solucin. a)
Hugo Medina Guzmn En la grfica de la velocidad frente al tiempo,
el rea limitada por el eje de abscisas y la grfica entre dos
instantes coincide numricamente con el camino recorrido por el mvil
entre esos dos instantes. Ejemplo 37. El vector velocidad del
movimiento de una partcula viene dado por
s = vdt = (40 8t )dt = 40t 4t 2 + C
e) s5 =16 + 40x5 - 4x52 = 116 m f) s7 =16 + 40x7 - 4x72 = 100 m
sl0 =16 + 40x10 - 4x102 = 16 m s15 = 16 + 40x15 - 4x152 = -284 m
Clculo de caminos sobre la trayectoria a partir de t = 0: El mvil
cambia el sentido de su velocidad para t = 5s El recorrido en los 5
primeros segundos es: C5 = s s0 = 40t - 4t2 = 100 m A ellos hay que
sumar el recorrido en los segundos restantes que se obtienen de la
integral de la ecuacin general de la velocidad, en valor absoluto,
entre los limites t = 5 s y t = instante final.
s = s 0 + 40t 4t 2 b) 80 = s0 + 80 - 16 s0 = 16 dv m c) a = = 8
2 dt s d) 0 = 40 - 8t t =5 s
v = (3t - 2) + (6t 2 - 5) m/s. Si la posicin del i j
mvil en el instante t =1 s es Calcular
r = 3i 2 m. j
a) El vector posicin del mvil en cualquier instante. b) El
vector aceleracin. c) Las componentes tangencial y normal de la
aceleracin en el instante t = 2 s. Dibujar el vector velocidad, el
vector aceleracin y las componentes tangencial y normal en dicho
instante. Solucin: a) Para el movimiento horizontal
C 7 = 100 + C10 = 100 + C15 = 100 +
(40 8t )dt = 116m7 5
vx = 3t - 2 vx =t
ax =
m dvx =3 2 dt s
(40 8t )dt = 200m10 5
(40 8t )dt = 500m15 5
Como
dx dx = v x dt , integrando dt
dx = (3t 2)dtt 3 1
7 3 x = t 2 2t + m 2 2Para el movimiento vertical
v y = 6t 2 - 5
ay =
dv y m = 12t 2 dt s
Representacin grfica de la distancia, al origen en funcin del
tiempo
Como
vy =t
dy dy = v y dt , integrando dt
y = (2t 3 5t + 1)m
t
2
dy = 6t 2 5 dt 1
(
)
7 3 r = t 2 2t + - 2t 3 5t + 1 i j 2 2
(
)
21
Movimiento rectilneo
Hugo Medina Guzmn Ejemplo 38. Anlisis del montaje de la figura
siguiente.
b)
a = 3i + 12t j
c) Para t = 2 s vx = 4 m/s, vy = 19 m/s ax = 3 m/s2, ay = 24
m/s22 2 a = a x + a y = 24,2m / s 2
tan =
vy vx ay ax
=
19 = 4,75 = 78 o 4 24 = 3 = 83o 3
tan =
=
Para analizar las relaciones que hay entre las variables
cinemticas del bloque m1 , del balde m 2 y de la polea mvil,
debemos primero saber cuales son sus posiciones. Para ello elegimos
un sistema de coordenadas. En nuestro caso elegimos el eje y
apuntando hacia abajo y con el origen en el techo. Para el sistema
de coordenadas escogido las posiciones del bloque, del balde y de
la polea son respectivamente: y1 , y 2 , y p . Estas se representan
en la figura siguiente.
at = a cos( ) = 24,1m/s 2 an = asen( ) = 2m/s 2CINEMTICA DE
PARTCULAS LIGADAS. MOVIMIENTOS DEPENDIENTES. Observemos los
sistemas fsicos de la figura. Podramos decir que estos sistemas se
componen de varias partculas ligadas (conectadas).
La longitud de la cuerda debe permanecer constante en todo
instante. Por tanto debe ser siempre vlida la siguiente relacin:
Longitud de la cuerda = constante AB + arco BC + CD +arco DE +EF =
constante De la figura podemos concluir que las siguientes
relaciones son vlidas:
AB = y p CD = y p c2EF = y1 c2Por tanto,
y p + arcoBC + ( y p c2 ) + arcoDE + y1 = constante
Como los arcos BC y DE permanecen constantes podremos escribir
la relacin anterior as: 2 y p + y1 = k (1) Las partculas podran ser
las poleas y los cuerpos a desplazar (bloques, baldes). La ligadura
la tienen a travs de las cuerdas. Es decir, cuando el seor desplaza
el extremo de la cuerda con una aceleracin a, la aceleracin de las
poleas y los cuerpos a desplazar (bloques, baldes) tendrn una
dependencia de a. Lo mismo se cumplir para las otras variables
cinemticas (desplazamiento y velocidad). 22 Siendo k una constante.
Esta ecuacin relaciona las variables cinemticas de la polea mvil y
del bloque. Si el bloque se desplaza una cantidad y1 y la polea en
una cantidad
y p . y p + y p ,
La nueva posicin de la polea: La nueva posicin del bloque: y1 +
y1 .
Movimiento rectilneo Sin embargo, la relacin anterior debe
seguir cumplindose: 2 y p + y p + ( y1 + y1 ) = k (2)
Hugo Medina Guzmn Si el balde se desplaza una cantidad y 2 , y
la polea se desplaza una cantidad
(
)
y p . y p + y p .
Restando (1) de (2), obtenemos:
El balde pasa a ocupar la posicin: y 2 + y 2 , La polea pasa a
ocupar la posicin Sin embargo, la relacin anterior se debe seguir
cumplindose. ( y 2 + y 2 ) = y p + y p + c1 (4)
2y p + y1 = 0y p = y1 2
Por ejemplo, si el bloque baja 1,0 m, la polea slo sube 0,50 m.
La polea slo se desplaza la mitad de lo que se desplaza el bloque.
Anlogamente podramos hacer un anlisis para las aceleraciones, y
concluiramos que:
(
)
Restando (3) y (4) obtenemos,
y 2 = y pLos desplazamientos de la polea y el balde son iguales.
Si dividimos la ecuacin anterior por el intervalo de tiempo t
obtenemos como se relacionan las velocidades: v2 = v p . Las
velocidades de la polea y del balde son iguales. Lo mismo podremos
concluir para las aceleraciones:
1 a p = a1 2Es decir, si el bloque por ejemplo, baja con una
aceleracin igual a 2,0 m/s2 , la polea subir con una aceleracin
igual a 1,0 m/s2 . De esta figura tambin se deduce la siguiente
relacin entre la posicin del balde y la posicin de la polea mvil: y
2 = y p + c1 (3)
a2 = a pEn definitiva si el bloque baja con una aceleracin igual
a 4 m/s2, el balde y la polea mvil subirn con una aceleracin igual
a 2 m/s2.
PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1. Un acelerador atmico emite partculas
que se desplazan con una rapidez de 2,8x108 m/s. cunto demoran
estas partculas en recorrer una distancia de 5,6mm?. Respuesta.
2x10-11 s. 2. Se desea calcular cul es la profundidad de un lago,
para tal efecto se usa un instrumento conocido como sonar que mide
el tiempo que tarda un pulso sonoro en ir y volver desde la
superficie del agua. Si se sabe que la rapidez del sonido en el
agua es de 1450m/s y el instrumento marc 0,042s cuando se hizo la
medicin, calcule la profundidad del lago. Respuesta. 30,45m 3. Una
cucaracha se desplaza en lnea recta y su posicin con respecto al
tiempo se expresa de acuerdo al siguiente grfico. De acuerdo a la
informacin dada se pide calcular. a) distancia recorrida entre 4s y
9 s b) distancia recorrida entre 9 s y 14s c) distancia recorrida
entre 0 y 16s. d) velocidad media entre 0s y 16s. e) velocidad
media entre 9s y 16s.
Respuesta. a) 4m b) 8m c) 22m d) 5/8 m/s e) 0
3. Un hombre camina con una velocidad v constante pasa bajo un
farol que cuelga a una altura H sobre el suelo. Encontrar la
velocidad con la que el borde de la sombra de la cabeza del hombre
se mueve sobre la tierra. El alto del hombre es h.
Hv Respuesta. H h4. Un tren arranca en una estacin y acelera
uniformemente a razn de 0,6 m/s hasta alcanzar una velocidad de 24
m/s. Determinar el tiempo empleado y la distancia recorrida en ese
perodo si la velocidad media fue: a) 16 m/s, b) 22m/s. Respuesta:
a) 60s, 960m, b) 240s, 5280m 5. Un ciclista recorre 100 km en 2
horas. El viaje de vuelta dos das ms tarde lo realiza en el tiempo
usual de 6 horas. 232
Movimiento rectilneo a) Cul es su rapidez media a la ida? b) Cul
es su rapidez media al regreso? c) Su rapidez media en e viaje
completo? d) Su velocidad media en e} viaje entero? Respuesta. a)
50 km/h , b) 16,7 km/h c) 25 km/h d) 0 6. Determinar la velocidad
media y la aceleracin media de un punto en 5 y 10 segundos que est
en movimiento rectilneo variable como se muestra en la figura 4.65
Respuesta. v 1 = 2,1 cm/s, a 1 = 0,8 cm/s , v 2 = 2,5 cm/s, a 2 =
0,2 cm/s2 2
Hugo Medina Guzmn
b)
x0 = 29m, v0 = 27 m/s, a 0 = 20 m/s 2
x1 = 68 m v1 = 51 m/s, a1 = 26 m/s 2 2 c) v m = 39 m/s , a m =
23 m/s11. La posicin de una partcula que se mueve en el eje x est
dada por 8 t + 5, x es la distancia a origen en metros y t es el
tiempo en segundos. a) Para t = 2, encontrar la posicin, velocidad
y aceleracin b) Grafique x versus t c) Encuentre la ley horaria, la
ley del movimiento y la trayectoria. d) Analizar el movimiento.
Respuesta: a) x = -3, v = 0 , a = 4 b) s = 2t 8t + 5 , r = 2t
Trayectoria rectilnea en el eje x.2
7. Un automvil que viaja con una velocidad de 50 km/h hacia el
oeste repentinamente empieza a perder velocidad a un ritmo
constante y 3 segundos ms tarde su velocidad es de 25 km/h hacia el
oeste. a) Cunto tiempo tardar en detenerse el auto, contando a
partir del momento en que empez a desacelerar? b) Cul es la
distancia total que recorrer antes de detenerse? c) Cul sera el
tiempo necesario para detenerse y la distancia recorrida el) la
frenada con la misma aceleracin, pero con una velocidad inicial de
100 km/h? Respuesta: a) t = 6s ; b) 41,7m ; c) 125; 125m 8. La
aceleracin de una partcula est dada por:
(
2
8t + 5)i
a = 4t 4t 3 , t 0 .a) Hallar la velocidad de la partcula en
funcin del tiempo. b) Hallar su posicin en funcin del tiempo.
Respuesta. a)
12. Un automvil se encuentra detenido frente a un semforo, le
dan luz verde y arranca de modo que a los 4s su rapidez es de 72
km/hora. Si se movi en trayectoria rectilnea, con aceleracin
constante, I.- Determine: a) La rapidez inicial en metros por
segundo. b) El mdulo de la aceleracin en ese tramo. c) La rapidez
que lleva a los 3s. d) La distancia que recorre en los tres
primeros segundos e) La distancia que recorre entre t = 2s y t =
4s. II.- Haga un grfico representativo de posicin versus tiempo y
de la rapidez versus tiempo. Respuesta. d) 22.45m a) 20m/s b) 5
m/s2 c) 15m/s e) 30m
v = 2t 2 t 4 ; b) x = 2 + 2t 3 / 3 t 5 / 53 2
9. El movimiento de una partcula se define mediante la relacin x
= t / 3 3t + 8t + 2 , donde x se expresa en metros y t en segundos.
Determinar a) el momento en que la velocidad es nula; b) la posicin
y la distancia total recorrida cuando la aceleracin es nula.
Respuesta: a) 2s, 4s; b) 8m, 7,33m 10. El movimiento de una
partcula est dado por la ecuacin horaria x = t + 4t + 5 x sobre el
eje x, x en metros t en segundos. a) Calcular la velocidad y la
aceleracin de la partcula en el instante t. b) Encontrar la
posicin, la velocidad y la aceleracin de la partcula para t 0 = 2s
y t 1 = 3s.3 2
13. Una partcula A, se mueve en el eje X, de acuerdo a la
siguiente grfica. Determinar a partir del grfico de la partcula: a)
b) c) d) e) f) g) Velocidad media entre t = 0 y t = 4 s Velocidad
instantnea en t = 2 s Aceleracin media entre t = 0 y t = 4 s
Intervalos de tiempo en que se acerca al origen Intervalos de
tiempo en que se aleja del origen Ecuacin Itinerario de la partcula
A Qu tipo de movimiento tiene esta partcula?
c) Cules son la velocidad media y la aceleracin media de la
partcula entre t 0 y t 1 ? Respuesta. a) v = (3t + 8t)m/s , a = (
6t + 8 ) m/s2 2
24
Movimiento rectilneo Respuesta. a) ( -8;0)m/s b) (-8;0)m/s d)
(0-3)s e)(3-....) f) x(t ) = 24 8t g) Movimiento rectilneo
uniforme. c) 0
Hugo Medina Guzmn para que ambas partculas se detengan
simultneamente antes de chocar.
14. Un vehculo se mueve en el eje x de acuerdo con la siguiente
ecuacin de itinerario:
x(t ) = 20 36t + 6t 2 . Con x medido en metros y
t en segundos. a) Identifique a posicin inicial, la velocidad
inicial y la aceleracin. b) Determine la ecuacin que entregue la
velocidad para cualquier instante. c) Determine el instante en que
cambia de sentido d) La velocidad de la partcula en t = 2 s y en t
= 4 s e) Posicin de la partcula en t = 6 segundos f) Grfico x
versus t. Describa la curva g) Grfico v x versus t. Describa la
curva h) Grfico a versus t. Describa la curva Respuesta. a) (20,0)m
(-36,0)m/s (12,0)m/s2 b) v(t ) = 36 + 12t c)3s d) (12,0)m/s
(12,0)m/s e) (20,0)m 15. Se lanza un cuerpo hacia arriba con una
rapidez de 16m/s, a) Qu altura alcanza a subir? b) Qu tiempo demora
en volver al punto de partida? Respuesta. a) 3,2m b) 6,4s 16. Una
partcula se mueve sobre una recta horizontal; parte hacia la
derecha desde un punto A con una rapidez de 28 (m/s) y una
retardacin constante de mdulo 12(m/s2). En el punto B, es donde se
anula su rapidez, invierte el sentido de movimiento para retornar
hacia A con una aceleracin constante de mdulo 6(m/s2). Calcular: a)
La distancia total cubierta hasta que la partcula retorne al punto
A. b) El tiempo total para el recorrido completo hasta volver a
dicho punto A. c) El intervalo de tiempo que transcurre entre los
pasos de la partcula por el punto situado a 1/3 de AB, medido desde
A. 17. Desde una altura de 45m se deja caer un objeto A.
simultneamente se lanza un objeto B verticalmente desde una altura
de 5m. Calcular: a) la velocidad inicial de B para que los objetos
se crucen a una altura de 20m. b) la distancia que separa a los
objetos cuando B alcanza su altura mxima. 18. Sobre un mismo eje x
se mueven dos partculas A y B. En t = 0 la partcula A parte desde P
con aceleracin constate de 15i (m/s2). Un segundo despus, B pasa
por Q con una velocidad de 20i (m/s). Encuentre las retardaciones
constantes que deben aplicar A y B a partir de este ltimo instante
25
19. Una partcula se mueve a lo largo del eje x con aceleracin
constante. En t = 0 pasa por la
posicin
x 0 = 10i m con una velocidad
v 0 = 20i m/s y en t =3s su posicin es
x = 52i m. Calcule: a) La ecuacin itineraria de la partcula b)
La distancia recorrida en el intervalo (3-6) s. c) La velocidad
media en el intervalo (4-7) s. d) Intervalos de tiempo en que la
partcula se aleja del origen del sistema.
20. Sobre el eje x de un sistema de coordenadas se mueven dos
partculas A y B. El grfico (a) es una parbola cuadrtica que muestra
la variacin de la componente x de la posicin en funcin del tiempo
de la partcula A. El grfico (b) muestra la variacin de la
componente v x de la velocidad en funcin del tiempo de la partcula
B. Si en t = 0, ambas partculas tienen la misma posicin,
determinar: a) Ecuacin horaria de las partculas A y B. b) Posicin
de B cuando A cambia de sentido de movimiento. c) Instante en que
se encuentran. d) Distancia recorrida por A y B entre 3 y 9 s.
21. En el grfico de la figura estn representadas la componente v
x del vector velocidad de dos
Movimiento rectilneo partculas, A y B, que se mueven a lo largo
del eje x Calcular: a) La aceleracin de B. b) Camino recorrido por
A y B cuando B alcanza la
Hugo Medina Guzmn 24. Un hombre parado en el techo de un
edificio tira un cuerpo verticalmente hacia arriba con una rapidez
de 14m/s. El cuerpo llega al suelo 4,7s ms tarde. a) Cul es la
mxima altura alcanzada por el cuerpo? b) Qu altura tiene el
edificio? c) Con qu rapidez llegar el cuerpo al suelo?
velocidad v B = 30i m/s. c) Desplazamiento de B en el intervalo
(0-10)s. d) Ecuacin horaria de A si en t0 = 0 su posicin es
x 0 = 8i m.
22. Dos partculas A y B se mueven sobre el mismo eje x. En t =
0, B pasa por Q con m/s v B (0 ) = ( 5,0 ) m/s y 2s despus A
pasa
por P a 6i m/s. Encuentre las retardaciones constantes que deben
aplicar A y B a partir de este ltimo instante para que ambas
partculas se detengan simultneamente justo antes de chocar.
Determine la ecuacin itinerario de A y B (diga cul es su
origen).
25. Un malabarista mantiene cinco bolas continuamente en el
aire, lanzando cada una de ellas hasta una altura de 3m. a) Cul es
el tiempo que debe transcurrir entre lanzamientos sucesivos? b)
Cules son las alturas de las otras pelotas en el momento en que una
de ellas vuelve a su mano? Respuesta. a) 0,31s ; b) 1,91; 2,87;
2,87 y 1,91 m. 26. Dos cuerpos son lanzados uno despus de otro con
las mismas velocidades
v0
desde una torre alta. El primer
cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, y el segundo
verticalmente hacia abajo despus del tiempo . Determinar las
velocidades de los cuerpos una con respecto al otro y las
distancias entre ellos en el instante t > . Respuesta: La
velocidad del primer cuerpo relativa al
23. Un cuerpo que se ha dejado caer desde cierta altura, recorre
72 m en el ltimo segundo de su movimiento. Calcule la altura desde
la cual cay el cuerpo y el tiempo que emple en llegar al suelo.
segundo es:
v1 v 2 = 2v0 g
.
La distancia es
S = 2v0 t v0 gt +
1 2 g 2
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