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Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades - parte IV Marcos Oliveira Prates 2012/02 Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidad

Capitulo 4.4

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Estatistica aplicada,Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuiçãode Probabilidades - parte IV

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  • Variveis Aleatrias Contnuas e Distribuiode Probabilidades - parte IV

    Marcos Oliveira Prates

    2012/02

    Marcos Oliveira Prates Variveis Aleatrias Contnuas e Distribuio de Probabilidades

  • Marcos Oliveira Prates Variveis Aleatrias Contnuas e Distribuio de Probabilidades

  • Distribuio Exponencial

    Marcos Oliveira Prates Variveis Aleatrias Contnuas e Distribuio de Probabilidades

  • Vamos relembrar a definio de uma varivel comDistribuio Poisson.

    Nmero de falhas ao longo do comprimento de um fio decobre.

    A distncia entre as falhas uma varivel de interesse.

    Seja X o comprimento de um ponto inicial at a primeirafalha do fio.

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  • A distribuio de X pode ser obtida a partir da distribuiodas falhas.Vejamos como estabelecer essa relao.A distncia at a primeira falha exceder 3 milmetrossomente se:

    no houver nenhuma falha at um comprimento de 3milmetros.

    Significa que at o comprimento de 3 milmetros nenhumafalha ainda foi observada.

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  • Se o nmero de falhas em um metro tem distribuioPoisson().Em 3 mm esperamos observar (0,03).

    A probabilidade requerida ser

    P(X > 3) = P(zero falhas no intervalo de 0 a 3 mm)

    =e(0,03)((0,03))0

    0!

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  • Vamos ver agora o caso geral.Seja N o nmero de falhas em x milmetros.O nmero mdio de falhas por metro .N tem distribuio Poisson com mdia x.Consideramos que o fio tem comprimento maior que x .Temos que

    P(X x) = P(N = 0) = exx0

    0! = ex .

    Logo

    F (x) = P(X x) = 1 ex X 0.

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  • A funo de distribuio cumulativa de X

    F (x) = P(X x) = 1 ex .

    Diferenciando F (X ) temos que

    f (x) = ex x 0 .

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  • A distribuio de X est ligada ao Processo de Poisson.

    Veremos que o ponto inicial para medir X no importa.

    No processo de Poisson o nmero de falhas dependeapenas do comprimento do intervalo

    e no da localizao do intervalo.

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  • Distribuio ExponencialSeja X a distncia entre contagens em um Processo dePoisson.Considere que a mdia desse processo > 0.X ento uma varivel aleatria exponencial comparmetro .A funo densidade de probabilidade de X

    f (x) = ex para 0 x

  • A distribuio Exponencial tem esse nome por causa dafuno exponencial que a aparece em sua densidade.Veja abaixo grficos da distribuio exponencial paraalguns valores de .

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  • Vamos agora calcular mdia e varincia dessa varivel.Relembre que

    E(X ) =

    xf (x)dx .

    Usando a definio temos que

    E(X ) =

    0xexdx = 1

    .

    (fazer no quadro)Ento o tempo de espera at a falha :

    inversamente proporcional taxa com que as falhasocorrem.

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  • Para a varincia, usamos

    V (X ) =

    (xE(X ))2f (x)dx =

    x2f (x)dx(E(X ))2 .

    Integrando por partes temos que

    0x2f (x)dx = 2

    2.

    PortantoVar(X ) = 2

    2

    12

    =12

    .

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  • Mdia e VarinciaSeja X uma varivel aleatria com distribuioexponencial de parmetro .Temos ento que

    E(X ) = 1

    Var(X ) = 12

    .

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  • Exemplo:

    Considere uma rede de usurios de computadores.

    As conexes dos usurios ao sistema podem sermodeladas por um Processo de Poisson.

    A mdia desse processo de 25 conexes por hora.

    Qual a probabilidade de no haver conexes em umintervalo de 6 minutos?

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  • Exemplo: (soluo)Seja X o tempo em horas at a primeira conexo.X tem distribuio exponencial com = 25 conexes porhora.Queremos saber a probabilidade de X exceder 6 minutos. dado em conexes por hora.Precisamos expressar as unidades de tempo em horas

    6 minutos = 0,1 horas .

    A probabilidade requerida

    P(X > 0,1) =

    0,125e25x = e25(0,1) = 0,082 .

    (Fazer no quadro)

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  • Exemplo:Qual a probabilidade do tempo at a prxima conexoestar entre 2 e 3 minutos?Temos que

    2 minutos = 0,033 horas 3 minutos = 0,05 horas .

    A probabilidade requerida

    P(0,033 < X < 0,05) = 0,05

    0,03325e25xdx = e25x

    0,050,033

    = 0,152 .

    (Fazer no quadro.)

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  • Exemplo:Determine o intervalo tal que a probabilidade de nenhumaconexo ocorrer nesse intervalo 0,9.Queremos saber o comprimento de x tal que

    P(X > x) = e25x = 0,9

    Tirando logartmo dos dois lados temos que

    25x = ln(0,9) x = 0,00421 hora = 0,25 minuto .

    O tempo mdio at a prxima conexo

    E(X ) = 1/ = 1/25 = 0,04 hora = 2,4 minutos .

    A varincia

    Var(X ) = 1/2 = 1/252 .

    O desvio padro Var(X ) = 1/ = 1/25 = 0,04 hora = 2,4 minutos .

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  • Vimos no exemplo anterior quea probabilidade de no haver conexes em um intervalo de6 minutos 0,082 no depende do tempo inicial dointervalo.

    O processo de Poisson supe que os eventos ocorremuniformemente em um intervalo.

    No h agrupamento de eventos.A probabilidade de que a primeira conexo depois do12:00 ocorra depois de 12:06 igual a :

    probabilidade de que a primeira conexo depois das 15:00ocorra aps 15:06.

    Falta de memria da exponencial.

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  • O ponto inicial de observao no importa.Se houver perodos com picos de conexo o modelo dePoisson no um bom modelo.Pode ser razovel modelar perodos do dia diferentes porprocessos de Poisson com parmetros distintos.Colocamos um valor de alto em alguns perodos e baixoem outros.A distribuio exponencial com o correspondente podeser usada para calcular probabilidades de conexo.

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  • Exemplo:Considere um contador que detecta partculas raras.Seja X o tempo entre deteces de uma partcula.X tem distribuio exponencial com

    E(X ) = 1,4 minuto .

    A probabilidade de detectarmos uma partcula dentro de30 segundos a partir do comeo da contagem

    P(X < 0,5 minuto ) = F (0,5) = 1 e0,51,4 = 0,30 .

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  • Exemplo: (continuao)Suponha que ligamos o contador e esperamos 3 minutossem detectar nenhuma partcula.Qual a probabilidade de uma partcula ser detectada nosprximos 30 segundos?Como j esperamos 3 minutos sentimos que j temposuficiente.A probabilidade de deteco nos prximos 30 segundosdeveria ser menor que 0,3.Isso porm no verdade.

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  • Exemplo: (soluo)A probabilidade requerida

    P(X < 3,5|X > 3) = P(X < 3,5;X > 3)P(X > 3) =P(3 < X < 3,5)

    P(X > 3) .

    Temos que

    P(3 < X < 3,5) = F (3,5)F (3) = [1e3,51,4 ] [1e

    31,4 ]

    = 0,035

    P(X > 3) = 1 F (3) = e3

    1,4 = 0,117 .

    AssimP(X < 3,5|X > 3) = 0,0350,117 = 0,3 .

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  • Observaes:Depois de esperar por 3 minutos

    a probabilidade de deteco nos prximos 30 segundos a mesma de deteco nos 30 segundos imediatamentedepois de comear a contagem.

    O fato de que voc esperou 3 minutos sem deteco nomuda a probabilidade de deteco.

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  • Propriedade de Falta de MemriaPara uma varivel aleatria exponencial X

    P(X < t1 + t2|X > t1) = P(X < t2) .

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  • Veja a figura abaixo.A soma das reas um

    A + B + C + D = 1 .A rea A P(X < t2).A rea C dividida por C + D

    P(X < t1 + t2|X > t1) .A falta de memria implica que

    a proporo em A igual a proporo de C em C + D.

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  • A distribuio exponencial muito usada para modelartempo de falha de um equipamento.

    Exemplo: o tempo de vida de um chip.

    A falta de memria significa que o equipamento nodesgasta.

    Independente de quanto tempo o equipamento tenhaoperado a probabilidade de falha no muda.

    Quando o equipamento sofre desgaste esse no ummodelo bom.

    Uma distribuio usada nesse caso a Weibull.

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  • Distribuio Gama

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  • Algumas variveis aleatrias so sempre no negativas.

    A Distribuio Gama generaliza a DistribuioExponencial.

    A Distribuio Gama utilizada na modelagem deproblemas que a resposta estritamente positiva.

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  • Antes de apresentar a funo de densidade de umavarivel alaetria, X , que segue uma distribuio Gama.Iremos intorudizir a funo Gama:

    (r) =

    0x r1exdx para todo r > 0.

    A funo Gama a generalizao da funo fatorial.Dessa forma temos:

    se r inteiro: (r) = (r 1)!(r) = (r 1)(r 1)(1) = 1

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  • Uma varivel alaetria X , com funo de densidade

    f (x) = r x r1ex

    (r), para x > 0

    uma varivel alaetria Gama, com parmetros > 0 er > 0.

    0 f (x) = 1 (fazer no quadro)

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  • Vamos agora calcular mdia e varincia dessa varivel.Relembre que

    E(X ) =

    xf (x)dx .

    Usando a definio temos que

    E(X ) =

    0

    r x rex

    (r)dx = r

    (fazer no quadro)

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  • Para a varincia, usamos

    V (X ) =

    (xE(X ))2f (x)dx =

    x2f (x)dx(E(X ))2 .

    Logo temos que

    0x2f (x)dx = r(r + 1)

    2.

    PortantoVar(X ) = r(r + 1)

    2

    r2

    2=

    r

    2.

    (fazer no quadro)

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  • Mdia e VarinciaSeja X uma varivel aleatria com distribuio gama deparmetros e r .Temos ento que

    E(X ) = r

    Var(X ) = r2

    .

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  • A funo de distribuio acumulada de uma varivel gamano possui forma fechada.A distribuio exponencial um caso especial dadistribuio gama quando r = 1.Outra distribuio conhecida que tambm um casoespecial da distribuio gama a distribuiochi-quadrado (2).

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  • A distribuio 2 obtida quando r = /2 e = 1/2.O parmetro chamado de graus de liberdade.A funo de densidade de uma varivel alaetria 2

    f (x) = x/21ex/2

    2/2(/2), para x > 0

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  • Mdia e VarinciaSeja X uma varivel aleatria com distribuio 2 deparmetro .Temos ento que

    E(X ) = Var(X ) = 2 .

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  • Distribuio Beta

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  • Uma distribuio que seja contnua, mas limitada a umafaixa finita til para modelos de probabilidade.

    Dados de propores so exemplos de variveis contnuasao longo do intervalo [0,1].

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  • Uma varivel alaetria X , com funo de densidade

    f (x) = (+ )()()

    x1(1 x)1, para 0 x 1

    uma varivel alaetria beta, com parmetros > 0 e > 0.

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  • Mdia e VarinciaSeja X uma varivel aleatria com distribuio beta deparmetros e .Temos ento que

    E(X ) = +

    Var(X ) = (+ )2( + + 1)

    .

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    Distribuio ExponencialDistribuio GamaDistribuio Beta