capitulo03 - econometria 1

7/24/2019 capitulo03 - econometria 1

1/21

Anlise de Regresso MltiplaAula 14/04/2014

Prof. Moiss A. Resende Filho

Introduo Econometria (ECO 132497)

14 de abril de 2014

Moiss Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, seo 3.3 a 3.5) 14/04/2014 1 / 21
http://find/http://goback/


2/21

Inexistncia de vis de MQO

At agora assumimos que:

RLM.1: y=0+1x1+2x2+ . . .+kxk+ u(o modelo linearnos parmetros)

RLM.2: temos uma amostra f(xi1 , xi2 , ..., xik, yi) : i=1, ..., ngaleatriaretirada da populao, o que suciente para

E(uijxl1 , xl2 , ..., xlk) =0, i6=l.RLM.3: colinearidade no perfeita => n(k+1), cada varivelexplicativa apresenta variabilidade na amostra e nenhuma varivel uma combinao linear das demais variveis explicativas.

RLM.4: E(uijxi1,

xi2, ...,

xik) =0 (a mdia condicional do erro zero).

Sob RLM.3 possvel calcular as estimativas MQO a partir da amostra.Sob RLM1 a RRLM.4 E(

bj) =j,j=0, 1, ..., k (Teorema 3.1)

http://find/


3/21

Vis de varivel omitida

Se apenas a varivel xkfoi omitida, ento:

ej=

bj+

bk

ej

e E(ej) = j+kejonde

ej o coeciente de xj, j=1, ..., k 1 na regresso auxiliar de xk

sobre as demais variveis explicativas do modelo.

O vis de varivel omitida E(ej) j= kej.

http://find/


4/21


EXEMPLO:No no exame nal e faltas nas aulasAmostra de 680 alunos em "introductory microeconomics"naMichigan State University em vrios anos.

A frequncia dos estudantes foi registrada eletronicamente e

monitorada por monitores da disciplina.nal a nota na prova nal na distiplina em um total de 40 pontos.

missed o nmero de aulas que o estudante faltou em um total de 32aulas.

Baixe os dados (disponveis no formato Stata emhttps://sites.google.com/site/rese0013/attend.dta) para o seucomputador e clique sobre o arquivo para abrir o Stata.

http://find/


5/21


Primeiro regredimos nal em missedem uma regresso linear simples.

_cons 26.59882 .2625929 101.29 0.000 26.08322 27.11441 missed -.1209031 .0328317 -3.68 0.000 -.185367 -.0564391

final Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Total 15061.9471 679 22.1825435 Root MSE = 4.6669 Adj R-squared = 0.0182

Residual 14766.5951 678 21.7796387 R-squared = 0.0196 Model 295.352008 1 295.352008 Prob > F = 0.0002

F( 1, 678) = 13.56Source SS df MS Number of obs = 680

. regress final missed

dnal = 26.60 0.121 missedn = 680

http://find/


6/21


Adicionamos agora a varivel priGPA(IRA at incio da disciplina de 0 a4) para controlar para a qualidade do aluno.

_cons 17.41567 1.000942 17.40 0.000 15.45035 19.381 priGPA 3.237554 .3419779 9.47 0.000 2.56609 3.909019 missed .0172012 .0341483 0.50 0.615 -.0498481 .0842504

final Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Total 15061.9471 679 22.1825435 Root MSE = 4.3888

Adj R-squared = 0.1317Residual 13040.2229 677 19.2617768 R-squared = 0.1342 Model 2021.72415 2 1010.86207 Prob > F = 0.0000

F( 2, 677) = 52.48Source SS df MS Number of obs = 680

. regress final missed priGPA

dnal = 17.42+ .017 missed+3.24 priGPAn = 680

http://find/


7/21


emissed =

bmissed+

bpriGPA

emissed

emissed =0.121: emissed negativo, quando o correto seriabmissed =0.017 (estimativa correta).ComobpriGPA =3.24, ento, emissed = 0.1210.0173.24 =0.0426 < 0(qualidade do aluno e faltas so negativamente correlacionados naamostra).De fato, dCorr(missed, priGPA) =0.427:

priGPA -0.4272 1.0000 missed 1.0000

missed priGPA

(obs=680). corr m sse pr GPA

O vis de varivel omitida priGPA

(+)

emissed()

< 0. Portanto, admitindo-se

que missed =0, omitir priGPAfaz com que, em mdia ouE(emissed) < 0, quando de fato deveria serzero.



8/21

A varincia dos estimadores MQO

Assumindo RLM.5 (Homocedasticidade)

A varincia do erro u, seja l quais forem os valores de x1,

x2, ...,

xk

Var(ujx1 , x2 , ..., xk) =Var(u) =2

A suposio RLM.5 fundamental para se obter frmulas simples paraos estimadores da varincia dos estimadores de MQO e para a discusso de

ecincia de MQO.Sabemos que

bj =

i

brijyi

ibr2ij

= ibrij(0+1xi1+ ...+kxik+ ui)

ibr2ij= j+

i

brijui

ibr2ij, pois ib

rij= ibrijxil=0, l6=j

http://find/


9/21


Assim, sob RLM.1 a RLM.5:

Var(bj) = Varj+ ibrijuiibr2ij

!= Var(j) +Var

ibrijui

ibr2ij != iVar

1

i

br2ijbrijui

!

= 1ibr2ij!2

ibr2ijVar(ui)=

2

i

br2ij

(1)

http://find/


10/21


THEOREM (Varincias amostrais dos estimadores MQO dasinclinaes)Sob as suposies RLM.1 a RLM.5 (hipteses de Gauss-Markov), econditional nos valores das variveis explicativas nas amostras,

Var(bj) = 2

ibr2ij = 2

STQj(1 R2

j)

,j=1, ..., k. (2)

pois ibr2ij =STQj(1 R2j), onde STQj= ni=1(xij xj)2 eR2j =1

ibr2ijSTQj

o R2 da regresso de xj em x1 , x2 , . .., xj1 , xj+1 , ..., xk,ou seja, uma regresso de xjsobre todas as outras variveis explicativas do

modelo de regresso de interesse.Note que a suposio RLM.3 elimina a possibilidade de R2j =1, queocorreria s se xjfosse determinado exatamente por uma funolinear das outras variveis explicativas.

http://find/


11/21


Os componentes que afetam a varincia

Var( j) = 2

STQj(1 R2

j)1. A medida que a varincia do erro (na populao), 2, decresse, Var( j)diminui. Uma forma de reduzir 2 adicionar mais variveis ao modelo,ou seja, retirar fatores inexplicados de ue passar a incorpor-los

explicitamente no modelo.

http://find/


12/21


Var(j) =

2

STQj(1 R2j)

2. A medida que a variao amostral total de xj, STQj, aumenta, Var( j)decresse. Em outras palavras, a estimativa do efeito de xj em ytorna-semais precisa se temos maior variao amostral em xj.

Como SQTj/n[ou SQTj/(n 1)] a varincia amostral defxij :i=1, ..., ng, ento, podemos assumir que

SQTjn2j

onde 2j > 0 a varincia populaciona de xj.Assim, podemos aumentar SQTjaumentando o tamanho da amostra,pois SQTj basicamente uma funo linear de n. [Dos trs componentesque afetam Var( j), este o nico que depende sistematicamente de n.]

http://find/


13/21


Var( j) = 2

STQj(1 R2j)

3. A medida que R2j !1, Var( j)! , quanto maior for a

multicolinearidade menos precisa sero as estimativas j.

R2j mede o quanto xjse relaciona linearmente com as outras variveisexplicativas.

Obtm-se a menor varincia de j quando R2

j =0:

Var( j) = 2SQTj

que a frmula do modelo de regresso simples.

http://find/


14/21


Um grco de Var( j) = 2

STQj

1(1R2j)

12R

10

Um R2

j muito prximo de 1 considerado um problema demulticollinearidade. Mas o que signica "muito prximo"de 1?Elevada multicollinearidade no viola nenhuma suposio deGauss-Markov.Em geral, uma medida para reduzir Var( j) aumentar o tamanho da

amostra.Moiss Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, seo 3.3 a 3.5) 14/04/2014 14 / 21
http://find/


15/21

A varincia em modelos mal especicados

Tambm podemos estudar as varincias dos estimadores MQO em

modelos mal especicados. Suponha que tenhamos estimado osmodelos:

y= 0+ 1x1+

2x2 (3)

y= 0+ 1x1 (4)

Sabemos que:

Var( 1

) = 2

SQT1(1 R21) (5)

Var( 1) = 2

SQT1(6)

E(e1) = 1 2e1 e E( 1) = 1.Moiss Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, seo 3.3 a 3.5) 14/04/2014 15 / 21
http://find/


16/21

A varincia em modelos mal especicados

Moral da histria

Se 2 6=0 e x1 and x2 so correlacionados na amostra (R21 > 0),

ento:

e1 viesadoe 1 no viesado, mas

Var( 1) = 2

SQT1 0),

ento:

e1 e 1 so ambos no viesados, mas

Var( 1) = 2

SQT1 |t| [95% Conf. Interval]

Total 165.656283 934 .177362188 Root MSE = .38609 Adj R-squared = 0.1595

Residual 138.779515 931 .149065 R-squared = 0.1622 Model 26.876768 3 8.95892266 Prob > F = 0.0000

F( 3, 931) = 60.10

Source SS df MS Number of obs = 935

. reg lwage educ IQ exper

[lwage = 5.198(.122)

+ .57108(.0073)

educ+ .0058(.0010)

IQ+ .0195(.0032)

exper

n = 935, R2 = .1622


E i i d MQO


19/21

Ecincia de MQO

TEOREMA 3.4. (Teorema de Gauss-Markov)Sob as suposies RLM.1 a RLM.5 (hipteses de Gauss-Markov), osestimadores MQO 0, 1, ..., kso os melhores estimadores linearresno viesadosou best linear unbiased estimators (BLUEs)


MQO BLUE
http://find/


20/21

MQO BLUE

E (estimador): podemos computar uma estimativa a partir dos dadosna amostra, utilizando uma regra, no caso, o estimador MQO.

U (unbiased): Sob RLM1 a RRLM.4 E(bj) = j,j=0, 1, ..., k(Teorema 3.1). L (linear): O estimador MQO uma funo linear defyi :i=1, 2, ..., ng(poderia, sem problema, ser uma funo no linear dasvariveis explicativas), ou seja, pode ser posto na forma geralj=

ni=1wijyi, onde fwij :i=1, ..., ngso qualquer funes de

f(xi1 , ..., xik) :i=1, ..., ng. Tome o estimador MQO

bj=

ni=1brijyi

ni=1

br2ij

,j=0, 1, ..., k, dena wij=brij

ni=1

br2ij

, tal que

bj =

ni=1wijyi

(Linear)

B (best): O estimador possui a menor varincia dentre os estimadoreslineares, ou seja, sob RLM.1 a RLM.5 (hipteses de Gauss-Markov):

Var( j)Var(j)

para todo j(usualmente a desigualdade estrita).Moiss Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, seo 3.3 a 3.5) 14/04/2014 20 / 21

E i i d MQO
http://find/


21/21

Ecincia de MQO

Relembrar que: jcontinua no viesado se a suposio RLM.5 no sesustentar, o que tem duas consequncias:

1. As frmula para Var(

j)e, consequentemente, para ep(

j)se tornamerradas, ento: precisamos encontrar as frmulas corretas.2. Os esitmadores MQO j,j=0, 1, ..., kdeixam de ser BLUE: podemostentar encontrar estimadores melhores que MQO.

http://find/

Documents

capitulo03 - econometria 1